利用几何画板对平面图形直观图形状的研究
高中数学必修二_空间几何体的直观图-教学设计与教学反思
高中数学必修二空间几何体的直观图-教学设计与教学反思教学内容1、水平放置的平面图形的直观图画法。
2、空间几何体的直观图的画法。
数学目标1、了解空间图形的表现形式，掌握空间图形在平面的表示方法。
2、会用斜二测画法画水平放置的平面图形以及空间几何体的直观图。
3、会画简单空间几何组合体的直观图。
教学重难点1、用斜二测画法画直观图。
2、空间几何体的直观图画法。
教材分析画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。
本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。
而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础。
教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法，即斜二测画法。
教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法。
教学时可以适当延伸，讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。
学情分析高二年级学生年纪小，具有模仿力强，记忆力好，表现欲强等特点。
根据学生前几章已接触的空间几何体直观图和空间几何体三视图（主视图、俯视图、左视图）的知识，将学生引入到如何绘出这些空间的几何体。
非常符合学生的好奇心，能激发他们的求知欲，使他们易学、乐学。
教学方法诱导式教学方法、视听法、直观教学法、整体教学法教学准备多媒体PowerPoint课件、几何画板课件、自制图片、圆规、三角板、直尺等。
本节课主要是介绍空间几何体的直观图画法，可以大胆放手让学生通过自主的学习进行归纳总结。
教师在此主要起的是引导和点拨的作用。
如在平面图形直观图的做法里面，给学生指出确定坐标系的关键性；引导学生发现其实是确定点位置的画法。
在从平面图形的直观图过渡到空间几何体的直观图中，要引导学生的是进行对比学习,通过教师的设问进行点拨，如“平面图形直观图和空间几何体直观图的画法的联系与区别”。
通过本节授课我还有一些心得。
如在引导学生进行归纳总结的时候，教师应该不着急于给出正确的答案。
学生初始的回答可能只是其中的一两点，而且步骤不完整，甚至有错误的见解。
《几何画板》在高中数学中的应用
一 、 几 何 画板 简 介
面直观图因受其视角的影响 ，难于综观全局 。而用《几何
《几何 板 》（原名 ：Ｔｈｅ Ｇｅｏｍｅｔｅｒ’ｓ Ｓｋｅｔｃｈｐａｄ）是 由 画板》则能轻松地达到意想不到的效果 。
美 国Ｋｅｙ Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ Ｐｒｅｓｓ公 司研制 并 出版 的几何 软件 。
对 于棱 台的教学 ，我们 往往采用模型进行教学 ，通
最重要 的概念 ，它的概 念和思 维方法渗透在高 中数学 的 化 为形来讨论。而 曲线中各几何量受各种 因素 的影响而
各个部分 ；同时 ，函数 是以运动 变化的观点 对现实 世界 变化 ，导致点 、线按不同的方式做运动 ，曲线和方程 的对
数量关 系的一种刻 ，这义决 定了它是对学生进行 素质 应关 系比较抽象 ，学 生不 易理解。而展示几何图形变形
平台。本文试 图就《几何 画板》在代数 、立体几何与解析 要原 因在 于人 们习惯 于依靠对 二维平 面图形 的直观来
几何上 的初步应用 ，对《几何 Ｉ｜板 》 高中数学 教学上的 感知 和想象 ｉ维 空间图形 ，而二维平面 图形不可能成 为
辅助作用做一个简单 的阐述 。
ｊ维空间 图形 的真实写 照 ，平 面上绘 出的立体图形的平
数的传统教学 中 ，大多 数老师用手 工绘 图 ，但 手Ｔ 绘 图
总之 ，《几何 面板 》在数学课 堂教学 中的广泛应用 和
有不精确 、速度 慢 的弊端 ；而运用 《几何 面板》快速 直观 推广 ，不仅 带来 了教学 内容 、教学方法 、教学模式 的深刻
的显示及变化 功能 ，恰好 可以克服上述 弊端 ，从而 大大 变革 ，而且使 学生接受 知识 的被 动地位得 以改 变 ，真正
平面图形直观图的画法
平面图形直观图的画法先观察下面的图形，总结投影变化规律。
投影规律：1.平行性不变;但形状、长度、夹角会改变；2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变3。
在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图画空间图形的直观图，一般都要遵守统一的规则,1．斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．2．平面图形直观图的画法斜二测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′,且使∠x′O′y′＝_45°(或135°）_，它们确定的平面表示_水平面．(2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_平行于x′轴或y′轴的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变_，_垂直于x轴的线段，长度为原来的_一半_．注意点：1．斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指什么？提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内垂直于x轴的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半。
2．圆的斜二测画法，其图形还是圆吗？提示：不是圆，是一个压扁了的“圆"，即椭圆。
3．立体图形直观图的画法由于立体图形与平面图形相比多了一个z轴，因此，用斜二测画法画立体图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段．平行于x轴和z 轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．例１．用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图解：第一步:在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为X轴，对称轴MN 所在的直线为Y轴，两轴交于点O。
利用几何画板开展探索性数学实验
利用几何画板开展探索性数学实验一、几何画板做探索性数学实验的优势几何画板是由Scott Steketee和Nick Jackiw共同开发的计算机应用软件，它是一个小巧但功能强大、使用简单的数学实验工具，有简明朴素、短小精悍的特点．用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律．它是动态探究数学问题的实验室，是培养学生创新意识的实践园地．按照不同的教学目的和要求，利用几何画板做数学实验分三种类型：观察性实验、验证性实验、探索性实验．所谓“探索性实验”就是创设适当的问题情景，利用几何画板的动态演示功能，发现问题、解决问题，将学习数学作为再创造过程，积极开展研究性学习，探索新知识．探索性数学实验的核心是“问题的提出”．用几何画板进行探索性数学实验容易激发学生提出自己的问题，通过研究、探索不断产生新的问题，使得已解决的问题又成为新问题的起点，从而引发出更深层次的研究、发现、解决问题，最终达到数学问题的彻底解决．用几何画板进行探索性数学实验能使学生成为真正的主人．学生能够通过对数学知识的学习理解、几何画板的运用，从中不断进行猜想、论证并得出结论，从而不断形成研究数学的积极态度．教师的角色也由课堂的主宰者转变为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者．用几何画板进行探索性数学实验能使问题的开放性增强．这样有效的拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题、解决问题的能力．用几何画板进行探索性数学实验的实施有两个显著的特征：其一是“活”，表现为学生的学习积极性、主动性和学习活动的生动性有明显的增强，学生往往会迸发出智慧的火花；其二是“动”，表现为让学生真正的动手操作、观察、研究、思考．因此，几何画板可以提供一个十分理想的“做”实验的环境，完全可以利用它来做数学实验．二、使用几何画板做数学实验的一般步骤中学数学新教材中安排了大量的探究活动．如何在课堂中让学生参与探究活动，是成功实施新课程改革的关键．但对于复杂而抽象的图像和图形的探索，如果还只靠传统的笔和纸是很难开展的．而使用几何画板设计数学实验能够帮助学生从动态中观察、探索、发现数学规律和结论，使学生在实验中进行探索、在探索中进行实验，丰富了探究的内容和内涵．使用几何画板做实验必须要先设计好实验方案与步骤，它是实验成功与否的关键，同时实验方案是实验课件设计的依据．一般使用几何画板做数学实验有以下几个步骤：1、确定实验目的：数学实验的目的是解决某数学问题，验证某个数学猜想或探索某个数学结论．目的要明确，结论要清楚．2、设计方案：根据实验的目的和研究内容确定实验方案和具体的操作步骤．3、设计实验课件：根据实验方案和操作步骤设计且要让学生操作方便．4、“做实验”，做好观察和记录：操作时只要按设计好的方案和步骤进行即可，但一定要认真观察思考和记录相关数据．5、小组讨论、交流：这环节不能缺，它是培养合作精神、进行数学交流的重要环节，同时只有把实验与交流完美结合才能突出数学知识形成的完整过程．6、归纳与猜想（得出结论）．7、证明结论，撰写实验报告．