【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练2 平面向量与复数运算、算法、合情推理 理
高考数学二轮复习小题专项练习(二)平面向量、复数与框图理
高考数学二轮复习 小题专项练习（二）平面向量、复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]若复数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，则|2a ＋b|＝( )A ．2B ．3C. 2D.33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]若复数z ＝i20201－i 2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( ) A ．1＋i B ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设复数z 满足z －i z ＝3＋i ，则z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z1z2＋|z2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的内部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，则△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13 C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：假如n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；假如n 是个偶数，则下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于不管你写出一个多么庞大的数字，最后必定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永久也跳不出那个圈子．下列程序框图确实是依照那个游戏而设计的，假如输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP→＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC→(m>0，n>0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3 B ．4宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
【高优指导】2016届高考数学二轮复习 3 复数、算法课件 文
)
关闭
第一次循环,s= 第二次循环,s= 第三次循环,s= 第四次循环,s= 第五次循环,s= 此时输出 s=
5 因为 = A. ������2-1 11 1 所以 s=
1 1
1
22 -1 1 22 -1 1 22 -1 1 22 -1 1 22 -1
,i=4; + + + +
1 1 42 -1 1 42 -1 1 42 -1 1 42 -1
提示:(1)含有条件结构的程序框图问题对条件进行判断的算法与 分段函数有很大的相关性,解决的关键是把握好分段的标准,抽象出函 数式. (2)程序框图中判断框的条件常与不等式结合在一起,通常将不等 式进行化简、整理,使判断条件更明确,一般需要进行逐一取值,逐个代 入验证,最终确定结果,但有时需要将所求问题进行定位和化归.
第一次执行循环体时 ,n=1,M=1+ = ,a=2,b= ;
解析
答案
-6能力目标解读 热点考题诠释
1 2 3 4 5
4.(2014 湖南高考,文 7)执行如图所示的程序框图.如果输入的 t∈[-2,2], 则输出的 S 属于( )
关闭 A.[-6,-2] B.[-5,-1] C.[-4,5] D.[-3,6] 2 当 t∈[-2,0) 时,执行以下程序:t=2t +1∈(1,9],S=t-3∈(-2,6]; 命题定位 :本题主要考查含有条件结构的程序框图、函数值域、分段 当 t∈[0,2]时 ,执行 S=t-3∈[-3,-1],因此 S∈(-2,6]∪[-3,-1]=[-3,6]. 关闭 函数等相关知识 ,主要考查学生的基本运算能力、推理能力、分类讨论思 D . 故选 D. 想
,i=6; + + +
高考数学二轮复习小题专项练习二平面向量复数与框图文
小题专项练习(二) 平面向量、复数与框图已知复数z ＝a 2＋i ＋2＋i5的实部与虚部的和为设复数z 满足z －i z＝3．[2018·广西陆川第二次质量检测试卷]下列程序框图中，输出的A现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，．[2018·江苏东台中学质量监测]已知向量a ，b ，c 满足的夹角的正切值为－13，|b |＝1，则＝a＋＋2＝a＋a＋2是纯虚数．1，故选C.＝4a2＋4a·b＋b2＋4cos120°＋1＝3＝a－＋－＋2a－a i5＋2＋i52a＋21－a第五次循环，A ＝116，i ＝6；第六次循环，A ＝119，i ＝7；第七次循环，A ＝122，i ＝8；第八次循环，A ＝125，i ＝9；第九次循环，A ＝128，i ＝10；第十次循环，A ＝131，i ＝11；输出131，故选C.10．A 由BP →＝2PC → 得 AP →－AB →＝2(AC →－AP →)，∴AP →＝13(AB →＋2AC →)＝13m AM →＋23n AN →，∵P ，M ，N 三点共线， ∴13m ＋23n＝1， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋2m 3n ＋2n 3m ＋43≥53＋249＝3，当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴m ＋2n 的最小值为3，故选A. 11．A 取BC 的中点D ， ∵AB →＋PB →＋PC →＝0， ∴AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，∴AB ∥PD ，且|PD →|＝12|AB →|＝1，又∵|PC →|＝|PB →|＝2，D 为BC 的中点， ∴PD ⊥BC ， ∴BC ＝23，∴S △PBC ＝12×23×1＝3，故选A.12．D点D 是线段BC 上一点， 设BD →＝mBC →，∵M 为AD 的中点， ∴BM →＝12BA →＋12BD →＝－12AB →＋m 2BC →＝－12AB →＋m 2(AC →－AB →)。
超实用高考数学重难点专题复习：专题二 复数运算与平面向量运算
限．故选C．
)
[典型例题]
3.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，
则(a＋bi)2＝ (
)
A．3＋4i
B．5＋4i
C．3－4i
D．5－4i
[答案]：A
[解析]由a－i与2＋bi互为共轭复数，可得a＝2，b＝1，
故(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i．故选A.
模或判断向量的垂直关系
（三）核心知识整合
考点1：复数的概念及运算
1.复数的乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位
i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项
即可.
2.复数的除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂
写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理
( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
[答案]：C
[解析] 设 AC 与 AB 的夹角为 ,由题意得
AC AB
3
1
AC (1,1,0), AB (0,3,3), cos
2 3 2 2
| AC || AB |
60 ,故选C.
『规律总结』
1．平面向量的线性运算要抓住两条主线：一是基于“形”，通
计算；
（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题
中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.
