高考数学(理)(全国通用)大一轮复习高考试题汇编 第十二章 计数原理 word版含解析
(完整版)计数原理_2012~2018高考真题
所以①和②的情况一样多 .③和④的情况随机，③和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球
数没有任何影响， ①和②出现的次数是一样的， 的影响次数一样 .综上选 B.]
所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数
-4-
5.(2015 四·川， 6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有 ( )
)
1
A.
12
1
B.
14
1
C.
15
1
D.
18
[ 答案与解析 ]. 符合题意的素数有
: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 共 10 个 , 故不同的取法有
2
C 10
=45
种
31
其中和为 30 的组合有 : {7, 23}, {11, 19}, {13, 17} 三种 , 故 P= = , 选 C.
2.(2015 新·课标全国Ⅰ， 10)(x2＋ x＋ y)5 的展开式中， x5y2的系数为 ( )
A.10 B.20 C.30 D.60 [ 答案与解析 ].C [Tk＋1＝ Ck5 (x2＋ x)5－ kyk，∴ k＝ 2.∴ C25( x2＋ x)3y2 的第 r＋1 项为 C25Cr3x2(3－r) xry2， ∴2(3－ r )＋ r ＝ 5，解得 r＝ 1，∴ x5y2 的系数为 C25C13＝ 30.]
C13
·A
4 4
＝72.选 D.]
4.(2016 北·京， 8) 袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半
.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋
中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就
高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理(含答案)
内蒙古大学附中2018版《创新设》高考数学一轮复习单元能力提升训练：计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为( )A ． 472B ． 252C ． 232D ． 484【答案】A2．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务．．．．．．．的方法种数为( ) A ．48 B ．30 C ．36 D ．32【答案】D3．现有男、女学生共7人，从男生中选1人，从女生中选2人分别参加数学、物理、化A ．男生4人，女生3人B ．男生3人，女生4人C ．男生2人，女生5人D ．男生5人，女生2人. 【答案】B4．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．40【答案】D5．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有( )A. 24种B. 30种C. 20种D. 36种【答案】A6．在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是( )A ．−14B ．14C ．−28D ．28【答案】B7．有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一的书2本,则不同的选法有( )种A ．21B ．315C ． 143D ．153【答案】C8．9名乒乓球运动员，男5名，女4名，现要从中选出2名男队员、2名女队员进行混合双打比赛，不同的配对方法共有( )A ．60种B ．84种C ．120种D ．240种【答案】C9．某种实验中，先后要实施个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种【答案】C10．将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A ．12种 B.18种 C.24种 D.36种【答案】A11．将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法共有( )A ．15种B ．18种C ．19种D ．21种【答案】B12．某单位拟安排6位员工在今年6月4日至6日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天，若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有( )A ．30种B ．36种C ．42种D ．48种【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在5(23)x -的展开式中，各项系数的和为 ． [:数理化]【答案】1-14．设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．【答案】26[:15．在65)1()1(x x -+-的展开式中，含3x 的项的系数是【答案】-30[:16．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．【答案】108 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数： (1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】 (1)先排个位，再排首位，共有A 13·A 14·A 24=144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 35个，以2或4结尾的四位偶数有A 12·A 14·A 24个，则共有A 35+A 12·A 14·A 24=156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 35个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 24个，3作千位，1作百位时有2A 13个，所以共有2A 35+3A 24+2A 13=162（个）.18．有9名学生，其中2名会下象棋但不会下围棋，3名会下围棋但不会下象棋，4名既会下围棋又会下象棋；现在要从这9名学生中选出2名学生，一名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，共有多少种不同的选派方法？【答案】设2名会下象棋但不会下围棋的同学组成集合A ，3名会下围棋但不会下象棋的同学组成集合B ，4名既会下围棋又会下象棋的同学组成集合C ，则选派2名参赛同学的方法可以分为以下4类：第一类：A 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为61312=⋅C C 种；第二类：C 中选1人参加象棋比赛，B 中选1人参加围棋比赛，方法数为121314=⋅C C 种；第三类：C 中选1人参加围棋比赛，A 中选1人参加象棋比赛，方法数为81214=⋅C C 种；第四类：C 中选2人分别参加两项比赛，方法数为1224=A 种；由分类加法计数原理，选派方法数共有：6+12+8+12=38种。
高考数学一轮复习单元练习--计数原理
高考数学一轮复习单元练习--计数原理I 卷一、选择题1．若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( )A ．1或3B ．－3C ．1D ．1或－3 【答案】D2．由1，2，3，4，5，组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）A ．36B ． 32C ．28D ．24【答案】A3． 为虚数单位的二项展开式中第七项为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】C4．某建筑工地搭建的脚手架局部类似于的长方体,一建筑工人从沿脚手架到,则行走的最近线路有( )A ．种B ． 种C ． 种D ．种【答案】B 5．⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．－40B ．－20C ．20D ．40【答案】D6．某班准备从含甲、乙的名男生中选取人参加接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加,则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C7．在二项式(x 2－1x)5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5 【答案】B8． 4名师范生分到两所学校实习，若甲、乙不在同一所学校，则不同的分法共有（ ）A ．8种B ．10种C ．12种D ．16种【答案】A9．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为( )10(1)i -(i )120 i -210210-120 i 222⨯⨯A B 8090120180744100⨯720520600360BAA ．18B ．24C ．30D ．36 【答案】C10．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2n x 2n，则a 2＋a 4＋…＋a 2n 的值为( )A ．3n ＋12B ．3n －12C ．3n －2D ．3n【答案】B11．设a ＝⎠⎛0πsin x d x ，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －1x 6展开式的常数项是( )A ．160B ．20C ．－20D ．－160【答案】D12． (4x －2－x )6(x ∈R)展开式中的常数项是( )A ．－20B ．－15C ．15D ．20 【答案】CII卷二、填空题13．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．【答案】63014．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．【答案】－215．三条直线两两异面，则称为一组“T型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“T型线”的组数为________．【答案】2416．甲、乙等五名志愿者被分配到上海世博会中国馆、英国馆、澳大利亚馆、俄罗斯馆四个不同的岗位服务，每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有________种．(用数字作答)【答案】72三、解答题17．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？(1)男、女同学各2名；(2)男、女同学分别至少有1名；(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出． 【答案】(1) C 24＝60；(2)男、女同学分别至少有1名，共有3种情况：C 15C 34＋C 25C 24＋C 35C 14＝120；(3)120－(C 24＋C 14C 13＋C 23)＝99. 18．从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）(1）甲、乙两人必须跑中间两棒；(2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； (3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.【答案】（1）(2） (3） 19．用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.【答案】(1)先排个位，再排首位，共有A ·A ·A =144（个）.(2)以0结尾的四位偶数有A 个，以2或4结尾的四位偶数有A ·A ·A 个，则共有A + A ·A ·A =156（个）.(3)要比3 125大，4、5作千位时有2A 个，3作千位，2、4、5作百位时有3A 个，3作千位，1作百位时有2A 个，所以共有2A +3A +2A =162（个）.20．如果⎝⎛⎭⎫3x 2－2x 3n的展开式中含有非零常数项，求正整数n 的最小值．【答案】∵T r ＋1＝C rn (3x 2)n －r·⎝⎛⎭⎫－2x 3r＝(－1)r ·C r n ·3n －r·2r ·x2n －5r，∴若T r ＋1为常数项，必有2n －5r ＝0.