其中第二步是最重要的，只有结合几何画板的功能，设计出具体可行的实验方案，和容易操作的实验步骤，实验才能成功．三、例谈用几何画板做探究性数学实验根据以上的步骤，在此，就具体举例说明一下如何利用几何画板进行探索性实验．案例探究勾股定理的应用．探究导入让学生打开各自电脑桌面上的“勾股定理的应用. gsp”文件，以直角三角形ABC的三边向外作正方形ABFG、AHKC、CBED，并说出它们的关系是什么？1．实验目的勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就．它为我们提供了直角三角形三边之间的数量关系；它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据；同时它也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想．而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到相关的几何图形，由几何图形联想到相关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性．本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容，是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一．第 3 页 共 5 页本实验的目的就是要将几何画板与勾股定理的教学结合起来，体现几何画板在这类教学中的优势，让学生在提高观察能力和动手能力的同时，体会到勾股定理的重要性并能灵活运用这一定理．2．设计方案（1）利用几何画板分别以直角三角形ABC 的三边向外作正方形ABFG 、AHKC 、CBED (见图1)，通过计算机让学生利用几何画板的“测量”功能对三个正方形面积进行度量，并说出它们的关系．通过测量，学生发现CBED ABFG AHKC S S S +=，接下来让学生连接EF 、GH 、KD ，分别以EF 、GH 、KD 为边作正方形ELMF 、GNOH 、KPQD ， 再连接MN 、OP 、QL (见图2)．图1 图2（2）让学生猜想：① ABC Δ、DCK Δ、EBF Δ、AGH Δ这四个三角形面积有什么关系？② 四边形DELQ 、FGNM 、HOPK 是什么四边形，它们分别与上述四个三角形有什么关系？③ 正方形QDKP 、ELMF 、GMOH 的面积有什么关系？（3）引导学生利用“测量”功能对上述三角形、四边形、正方形分别进行测量，通过讨论、交流得出以下结论:AGH DCK ABC S S S ΔΔΔ==；四边形HOKP FGNM DELQ S S S ==；任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理． （4）任意拖动C 点在平面上运动, 将直角三角形改为任意三角形ABC ，上述结论均成立．在上述探究过程中，通过测量，学生认识和掌握数学科学研究方法，深入理解数学真理是非常有益的．3．设计实验课件制作“勾股定理应用．gsp ”文件放在电脑桌面上，文件内容如图3．4．“做实验”，做好观察和记录：E DHB让学生根据设计方案（1）,作出图1后测量出表1中的数据，并填写．通过观察数据得到三者之间的关系：DCBE S ＋BAGF S =KHAC S ． 例如：在几何画板界面中，任意拖动点C ，得到随机的一组数KHAC S =296.5cm ，DCBE S =299.3cm ，2表1让学生根据设计方案（2），作出图2后测量出表2、表3、表4中的数据，并填写．通过观察数据分别得到：表2表3表4综合观察表2、表3、表4可以得出：任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理．5．小组讨论、交流通过小组讨论交流找出漏掉或不容易发现的实验结论，培养学生团结合作的精神．6．归纳与猜想（得出结论）7．证明结论，撰写实验报告在撰写的过程中要注意数学公式的书写格式，数学图形要画标准标准，利用几何画板测量出的数据要真实．四、结束语运用几何画板做数学实验是一种新的方法和技术．让学生通过几何画板做数学实验去主动发现、探索，真正实现了直觉思维与逻辑思维的结合，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力都得到了很好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维能力，使学生的创造性思维得到了较好的发展．然而，数学实验毕竟是一个方法，计算机技术的本质也是数学技术，它只能执行人们给它的指令，它不能解决我们面临的所有问题，它只能作为一个辅助、一个有益的补充．所以，作为教师，应遵循教学规律，积极探索“几何画板”等先进教学媒体的功能和优势，使之真正成为数学教学的好帮手．[参考文献][1]张骏.运用几何画板软件做数学实验的研究与实践.中等职业教育,2005,2.36-38[2]侯旭奋.几何画板在数学教学中的运用.成才之路,2007,3.44-45[3]文玉蝉.几何画板—21世纪的动态几何.玉林师范学院学报(自然科学),2003,24(3).4-7[4]李葆萍,王迎,鞠慧敏.信息技术教育应用.北京:人民邮电出版社,2004.9[5]《新课标解读》委员会.新课标解读.镇江,2004[6]王道俊,王汉澜.教育学.北京:人民教育出版社,1999第5 页共5 页。
《几何画板》在高中数学教学中应用
《几何画板》在高中数学教学中的应用摘要：《几何画板》可以供人方便、快速地制作出许多教学课件，可以把对象或图形由静态变为动态，其操作简单、学习方便、功能强大，是一个优秀的教育软件。
本文通过个别简单例子，主要介绍了其在高中数学教学中的应用情况。
关键词：几何画板；高中数学教学；应用随着计算机多媒体的出现和飞速发展，网络技术广泛应用于各个领域，同时给学校教育带来了一场深刻的变革，人们越来越重视计算机辅助教学的重要性。
《普通高中数学课程标准（实验稿）》中明确要求：高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机结合，整合的基本原则是有利于学生认识教学的本质。
《几何画板》是从国外引进的一款教育软件，具有学习入门容易，操作简单，动画方便，图形和图像功能强大等优点，一直被许多数学教师所看好，是中学教学课件的主要创作平台之一。
一、《几何画板》在代数教学中的应用函数是高中代数中的代表。
函数既是高中数学中的重点，也是高中数学中的难点，它的概念和思维方法渗透于高中数学的各个部分。
函数之所以是学生素质教育进行时的重要材料，主要是因为其可通过运动变化的观点来刻画现实世界数量关系。
解析式和图象是函数的两种表达方式，其相互间经常需要对照，数形结合相当重要。
《几何画板》在解决数形结合问题的方面比传统教学中的手工绘图要更方便、更快捷。
我们传统的函数教学中教师主要是通过手工绘图来表达数形结合，但其存在着速度慢、精确度不高等弊端。
而《几何画板》可根据函数的解析式在同一坐标系上快速地做出一个或多个函数图像，其快速直观的显示可将抽象的内容具体化、形象化，从而大大提高课堂效率。
教学时利用《几何画板》既快速灵活，又不失一般性，使整个内容形象直观，还可帮助学生易于理解并接受函数的图象和性质，使数学的课堂变得丰富多彩。
二、《几何画板》在立体几何教学中的应用立体几何的是以公理为基础，依据图形的点、线、面的关系来研究三维空间图形的性质，是在学生已学到的平面图形知识的基础上讨论空间图形的性质。
空间几何体的直观图
画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？ 画轴 → 画底面 → 画侧棱 → 成图
例2 画正五棱锥的直观图
例3.画正六棱柱的直观图
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴；
2、画底面；
3、画侧棱；
yノ
4、成图。
oノ
xノ
正六棱柱的直观图的画法
Eノ Fノ
Aノ
zノ
Dノ Cノ
Bノ
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
思考:斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直 观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图 形？在实际画图时有什么办法？
学习立体几何应注意的问题
1．一看、二画、三想 2．平面几何里的性质，定理在空间图形的 某个平面内成立． 3．对今后所学的立体几何中的各种定义， 公理，定理，公式必须熟记，这是学好立体 几何的基础．
图画、照片等都是空间图形在平面上的反映， 通过对图像、照片的研究可以了解空间图形的一 些性质和特征。
步骤：
zノ
1、画轴；
2、画底面；
3、画侧棱； 4、成图。
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
zノ
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱；
Eノ Fノ
Aノ
Dノ Cノ
Bノ
4、成图。
yノ
E F
D C
A
oノ B
xノ
正六棱柱的直观图的画法
步骤：
1、画轴； 2、画底面； 3、画侧棱； 4、成图。
把空间图形在平面上反映出来，是一件很有 意义的事情。
用几何画板制作一般棱柱的_虚实型_旋转直观图
(6. 08°,29. 07°,60. 41°,79. 17°) . 以 O 为标记中心 , 把 X 以逆时针方向旋转 6. 08°得到 X′同样 , X 旋转 29. 07°得 到 X″, X 旋转60. 41°得到 X′″, X 旋转79. 17° 得到 X″″, OR 作为标记镜面. 其他作法类似 2 中 ⑤ 的后面作法.
