配方法把二次型化为标准形.ppt
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
配方法化二次型为标准型
1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
二次型化为标准型配方法(一)
二次型化为标准型配方法(一)二次型化为标准型配1. 什么是二次型二次型是一种由一个二次多项式表示的函数，它通常在高等代数和线性代数中扮演重要角色。
二次型可表示为：Q(x)=x T Ax其中，x是一个n维列向量，A是一个n×n的实或复对称矩阵。
在实际问题中，我们经常需要将二次型化为标准型，以便更好地进行分析和解决问题。
2. 二次型的标准型将一个二次型化为标准型可以使得分析更为简化。
在标准型下，二次型的表达式只有平方项和恒定项，没有交叉乘积项。
标准型的形式如下：Q(x)=b1x12+b2x22+⋯+b n x n2其中，b1,b2,…,b n是实数，且满足b1≥b2≥⋯≥b n。
3. 化为标准型的方法化为标准型的方法有多种，下面列举几种常用的方法。
3.1 配方法当二次型的矩阵 A 是实对称矩阵时，我们可以使用配方法来将其化为标准型。
步骤：1. 将二次型的矩阵 A 对角化，即找到正交矩阵 P ，使得 P T AP 是对角矩阵 D 。
2. 根据 D 的对角元素，可以得到二次型的标准型。
例子：考虑一个二次型 Q (x,y )=x 2+2xy +3y 2，我们可以进行如下计算：1. 构造矩阵 A =[1113]。
2. 找到正交矩阵 P =[−√22√22√22√22]。
3. 计算 P T AP ，得到 D =[400−1]。
4. 经过变换得到标准型为 Q (x,y )=4x 2−y 2。
3.2 移项配方法移项配方法是将二次型中的交叉乘积项通过变量代换化为平方项的方法。
通过适当的变换可以将二次型化为标准型。
步骤：1.观察二次型中的交叉乘积项，选择合适的变量代换。
2.进行变量代换，使得交叉乘积项消失。
3.化简得到二次型的标准型。
例子：考虑一个二次型Q(x,y,z)=x2+2xy+2xz+2yz+4z2，我们可以进行如下计算：1.选择变量代换x=x′−y−z。
2.进行变量代换，得到Q(x′,y,z)=2x′2−y2−z2。
线性代数课件5-4二次型化标准形
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q2
1
2
1 2
相应于 3 3 的特征向量满足 ( A 3E)x 0
2 0 0 1 0 0
A
3E
0
1
1
r
~
0
1
1
0 1 1 0 0 0
无关的特征向量只有一个，可取为
0
q3 1
2
1 2
正交矩阵为
1 0
Q 0 1
2
0 1 2
就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),
则先作可逆线性变换
xi yi yj
x j yi yj
xk yk
化二次型为
含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.
例1
含有平方项
f 5 x12 2x22 2x2 x3 2x32
x 5 x12 (2x22 2x2 x3 ) 2x32 含有 2的项配方
（2）判断二次曲面 2x1x2 2x1x3 2x2x3 1 的形状。
（1）判断二次曲线
x12 x22 2 3 x1x2 1 的形状.
解： 令 f x12 x22 2 3x1x2
其矩阵为
1
A 3
A的特征多项式为
3 1
1 3
AE
1 3 1 3
3 1
故A的特征值为 1 1 3, 2 1 3
3
~
0
1
0
无关的特征向量只有一个，可取为
1
q2
1
2
2
正交矩阵为
1
1
Q
1
2 2
2
1
2
§5.2 化二次型为标准形
2 2 2 ∴ f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
= y +y .
2 1 2 2
所用变换矩阵为
1 −1 1 C = 0 1 − 2 , 0 0 1
(C
= 1 ≠ 0 ).
9
例2 化二次型 f = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
− 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 1
1 0 0 → 0 1 0
0 −1 1 1 1 0
0 1 0 0 − 1 1
→
1 0 0 0 1 0
0 − 1 0 1 1 0
分析：由于左上角的元素为0，而主对角线 上第二个元素不为0，将第一列和第二列交 换，同时将第一行和第二行交换，使得左上 角元素不为0.