一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
[典型例题]
1.如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若
λ＋μ＝ (
高考数学二轮复习 专题二 三角函数、平面向量与复数 第3讲 平面向量与复数教案-高三全册数学教案
第3讲 平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点， 所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线． 所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3， 所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上， 因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复 数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ， 所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)， 因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ， 则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32， 化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， 当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2， 则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°， 所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)． 当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ， 以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点， 设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334， 所以△ABC 面积的最大值为334.。
高三数学专题复习之平面向量与复数
平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。
复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。
高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。
专题一 第2讲 平面向量、复数运算 高考领航 二轮数学(理)复习
限时规范训练(二)建议用时45分钟，实际用时________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )等于( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18解析：选D.∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a·b ＝－3，b ·(2a －b )＝2a·b －b 2＝－18. 2．(2018·高考全国卷Ⅱ)i(2＋3i)＝( ) A ．3－2i B ．3＋2i C ．－3－2iD ．－3＋2i解析：选D.i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D.3．已知a ∈R ，i 是虚数单位．若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a ＝( ) A ．1或－1 B ．7或－7 C ．－ 3D ． 3解析：选A.∵z ＝a ＋3i ，∴z ＝a －3i ， 又∵z ·z ＝4，∴(a ＋3i)(a －3i)＝4， ∴a 2＋3＝4，∴a 2＝1，∴a ＝±1.故选A. 4．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2 B ．11 C. 3D ． 6解析：选C.由题意可设2－ia ＋i＝t i ，t ≠0，∴2－i ＝－t ＋ta i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎨⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ， ∴|z |＝3，故选C.5．(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝( )A.34AB →－14AC → B ．14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC → D ．14AB →＋34AC →通解：选A.如图所示，EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →，故选A.优解：EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →，故选A. 6．已知点A (－1，1)，B (1，2)，C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5D ．322解析：选A.依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5，5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5，5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，故选A.7．已知向量OZ →(O 为坐标原点)与OZ ′→关于x 轴对称，j ＝(0，1)，则满足不等式OZ →2＋j ·ZZ ′→≤0的点Z (x ，y )的集合用阴影表示为( )解析：选C.由题意得OZ →＝(x ，y )，OZ ′→＝(x ，－y )，ZZ ′→＝(0，－2y )，所以OZ 2→＋j ·ZZ ′→＝x 2＋(y －1)2－1≤0，即x 2＋(y －1)2≤1，点Z (x ，y )的集合用阴影表示即圆心为(0，1)，半径为1的圆的内部(包含边界)，选C.8．i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝( ) A ．－i B ．－1 C ．iD ．1解析：选A.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝i 2 018i ＝(i 2)1 009i ＝－i.。
【高考复习方案】2016高考数学理(课标通用)二轮课件：专题二 平面向量与复数
究
A.
13 3
B.
13 6
C.
5 3
D.
5 6
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[答案] （1）A （2）D
[解析] （1）设 AB 的中点为 M，则O→P·A→B＝（O→M＋
M→P）·A→B＝O→M·A→B＝12（O→A＋O→B）·（O→B－O→A）＝
考 点
12（O→B2－O→A2）＝12×（32－52）＝－8.
考
向
探
究
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核 心
2．[2015·北京卷] 在△ABC 中，点 M，N 满足A→M
知 ＝2M→C，B→N＝N→C.若M→N＝xA→B＋yA→C，则 x＝________，
识 聚
y＝________．
焦
[答案]
1 2
－16
[解析] 由条件得M→N＝M→C＋C→N＝13A→C＋12C→B＝13A→C＋12
A.A→D＝－13A→B＋43A→C
B.A→D＝13A→B－43A→C
考 C.A→D＝43A→B＋13A→C
D.A→D＝43A→B－13A→C
点
考 向
(2)若△ABC 的外接圆的圆心为 O，半径为 4，O→A＋2A→B＋2A→C
探 究
＝0，则C→A在C→B方向上的投影为(
)
A．4 B. 15 C. 7 D．1
核
心
知
识
聚 焦
专题二 平面向量与复数
考 点 考 向 探 究
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核 心
1．[2015·湖北卷] 已知向量O→A⊥A→B，|O→A|＝3，则
知 O→A·O→B＝________．
识
聚
焦
[答案] 9
[解析] 因为O→A⊥A→B，|O→A|＝3，所以O→A·O→B＝O→A·（O→A＋ A→B）＝|O→A|2＋O→A·A→B＝|O→A|2＝9.
【福建省】2016届高考数学(理科)-平面向量与复数-专题练习
A． 1 i
B． 2i
C． i
D． i
5．已知 a, b 是单位向量， a b 0 ．若向量 c 满足| c a b |1 ，则| c | 的取值范围是（ ）
A．[ 2 1, 2 +1]
B．[ 2 1, 2 + 2]
C．[1, 2 +1]
D．[1, 2 +2]
6．如图， AB 是半圆 O 的直径，C，D 是弧 AB 的三等分点，M，N 是线段 AB 的三等分点，若 OA 6 ，则
9．复数 a 2i （ i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是________． 1+ 2i
10．已知梯形 ABCD 中，AB∥DC ，AD DC CB 1 AB ，P 是 BC 边上一点，且 AP x AB y AD ．当 2
P 在 BC 边上运动时， x y 的最大值是________．
13．已知向量 a ( 3,1) ， b (1 , 3 ) ，存在非零实数 k 和 t ，使得向量 x a + (t2 3)b ， y ka + tb ， 22
-1-/2
且 x y ．问 k t2 是否存在最小值？若存在，求其最小值；若不存在，说明理由． t
-2-/2
A． 1 i
B．1+ i
C． i
D． i
3．平面向量 a (1,2) ，b (4,2) ， c ma b(mR) 且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m （ ）
A． 2
B． 1
C．1
D．2
4．设 i 为虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z=1+i ，则 z iz （ ） i
ห้องสมุดไป่ตู้
高考数学统考二轮复习天天练第一部分送分考点自练自检第2讲平面向量复数课件理
为( )
A．12
B．10
C. 10
D．2
解析：b 在 a 上投影为－2，即|b|cos〈a，b〉＝－2，
∵|b|>0，∴cos〈a，b〉<0，
又 cos〈a，b〉∈[－1,0)，∴|b|min＝2. |a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝|a|2－6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2＝9|b|2＋64，
2．看到向量平行，想到向量平行的条件 题
记牢向量共线问题的 4 个结论 (1)若 a 与 b 不共线且 λa＝μb，则 λ＝μ＝0. 准 (2)直线的向量式参数方程：A，P，B 三点共线⇔O→P＝(1－t)O→A＋tO→B(O 为平面 解 内任一点，t∈R)． 题 (3)O→A＝λO→B＋μO→C(λ，μ 为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 λ＋μ＝1. (4)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当 x2y2≠0 时，a ∥b⇔xx12＝yy12
