新课标高中一轮总复习理数第讲定积分及简单应用
高考数学一轮复习课件第19讲：定积分及其应用举例
结合定积分和不等式，可以解 决一些涉及优化、最值、比较 大小等问题，例如最大利润、 最小成本等。
解决这类问题时，需要先建立 不等式，然后通过定积分求解 。
定积分与解析几何的结合
解析几何是研究图形与坐标轴之间关系的数学分支，而定积分可以用来计算图形的 面积、体积等。
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函数的平均值
总结词
定积分在计算函数的平均值中具有重要意义，通过计算函数在一个区间上的定积 分，可以得到该函数的平均值。
详细描述
函数的平均值是指在一定区间上函数的平均表现，可以通过计算函数在该区间上 的定积分并除以区间的长度得到。例如，对于函数f(x)，其平均值可以表示为 [∫f(x)dx/b - ∫f(x)dx/a] / (b - a)，其中a和b分别为区间的下限和上限。
结合定积分和解析几何，可以解决一些涉及几何图形的问题，例如求圆的面积、球 的体积等。
解决这类问题时，需要先利用解析几何的知识确定被积函数和积分的上下限，然后 通过定积分求解。
05
高考真题解析与练习
近年高考真题解析
2022年全国卷Ⅰ
考察定积分的概念与性质，涉及积分 区间可加性、比较大小等问题。
2020年全国卷Ⅲ
总结词
定积分在平面图形面积计算中有着广泛的应用，通过计算曲线下方的面积，可以解决一 系列实际问题。
详细描述
定积分的基本思想是“分割、近似、求和、取极限”，在平面图形面积计算中，可以将 图形分割成若干小矩形或梯形，然后求和得到面积的近似值，最后取极限得到精确值。
例如，计算由曲线y=f(x)与直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲线下方的面积。
高考数学第1轮总复习 第17讲 定积分及简单应用课件 理 (广东专)
二 定积分的简单应用
【例 2】(1)下图中，阴影部分的面积是( )
A．16 C．20
B．18 D．22
素材2
(1)由曲线 y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是( )
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
2定积分的几何意义：
ⅰ( )当 函 数 f x 在 区 间[a， b ]上 恒
为 正 时 ， 定 积 分 b a
f x dx的 几 何
意义是由曲线②
和直线
③
所围成的曲边
梯 形 的 面 积 (如 图 中 阴 影 部 分 )．
(ⅱ )一
ห้องสมุดไป่ตู้
般
情
况
下
定
积
分
b
a
f
x
dx
的 几 何 意 义 是 介 于 x轴 ， 函 数
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
5.如图，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y
＝sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC
内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，
则所投点落在阴影部分的概率是( )
1
2
A.π
B.π
C.π4
当函数f x的图象在x轴上方和下方都有时，
b
a
f
x dx表示界于x轴、
曲线y f x以及直线
x a，x b之间各部分
高考数学一轮总复习 (基础轻过关+考点巧突破)第四章 第4讲 定积分及其应用举例课件 理 新人教版
y＝sinx 与 x 轴交于 0，π，2π，
所求面积 S＝
π sinxdx＋
2π
sin xdx
π
π
＝(－cosx)|π0－(－cosx)|2ππ＝4.
图D8
第十三页，共26页。
利用定积分求平面图形的面积的严格按照作图、 求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行．因为在[0，π] 上，sinx≥0，其图象在x轴上方；在[0,2π]上，sinx≤0其图象在x轴 下方(xià fānɡ)，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才 表示面积．
第五页，共26页。
2．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和
S3＝
3
0
4
xdx，则公比
q
的值为( C )
A．1
B．－12
C．1 或－12
D．－1 或－12
第六页，共26页。
π
3．若
2 0
(
sinx－acosx)dx＝2，则实数
a
等于(
A
)
A．－1
B．1
C．－ 3
D. 3
π
π
解析：
2(
0
sinx－acosxdx＝－cosx－asinx
第十四页，共26页。
【互动探究】
3．由曲线y＝x2＋2与y＝3x，x＝0，x＝2所围成的平面(píngmiàn)图
1
的面积为____.