14
解：
0 − 1 0 1 0 0
− 1 1 1 0 1 0
0 1 1
1 − 1 1 → 0 0 1 0 0 1
化为标准型，并指出 f ( x1 , x2 , x3 ) = 1 表示何种二次 化为标准型， 曲面. 曲面
19
5 −1 3 解 二次型的矩阵为 A = − 1 5 − 3 , 3 −3 3
可求得 det(λE − A) = λ (λ − 4)(λ − 9),
说明
1 . 二次型经可逆变换 x = Cy 后 , 其秩不变 , 但 f 的矩阵由 A 变为 B = C T AC ; 2 . 要使二次型 f经可逆变换 x = Cy 变成标准形 ,
线性代数—二次型的标准形和规范形PPT课件
题。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
2
第2页/共33页
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤： 1. 若二次型含有 的平方项，则先把含有
x 的乘积项集中，然后配方，再对其余i 的变量同 x样进i 行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
第12页/共33页
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
0
1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
(x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
4
第4页/共33页
f (x1 x2 x3)2 (x2 2x3)2 ,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x2 0 1 1
1 1
1
A 1 3
1
1
11 11 1 3
1
1
1
1 13 01 1
0 0
0 10
1 1 11 11
0
1 0 10
,
1
1 1 11
,
1
2
1,
E
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
线代课件§6用配方法化二次型成标准形
4. 配方
最后，我们对每一项进行 配方，得到 $(x-g)^2 = D - g^2$，$(y-f)^2 = D f^2$ 和 $(z-h)^2 = D h^2$。
证明步骤详解
1. 引入配方法
2. 展开式子
这一步是为了将二次型转化为一个更易于处 理的形式，通过引入 $g, f, h$ 和 $D$，使得 二次型可以更容易地被配方。
证明结论总结
• 通过上述的证明过程，我们证明了二次型 $f(x,y,z) = ax^2 + by^2 + cz^2 + 2gx + 2fy + 2fz$ 可以被配方法化为标准形 $f(x,y,z) = a(x-g)^2 + b(y-f)^2 + c(z-h)^2 + D$。
05
配方法化二次型成标准形的应 用
配方法简介
01
配方法的定义：通过配方将二次型转化为完全平方的形式 ，从而将其化为标准形的方法。
02
配方法的步骤
03
1. 将二次型中的每一项写成平方项与线性项之和。
04
2. 将二次型中的平方项组合成完全平方项。
05
3. 将二次型中的线性项与完全平方项相加，得到标准形 。
06
配方法的适用范围：适用于任何实数域上的二次型，尤其 在实数域上的一元二次方程求解中有广泛应用。
理解了二次型标准形在解决实际问题 中的应用价值。
对未来研究的展望
深入研究其他化二次型为标准形 的方法，如三角分解法、正交变
换法等。
探索二次型标准形在各个领域的 应用，如物理学、工程学、经济
学等。
进一步研究二次型标准形与矩阵 理论之间的关系，以及其在矩阵 分解和特征值计算等领域的应用。
线性代数 用正交变换法换二次型为标准型-PPT文档资料
C , C , L C 是标准正交向量组（Page105, ch3-例27） 1 2 n
⑤ 若A、B为正交矩阵，则它们的乘积矩阵AB 也是正交矩阵． 二、正交变换 正交变换：设C为正交矩阵，X和Y是欧氏空间Rn中的n 维向量，则线性变换X=CY是Rn上的正交变换． 注：正交变换是一个非退化的线性变换。 正交变换的性质： 定理：设X=CY是欧氏空间Rn上的线性变换，则下列命题 等价： ① 线性变换X=CY为正交变换； ②在线性变换X=CY下，向量的内积不变，即： X C Y , X C Y 时 ， X , X Y , Y 1 1 2 2 1 2 1 2 ③线性变换X=CY把Rn中的标准正交基变成标准正交基.
线性变换将其化为标准形。 问题：任一二次型能否通过正交变换将其化为标准形？
上述问题的等价描述：对于一实（Rn）对称矩阵A,能否
找到一正交矩阵C,使得
1 T 1 2 CA C C A C 成 立 . O n 注：上式表明用正交矩阵所得的矩阵合同即为矩阵的相似. 故标准形应该由矩阵的特征值 i 决定，且正交矩阵C的
对应 1 , 2 的特征向量，则 A X X , i 1 , 2 i i i
又因 T X , X A X , X X A X X , A X X , X 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
X , X 0 X , X 0 1 21 2 1 2
故结论成立. 定理：对n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵C，使
1 T 1 2 CA C CA C 成 立 . O n 证明：（利用数学归纳法+标准正交向量组的性质）
线性代数C第6章二次型4讲2
2 0 0 1 0 0 A − 2 E = 0 1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 的基础解系为 ξ1 = 1 ， 单位化得 P = 1 1 ; 1 2 −1 −1
线性代数
机动
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§2 用配方法将二次型化为标准形
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状 不变的优点.如果不限于正交变换，还可以用其他方法将二 次型化成标准形.本节将介绍拉格朗日(Lagrange)配平方法. 用此方法时，二次型大致分为两类，各种二次型都可化成 这两类二次型来解决.
1 1 −1 1 CT = 1 −1 −1 1
0 0 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 0 0 , C = . 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2
作可逆变换x=Cy,即 x1 1 −1 1 −1 y1 x 1 1 −1 1 y 2 = 2, x3 0 0 1 1 y3 x4 0 0 0 2 y4
f =y +y .
