材料力学 轴向拉压变形.

2、几何方程：
2L2 L1 L3
3、力的补充方程：
L

FN L EA
2FN 3
4、联立平衡方程和补充方程得:
FN1


1 6
F; FN 2

1 3
F; FN3

5 6
F.
23
解：、平衡方程:
FN3 FN 2 cos 0
——（1）
L2
L1
FN1 FN 2 sin F 0 ——（2）
、几何方程——变形协调方程：
L3
y x
A3 A
L3 L2
F
A2
L1
L1

L2
sin
L3ctg
、补充方程：由物理方程代入几何方程得：
L FN L EA
FN2
A0
FN1
A1 FN1L1 FN 2L2 FN 3L3 ctg ——（3） EA1 EA2 sin EA3
A 76.36
L

FN L EA

11.551.6 76.36 177
1.361(0mm)
A
800
A
刚索
B 60°60° D 400 C 400 F
3）画变形图求C点的垂直位移为：
C
BB DD 1 2
sin 60 2 2
sin 60
L 1.36 0.79(mm) 2sin 60 2 3 2
2、超静定：结构或杆件的未知力个数大于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程不能求出所有的未知力。
3、多余约束：在超静定系统中多余维 B
持结构几何不变性所需要的杆或支座。
1
4、多余约束反力：多余约束对应的反力。
D 3
C 2
A
F 17
5、超静定的分类（按超静定次数划分）： 超静定次数=多余约束个数=未知力个数-有效静力方程个数。 二、求解超静定（关键——变形几何关系的确定） 步骤：1、根据平衡条件列出平衡方程（确定超静定的次数）。
求位移,变形图如图
B
F
E
H G
D

LEF LGH EG
DG
D
E1
D1
G1
LGH 1.70 mm
A
C
C D LCD 2.61mm
A1
A LAB 2.61mm
C1
16
§3—4简单拉压超静定
一、概念
1、静定：结构或杆件的未知力个数等于有效静力方程的个数， 只利用有效静力方程就可以求出所有的未知力。
刚索
BC
D
△1
B′
△c △2
D′
11
例：结构如图，已知材料的[]=2 M P a ，E=20 G P a,混凝土 容重=22k N/m³，设计上下两段的面积并求A截面的位移△ A。
F=100kN FN A x1
解：1、画轴力图 F AB：FN1（x1）=-F-γ A1x1
BC：FN2（x2）=-F-γ L1A1-γ A2x2
FN1max A1 1 0.07F1max A1 1
FN 2max A2 2 0.72F2max A2 2
角钢面积由型钢表查得:A 1=3.086 c㎡
F1max A1
/ 0.07 308.6160/ 0.07 705.4(kN)
2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据力与变形的物理条件，列出力的补充方程。
L FN L EA
4、联立静力方程与力的补充方程求出所有的未知力。
18
三、注意的问题 拉力——伸长变形相对应；压力——缩短变形相对应。
例 设 1、2、3 三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为： L1=L2=L、 L3；各杆面积为 A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为： E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。
2、由强度条件求面积
B x2
F+γ L1A1
max

FN max A



12m 12m
C
X
F+γ L1A1+γ L2A2
12
F
L1 A1
A1

A1

F
L1
F
L1 A1 L2 A2
A2

A2

F L1 A1
L2
补充方程：由力与变形的物理条件得：
Y
A1
FN1

FN3

FN2
L FN L EA
FN1L1 FN 3 L3 cos
E1 A1
E3 A3
X
、联立静力方程与力的补充方程得:
A
F
FN1

FN 2

E1A1F cos2 2E1A1 cos3 E3 A3
;
FN 3

2E1 A1
E3 A3F
1
第三章 轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形与叠加原理 §3—2 桁架的节点位移 §3—3 拉压与剪切应变能
§3—4简单拉压超静定 拉压变形小结
2
§3—1 轴向拉压杆的变形
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
二、分析两种变形
L F
L1
b
F b1
弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。
塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。
位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。
正应变——微小线段单位长度的变形。
6
x
F A a
2F
已知：杆件的 E、A、F、a 。
F
求：△LAC、δ B（B 截面位移）
ε AB （AB 段的正应变）。
B a
3F
解：1、画FN 图：
C
2、计算：
FN
(1).L
FN L EA

LAC

LAB

LBC

Fa EA

3Fa EA

4Fa EA
(2). B
(3).
LBC
AB
3Fa

EA
LAB

LAB
Fa a
EA

F EA
7
§3—3 桁架的节点位移
怎样画小变形放大图？
分析：
A
L1
B L2
1
F2max A2
/ 0.72 2502 12/ 0.72 1042(kN)
2
［Fmax］=705.4 kN
22
例 图示结构,已知： L、A、E、a、F 。求：各杆轴力。
解：1、平衡方程:
L3 2 1 aa
A
B
F
FN3 FN2 FN1
△L2
F △L3
△L1
Y 0 FN1 FN 2 FN3 F 0 M A 0 FN 2a FN12a 0
、补充方程：LT 2aT ;
F2
L N

FN1a EA1
无量刚。
4
叠加原理： ①当各段的轴力为常量时——
L L1 L2 L3
FNi Li EAi
②当轴力为x的函数时 N=N(x)——
L dL1 dL2 dL3
FN (x)dx L EA
使用公式的时，轴力一定要代入其正、负号。
注意：（1）、使用条件：轴向拉压杆，弹性范围内工作。
B
D
C
1
3
2

A
19
F
B 1
D 3
C 解：、平衡方程:
2
X 0 FN1 sin FN2 sin 0
Y 0 FN1 cos FN2 cos FN3 F 0
A
△L2
△L1
△ L P3
、几何方程——变形协调方程：
L1 L3 cos
3
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
（1）、轴向正应变线应变： L
L 值为“+”——拉应变，
lim L
L0 L
值为“-”——压应变。
（2）、在弹性范围内： L FN L
A
L FN L EA
----胡克定律
E——弹性模量与材料有关，单位——同应力。 EA——抗拉压刚度。
q0 =100kN /m GH 都由两根不等边角钢组成，
E
已知材料的[]=170 MP a ，
F=300kN 1.2 m D 1.8 m G E=210 G P a ，AC、EG 可视为
A 0.8 m 3.2 m
C
刚杆，试选择各杆的截面型号
和A、D、C点的位移。
FNE
FNG 解：求内力，受力分析如图
E
q 0 =100kN /m
D
G
3.2 FNA 4 300 240(kN)
FNA F=300 kN A
FND FND
C
FND

0.8 300 4
60(k N)
FNE 186 (kN)
FNG 174 (k N)
14
由强度条件求面积


FN A

A
FN

FN3 F
、联立（1）、（2）、（3）得:
FN1; FN 2; FN 3 1; 2; 3
24
3—5 热应力与预应力（温度应力、装配应力） 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。