∴n ＝5r 2，∵n 、r ∈N *，∴n 的最小值为5.21．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56． (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．【答案】根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r n 2r＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，25C 222660A A =113226480C C A =223263180A C A =1314243512142435121424352413352413即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7.(1)令x ＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72rx r2，r ≤7且r ∈N.于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3. 22．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图所示的图案中的1,2,3,4,5,6,7所处的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，求不同的摆放方法．【答案】用间接法.7盆花在7个位置的全排列为A 77；3盆兰花在同一条直线上的排列方法有以下几类：在1,2,3，或1,4,7，或3,4,5，或5,6,7，或2,4,6，每一类的排列方法数都是A 33，4盆玫瑰花的排列方法有A 44种．故所求排列方法数共有A 77－5A 33A 44＝4320.。
2018高考数学(理)(全国通用)大一轮复习2017高考试题汇编 第十二章 计数原理(含解析)
第十二章 计数原理第一节 两个基本计数原理题型135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）1.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法．解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有 ()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．第二节 排列与组合题型136 与排列相关的常见问题 题型137 与组合相关的常见问题题型138 排列与与组合综合的常见问题——暂无2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.2.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.第三节 二项式定理题型139 二项式定理展开式的通项及系数4．（2017浙江13）已知多项式()()32543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =___________，5a =________.4.解析 32322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ++=+++++，所以412416a =+=，54a =．5.（2107山东理11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = .5. 解析 ()1C 3C 3rr r r r r n n T x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．6.（2017全国3卷理科4）()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（ ）.A ．80-B ．40-C ．40D ．806．解析 由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()23322355C 2C 2x x y y x y ⋅-+⋅-=3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C. 7.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ）. A.15 B.20 C.30 D.357. 解析 ()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为2665C 152⨯==，对()6211x x ⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为151530+=.故选C.。
(黄冈名师)2020版高考数学大一轮复习12.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件理新人教A版
【解析】选B.可分两种情况讨论,一个是取M中的点作 横坐标,取N中的点作纵坐标,有6个不同点;另一个情况 是取N中的点作横坐标,取M中的点作纵坐标,有4个不同 点;共有6+4=10个不同点.
2.(选修2-3P12T2改编)如图,从A城到B城有3条路;从B 城到D城有4条路;从A城到C城有4条路,从C城到D城有5 条路,则某旅客从A城到D城共有______条不同的路线.
【解析】(1)选A.33 000的因数有若干个2(共有23, 22,21,20四种情况),若干个3(共有3,30两种情况),若干 个5(共有53,52,51,50四种情况),若干个11(共有111,110 两种情况),由分步乘法计数原理可得33 000的因数共 有4×2×4×2=64(个),不含2的共有2×4×2=16,所以 正偶数因数的个数有64-16=48个.
第十二章 计数原理、概率、随机变量 及其分布
第一节 分类加法计数原理与分步乘法计 数原理(全国卷5年4考)
【知识梳理】
两个计数原理
分类 加法 计数 原理
完成一件事的策略
有两类不同方案,在第1类方案 中有m种不同的方法,在第2类 方案中有n种不同的方法
完成这件事共有 的方法
N=_m_+_n_种不同 的方法
实数解的有序数对(a,b)的个数为 ( )
A.14
B.13
C.12
D.10
【解析】选B.当a=0时,方程变为2x+b=0,b任取方程均 有解,故有4种有序数对. 当a≠0时,方程ax2+2x+b=0有实数解⇔Δ=22-4ab= 4(1-ab)≥0,即ab≤1,此时a=-1,1,2,可能的实数对有 (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(1,-1),(1,0),(1,1),
新考法高考数学(人教A版山东专用)一轮复习专题12计数原理(课件78)
＝42.
【答案】A
10
考点一 两个计数原理
例3 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小 球，共有多少种放法？
【解】方法一(以小球为研究对象)：分三步来完成． 第一步：放第一个小球有5种选择；第二步：放第二个小球有4种选择； 第三步：放第三个小球有3种选择． 根据分步乘法计数原理得，共有放法种数N＝5×4×3＝60.
15
考点一 两个计数原理 考法2 分步乘法计数原理的应用
例2 [课标全国Ⅱ202X·5]如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红 会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年 公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9
16
考点一 两个计数原理
【解析】除已知标记的E，F，G三点外，另记A，B，A1，B1，E1，A2， B2，G1，A3，B3，F1，如图所示． 若总体路线最短，则需E到F最短，并且F到G也最短．E到F最短，可由 E→B→F或E→E1→F.显然，由E→B→F最短有3条(E→B→A→A1→F或 E→B→B1→A1→F或E→B→B1→A2→F)．由E→E1→F最短有3条 (E→E1→B1→A1→F或E→E1→B1→A2→F或E→E1→B2→A2→F)，由分 类加法计数原理可知，E→F共有6条最短路径．而F→G有F→G1→A3→G， F→B3→A3→G，F→B3→F1→G共3条最短路径．由分步乘法计数原理可知， 共有6×3＝18条最短路径．故选B. 【答案】B
考点一 两个计数原理
例2 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2 个新节目．将这2个新节目插入原节目单中，则不同插法的种数为
A．42
B．30
C．20
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 J单元 计数原理 Word版含答案
J 单元 计数原理J1 基本计数原理14．J1、J2 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 33＝60.J2 排列、组合14．J1、J2 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 33＝60. 15．J2 已知F 为双曲线C ：x 29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．15．44 由题意可知，a ＝3，b ＝4，|PQ|＝4b ＝16，三角形PQF 的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF|－|PA|＋|QF|－|QA|＋2|PQ|＝4a ＋8b ＝44.10．J2 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB⊥AC，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310 10．C 由题意可将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1还原为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132，故选C.8．J2 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S ＝( )图1－2A.49B.67C.89D.10118．A 由程序框图可以得到 S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＝121－13＋13－15＋15－17＋17－19＝49，故选A. 3．J2 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.35，－45 B.45，－35 C ．－35，45 D ．－45，353．A 由A ，B 坐标可知，AB →＝(3，－4)，对应的单位向量为e ＝（3，－4）32＋（－4）2＝35，－45，故选A.J3 二项式定理5．J3 (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．2245．C 含x 6的项是展开式的第三项，其系数为C 28×22＝112.J4 单元综合23．J4 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，k 个…，即当（k －1）k 2<n≤k （k ＋1）2(k∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n∈N *)．对于l∈N *，定义集合P l ＝{n|S n 是a n 的整数倍，n∈N *，且1≤n≤l}．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝－3，－i(2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m(2m ＋1)＝－m(2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i(2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i(2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i ＋1)＋j(2i ＋1)是a i(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数，又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i＋1)不是2i ＋2的倍数．而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j(2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j(2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i(2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i(2i ＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j. 又2 000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。