⑤作弧 :过每条射线与大圆交点作 OX 垂线 ,过 射线与小圆交点作 OX 平行线 , 得到垂线与对应平 行线的 4 个交点( 下底面顶点) , 再把这 4 个顶点以 OS′为标记向量平移得到上底面 4 个顶点 ,连接这 8 个顶点得到斜四棱柱 ( 并不理想 , 为作弧用) . 拖动 点 Q ,使相邻侧棱在 OR 右侧重合时 ,度量出“里面” 侧棱 柱 的 对 应 顶 点 的 对 应 射 线 与 OX 所 成 的 角
①高中数学课本中多面体直观图的画法规则. ②将多面体上的点分组转化到圆( 也可能是不 同圆) 上以实现图形旋转 , 建立圆上的点与椭圆上 的点的对应关系以实现“直观图”, 利用多面体上的 点在圆的不同弧上的位置以实现虚实线转换. 2 制作底面内接于圆的直四棱柱的“虚实型”旋转 直观图
①度量 :设图 1 ( 左) 中四边形 A1 B1 C1 D1 是欲 作的四棱柱的底面 , 连接外接圆圆心 O1 与四边形 各顶点 , 度量出 ∠A1 O1 B1 = 70°, ∠B1 O1 C1 = 120°, ∠C1 O1 D1 = 150°, ∠D1 O1 A1 = 20°.
图2 ⑥—⑧类似于 2 中的 ⑥—⑧,不同的是平移下 底面顶点时要以 OS′为标记向量. 图 2 ( 右) 是隐藏 了垂线和平行线后的底面内接于圆的斜四棱柱的 “虚实型”旋转直观图的制作过程图 4 制作底面不内接于圆的直四棱柱的“虚实型”旋 转直观图 ①度量 :设图3 ( 左) 中四边形 A1 B1 C1 D1 是欲作 的四棱柱的底面 , O1 是过顶点 A1 B1 D1 的圆的圆心 , C1 不 在 这 个 圆 上 , 连 接 O1 与 四 边 形 各 顶 点 , 以 O1 C1 为 半 径 再 作 圆 , 度 量 出 ∠A1 O1 B1 = 50°, ∠B1 O1 C1 = 160°, ∠C1 O1 D1 = 30°, ∠D1 O1 A1 = 120. °
用几何画板制作“虚实”转化的棱柱(锥)旋转直观图的诀窍
用几何画板制作“虚实”转化的棱柱(锥)旋转直观图的诀窍226006 江苏省南通高等师范学校许冬云在文[1]、[2]、[3]中，分别叙述了如何制作立体图形的动态画面以及旋转是实现虚实的相应转化。
但是，本人总认为制作的步骤相对来说比较麻烦，尤其是文[3]，所以，本人结合一些数学原理来简化制作过程。
事实上，制作主要有三步，第一步是画水平放置的平面图形的直观图；第二步是画棱柱（锥）；第三步给棱柱（锥）的棱添加一定的修饰。
前两步比较简单，关键在第三步，本文作一些适当的说明。
首先看立体图形棱柱（锥）的直观图，何时哪些棱为虚线，当然是这些棱看不见时为虚线，但当圆柱（锥）转动时，相应棱的状态会发生变化，经过分析，发现如果该棱所在的两个面都可见时，或两个面中一个可见，另一个不可见时，相应的棱是实线，如果该棱所在的两个面均为不可见时，相应的棱是虚线（如图一中，棱SC所在的两个面面SCD和面SCB均为不可见，所以棱SC画虚线，棱SD所在的两个面，面SCD为不可见，面SAD为可见，则棱SD画实线）。
余下的问题是如何表示一个面是否可见，高等数学中有三角形的面积公式，如果顶点的坐标分别为，那么，行列式的值可以是正也可以是负，是正，说明三角形的3个顶点是按逆时针排列，是负，说明三角形的3个顶点是按顺时针排列。
所以当一个面是可见时，如面SAD，可逆时针选取该面上的三点，计算行列式值，借助符号函数，得到＝1，当一个面不可见时，如面SCD，可顺时针选取该面上的三点，计算行列式值，借助符号函数，得到，从而可以创建一个“修饰棱”的工具，当选中棱的两个顶点，以及该棱所在两个平面的可见值，就可以确定该棱是实线还是虚线。
图一具体制作方法如下：一．制作工具“面的可见性”1．新建平面直角坐标系。
2．在坐标系内画三个点，依次测量它们的横坐标和纵坐标，3．计算表达式的值4．计算的值5．单击【编辑】－【选择所有】，然后依次单击点，，同时按CTRL+H，隐藏不必要的部分。
几何画板课件制作实例教程——立体几何篇
几何画板课件制作实例教程（4）中学数学——立体几何几何画板绘制各种立体图形非常直观，可以解决我们从平面图形向立体图形、从二维空间向三维空间过渡的难题。
它确实能把一个“活”的立体图形展现在我们的眼前，为培养我们的空间想象能力开辟了一条捷径，从而使我们对空间图形有一个更全面的认识。
目录实例44 异面直线所成的角实例45 旋转二面角实例46 切割三棱柱实例47 截锥得台实例48 棱柱、棱锥、棱台的辨证统一实例49 圆的直观图实例50 圆柱实例44 异面直线所成的角【课件效果】本实例用于演示异面直线所成的角，目的是帮助学习者理解其中平移的含义。
如图2-140a所示，直线CC’在平面内，直线EE’在平面外，单击按钮【改变角度】，可以调节直线EE’的倾斜度，单击【动画】按钮可以动态展示直线EE’平移的过程，如图2-140b 所示；拖动点“旋转”，让平面和直线左右旋转；拖动点“滚动”，让平面和直线前后滚动；控点“Scale”控制图形显示比例。
ab图2-140 课件效果图【构造分析】1．技术要点◆将对象按向量平移◆利用多边形上的点控制对象的运动◆自定义工具的使用2．思想分析为简化制作过程，本实例使用了自定义工具构造出三维坐标系，在坐标系基架上构造平面和直线，为使异面直线能进行旋转运动，本实例利用多边形上的点的运动进行模拟，达到改变异面直线所乘角大小的目的；按向量进行平移变换是几何图形构造中常用的方法，读者可以在学习过程中多思考多研究，力争能达到灵活运用。
【制作步骤】1. 利用三维坐标系构造平面和平面内的直线（1）新建一个画板文件，选择【文件】|【保存】命令，将这个画板文件保存为“异面直线所成的角.gsp”。
（2）单击【自定义工具】，选择【三维坐标】命令，在画板适当位置单击两次，做出三维坐标系，调节点“滚动”和点“转动”，效果如图2-141所示。
图2-141 建立三维坐标系说明：【三维坐标】工具包含在文档“异面直线所成的角.GSP”中，打开即可使用。
利用几何画板开展探索性数学实验
利用几何画板开展探索性数学实验一、几何画板做探索性数学实验的优势几何画板是由Scott Steketee和Nick Jackiw共同开发的计算机应用软件，它是一个小巧但功能强大、使用简单的数学实验工具，有简明朴素、短小精悍的特点．用几何画板做数学实验花时少、收效好，在对各种图形或数量进行变换的操作中，可以动态地保持数量与数量、图形与图形、数量与图形之间的关系，并能展示其中某些恒定不变的规律．它是动态探究数学问题的实验室，是培养学生创新意识的实践园地．按照不同的教学目的和要求，利用几何画板做数学实验分三种类型：观察性实验、验证性实验、探索性实验．所谓“探索性实验”就是创设适当的问题情景，利用几何画板的动态演示功能，发现问题、解决问题，将学习数学作为再创造过程，积极开展研究性学习，探索新知识．探索性数学实验的核心是“问题的提出”．用几何画板进行探索性数学实验容易激发学生提出自己的问题，通过研究、探索不断产生新的问题，使得已解决的问题又成为新问题的起点，从而引发出更深层次的研究、发现、解决问题，最终达到数学问题的彻底解决．用几何画板进行探索性数学实验能使学生成为真正的主人．学生能够通过对数学知识的学习理解、几何画板的运用，从中不断进行猜想、论证并得出结论，从而不断形成研究数学的积极态度．教师的角色也由课堂的主宰者转变为数学活动的组织者、指导者、参与者和研究者．用几何画板进行探索性数学实验能使问题的开放性增强．这样有效的拓展了学生学习的空间，培养了学生研究的兴趣、解决问题的欲望及发现问题、解决问题的能力．用几何画板进行探索性数学实验的实施有两个显著的特征：其一是“活”，表现为学生的学习积极性、主动性和学习活动的生动性有明显的增强，学生往往会迸发出智慧的火花；其二是“动”，表现为让学生真正的动手操作、观察、研究、思考．因此，几何画板可以提供一个十分理想的“做”实验的环境，完全可以利用它来做数学实验．二、使用几何画板做数学实验的一般步骤中学数学新教材中安排了大量的探究活动．如何在课堂中让学生参与探究活动，是成功实施新课程改革的关键．但对于复杂而抽象的图像和图形的探索，如果还只靠传统的笔和纸是很难开展的．而使用几何画板设计数学实验能够帮助学生从动态中观察、探索、发现数学规律和结论，使学生在实验中进行探索、在探索中进行实验，丰富了探究的内容和内涵．使用几何画板做实验必须要先设计好实验方案与步骤，它是实验成功与否的关键，同时实验方案是实验课件设计的依据．