九年级数学课件：7.2 正弦和余弦
新冀教版九年级上册初中数学 课时2 正弦和余弦 教学课件
AC1
AB1
AB2
AB1
B1C1 AB1
=
B2C2 AB2
AC之2 间各有什么关系？
AB2
AC1 =
AB1
AC2 AB2
第六页，共二十一页。
新课讲解
讨论
(3)过射线AB1上任取一点B3,过B3作B3C3⊥AC1,垂足为C3,则
与B3C3 之间A有C3什么关AC系1 ？
AB3
AB3
AB1
D
2.正弦值和余弦值只与角的大小有关,与三角形的大小无关.
3.sin A,cos A是一个整体符号,不能写成sin·A,cos·A.
4.当用三个字母表示角时,角的符号“∠”不能省略,如sin∠ABC.
第二十页，共二十一页。
拓展与延伸
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，由于sinA=
B, C a cosA=
第八页，共二十一页。
新课讲解
思考
(1)当锐角α的大小变化时,sin α,cos α,tan α是否变化? (2)对于锐角α的每一个确定的值,sin α,cos α和tan α是否有
唯一的值和它对应?
(3)sin α,cos α和tan α是不是α的函数?
结论
我们把锐角α正弦、余弦和正切统称为α的三角函数.为方便起见,今后
,
AB c
sinB= AC ,cbosB=
AB c
AC b AB c
BC a AB c
因此，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=
tanB= AC b , tan A tan B =1.
BC a
BC
,
a
AC b
6.在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2,∵sinA= , cosAa = ,
正弦公式和余弦公式
正弦公式和余弦公式正弦公式和余弦公式是数学中的两个重要的公式，它们是用来研究正弦和余弦的函数关系的重要工具。
它们描述的正弦和余弦的函数关系可以用来解决许多不同种类的数学问题，也可以应用于物理学，化学，机械等许多科目。
正弦公式和余弦公式的概念源自三角学，是一种表达描述三角形内点和某直线之间关系的数学工具。
通常，正弦和余弦函数关系都是从平面坐标中，给定一个点(x,y)，根据这个点可以求出正弦和余弦函数之间的关系。
特别地，如果x=0，那么正弦公式的结果为y=0，而余弦公式的结果为y=1。
而正弦公式和余弦公式的定义则是以直线做为基础形成的，即通过从给定点推导出正弦和余弦函数之间的关系，来求解出给定点和直线之间的距离。
正弦公式和余弦公式都是以弧度为单位进行计算的，而在数学中，弧度是指一个圆心和一条弧之间需要经过的角度，而这个角度也可以用圆周长来表示，即一个圆的周长等于2π倍这个角度，其中π为圆周率，它的值大约为3.14159。
因此，通过求解弧度和弧长之间的关系，可以定义出正弦公式和余弦公式。
正弦公式的定义为：y=sin(x)，其中y代表的是弧上的某个点的纵坐标，而x代表的是这个点在弧上的角度，也就是说，正弦函数的值等于这个角度的正弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，正弦函数值等于这个角度的正弦值。
余弦公式定义为：y=cos(x)，其中y是某点在弧上的纵坐标，而x则是这个点在弧上的角度，而余弦函数的值等于这个角度的余弦值，所以通过这个公式可以得出，给定角度，余弦函数值等于这个角度的余弦值。
正弦公式和余弦公式都有很多的应用，例如正弦公式可以被用来求解矩形三角形的外接圆的半径，也可以用来求解正弦函数在一段区间内的变化曲线；而余弦公式则可以用来计算直角三角形的内切圆的半径，以及求解余弦函数在一段区间内的变化曲线。
正弦公式和余弦公式在解决数学问题和实际应用中的作用非常重要，因为它们定义了正弦函数和余弦函数之间的关系，而正弦函数和余弦函数则是解决现实生活中许多问题所不可缺少的一种函数，因此研究这两个公式的基础原理和实际应用对于更好地理解以及解决问题都是非常重要的。
初中九年级(初三)数学课件 正弦和余弦
1.建立一个直角坐标系； 2.以原点为圆心，选取适当的长度为一个单位长度 ， 作出在第一象限内的圆弧。 3.把一个点从原点出发，沿着50°线移动一个单位的 长度到达圆弧上。 4.请你量出这个点在竖直方向上升的长度和水平方向前 进的长度。
你能利用上面的操作计算出50°正弦和余弦值吗？
几何画板链接
2.sinA,cosA,tanA是一个比值（数值）.
3.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而 与直角三角形的边长无关.
