剪力图和弯矩图

A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
FB
FS1 = −4KN
(−),
M1 = −8KN.m (−)
FS 2 = −4kN(−), M2 = 4kN.m
在集中力偶两侧的相邻横截面上, 剪力相同而弯矩发生突变, 在集中力偶两侧的相邻横截面上 剪力相同而弯矩发生突变 且突变值等于外集中力偶之矩. 且突变值等于外集中力偶之矩
A
a
m
P
B
m x
∑y = 0
可得
F A − FS = 0
FA
y
m
FS = FA
FS 称为 剪力
A
x
FS
C m
x
a
由平衡方程
P
m
∑mC = 0
M − FAx = 0
可得 M = FAx
A
m x
B
内力偶 M 称为 弯矩
y
FA
m C
FS
x
A
x
m
M
a
P
结论 梁在弯曲变形时， 梁在弯曲变形时， 横截面上的内力有 两个， 两个，即， 剪力 FS
∑F y = 0, −F A − FS1 = 0 ∑MC = 0, F A× 2 + M1 = 0
FS1 = −4KN (−), M1 = −8KN.m (−)
2KN 12KN.m
1 1 2 2 3 3
A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
12KN.m
2
FB M2
FA
2
FS1 = −4KN (−), M1 = −8KN.m (−)
梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（ 梁的变形计算问题，早在13世纪纳莫尔（Nemore J 13世纪纳莫尔 de）已经提出，此后雅科布·伯努利 丹尼尔·伯努利 伯努利、 de）已经提出，此后雅科布 伯努利、丹尼尔 伯努利 Bernoulli）、欧拉（ ）、欧拉 L） （Daniel Bernoulli）、欧拉（Euler L）等人都曾经研 究过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正 究过这一问题。1826年纳维在他材料力学讲义中得出了正 确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式， 确的挠曲线微分方程式及梁的弯曲强度的正确公式，为梁 的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。 的变形与强度计算问题奠定了正确的理论基础。
FA
A
m
B
m x
y
m C
弯矩 M
FS
x
A
x
m
M
y
取右段梁为研究对象。 取右段梁为研究对象。
FA
m C
FS
x
其上剪力的指向和弯矩 的转向则与取右段梁为 研究对象所示相反。 研究对象所示相反。
A
x
m
M
P
m
FB
M
FS m
B
2、FS 和 M 的正负号的规定 、 （1）剪力 FS 的符号 ） 的错动为 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左上右下 ” 的错动为 正。 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为 有顺时针转动趋势的剪力为正 或使 考虑的脱离体有顺时针转动趋势的剪力为正。
俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ЖуравскийДИ） 俄罗斯铁路工程师儒拉夫斯基（ЖуравскийДИ） 1855年得到横力弯曲时的切应力公式 30年后 年得到横力弯曲时的切应力公式。 年后， 于1855年得到横力弯曲时的切应力公式。30年后，他的同胞别 斯帕罗夫（ВеспаловД）开始使用弯矩图， 斯帕罗夫（ВеспаловД）开始使用弯矩图，被认为是 历史上第一个使用弯矩图的人。 弯矩图的人 历史上第一个使用弯矩图的人。
2KN 12KN.m
1 1 2 2 3 3
A
B
4 4
2m
2m
2m
FA
12KN.m
3
FB M3
FA
3
FS3
横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正 剪力和弯矩为正）。 求 3-3 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。
∑F = 0 ∑M = 0
y C
− FA − FS3 = 0 FA × 4 + M3 −12 = 0
内 容 提 要
剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
§9— 1
剪力和弯矩 • 剪力图和弯矩图
在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。 在外力作用下主要发生弯曲变形的杆件称为梁。 一、梁的剪力（ FS ）和弯矩 （ M ） 的定义与计算 梁的剪力（ 1、用截面法求横截面上的内力 、
a
m
P
A
m x
B
用截面法假想地在 横截面mm处把梁分 处把梁分 横截面 为两段，先分析梁左段。 为两段，先分析梁左段。 由平衡方程得
◆ 横截面上的
弯矩 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右侧 梁
外力（包括外力偶） 段上的 外力（包括外力偶）对该截面形心的力矩之代数和 。外 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。 力矩的正负号规定与弯矩的正负号规定相同。 弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（ 弯矩符号：当横截面上的弯矩使考虑的脱离体凹向上弯曲（下 半部受拉，上半部受压） 半部受拉，上半部受压）时，横截面上的弯矩为正；反之凹向 横截面上的弯矩为正； 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。 下弯曲（上半部受拉，下半部受压）为负。 不论在截面的 左侧 或 右侧 向上的外力均将引起 的弯矩， 的弯矩。 正值 的弯矩，而向下 的外力则引起 负值 的弯矩。
