19.2 三角形全等的判定(角边角)-

19.2 三角形全等的判定(角边角)
【教材研学】
一、三角形全等的条件――“角边角”（A．S．A．）
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“角边角”或“A．S．A．”）．由此我们可以看出，对于两个三角形，只要有两个对应角及其所夹的边相等，则这两个三角形全等．
二、探究活动
问题：有两角及其中一角的对边对应相等，这样两个三角形是否全等呢?
分析：如图，假设∠A=∠A1，∠B=∠B l，BC=B1C1，能否判断△ABC≌△A1B1C1呢
?
显然，由三角形的内角和定理我们可以知
道如果∠A=∠A1，∠B=∠B1，则假设∠C=180°一∠A一∠B=180°一∠A l一∠B1=∠C1．这样，就可得到△ABC和△A1B1C1中有两角一夹边对应相等，由此可判定△ABC≌△A1B1C1．结论：事实上，知道两角及其中一角的对边对应相等也可以判断两个三角形全等，这一结论我们简称为“角角边(A．A．S．)”．
【点石成金】
例题如图，已知：AB=AC，D、E两点分别在AB，AC上，且AD=AE，
求证：△BDF≌△CEF．
分析：结论要证的两个三角形△BDF与△CEF中，有
一组对角相等，由已知条件可推得，BD=CE，只要证明出
它们的另一对角∠C与∠B相等，就可证出结论了，为了证
明∠C=∠B，可以设法证明△ACD与△ABE全等，而这由
已知不难证得．
证明：在△ABE和△ACD中，
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠==A A AD AE AC AB ∴△ABE ≌△ACD 。

∴∠C=∠B ∵AB=AC ，AD=AE ，∴ BD=CE ． 在△BDF 和△CEF 中， ⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠∠=∠=C F E D F B C B CE BD ∴△BDF ≌△CEF ．
名师点金：本题的解题关键是证明△ABE ≌△ACD ，得到∠C=∠B ，注意书写格式要规范：
【基础练习】
1．任画一个Rt △ABC ，使∠C=90°．再画一个Rt △A ’B ’C ’，使B ’C ’＝BC ，A ’B ’＝AB ．把画好的Rt △A ’B ’C ’剪下，放到Rt △ABC 上．你会得出什么结论?
2．如图所示，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB ．求证：
AB=DC.
3．如图所示，∠1＝∠2，∠3=∠4，请你说明△ABC ≌△ABD 的理由。

答案：
1．完全重合．
2．证明：因为∠ABC=∠DCB ，∠1=∠2
所以∠ABC －∠1＝∠DCB 一∠2，即∠DBC ＝∠ACB ． 在△ABC 和△DCB 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠BC BC DCB ABC DBC ABC
所以△ABC ≌△DCB ． 所以AB=DC ．
3．因为∠1=∠2，∠3=∠4， 所以∠EAB=FAB ．
在△ABC 和△ABD 中，⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠AB AB FAB EAB 21
所以△ABC ≌△ABD ． 【升级演练】 一、基础巩固
1．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等．若全等，画“√”号；若不全等，画“×”号.
(1)一个锐角和这个锐角的对边对应相等．( ) (2)一个锐角和锐角相邻的直角边对应相等．( )
(3)一个锐角和一条斜边对应相等．( )
(4)两直角边对应相等．( )
(5)两锐角对应相等．( )
2．如图所示，要证明△ACF≌△BDE，根据给定的条件和指明的依据，将应当添加的条件填在横线上．Array
(1)AC=BD，AC∥BD，__________(A．S．A．)；
(2)AC=BD，AC∥BD，___________(A．A．S．)；
(3)CE=DF_________，____________(A．S．A．)；
(4)AC∥BD，AF∥EB，__________(A．A．S．)．
3．如图所示，已知AB、CD相交于点O，并且△ACO≌△BDO，CE∥DF．求证：CE=DF．
4．如图所示，已知∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AB=AC．
5．如图所示，已知AB∥DC，AB=CD，BF=DE．求证：AE∥CF，AF∥CE．
6．如图所示，要测量一个沼泽水潭的宽度．现由于不能直接测量．晓君是这样操作的：他在平地上选取一点C，该点可以直接到达A与B点，接着他量出AC和BC的距离并找出AC与BC的中点E、F，连接EF，测量EF的长，于是他便知道了水潭AB的长等于2EF，晓君的做法有道理吗?说明理由．
二、探究提高
7．如图所示，已知EF⊥AD于E，CB⊥AD于B，EF=BC，AE=BD．求证：∠C=∠F.
8．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，即AC=BC，∠BAC=∠B=45°，∠ACB=90°．AD 是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E．交AD于点F，试判断∠ADC 与∠BDE的大小关系．
三、拓展延伸
9．如图，已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB边上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．
四、中考模拟
10．（2005·四川南充）如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．求证：BE=FC．。