【K12高考数学】2018高考数学理(13-17高考题)分类汇编：第12章 计数原理
第十二章计数原理第1节两个基本计数原理题型135分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1.(2013重庆理13）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、 脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）.2．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）A.9B.10C.18D.203.(2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A.14B.13C.12D.104.（2014福建理10）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，而“ab ”用表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）.A.()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++ C.()()()554325111c b b b b b a +++++++D.()()()543255111c c c c c b a +++++++5.（2014大纲理5）有6名男医生，5名女医生，从中选出2名男医生，1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）.A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.（2014浙江理14）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.7.（2015广东理8）若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（）. A ．至多等于3B ．至多等于4C ．等于5D ．大于57.解析正四面体的四个顶点两两距离相等，即空间中n 个不同的点两两距离都相等，则 正整数n 可以等于4，而且至多等于4．假设可以等于5，则不妨先取出其中4个点，为A ，B ，C ，D ，则ABCD 构成一个正四面体的四个顶点，设第5个点为点E ，则点E 和点A ，B ，C 也要构成一个正四面体，此时点E 要么跟点D 重合，要么点E和点D 关于平面ABC 对称，但此时DE 的长又不等于AB ，故矛盾．故选B ． 8.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（）. A.24 B.18 C.12 D.98.B 解析从→E F 的最短路径有6种走法，从→F →G 的最短路径有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法.故选B ．9．（2016上海理13）设,,a b ∈R ，[)0,2πc ∈，若对任意实数x 都有()π2sin 3sin 3x a bx c ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则满足条件的有序实数组(),,a b c 的组数为．9．解析①当2a =时，若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =； ②当2a =-时，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =．共4组．故填4．评注或者如此考虑，当,a b 确定时，c 也唯一确定，因此有224⨯=种组合．10.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答） 10.解析解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法．解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女3男有1326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有24A 种选法．所以共有()()1322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法．第2节排列与组合题型136与排列相关的常见问题1.（2013浙江理14）将F E D C B A ,,,,,六个字母排成一排，且B A ,均在C 的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）2.（2013山东理10）用0，1，L ，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）.A.243B.252C.261D.2793.（2014重庆理9）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（）.A.72B.120C.144D.1684.（2014四川理6）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）.A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种5.（2014辽宁理6）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（）.A ．144B ．120C ．72D ．246.（2014北京理13）把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.7.（2015四川理6）6.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字五位数，其中比40000大的偶数共有（）.A.144个B.120个C.96个D.72个7.解析由题意可知，万位上只能排4,5.若万位上排4，则有342A 个； 若万位上排5，则有343A 个.所以共有33442A 3A 524120+=⨯=（个）.故选B.8.（2016四川理4）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）.A.24B.48C.60D.728.D 解析由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5，其他位置共有44A ，所以其中奇数的个数为443A 72=.故选D.题型137与组合相关的常见问题1．（2013四川理8）从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（） A.9B.10C.18D.202.(2013福建理5）满足{}2,1,0,1,-∈b a ，且关于x 的方程022=++b x ax 有实数解的有序数对的个数为（） A.14B.13C.12D.103.（2015广东理12）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留 言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）3.解析两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数， 所以全班共写了240A 40391560=⨯=条毕业留言．故应填1560．4.（2016全国丙理12）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m …，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数 列”共有（）.A.18个B.16个C.14个D.12个4.C 解析依题意，由“规范01数列”，得第一项为0，第2m 项为1，当4m =时，只需确定中间的6个元素即可，且知中间的6个元素有3个“0”和3个“1”. 分类讨论：①若0后接00，如图所示.后面四个空位可以随意安排3个1和1个0，则有34C 种排法；②若0后接01如图所示.后面四个空位可以排的数字为2个“0”和2个“1”，只有一种情形不符合题意，即01后面紧接11，除此外其它的情形故满足要求，因此排法有24C 15-=种排法； ③若0后接10，如图所示.在10后若接0，则后面有13C 种排法，在10后若接1，即010101，第五个数字一定接0，另外两个位置0，1可以随意排，有22A 中排法，则满足题意的排法有312432C 5C A 14+++=种.故选C.题型138排列与与组合综合的常见问题——暂无1.（2016江苏23）（1）求34677C 4C -的值；（2）设*,m n ∈N ，n m…，求证：()()()121C 2C 3C m m mm m m m m m +++++++++L ()()212C 1C 1C m m m n n n n n m +-+++=+．1.解析（1）34677C 4C 7204350-=⨯-⨯=；（2）证法一（组合数性质）：因为()()()!1C 1!!mk k k k m k m +=+-()()()()()1!11!11!k m m k m +=++---⎡⎤⎣⎦()111C m k m ++=+， 所以左边()()()1111211C 1C 1C =m m m m m n m m m ++++++=++++⋅⋅⋅++ ()()111112311C C C C m m m m m m m n m +++++++++++++L ，又因为111C C C k k kn n n ---+=，所以左边()()211122311C C C C m m m m m m m n m ++++++++=+++++L ()()2113311C C C =m m m m m n m ++++++=++++L ()()21411C C m m m n m +++++++L=⋅⋅⋅()()21+111C C m m n n m +++=++()2+21C m n m +=+=右边．证法二（数学归纳法）：对任意的*m ∈N ，①当n m =时，左边()1C 1m m m m =+=+，右边()221C 1m m m m ++=+=+，等式成立. ②假设()n k k m =…时命题成立，即()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m +++++++++L ()()212C 1C 1C m m m k k k k k m +-+++=+， 当1n k =+时，左边()()()121C 2C 3C m m m m m m m m m ++=+++++++L ()()11C 1C 2C m m mk k k k k k -+++++ ()()2211C 2C m mk k m k +++=+++. 又由于右边()231C m k m ++=+，而()()22321C1C=m m k k m m +++++-+()()()()()()()3!2!1=2!1!2!!k k m m k m m k m ⎡⎤+++-⎢⎥+-++-⎣⎦()()()()()2!1312!1!k m k k m m k m ++⨯+--+⎡⎤⎣⎦+-+()()()1!2!1!k k m k m +=+-+()12C m k k +=+． 因此()()()222131C 2C 1C m m m k k k m k m ++++++++=+，因此左边=右边，因此1n k =+时命题也成立．综合①②可得命题对任意n m …均成立．评注本题从性质上考查组合数性质，从方法上考查利用数学归纳法解决与自然数有关命题，从思想上考查运用算两次解决二项式有关模型．