一般使用几何画板做数学实验有以下几个步骤：1、确定实验目的：数学实验的目的是解决某数学问题，验证某个数学猜想或探索某个数学结论．目的要明确，结论要清楚．2、设计方案：根据实验的目的和研究内容确定实验方案和具体的操作步骤．3、设计实验课件：根据实验方案和操作步骤设计且要让学生操作方便．4、“做实验”，做好观察和记录：操作时只要按设计好的方案和步骤进行即可，但一定要认真观察思考和记录相关数据．5、小组讨论、交流：这环节不能缺，它是培养合作精神、进行数学交流的重要环节，同时只有把实验与交流完美结合才能突出数学知识形成的完整过程．6、归纳与猜想（得出结论）．7、证明结论，撰写实验报告．其中第二步是最重要的，只有结合几何画板的功能，设计出具体可行的实验方案，和容易操作的实验步骤，实验才能成功．三、例谈用几何画板做探究性数学实验根据以上的步骤，在此，就具体举例说明一下如何利用几何画板进行探索性实验．案例探究勾股定理的应用．探究导入让学生打开各自电脑桌面上的“勾股定理的应用. gsp”文件，以直角三角形ABC的三边向外作正方形ABFG、AHKC、CBED，并说出它们的关系是什么？1．实验目的勾股定理是我国古代数学的一项伟大成就．它为我们提供了直角三角形三边之间的数量关系；它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据；同时它也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法，这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面．学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解．在勾股定理的探索和验证过程中，体现了数形结合的思想．而学生已有的知识能力水平很难从代数表示联想到相关的几何图形，由几何图形联想到相关的代数表示，这对学生具有一定的挑战性．本课时是华师大版八年级(上)数学第14章第二节内容，是在掌握勾股定理的基础上对勾股定理的应用之一．第 3 页 共 5 页本实验的目的就是要将几何画板与勾股定理的教学结合起来，体现几何画板在这类教学中的优势，让学生在提高观察能力和动手能力的同时，体会到勾股定理的重要性并能灵活运用这一定理．2．设计方案（1）利用几何画板分别以直角三角形ABC 的三边向外作正方形ABFG 、AHKC 、CBED (见图1)，通过计算机让学生利用几何画板的“测量”功能对三个正方形面积进行度量，并说出它们的关系．通过测量，学生发现CBED ABFG AHKC S S S +=，接下来让学生连接EF 、GH 、KD ，分别以EF 、GH 、KD 为边作正方形ELMF 、GNOH 、KPQD ， 再连接MN 、OP 、QL (见图2)．图1 图2（2）让学生猜想：① ABC Δ、DCK Δ、EBF Δ、AGH Δ这四个三角形面积有什么关系？② 四边形DELQ 、FGNM 、HOPK 是什么四边形，它们分别与上述四个三角形有什么关系？③ 正方形QDKP 、ELMF 、GMOH 的面积有什么关系？（3）引导学生利用“测量”功能对上述三角形、四边形、正方形分别进行测量，通过讨论、交流得出以下结论:AGH DCK ABC S S S ΔΔΔ==；四边形HOKP FGNM DELQ S S S ==；任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理． （4）任意拖动C 点在平面上运动, 将直角三角形改为任意三角形ABC ，上述结论均成立．在上述探究过程中，通过测量，学生认识和掌握数学科学研究方法，深入理解数学真理是非常有益的．3．设计实验课件制作“勾股定理应用．gsp ”文件放在电脑桌面上，文件内容如图3．4．“做实验”，做好观察和记录：E DHB让学生根据设计方案（1）,作出图1后测量出表1中的数据，并填写．通过观察数据得到三者之间的关系：DCBE S ＋BAGF S =KHAC S ． 例如：在几何画板界面中，任意拖动点C ，得到随机的一组数KHAC S =296.5cm ，DCBE S =299.3cm ，2表1让学生根据设计方案（2），作出图2后测量出表2、表3、表4中的数据，并填写．通过观察数据分别得到：表2表3表4综合观察表2、表3、表4可以得出：任意一个梯形的面积是上述任一个三角形面积的5倍；正方形QDKP 、ELMF 、GNOH 的面积不存在两个小正方形面积的和等于大正方形的面积, 即DK 、EF 、GH 不满足勾股定理．5．小组讨论、交流通过小组讨论交流找出漏掉或不容易发现的实验结论，培养学生团结合作的精神．6．归纳与猜想（得出结论）7．证明结论，撰写实验报告在撰写的过程中要注意数学公式的书写格式，数学图形要画标准标准，利用几何画板测量出的数据要真实．四、结束语运用几何画板做数学实验是一种新的方法和技术．让学生通过几何画板做数学实验去主动发现、探索，真正实现了直觉思维与逻辑思维的结合，不仅使学生的逻辑思维能力、空间想象能力都得到了很好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维能力，使学生的创造性思维得到了较好的发展．然而，数学实验毕竟是一个方法，计算机技术的本质也是数学技术，它只能执行人们给它的指令，它不能解决我们面临的所有问题，它只能作为一个辅助、一个有益的补充．所以，作为教师，应遵循教学规律，积极探索“几何画板”等先进教学媒体的功能和优势，使之真正成为数学教学的好帮手．[参考文献][1]张骏.运用几何画板软件做数学实验的研究与实践.中等职业教育,2005,2.36-38[2]侯旭奋.几何画板在数学教学中的运用.成才之路,2007,3.44-45[3]文玉蝉.几何画板—21世纪的动态几何.玉林师范学院学报(自然科学),2003,24(3).4-7[4]李葆萍,王迎,鞠慧敏.信息技术教育应用.北京:人民邮电出版社,2004.9[5]《新课标解读》委员会.新课标解读.镇江,2004[6]王道俊,王汉澜.教育学.北京:人民教育出版社,1999第5 页共5 页。
几何画板作品100例小学数学
几何画板作品100例小学数学第一章小学数学1.1数与代数实例1整数加法口算出题器实例25 以内数的分成实例3分数意义的动态演示实例4求最大公约数和最小公倍数实例5直线上的追及问题1.2 空间与图形实例6三角形分类演示实例7三角形三边的关系实例8三角形内角和的动态演示实例9三角形面积公式的推导实例10长方形周长的动态演示实例11长方体的初步认识实例12长方体的体积 .1.3 统计与概率实例13数据的收集与整理实例14折线统计图第二章中学数学2.1平面几何实例15中点四边形实例16三角形的高线实例17三角形全等实例18三角形拼接成平行四边形实例19三线八角实例20变式习题实例21轴对称图形 .实例22三角形相似实例23正n边形实例24平行四边形的面积实例25环形跑道实例26圆幂定理实例27车轮的滚动实例28动画彩轮2.2代数实例29一次函数实例30二次函数图像的动态演示实例31二次函数在闭区间上的值域实侧32. 两数的报合工具|实例33圆周上的追及问题实例34二分法求方程的根实例35函数y=a x的图像与y=log a x的图像的关系实例36用函数的观点研究等差数列前n项和的最值实例37等比数列的图像 (一)实例38等比数列的图像 (二)实例39函数 y= Asin(wx+中)的图像实例40轨迹- -边红、一边篮实例41正弦函数线实例42定积分意义的动态演示实例43打造个性化的课件2.3立体几何实例44异面直线所成的角实例45旋转二面角实例46切割三棱柱实例47截锥得台实例48棱柱、棱锥、棱台的辨证统一实例49圆的直观图实例50圆柱2.4解析几何实例51直线的斜率实例52两直线重直实例53网页探究型课件实例54览相圆大双曲线)的第二定义印实例55椭圆长、短轴变化(一)实例56椭圆长、短轴变化(二)实例57椭圆工具(已知项点和任意-一点) 实例58发掘课本习题的作用实例59半椭圆实例60双曲线的第一定义实例61双曲线的切线实例62抛物线的切线实例63抛物线的焦点弦实例64圆锥曲线的统一形式实例65与定线段成定张角的点的轨迹实例65与定线段成定张角的点的轨迹实例65与定线段成定张角的点的轨迹实例66到定点的距离与定直线的距离的比值等于定值的点的轨迹实例67与两定点的距离的比值等于定值的点的轨迹实例68与两定点连线的斜率之积等于定值的点的轨迹实例69与两定直线的距离之积等于定值的点的轨迹实例70心形曲线的构造第三章中学物理3.1力学实例71运动的合成与分解实例72圆周运动与向心力实例73匀变速运动 s-t图像研究实例74匀加速运动物体追赶匀速运动物体问题研究实例75动态演示力的分解实例76波的形成实例77调幅波与调频波实例78波的传播与质点振动实例79单摆实例80运动的合成与分解一纯滚动实例81弹簧摆的李萨如图实例82地球突然失去重力以后实例83简谐运动的图像实例84纵波的形成与传播实例85光斑的移动实例86水星的进动实例87行星的椭圆轨道3.2光学实例88光的三原色实例89水的折射成像研究实例90彩虹的成因实例91抛物线的光学特性3.3电磁学实例92电容器内部的场强与正对面积的关系实例93回旋加速器的工作原理实例94交流电的产生3.4热学实例95扩散现象实例96浸润现象与不浸润现象实例97分子间力3.3 自定义物理工具实例98力的分析工具实例99自定义弹簧工具实例100自定义箭头工具。