解析：S＝1(x2＋2－3x)dx＋2(3x－x226页。
考点3 物理方面(fāngmiàn)的应用
例3：汽车以每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车， 设汽车以等减速度3米/秒刹车(shā chē)，问从开始刹车(shā chē)到 停车，汽车走了多少公里？
高考数学一轮复习(热点难点)专题20 破解定积分的简单应用(理)
专题20 破解定积分的简单应用（理）考纲要求:1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分；2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化. 基础知识回顾: 1、曲边梯形的定义我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形。
2、曲边梯形的面积的求法：分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑ 如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限， ()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx 是被积式。
【注】（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即nS 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 4．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）； 性质21212[()()]()()bbba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）； 性质3()()()()bcb aacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）5．定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。
核按钮(新课标)高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理
核按钮（新课标）高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.4定积分与微积分基本定理习题理1．定积分的定义(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式∑=-ni i f n ab 1)(ξ．当n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作__________，即⎠⎛abf (x )d x ＝∑=∞→-ni i n f nab 1)(limξ．其中f(x)称为________，x 称为__________，f(x)dx 称为__________，[a ，b]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号．(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为________、近似代替、求和、___________.2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝____________(k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝____________________； (3)⎠⎛ab f (x )d x ＝____________(其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x) ，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝____________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式．常常把F (b )－F (a )记作__________，即⎠⎛ab f (x )d x＝__________＝__________.4．定积分在几何中的简单应用(1)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝____________.(2)当函数f(x)在区间[a ，b]上恒为负时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝____________.(3)当x∈[a，b]有f(x)＞g(x)＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b(a≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)，y ＝g(x)围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝____________.一般情况下，定积分⎠⎛abf (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b 之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(4)若f(x)是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝__________(其中a >0)；若f(x)是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝____________(其中a >0)．5．定积分在物理中的简单应用(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V(t)，速度方向不变)在时间区间[a ，b]上所经过的路程S ＝____________.(2)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.(3)在变力F ＝F(x)的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b(a ＜b)，则力F 对物体所做的功W ＝____________.自查自纠1．(1)⎠⎛ab f (x )d x 被积函数 积分变量 被积式 积分区间(2)分割 取极限2．(1)k ⎠⎛a b f (x )d x (2)⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x(3)⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x3．F(b)－F(a) F(x)|b a F(b)－F(a) F(x)|ba 4．(1)⎠⎛ab f (x )d x (2)－⎠⎛ab f (x )d x(3)⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x (4)2⎠⎛0a f (x )d x 05．(1)⎠⎛a b V (t )d t (2)⎠⎛a b F (x )d x (3)⎠⎛ab F (x )cos θd x定积分⎠⎛01(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解：⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋1)＝e.故选C .已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ＜1，2，1≤x ≤2. 则⎠⎛02f (x )dx ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛011d x ＋⎠⎛122d x ＝x |10＋2x |21＝(1－0)＋(4－2)＝3.故选D .(2014·江西)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13 C.13D ．1解：⎠⎛01f (x )d x 为常数，不妨设a ＝⎠⎛01f (x )d x . 则f (x )＝x 2＋2a ，∴a ＝⎠⎛01(x 2＋2a )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2ax |10，∴a ＝13＋2a ，∴a ＝－13.故选B .(2015·天津)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解：由题意画出图形如图，得到积分上限为1，积分下限为0，因此直线y ＝x 与曲线y ＝x 2所围图形的面积S＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝12－13＝16.故填16.从平衡位置开始，如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需做功________ J. 解：设F (x )＝kx ，又F (0.01)＝1，∴k ＝100，W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝100×12x 2|0.060＝0.18 J ，故填0.18.