组合数的运算性质不仅有111C C C m m m k k k ++++=，C C m k m k k-=，11C C k k n n k n --⋅=⋅，而且还有此题中出现的()()111C 1C m m k k k m +++=+(),1,,k m m n =+L，这些不需记忆，但需会推导，平时善于总结才是突破此类问题的核心．2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）. 2.解析依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）. A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．解析只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3份再全排得2343C A 36⋅=.故选D.第3节二项式定理题型139二项式定理展开式的通项及系数1.(2013全国新课标卷理5）已知()()511ax x ++的展开式中2x 的系数为5，则a =（）.A.4-B.3-C.2-D.1-2.（2013辽宁理7）使得()3nx n +⎛∈ ⎝N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（）. A.4B.5C.6D.73.(2013陕西理8）设函数()61<0x x f x x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩≥，，则当>0x 时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为（）.A.20-B.20C.15-D.154．（2013江西理5）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（）.A ．80B ．-80C ．40D ．-405．（2013四川理11）二项式5()x y +的展开式中，含23xy的项的系数是____________．（用数字作答）9.(2013天津理10）6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为．6.(2013安徽理11）若8x ⎛⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =. 7.（2013浙江理11）设二项式5的展开式中常数项为A ，则=A ________.8.（2014浙江理5）在()()6411x y ++的展开式中，记mn xy 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=（）.A.45B.60C.120D.2109.（2014四川理2）在()61x x +的展开式中，含3x 项的系数为（）. A ．30B ．20C ．15D ．1010.（2014湖南理4）5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是（）.A.20-B.5-C.5D.2011.（2014湖北理2）若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =（）.A.2C.1D.412.（2014安徽理13）设0a ≠，n 是大于1的自然数，1nx a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为2012nn a a x a x a x ++++….若点()i i A i a ,，()012i =,,的位置如图所示，则a =.13.（2014大纲理13）8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为. 14.（2014山东理14）若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .15.（2014新课标1理13）()()8x y x y -+的展开式中27xy的系数为.（用数字填写答案）16.（2014新课标2理13）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a=.（用数字填写答案）17.（2015湖南理6）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）.A.B.6-17.解析5215C (1)rrr rr T a x-+=-，令5322r -=，解得1=r ，可得530a -=，6a =-. 故选D.18.（2015全国1理10）()52x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）.A ．10B ．20C ．30D ．60 18.解析()()5522x x yx x y ⎡⎤++=++⎣⎦．展开式中含2y 的项为： ()522225C x x y -+=()32225C x x y +，而()32x x +中含5x 的项为()2121533C C x x x =，所以52xy的系数为2153C C 30⨯=.故选C ．19.（2015陕西理4）二项式*(1)()nn x +∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n =（）． A ．4B ．5C ．6D ．719.解析根据二项式定理，2x 的系数应该为22C C 15n n n -==，得()1152n n -=， 所以6n =.故选C.20.（2015湖北理3）已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92 20.解析由条件知37C C nn =，得10n =.奇数项的二项式系数和为101922-=.故选D. 21.(2015安徽理11)731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数是________（用数字填写答案）.21.解析因为()732141771C C rrrr rr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =， 所以47C 35=，即5x 的系数是35．22.（2015重庆理12）53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数是________(用数字作答).22.解析由二项式的定()7155315322155511CC C 22r r rr r rr r r r r T x xx x ----+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当71582r -=时，易得2r =，故8x 系数为22515C 22⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．23.（2015天津理12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为________.23.解析614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66216611C C 44rrr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由622r -=得2r =，所以222236115C 416T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2x 的系数为1516.24.（2015四川理11）在()521x -的展开式中，含2x 的项的系数是_____________ （用数字填写答案）.24.解析由二项式的展开式的通项公式为()()515C 21rrrr T x -+=-，可知当3r =时，为含2x 的项.所以含2x 的项的系数为()3325C 2140-=-.25.（2015全国2理15）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________． 25.解析由题意知，4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x 这五项，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．26.（2015北京理9）在()52x +的展开式中，3x 的系数为____________.（用数字作答）26.解析()52x +展开式的通项公式()515C 2,0,1,2,,5r rr r T x r -+==L ，3x 的系数为325C 240=.27.（2015福建理11）()52x +的展开式中，2x 的系数等于____________．（用数字作答）27.解析()52x +的展开式中2x 项为33225C 280x x =，所以2x 的系数等于80．28.（2015广东理9）在)41的展开式中，x 的系数为___________．28.解析由题可知()()442144C1C 1r rrrrr r T x--+=-=-，令412r-=，解得2r =， 所以展开式中x 的系数为()224C 16-=．故应填6．29.（2016北京理10）在()612x -的展开式中，2x 的系数为________________（用数字作答）.29.60解析在()612x -的展开式中，含2x 的项为()22426C 1260x x -=，所以2x 的系数为60.30.（2016四川理2）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含4x 的项为（）. A.415x - B.415x C.420i x - D.420i x30.A 解析二项式()6i x +展开的通项616C r r rr T x i -+=，则其展开式中含4x 是当64r -=，即2r =，则展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.31.（2016天津理10）821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中7x 的系数为__________(用数字作答).31.56-解析展开式通项为()()821631881C 1C rrr rr rr T xx x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 令1637r -=，得3r =，所以7x 的系数为()3381C 56-=-．32.（2016全国乙理14）(52x +的展开式中，3x 的系数是（用数字填写答案）.32.10解析(52x 的展开式的通项公式为()()55555221555C 2C 2C 20,1,,5kkk kkk kk k k T x xxk -+----+====L .令532k -=，得4k =.故3x 的系数是4545C 210-=. 33.（2016山东理12）若52ax⎛+ ⎝的展开式中，5x 的系数是80-，则实数a =_______. 33.2-解析由题意，5102552155=CC r r rr r rr T ax a x ---+=（.34.（2016上海理8）在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于． 34.解析由题意2256n=，8n =，第1r +项83182rr rr T C xx -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪⎝⎭()84382rrr C x -=-⋅．令8403r -=，则2r =，故常数项为()2282112C -=．故填112． 35．（2017浙江13）已知多项式()()32543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =___________，5a =________.35.解析32322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ++=+++++，所以412416a =+=，54a =．36.（2107山东理11）已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n =.36.解析()1C 3C 3rr rr r r n nT x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得4n =．37.（2017全国3卷理科4）()()52x y x y +-的展开式中33x y的系数为（）. A ．80-B ．40-C ．40D ．8037．解析由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()23322355C 2C 2x x y y x y ⋅-+⋅-=3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C.38.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）. A.15B.20C.30D.3538.解析()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为2665C 152⨯==，对()6211x x ⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为151530+=.故选C.。