课后作业 探究与训练：P162练习与评 价
再见
实践与探索
如图，小明沿着斜坡向上行走了13m，
他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜
坡行走了20m，那么他的相对位置升高了
多行少走？了a m呢？
P1
P
5m
O
M
M1
在上面的情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？
Rt△OPM∽Rt△OP1M1
B P1
P
O
M
M1
A
所以
PM = OP
P1M1 OP1
苏科版九年级数学(下)第七章
7.2 正弦、余弦（1）
徐州市第三十六中学
复习回顾
如果直角三角形的 一个锐角的大小确定, 那么这个锐角的对边 与邻边的比值也确定.
在Rt△ABC中, ∠A的对边a与邻边b的比叫做 ∠A的正切,记作tanA,即
tanA=A的对边
A的邻边
=
a b
想一想
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与斜边、邻边与斜边的比值也是惟 一确定的吗？
小结 回顾
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a
A的斜边
正弦和余弦公式
正弦和余弦公式正弦和余弦公式是一种广泛应用于三角函数中的基本运算法则。
正弦函数(sin)和余弦函数(cos)是一对基本的数学公式，广泛应用于各类数学计算中，包括解三角形问题、优化问题、计算复杂数学表达式等。
它们的关系可以通过单位圆来直观地理解：正弦函数表示单位圆上点的纵坐标，余弦函数表示单位圆上点的横坐标。
正弦公式sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ、sin2α = 2sinαcosα、sinαsinβ =1/2[cos(α - β) - cos(α + β)]都是正弦函数的固有运算法则。
余弦公式cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ、cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1 = 1 - 2sin²α、cosαcosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α - β)]都是余弦函数的固有运算规则。
正弦和余弦公式在物理、工程、经济等众多领域都有着广泛的应用。
例如，在物理学中，振动和波动问题常常需要用到正弦和余弦公式进行描述和计算。
在工程学中，许多复杂的力学问题也会通过正弦和余弦公式进行化简和求解。
值得注意的是，正弦和余弦公式在运算过程中，往往需要注意角度的转换问题。
在实际应用中，角度一般有两种表示方式：度数制和弧度制。
当我们在使用正弦和余弦公式时，需要根据具体的情况，清楚地知道角度是以何种形式表示的，否则可能会导致计算错误。
总的来说，正弦和余弦公式是数学的基础知识，良好的掌握和理解能够帮助我们更好的解决各类数学相关问题。
同时，它们作为一种普遍的数学语言，也是我们理解世界的重要工具。
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》(第1课时)讲说课稿
苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》（第1课时）讲说课稿一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.2《正弦、余弦》这一课时，是在学生学习了锐角三角函数的基础上进行授课的。
本节课的主要内容是正弦和余弦的概念、性质及其应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握正弦和余弦的定义，理解它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
二. 学情分析在进入九年级下册的学习之前，学生已经掌握了锐角三角函数的相关知识，对三角函数有一定的认识。
但是，对于正弦和余弦的概念、性质及其应用，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我需要引导学生逐步理解正弦和余弦的定义，通过举例、讲解、练习等方式，让学生逐步掌握它们的性质和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解正弦和余弦的概念，掌握它们的性质，并能运用正弦和余弦解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、讨论等方法，学生能够自主探究正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：正弦和余弦的概念、性质及其应用。
2.教学难点：正弦和余弦的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过生活实例引入正弦和余弦的概念，让学生感受数学与实际生活的联系。
2.引导发现法：在讲解正弦和余弦的性质时，引导学生观察、思考、讨论，发现其中的规律。
3.练习法：通过丰富的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
六. 说教学过程1.导入：以生活实例引入正弦和余弦的概念，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解正弦和余弦的定义，通过例题和练习题，让学生掌握它们的性质。
3.课堂讨论：引导学生观察、思考、讨论正弦和余弦的性质，培养学生的探究能力和合作意识。
正弦定理与余弦定理时PPT课件
• 解法二：已知等式变形为
• b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝ 2bccosB·cosC，
• ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋ 2bccosB·cosC，
• ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC • ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， • ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．
得aab2＋ ＝b62－ab＝7 ⇒aab2＋ ＝b62.＝13 7 分
消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0， 解得 a2＝4，a2＝9.9 分
所以ab＝ ＝23 或ab＝ ＝32.
故 a＋b＝5.12 分 第19页/共28页
•变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，
试求“△ABC内切圆的半径r”．
由bcb30bcsin303由正弦定理sinccsinbc60或120c60a90c120a30abc为等腰三角形abca3b4c373743边c最大则角c最大bc2ababcsinasinbsincsinasinbsinccosc2ab9t25t49t3t5t1201203ab2cosasinbsincabc180sincsina2cosasinbsinc2cosasinbsinacosbcosasinbsina根据余弦定理上式可化为coscabc为等边三角形由2cosasinbsinc得cosa2sinb2b3ab4bsinb2bccosbcoscabcsinccsinb2bccosbcoscb2sinbsinccosbcoscsinbsincsinbsinccosbcosccosbc0cosa02bccosbcosc2bccosbcoscbcoscccosbabc2csina
形，且角C为____直__角；a2＋b2>c2⇔△ABC是
新沪科版九年级数学上册课件： 正弦和余弦
∴tan C=������������������������ = 152.