GeoGebra_软件在高中数学教学中的应用探究
㊀㊀㊀㊀㊀ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的应用探究ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的应用探究Һ雷青兰㊀（湖南省郴州市第一中学北校区，湖南㊀郴州㊀４２３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ随着我国社会生产力与科技的不断发展，教育领域也发生了很大变化．改变传统的教学方法和观念，运用现代化的教学技术手段，成为满足教育改革要求和提高课堂教学效果的关键．ＧｅｏＧｅｂｒａ软件是现代化教学工具，具有操作简单方便㊁交互性强㊁学习效率高以及应用范围广等特点，将其运用到高中数学教学中，可将抽象的数学图形直观地展示给学生，帮助学生形象地理解和学习抽象的数学知识，在提升数学课堂教学效果和教学质量等方面具有积极的作用．文章介绍了ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的概念，并深入分析了ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学中的运用，希望能帮助教师合理掌握ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的运用．ʌ关键词ɔＧｅｏＧｅｂｒａ软件；高中数学；教学应用ʌ基金项目ɔ本文系２０２２年湖南省郴州市教育科学 十四五 规划一般课题 ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的应用探究 （课题批准号：ＣＪＫＧ２０２２Ｂ０２８）的阶段性成果．引㊀言随着科学技术的不断进步与社会经济的飞速发展，人们对现代信息传递手段有了新的要求，这也给信息化教学带来了新的发展契机．为满足教育改革的要求，教师需要对传统的教学方法进行创新，实现现代信息化技术与课堂教学的有效融合．而将以ＧｅｏＧｅｂｒａ软件为代表的现代化教学工具应用到高中数学教学中，能直观地展示抽象的数学知识，提升学生数学学习的兴趣，有效提升学生的数学学习能力．一㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ软件简介ＧｅｏＧｅｂｒａ是一款结合几何㊁代数和微积分的动态数学教学软件，其作为动态的几何软件，可以作点，画向量㊁直线㊁线段㊁函数等，还能根据输入的数值对图形进行相应的调整，让学生直观观察抽象图形的动态变化．ＧｅｏＧｅｂｒａ软件不仅能够提供大量的计算工具，还能进行各种几何变换，如旋转体㊁旋转角度及平移角等，从而帮助学生多角度认识事物的本质．ＧｅｏＧｅｂｒａ由几何工作窗口㊁代数工作窗口和工作表窗口组成．在ＧｅｏＧｅｂｒａ代数命令窗口输入表达式，按下回车键，代数区内会出现代数表达式，还会有对应的图形出现，实现了数与形的统一，能够让学生用代数方法学习几何．总之，ＧｅｏＧｅｂｒａ软件具有辅助求解代数㊁几何问题等功能．教师应用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件开发高中数学实验课件，能发展学生的数学直观意识，简化学生的学习思维方式，帮助学生深入理解深奥的数学问题．二㊁ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的应用分析（一）创建直观形象教师可借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件为学生创设问题情境㊁想象情境与实验情境等，让学生在实际教学情境中直观地观察需要学习的知识，也会激发学生的好奇心和求知欲，使学生产生自主探究的意识，由此促进学生对数与形转化规律的掌握．就高中数学教学而言，最重要的就是让学生通过数形结合理解数学知识，借此对数学知识有一个更深刻的认识．例如，对立体几何，教师在制作课件时可先在ＧｅｏＧｅｂｒａ软件上使用３Ｄ绘图功能画图，再配合ＧｅｏＧｅｂｒａ里的动态功能制作实验教学课件，借此更直观㊁更形象地展示数学知识，让学生直观感知图形的性质，使学生在头脑中产生有效的视觉意识，最终提升学生的直观想象能力，帮助学生借助几何图形探索数学问题，促使学生形成几何直观意识，这样既能填补实物模型的空白，还能完成抽象几何向直观图形的转换．以 立体图形的直观图 的教学为例，其教学重点是让学生绘制空间几何体直观图，为学生学好立体几何打下基础．因此，教师在教学中如何帮助学生正确地画出各种形式的空间图形就显得十分重要．课程主要介绍了斜二测画法，它具有形象直观㊁容易记忆和运用等特点，所以在实际教学中被广泛应用．因此，在本课中教师首先要帮助学生掌握斜二测画法．教材中㊀㊀㊀㊀㊀给出了长方体㊁圆柱以及圆柱与圆锥组合体的直观图绘制方法．由于这些图形中各部分形状不同，因此它们都有相应的直视图或斜视图．在教学中，教师可运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件可动态绘制图形的优势进行适当的延伸，让学生探讨圆锥㊁圆台㊁球的直观图画法，进而使学生掌握绘制空间几何体直观图的方法，认识空间几何体直观图，从直观层面学习基本的立体图形知识，加深学生对多面体㊁旋转体㊁组合体等多种图形的理解，让学生深刻了解平面与空间几何之间的关系，更好地掌握立体几何的概念以及规律．借助图形这一工具实现数形之间的相互转化是一种行之有效的教学方法．教师可利用几何画板等辅助设备进一步增强直观教学手段的实用性和有效性．例如，教师可使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件画圆柱体，让学生从不同的角度观察圆柱体，或者将三维立体图像展示给学生，进一步加深他们对物体形状和大小等方面的认识与理解．学生可利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的几何功能区绘制圆柱体，然后按照提示在坐标系中对圆柱体上下底面的圆心进行处理，选择下底面圆心，输入底面半径，再点击确认，右边绘图区将自动产生一个圆柱．学生还可借助几何图形辅助运算操作，如要将二维图形转换成三维空间物体模型，则需要根据三维建模方法建立三维坐标系，之后才能创建出具有立体感的物体模型，使学生在动手模拟绘图的过程中更加直观地认识相应图形，并且在数与形不断转化与关联的过程当中对数学知识形成更加明确㊁直观的理解．（二）构建知识模型教师在对不同知识点进行讲解时运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件，可使学生灵活运用已获得的经验与知识深化对数学知识的把握与理解，建立旧知识和新知识之间的关联，从而有效运用数学方法解决实际问题．就高中数学教学而言，教师可通过数形结合让学生理解数学知识，用数形结合实现代数问题与几何问题的相互转化，使几何问题代数化，借此让学生对数学问题有一个更深刻的认识，并借助几何直观发展学生的抽象思维能力，帮助学生学会利用图形进行解题分析与求解，将抽象问题具体化，复杂问题简单化，激发学生的学习兴趣与探索欲．教师也可以借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行教学，准备数形结合的数学实验课件，由此直观展现数与形的本质联系，让学生借助建构几何图形探索数学问题，使学生形成几何直观意识．