角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用
角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and theirapplicationAbstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts.Key words:Angular momentum;Torque;Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
角动量 角动量守恒定律
角动量与线动量关系
角动量与线动量的关系
角动量是线动量在物体绕某点或某轴 转动时的表现形式，二者之间存在密 切关系。
动量守恒定律
在不受外力作用的情况下，物体的总 动量（包括线动量和角动量）保持不 变，即动量守恒定律。
02
角动量守恒定律
守恒条件及适用范围
守恒条件
当系统不受外力矩作用时，系统的角动量守恒。即在没有外力矩的情况下，系统内部各部分之间的相 互作用力不会导致系统总角动量的改变。
06
总结与展望
课程内容回顾与总结
角动量的定义与性
质
角动量是物体绕某点或某轴转动 的动量，具有矢量性质，其大小 与物体的质量、速度和转动半径 有关。
角动量守恒定律的
表述
在没有外力矩作用的情况下，系 统内的角动量保持不变，即角动 量守恒。
角动量守恒定律的
应用
角动量守恒定律在天体物理、刚 体转动、分子运动等领域有广泛 应用，如行星运动、陀螺仪工作 原理等。
对未来研究方向的展望
角动量守恒定律在复 杂系统较成熟，但在复 杂系统中的应用还有待深入研究， 如多体问题、非线性问题等。
角动量与其他物理量 的关系研究
角动量与能量、动量等物理量之 间存在一定的联系，未来可以进 一步探讨它们之间的关系，以及 如何利用这些关系解决实际问题。
在机械工程中，飞轮储能系统被应用 于能量回收和节能领域。飞轮储能系 统利用刚体定轴转动的角动量守恒定 律，通过加速和减速飞轮来储存和释 放能量。这种储能方式具有高效率、 环保等优点，在电动汽车、风力发电 等领域具有广阔的应用前景。
04
质点和质点系相对于固定 点角动量守恒
质点相对于固定点角动量定义和性质
双星系统由两颗互相绕转的恒星组成。在双星系统中，两颗恒星的角动量守恒，因此它们的轨道周期、距离和质量之 间存在一定关系。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用
对一固定点o，一个系统所受的合外力矩为零，则此质点的角动量矢量保持不变，即为一个系统角动量守恒的条件。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
一般定理，不要什么条件，定律有一定的适用条件。
质点系的角动量定理：质点系对任一固定点o的`角动量对时间的发微熵等同于促进作用于该质点系的诸外力对o点的力矩的矢量和。
内力无法发生改变质点系的整体旋转情况。
大一力学角动量的知识点
大一力学角动量的知识点角动量是物体运动中的一个重要物理量，它与物体的质量和速度有关。
在大一力学学习中，我们会接触到一些与角动量相关的知识点，本文将对这些知识点进行讲解。
1. 角动量的定义角动量（Angular Momentum）是物体绕某一轴旋转时所具有的物理量。
对于质点，其角动量L定义为质点的质量m与质点的径向距离r乘以质点的速度v在垂直于质点运动平面上的投影，即L = mvr。
其中，v是质点的速度，r是质点到轴线的距离。
2. 角动量守恒定律在没有外力作用的情况下，系统的总角动量守恒。
这意味着当一物体的角动量发生变化时，其他物体的角动量也会发生相应的变化，但总的角动量保持不变。
3. 角动量定理角动量定理描述了角动量的变化与作用力之间的关系。
根据角动量定理，物体所受的净外力产生的角动量变化率等于净外力对物体的力矩（Torque）。
即dL/dt = τ，其中τ是作用在物体上的力矩。
4. 角动量守恒的应用角动量守恒定律被广泛应用于物理学的不同领域。
在自然界中，许多现象和实验都可以通过角动量守恒来解释。