+
FS FS
dx
左下右上” 的错动为 剪力 FS 使 梁的微段发生 “ 左下右上” 的错动为负。 或使 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负。 考虑的脱离体有逆时针转动趋势的剪力为负 有逆时针转动趋势的剪力为
FS FS
dx
（2）弯矩符号 ） 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉， 横截面上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉，上边受压时为 正 。 上的弯矩使考虑的脱离体下边受拉
（受压） 受压）
+
M
M
（受拉） 受拉）
横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉， 横截面上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉，下边受压时为 负。 上的弯矩使考虑的脱离体上边受拉
（受拉） 受拉）
-
（受压） 受压）
例题： 横截面上的剪力和弯矩。 例题：求外伸梁 1-1，2-2，3-3，4-4 横截面上的剪力和弯矩。 ， ， ，
平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。 平截面假设是材料力学计算理论的重要基础之一。雅科 是材料力学计算理论的重要基础之一 布·伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设，由此可以证明 伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设， 伯努利于1695年提出了梁弯曲的平截面假设 中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲 梁（中性层）的曲率和弯矩成正比。此外他还得到了梁的挠曲 线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式， 线微分方程。但由于没有采用曲率的简化式，且当时尚无弹性 模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。 模量的定量结果，致使该理论并没有得到广泛的应用。
第9章 弯
曲
§9-1 剪力和弯矩 •剪力图和弯矩图 剪力图和弯矩图 §9-2 剪力图和弯矩图的进一步研究 §9-3 弯曲正应力 §9-4 求惯性矩的平行移轴公式 §9-5 弯曲切应力 §9-6 梁的强度条件 §9-7 挠度和转角 §9-8 弯曲应变能 §9-9 斜弯曲 §9-10 超静定梁
材料力学发展大事记 —梁的弯曲问题 梁的弯曲问题 在《关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证 一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问 明》一书中，伽利略讨论的第二个问题是梁的弯曲强度问 按今天的科学结论， 题。按今天的科学结论，当时作者所得的弯曲正应力公式 并不完全正确， 并不完全正确，但该公式已反映了矩形截面梁的承载能力 分别为截面的宽度和高度）成正比， 和bh2（b、h分别为截面的宽度和高度）成正比，圆截面梁 承载能力和d 为横截面直径）成正比的正确结论。 承载能力和d3（d为横截面直径）成正比的正确结论。对于 空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“能大 空心梁承载能力的叙述则更为精彩，他说，空心梁“ 大提高强度而无需增加重量， 大提高强度而无需增加重量，所以在技术上得到广泛的应 在自然界就更为普遍了。 用。在自然界就更为普遍了。这样的例子在鸟类的骨骼和 各种芦苇中可以看到，它们既轻巧， 各种芦苇中可以看到，它们既轻巧，而又对弯曲和断裂具 有相当高的抵抗能力” 有相当高的抵抗能力”。
熟练掌握 简便法
利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 利用上述结论来计算某一截面上的内力是非常简便的， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程， 此时不需画脱离体的受力图和列平衡方程，只要梁上的 外力已知， 外力已知，任一截面上的内力均可根据梁上的外力逐项 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法。 写出。因此，这种求解内力的方法称为简便法 简便法。
2KN 12KN.m
1 2 2 3 3
A
1
B
4 4
2m
2m
2m
FA
FB
解：求支座反力，取整体为研究对象 求支座反力，
F A = 4KN (↓), FB = 6KN (↑)
2KN 12KN.m
1 2 2 3 3
A
1
B
4 4
2m
2m
2m
FA
1
FB M1
FA
1
FS1
横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正 剪力和弯矩为正）。 求 1-1 横截面上的内力（假设剪力和弯矩为正）。
求剪力和弯矩的简便方法
◆ 横截面上的 剪力 在数值上等于此横截面的 左侧 或 右 侧 梁段上所有竖向 外力（包括斜向外力的竖向分力）的 外力（包括斜向外力的竖向分力） 外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。 代数和 。外力正负号的规定与剪力正负号的规定相同。