( 2 )过点 B 作 BE⊥AC 于点 E.
∵S△ABC=12AC·BE=84,∴BE=11638,
168
∴sin ∠BAC=������������������������ =
13
15
= 5665.
第23章
第2课时 正弦和余弦
A.35
B.45
C.34
D.43
第23章
第2课时 正弦和余弦
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-4-
5.在△ABC 中,∠C=90°,AC=2,则 AB 的值为( D )
A.2sin A C.si2n������
B.2cos A D.co2s������
知识点 3 锐角的三角函数
6.Rt△ABC 中,∠C 为直角,AC=5,BC=12,那么下列∠A 的四个三角
B.13
C.
15 4
D.
15 15
第23章
第2课时 正弦和余弦
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-8-
11.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 sin A=153,则 tan B 的值为( C )
A.153
B.1123
C.152
D.152
第23章
第2课时 正弦和余弦
知识要点基础练
A.6
B.7.5
C.8
D.12.5
3.已知△ABC
中,∠C=90°,BC=3AC,则
sin
A
的值等于
3 10 10
.
【变式拓展】已知△ABC 中,∠C=90°,BC=3AC,则 cos A=
正弦和余弦
正弦和余弦【学习目标】1．了解正弦、余弦的概念的意义(用直角三角形中直角边与斜边的比表示)，知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实．2．熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦值，并会根据这些数值说出对应的特殊角的度数．3．了解一个锐角的正弦(余弦)值与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系． 4．会查“正弦和余弦表”，即由已知锐角求对应的正弦、余弦值，已知正弦、余弦值求对应的锐角(或运用计算器)．5．会用上述知识解决一些求三角形中未知元素的简单问题． 【主体知识归纳】1．如图6—1，在Rt △ABC 中，如果∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，那么∠A 的正弦sin ＝ca ，∠A 的余弦cos ＝cb ．2．特殊角的正弦、余弦值．3．任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值．即sinA ＝cos （90°－A ），cosA ＝sin （90°－A ）．4．三角函数表三角函数值的变化规律是使用三角函数表的依据．当角度在0°~90°变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．【基础知识讲解】1．正弦、余弦的概念是本章的起点，同时又是重点、关键．这是本章知识的基础．在直角三角形ABC 中，当一个锐角(∠A ）取固定值时，它的直角边与斜边的比值也是一个固定值．ABBC A A =∠=斜边的对边sin ，cos ＝ABAC A =∠斜边的邻边．实际上它们是一个函数关系，它的自变量的取值范围是大于0°且小于90°的所有角度． 在直角三角形中，由于斜边最长，所以函数值的范围是大于0且小于1的所有实数． 2．在查“正弦和余弦表”时，需要明确以下四点：(1)这份表的作用是：求锐角的正弦、余弦值，或由锐角的正弦、余弦值，求这个锐角；(2)这份表中，角精确到1′，正弦、余弦值具有四个有效数字； (3)凡查表所得的值，在教科书中习惯用等号“＝”，而不用约等号“≈”；根据查表所得的值进行近似计算，结果经四舍五入后，一般用约等号“≈”来表示；(4)通过查表要知道：sin0°＝0，sin90°＝1，cos0°＝1，cos90°＝0．在使用余弦表中的修正值时，如果角度增加(1′～3′），相应的余弦值要减小一些；如果角度减小(1′～3′），相应的余弦值要增加．【例题精讲】例1：如图6—2，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，且AC ＝4，CD ＝3，求∠B 的正弦值和余弦值．剖析：任意一个锐角的三角函数值，一般是利用一个直角三角形中相应的边的比值表示，因此要求∠B 的正弦、余弦值，首先要观察∠B 是否在一个直角三角形中，边的比值可否求出．解：∵AC ⊥BC ，C Ｄ⊥AB ，∴△ACD ∽△ABC ．∴∠ACD ＝∠B ．又∵AC ＝4，C Ｄ＝3，由勾股定理，得AD ＝7． ∴sinB ＝sin ∠ACD ＝47，cosB ＝cos ∠ACD ＝43．例2：如图6—3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，写出等于∠A 的正弦的线段比．剖析：根据三角函数定义知，在直角三角形中，角的正弦值等于对边比斜边，余弦值等于邻边比斜边．这里的前提条件一定要注意，是在直角三角形中．错解：sin ＝AB BC AB CD =．