第三节 格林公式及其应用

第三节 格林公式及其应用教学目的：理解和掌握格林公式及应用 教学重点：格林公式 教学难点：格林公式的应用 教学时间：2课时 教学过程：一、格林公式1．单连通区域与复连通区域设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分 都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 区域D 的边界曲线L 的正方向规定如下: 当观察者沿L的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边.。

图10-3-1 定理1（格林公式） 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D上具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=L Pdx Qdy +⎰.L 为D 的取正向的边界曲线。

证 先设闭区域D 既是X -型又是Y -型区域2L ：)(2x y ϕ=， ∵yP∂∂连续， ⎰⎰∂∂D dxdy y P=dy y y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dx x x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ图10-3-21L ：)(1x y ϕ=， 又⎰⎰⎰+=21L L LPdx Pdx Pdx =dx x x P b a ⎰)](,[11ϕ+dx x x P ba⎰)](,[21ϕ=dx x x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴ ⎰⎰⎰=∂∂-L D Pdx dxdy y P对于Y -型区域，同理可证⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx由于D 即是X －型的又是Y －型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 对于一般情况，可引进辅助线将D 分成有限个符合上述条件的区域，在每个子区域上上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分相互抵消，即可得证。

说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；（2）记法⎰-Lydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yx （3）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也可以用曲线积分计算二重积分。

（4）几何应用：在格林公式中，若取x Q y P =-=,，则有⎰⎰Ddxdy 2=⎰-Lydx xdy即平面区域D 的面积为 21=A ⎰-Lydx xdy例1 计算星形线⎩⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t 解 ⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dt t t a t a t t a t a ydx xdy A L =832a π例2 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明⎰=+Ldy x xydx 022.证: 令P =2xy , Q =x 2, 则022=-=∂∂-∂∂x x yPx Q . 因此, 由格林公式有 0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx DL . (为什么二重积分前有“±”号？ )例3. 计算⎰⎰-Dy dxdy e 2, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.分析: 要使2y e yP x Q -=∂∂-∂∂, 只需P =0, 2y xe Q -=. 解: 令P =0, 2y xe Q -=, 则2y e yP x Q -=∂∂-∂∂. 因此, 由格林公式有⎰⎰⎰++--=BOAB OA y Dy dy xe dxdy e 22)1(2111022----===⎰⎰e dx xe dy xe x OAy .例4 计算()()()⎰-++-=lx x dyax y e dx y x b y e I cos sin ，其中a,b 是正常数，L 为从点()0,2a A 沿曲线22x ax y -=到点()0,0O 的有向弧段。

分析: 当Q x ∂∂Py∂=∂时,若L 是封闭曲线， 则利用格林公式求解；若L 不是封闭曲线， 则通过补线使成闭路，然后利用格林公式求解。

解：令i L 为从点()0,0O 沿0=y 到点()0,2a A 的有向弧段，D 为1L L +所围区域，则由格林公式得：()()()b a a a b dxbx dxdy a b I aDL L L 222022111+-=---=-=⎰⎰⎰⎰⎰+π 图10-3-3例5 计算⎰+-L y x ydxxdy 22, 其中L 为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.解: 令22y x y P +-=, 22y x x Q +=. 则当x 2+y 2≠0时, 有y P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(. 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得022=+-⎰L y x ydxxdy ;当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydxxdy y x ydx xdy ,其中l 的方向取逆时针方向. 于是⎰⎰+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2222 ⎰+=πθθθ2022222sin cos d rr r =2π.. [启发与讨论]证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则0)()(22=++⎰ydy xdx y xf c二、平面上曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关：设G 为一开区域，),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，若G 内任意指定两点B A ,及G 内从A 到B 的任意两条曲线21,L L ，等式⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx恒成立，则称曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关，否则与路径有关。

设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关, L1和L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线, 则有⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ,因为⎰⎰+=+21L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔021=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx⇔021=+++⎰⎰-LL Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)(21=+⎰-+L L Qdy Pdx ,所以有以下结论: 曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关相当于沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分⎰+L Qdy Pdx 等于零.定理2 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数, 则曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是等式xQ y P ∂∂=∂∂ 在G 内恒成立. 证：充分性易证，若x Q y P ∂∂=∂∂, 则0=∂∂-∂∂yP x Q , 由格林公式, 对任意闭曲线L , 有⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+D L dxdy y P x Q Qdy Pdx 0. 必要性，假设存在一点M 0∈G , 使0≠=∂∂-∂∂ηyPx Q , 不妨设η>0, 则由y P x Q ∂∂-∂∂的连续性, 存在M 0的一个δ 邻域U (M 0, δ), 使在此邻域内有2η≥∂∂-∂∂y P x Q . 于是沿邻域U (M 0, δ)边界l 的闭曲线积分02)(2),(0>⋅≥∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰πδηδM U ldxdy y P x Q Qdy Pdx ,这与闭曲线积分为零相矛盾, 因此在G 内0=∂∂-∂∂yPx Q . 应注意的问题: 定理2要求区域G 是单连通区域, 且函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数. 如果这两个条件之一不能满足, 那么定理的结论不能保证成立. 在区域G 内破坏函数P 、Q 及y P ∂∂、xQ ∂∂连续性的点称为奇点. 例6 曲线积分⎰-++=Lx y dy y xe dx x e I )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧。