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 J单元 计数原理 Word版含答案
课标理数12.J2用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)课标理数12.J214 【解析】若不考虑数字2，3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222，3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．大纲理数7.J2某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A．4种 B．10种C．18种 D．20种大纲理数7.J2 B 【解析】若取出1本画册，3本集邮册，有C14种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C24种赠送方法，则不同的赠送方法有C14＋C24＝10种，故选B.大纲文数9.J2 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种 B．24种C．30种 D．36种大纲文数9.J2 B 【解析】从4位同学中选出2人有C24种方法，另外2位同学每人有2种选法，故不同的选法共有C24×2×2＝24种，故选B.课标理数15.J2给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如图1－3所示：图1－3由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有________种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有________种．(结果用数值表示)课标理数15.J221 43 【解析】 (1)以黑色正方形的个数分类：①若有3块黑色正方形，则有C34＝4种；②若有2块黑色正方形，则有C25＝10种；③若有1块黑色正方形，则有C16＝6种；④若无黑色正方形，则有1种．所以共有4＋10＋6＋1＝21种．(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况．①有2块黑色正方形相邻，有(C23＋C13)＋A24＋C15＝23种；②有3块黑色正方形相邻，有C12＋A23＋C14＝12种；③有4块黑色正方形相邻，有C12＋C13＝5种；④有5块黑色正方形相邻，有C12＝2种；⑤有6块黑色正方形相邻，有1种．故共有23＋12＋5＋2＋1＝43种．课标理数12.J3 设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝________． 课标理数12.J3 0 【解析】 a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，所以a 10＋a 11＝－C 1121＋C 1021＝0.大纲理数13.J3 (1－x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________． 大纲理数13.J 3 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 20(－x )r ＝C r 20(－1)rx r2，x 的系数为C 220，x 9的系数为C 1820，则x 的系数与x 9的系数之差为0.大纲文数13.J3 (1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为________． 大纲文数13.J3 0 【解析】 展开式的第r ＋1项为C r 10(－x )r ＝C r 10(－1)r x r，x 的系数为－C 110，x 9的系数为－C 910，则x 的系数与x 9的系数之差为0.课标理数6.J3 (1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．10课标理数6.J3 B 【解析】 因为(1＋2x )5的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r， 令r ＝2，则2r C r 5＝22C 25＝4×5×42＝40，即x 2的系数等于40，故选B.课标理数10.J3 x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________．(用数字作答)课标理数10.J3 84 【解析】 先求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7中x 3的系数，由于T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r＝C r 7x7－2r(－2)r ，所以7－2r ＝3，所以r ＝2，即x 4的系数为C 27(－2)2＝84.课标理数11.J3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标理数11.J3 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13rC r18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标文数12.J3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)课标文数12.J3 17 【解析】 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r18x18－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x r ＝()－1r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13rC r18·x 18－32r .令18－32r ＝15，解得r ＝2.所以展开式中含x 15的项的系数为()－12⎝ ⎛⎭⎪⎫132C 218＝17.课标理数8.J3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40课标理数8.J3 D 【解析】 令x ＝1得各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1(2－1)5＝(1＋a )＝2, ∴a＝1，所以原式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5，⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5－r＝(－1)5－r 2r C r 5x 2r －5.令2r －5＝－1，得r ＝2； 令2r －5＝1，得r ＝3， 所以常数项为(－1)5－222C 25＋(－1)5－323C 35＝(－4＋8)C 25＝40.课标理数14.J3 若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．课标理数14.J3 4 【解析】 T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x 2r ＝C r 6x 6－r (－1)r a r 2x －2r ＝C r 6x 6－3r (－1)r a r 2，由6－3r ＝0，得r ＝2, 所以C 26a ＝60，所以a ＝4.课标理数4.J3 (4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．20课标理数4.J3 C 【解析】 由T r ＋1＝C r n a n －r b r可知所求的通项为T r ＋1＝C r 6(4x )6－r (－2－x )r＝C r 6(－1)r (2x )12－3r，要出现常数项，则r ＝4，则常数项为C 46(－1)4＝15，故选C.大纲文数13.J3 (x ＋1)9的展开式中x 3的系数是________．(用数字作答)大纲文数13.J3 84 【解析】 本题主要考查二项展开式通项的应用. (x ＋1)9的展开式通项为T r ＋1＝C r 9x9－r，所以x 3的系数是C 69＝9×8×73×2×1＝84.课标理数5.J3 在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154 B.154 C ．－38 D.38课标理数5.J3 C 【解析】 由二项式展开式得，T r ＋1＝C r6⎝ ⎛⎭⎪⎫x 26－r ⎝⎛⎭⎪⎫－2x r ＝()－1r 22r－6C r 6x 3－r，令r ＝1，则x 2的系数为()－1·22×1－6C 16＝－38.课标理数13.J3 设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B＝4A ，则a 的值是________．课标理数13.J3 2 【解析】 由题意得T r ＋1＝C r 6x 6－r⎝⎛⎭⎪⎫－a x r ＝()－a r C r6x 6－32r ，∴A ＝()－a 2C 26，B ＝()－a 4C 46.又∵B ＝4A ，∴()－a 4C 46＝4()－a 2C 26，解之得a 2＝4. 又∵a >0，∴a ＝2.大纲理数4.J3 (1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9大纲理数4.J3 B 【解析】 由题意可得C 5n 35＝C 6n 36，即C 5n ＝3C 6n ， 即n ！5！（n －5）！＝3·n ！6！（n －6）！，解得n ＝7.故选B.大纲文数11.J3 (1＋2x )6的展开式中x 4的系数是______．大纲文数11.J3 240 【解析】 ∵(1＋2x )6的展开式中含x 4的项为C 46(2x )4＝240x 4，∴展开式中x 4的系数是240.。
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 J单元 计数原理 Word版含答案
J 计数原理J1 基本计数原理10．J1、J2 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.6．J1、J2从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.7．K2、J1从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.197．D 本题考查利用古典概型求解概率以及两个基本计数原理，解决本题的突破口是首先确定符合条件的两位数的所有个数，再找到个位是0的个数，利用公式求解，设个位数与十位数分别为y，x，则如果两位数之和是奇数，则x，y分别为一奇数一偶数：第一类x为奇数，y为偶数共有：C15×C15＝25；另一类x为偶数，y为奇数共有：C14×C15＝20.两类共计45个，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，所以个位数是0的概率为：P(A)＝545＝19.6．J1、J2若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种 B．63种C．65种 D．66种6．D 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C25C24＝60种；③4个都是奇数：C45＝5种．∴不同的取法共有66种．对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J2 排列、组合11．J2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232 B．252C．472 D．48411．C 本题考查排列、组合，考查运算求解能力，应用意识，中档题．法一：(排除法)先从16张卡片选3张，然后排除所取三张同色与红色的为2张的情况，C316－4C34－C24C112＝560－88＝472.