法 形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解
法 形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解
[题后悟通]
1.看到向量垂直，想到其数量积为零． 快
2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式． 审
3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构 题
造函数关系求最值
用
特例法妙解图形中平面向量数量积问题
妙 解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩
即 3C→D＝C→A＋2C→B，故C→D＝13C→A＋23C→B，又C→A＝m，C→B＝n，所以C→D＝13m＋23n.故选
A. 答案：A
2．已知点 D 是△ABC 所在平面内一点，且满足A→D＝－3D→B，若C→D＝xC→A＋yC→B(x，y
新高考数学二轮总复习学案设计平面向量与复数组合练
1.3 平面向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a ,b ∈R )与复平面内的点Z (a ,b )及平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 一一对应,|z-(a+b i)|=r (r ,a ,b ∈R )表示复平面内以(a ,b )为圆心,r 为半径的圆.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)为非零向量,夹角为θ,则a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.4.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0;a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.5.平面内三点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔(x 2-x 1)(y 3-y 2)-(x 3-x 2)(y 2-y 1)=0. 考向训练限时通关考向一 复数的运算及复数的几何意义1.(2020山东,2)2-i1+2i =( )A.1B.-1C.iD.-i 2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z 2-2z|=( ) A.0 B.1 C.√2 D.23.(多选)若复数z=a+2i1-i在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是( )A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2,z 1+z 2=√3+i,则|z 1-z 2|= .考向二 平面向量的概念及线性运算5.(多选)关于平面向量a ,b ,c ,下列说法中不正确的是 ( ) A.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥c B.(a +b )·c =a ·c +b ·c C.若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c D.(a ·b )·c =a ·(b ·c )6.(2020山东泰安一模,6)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m+n=( )A.1B.32C.2D.37.(多选)如图所示,四边形ABCD 为梯形,其中AB ∥CD ,AB=2CD ,M ,N 分别为AB ,CD 的中点,则下列结论正确的是( )A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗8.(2020全国Ⅰ,理14)设a ,b 为单位向量,且|a+b |=1,则|a-b |= .考向三 平面向量基本定理及坐标表示9.(2020山东,7)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( )A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,文6)在平面内,A ,B 是两个定点,C 是动点.若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,则点C 的轨迹为( )A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥一中模拟,10)如图,已知矩形LMNK ,LM=6,sin ∠MLN=23,圆E 半径为1,且E 为线段NK 的中点,P 为圆E 上的动点,设MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最小值是( )A.1B.54C.74D.512.(2020北京,13)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .考向四 平面向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos <a ,a +b >=( ) A.-3135 B.-1935 C.1735D.193514.(2020山东济南一模,3)体育锻炼是青少年学习生活中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为400 N,则该学生的体重(单位:kg)约为 ( ) (参考数据:取重力加速度大小为g=10 m/s 2,√3≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天一大联考模拟三,10)已知向量a =(√3,1),b =(cos α,sin α),α∈[0,π2],则下列结论正确的有( ) A.|b |=1B.若a ∥b ,则tan α=√3C.a ·b 的最大值为2D.|a-b |的最大值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k= .1.3 平面向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D 解析2-i 1+2i =(2-i )(1-2i )=2-i -4i -21+4=-5i5=-i,故选D .2.D 解析由z=1+i,得z 2=2i,2z=2+2i,故|z 2-2z|=|2i -(2+2i)|=2.3.ABC 解析因为复数z=a+2i1-i =(a+2i )(1+i )2=a -2+(a+2)i2=12(a-2)+12(a+2)i,由复数z 在复平面内对应的点在第二象限内,所以{a -2<0,a +2>0,即-2<a<2,所以实数a 的值可以是-1,0,1.故选ABC .4.2√3 解析设z 1=a+b i,z 2=c+d i,a ,b ,c ,d ∈R .∵|z 1|=|z 2|=2,∴a 2+b 2=4,c 2+d 2=4.又z 1+z 2=(a+c )+(b+d )i =√3+i,∴a+c=√3,b+d=1.∴(a+c )2+(b+d )2=a 2+b 2+c 2+d 2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4. ∴2ac+2bd=-4.∴(a-c )2+(b-d )2=a 2+c 2+b 2+d 2-2ac-2bd=8-(-4)=12. ∴|z 1-z 2|=√(a -c )2+(b -d )2=2√3.5.ACD 解析对于A,若b =0,因为0与任意向量平行,所以a 不一定与c 平行,故A 不正确;对于B,向量数量积满足分配律,故B 正确;对于C,若a ⊥b ,a ⊥c ,则b 与c 不一定相等,故C 不正确; 对于D,(a ·b )·c 是与c 共线的向量,a ·(b ·c )是与a 共线的向量,故D 不正确.故选ACD .6.C 解析连接AO ,由O 为BC 的中点可得,AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=m 2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n 2AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,因为M ,O ,N 三点共线,所以m2+n2=1,所以m+n=2.故选C .7.ABD 解析AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确; MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故C 错误;BC⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 正确.故选ABD . 8.√3 解析∵|a +b |2=(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =1+1+2a ·b =1,∴a ·b =-12,∴|a -b |2=(a -b )2=|a |2+|b |2-2a ·b =3,∴|a -b |=√3.9.A 解析如图,以AB 所在的直线为x 轴,AE 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系,易知A (0,0),B (2,0),F (-1,√3),C (3,√3).设P (x ,y ),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+0×y=2x. ∵-1<x<3,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为(-2,6),故选A .10.A 解析以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系.设C (x ,y ),A (-a ,0),则B (a ,0),则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+a ,y ),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-a ,y ),由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1,得(x+a )(x-a )+y 2=1,整理得x 2+y 2=a 2+1,即点C 的轨迹为圆.故选A .11.B 解析由已知建立如图所示的平面直角坐标系,由LM=6,sin ∠MLN=23,解得MN=12√55,则M (3,-12√55),N (3,0),L -3,-12√55.设P (cos θ,sin θ).因为MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λMN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√55,ML ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,0),MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,12√55.