类型一 计算简单函数的定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ；(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x .解：(1)⎠⎛－13(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) |3－1＝24.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x |21＝32－ln2.(3)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.【点拨】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与常数的和、差、积、商；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼兹公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值．计算下列定积分：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ； (3)⎠⎛0π(1－cos x )d x .解：(1)⎠⎛02x (x ＋1)d x ＝⎠⎛02(x 2＋x )d x＝⎠⎛02x 2d x ＋⎠⎛02x d x ＝13x 3|20＋12x 2|20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (2)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1x d x ＝⎠⎛12e x d x ＋⎠⎛121xd x ＝e x |21＋ln x |21 ＝e 2－e ＋ln2.(3)⎠⎛0π(1－cos x )d x ＝⎠⎛0π1d x －⎠⎛0πcos x d x＝x |π0－sin x |π0 ＝π.类型二 计算分段函数的定积分求⎠⎛－22|x 2－2x |d x .解：∵|x 2－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，－2≤x＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤2，∴⎠⎛－22|x 2－2x |d x ＝⎠⎛－20(x 2－2x )d x ＋⎠⎛02(－x 2＋2x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2|0－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2|20＝8. 【点拨】对分段函数f(x)求定积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cbf (x )d x 求解．求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，|x|≤2，1＋x 2，2＜x≤4 在区间[－2，4]上的定积分． 解：⎠⎛－24f (x )d x ＝⎠⎛－22(2x ＋1)d x ＋⎠⎛24(1＋x 2)d x＝(x 2＋x ) |2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 3|42＝743.类型三 利用定积分求平面图形的面积(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ＝________.解：根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.故填π4.(2)由抛物线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2及x 轴围成的图形面积为________． 解：如图所示，由y ＝x 2－1＝0，得抛物线与x 轴的交点分别为(－1，0)和(1，0)．所以S ＝⎠⎛02|x 2－1|d x＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫83－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝2.故填2. 【点拨】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化．(2013·北京)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2C.83D.1623解：由已知得l ：y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝2⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －112x 3|20＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－812＝83.故选C .类型四 定积分在物理中的简单应用一质点在直线上从时刻t ＝0开始以速度v (t )＝t 2－4t ＋3(m/s)做减速运动，则质点初次减速到0时经过的路程为________ m.解：由v (t )＝t 2－4t ＋3＝(t －1)(t －3)＝0，得t ＝1或3(舍去)．所以路程s ＝⎠⎛01(t 2－4t ＋3)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2＋3t |10＝43(m)．故填43.【点拨】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．(2015·杭州模拟)设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)．故填342.1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．2．利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．3．利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决．1．定积分⎠⎛013x d x 的值为( )A ．3B ．1C.32 D.12解：⎠⎛013x d x ＝32x 2|10＝32.故选C .2.⎠⎛－21|x |d x 等于( )A ．－1B ．1C.32D.52解：⎠⎛－21|x |d x ＝⎠⎛－20(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ＝－12x 2|0－2＋12x 2|1＝2＋12＝52.故选D .3．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174 C.12ln2 D ．2ln2解：因为所围图形在x 轴的上方，所以S ＝∫2121x d x ＝ln x |212＝ln2－ln 12＝2ln2.故选D .4．(2015·大庆检测)一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度v (t )＝5－t ＋551＋t (t的单位：s ，v 的单位：m/s)紧急刹车至停止．在此期间火车继续行驶的距离是( )A ．55ln10 mB ．55ln11 mC ．12＋55ln7 mD ．12＋55ln6 m解：令5－t ＋551＋t ＝0，注意到t >0，得t ＝10，即经过的时间为10 s ；行驶的距离s ＝⎠⎛010⎝ ⎛⎭⎪⎫5－t ＋551＋t d t ＝[5t －12t 2＋55ln(t ＋1)]|100＝55ln11，即紧急刹车后火车继续行驶的路程为55ln11 m ．故选B .5．若y ＝⎠⎛0x (sint ＋costsint)d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．0解：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t ＝⎠⎛0x sin t d t ＋12⎠⎛0x sin2t d t ＝(－cos t ) |x0＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos2t |x 0＝－cos x ＋1－14cos2x ＋14＝－12(cos x ＋1)2＋2，故当cos x ＝－1时，y max ＝2.故选B .6．(2015·衡水调研)在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx (k >0)所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机投一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为( )A.13B.23C.12D.34解：令x －x 2＝0得x ＝0或x ＝1，令kx ＝x －x 2得x ＝0或x ＝1－k .∴M 的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16，A 的面积为⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－k 2x 2)|1－k 0＝16(1－k )3，∴16（1－k ）316＝827，∴k ＝13.故选A . 7．