法二：有红色卡片的取法有C14C23C14C14＋C14C13C24，不含红色卡片的取法有C14C14C14＋C13C24C18，总共不同取法有C14C23C14C14＋C14C13C24＋C14C14C14＋C13C24C18＝472.8．J2两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种 B．15种C．20种 D．30种8．C 本小题主要考查排列、组合的知识，解题的突破口为找出甲或乙赢的情况进行分析计算．依甲赢计算：打三局结束甲全胜只有1种；打四局结束甲前三局赢两局，第四局必胜有C23种；打五局结束甲前四局赢两局，第五局必胜有C24×1＝6种；故甲胜共有10种，同样乙胜也有10种，所以共有20种，故选C.5．J2一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!5．C 本小题主要考查排列组合知识．解题的突破口为分清是分类还是分步，是排列还是组合问题．由已知，该问题是排列中捆绑法的应用，即先把三个家庭看作三个不同元素进行全排列，而后每个家庭内部进行全排列，即不同坐法种数为A33·A33·A33·A33＝(3！)4.2．J2将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种2．A 分别从2名教师中选1名，4名学生中选2名安排到甲地参加社会实践活动即可，则乙地就安排剩下的教师与学生，故不同的安排方法共有C12C24＝12种．故选A.11．J2将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种 B．18种C．24种 D．36种11．A 本小题主要考查排列组合的应用，解题的突破口为正确理解题意并进行合理分步．第一步排第一列，一定是一个a、一个b和一个c，共有A33＝6种不同的排法，第二步排第二列，要求每行每列字母均不同共有2种不同的排法，则总共有2A33＝12种不同的排法，故选A.6．J1、J2从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．66．B 本题考查排列组合计数的基础知识，考查分析问题和解决问题的能力．法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝C23C12A22＋C23C12＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝C13C12C12A22－C13C12＝18.10．J1、J2 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A．1或3 B．1或4C．2或3 D．2或410．D 本题考查组合数等计数原理．任意两个同学之间交换纪念品共要交换C26＝15次，如果都完全交换，每个人都要交换5次，也就是得到5份纪念品，现在6个同学总共交换了13次，少交换了2次，这2次如果不涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有4人；如果涉及同一个人，则收到4份纪念品的同学人数有2人，答案为D.11．J2方程ay＝b2x2＋c中的a，b，c∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A．60条 B．62条C．71条 D．80条11．B 由于要表示抛物线，首先a、b均不能为0.又b要进行平方，且只需考虑不同情况，故b2在1,4,9中考虑．①c＝0时，若a取1，则b2可取4或9，得到2条不同的抛物线；若a取2,3，－2，－3任意一个，b2都有1,4,9三种可能，可得到4×3＝12条抛物线；以上共计14条不同的抛物线；②c≠0时，在{－3，－2,1,2,3}中任取3个作为a，b，c的值，有A35＝60种情况，其中a，c取定，b取互为相反数的两个值时，所得抛物线相同，这样的情形有4A23＝24种，其中重复一半，故不同的抛物线共有60－12＝48(条)，以上两种情况合计14＋48＝62(条)．6．J1、J2若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种6．D 本题考查计数原理与组合等基础知识，考查灵活运用知识与分析、解决问题的能力．要使所取出的4个数的和为偶数，则对其中取出的数字奇数和偶数的个数有要求，所以按照取出的数字奇偶数的个数分类.1,2,3，…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数．要想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有三类：①4个都是偶数：1种；②2个偶数，2个奇数：C 25C 24＝60种；③4个都是奇数：C 45＝5种．∴不同的取法共有66种．对于计数问题，有时正确的分类是解决问题的切入点．同时注意分类的全面与到位，不要出现遗漏现象．J3 二项式定理1．J3 (1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．211．D 根据二项展开式的通项公式T r ＋1＝C r 7x r，取r ＝2得x 2的系数为C 27＝7×62＝21. 5．J3 在⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________．5．－160 考查二项式定理，主要是二项式的通项公式的运用． 由通项公式得T r ＋1＝C r 6x6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．J3 (a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．12．1 本小题主要考查了二项式定理，解题的关键是写出二项展开式的通项公式．其展开式的通项公式为：T r ＋1＝C r 5a 5－r x r，令r ＝2，所以x 2的系数为C 25a 3，即有C 25a 3＝10，a ＝1，故填1.13．J3 ⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)13．－160 由二项式的通项公式得T r ＋1＝C r 6(2x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r ，令3－r ＝0，∴r ＝3，所以常数项为T 4＝(－1)326－3C 36＝－160.5．J3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．125．D 512 012＋a ＝a ＋(13×4－1)2 012＝(1－13×14)2012＝a ＋1－C 12 01213×4＋C 22 012(13×4)2＋…＋C 2 0122 012(13×4)2 012，显然当a ＋1＝13k ，k ∈Z ，即a ＝－1＋13k ，k ∈Z 时，512 012＋a ＝13×4，能被13整除．因为a ∈Z ，且0≤a <13, 所以a ＝12.故选D.10．J3 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)10．20 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，T r ＋1＝C r 6x 2(6－r )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 2(6－r )x －r ＝C r 6x12－3r ，令12－3r ＝3，解得r ＝3，所以x 3的系数为： C 36＝20.11．J3 (a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________.11．2 本题考查二项展开式特定项的系数问题，解题关键是正确写出展开式的通项，该二项式的通项是T r ＋1＝C r 4a 4－r x r, x 3的系数为8，即令r ＝3，所以C 34a 1＝8，所以4a ＝8，所以a ＝2.15．J3 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．15．56 本小题主要考查二项式定理中通项公式的应用，解题的突破口为先利用二项式系数相等求出n ，再结合通项公式即可．由题有C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8，T r ＋1＝C r 8x 8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r －8，令2r －8＝2⇒r ＝5，∴1x 2的系数为C 58＝56，故填56.7．J3 (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．37．D 本题考查二项式定理的简单应用．因为()x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－15＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15，又2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为2C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20()－15＝－2，x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15展开式中的常数项为x 2C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21()－14＝5，故二项式()x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫1x2－15展开式中的常数项为－2＋5＝3.5．J3 在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40D ．－405．D 本题考查二项式定理，考查运算求解能力，容易题．T k ＋1＝C k 5(2x 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k C k 525－k x 10－3k，令10－3k ＝1，即k ＝3， 此时x 的系数为(－1)3C 3522＝－40.14．J3、B12 若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.14．10 本题主要考查函数的解析式以及二项式定理．法一：由于f (x )＝x 5＝[]1＋x －15那么a 3＝C 25(－1)2＝10，故应填10.法二：对等式f (x )＝x 5＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5两边连续对x 求导三次得：60x 2＝6a 3＋24a 4(1＋x )＋60a 5(1＋x )2，再运用赋值法，令x ＝－1得：60＝6a 3，即a 3＝10.法三：由等式两边对应项系数相等．即⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝1，C 45a 5＋a 4＝0，C 35a 5＋C 14a 4＋a 3＝0⇒a 3＝10.正确地把函数与二项展开式加以对比，再结合二项式定理加以分析与应用．注意等式的拆分与组合．4．J3 ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为( )A.3516B.358 C.354D ．1054．B 展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k8·(x )8－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k 8x 4－k.令4－k ＝0，则k＝4，所以展开式中常数项为⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 48＝358.J4 单元综合。
高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 J单元 计数原理 Word版含答案