所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =cos θ-3,sin θ+12√55=λ(-6,0)+μ0,12√55,即{cosθ-3=-6λ,sinθ+12√55=12√55μ,解得{λ=3-cosθ6,μ=√512sinθ+1.所以λ+μ=32+√512sin θ-16cos θ=32+14sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+μ的最小值是54.故选B .12.-1 解析以点A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则点A (0,0),B (2,0),C (2,2),D (0,2).∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =1(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),则点P (2,1).∴PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1), ∴PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D 解析∵a ·(a +b )=a 2+a ·b =25-6=19,|a +b |2=a 2+b 2+2a ·b =25+36-12=49,∴|a +b |=7,∴cos <a ,a +b >=a ·(a+b )=195×7=1935.14.B 解析由题意知,两只胳膊的拉力F 1=F 2=400,夹角θ=60°,所以体重G =-(F 1+F 2).所以G 2=(F 1+F 2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G |=400√3(N),则该学生的体重约为40√3=40×1.732≈69(kg).故选B . 15.AC 解析对于A,|b |=2α+sin 2α=1,故A 正确;对于B,若a ∥b ,则√3sin α-cos α=0,∴tan α=√33,故B 错误; 对于C,a ·b =√3cos α+sin α=2sin (α+π3),最大值为2,故C 正确; 对于D,作图可知,当α=π2,即b =(0,1)时,|a-b |取得最大值√3,故D 错误. 16.√22 解析由题意可知,a ·b =|a ||b |cos45°=√22.∵k a -b 与a 垂直,∴(k a -b )·a =k|a |2-a ·b =k-√22=0,∴k=√22.。
高三数学二轮限时训练 第2讲 平面向量与复数
[第2讲 平面向量与复数](时间：5分钟＋30分钟 )基础演练1．若向量AB →＝(1，2)，BC →＝(3，4)，则AC →＝( ) A ．(4，6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2，2)2．复数z ＝（2－i ）2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．25B ．41C ．5D ． 53．已知a ，b ∈R ，则“a ＝0”是“a ＋b i 为纯虚数”的( ) A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．向量a ＝(0，1)，b ＝(3，－4)，则a 在b 方向上的投影等于________.5．已知向量a ＝(1, n )，b ＝(－1, n ), 若2a －b 与b 垂直，则正数n ＝________.提升训练6．若复数z ＝3＋4i ，则|z |z＝( )A ．35－45iB ．－35－45iC ．35＋45iD ．－35＋45i7．向量a ＝(3，－4)，|b|＝2，若a·b ＝－5，则向量a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π6C ．2π3D ．3π48．复数z ＝2＋4i1－i(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )A ．(3，3)B ．(－1，3)C ．(3，－1)D ．(2，4)9．已知向量p ＝(cos A ，sin A )，q ＝(－cos B ，sin B )，若A ，B ，C 是锐角三角形ABC 的三个内 角，则p 与q 的夹角为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．以上都不对10．已知向量a ＝(1，λ)，b ＝(2，2)，且a ＋b 与a 共线，则a ·b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．如图2-1所示，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则|z 1＋z 2|＝( )图2-1A ．2B ．3C ．2 2D ．3 312．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b |＝2 33|a|，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π613．己知 a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若（1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ，则a ＋b i ＝________.14．已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE ＝2EC ，CF ＝2FB ，则AE →·AF →的值为________.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(3，a)，a ∈R ，点P 满足OP →＝λOA →，λ∈R ，|OA →||OP →|＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________.专题限时集训(二)【基础演练】1．A [解析] AC →＝AB →＋BC →＝(4，6)．2．C [解析] z ＝（2－i ）2i ＝3－4ii＝－4－3i ，所以|z |＝5.3．C [解析] 当a ＝0时，b i 不一定是纯虚数，如b ＝0时，b i 就不是纯虚数；反之，若a ＋b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0.故选C.4．－45 [解析] 向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b |b |＝（0，1）·（3，－4）5＝－45.5．3 [解析] ∵2a －b ＝(3，n )，2a －b 与b 垂直，所以有n 2－3＝0.又n 为正数，所以n ＝ 3.【提升训练】6．A [解析] 由题知|z |＝5，所以|z |z ＝53＋4i ＝5（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝35－45i.7．C [解析] 易知|a |＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝－55×2＝－12，故向量a 与b 的夹角为2π3.8．B [解析] z ＝2＋4i 1－i ＝（2＋4i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i ，其在复平面内对应的点为(－1，3)．9．A [解析] 设两个向量的夹角为θ，则cos θ＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝－cos(A ＋B )＝cos C ＞0，故θ为锐角．10．D [解析] a ＋b ＝(3，λ＋2)，由a ＋b 与a 共线，得3λ－λ－2＝0，解得λ＝1，所以a ·b ＝(1，1)·(2，2)＝4.11．A [解析] 根据复平面上对应点的坐标，可知向量OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，故z 1＝(－2，－1)，z 2＝(0，1)，所以z 1＋z 2＝(－2，0)，所以|z 1＋z 2|＝2.12．B [解析] 由|a ＋b |＝|a －b |得a ·b ＝0，所以可由|a ＋b |＝2 33|a |得|a |2＝3|b |2，所以cos〈a ＋b ，a －b 〉＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 243|a |2＝12，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角为π3.13．2＋i [解析] （1＋a i ）（1－i ）b ＋i＝2－i ⇒(1＋a i)(1－i)＝(2－i)(b ＋i)⇒1＋a ＋(a －1)i＝2b ＋1＋(2－b )i ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝2b ＋1，a －1＝2－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故a ＋b i ＝2＋i. 14．9 [解析] 方法一：以点A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A ()0，0，E ()2，3，F ()3，1，所以AE →＝()2，3，AF →＝()3，1，因此AE →·AF →＝2×3＋3×1＝9.方法二：如图所示，AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋23DC →＝AD →＋23AB →，AF →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13AD →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋AD →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →＝23AB →2＋119AB →·AD →＋13AD →2＝23·||AB →2＋119×0＋13·||AD→2＝23×32＋119×0＋13×32＝9.15．24 [解析] 点A 的坐标为(3，a )，则|OA →|≥3.因为OP →＝λOA →，所以O ，P ，A 三点共线．由|OA →||OP →|＝72，得|OP →|＝72|OA →|，设OP 与x 轴的夹角为θ，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP→|cos θ＝|OP →|3|OA →|＝216|OA →|2≤24，即线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为24.。
2016高考数学二轮复习 专题一 高考客观题常考知识 第2讲 平面向量、复数课件 文
6.(2015 天津卷,文 13)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC
=60°,点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且 BE = 2 BC , DF = 1 DC , 则
直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴的直角坐标系,则 OA =(1,0), OB =(0, 3 ).