例如，当滑轮系统中的绳子拉动产生一个力矩时，滑轮上各质点的角动量随之改变，但总的角动量保持不变。
又如，当一个旋转的冰艇收缩时，由于角动量守恒，冰艇的旋转速度会变大。
5. 角动量与转动惯量转动惯量（Moment of Inertia）是描述物体绕轴旋转惯性的物理量。
对于质点而言，转动惯量I等于质点的质量m乘以质点到轴线的距离的平方，即I = mr^2。
角动量L和转动惯量I之间的关系是L = Iω，其中ω是物体绕轴旋转的角速度。
6. 角动量与角加速度根据牛顿第二定律和角动量定理，可以推导出角动量与角加速度之间的关系。
对于经过一段时间Δt的力矩作用，角动量的变化量ΔL = τΔt。
而角动量的变化量ΔL还可以表示为ΔL = IΔω。
将上述两个等式联立，可以得到IΔω = τΔt。
令Δt趋近于0，可以得到Iα = τ，其中α是角加速度。
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不 计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质 点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 m v组成的平面垂直）。 角动量的大小为
角动量定理角动量守恒定律
在系统整体上应用牛顿第二定律，得到系统受到的合外力矩为零时 的角动量守恒条件。
推导角动量守恒定律
根据系统总角动量和角动量守恒的条件，推导出角动量守恒定律， 即在合外力矩为零时，系统总角动量保持不变。
推导过程中的注意事项与难点解析
注意事项
在推导过程中，需要注意定义和计算过程中的符号约定，以及正确应用牛顿第二 定律。
角动量定理与守恒定律的适用范围
角动量定理适用于描述物体在受到外 力矩作用下的旋转运动，特别是需要 分析力矩对旋转运动的影响时。
角动量守恒定律适用于描述某些特定 条件下物体的旋转运动，如系统不受 外力矩作用或系统内力的力矩相互抵 消等。
04
角动量定理与守恒定律的 推导过程
角动量定理的推导过程
定义角动量
03
角动量守恒定律则是在一定条件下，物体的角动量保持不变 。
角动量定理与守恒定律的区别
角动量定理是一个运动方程，用于描 述旋转运动的物体在外力矩作用下的 运动规律，而角动量守恒定律则是一 个守恒条件，用于描述某些特定情况 下旋转运动的物体角动量的保持。
VS
角动量定理是一个瞬时规律，关注的 是物体在某一时刻的运动状态，而角 动量守恒定律则是一个时间平均规律， 关注的是物体在一段时间内的平均运 动状态。
矩作用会导致旋转物体角动量的增加或减少。
02
揭示旋转运动的本质
角动量定理阐明了旋转运动的本质特征，即旋转物体的角动量是守恒的，
但可以通过力矩作用进行改变。
03
指导设计旋转机械
角动量定理在旋转机械设计和运行中具有指导意义，例如在电动机、发
电机、陀螺仪等设备的设计中，需要考虑力矩作用和角动量的变化。
角动量守恒定律的物理意义
4.0 质点的角动量 角动量定理和守恒定律
定义： 质点对选取的参考点的角动量等于其 矢径 r 与其动量 mv 之矢量积。用 L 表示。
LO
LO
LO r mv
o m
mv r mv r
L
LO
o m
mv r
LO r mv
注意：1)为表示是对哪 个参考点的角动量，通 常将角动量L画在参考 点上. 2）单位：
MO
注意：
1）大小
MO r F
o m
F r
M
3）单位：牛顿米
2）方向： r F 的方向
M rF sin
F
r
M
O
4）当 F 0 时
A) r 0
有两种情况,
M 0
B）力的方向沿矢径的方向（ sin 0 ） 有心力的力矩为零.
dL 0 L 恒矢量 则： dt
合外力矩
0
角动量守恒定律：当系统所受合外力矩为零 时，质点系的角动量保持不变. 注意：1、角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，
无论在宏观上还是微观领域中都成立. 2、守恒定律 ：表明尽管自然界千变万化，变换 无穷，但决非杂乱无章，而是严格地受着某种规律的制 约，变中有不变. 这反映着自然界的和谐统一.