J 单元 计数原理 J1 基本计数原理J2 排列、组合12．J2 某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)12．1560 根据题意知写了A 240＝40×39＝1560(条)．18．J2、K2、K6、K4 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．18．解：(1)记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}．由题意，A 1与A 2相互独立，A 1A 2与A 1A 2互斥，B 1与B 2互斥，且B 1＝A 1A 2，B 2＝A 1A 2＋A 1A 2，C ＝B 1＋B 2.因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以 P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝P (A 1)(1－P (A 2))＋(1－P (A 1))P (A 2)＝25×1－12＋1－25×12＝12. 故所求概率P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710. (2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B 3，15. 于是P (X ＝0)＝C 03150453＝64125， P (X ＝1)＝C 13151452＝48125， P (X ＝2)＝C 23152451＝12125， P (X ＝3)＝C 33153450＝1125. 故X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.6．J2 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个6．B 由题意知，万位上排4时，有2×A 34个大于40 000的偶数，万位上排5时，有3×A 34个，故共有5×A 34＝120(个)．22．J2、J3、K2(1)已知n 为正整数，在(1＋x )2n 与(1＋2x 3)n 展开式中x 3项的系数相同，求n 的值．(2)设袋中共有7个球，其中4个红球，3个白球．从袋中随机取出3个球，求取出的白球比红球多的概率．解：(1)(1＋x )2n 中x 3项的系数为C 32n ，(1＋2x 3)n 中x 3项的系数为2n .由C 32n ＝2n ，得2n （2n －1）（2n －2）3×2×1＝2n ， 解得n ＝2.(2)从袋中取出3个球，总的取法有C 37＝35(种)；其中白球比红球多的取法有C 33＋C 23·C 14＝13(种)．因此取出的白球比红球多的概率为1335.J3 二项式定理11．J3 ⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 11．35 T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 7·x 21－4r ，令21－4r ＝5，得r ＝4，因此x 5的系数为C 47＝35.9．J3 在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．9．6 ()x －14展开式的通项T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r (0≤r ≤4)，令4－r ＝2，得r＝2，所以x 的系数是C 24＝6.3．J3 已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．212B ．211C ．210D ．293．D 因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.根据二项式系数和的相关公式得，奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选D. 15．J3 (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.15．3 (a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a ，第二个因式取C 14x 及C 34x 3；另一部分来自第一个因式取x ，第二个因式取C 04x 0，C 24x 2及C 44x 4.所以系数之和为a C 14＋a C 34＋C 04＋C 24＋C 44＝8a ＋8＝32，所以a ＝3.10．J3 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．10B ．20C ．30D ．6010．C 5的通项T r ＋1＝C r 5(x 2＋x )r y 5－r ，由题意取r ＝3，得T 4＝C 35(x 2＋x )3y 2＝C 35(x ＋1)3x 3y 2，记(x ＋1)3的通项T ′r ′＋1＝C r ′3xr ′， 由题意得r ′＝2，所以x 5y 2的系数为C 35·C 23＝30.9．J3 在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)9．40 展开式的通项T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，得C 3525－3＝40. 11．J3 (x ＋2)5的展开式中，x 2的系数等于________．(用数字作答)11．80 (x ＋2)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x5－r ·2r(0≤r ≤5，且r ∈N )，令5－r ＝2，得r ＝3，所以x 2的系数为C 35·23＝80.J4 单元综合6． 某人从{W ，X ，Y ，Z }中选2个不同的字母，从{0，2，6，8}中选3 个不同的数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母Z 和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有( )A ．198个B ．180个C ．216个D ．234个6．A 不选2时，有A 33A 24＝72(种)选法；选2，不选Z 时，有C 12C 23A 22A 23＝72(种)选法；选2和Z 时，若2在数字的中间，有A 23C 12C 13＝36(种)选法，若2在数字的第三位，有A 23A 13＝18(种)选法．根据分类计数原理，共有72＋72＋36＋18＝198(种)选法，故选A. 4． 若(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式中x 2的系数是250, 则实数m 的值为 ( ) A ．±5 B ．5C ．± 5 D. 54．C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式的通项为C r 5x －2(5－r )·(－mx )r ＝C r 5(－m )r x 3r －10，由3r －10＝2得r ＝4，系数为C 45(－m )4＝5m 4，所以2×5m 4＝250，得m ＝± 5.12． 设ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D 点，则停止跳动；若5次之内不能到达D 点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有________种．12．26 青蛙不能跳1次、2次或4次到达D 点，故青蛙的跳法只有下列两种：(1)青蛙跳3次到达D 点，有ABCD ，AFED 两种跳法；(2)青蛙一共跳5次后停止，那么，前3次的跳法一定不到达D ，只能到达B 或F ，则共有AFEF ，ABAF ，AFAF ，ABCB ，ABAB ，AFAB 这6种跳法，随后两次跳法各有四种，比如由F 出发的有FEF ，FED ，FAF ，FAB 共四种，因此共有6×4＝24(种)跳法，故共有24＋2＝26(种)跳法．6． 将二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．A 展开式的通项为T r ＋1＝C rn·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 2n －3r 4(r ＝0，1，2，…，n )，∴前三项的系数分别是1，n 2，n （n －1）8.∵前三项的系数成等差数列，∴2·n 2＝1＋n （n －1）8，∴n ＝8.当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 16－3r 4(r ＝0，1，2，…，8)，故展开式中x 的指数是整数的项共有3个．。
2023年高考数学客观题专题十二 计数原理 课件
若2张同色,则有C32 ·C21 ·C42 ·C41 =144(种);
若红色1张,其余2张不同色,则有C41 ·C32 ·C41 ·C41 =192(种);其余2张同
色则有C41 ·C31 ·C42 =72(种).所以共有64+144+192+72=472(种).故选C.
19.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必
18.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4
张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,并且红色卡
片至多1张,则不同取法的种数是
A.232
B.252
(
)
C.472
D.484
【答案】 C
【解析】若没有红色卡片,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,
若都不同色则有C41 ·C41 ·C41 =64(种);
)
20.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者
服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项
工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,
丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是(
A.152
B.126
C.90
D.54
)
【答案】 B
【解析】由于五个人从事四项工作,而每项工作至少一人,那么每
考点训练
1.
2
+
2 5
的展开式中x4的系数为
A.10
B.20
(
C.40
)
D.80
【答案】C
2 5-r 2
【解析】Tr+1=C5 (x )
=C5 2rx10-3r,由10-3r=4,得r=2,
2024年高考数学复习： 计数原理
2024年高考数学复习：计数原理真题卷题号考点考向2023新课标1卷13计数原理分类加法计数原理2023新课标2卷3组合数组合数公式2022新高考1卷13二项式定理求二项展开式指定项的系数2022新高考2卷5排列问题捆绑法与插空法求排列数2021新高考1卷———2021新高考2卷———2020新高考1卷3计数原理分步乘法计数原理计数2020新高考2卷6排列组合分组分配问题【2023年真题】1.（2023·新课标I 卷第13题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_______种(用数字作答).【答案】64本题主要考查至少至多的组合问题，属于基础题．解：当从这8门课中选修2门课时，共有1144.16C C =；当从这8门课中选修3门课时，共有12214444..48C C C C +=；综上，共有64种．2.（2023·新课标II 卷第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有A.4515400200C C ⋅种 B.2040400200C C ⋅种C.3030400200C C ⋅种D.4020400200C C ⋅种【答案】D本题考查比例分配的分层随机抽样方法的应用，考查组合数公式的应用，为基础题.解：结合题意初中部和高中部所占的比例为2:1，抽取初中部40人，高中部20人，故不同的抽样结果为4020400200C C ⋅种，故选.D【2022年真题】3.（2022·新高考I 卷第13题）8(1)y x y x-+的展开式中26x y 的系数为__________(用数字作答).【答案】28-本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数，属于基础题.结合8()x y +展开式的通项公式求解即可.解：因为8()x y +展开式的通项818r r r r T C x y -+=，令5r =，则35x y 的系数为5856C =；令6r =，则26x y 的系数为6828C =，所以26x y 的系数为562828.-+=-4.（2022·新高考II 卷第5题）甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有()A.12种 B.24种C.36种D.48种【答案】B本题考查排列、组合的运用，属于基础题．解：先利用捆绑法排乙丙丁成四人，再用插空法选甲的位置，则有23123224A A C =种.【2020年真题】5.（2020·新高考I 卷第3题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A.120种 B.90种 C.60种 D.30种【答案】C本题考查组合的应用，属于基础题.根据分步乘法计数原理，结合组合的定义，即可解答.解：可以按照先选1名志愿者去甲场馆，再选择2名志愿者去乙场馆，剩下3名安排到丙场馆，安排方法有123653C C C 60.=故选：.C 6.（2020·新高考II 卷第6题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有()A.2种B.3种C.6种D.8种【答案】C【分析】成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先把三名学生分成2组，再把2组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．解：要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有：2123126.C C A 故选：.C。