另外，教师借助几何图形进行辅助运算操作，也有利于促进学生对数与形之间相互转化规律的掌握．教师可采用构造图形的方法帮助学生理解代数问题的解决思路，让学生掌握数与形的联系和转化方法，使学生更加容易找到数学问题的解决方法．教师借助这一方式还能够促使学生将抽象的数学知识具体化，从而便于理解和掌握．这种直观的教学手段对学生数形转换能力的构建起到了很好的促进作用，还能激发学生对数学知识的学习兴趣．以 函数的概念和性质 的教学为例，在教学过程中，教师可以利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件制作课件，以此更直观地显示对应图形和函数式之间的联系，从而让学生在观看课件后学会探讨其内在关系，增强数学转换的意识．在此基础上，教师可将抽象的数学知识转化成具体形象的图像信息，帮助学生更好地理解相关内容．通过这一教学模式，学生既能深刻体会数形结合的含义，又能学会运用图形求解数学问题．（三）师生共同参与传统的数学课堂一般都是教师先向学生传授深奥的理论知识，然后布置作业，让学生加深对知识的理解，但是这种教学方法不但不能强化学生的知识学习效果，还会让学生丧失学习的热情．因此，要想提高课堂效率，教师就必须改变传统教学方式，引入更多先进的教育理念和教学方法．教师可应用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件进行演示教学，再依据教学问题或引申问题，让学生亲自动手进行探索．具体的操作如下．第一，教师在学生动手操作的过程中在一旁观摩，在学生遇到问题时予以帮助和指导，让其学会独立动手和自主思考，以此达到ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学课堂中的运用实效．在实际教学当中，教师不仅应该帮助学生解决疑难问题，还要对学生提出有效的意见和建议，如此才能更好地提升教学质量．第二，教师作为教学活动的组织者，应该发挥主导作用，保证课堂教学活动的有序开展，在教学中掌握节奏，恰当地对课堂中出现的问题加以指导，指出学生在学习上存在的问题，切实发挥教师组织者㊁策划者的应有作用．第三，教师应充分结合教材内容以及学生学情设计出符合教学要求的问题，让学生把学习中遇到的深奥㊁不易掌握的知识点记录下来反馈给教师，教师及时给予指导，帮助学生解决疑难问题．使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件授课时，教师可在教学中精心㊀㊀㊀㊀㊀设计互动与提问环节，并引导学生上台动手操作，让学生自主探索知识．在这一基础上，教师可以将数学知识与现实生活相结合，借助这一手段培养学生的创新思维能力，从而达到优化教学效果的目的．另外，在教学过程中，教师应结合具体教学内容设置不同类型的问题，鼓励学生积极提出问题与解决方法，从而有效培养学生分析问题和解决问题的能力．在向学生传授重难点知识的过程中，教师可使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件，采用分组的方式，指导学生开展组内讨论，以此培养学生的合作探究精神．如开展 简单几何体的表面积与体积 的教学，本节主要内容是计算柱体㊁锥体㊁台体的表面积与体积，学生初次计算时会因图形太抽象感到无所适从，为此教师可以运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件绘制柱体㊁锥体㊁台体，并向学生展示几何图形的展开图，让学生弄清组合体的组成形式，这样学生就能掌握多面体表面积计算就是求各个面的面积和，圆柱体㊁圆锥体㊁圆台体的侧面是曲面，侧面积计算需要将曲面展开，表面积就是侧面积与底面圆的面积的和．之后，教师可根据图形的组成形式，让学生学会利用 拼接面 切割 补形 的方法求几何体的表面积和体积．为了进一步探究柱体㊁锥体㊁台体的表面积与体积的区别与联系，教师可先将学生分为小组，然后用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件指导学生组内讨论，以此提升学生学习的积极性．之后，教师可根据教学内容选择不同类型的教具展示相关几何体，或者指导学生使用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件绘制相关几何体，通过亲自动手或者组内互动探索这部分数学知识，从而发挥学生在学习中的主观能动性．（四）学生自主探究课前预习是提高高中数学课堂教学效率和效果的重要环节之一，也是培养学生学习兴趣以及探索精神的重要途径．对学生不易掌握的内容，教师可将其与其他学科相结合，这样能够激发学生的求知欲和探索欲，提高教学质量．教师可先用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件向学生进行演示教学，然后根据引申问题让学生进行动手操作，切实培养学生的直观观察能力㊁抽象概括能力㊁联想能力与读图能力．同时，教师可借助此软件帮助学生分析数学习题，并归纳总结出相应的解题规律与方法，或者借助软件对部分数学知识进行辅助解释，从而使学生借助这一工具加深对所学知识内容的理解与掌握．另外，在这个过程当中，教师可借助教学课件，让学生利用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件观察数学图形，概括数学知识．以 三角函数 教学为例，学生在初中阶段就学习过锐角三角函数知识，所以对本节课内容学习具备一定的基础．学生面临的一个新的学习问题是：角这一概念扩展后，原来熟知的锐角三角函数能否同样扩展为任意角？这一问题可使学生体验新知识产生的可能性和自然性．教师借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件导入新课能使这个问题的解决变得更轻松．教师可在ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的辅助下利用几何画板进行动画演示，让学生系统地理解该部分内容，同时让学生借助该软件探究不同角度下正弦和正弦波之间存在着怎样的变化规律，加深学生对该部分内容的认识．然后，教师可让学生求解任意角的三角函数值，学生可以直观观察到只要找到角的终边，使得终边端点与原点之间有１个单位距离，便可求出这个角的三角函数值．然后，教师可引导学生学习弧度的定义：长等于半径长的圆弧所对应的圆心角为１弧度，单位缩写是ｒａｄ．在此基础上，教师可提出计算圆周长及面积的两种方法．此外，教师可借助ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的动态演示，帮助学生认识π和１８０ʎ，２π和３６０ʎ之间的关系．运用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件编制数学实验课件既能有效指导学生学习，又能有效地促进学生观察能力的发展．结㊀语总之，ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的运用能帮助学生形成更加形象㊁直观的数学认识，更好地理解和掌握数学知识．同时，教师通过该软件可以更好地促进教学活动的开展，学生会因ＧｅｏＧｅｂｒａ软件带来的数学美感而提升学习数学的兴趣．所以，高中数学教学应该从教学和学生实际出发，将ＧｅｏＧｅｂｒａ软件合理穿插到数学教学中，培养学生的自主探究能力，提升高中数学教学的成效．ʌ参考文献ɔ［１］何丽萍．在高中数学教学中应用ＧｅｏＧｅｂｒａ软件的策略［Ｊ］．基础教育论坛，２０２２（３１）：１１１－１１２．［２］周李晓．ＧｅｏＧｅｂｒａ与高中数学教学深度融合的案例研究［Ｊ］．理科考试研究，２０２２，２９（２１）：２５－２６．［３］张文香．ＧｅｏＧｅｂｒａ软件在高中数学教学中的探究性应用［Ｊ］．家长，２０２２（２９）：５５－５７．。
平面图形直观图画法浅释
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空间几何体的直观图 课件
其中 AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋ 2，AB＝2，
1＋（1＋ 2）
故梯形 ABCD 的面积 S＝
2
×2＝2＋ 2.