(2014·河南月考)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若⎠⎛03f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0＝________.解：因为⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，3f (x 0)＝3ax 20＋3b ，所以9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，所以x 20＝3，x 0＝± 3.故填±3.8.⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝________. 解：⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以计算结果是π＋14.故填π＋14. 9．计算下列定积分的值：(1)⎠⎛－111－x 2d x ；(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x .解：(1)被积函数y ＝1－x 2，即x 2＋y 2＝1，y ≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，⎠⎛－111－x2d x ＝π2.(2)⎠⎛－12|x 2－x |d x＝⎠⎛－10(x 2－x )d x ＋⎠⎛01(x －x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|0－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 33|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33－x 22|21 ＝56＋16＋56＝116. 10．有一动点P ，在时间t 时的速度为v(t)＝8t －2t 2(m /s )．求从t ＝0到t ＝4时，点P 经过的路程． 解：由v(t)＝8t －2t 2＝2t(4－t)， 可知当0≤t≤4时，v (t)≥0.因此，路程S ＝⎠⎛04(8t －2t 2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2－23t 3|40＝643(m)． 11．在曲线y ＝x 2(x≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112.试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．解：如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S 曲边△AOB ＝⎰02x x d x ＝13x 3x ＝13x 30， S △ABC ＝12||BC ·||AB ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30. ∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.∴x 0＝1，从而切点A (1，1)，切线方程为y ＝2x －1.抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积为________．解：如图所示，所求面积S ＝S A ＋S B ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝4－x ， 得交点坐标为(2，2)，(8，－4)．A 部分：由于抛物线的上半支方程为y ＝2x ，下半支方程为y ＝－2x ，所以：S A ＝⎠⎛02[2x －(－2x )]d x ＝22⎠⎛02x 12d x＝22·23x 32|20＝163.B 部分：S B ＝⎠⎛28[4－x －(－2x )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －12x 2＋223x 32|82＝383.于是S ＝163＋383＝18.故填18.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(教材习题改编题)函数f (x )＝cos π2x ，则f ′(1)＝( )A ．－π2B ．－π4C ．0 D.π2解：f ′(x )＝－sin π2x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ′＝－π2sin π2x .∴f ′(1)＝－π2.故选A .2．已知曲线y ＝x 24－ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12解：y ′＝x 2－1x ，令x 2－1x ＝－12，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)．故选C .3．(2015·皖南八校联考)函数f (x )＝x e x－e x ＋1的单调递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)解：f ′(x )＝e x＋x e x－e x ＋1＝e x(1＋x －e)，由f ′(x )>0得x >e －1.故选D .4．(教材习题改编题)函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1，1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4解：f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或2.∴f (x )在[－1，0)上是增函数，在(0，1]上是减函数．∴f (x )在区间[－1，1]上的最大值为f (0)＝2.故选C .5．(2014·湖北八校第二次联考)已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的图象是( )解：f (x )＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x ，令g (x )＝f ′(x )，则g (x )为奇函数，排除B ，D ；由g ′(x )＝12－cos x 知g (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减，排除C.故选A .6．定积分⎠⎛04π(16－x 2)d x 的值等于( )A ．半径为4的球的体积B ．半径为4的四分之一球的体积C ．半径为4的半球的体积D ．半径为4的球的表面积解：⎠⎛04π(16－x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16x －x 33π|40＝128π3，等于半径为4的半球的体积，故选C . 7．(2015·韶关联考)设a∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R ，有大于－1的极值点，则( ) A ．a <－1B ．a >－1C ．a <－1eD ．a >－1e解：由y ′＝e x ＋a ＝0得e x ＝－a ，∵函数有大于－1的极值点，∴a ＝－e x<－1e .故选C .8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)＞f (1) C ．f (－1)＜f (1)D ．以上答案都不对解：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)，得f ′(2)＝－4， ∴f (x )＝x 2－8x ，∴f (－1)＝9，f (1)＝－7，f (－1)＞f (1)．故选B .9．一质点运动时速度(v )与时间(t )的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点直线运动，则此质点在时间[1，2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解：质点在时间[1，2]内的位移为⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t |21＝176.故选A .10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )解：因为函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，可得f ′(－2)＝0，且当x ∈(a ，－2)(a <－2)时，f (x )单调递减，即f ′(x )<0；当x ∈(－2，b )(－2＜b ＜0)时，f (x )单调递增，即f ′(x )>0.所以函数y ＝xf ′(x )在x ∈(a ，－2)内的函数值为正，在区间(－2，b )内的函数值为负，由排除法可得只有选项C 符合，故选C .11．(2015·福建)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误．．的是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解：令h (x )＝f (x )－kx ＋1，则h ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，即h (x )在R 上单调递增，而h (0)＝0，1k －1＞0，∴h ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞1k －1，∴C 项一定错误．