两式相加：
d M 1 M 10 M 2 M 20 ( L1 L2 ) 3 dt
d M 1 M 2 ( L1 L2 ) 4 dt 令：M M 1 M 2 质点所受的合外力矩
L L1 L2
F
三、角动量定理 1、角动量定理的微分形式 对一个质点：
刚体角动量和角动量守恒定律
• 刚体角动量介绍 • 角动量守恒定律 • 刚体角动量的应用 • 刚体角动量与现实世界的关系 • 刚体角动量与未来科技的关系
01
刚体角动量介绍
刚体的定义
刚体
在运动过程中，其内பைடு நூலகம்任意两点 间的距离始终保持不变的物体。
刚体的特性
在刚体的运动过程中，其形状和 大小不会发生变化，只改变其位 置和姿态。
刚体的角动量定义
角动量
一个物体绕固定点旋转时所具有的动 量，其大小等于物体质量、速度和旋 转半径的乘积。
刚体的角动量
当刚体绕固定点旋转时，其角动量等 于刚体质量、旋转轴上的速度和旋转 半径的乘积。
刚体的角动量的计算公式
角动量计算公式：L = mvr
其中，L表示角动量，m表示刚体的质量，v表示刚体上任意一点相对于旋转轴的速度，r表示该点到旋转 轴的距离。
证明方法一
证明方法二
证明方法三
03
刚体角动量的应用
在物理实验中的应用
陀螺仪
刚体角动量在陀螺仪中有着重要 的应用，通过测量旋转轴的角速 度，可以确定物体的方向和姿态。
摆锤实验
通过观察摆锤的摆动，可以验证 刚体角动量守恒定律，了解力矩 对刚体角动量的影响。
磁力矩实验
利用磁力矩对刚体角动量的作用， 可以研究刚体的旋转运动和磁场 的相互作用。
角动量守恒定律在设计和优化机械系 统，如电机、陀螺仪和风力发电机等 方面有广泛应用。
对体育运动的影响
在体育运动中，角动量守恒定律有助于理解旋转运动，如滑冰、花样滑冰和乒乓 球等项目的旋转动作和技巧。
运动员通过合理运用角动量守恒定律，可以调整旋转速度、方向和稳定性，提高 运动表现和竞技水平。
角动量定理及角动量守恒定律
角动量定理及角动量守恒定律一、力对点的力矩：如图所示,定义力F对O 点的力矩为： F r M ⨯=大小为: θsin Fr M ＝力矩的方向：力矩是矢量，其方向可用右手螺旋法则来判断：把右手拇指伸直,其余四指弯曲，弯曲的方向由矢径通过小于1800的角度转向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向.二、力对转轴的力矩:力对O 点的力矩在通过O 点的轴上的投影称为力对转轴的力矩。
1）力与轴平行，则0=M;2）刚体所受的外力F 在垂直于转轴的平面内，转轴和力的作用线之间的距离d 称为力对转轴的力臂。
力的大小与力臂的乘积，称为力F对转轴的力矩,用M表示。
力矩的大小为： Fd M ＝或： θsin Fr M ＝其中θ是F 与r的夹角.3）若力F不在垂直与转轴的平面内,则可把该力分解为两个力,一个与转轴平行的分力1F，一个在垂直与转轴平面内的分力2F ，只有分力2F 才对刚体的转动状态有影响.对于定轴转动，力矩M 的方向只有两个，沿转轴方向或沿转轴方向反方向，可以化为标量形式，用正负表示其方向.三、合力矩对于每个分力的力矩之和。
合力 ∑=i F F合外力矩 ∑∑∑=⨯=⨯=⨯i i i M F r F r F r M＝即 ∑i M M＝四、质点的角动量定理及角动量守恒定律在讨论质点运动时，我们用动量来描述机械运动的状态，并讨论了在机械运动过程中所遵循的动量守恒定律。
同样，在讨论质点相对于空间某一定点的运动时，我们也可以用角动量来描述物体的运动状态。
角动量是一个很重要的概念，在转动问题中，它所起的作用和(线）动量所起的作用相类似。