正解：sin ＝BCBD ABBC ACCD ==．说明：错解之一是所答线段比ABCD ，因为它们不在同一个直角三角形中，错解之二是所答线段比不全，不全的原因是在三种情况下形成的：一是∠A 是Rt △ABC 和Rt △ACD 的公共角，应有两个比，二是∠A ＝∠BCD ，则sin ＝sin ，三是∠A ＋∠ACD ＝90°，∠A ＋∠B ＝90°，cosACD ＝sinA ＝ACCD ，cosB ＝sin ∠BCD ＝BCBD ．只不过第三种情况的比包含在前两种情况之中了．例3:如图6—4，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求cos ∠A ．剖析：我们所求的任意一个锐角的三角函数值，都是根据三角函数定义，利用一个直角三角形中相应边的比值来表示．求锐角A 的三角函数值时，要观察∠A 是否存在于一个直角三角形中，如果题中没有给出这样的条件，我们要通过添加辅助线，构造出∠A 所在的直角三角形．解：作△ABC 的高AD 、BE ．∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BD ＝21BC ＝21³6＝3．在Rt △ABD 中，由勾股定理，得 AD ＝222235-=-BDAB ＝4．∵S △ABC ＝21BC ²AD ＝21AC ²BE ，∴BC ²AD ＝AC ²BE ， 即6³4＝5³BE ． ∴BE ＝524．在Rt △ABE 中，由勾股定理，得 AE ＝57)524(52222=-=-BEAB ．∴cos ＝257=ABAE ．说明：任意锐角的正弦、余弦值都是存在的，因此在求某一个锐角的正弦值、余弦值时，可把该锐角放到某一直角三角形中（如本例通过添加辅助线，构造出直角三角形），也可以利用某直角三角形中的一个和它相等的角替代（如例1中，求∠B 的三角函数值可转化为求∠ACD 的三角函数值）．例4:计算：cos 245°–︒+︒60sin 2360cos 3＋cos 230°＋sin 245°–sin 230°．剖析：本题主要考查特殊角的三角函数值及数的运算，所以做题时，一是要牢记特殊角的三角函数值，二是运算要准确．解：原式＝(22)2–211＋2323⨯＋(23)2＋(22)2–(21)2＝21–2＋1＋43＋21–41＝21．说明：牢记特殊角的三角函数值是做题的前提，运算正确是关键． 例5：在△ABC 中，若｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∠A 、∠B 都是锐角，则∠C 的度数是( ) A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°剖析：本题主要考查非负数的性质及正、余弦函数的有关知识，在△ABC 中，要求∠C 的度数，首先要确定∠B 、∠C 的度数．解：∵｜sin –22｜＋(23–cos)2＝0，∴｜sin –22｜＝0，(23–cos)2＝0，∴sin –22＝0， 23–cos ＝0．即sin ＝22，cos ＝23．∴∠A ＝45°，∠B ＝30°． ∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠C ＝105°． 故应选C ．例6：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则BBA s in c o s c o s ∙的值是( ) A ．ca B ．ac C ．baD ．ab剖析一：四个选择支均为边的比值，因此想到将sinB 、cosB 、cosA 转化边的比，根据锐角三角函数的定义，cosA ＝cb ，sinB ＝cb ，cosB ＝ca ，化简得ca ，所以选A ．剖析二：利用互余两角三角函数间的关系，得cosA ＝sinB ，即Bsin Bcos A cos ⋅＝cosB ＝ca ．因此选A ．说明：(1)在解题中，常常利用锐角三角函数的定义，将锐角三角函数转化为边的比，或将边的比转化成锐角三角函数；(2)求三角函数式的值、化简三角函数式、或证明三角函数恒等式，常常利用互为余角的三角函数间的关系．将不同角的三角函数变为同角的三角函数．例7：若α是锐角，且sin α＝322，求cos α的值．解：如图6—5，设∠A ＝α，∠C ＝90°，不妨设BC ＝22，AB ＝3，∴AC ＝2222)22(3-=-BC AB ＝1．∴cos α＝31=ABAC ．说明：(1)因α是锐角，可构造一个直角三角形，使α是其中的一个锐角，从而转化为利用锐角三角函数定义来解决问题．(2)已知sin α＝322，运用特例的思想，可设BC ＝22，AB ＝3，从而转化为在直角三角形内的问题．这种解法在做选择题、填空题时应用更为广泛．(3)此题还可应用同角之间的三角函数关系求解，这将在以后的学习中学到． 【知识拓展】培养学习数学好习惯学习习惯是长时期逐渐养成的、一时不容易改变的学习行为方式和行为倾向，一个人养成什么样的学习习惯，会对其学习成绩直接产生有利或有害的影响．同学们养成怎样的学习习惯才对学习有利呢？ （1）独立思考的习惯 爱因斯坦说过：“学习知识要善于思考、思考、再思考，我就是靠这个学习方法成为科学家的．” 课堂上对于老师的讲解，不要只是听或认真听，而要经过思考：老师为什么要这样讲？此题为什么要这样解？辅助线为什么要这样添？