由 OC =m OA +n OB ,得 OC =(m, 3 n).又因为∠AOC=30°,点 C 在∠AOB 内,
可得 3n =tan 30°,即 m =3.
m
n
答案:(2)3
热点二 平面向量的数量积
【例 2】 (1)(2015 河北沧州市 4 月质检)在等边△ABC 中,AB=2,G 为重心,动点
P 在边 BC 上(包括端点),则 GP · BP 的最小值是( )
(A)- 1 (B)0
(C)-1 (D)1
4
解析:(1)如图,以边 AB 的中点为原点,直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系,
则 B(1,0),C(0, 3 ),G(0, 3 ).设 P(x,y),则点 P 在直线 x+ 3 y=1(0≤y≤
(2)已知| OA |=1,| OB |= 3 , OA · OB =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,
设 OC =m OA +n OB (m,n∈R),则 m =
.
n
解析:(2)法一 | OA |=1,| OB |= 3 , OA · OB =0,不妨假设点 C 在 AB 上,且
∠AOC=30°.以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴,OB 所在直线为 y 轴,建立直角坐标
高考数学二轮复习 专题五 复数与平面向量专题强化训练
（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题五 复数与平面向量专题强化训练 理(时间：45分钟 满分：60分)一、选择题1．已知i 为虚数单位，复数z 满足i z ＝1＋i ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i 解析：选A.由已知，得z ＝1＋i i ＝（1＋i ）ii2＝1－i ，所以z ＝1＋i ，故选A.2．复数z ＝2＋4i1＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(3，－1)D ．(2，4)解析：选A.因为z ＝2＋4i 1＋i ＝（2＋4i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3＋i ，所以其在复平面内对应点的坐标是(3，1)，故选A.3．设i 是虚数单位，复数z ＝2i1＋i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2 C. 3D ．2解析：选B.因为z ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i －2i21－i2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝2，故选B.4．如果z ＝1－a i1＋i为纯虚数，则实数a 等于( )A ．0B ．－1或1C ．－1D ．1解析：选D.设z ＝1－a i1＋i＝t i ，t ∈R ，则1－a i ＝－t ＋t i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝－t －a ＝t ，∴a ＝1. 5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－34＋iB ．34＋iC ．－34－iD ．34－i 解析：选B.设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由已知得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34b ＝1， 故z ＝34＋i ，故选B.6．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x的最大值是( ) A.32 B ．33 C.12D ． 3 解析：选D.∵(x －2)＋y i 是虚数， ∴y ≠0，又∵|(x －2)＋y i|＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 如图，y x表示复数x ＋y i 对应点的斜率， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max＝tan ∠AOB ＝3， ∴y x的最大值为 3.7．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|a －b |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ． 5解析：选D.因为|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－0＋22＝5，所以|a －b |＝5，故选D. 8．设x ∈R ，向量a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)，且a ∥b ，则a ·b ＝( ) A ．－6 B ．10 C. 5 D ．10解析：选D.∵a ＝(1，x )，b ＝(2，－4)且a ∥b ， ∴－4－2x ＝0，x ＝－2，∴a ＝(1，－2)，a ·b ＝10，故选D.9．已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B ．π4 C.π3 D ．2π3 解析：选B.∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵|a |＝1，|b |＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B.10．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－2)，若向量λa ＋b 与c 共线，则实数λ的值为( )A ．－2B ．－13C ．－1D ．－23解析：选C.由题可知λa ＋b ＝(λ＋2，2λ)， 又λa ＋b 与c 共线，∴－2(λ＋2)－2λ＝0，∴λ＝－1. 11．在平面直角坐标系xOy 中，点A (1，3)，B (－2，k )，若向量OA →⊥AB →，则实数k ＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 解析：选A.因为A (1，3)，B (－2，k )，所以OA →＝(1，3)，AB →＝(－3，k －3)，因为OA →⊥AB →，所以－3＋3k －9＝0， 解得k ＝4.故选A.12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1, 则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：选B.设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )， 则由c ·a ＝c ·b ＝1，得c ＝(1，1)，∴c ＋t a ＋1t b ＝(1，1)＋t (1，0)＋1t(0，1)＝(t ＋1，1＋1t )，|c ＋t a ＋1tb |＝（t ＋1）2＋（1＋1t）2＝t 2＋1t 2＋2t ＋2t＋2≥2 2.当且仅当t ＝1时等号成立，故选B.二、填空题13．若复数z 满足z ＝i(2＋z )(i 为虚数单位)，则z ＝________． 解析：∵z ＝i(2＋z )， ∴(1－i)z ＝2i ，∴z ＝2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝i(1＋i)＝－1＋i.答案：－1＋i14．若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i1＋2i＝－2i ，则a 等于________．解析：由已知2＋a i1＋2i ＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)， 即2＋a i ＝－2i ＋2， ∴a ＝－ 2. 答案：－ 215．已知点A (－1，1)、B (0，3)、C (3，4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________．解析：AB →＝(1，2)，AC →＝(4，3)，设AB →与AC →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|，又∵AB →·AC →＝1×4＋2×3＝10， |AB →|＝12＋22＝5， |AC →|＝42＋32＝5，所以cos θ＝255，所以AB →在AC →方向上的投影为|AB →|cos θ＝2. 答案：216．已知平面向量a 与b 的夹角等于2π3，如果|a |＝2，|b |＝3，那么|2a －3b |等于________．解析：|2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×22－12×2×3×cos 2π3＋9×32＝133，∴|2a －3b |＝133. 答案：133。
高考数学(理科)二轮专题：第一篇专题二第2练 平面向量、复数