在研究力对质点作用时,考虑力对时间的累积作用引出动量定理，从而得到动量守恒定律；考虑力对空间的累积作用时,引出动能定理，从而得到机械能守恒定律和能量守恒定律。
至于力矩对时间的累积作用，可得出角动量定理和角动量守恒定律；而力矩对空间的累积作用，则可得出刚体的转动动能定理，这是下一节的内容.本节主要讨论的是绕定轴转动的刚体的角动量定理和角动量守恒定律，在这之前先讨论质点对给定点的角动量定理和角动量守恒定律。
能量守恒和角动量守恒的应用实践
能量守恒和角动量守恒的应用实践1. 能量守恒能量守恒定律指出，在一个孤立系统中，能量不会出现也不会消失，能量的总量是恒定的。
这个原理适用于自然界中的所有物理过程。
能量守恒定律可以表述为：[ U = W + Q ]其中，( U ) 是系统内能的变化，( W ) 是系统对外做功，( Q ) 是系统吸收的热量。
1.1 能量守恒的应用1.1.1 热力学系统在热力学中，能量守恒定律是热力学第一定律。
例如，考虑一个理想气体从一个高温容器转移到一个低温容器。
在这个过程中，气体放出热量，内能减少，同时对外做功。
根据能量守恒定律，气体的内能减少等于放出的热量和对外做的功之和。
1.1.2 机械系统在机械系统中，能量守恒定律也有广泛的应用。
例如，考虑一个摆动的摆。
在无阻力的情况下，摆动的能量（动能和势能）在运动过程中保持不变。
这个原理是很多机械设备（如过山车、秋千等）设计的基础。
2. 角动量守恒角动量守恒定律是指，在一个没有外力矩作用的系统中，系统的总角动量保持不变。
角动量可以表述为：[ = ]其中，( ) 是角动量，( ) 是物体的位置矢量，( ) 是物体的动量。
2.1 角动量守恒的应用2.1.1 经典力学系统在经典力学中，角动量守恒定律有广泛的应用。
例如，考虑一个物体在水平面上绕一个固定点旋转。
在没有外力矩作用的情况下，物体的总角动量保持不变。
这个原理是很多机械设备（如陀螺仪、匀速圆周运动等）设计的基础。
2.1.2 量子力学系统在量子力学中，角动量守恒定律也有重要应用。
例如，考虑一个电子在原子中绕原子核旋转。
根据量子力学，电子的总角动量（包括主量子数、磁量子数和自旋量子数）保持不变。
这个原理是原子物理学的基础。
3.1 能量守恒的应用实践3.1.1 热力学工程在热力学工程中，能量守恒定律有广泛的应用。
例如，在蒸汽轮机的设计中，要确保蒸汽的热能完全转化为机械能，遵循能量守恒定律。
3.1.2 能源转换在能源转换领域，能量守恒定律也有重要作用。
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
dt dt dt
dt
定轴转动的刚体所受的合外力矩等于此时刚体dt t0
L0 dL L L0 J J0
定轴转动的刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在
这段时间内对该轴的角动量的增量．
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
9
三 刚体对轴的角动量守恒定律
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1
一 角动量 质点的角动量定理及角动量守恒定律
1.质点的角动量
质点在垂直于 z 轴平面
z
上以角速度 作半径为 r
的圆运动.
or
mv
➢ 质点角动量（相对圆心） L r p r mv
大小 L rmvsin
90
A
z L mv
L rmv mr 2 （圆运动）
L 的方向符合右手法则.