还有没有其他解法？长期坚持下去，既培养了自己独立思考的习惯，又真正掌握了知识，提高了能力，只有这样才有助于学习成绩的提高．(2)善于求异和质疑的习惯具体内容是：①独立思考问题，自己从书中、演算中或从分析自己的错例中寻找问题的答案，不畏困难，积极思考．②敢于提出自己的疑问并寻根问底，敢于提出自己不同意见．③在解题、讨论或研究问题时能突破条条框框的约束，不墨守成规，能从不同角度多方面的思考问题，寻求出创造性的解题方法．纠正懒于思考，事事依赖老师、家长、同学或单纯靠记忆模仿、照搬等不良的思维习惯．养成求异和质疑的好习惯对发展创造性思维，及将来的进一步学习都有重要的作用．要养成这种好习惯，首先要认真阅读课本，对书上的结论、注解要多问几个为什么；其次在听懂老师讲解后，要独立思考，看看所讲例题有没有别的解法；再次，就是在研究一题多解的基础上，勤积累，多思考．【同步达纲练习】1．选择题(1)下列各式中，正确的是( ) A ．sin60°＝21 B ．cos （90°－30°）＝sin60° C ．cos60°＝21D ．sin 2x ＝sinx 2(2) 21cos30°＋22cos45°＋sin60°²cos60°等于( ) A ． 22B ．23 C ．221+D ．231+(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ：b ＝3：4，则cosB 等于( ) A ．54 B ．53 C ．43 D ．34(4)已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB ＝13，那么sinA 的值是( ) A ．1312 B ．1213C ．131 D ．135(5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝2，sinA ＝41，则b 的值是( ) A ．21 B ．1C ．215 D ．以上都不对(6)在Rt △ABC 中，各边的长都扩大两倍，那么锐角A 的正弦值( )A ．扩大两倍B ．缩小到一半C ．没有变化D ．不能确定(7)在Rt △ABC 中，sinB ＝23，则cos 2B 等于( )A ．21 B ．23C ．±23 D ．以上答案都不对(8)若0°＜α＜45°，那么cos α–sin α的值( )A ．大于零B ．小于零C ．等于零D ．不能确定(9)α是锐角，且cos α＝43，则α( ) A ．0°＜α＜30°B ．30°＜α＜45°C ．45°＜α＜60°D ．60°＜α＜90°(10)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB ：AC ＝3：2，则∠BC Ｄ的正弦值为( )A ．35 B ．32 C ．23 D ．53(11)在△ABC 中，∠C ＝90°，则下列叙述中正确的是( ) A ．∠A 的邻边与斜边之比是∠A 的正弦B ．∠A 的对边与邻边之比是∠A 的正弦C ．∠A 的对边与斜边之比是∠B 的余弦D ．∠A 的邻边与斜边之比是∠B 的余弦(12)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sinA ＋cosA 等于( ) A ．1B ．231+ C ．221+ D ．41(13)下列等式中正确的是( ) A ．sin20°＋sin40°＝sin60° B ．cos20°＋cos40°＝cos60° C ．sin （90°－40°）＝cos40° D ．cos （90°－30°）＝sin60° (14)下列不等式中正确的是( ) A ．cos42°＞cos40°B ．cos20°＜cos70°C ．sin70°＞sin20°D ．sin42°＜sin40°(15)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列等式一定成立的是( ) A ．sinA ＝sinB B ．sinA ＝cosA C ．sin （A ＋B ）＝cos D ．sinA＝cosB（16）化简22)80sin 20(sin 20sin 80sin )80cos 1(︒-︒︒-︒-︒-的结果是( )A ．1–cos80°B ．–cos80°C ．cos80°D ．cos80°–1(17)若α是锐角，sin40°＝cos α，则α等于( ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．不能确定(18)已知α、β是两个锐角，sin α＝0．412，sin β＝0．413，则有( ) A ．α＞βB ．α＜βC ．α＝βD ．不能确定α、β的大小(19)已知α、β是两个锐角，cos α＝0.43，cos β＝0.44，则有( ) A ．α＞β B ．α＜β C ．α＝β D ．不能确定α、β的大小(20)如果α是锐角，且cos α＝54，则sin （90°－α）的值等于( )A ．259 B ．54C ．53 D ．2516(21)在△ABC 中，如果sinA ＝cosB ＝21，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．以上答案都不对2．