上海市杨浦区2015届高三第三次模拟考试数学理试卷 Word版无答案

2015年杨浦区第三次模拟考试（理科试卷）
满分150分，时间120分钟2015.05.14
一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.
已知集合{A x y ==
，集合{B y y ==
B = 2.在复平面中，复数
()
2
13i i
++（i 象限3.若函数()2x f x x =+的反函数是()1y f x -=，则113f -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
4.下面是一个算法的程序框图，当输入值x 为8
5.若函数x y a =在[]1,0-上的最大值与最小值的和为3，则
6.在极坐标系中，O 是极点，设点54,,5,36A B ππ⎛⎫⎛
⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
的面积是 . 7.过点(的直线将圆()2
224x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
k = .
8.将曲线()cos ,R sin x y θθθ
=⎧∈⎨
=⎩上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的1
2倍后，得到曲线的焦点坐标为 .
9.在数列{}n a 中，()2*
1254,N 2
n n a n a a a an bn n =-++⋅⋅⋅+=+∈，其中,a b 为常数，则l i m n n n n n a b a b →∞-+的值
是 .
10.在上定义运算()"":1x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 11.若存在正数x 使
221x
x
m
x
<成立，则实数m 的取值范围是 . 12.关于平面向量,,a b c ，有下列三个命题：
①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；② 若()()1,,2,6,//a k b a b ==-，则 3k =-； ③非零向量a 和b 满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为
3
π. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）
13.在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P Q M N 、、、分别是线段OA OB OC OD 、、、的中点，
在A P M C 、、、中任取一点记为E ，在B Q N D 、、、中任取一点，记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+的
点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为________. 14.已知二次函数()22f x ax x a =++，对于满足12x x <且121x x a +=-的任意实数1x 与2x ，总有()()12f x f x <成立，则实数a 的取值范围为________.
二、选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.
15.等差数列{}n a 中，若34a =-，424a a =+，则1a =（ ）
A. 12-
B. 8-
C. 0
D. 4
16.设2
:200p x x -->，2
1:2
x q x --，则p 是q 的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
17.已知,M N 两个不同的平面与,,a b c 三条不同的直线，给出下列四个命题①若c N ⊥，c M ⊥，则//M N ；②若//c M ，//c N ，则 //M N ；③若a N ⊥，b N ⊥，则 //a b ；④若M N ⊥ ，b N ⊥，则//b M .那么上述命题正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④
C. ③④
D. ②④
18.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于()
22C ”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
三、解答题（本大题74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19. （本题满分12分）
求函数2cos 2cos 244y x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的值域和最小正周期.
D N M Q P
20. （本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2，侧棱与底面所成角大小为60. （1）求此正三棱锥的体积；
（2）求异面直线PA 与BC 的距离.
21. （本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知二次函数()223f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为()1,n -. （1）解关于x 的不等式：()22411x x n m x -+>+-；
（2）是否存在实数()0,1a ∈，使得关于x 的函数()
[]()141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为4-？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.
22. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 在复平面上，点(),P x y 所对应的复数p x yi =+（i 为虚数单位），(),z a bi a b R =+∈是某给定复数，复数
q p z =⋅所对应的点为()'',Q x y ，我们称点P 经过变化成为了点Q ，记作()Q z P =.
（1）给出12z i =+，且()()8,1z P Q =，求点P 的坐标；
（2）给出34z i =+，若点P 在椭圆22194
x y +=上，()Q z P =，求OQ 的取值范围；
（3）已知点P 在双曲线221x y -=上运动，试问是否存在z ，使得()Q z P =在双曲线1
y x
=
上运动？若存在，求出z ；若不存在，说明理由.
23. （本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知以a 为首项的数列{}n a 满足：13,
3
2,
3
n
n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩. （1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；
（2）若*,a k N ∈，求使n k n a a +=对任意正整数n 都成立的k 与a ； （3）若*a N ∈，且201a =，试求所有可能的a 的值的和.
A
P B
C。