也可用特值法(如令f (x )＝2x －1及f (x )＝10x －1等排除A ，B ，D)．故选C . 12．(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1解：由a ＜1，易知存在整数x 0＝0，使得e x 0(2x 0－1)＜ax 0－a .设g (x )＝e x(2x －1)，h (x )＝ax －a ，则g ′(x )＝e x(2x ＋1)．可得g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，若存在唯一整数x 0，使得f (x 0)＜0，还须满足⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1）， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜1，－2a ≤－3e ， ∴32e ≤a ＜1.故选D .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·江西检测)已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________．解：∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a＝2，解之得a ＝ln22.故填ln22.14．(2014·抚顺联考)已知R 上可导函数f (x )的图象如图所示，则不等式(x 2－2x －3)f ′(x )＞0的解集为________．解：由y ＝f (x )的图象可得y ＝f ′(x )的大致图象如图．f ′(x )＞0⇔x ＞1或x ＜－1； f ′(x )＜0⇔－1＜x ＜1.而x 2－2x －3＞0的解为x ＞3或x ＜－1；x 2－2x －3＜0的解为－1＜x ＜3. ∴原不等式的解为x ＞3或x ＜－1或－1＜x ＜1. 故填(－∞，－1)∪(－1，1)∪(3，＋∞)．15．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1，0)，函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．解：根据题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12＜x ≤1，从而得到y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12＜x ≤1，所以函数y ＝xf (x )与x 轴围成的图形面积为S ＝∫12010x 2d x ＋∫112(－10x 2＋10x )d x＝103x 3|120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3|112＝54.故填54.16．(2015·福州质量检测)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是____________．解：若函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上无极值，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0或f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0恒成立．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，易得y ＝x ＋1x 的值域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≥0，即a ≤x ＋1x 恒成立，a ≤2；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3时，f ′(x )＝x 2－ax ＋1≤0，即a ≥x ＋1x 恒成立，a ≥103.因此要使函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 上有极值点，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，103.故填⎝⎛⎭⎪⎫2，103.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)函数f (x )＝x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，求实数a 的值；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值．解：(1)f ′(x )＝2x （x ＋1）－x 2－a （x ＋1）2＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，若f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为12，则f ′(1)＝12.所以f ′(1)＝3－a 4＝12，得a ＝1.(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，则f ′(1)＝0，即3－a4＝0，得a ＝3，经检验，合题意．18．(12分)已知函数y ＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线斜率为－3. (1)求函数的单调区间；(2)求函数的极大值与极小值的差． 解：(1)∵y ′＝3x 2＋6ax ＋3b ， 由题意得y ′|x ＝2＝12＋12a ＋3b ＝0，y ′|x ＝1＝3＋6a ＋3b ＝－3，解得a ＝－1，b ＝0，所以y ＝x 3－3x 2＋c ，y ′＝3x 2－6x . 令y ′＞0，得x ＜0或x ＞2，∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 单调递减区间是(0，2)．(2)由(1)可知函数在x ＝0处取得极大值c ， 在x ＝2处取得极小值c －4，∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4.19．(12分)(2015·重庆)设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝（6x ＋a ）e x －（3x 2＋ax ）ex（e x ）2＝－3x 2＋（6－a ）x ＋a ex， ∵f (x )在x ＝0处取得极值，∴f ′(0)＝0，解得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝3x 2e x ，f ′(x )＝－3x 2＋6xex， ∴f (1)＝3e ，f ′(1)＝3e，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －3e ＝3e(x －1)，化为3x －e y ＝0.(2)解法一：由(1)可得f ′(x )＝－3x 2＋（6－a ）x ＋ae x， 令g (x )＝－3x 2＋(6－a )x ＋a ，由g (x )＝0，解得x 1＝6－a －a 2＋366，x 2＝6－a ＋a 2＋366.当x ＜x 1时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数； 当x 1＜x ＜x 2时，g (x )＞0，即f ′(x )＞0，此时函数f (x )为增函数； 当x ＞x 2时，g (x )＜0，即f ′(x )＜0，此时函数f (x )为减函数． 由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，可知x 2＝6－a ＋a 2＋366≤3，解得a ≥－92.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 解法二：由f (x )在[3，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在[3，＋∞)上恒成立， 可得a ≥－3x 2＋6xx －1，在[3，＋∞)上恒成立．令u (x )＝－3x 2＋6x x －1，u ′(x )＝－3[（x －1）2＋1]（x －1）2＜0，∴u (x )在[3，＋∞)上单调递减，a ≥u (x )max ＝u (3)＝－92，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，＋∞. 20．(12分)某景区为提高经济效益，现对景区进行升级改造，经过市场调查，旅游收入增加y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝19.2万元；当x ＝20万元时，y ＝35.7万元．(参考数据：ln2＝0.7，ln3＝1.1，ln5＝1.6)(1)求f (x )的解析式；(2)求该景点升级改造后利润增加的最大值(利润增加值＝旅游收入增加值－投入)．解：(1)由条件⎩⎪⎨⎪⎧a ×102＋10150×10－b ln1＝19.2，a ×202＋10150×20－b ln2＝35.7.解得a ＝－1100，b ＝1.则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x10(x ≥10)．