第2练 平面向量、复数(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·兰州二诊)复数z ＝(1＋i)2，则|z |＝ A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由题得z ＝2i ，所以|z |＝2.故选C. 答案 C2．(2019·长春期末)(2＋2i)(1－2i)＝ A ．4－2iB ．－2iC ．4＋2iD.2i解析 由题意，根据复数的运算(2＋2i)(1－2i)＝2＋2－2i ＝4－2i.故选A. 答案 A3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝ A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i解析 z ＝i(2＋i)＝2i ＋i 2＝－1＋2i ，所以z －＝－1－2i.故选D. 答案 D4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析 设z ＝x ＋y i ，故而|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋（y －1）2＝1，化简得x 2＋(y －1)2＝1.故选C.答案 C5．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝ A. 2B ．2C ．5 2D ．50解析 由已知a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，所以|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A.答案 A6．(2019·昆明一检)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(－1，2)，若a ∥b ，则x ＝ A ．－32B ．－1C.23D.32解析 ∵a ∥b ，∴2(x －1)＋x ＝0，∴ x ＝23.故选C.答案 C7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 和b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝|a |·|b |cos θ－|b |2＝0，将|a |＝2|b |代入可得cosθ＝12，即夹角为π3.故选B.答案 B8．(2019·合肥质检)若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，则|b |＝ A.12B.72C ．1D ．2解析 因为|a －2b |2＝|a |2＋4|b |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 又〈a ，b 〉＝120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，所以7＝1＋4|b |2＋2|b |，解得|b |＝－32(舍去)或|b |＝1.故选C.答案 C9．(2019·烟台二模)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a－b |>1”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为|a －b |>1⇒(a －b )2>1⇒a 2－2a ·b ＋b 2>1⇒1－2×1×1cos θ＋1>1⇒cos θ<12⇒θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a －b |>1”的充分不必要条件．故选B. 答案 B10．(2019·晋城二模)已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，且a 在b 方向上的投影是255，则实数m ＝A ．士2B ．2C ．± 5D. 5解析 因为向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，所以a ＝⎝⎛⎭⎫0，m 2，a ·b ＝m 22，|b |(|a |cos θ)＝1＋m 2·255＝a ·b ＝m 22，所以5m 4－16m 2－16＝0，即(5m 2＋4)(m 2－4)＝0，解得m ＝±2.故选A.答案 A11．(2019·长春质监)已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 A ．1B ．2C. 5D ．3解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝（cos θ－2）2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4 ＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.故选A. 答案 A12．(2019·南昌二模)已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于A ．1B ．2C ．3D ．4解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得AB sin C ＝AC sin B ，即212＝AC22，解得AC＝22，因为AP →＝AB →＋AC →2，BC →＝AC →－AB →，所以AP →·BC →＝AB →＋AC →2·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(8－4)＝2.故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·宁德质检)复数z ＝1＋2i1－i的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i2＝－12＋32i ，则复数z 的实部为－12.答案 －1214．(2019·开封三模)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ∥b ，则x ＝________． 解析 由题得2x －(x ＋1)＝0，所以x ＝1. 答案 115．(2019·石家庄二模)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，若CE →＝ED →，DF →＝2FB →，则AE →·AF →＝________．解析 由题意，如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝1，|b |＝2，又由CE →＝ED →，DF →＝2FB →，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点， 则AE →＝b ＋12a ，AF →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b ，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ＝13a 2＋56a ·b ＋13b 2＝13×12＋56×1×2cos 60°＋13×22＝52. 答案 5216．(2019·泰安二模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为________．解析 因为△ABC 的面积为23， 所以12|AB ||AC |sin A ＝23，∴12|AB ||AC |sin π3＝23，|AB ||AC |＝8， 因此AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos π3＝4，因为AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，所以m ＋34＝1，m ＝14因此|AP →|2＝⎪⎪⎪⎪14AC →＋12AB →2＝116AC →2＋14AB →2＋14AC →·AB →＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋1≥2×14|AC →|·12|AB →|＋1＝3， 当且仅当2|AC →|＝|AB →|＝4时取等号 即|AP →|≥3，|AP →|的最小值为 3. 答案 3。
高三数学二轮复习专题一第二讲平面向量、复数、算法初步课时作业2新人教A
课时作业2 平面向量、复数、算法初步时间：45分钟一、选择题1．(2021·山东卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋bi 互为共轭复数，则(a ＋bi)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i解析：由已知得，a ＝2，b ＝1，即a ＋bi ＝2＋i ，所以(a ＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i ，选D. 答案：D2．(2021·新课标卷Ⅰ)1＋i 31－i 2＝( ) A ．1＋i B ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：1＋i 31－i 2＝－2＋2i －2i＝－1－i ，故选D. 答案：D3．(2021·安徽卷)设i 是虚数单位，z 暗示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z ＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：z i ＋i z ＝1＋i i ＋i(1－i)＝1－i ＋i ＋1＝2.答案：C4．(2021·福建卷)鄙人列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)暗示出来的是( )A ．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B ．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C ．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D ．