填空题(1)计算：4sin60°＋23cos30°－6cos 245°＝__________；(2)一个直角三角形的两直角边分别为5和12，则较小锐角的正弦值是__________；(3)化简：︒+︒∙︒-︒90sin 60cos 70sin 470sin 22＋cos20°的结果为__________；(4)若锐角α满足2sin α－1＝0，则α＝__________；(5)不查表，比较大小：sin25°_____sin24°30′，cos82°25′_______cos82°26′； (6)△ABC 的面积为24cm 2，∠B ＝90°，一直角边AB 为6 cm ，则sinA ＝__________； (7)若三角形的三边长之比为1：3：2，则此三角形的最小内角的正弦值为__________； (8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝8，b ＝15，则sinA ＋sinB ＝__________；(9)若锐角α满足等式2sin(α＋15°)–1＝0，则∠α＝__________，cos2α＝__________． (10)如果2＋3是方程x 2–8xcos α＋1＝0的一个根，且α是锐角，则α＝__________． (11)若ααααcos sin cos sin -+没有意义，则锐角α__________．3．用符号表示： (1)∠A 的正弦； (2)∠B 的余弦； (3)40°角的正弦； (4)47°5′角的余弦． 4．求下列各式的值：（1）sin30°＋2cos60°；（2）sin 230°＋cos 230°；（3）2sin45°²cos45°； （4）︒︒45cos sin45－1；（5）sin30°²cos45°＋cos30°²sin45°．5．把下列各角的正弦(余弦)改写成它的余角的余弦(正弦)： (1)sin17°； （2）cos39°； （3）sin41°12′； （4）cos62°27′．6．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ；先根据下列条件求出∠A 的正弦值和余弦值，然后直接写出∠B 的正弦值和余弦值．(1)a ＝5，c ＝29； （2）b ＝9，c ＝85； （3）a ＝7，b ＝4．7．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作ＤＥ⊥AB ，垂足为E ，连结CE ，求cosAEC 的值．8．已知2＋3是方程 x 2－5x ²sin θ＋1＝0的一个根，θ是锐角，试求sin θ、cos θ的值．参考答案【同步达纲练习】1．（1）C （2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）B （8）A （9）B （10）A （11）C （12）A （13）C （14）C （15）D （16）B （17）B （18）B （19）A （20）B （21）A 2．（1）23 （2）135 （3）1 （4）45° （5）＞ ＞ （6）54 （7）21 （8）1723 （9）15°23 （10）60° （11）＝45°3．（1）sinA (2)cosB (3)sin40° (4)cos47°5′ 4．(1)23(2)1 (3)1 (4)0 (5)4625．(1)cos73° (2)sin51° (3)cos48°48′ (4)sin27°33′ 6．(1)sinA ＝cosB ＝29295,cosA ＝sinB ＝29292;(2)sinA ＝cosB ＝85852,cosA ＝sinB ＝85859; (3)sinA=cosB ＝65657,cosA ＝sinB ＝656547．cosAEC ＝558．sin θ＝54,cos θ＝53。
苏科版九年级数学下册第七章《7.2正弦余弦(2)》优课件
练一练3 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB, 垂足为D,CD=8，AC=10 (1)求锐角A、B的正弦、余弦: (2)求AB、BD的长
C
10 8
A
D
B
例3:
小明正在放风筝,风筝线与水平线成35º角时,小
明的手离地面1m. 若把放出的风筝线看成一条
线段,长95m,求此时风筝的高度(精确到1m)
正弦与余弦的关系： 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A)
考考你：
已知∠A和∠B都是锐角，
（1）cos(90º-A) = sin_A_____
（2）sin(90º-B) = cos_B_____
也等于它的余角的余弦值呢？
B
A的对边
a
sinA=
斜边
=c
c
a
B的邻边
cosB=
斜边
=
a c
A
b
C
sinA= cosB = cos (90º-A)
∠B=90º-∠A
任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.
sinA=cos(90º-A), cosA=sin(90º-A)
我们发现：30º， 45º，60º这三个特 殊角的正弦值分别 等于它们的余角的 余弦值。
例1: 如图,在Rt△ABC中, ∠C=90º, AC=12, BC=5. 求: sinA、cosA、sinB、cosB的值.
B
5
A
12
C
你发现sinA与cosB 、 cosA与sinB的值 有什么关系吗?