r
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
2
2.质点的角动量定理
dL d (r mv) r d(mv) dr mv
dt dt
dt dt
dr v dr mv 0
dt
dt
作用在质点上的力矩等于质 点角动量对时间的变化率。 此即质点对固定点的角动量 定理。
v02
k(l m
l0 )2 M
arcsin
l0mv0
l m2v02 k(l l0 )2 (m M)
第3章 刚体力学基础
3–4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
7
二 刚体对轴的角动量 刚体定轴转动的角动量定理
1.刚体对轴的角动量
刚体对转轴的角动量就是刚体上各质元的角动
量之和．
05-4刚体的角动量定理和角动量守恒定律
l
M
m
v0
系统的角动量守恒
mv0l J
1 2 2 J ? Ml ml 3
l
M
棒的转 子弹的转 动惯量 动惯量
m
v0
mv0 M ( m)l 3
例1 一质量为M，长为l 的均质细棒，可绕过其顶端的 水平轴自由转动。当杆静止时，一质量为m的子弹以 水平速度v0射入细杆底端并穿出，穿出后子弹速度损 失3/4，求子弹穿出后棒的角速度
二 定轴转动刚体的角动量定理
根据转 动定律
刚体对定轴的转动惯量不变
d M J J dt
z
k
O
F
r
作用在刚体上的合外力对转轴的力 矩等于刚体对转轴的角动量变化率
两边做积分
d( J ) dL M dt dt
t2
t Mdt L dL L2 L1
L2
1
20
m2 O2 R2
1
2
O2 R2
O1 R1
f
取两圆柱为一系统，该系统受到的合外力矩为零，而 两圆柱相互接触处的摩擦力是内力矩，那么该系统是 否角动量守恒呢？
质点的运动
刚体的定轴转动
角速度 角加速度 转动 J 惯量 力矩
dr 速度 v dt 2 dv d r 2 加速度 a dt dt
O
L
m
m
以单摆和细杆作为系统，在碰撞过程系统所受合 外力矩为零，系统角动量守恒
O
设小球绳长为l， 根据角动量守恒 弹性碰撞， 机械能守恒
mvl J
1 2 1 2 mv J 2 2
1 2 mL 3
L
l
角动量守恒及其应用
“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值αsin p r L ⋅=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量L ∆等于外力的冲量矩t M ∆⋅（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L ∆⋅=∆。
若M=0，得L ∆=0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t Mi∆⋅∑，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t ML i∆⋅=∆∑。
同样当0=∑iM时，质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，上述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零，即0=∑iM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零，则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩，即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响，角动量近似守恒。
2 角动量守恒定律的应用例题1 （第23届物理竞赛复赛第2题）如图2所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l ，两端和中心处分别固连着质量为m 的小球B 、D 和C ，开始时静止在光滑的水平桌面上。
椭圆轨道角动量守恒[4篇]
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椭圆轨道角动量守恒[4篇]以下是网友分享的关于椭圆轨道角动量守恒的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
椭圆轨道角动量守恒（一）§5.3角动量守恒定律一、角动量守恒定律研究对象：研究对象：质点系由角动量定理：由角动量定理：当时，M x =0时L x =恒量分量式：分量式：M y =0时L y =恒量M z =0时L z =恒量对定轴转动刚体，对定轴转动刚体，当M=0时，L 轴=恒量角动量守恒定律：角动量守恒定律：当质点系所受外力对某参考点（当质点系所受外力对某参考点（或轴）或轴）的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点（质点系对该参考点（或轴）或轴）的角动量守恒。