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析：由题意知，A 选项中e1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e1＋e2)．答案：B5．(2021·纲目卷)若向量a 、b 满足：|a|＝1，(a ＋b)⊥a ，(2a ＋b)⊥b ，则|b|＝( )A ．2 B. 2C ．1 D.22解析：由题意得：(a ＋b)·a ＝0，(2a ＋b)·b ＝0，即a·b ＋a2＝0,2a·b ＋b2＝0，又|a|＝1，∴a·b ＝－1，从而b2＝2，∴|b|＝ 2.答案：B6．(2021·四川卷)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b(m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1C ．1D ．2解析：由题意得：c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|⇒c·a |a|＝c·b |b|⇒5m ＋85＝8m ＋2025⇒m ＝2，选D.答案：D7．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析：∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B)，∴|BC →|cosB ＝－12.在△ABC 中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|·cosB ，即9＝4＋|BC|2－2×2×⎝⎛⎭⎫－12.∴|BC|＝3.答案：A8．阅读如图所示的轨范框图，运行相应的轨范．如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：若n ＝3，则输出S ＝7；若n ＝4，则输出S ＝15，符合题意．故选B.答案：B9．(2021·湖南卷)执行如图所示的轨范框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A．[－6，－2] B．[－5，－1]C．[－4,5] D．[－3,6]解析：由轨范框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2,6]．因此输出S的值属于[－3,6]．答案：D10．(2021·四川卷)执行如图所示的轨范框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为()A．0 B．1C．2 D．3解析：按照轨范框图给出的流程求解．当条件x≥0，y≥0，x ＋y≤1不成立时输出S 的值为1，当条件x≥0，y≥0，x ＋y≤1成立时S ＝2x＋y ，下面用线性规划的方式求此时S 的最大值．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤1暗示的平面区域如图中暗影部分，由图可知当直线S ＝2x ＋y 经过点M(1,0)时S 最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S 的最大值为2.答案：C11．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a 与c 的夹角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：由题意可画出下边的图示，在平行四边形OABC 中，因为∠OAB ＝60°，|b|＝2|a|，所以∠AOB ＝30°，即AB ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：B12．(2021·浙江卷)记max{x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x≥y ，y ，x<y ，min{x ，y}＝⎩⎪⎨⎪⎧y ，x≥y ，x ，x<y ，设a ，b 为平面向量，则( )A ．min{|a ＋b|，|a －b|}≤min{|a|，|b|}B ．min{|a ＋b|，|a －b|}≥min{|a|，|b|}C ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≤|a|2＋|b|2D ．max{|a ＋b|2，|a －b|2}≥|a|2＋|b|2解析：利用平面向量的平行四边形轨则，作出a ＋b ，a －b ，再比力模的大小．由于|a ＋b|，|a －b|与|a|，|b|的大小关系与夹角大小有关，故A ，B 错．当a ，b 夹角为锐角时，|a ＋b|>|a －b|，此时，|a ＋b|2>|a|2＋|b|2；当a ，b 夹角为钝角时，|a ＋b|<|a －b|，此时，|a －b|2>|a|2＋|b|2；当a ⊥b 时，|a ＋b|2＝|a －b|2＝|a|2＋|b|2，故选D.答案：D二、填空题13．(2021·江苏卷)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．解析：由题意z ＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i ＋(2i)2＝21＋20i ，其实部为21.答案：2114．(2021·四川卷)复数2－2i 1＋i ＝________. 解析：2－2i 1＋i ＝21－i 21＋i 1－i＝－2i. 答案：－2i15．(2021·北京卷)复数(1＋i 1－i)2＝________. 解析：复数1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i2＝－1. 答案：－116．(2021·辽宁卷)执行如图所示的轨范框图，若输入x ＝9，则输出y ＝________.解析：先读出轨范框图的功能，再结合实数的运算进行求解．x ＝9，y ＝93＋2＝5，|y －x|＝|5－9|＝4<1不成立； x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x|＝⎪⎪⎪⎪113－5＝43<1不成立； x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x|＝⎪⎪⎪⎪299－113＝49<1成立，输出y ＝299. 答案：29917．(2021·新课标卷Ⅰ)已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴圆心O 是线段BC 的中点，即BC 是⊙O 的直径，所以∠BAC ＝90°，即AB →与AC →的夹角是90°.答案：90°18．(2021·江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝13，向量a ＝3e1－2e2与b ＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.解析：∵|a|＝3e1－2e2 2 ＝9＋4－12×1×1×13＝3， |b|＝3e1－e22＝9＋1－6×1×1×13＝22，∴a·b ＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e21－9e1·e2＋2e22＝9－9×1×1×13＋2＝8，∴cosβ＝83×22＝223. 答案：22319．(2021·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析：AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2，即2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案：2220．(2021·湖北卷)设a 是一个各位数字都不是0且没有反复数字的三位数．将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)，(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的轨范框图，运行相应的轨范，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.解析：取a1＝815，通过循环结构逐一求解a ，b 的值，直到a ＝b 时，停止循环，注意对新定义的理解．取a1＝815⇒b1＝851－158＝693≠815⇒a2＝693；由a2＝693⇒b2＝963－369＝594≠693⇒a3＝594；由a3＝594⇒b3＝954－459＝495≠594⇒a4＝495；由a4＝495⇒b4＝954－459＝495＝a4⇒b ＝495.答案：495。