数学(理科提高版)大一轮复习要点导学第十二章 计数原理 Word版含解析
第十二章计数原理【知识网络】
【考情分析】
近几年江苏高考对计数原理的考查情况如下：
【备考策略】
本部分内容主要包括两个计数原理、排列组合、二项式定理三部分.其中两个计数原理是排列、组合的基础，又是求古典概型问题的必要工具，在每年的高考中都直接或间接地考查.要注意把握“分类”与“分步”的区别，对于较复杂的问题，一般要分类讨论，此时要注意分类讨论的对象和分类讨论的标准.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.理解排列、组合的概念，熟悉排列数公式和组合数公式，并能利用它们解决简单的实际问题.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.根据近几年高考命题特点和规律，复习本专题时，要注意以下几个方面：.要注意控制难度，以中低档题为主；.注意各知识点的交汇，如统计与概率、计数原理与概率等.。
2019-2021三年高考真题分类汇编(理科)： 计数原理(原卷版)
2019-2021三年高考真题分类汇编（理科）专题17 计数原理1．【2021·全国高考真题（理）】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5B ．10C ．15D ．20 3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．【2020年高考北京】在52)-的展开式中，2x 的系数为A ．5-B ．5C ．10-D ．10 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24 6．【2021·天津高考真题】在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________． 7．【2021·北京高考真题】341()x x -展开式中常数项为__________．8．【2021·浙江高考真题】已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.9．【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．10．【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．11．【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 12．【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．13．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．14．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值．。
【学科精品】高考数学一轮复习 计数原理 .doc
2020届一轮复习人教A 版 计数原理 课时作业一、选择题（本题共10道小题） 1.()9201cos 2a x dx ax ax π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则展开式中3x 项的系数为 A ．212- B ．638-C ．638D ．63162.已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的。
现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A.12B.24C.36D.48 3.一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A.105 B.95 C.85 D.75 4.某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A 、B 、C 、D 四个区域要清扫，其中A 、B 、C 三个区域各安排一个小组，D 区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（ ）A ．240种 B.150种 C.120种 D.60种 5.若5(2)(1)x a x ++的展开式的各项系数之和为96，则该展开式中5x 的系数为（ ） A ．1 B ．9 C ．10 D ．11 6.在某校的元旦晚会上有5个歌唱类节目，4个舞蹈类节目，3个小品相声类节目，现要排出一张节目单，要求歌唱类节目不能相邻，则可以排出的节目单的总张数为（ ） A ．7577A A B ．5858A A C ．7578A A D ．5758A A 7.5(1的展开式的第二项为（ ）A ．－5B ．-C ．10D ．10x将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为（ ） A ．150种 B ．180种 C.240种 D ．540种 9. 已知151x e dxn e =-⎰，其中 2.71e =…，e 为自然对数的底数，则在4(2)n x x--的展开式中2x 的系数是（ ）A ．240B ．80C ．80-D ．240-10.郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ．168种B ．156种C ．172种D ．180种二、填空题（本题共5道小题）11.若49nnx dx -=⎰(其中0n >),则()21nx -的展开式中3x 的系数为_______． 12.已知42)1)((x x x a -++的展开式中含3x 项的系数为－14，则=-⎰222dx x a .13.用2个0，2个1，2个2组成一个六位数（如102012），则这样的六位数的总个数为 ． 14.若901(1)x a a x =+-+2929(1)(1)a x a x -++-，则3a 的值为 ．15.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.三、解答题试卷答案1.A2.D产品分别为，画出图像如下图所示，根据题意，安全的分组方法有，，，，3个仓库，有种方法，故总的方法种数有种，故选D.3.A根据题意，分4种情况讨论：①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，有C52A33=60种情况，④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．4.D根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法， 5.D 6.C 7.B 8. A, 或,分组方法有中,再将三组全排列有种,故总的方法数有种.9. B 由积分可得，所以展开式中通项可写为，当r=2,t=0时，N=-80,当r=3,t=1时，N=160,所以的系数为80，选B. 10. B分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.11.280； 12.3234+π根据乘法分配律得，，.，上半部分.当时，，故.13. 60 14. 84由题可得：，故根据二项式定理可知：15.5【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.。
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第十二章 计数原理
第一节 两个基本计数原理
题型135 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.（2107浙江16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法.（用数字作答）
1.解析 解法一（间接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），即
8名学生中任选4人去掉全是男生的情况有4486C C -种选法；
第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有2
4A 种选法．
所以共有()
()442864C C A 701512660-⋅=-⨯=种选法． 解法二（直接法）：分2步完成：第一步，8名学生中选4人（至少有1名女生），其中1女
3男有1
326C C 种选法，2女2男有2226C C 种选法；
第二步，分配职务，4人里选2人担任队长和副队长有2
4A 种选法．
所以共有 ()
()1
322226264C C C C A 22011512660+⋅=⨯+⨯⨯=种选法． 第二节 排列与组合
题型136 与排列相关的常见问题
题型137 与组合相关的常见问题
题型138 排列与与组合综合的常见问题——暂无
2.（2017天津理14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个（用数字作答）.
2.解析 依题意按分类计数原理操作：(1)当没有一个数字是偶数时，从1，3，5，7，9这五
个数字中任取四个数，再进行全排列得无重复数字的四位数有45A 120=个(或4454C A 120
=个)；(2)当仅有一个数字是偶数时，先从2，4，6，8中任取一个数，再从1，3，5，7，9
中任取三个数，然后再进行全排列得到无重复数字的四位数有134454C C A 960=.故由分类计
数原理得这样的四位数共有1209601080N =+=个.
3.（2017全国2卷理科6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由
1人完成，则不同的安排方式共有（ ）.
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 3．解析 只能是一个人完成2项工作，剩下的2人各完成一项工作．由此把4项工作分成3
份再全排得2
343C A 36⋅=.故选D.
第三节 二项式定理
题型139 二项式定理展开式的通项及系数
4．（2017浙江13）已知多项式()()32543211234512x x x a x a x a x a x a +++++++=，则4a =___________，5a =________.
4.解析 32322(1)(2)(331)(44)x x x x x x x ++=+++++，所以412416a =+=，54a =．
5.（2107山东理11）已知()13n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则5. 解析 ()1C 3C 3r
r r r r r n n T x x +==⋅⋅，令2r =，得22C 354n ⋅=，解得6.（2017全国3卷理科4）()()5
2x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（A ．80- B ．40- C ．40
6．解析 由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()(225C 2x x y ⋅-3340x y ，则33x y 的系数为40，故选C.
7.（2017全国1卷理科6）()62111x x ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为（ ）. A.15 B.20 C.30 D.35
7. 解析 ()()()66622111+1111x x x x x ⎛⎫+=⋅++⋅+ ⎪⎝⎭，对()61x +二项式展开中2x 项的系数为
2665C 152⨯==，对()6211x x ⋅+二项式展开中2x 项的系数为46C =15，所以2x 的系数为151530+=.故选
C.。