(2)设T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x10(x ≥10)．则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－（x －1）（x －50）50x.令T ′(x )＝0，得x ＝1(舍)或x ＝50.T (x )在[10，50)上是增函数；在(50，＋∞)上是减函数，∴x ＝50为T (x )的极大值点．即该景点改造升级后利润T (x )的最大值为T (50)＝24.4万元．21．(12分)(2015·北京)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立，求k 的最大值． 解：(1)由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1.因此f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x41－x2，因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，所以g (x )在区间(0，1)上单调递增．所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0，1)，即当x ∈(0，1)时，f (x )＞2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33对x ∈(0，1)恒成立． 当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－（k －2）1－x2， 所以当0＜x ＜4k －2k时，h ′(x )＜0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减．当0＜x ＜4k －2k 时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 33并非对x ∈(0，1)恒成立．综上可知，k 的最大值为2.22．(12分)(2015·宜昌模拟)已知函数f (x )＝x ＋1ex(e 为自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解：(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)假设存在x 1，x 2∈[0，1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max (x ∈[0，1])．∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋（1－t ）x ＋1ex， ∴φ′(x )＝－x 2＋（1＋t ）x －tex＝－（x －t ）（x －1）ex. ①当t ≥1时，在[0，1]上φ′(x )≤0，φ(x )在[0，1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e2>1.②当t ≤0时，在[0，1]上φ′(x )≥0，φ(x )在[0，1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0.③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减；若x ∈(t ，1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t ，1]上单调递增，所以2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，3－t e ，(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1et 在[0，1]上单调递减，故4e ≤2·t ＋1e t ≤2，而2e ≤3－t e ≤3e，所以不等式(*)无解． 综上所述，t 的取值范围是(－∞，3－2e )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3－e 2，＋∞.第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ))1.基本初等函数Ⅱ(三角函数) (1)任意角、弧度制①了解任意角的概念和弧度制的概念． ②能进行弧度与角度的互化． (2)三角函数①理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．②能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．③理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性． ④理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .⑤了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．2．三角恒等变换(1)两角和与差的三角函数公式①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．②会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．③会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．(2)简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．3．解三角形(1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． (2)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．。
2020届高三一轮复习理科数学课件 定积分概念及简单应用
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(×) 解析 定积分的值可正， 可负， 也可为 0， 而曲边梯形的面积只能为正．
(3)若∫b a f(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形 一定在 x 轴下方能是一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方，只是下方与 x 轴围成的面积比上方与 x 轴围成的面积大．
(1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 上 任 取 一 点 ξi(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) ， 作 和 式 b－a f(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这 n
b ∫ f( x)dx x 个常数叫做函数 f(x)在区间[a， b]上的定积分， 记作 (a x )d
解析
3 3 3 7 13 2 2 2 S＝∫1(3t＋2)dt＝ 2t ＋2t1＝ ×4＋4－ ＋2 ＝ 10 － ＝ (m)． 2 2 2 2
曲边梯形 的面积 曲边梯形
f(x)＜0 f(x)在[a， b]上有正 有负
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的 曲边梯形的面积的 相反数 相反数 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积 减去 减去 下方的曲边梯形的面积 位于 x 轴
2．定积分的性质 (1)∫b a kf(x)dx＝
(4)微积分基本定理中 F(x)是唯一的．(×)
解析 原函数 F(x)不是唯一的， 如函数 f(x)＝2x 的原函数 F(x)＝x2＋C， 其中 C 可以是任意实数．
x 2．∫1 C 0(e ＋2x)dx 等于(C)
高三数学一轮复习 2.13 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用课件 理 新课标
【例3】在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t(单位： s)所走过的路程 s＝4t2(单位：m)，若介质阻力F与物体的运动 速度v成正比，且当v＝10 m/s时，F＝5 N，求物体在位移区间 ［1,4］内克服介质阻力所做的功. 【解题指南】由题意可以先求出阻力F，再利用变力做功公式， 求物体克服阻力所做的功.
0
44
，9 x2
(3)因为x=1>0，所以f(1)=lg1=0，又因为
f(x)=x+0a 3t2dt x，所a3以f(0)=a3，所以a3=1,a=1.
答案：1
【反思·感悟】1.求定积分时,如果被积函数比较复杂,可把被 积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数 的积或和或差的形式,再求解. 2.求定积分值时，应首先选用微积分基本定理,当满足F′(x)= f(x)的F(x)不易求时,可考虑应用定积分的几何意义求解.
x
的阴影部分，
联立
y
2
x得在第一象限的交点为(2，1),
y x 1
故所求面积为
4
2
(x
1
2 x
)dx
=(1 x2 x 2lnx) 4 4 2ln2.
2
2
2.(2012·揭阳模拟)若
a
0
x 2dx
9，则a=_______；
2
4 x2 dx________.