正弦和余弦课件
和差化积公式
总结词
和差化积公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值的和与差之间的关系 。
详细描述
和差化积公式表示为sin(x+y)+sin(x-y)=2sinxcosy和cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy，其中x和y是任 意角度。这个公式在解决三角函数问题时非常有用，因为它可以将两个角的正弦和余弦函数值的和与 差转化为其他形式。
在音乐领域，正弦和余弦函数被用于描述音高和音色的变化，进而合成和创作出各 种美妙的音乐。
在工程领域，正弦和余弦函数被用于分析机械振动、电气系统和控制系统等工程问 题。
04
正弦和余弦的公式和定理
和差角公式
总结词
和差角公式是三角函数中一个重要的公式，它表示两个角的正弦和余弦函数值之 间的关系。
详细描述
在声学研究中，正弦和余弦函数可以 用于描述声波的传播和振动，进而分 析声音的音高、响度和音色等特性。
ห้องสมุดไป่ตู้
在交流电的研究中，正弦和余弦函数 是描述电流、电压和电动势的有效方 式，通过正弦和余弦函数可以分析交 流电的频率、幅值和相位。
在日常生活中的应用
在信号处理领域，正弦和余弦函数被广泛应用于信号的调制和解调，例如在无线通 信、音频处理和图像处理中。
在弧度制下，正弦函数定义为直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，而余弦函数定义为直角三角形中 锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
详细描述
在弧度制中，角度的测量单位是弧度（rad），正弦函数记作sin，余弦函数记作cos。对于任意角度r（r是以弧度 为单位的弧度），正弦函数sin(r)的值等于直角三角形中锐角的对边长度与斜边长度的比值，余弦函数cos(r)的值 等于直角三角形中锐角的邻边长度与斜边长度的比值。
人教版九年级数学课件《余弦、正切》
【点睛】在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值
典例解析
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA= ， 求sinA，cosB 的值.
针对练习
例3.如图，已知中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、．求线段的长．
解：过A作，垂足为点H，如图所示：在中，，，∴，，在中，，∴，∴，∵垂直平分，∴，，
C
B
达标检测
3.如图，直径为10的☉A经过点C(0，5)和点0(0，0)，B是y轴右侧☉A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )A. B. C. D.
C
达标检测
4.如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=2,BC=5，CD=3，则tanC等于( )A. B. C. D.
达标检测
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数.同样地，cosA，tanA，也是A的函数.∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
小结梳理
达标检测
10.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的圆的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于_______.11.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°,AD∥BC，AD=2BC,AC与BD交于点E,AC⊥BD，则tan∠BAC的值等于______.
达标检测
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c,且b=8，c=17.求: sinA、 cosA、 tanA、 sinB、cosB、 tanB.
B
达标检测
5.如图，在△ABC中，CA=CB=4，cosC=,则sinB的值为( )A. B. C. D.
正弦定理和余弦定理公开课课件ppt课件
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定理
变 形 形 式
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2Rsin A ，
b＝ 2Rsin B ，
c＝ 2Rsin C ； ②sin A＝2aR，sin B＝2bR， sin C＝2cR； (其中 R 是△ABC 外接圆半径) ③a∶b∶c＝sinA∶sin B∶sin C
b2＋c2－a2 cosB= 2bc
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(3)解：①∵A 为△ABC 内角，且 cos A＝34， ∴sin A＝ 47， 又∵C＝2A. ∴sin C＝sin 2A＝2sin A·cos A＝387，
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cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝18.
∴sin B＝sin(A＋C)
【考向探寻】 1．利用正弦定理解斜三角形． 2．利用余弦定理解斜三角形．
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【典例剖析】
(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角 A，B，C 所
对的边分别为 a，b，c，设向量 p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－
a)，若 p∥q，则角 C 的大小为
【考向探寻】 利用正余弦定理及三角形的边角关系判定三角形的形状．
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【典例剖析】
(1)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
三内角A，B，C成等差数列，三边长a，b，c成等比数列，则△ABC的形状
为
A．等边三角形
(优质课)正、余弦定理及其应用
BD2 + CD2 - CB2 202 + 212 - 312 1 cosβ = = =- , 2BD·CD 2×20×21 7
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∴sinβ=
4 3 . 7
而sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ ° ° °
4 3 1 3 1 5 3 = × + × = , 7 2 2 7 14 21 AD 在△ACD中, 中 = o sin60 sinα
考点三
应用问题
某观测站C在城 的南偏西 由城A出发的一 某观测站 在城A的南偏西 °的方向 由城 出发的一 在城 的南偏西20°的方向,由城 条公路,走向是南偏东 ° 在 处测得公路上 处测得公路上B处有一 条公路 走向是南偏东40°,在C处测得公路上 处有一 走向是南偏东 千米,正沿公路向 城走去,走了 人,距C为31千米 正沿公路向 城走去 走了 千米后到 距 为 千米 正沿公路向A城走去 走了20千米后到 此时CD间的距离为 千米,问 这人还要走多少 达D处,此时 间的距离为 千米 问:这人还要走多少 处 此时 间的距离为21千米 千米才能到达A城 千米才能到达 城?