的角动量守恒。
r守恒条件：：M 外=0注意1. 守恒条件能否为或rM d t =0外∫M 轴=0不能，不能，后者只能说明初、后者只能说明初、末态角动量相等，末态角动量相等，不能保证过程中每一时刻角动量相同。
不能保证过程中每一时刻角动量相同。
2. 与动量守恒定律对比：与动量守恒定律对比：r当M 外=0时，当F 外=0时，rp =恒矢量rL =恒矢量彼此独立例. 一半径为R 、质量为M 的转台，的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 竖直轴转动, 质量为, 质量为m 的人站在转台边缘，的人站在转台边缘，最初人和台都静止。
台都静止。
若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)不计阻力) ，相对于地面，于地面，人和台各转了多少角度？人和台各转了多少角度？思考：思考：1.台为什么转动1. 台为什么转动？向什么方向转动？台为什么转动？向什么方向转动？2.人相对转台跑一周 2. 人相对转台跑一周，人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？否也跑了一周？3.人和台相对于地面转过的角度之间 3. 人和台相对于地面转过的角度之间有什么关系？有什么关系？解：选地面为参考系，选地面为参考系，设对转轴人：J , ω; 台：J ´, ω´J =mRJ ′=MR22系统对转轴合外力矩为零，系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
四 角动量定理、角动量守恒的应用
练习 电风扇开启电源时，经t1时间达到额定 转速 0 ，关闭电源时经t2时间停止。设电风扇的 转动惯量为 I ，且电机的电磁力矩与摩擦力矩为 恒量。求：电风扇电机的电磁力矩。 解. 风扇开启时，受电磁力矩 M与摩擦力矩 M f 的共同作用，经过时间t1，角速度0由增加 0 ， t 由角动量定理 t Mdt L L0 有
0
(M M f )t1 I0
即
I 0 (M M f ) t1
（ 1）
风扇关闭，受摩擦力矩 M f的共同作用，经过 时间t2，角速度由 0降低至零，由角动量定理有
M f t2 0 I0
即
I 0 Mf t2
（ 2）
由（1）式-(2)式 得
1 1 M I 0 ( ) t1 t 2
Nx
v0
m
例7 摩擦离合器 飞轮1：I1、 摩擦 轮2： I2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两 轮达到的共同角速度。
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
2 1
试与下例的齿轮啮合过程比较。
例8 两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心 垂直于盘面转轴的转动惯量为I1 、 I2，开始 1 0 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后 轮以 两轮的角速度。 解： 两轮绕不同轴转动，故对 两轴分别用角动量定理：
3-3 刚体定轴转动的角动量定理及其守恒
一、 刚体定轴转动的角动量定理 如前所述：刚体作为质点系的特例，显然应 当服从质点系角动量定理
dLZ 沿固定轴(z轴)的分量式为 M z dt
dL M dt
对于定轴转动的刚体，常常略去下标，即
dLபைடு நூலகம்M dt
称刚体定轴转动的角 动量定理的微分形式
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宁夏大学新华学院角动量守恒定理的探究以及在现实生活中的应用姓名：张晨学号：12011247122系别：信息与计算机科学系班级：电气工程及其自动化(2)班目录摘要 (3)关键词 (3)引言 (3)1.力矩 (4)1.1对定轴的力矩 (4)1.2作用力矩和反作用力矩 (5)2.角动量的概念 (5)3.角动量守恒定理 (6)3.1质点对参考点的角动量守恒定律 (6)3.2质点系对参考点的角动量守恒定律 (6)4.角动量守恒的判断 (7)5.角动量守恒定理的应用 (7)5.1平板球摆问题 (7)5.2花样溜冰中的角动量守恒 (7)5.3角动量守恒定理在航空事业中的应用 (8)结语 (10)参考文献 (10)角动量守恒定理及其应用摘要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分，角动量的研究主要是对于物体的转动方面，并且可以延伸到量子力学以、原子物理及天体物理等方面。
角动量这一概念范畴系统的介绍的力矩、角速度、角加速度的概念，并且统筹的联系到质点系、质心系、对称性等概念。