解 令x e P y+=，y xe Q y 2-=，则y e xQ=∂∂，y e yP=∂∂ ∴I 与路径无关。

取积分路径为AB OA +。

=I ⎰+OAQdy Pdx +⎰+ABQdy Pdx图10-3-4=⎰⎰-++210)2()1(dy y e dx x y =272-e 例7 计算⎰+-Cyx ydxxdy 22，其中 （1）c 为以)0,0(为心的任何圆周；（2）c 为以任何不含原点的闭曲线。

图10-3-5 解 （1）令22y x y P +-=，22yx xQ +=， 22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂，故在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=xQ∂∂，作以0为圆心，r 为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdy Pdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd r r x r ⎰+202222sin cos =π2≠0（2）∵y P ∂∂=xQ ∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0 图10-3-6三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx),(00y x ),(y x oyx曲线积分在G 内与路径无关, 表明曲线积分的值只与起点从点(x 0, y 0)与终点(x , y )有关. 如果⎰+L Qdy Pdx 与路径无关, 则把它记为⎰+),(),(0y x y x Qdy Pdx即⎰⎰+=+),(),(0y x y x L Qdy Pdx Qdy Pdx .若起点(x 0, y 0)为G 内的一定点, 终点(x , y )为G 内的动点, 则 u (x , y )⎰+=),(),(0y x y x Qdy Pdx为G 内的的函数.二元函数u (x , y )的全微分为du (x , y )=u x (x , y )dx +u y (x , y )dy .表达式P (x , y )dx +Q (x , y )dy 与函数的全微分有相同的结构, 但它未必就是某个函数的全微分. 那么在什么条件下表达式P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某个二元函数u (x , y )的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？定理3 设开区域G 是一个单连通域, 函数P (x , y )及Q (x , y )在G 内具有一阶连续偏导数, 则P (x , y )dx +Q (x , y )dy 在G 内为某一函数u (x , y )的全微分的充分必要条件是等式 xQ y P ∂∂=∂∂ 在G 内恒成立.证明: （必要性）假设存在某一函数u (x , y ), 使得du =P (x , y )dx +Q (x , y )dy , 则有y x u x u y y P ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(, xy u y u x x Q ∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂2)(. 因为y P y x u ∂∂=∂∂∂2、x Q x y u ∂∂=∂∂∂2连续, 所以 xy u y x u ∂∂∂=∂∂∂22, 即x Q y P ∂∂=∂∂.（充分性）因为在G 内xQ y P ∂∂=∂∂, 所以积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(在G 内与路径无关. 在G 内从点(x 0, y 0)到点(x , y )的曲线积分可表示为u (x , y )⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P .因为 u (x , y )⎰+=),(),(0),(),(y x y x dy y x Q dx y x P ⎰⎰+=xx y y dx y x P dy y x Q 0),(),(0,所以),(),(),(000y x P dx y x P x dy y x Q x x u x x y y =∂∂+∂∂=∂∂⎰⎰.类似地有),(y x Q yu =∂∂, 从而du =P (x , y )dx +Q (x , y )dy .即P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是某一函数的全微分. 定理3表明：若⎰+CQdy Pdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数),(y x u 的全微分，并且 ),(y x u =⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx =⎰+x x Qdy Pdx 0+⎰+yy Qdy Pdx 0求原函数的公式: ⎰+=),(),(0),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u ,⎰⎰+=yy x x dy y x Q dx y x P y x u 0),(),(),(0,⎰⎰+=xx yydx y x P dy y x Q y x u 0),(),(),(0.例8 验证:22yx ydxxdy +-在右半平面(x >0)内是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里22y x y P +-=,22y x x Q +=. 因为P 、Q 在右半平面内具有一阶连续偏导数,且有yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)(, 所以在右半平面内,22y x ydxxdy +-是某个函数的全微分.取积分路线为从A (1, 0)到B (x , 0)再到C (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+-=),()0 ,1(22),(y x y x ydx xdy y x u ⎰++=y y x xdy 0220xy arctan =. 思考：这里为什么(x 0, y 0)不取(0, 0)?例9 验证在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样的函数. 解 这里P =xy 2, Q =x 2y .因为P 、Q 在整个xOy 面内具有一阶连续偏导数, 且有yP xy x Q∂∂==∂∂2, 所以在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分.取积分路线为从O (0, 0)到A (x , 0)再到B (x , y )的折线, 则所求函数为 ⎰+=),()0 ,0(22),(y x ydy x dx xy y x u 20220202y x ydy xydy xyy==+=⎰⎰.思考与练习:：1.在单连通区域G 内, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏导数, 且恒有yP x Q ∂∂=∂∂, 那么 (1)在G 内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? (2)在G 内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?(3) 在G 内P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是否是某一函数u (x , y )的全微分?2.在区域G 内除M 0点外, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏导数, 且恒有yP x Q ∂∂=∂∂, G 1是G 内不含M 0的单连通区域, 那么 (1)在G 1内的曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否与路径无关? (2)在G 1内的闭曲线积分⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(是否为零?(3) 在G 1内P (x , y )dx +Q (x , y )dy 是否是某一函数u (x , y )的全微分? 3. 在单连通区域G 内, 如果P (x , y )和Q (x , y )具有一阶连续偏 导数,x Q y P ∂∂≠∂∂, 但yP x Q ∂∂-∂∂非常简单, 那么 (1)如何计算G 内的闭曲线积分? (2)如何计算G 内的非闭曲线积分? (3)计算dy y e dx y y e x x L )2cos ()2sin (-+-⎰, 其中L 为逆时针方向的上半圆周(x -a )2+y 2=a 2,y ≥0,例8 验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数。