3. 2
∵a>b,∴A=60°或A=120°. ∴ ° ° ①当A=60°时,C=180°- 45°- 60°=75°, ° ° ° ° °
bsinC 6 + 2 = . ∴c= sinB 2
②∵当A=120°时,C=180°- 45°- 120°=15°, ° ° ° ° °
bsinC 6 − 2 = . ∴c= sinB 2
正弦定理、 正弦定理、余弦 定理及应用
a = 1.正弦定理 sinA 正弦定理: 正弦定理
b sinB
苏教版九年级上册数学第七章【2】正弦余弦
你有何发现？
7.2 正弦、余弦（1）
正弦：锐角∠A的对边a与斜边c的比叫做 ∠A的正弦，记作sinA．
即：sinA＝________＝________． 余弦：锐角∠A的邻边a与斜边c的比叫做
∠A的余弦，记作cosA． 即：cosA＝________＝________．
7.2 正弦、余弦（1）
7.2 正弦、余弦（1）
如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后， 他的相对位置升高了5m．
如果他沿着该斜坡行走了 26 m， 那么他的相对位置升高了多少？ 水平位置前进了多少？ 如果他行走了am呢？
7.2 正弦、余弦（1）
在行走过程中，小明的相对 高度、水平距离与行走的路 程有怎样的关系？
7.2 正弦、余弦（1）
怎样计算任意一个锐角 的正弦值和余弦值呢？
sin15°＝___，cos15°＝___． sin30°＝___，cos30°＝___． sin75°＝___，cos75°＝___．
7.2 正弦、余弦（1）
通过计算sin15°、sin30°、sin75°、 cos15°、cos30°、cos75°的值，你有何发现？
tanB
B
5
A
C
12
7.2 正弦、余弦（2）
小明在放风筝时，他的手离地面的距离AD＝ 1m．假设风筝线AB是一条直线段，当AB＝95 m时， 测得风筝线与水平线所成角为35°，求此时风筝的高 度（精确到1m）（参考数据：sin35°≈0.5736， cos35°≈0.8192，tan35°≈0.7002）．
7.2 正弦、余弦（1）
利用计算器可以更快、 更精确地求得一个锐角 的正弦、余弦的值．
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┌ C
A
怎么计算任意一个锐角的正弦、余弦值呢？
你能计算出50°正弦和余弦值吗？ 请用同样的方法，写出书本P.42中各角正弦、 余弦的近似值. 结论：当锐角越来越大时，它的正弦值随角的 增大而增大，而余弦值随角的增大而减小.
比较大小：①sin40° ②cos40° ③tan40°
sin80°； cos80°; tan80°.
(
)
tanB=
BD
(
)
2.根据下面图中所给出的条件，求锐角A 、B的正 弦、余弦值。
A 1 C 3 ① B A ② 4 B C 3
通过上述计算，你有什么发现？
3.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大 100倍,sinA的值（ ）Zxx k B A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定
1、如图，⊙0是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径, 若⊙O的半径为2，AC=3，则cosB的值是 .
2、如图，已知⊙0的半径为1，锐角△ABC内接 于⊙0，BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M，则 sin∠CBD的值等于（ ）Zxx k A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长
∵Rt△OPM∽Rt△OP1M1
∴ PM =ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱP1M1
B
P1
OP
OP1
P
OM = OM1 OP1 OP
O
A
M
M1
如果直角三角形的一个锐角的大小确定,那么它 的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定.
正弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º .我们把锐角A的对边a与 斜边c的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即 sinA=
回顾与思考
什么叫正切？Zxx k
tanA= A的对边 = a A的邻边 b
如图，小明沿着斜坡向上行走了13m，他的相 对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m， 那么他的相对位置升高了多少？ P1 行走了a m呢？ P
5m O M M1
在上面的情形中，小明的位置沿水平方向 又分别移动了多少？
A的对边 A的斜边
=
a c
余弦的定义
在△ABC中, ∠C＝90º .我们把锐角A的邻边b与 斜边c的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即Zxx k
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c
sinA=
A的对边 A的斜边
=
a
c
cosA= A的邻边 = b A的斜边 c tanA= A的对边 = a A的邻边 b 锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数.
1.下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为D. 指出∠A和∠B的对边、邻边. D ( ) (1) sinA = = BC ( ) AC
B
(2) sinB=
(
)
AB
= CD
A
C CD
(
)
cos ∠BCD =
(3) cos ∠ACD =
(4) tanA=
( )
)
AC = BC
( )
)
= AC
(
(
AD