关键词:角动量；力矩；角动量守恒；矢量；转动；应用Angular momentum conservation theorems and their application Abstract:Angular momentum to the concept of classical physics there is an important component of angular momentum of research mainly for the rotation, and may extend to the quantum mechanics and physical and in the astrophysical. angular momentum in the categorical system of the present moment, the angular velocity, the concepts of angular acceleration and co-ordination of the particle, the quality of heart, symmetry, and concepts. Key words:Angular momentum;Torque; Conservation of angular momentum; Vector; Turn; application.引言在研究物体运动时,人们经常可以遇到质点或质点系绕某一定点或轴线运动的情况。
例如太阳系中行星绕太阳的公转、月球绕地球的运转、物体绕某一定轴的转动等,在这类运动中,运动物体速度的大小和方向都在不断变化,因而其动量也在不断变化。
在行星绕日运动中,行星受指向太阳的向心力作用,其运动满足角动量守恒。
我们很难用动量和动量守恒定律揭示这类运动的规律,但是引入角动量和角动量守恒定律后,则可较为简单地描述这类运动。
角动量可从另一侧面反映物体运动的规律。
事实上,角动量不但能描述宏观物体的运动,而且在近代物理理论中,角动量对于表征状态也必不可少。
角动量守恒定律在经典物理学、运动生物学、航空航天技术等领域中的应用非常广泛。
角动量在20世纪已成为继动量和能量之外的力学中的重要概念之一。
1.力矩在物理学里，力矩可以被想象为一个旋转力或角力，导致出旋转运动的改变。
这个力定义为线型力乘以径长。
依照国际单位制，力矩的单位是牛顿-米[1]。
1.1对定轴的力矩如图1所示，一刚体绕定轴z 转动（只画出了刚体一部分），力F 作用在刚体上P 点，且力的方向在P 点的转动平面M 内。
如果力不在转动平面内，可以把F 分解为沿轴z 方向的分力和在转动平面内的分力。
轴向分力是要改变轴的方向，在定轴转动中会被定轴的支撑力矩抵消而不起作用，所以我们可以只考虑在转动平面内分力的作用，以后我们也只讨论力在转动平面内的情况。
设P 点的转心为O ，径矢为r 。
通常把力F 对定轴z 的力矩定义为一个矢量F r M ⨯= （1）它的大小为Fd Fr M ==ϕsin （2）或r F Fr M t ==ϕsin （3）其中ϕsin r d =称为力F 对轴的力臂，ϕsin F F t =为力F 的切向分量。
由（3）式可知，力矩矢量的方向是矢径r 和力F 矢积的方向。
图中的力矩矢量的方向向上。
在刚体的定轴转动中，力矩矢量的方向只有沿着z 轴和逆着z 轴两个方向。
我们把沿z 轴的力矩叫做正力矩，逆着z 轴的力矩叫做负力矩，这是力矩的标量表述。
图1 刚体对轴的力矩可以证明，力对定轴z 的力矩不过是力对轴上任一定点的力矩在z 轴方向的分量，所以它们的讨论和表示方式才如此相似。
若作用在p 点的力不止一个，即是一个合力，则该点所受合力的力矩等于各分力力矩之和。
简要证明如下：按（1）式，合力的力矩∑∑=⨯=⨯=i i M F r F r M (4)其中i i F r M ⨯=为各分力的力矩，证毕[2]。
1.2作用力矩和反作用力矩由于作用力和反作用力是成对出现的，所以它们的力矩也成对出现。
由于作用力与反用力的大小相等，方向相反且在同一直线上因而有相同的力臂，见下图，所以作用力矩和反作用力矩也是大小相等，方向相反，其和为零。
0'=+M M (5)2.角动量的概念刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动量矩，代号L ，SI 单位千克二次方米每秒，符号kgm2/s 。
角动量是描述物体转动状态的物理量。
如果对于某一固定点,质点所受的合外力矩为零,则此 质点对该固定点的角动量矢量保持不变。
(质点角动理守恒定律)如果一个质点系所受的合外力矩等于该质点系的角动量对时间的变化率(力矩和角动量都相对于惯性系中同一定点)。
(质点系的角动量守恒定理)角动量是矢量。
角动量><⨯⨯=⨯=F r F r F r L ,sin角动量在物理学中是与物体到原点的位移和动量相关的物理量， 角动量在经典力学中表示为到原点的位移和动量的叉乘，通常写做L 。