2 1 2 2
例2.2 用配方法化二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3 成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为
6-用配方法化二次型为标准型
成标准形, 并求所用的变换矩阵 . 由于所给二次型中无平方项， 解 由于所给二次型中无平方项，所以 x 1 = y1 + y 2 x 1 1 1 0 y 1 令 x 2 = y1 − y 2 , 即 x 2 = 1 − 1 0 y 2 x = y x 0 0 1 y 3 3 3 3
例1 化二次型
2 2 2 f = x1 + 2 x 2 + 5 x 3 + 2 x1 x 2 + 2 x1 x 3 + 6 x 2 x 3
为标准形 , 并求所用的变换矩阵 .
解
含有x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f = x1 + 2 x2 + 5 x3 + 2 x1 x2 + 2 x1 x3 + 6 x2 x3
2 2 2 = x1 + 2x1 x2 + 2x1 x3 + 2 x 2 + 5 x 3 + 6 x 2 x 3 = ( x1 + x2 + x3 )2 去掉配方后多出来的项
2 2 2 2 − x2 − x3 − 2x2 x3 + 2x2 + 5x3 + 6 x2 + x3 ) + x2 + 4x3 + 4x2 x3 2
所用变换矩阵为
1 1 0 1 0 1 C = 1 − 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1
3 1 1 = 1 − 1 − 1. 0 0 1
(C
= −2 ≠ 0 ).
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 也可以用拉格朗日配方法 或者其它方法， 拉格朗日配方法， 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求． 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 无疑应使用正交变换法； 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤， 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大； 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少， 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法， 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同， 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩． 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
配方法化二次型为标准型
配方法化二次型为标准型二次型是数学中一个非常重要的概念，它在代数、几何、物理等领域中都有着广泛的应用。
在二次型的研究中，将其化为标准型是一个非常重要的问题，因为标准型能够更好地展现二次型的性质和特征。
接下来，我们将介绍如何将二次型化为标准型的配方法。
首先，我们需要明确二次型的定义。
二次型是关于同一组变量的二次齐次多项式，一般形式为。
\[f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_ix_j\]其中，\(a_{ij}\)为常数，\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)为变量。
接下来，我们介绍配方法化二次型为标准型的具体步骤。
首先，我们需要通过合同变换将二次型的矩阵对角化。
具体来说，设二次型为。
\[f(x) = x^T A x\]其中，\(x\)为列向量，\(A\)为对称矩阵。
我们可以通过合同变换\(x = Py\)将二次型化为标准型。
其中，\(P\)为可逆矩阵，\(y\)为新的变量。
然后，我们需要确定合适的变换矩阵\(P\)。
我们知道，对称矩阵可以对角化为对角矩阵，即存在可逆矩阵\(P\)使得。
\[P^TAP = \Lambda\]其中，\(\Lambda\)为对角矩阵。
因此，我们可以取变换矩阵\(P\)为对称矩阵\(A\)的特征向量构成的矩阵，即\(P\)的列向量为\(A\)的特征向量。
这样，通过变换\(x = Py\)，我们可以将二次型化为标准型。
最后，我们需要确定标准型的具体形式。
由于对称矩阵可以对角化为对角矩阵，因此标准型为。
\[f(y) = y^T \Lambda y\]其中，\(\Lambda\)为对角矩阵，对角线上的元素为二次型的特征值。
这样，我们就将二次型化为了标准型。
综上所述，配方法化二次型为标准型是一个重要且常见的数学问题。
通过合同变换和对称矩阵的对角化，我们可以将二次型化为标准型，从而更好地研究二次型的性质和特征。
线性代数课件-用正交变换化二次型为标准化
1 1 T , ) , 2 2
20 (1, 0, 0)T ,
30 (0,
1 1 T , ) . 2 2
故所求的正交变换矩阵为 0 Q=
1 2 1 2
1 0
0
1 2
且
1Leabharlann 021 0 0 Q 1AQ = 0 2 0 . 0 0 5
从而可取特征向量 p 1= (0, 1, 1)T 及与 p1 正交的另一特征向量 p2 = (4, 1, 1)T.
上一页
对于 3 = 9,
8 2 2 A E 2 5 4 2 4 5 2 4 5 0 9 9 , 0 0 0
1 2
2
1 2
0
1 2
例4
2 2 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 5x12 5x2 cx3 2x1 x2 6x1 x3 6x2 x3 的秩为 2,
(1) 求参数 c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2) 指出方程 f (x1, x2, x3) = 1 表示何种二次曲面.
对应于 对应于 对应于 特征值 特征值 特征值 1 2 5
定理 5
任意一个 n 元实二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X AX aij xi x j ,
T
n
n
都存在正交变换 X = QY 使得
i 1 j 1
2 2 X T AX 1 y12 2 y 2 n y n ,
第三节 用正交变换化二次型为标准化
一、实对称方阵的对角化
定理1 实对称方阵的特征值都是实数 .
上一页
例1