2
【解析】∵ a x2dx 1 x3 a 1 a3 9,a 3,
利用定积分求平面图形的面积 【方法点睛】 求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形； (2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下 限； (3)确定被积函数； (4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.
高考数学一轮复习定积分及其应用举例-教学课件
2 0
＝－a＋1＝2，
a＝－1.
4．若
a
( 1
2x＋1)dx＝2，则
a＝__1___.
5．汽车以v＝3t＋2 (单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间的1 s内经过的路程是__6_._5__ m.
考点1 定积分的计算
例 1：①(2011 年福建)
1(ex ＋2x)dx 等于( 0
C
(7)
b axdx＝
a
lanxaab(a>0 且 a≠1)．
1．(2010 年广东深圳第一次调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直
线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( D )
π
A．
2 0
(
sinx－cosx)dx
π
C．
2 0
(
cosx－sinx)dx
π
B．
2
4 0
(
sinx－cosx)dx
解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可 以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之 前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式．
解析：由题意，v0＝54(千米/时)＝15(米/秒)， ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令 v(t)＝0 得 15－3t＝0，t＝5， 即 5 秒时，汽车停车． ∴汽车由刹车到停车所行驶的路程为
0
9－x2，直线 x＝0，x＝3 围成的封闭图形的面积，
故3 0
9－x2dx＝π·432＝94π，选 C.
5
③ 21|1－x|dx＝_2___.
解析： 2 |1－x|dx＝ 1 (1－x)dx＋ 2 (x－1)dx
1
1
1
＝x －12x21－1＋ 12x2 －x12
新课标高中数学第一轮总复习课件(理数)第19讲定积分及简单应用
(ⅱ)计算F(b)-F(a).
(3)利用定积分的几何意义求定积分.
4.定积分的简单应用
(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形 的面积.
(2)定积分在物理中的应用：
求变速直线运动的路程:s=⑧
bv(t)dt
a
(v(t)
为速度函数).
b
求变力所做的功:W=⑨
F(x)dx
a
.
典例精讲
题型一 定积分的概念及几何意义
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续， 用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间 ［a,b］等分成n个小区间，在每个小区间 ［xi-1,xi］上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式
f无(ξ限ii)nΔ1 接x=近①某个常数i，n1 b这n.a当个f (n常i→) 数∞叫时做，函上数述f和(x)
6
6
f(x)dx等于(
D)
A.0 B.4 C.8 D.16
原式=
0
6
f(x)dx+06
f(x)dx，
因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的
图象对称，所以对应的面积相等，
则 6 6
f(x)d计算
例2 计算下列定积分:
(1)
0
(2sinx-3ex+2)dx;
新课标高中一轮总复习
理数
• 第三单元 • 导数及其应用
第19讲
定积分及简单应用
1. 了 解 定 积 分 的 实 际 背 景 ， 了 解定积分的基本思想，了解定积分 的概念.
2.了解微积分基本定理的含义.
1.下列积分的值为1的是( C )
A.
1
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3. |x|dx1等于 1
()
C
A. x1dx
B. (-1x)dx
C. (1-x)dx+ xdx
D. xdx+ (-x)dx 1
0
1
1
0
0
1
பைடு நூலகம்
1
0
因为|x|= x (x≥0) -x (x<0),
所以 |x|dx= (-x)dx+ xdx.
1
0
1
1
1
0
4.一物体在力F(x)=4x-1(单位：N)的作用下，沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力 F所做的功为( )
(ⅲ)求和
f(ξi);
(ⅳ)取极限: f(x)dx=
f(ξi).
n b a
i1 n
b
a
n b a
lim n n i 1
(2)利用微积分基本定理求定积分 f(x)dx. (ⅰ)求f(x)的一个原函数F(x); (ⅱ)计算F(b)-F(a).
b
a
(3)利用定积分的几何意义求定积分.
4.定积分的简单应用
1 x2 1 4
0
（1）因为 （如图），
所以
dx= .
1 x dx表示曲线y=
1 与直线x=－１，2 x=1及x轴所围成的面积 1
1 x2
1
1 x2 1
2
(2) (4-x-|x-2|)dx= 4 (4-x)dx- |x-2|dx表示△OBD的面积4 与△OAE及△ABC和4 的差(如图),
等 分 成 n 个 小 区 间 ， 在 每 个 小 区 间 ［ xi-1,xi ］ 上 任 取 一 点 ξi(i=1,2,…,n), 作 和 式
f(ξi)Δx=
①
.当n→∞时，上述和无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间［a,b］上的
定积分，
n
i 1
n
i 1
ba n
f (i )
n
lim b n a ( ) 记区作间：，f(x函)d数x,f即(x)叫fb(做x)d被x=积②函数，x叫做积.a分与b 变b分量别，叫f(x做)d积x叫分做下积限式与.积分n上限，i区1 间［a,b］叫i做积分
(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积.