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【高考领航】2016届高考数学二轮复习 限时训练2 平面向量与复数运算、算法、合情推理 理(建议用时30分钟)1．已知复数z ＝1＋i ，则z 2－2z z －1＝( )A ．－2iB ．2iC ．－2D ．2解析：选B.z 2－2z z －1＝ 1＋i 2－2 1＋i i ＝－2i＝2i ，故选B.2．已知O ，A ，B ，C 为同一平面内的四个点，若2AC →＋CB →＝0，则向量OC →等于( ) A.23OA →－13OB → B ．－13OA →＋23OB →C ．2OA →－OB →D ．－OA →＋2OB →解析：选C.因为AC →＝OC →－OA →，CB →＝OB →－OC →，所以2AC →＋CB →＝2(OC →－OA →)＋(OB →－OC →)＝OC →－2OA →＋OB →＝0，所以OC →＝2OA →－OB →，故选C. 3．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 解析：选C.依题意得i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1＋ －i ＋11－i ＝－i 1－i ＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i ，故选C.4．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：选D.由题意作图，设AB →＝b ，AD →＝a ，结合向量的几何意义可知∠ABD ＝∠CAB ＝π6，故向量a ＋b 与a －b 的夹角为AC →与BD →的夹角为2π3，故选D.5．如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝( )A ．0.25B ．2log 32C ．－12log 23D ．－2解析：选D.本题以程序框图的形式，考查了对数运算．当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 214＝－2，∴f (x )>g (x )，故选D.6．复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.先计算，并化为最简形式，再利用复数的几何意义求解． i(1－2i)＝2＋i ，在复平面内对应点的坐标为(2,1)，位于第一象限，故选A. 7．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为2，则输入x 的最大值是( )A ．5B ．6C ．11D ．22解析：选D.执行该程序可知⎩⎪⎨⎪⎧x2－1>312⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－2≤3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >8x ≤22，即8<x ≤22，∴输入x 的最大值是22，故选D.8．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2得(BC →＋BA →－AC →)·AC →＝0，则BA →·AC →＝0，故BA ⊥AC ，故选C.9.z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1－i C ．－1＋iD ．1－i解析：选D.将z ，z 看做两个未知数，利用方程思想求解．也可利用复数相等的条件求解． 法一：设z ＝a ＋b i ，a ，b 为实数，则z ＝a －b i. ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1.又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2，∴b ＝－1.故z ＝1－i. 法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i ＝－2i.又z ＋z ＝2，∴(z －z )＋(z ＋z )＝－2i ＋2， ∴2z ＝－2i ＋2，∴z ＝1－i.10．阅读如图所示的程序框图，若输入的k ＝10，则该算法的功能是( )A．计算数列{2n－1}的前10项和B．计算数列{2n－1}的前9项和C．计算数列{2n－1}的前10项和D．计算数列{2n－1}的前9项和解析：选A.先读出程序框图的功能，再结合等比数列的通项公式求解．S＝0，i＝1；S＝1＋2×0＝1＝20，i＝2；S＝1＋2×1＝1＋2＝20＋21，i＝3；S＝1＋2×3＝20＋21＋22，i＝4；……观察得到对应数列的通项公式为a n＝2n－1.k＝10时，i>10时输出，说明是求前10项的和．故选A.(速解法) 逐一排除．当S＝0，i＝1，可得S1＝1＝a1，排除C、D，当i＝11时，则输出S即输出的i＝10时的S值．故选A.11．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是( )A ．6B ．10C ．91D ．92解析：选B.由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知：数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出的结果为10.故选B.12．已知向量OA →，OB →为单位向量，且OA →·OB →＝14，点C 是向量OA →，OB →的夹角内一点，|OC →|＝4，OB →·OC →＝72.若数列{a n }满足OC →＝3a n ＋1 a n ＋1 2a n OB →＋a 1OA →，则a 4＝( )A.1516B.1615 C ．16 D.87解析：选 B.因为OC →＝3a n ＋1 a n ＋1 2a n OB →＋a 1OA →，所以OB →·OC →＝3a n ＋1 a n ＋1 2a nOB →·OB →＋a 1OA →·OB →，即72＝3a n ＋1 a n ＋1 2a n ＋14a 1 ①，设OA →，OB →的夹角为θ，OB →，OC →的夹角为α，OA →，OC →的夹角为β，则OA →·OB →＝|OA →||OB →|·cos θ＝14，所以cos θ＝14，又θ∈[0，π]，所以sin θ＝154，同理可得cos α＝78，sin α＝158，所以cos β＝cos(θ－α)＝1116，所以OA →·OC →＝|OA →||OC →|cos β＝114，又OA →·OC →＝3a n ＋1 a n ＋1 2a n OA →·OB →＋a 1OA →·OA →，所以114＝3a n ＋1 a n ＋1 2a n ×14＋a 1 ②，联立①②，解得a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋1，所以a 2＝2a 1a 1＋1＝43，a 3＝2a 2a 2＋1＝87，a 4＝2a 3a 3＋1＝1615.故选B. 13．已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝________.解析：因为a 与b 共线，所以a ＝x b ，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2λx ＝－1，故λ＝－12.答案：－1214．(2016·合肥市模拟)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号) ①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R ) ②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<θ≤π；③向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|－|BC →|，则AC →与BC →同向； ④若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .⑤a ＝(2,1)，b ＝(－1，t )，若〈a ，b 〉为钝角，则t <2.解析：当a ≠0，b ＝0时；a 与b 共线，但不存在实数λ，使a ＝λb ，所以①为假命题；由|a －b |>1可得a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵a ，b 为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，a ·b ＝1×1×cos θ＝cos θ，所以1－2cos θ＋1>1，∴cos θ<12，∵0≤θ≤π，∴π3<θ≤π，∴②为真命题．根据向量加法的几何意义知③为真命题；当b＝0时，④为假命题；⑤中还需强调〈a ，b 〉≠180°，所以t <2且t ≠－12，所以⑤为假命题． 答案：②③15．(2016·浙江丽水模拟)若P 0(x 0，y 0)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1外，则过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.那么对于双曲线则有如下命题：若P 0(x 0，y 0)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)外，则过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点弦P 1P 2所在直线方程是________________． 解析：类比推理，找出规律．对于椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1，求其切点弦P 1P 2所在直线方程就是将x 2→x 0x ，y 2→y 0y 而得到的，据此类比可知过P 0作双曲线的两条切线的切点为P 1，P 2，则切点P 1，P 2所在直线方程为x 0x a 2－y 0yb 2＝1. 答案：x 0x a －y 0y b ＝116．(2016·浙江温州模拟)已知cos π3＝12，cos π5cos 25π＝14，cos π7cos 27πcos 37π＝18……根据以上等式可猜想出的一般结论是________．解析：第n 个式子有n 个余弦相乘，角度的分母为奇数2n ＋1，分子分别为π、2π、3π，…，n π，结果为12n .∴一般结论cosπ2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n . 答案：cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n。