角动量在量子力学中与角度是一对共轭物理量。
在不受外界作用时，角动量是守恒的。
角动量守恒是跟空间各项同性有关系的，也就是说空间的各个方向是没有区别的，这叫做物理定律的旋转不变性，由这种不变性，在理论上，可以得到角动量守恒。
动量守恒是跟空间均匀性相关的，也就是说物理定律在各个地方是一样的，地球上的物理定律跟月亮上的物理定律是一样的，这叫做空间平移不变性，由空间平移不变性，可以从理论上推导出动量守恒。
另外，还有能量守恒是跟时间平移不变性相关的，也就是说，过去，现在和未来物理定律是一样的话，就有这么一个量，叫做能量是守恒的。
所有这些，都是由一个叫做诺特定理的东西得出来的。
3.1 质点对参考点的角动量守恒定律如图2所示,质点m 的动量为p ,相对于参考点O 的角动量为L ,其值L =αsin rp ,其中α是质点的动量与质点相对参考点O 的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量ΔL 等于外力的冲量矩M t ∆(M 为外力对参考点O 的力矩),即ΔL =M t ∆。
若M =0,得ΔL =0,即质点对参考点O 的角动量守恒[3]。
3.2 质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系,且处于惯性系中,可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量矩∑∆∙t i M ,等于质点系对该参考点的角动量的变化量,即ΔL =∑∆∙t i M 。
同样当∑=0i M 时,质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系,处于非惯性系中,只要把质点系的质心取作参考点,上述结论仍成立。
图2对参考系的角动量守恒M时,质点或质点系对该参考点的角动量当外力对参考点的力矩为零,即∑=0i守恒。
有四种情况可判断角动量守恒:①质点或质点系不受外力。
②所有外力通过参考点。
③每个外力的力矩不为零,但外力矩的矢量和为零。
甚至某一方向上的外力矩为零,则在这一方向上满足角动量守恒。
④内力对参考点的力矩远大于外力对参考点的合力矩,即内力矩对质点系内各质点运动的影响远超过外力矩的影响,角动量近似守恒[4]。
5.角动量守恒定理的应用角动量守恒定理在我们的现实生活中非常的常见，航海航天领域和人们平常所使用的工具器械，以及日常中见到的现象很多一部分都可以用角动量守恒定理来解释。
5.1平板球摆问题有一光滑圆形平板A,在圆盘的中心O点出有一圆形小孔，小空中穿过一根细棉绳，绳的另一端系着一质量为m的小球，小球以速度v按逆时转动，用手拉住棉线的下端缓慢向下拉。
我们会发现小球的线速度会逐渐增加。
即对于小球有，半径r逐渐减小，r⨯为一定值，即小球速度v逐渐增加，通过实验计算我们可以得出对于以上系统有mv的角动量守恒。
5.2花样溜冰中的角动量守恒我们在看滑泳表演时经常发现，一个运动员站在冰上旋转（见下图），当她把手臂和腿伸展开时转得较慢，而当他把手臂和腿收回靠近身体时则转得较快，这就是角动量守恒定律的表现。
冰的摩擦力矩很小可忽略不计，所以人对转轴的角动量定恒。
当她的手臂和腿伸开时转动惯量大故角速度较小，而收回后转动惯量变小故角速度变大。
只要你留心，你会发现优秀的体操运动员、跳水运动员都会很熟练地演示角动量守恒定律，读者可以自己去分析[5]。
图3 滑泳运动员的角动量定恒5.3角动量守恒定理在航空事业中的应用安装在轮船、飞机或火箭上的导航装置回转仪，也叫陀螺，也是通过角动量守恒的原理来工作的。
回转仪的核心器件是一个转动惯量较大的转子，装在“常平架”上。
常平架由两个圆环构成，转子和圆环之间用轴承连接，轴承的摩擦力矩极小，常平架的作用是使转子不会受任何力矩的作用。
转子一旦转动起来，它的角动量将守恒，即其指向将永远不变，因而能实现导航作用。
5.3.1回转仪的进动回转仪的进动是一类特殊的刚体定点转动。
回转仪又叫“陀螺”,是指绕对称轴作高速旋转的刚体,且轴上有一点固定不动。
一般陀螺的质量分布对中心为旋转对称分布,使陀螺以很高的转速绕其自转轴旋转。
将轴的尖端竖立在桌面上,陀螺会继续转动。
但稍加倾斜自转轴就与铅垂线保持一定角度,陀螺将在自转的同时又以稳定的角速度绕铅垂线旋转,这种运动叫做进动。
5.3.2在直升机中应用一般直升机由机身、主螺旋桨和抗扭螺旋桨组成。
那么为什么直升机必须在机尾处安装抗扭螺旋桨呢?我们把直升机的主螺旋桨和机身视为一个物体系,并从物体系对转动轴线的角动量守恒来解释:发动机未开动时,直升机静止于地面,系统对主螺旋桨转轴的角动量为零。
然后主螺旋桨开始转动,系统的角动量增加,这时外力矩由轮子与地面的摩擦力提供,满足角动量定理。
主螺旋桨加速转动的力矩对系统来讲是内力矩,它与作用在机身的内力矩总合为零,因此合内力矩对系统的角动量没有影响。