(2)定积分在物理中的应用： 求变速直线运动的路程:s=⑧ 求变力所做的功:W=⑨
(v(t)为速度函数). .
b v(t)dt a
b F(x)dx a
典例精讲
题型一 定积分的概念及几何意义
例求1下列定积分：
（1）
dx；
（2） (4-x-|x-21 |)dx.
=2 sinxdx-3 exdx+2 dx 0
=2(-cosx) -3ex +2x
=-2(cosπ-cos0)-3(eπ-e0)+2(π-0)=7-3eπ+2π.
(1)定积分 f(xa )dx是一个常数；
a
b
a
(2)定积分的几何意义： (ⅰ)当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时,定积分 f(x)dx的几何意义是由曲线③ 所围成的曲边梯形的面积(如图中阴影部分).
和直线④
y=f(x)
b
a
x=a, x=b(a≠b), y=0
(ⅱ)一般情况下定积分 f(x)dx的几何意义是介于x轴，函数b y=f(x)的图象以及直线
s= (30-1.5t-4 )dt=(30t- t2- )
t
1 0 0 =30× - ×( )2- ×
=
(m).
100
9
9 0 100 3
94
11500
t
100 9
8 3
3 4
8
3
t2
3
100 9 0
(
1
0
0
)
3 2
9
81
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续，用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间［a,b］
2a .微积分基本定理
a
如b 果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且⑦b
是a f(x)的一个原函数.
a
b
a
c
a
b
c
,则
b
f(x)dx=F(x) =
F(b)-F(a)，其中F(x)
a
F′(x)=f(x)
b
a
bb
a a
3.求定积分的方法
(1)定义法：
(ⅰ)分割：n等分区间［a,b］；
(ⅱ)近似代替：取点ξi∈［xi-1,xi］，用f(ξi)近似地代替f(x)在［xi-1,xi］上的函数值;
新课标高中一轮总复习理数第讲 定积分及简单应用
第三单元 导数及其应用
第19讲 定积分及简单应用
1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义.
1.下列积分的值为1的是( )
C
A.
1 B.
C.
x dD. x
0
1
0 xd x
1
0 ( x 1)dx 11dx
6
因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图象对称，所以对应的面积相等，
6
0
则 f(x)dx=2 f(x)dx=16.
6
6
6
6
题型二 定积分的计算
例2计算下列定积分:
(1) (2sinx-3ex+2)dx;
(2) (sinx-sin2x)dx；
(3) 0
dx.
3 0
2 0
1 sin 2x
(1) (2sinx-3ex+2)dx
0
0
0
故 (4-x-|x-2|)dx= ×4×4-2× ×2×2=4.
4
1
1
0
2
2
点评 解定积分的概念，利用定积分的几何意义求定积分是常用技巧之一.
变式 (2010·广东潮州调研)已知f(x)为偶函数且 f(x)dx=8，则 f(x)dx等于( )
4
0
6
6
D
A.0 B.4 C.8 D.16
原式= f(x)dx+ f(x)dx，0
⑤
,⑥
之间的曲边梯形面积的代数和(如图)，其中在x轴上方的面积取正号,在x
轴下方的面积取负号.
a
x=a
x=b
(3)定积分的性质.
kf(x)dx=k f(x)dx(k为常数)；
［f(bx)±g(x)］dx=
f(x)dx±
g(x)dx;
b
f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx(其中a<c<b).
D
A.8 J C.12 J
B.10 J D.14 J
由变力做功公式有
W= (4x-1)dx=(2x2-x) =14 J.
3
3
1
1
5.做匀变速直线运动的物体，初速度为30 m/s,t s后的速度v=30-1.5t-4 ，则该物体停止运动时，运动
的路程是
m.
t
11500
81
设物体经过t s后停止.由30-1.5t-4 =0,得t= ,所以运动路程为
02
x d x 1 =x =1. 0
1 0
3 2.曲线y=cosx(0≤x≤ )与坐标轴所围成图形的面积是( )
B
2
A.2 B.3 C.
D.4
5
2
3 由曲线y=cosx(0≤x≤ )的图象及面积意义知，所求面积为
S= |cosx|dx=3 cosxdx= 3sinx =3.
2
3
2 0
2 0
2 0