第五章 连续系统的s域分析 5.4

1 sL
U (s)
i(0 ) s

电感L上电压的象函数U(s)等于S域阻抗sL上的电压和S域 电压源的代数和。因此，根据电感元件的S域零状态模型和 KVL，电感L可以用图 (a)的S域串联模型表示。电感L上电流 的象函数I(s)等于S域阻抗sL上的电流和S域电流源的代数和。 因此，根据KCL和S域零状态模型，电感L又可用图 (b)所示S 的域并联模型表示。
设二阶连续系统的微分方程为
y ''( t ) a1 y '( t ) a 0 y ( t ) b 2 f ''( t ) b1 f '( t ) b 0 f ( t )
式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f（t）为因果信号，因此， f（0-）、 均为零。设初始时刻t0=0，y（t）的单边拉普拉斯变 f (0 ) 换为Y（s），对上式两端取单边拉普拉斯变换，根据时域微分 性质，得
1、电阻元件
u (t ) R i (t )
U (s) RI (s)
2、电感元件
u (t ) L
d i (t ) dt
U ( s ) sL I ( s ) L i (0 )
1 L
i (t ) i ( 0 )

t 0
u ( x )d x , t 0
I (s)
y ( t ) y zi ( t ) y zs ( t ) L [
1
M (s) A(s)

B (s) A(s)
]
F ( s )]
其中零输入响应：
y zi ( t ) L [
1
M (s) A(s)
零状态响应：
y zs ( t ) L [
1
B (s) A(s)
]
例题见课本P242 例3
H (s) Y zs ( s ) F (s) B (s) A(s) b 2 s b1 s b 0
2
s a1 s a 0
2
N阶连续系统的系统函数为（an＝1）：
H (s) B(s) A( s ) b m s b m 1 s
m m 1
b1 s b 0
[ s Y ( s ) sy (0 ) y '(0 )] a 1 [ sY ( s ) y (0 )] a 0 Y ( s )
2
b 2 s F ( s ) b1 s F ( s ) b 0 F ( s )
2
(s 即： a1 s a 0 ) F ( s ) [( s a1 ) y (0 ) y '(0 )] ( b 2 s b1 s b 0 ) F ( s ) 2 令 A ( s ) ( s a1 s a 0 )
§5.4
复频域分析
一、微分方程的变换解
线性时不变连续系统的输入和输出关系通常是用线性 常系数微分方程描述。根据单边拉普拉斯变换的时域微分 性质，系统的微分方程可以变为复频域的代数方程，这就 使系统微分方程的求解变得简便易行和更加规范。 下面以二阶系统(second-order system)为例，讨论 系统微分方程的复频域解，即由系统微分方程求零输入响 应、零状态响应、完全响应的复频域方法。
s a n 1 s
n
n 1
a1 s a 0
例题，见课本P245 例5.4-5和5.4-6
连续系统的零状态响应可按以下步骤求解：
• • • • （1）求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换 F(s)； （2）求系统函数H(s)； （3）求零状态响应的单边拉普拉斯变换 Yzs(s),Yzs(s)=H(s)F(s)； （4）求Yzs(s)的单边拉普拉斯逆变换yzs(t)；
i 1
例如
L [ ( t )] 1 s
1 s
F [ f ( t )]
| s j ( 0 ) 1 j ( )
三、电路的s域模型
设RLC系统（电路）中之路电流i(t)和支路电压u(t) 的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，则KCL、 KVL的复频域形式为：
对集总电路中的任一节点，流入该节点的支路电流象 函数的代数和为零；对于集总电路中的任一回路，沿 该回路各支路电压的象函数的代数和为零。
I(s) 0 U (s) 0
四、连续系统的稳定性
一个连续系统，如果对任一有界输入产生的零状态响 应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出意义下的 稳定系统。即对有限正实数Mf和My，若|f(t)|≤Mf，并且 |yf(t)|≤My，则系统是稳定系统。 • 一个因果的连续系统，若系统函数H(s)的极点全部 在左半平面，则该系统是稳定的因果系统。
4、s域模型的分析方法 若把RLC系统（电路）中的激励（独立源）和响 应都用其象函数表示，R、L、C元件用其复频域的模 型表示，就得到RLC系统的复频域模型。如前所述， 在复频域，R、L、C元件上的VAR都是代数关系，而 KCL、KVL在复频域也成立。因此，在复频域中， RLC系统的激励与响应的关系是关于s的代数方程。 例题见课本P251，例10
如令L-1[Fa(s)]=fa(t),则上式的拉普拉斯变换为
f (t ) f a (t )

i 1
N
K ie
j i t
(t )
• 因为
L[e
jw i t
] ( i )
1 j ( i )
所以，f(t)中第二项的傅立叶变换为
k [
i i 1 N
例如：
f (t ) e
t
( t ), 0 , 其拉普拉斯变换为
F (s) 1 s , Re[ s ]
其傅立叶变换为
F ( j ) F ( s ) | s j 1 j
(3) 0＝0;在虚轴上不收敛。
• 分析：因为0＝0，所以在虚轴上有极点，即F(s)的分母 多项式A(s)=0必有虚根。 • 设A(s)=0有N个虚根（单根）j1, j2,… jn,将F(s)展开成 部分分式，并把它分成两部分，极点在左半平面的部分令 N 为Fa(s)。则有 Ki F ( s ) Fa ( s ) i 1 s j i
• 例1 描述某LTI系统的微分方程为 y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t) 已知初始状态y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励 f(t)=5costε(t)， 求：系统的全响应y(t)
解： 取拉氏变换得
Y ( s ) Y zi ( s ) Y zs ( s )
二、系统函数 系统函数H（s）是线性连续系统的重要概念。 由于 ，则二阶系统的系统 B (s) Y zs ( s 函数为： ) A ( s ) F ( s ) H ( s ) F ( s )
Re[s]>0
F ( j )



f (t )e
j t
dt
分析因果信号两种变换的关系 设Re[s]>0 (1) 0>0;
收敛域在虚轴右边，在s=j处不收敛，傅立叶变换不存在
(2) 0<0;
收敛域包含虚轴，在s=j处收敛，傅立叶变换存在。
• 这时有：
F ( j ) F ( s ) | s j
对于一阶系统：
若 H (s) B (s) as b , 则 a , b同 符 号 系 统 稳 定 。
对于二阶系统：
若 H (s)
B (s) as bs c
2
, 则 a , b , c同 符 号 系 统 稳 定 。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系
• 单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的定义
( i )
N
1 j ( i )
ki j j i
N]Biblioteka F [ f ( t )] F a ( s ) | s j
i 1

k (
i i 1
N
i)
即
F ( j ) F ( s ) | s j k i ( i )
2 2
B ( s ) ( b 2 s b1 s b 0 )
2
M ( s ) ( s a 1 ) y (0 ) y (0 )
则有：
Y ( s ) Y zi ( s ) Y zs ( s )
M (s) A(s)

B (s) A(s)
F (s)
求得上式的逆变换，得系统的全响应：
3、电容元件
u (t ) u (0 i (t ) C

)

1 C

t 0
i ( x )d x , t 0 U ( s )
1 sC
I (s)
u (0 ) s
d u (t ) dt
I ( s ) sC U ( s ) C u (0 )

u(0-)/s可以看成S域的已知电压源，Cu(0-)可以看成S域 的已知电流源。根据KVL及零状态模型，电容C可用图 (a) 所示串联形式的S域模型表示；根据KCL及零状态模型， 电容C又可用 (b)所示并联形式S域模型表示。