类型 3 直观图的还原与计算(互动探究)
[典例 3] 如图所示，一个水平放置的平面图形为斜 二测直观图是一个底角为 45°、腰和上底长均为 1 的等腰 梯形，求这个平面图形的面积．
解：因为 A′D′∥B′C′，所以 B⊥BC.所以四边形 ABCD 是直角梯形，如图 所示．
第三步 连接 A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去多余 的辅助线，得到的图形就是所求的正方体直观图．
归纳升华 画简单几何体直观图的步骤
1．画轴：通常以高所在直线为 z 轴建系． 2．画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面． 3．确定顶点：利用与 z 轴平行或在 z 轴上的线段确 定有关顶点． 4．连接成图．
空间几何体的直观图
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的 步骤
温馨提示 斜二测画法中，“斜”是指直接坐标系 xOy 变成斜坐标系 x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或 135°)．
2．空间几何体直观图的画法
(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个 z 轴，直 观图中与对应的是 z′轴．
(4)连接 A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线 G′A′， H′D′，x′轴与 y′轴，便得到水平放置的正五边形 ABCDE 的直观图 A′B′C′D′E(如图③)．
归纳升华 1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当 的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点 在坐标轴上，以便于画点．
(2)直观图中平面 x′O′y′表示水平平面，平面 y′O′z′和 x′O′z′表示竖直平面．
空间几何体的直观图
空间几何体的直观图空间几何体的直观图空间几何体是指在三维空间内具有一定形状和大小的实体物体。
它们可以由各种几何元素如点、线、面构成，是描述和研究物体形状和大小的基础概念。
直观图是用于表示和展示空间几何体形状和结构的图形，它通过二维平面上的投影方式将三维物体展示出来，给人以直观的感受。
在空间几何体的直观图中，最基本的几何体是点、线、面和体。
点是空间中没有大小、没有形状的基本元素，用一个小圆点表示。
线是由两个点连接而成的几何元素，用一条直线或者线段来表示。
面是由多个线连接而成的平面几何元素，可以是平面、曲面或者多边形。
体是由多个面组成的三维几何元素，有长度、宽度和高度的三个维度。
对于不同的空间几何体，直观图的表示方式也不同。
比如平面几何体如正方形、长方形、圆形等，可以直接在平面上用几何图形表示出来，如用线段表示边，用圆表示角等。
而在直立几何体如立方体、圆锥体等，需要用三维图形表示。
这时可以通过投影的方式将三维物体映射到二维平面上，形成直观图。
在直观图中，我们可以通过不同的颜色、线型、阴影等方式来表示几何体的不同特征和属性。
例如，可以用不同的颜色来区分不同的面或不同的几何体；可以使用实线、虚线或点线来表示不同的边或者边界；还可以添加阴影、平行投影或透视投影来增强几何体的立体感。
通过直观图，我们可以清晰地看到几何体的形状、大小、结构等信息。
它能够帮助我们更好地理解和分析几何体的性质和特征，辅助我们进行几何定理的证明和解题。
总之，直观图是一种非常重要的工具，可以帮助我们更加直观地理解和研究空间几何体。
通过直观图，我们可以更好地探索和应用几何知识，提高我们的空间思维能力和几何观察力。
在数学、物理、建筑、机械等领域，直观图都有着广泛的应用价值。
运用_几何画板_作正方体的截面
定”, 运用文本工具修改为“移动 E 点”, 得到 E 点在直线B C 上的动画按钮, 同样得到 F 在 直线 B A 上、G 点在直线B B 1 上的动画按钮.
(4) 隐藏点 E , F , E 1, F 1, G.
(2) 拖动直线 E F、直线 EG、直线 FG (也 可 以使用动画按钮进行移动) , 仔细调试, 同 第一步作出平面 E FG 在不同位置情况下与 正 方体的截面图, 作截面图时共应作出 8 个 三角形、15 个四边形、24 个五边形、4 个六边 形.
(3) 击“显示 显示所有隐藏”后, 按住 “sh ift”同时反选点 E , F , G 后, 单击“显示
·3 4· 中学数学月刊 2005 年第 2 期
隐藏对象”, 再隐藏相关辅助线, 得到截面图. 说 明: 在以上图形中可随意拖动点 E ,
F , G 点 (或使用动画按钮) 来改变截面的位 置 及形状, 但上述作图方法不能得到与棱平 行 的截面图. 仿照该作图原理可以作出平行 于 棱的平面截正方体所得截面. 具体作法如k
是f
(x ) 的最小正周期.
然而, 这一方法并不可靠.
反例: f 1 (x ) = sin 10x - sin 3x , T 1 =
2Π, f 2 (x ) = sin 3x , T 2 = 23Π, T 1, T 2 的最小 公倍数 T = 2Π.
和 函 数 f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ) =
(1) 按照斜二测画法作水平放置的正方 体直观图;
(2) 作直线B B 1、直线A B , 在直线A B 上 取一点 E , 在直线 B B 1 上取一点 F , 作直线
【2019年整理】《几何画板》培训在立体几何中的应用
《几何画板》在立体几何中的应用一、绘制正方体方法一、斜二侧画法第1步，启动几何画板，单击工具箱上的“直尺”工具，按住“shift”键不放，在操作区作出一条水平线段AB。
第2步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A，依次单击“变换”→“标记中心”菜单命令，将点A标记为中心点。
选中点B和线段AB，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，弹出对话框，在“固定角度”框种填入“90.0”度，单击“旋转”，即可得到线段AB旋转90.0度后的线段AB'。
单击工具箱上“文本”工具，改标签“B'”为“D”。
用同样方法，以点D为中心点旋转AD，作出线段DC。
选中点C和点B，按快捷键“ctrl+L”，作出线段CB，即得到正方形ABCD的前侧面。
第3步，移光标至点A，双击鼠标左键，标记中心点。
同时选中线段AB和点B，依次单击“变换”→“旋转”菜单命令，在对话框“固定角度”框中填入“45”度，单击“旋转”按钮，作出线段AB按逆时针旋转45度的线段AB'。
选中线段AB和点B，依次单击“变换”“缩放”菜单命令，弹出对话框，设置参数缩放比为1/2后，单击“确定”按钮，作出线段AB'缩小一半的线段AB''。
第4步，单击工具箱上的“文本”工具，将标前“B''”改为“A'”。
单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中线段AB'和点B'，依次单击“显示”→“隐藏”菜单命令，将其隐藏。
第5步，同样方法，以点B为中心点，将线段BC和点C旋转-45度，并将旋转后的线段缩小一半，绘制出线段BB'，同理形成这样的图形。
第6步，单击工具箱上的“选择箭头”工具，选中点A'、点B'、点C'、点D'，按快捷键“ctrl+L”，作出正方体的后侧面。
即得到正方体。
D'DCBD' D方法二、正等侧画法二、转动的正方体方法一、椭圆模拟法（轴测投影）使用计算器中的画板作动态直观图的基本方法和使用原画板相同，在此简单介绍如下；1．用椭圆上点和圆上点的对应做出转动的平面或多面体的底面．方法是：以平面上一点O为圆心、两条给出的线段m、n为半径作两个同心圆；在大圆上取动点A，在小圆上取动点B；连结OA,作射线OB交大圆于C；过B作OA的平行线与过C作OA的垂线相交于M，则M关于B的轨迹就是一个椭圆，点M是圆上点C在椭圆上的对应点；把点B以O为中心旋转90得到点D，用同样的方法作D在椭圆上的对应点N；把M、N以O为心旋转180得到点E、F，连接四边形MNEF。
用几何画板进行数学研究性学习的三种方法
用几何画板进行数学研究性学习的三种方法宜都二中周清目前，信息技术在数学教学中的应用开展得如火如荼，但是主要还停留在老师制作课件、学生接受学习的层面上，在运用信息技术开展高中数学研究性学习方面做得相对不足，其原因是一般的软件如PowerPoint、Authorware、Flash、3Dsmax 等在数学教学应用中的针对性不是很强，教师应用都很不方便，更不用说明学生了。
几何画板是一种适合数学教学的简单工具，教师只要在开始的时候利用几节课或兴趣小组活动中教会学生使用几何画板的基本功能和数学内涵，上数学课（特别是有图像、图形的几何课）的时候学生自己动手分析会产生意想不到的效果，学生使用几何画板的过程和物理、化学中的学生实验类似。
物理、化学实验有演示实验、学生实验，用几何画板可以老师演示（传统的课件），也可以学生自己探索（信息技术和数学课程整合）。
用几何画板进行研究性学习要遵循“问题――研究――交流――反思”的认知规律，主要有老师引导式、学生自主研究式、小组合作研究式等具体方式。
1、教师引导式教师引导式就是教师根据所要研究学习的内容精心设计问题的发现和提出方式，努力使学生的研究情境进入“最近发展区”。
在教学内容上选择难度较大、有挑战性、探索性的知识，通过教师的适当引导，从中发现问题、提出问题、解决问题。
教师引导式研究性学习方式以教师制作课件、学生观察为主，把培养学生探索数学问题的意识、提高学生的探求数学问题的能力作为研究性学习的起点和归宿。
举例：《二元一次方程表示的平面区域》（《线性规划》第一节课）教学目标：⑴学生能在教师的指导下观察课件、分析和学习教材的内容。
⑵掌握必要的数学知识和技能。
⑶会利用几何画板软件自主研究、设计《二元一次方程表示的平面区域》课件。
⑷让学生掌握把几何画板应用于数学学习的一般方法。
教学过程：⑴教师利用课件讲解、分析要学习的数学内容，并提出要探求的问题、介绍探索问题的方法，要求学生能自主地设计和制作课件并强调速度，以调动学生的主动性和积极性。
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利用几何画板对平面图形直观图形状的研究作者：岂振华
来源：《新课程学习·中》2013年第04期
在高中数学必修2“空间几何体的直观图”这一节课后练习中，第3题利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是（）。
在传统教学中，教师让学生举例，利用斜二测画法画平面图形的直观图，观察，得出结论。
采用这种方法，比较费时，而且学生画的是特例，不是任意的图形。
利用几何画板，可以任意改变平面图形的形状，相应地平面图形直观图的形状发生变化；也可以任意改变平面图形直观图的形状，相应地平面图形的形状发生变化。
学生通过观察，有了直观感受，然后得出一般的结论。
本文重点研究如何利用几何画板，通过任意改变平面图形的形状，来改变平面图形直观图的形状；通过任意改变平面图形直观图的形状，来改变平面图形的形状。
一、建立直角坐标系xOy与水平放置的直角坐标系x′O′y′
单击“绘图”菜单中的“定义坐标系”。
单击文字工具，小手放到原点处，当小手变黑时，双击鼠标左键，标签输入O，单击“确定”。
用同样方法将数轴分别标为x、y。
单击点工具，点放到x轴上，单击鼠标左键，将得到的点标为O′。
选中点O′，单击“变换”菜单中的“标记中心”，将点O′设置为中心。
选中x轴，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“45”，单击“确定”。
将旋转后的直线标记为y′.x′轴与x轴重合。
二、创建“斜二测画法”变换
单击点工具，点放到任意位置，单击鼠标左键，将得到的点标为A1.选中点A1、x轴，单击“构造”菜单中的“垂线”。
箭头放到垂线与x轴的交点处，当箭头变为横向箭头时，单击鼠标左键，得到垂线与x轴的交点，标记为B1.将点B1设置为中心。
选中点A1，单击“变换”菜单中的“缩放”，系统默认缩放1/2，单击“缩放”，将缩放后的点标为C1.选中点C1，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“- 45”，单击“旋转”，将旋转后的点标为D1.依次选中点O、O′，单击“变换”菜单中的“标记向量”，将OO′设置为平移向量。
选中点D1，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”。
将平移后的点标为A1′.点A1′就是利用斜二测画法点A1的直观图。
依次选中点A1、A1′，单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”，输入“斜二测画法”，单击“确定”。
选中点A1、B1、C1、D1、A1′，x轴的垂线，单击“显示”菜单中的“隐藏对象”。
三、创建“反斜二测画法”变换
构造任意点A2′.选中点A2′、y′轴，单击“构造”菜单中的“平行线”。
作平行线与y′轴的交点，标为B2′.将点B2′设置为中心。
选中点A2′，单击“变换”菜单中的“缩放”，分子输入“2”，分母输入“1”，单击“缩放”，将缩放后的点标为C2′.选中点C2′，单击“变换”菜单中的“旋转”，
输入“45”，单击“旋转”，将旋转后的点标为D2′。
依次选中点O′、O，单击“变换”菜单中的“标记向量”。
选中点D2′，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”，将平移后的点标为A2。
点A2就是利用斜二测画法，直观图为点A2′对应的平面图形。
依次选中点A2′、A2，单击“变换”菜单中的“创建自定义变换”，输入“反斜二测画法”，单击“确定”。
隐藏点A2′、B2′、C2′、
D2′、A2，y′轴平行线。
四、通过任意改变平面图形的形状，来改变平面图形直观图的形状
以平行四边形为例，作任意点A3、B3、C3，依次选中点B3、C3，单击“变换”菜单中的“标记向量”。
选中点A3，单击“变换”菜单中的“平移”，单击“平移”，将平移后的点标为D3.单击线段直尺工具，连接A3B3、B3C3、C3D3、D3A3.选中平行四边形A3B3C3D3，单击“变换”菜单中的“斜二测画法”，得到利用斜二测画法平行四边形的直观图，顶点分别标为A3′、B3′、C3′、D3′.用箭头分别拖动点A3、B3、C3，任意改变平行四边形A3B3C3D3的形状，观察平行四边形直观图的形状。
通过观察可以发现：利用斜二测画法，平行四边形的直观图还是平行四边形（图1）。
观察平行四边形的对边可以发现：相等的线段在直观图中仍然相等；若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。
观察平行四边形的对角可以发现：角的水平放置的直观图一定是角，相等的角在直观图中仍然相等。
五、通过任意改变平面图形直观图的形状，来改变平面图形的形状
以正方形为例，作任意点A4′、B4′，将点A4′设置为中心。
选中点B4′，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“90”，单击“旋转”，将旋转后的点标为D4′.将点B4′设置为中心。
选中点
A4′，单击“变换”菜单中的“旋转”，输入“-90”，单击“旋转”，将旋转后的点标为C4′.单击线段直尺工具，连接A4′B4′、B4′C4′、C4′D4′、D4′A4′.选中正方形A4′B4′C4′D4′，单击“变换”菜单中的“反斜二测画法”，得到直观图A4′B4′C4′D4′对应的平面图形，顶点分别标为A4、B4、
C4、D4.用箭头分别拖动点A4′、B4′，任意改变直观图A4′B4′C4′D4′的形状，观察平面图形
A4B4C4D4的形状。
通过观察可以发现：利用斜二测画法，直观图是正方形，对应的平面图形不是正方形，是平行四边形（图2）。
（作者单位山西省晋中市左权中学校）。