最大流算法及其应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。
在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。
求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。
通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。
2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。
3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。
通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。
4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。
在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。
这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。
例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。
最大流问题解题步骤
最大流问题解题步骤一、什么是最大流问题？最大流问题是指在一个有向图中，给定源点和汇点，每条边都有一个容量限制，求从源点到汇点的最大流量。
该问题可以用于网络传输、电力调度等实际应用中。
二、最大流问题的解法1. 增广路算法增广路算法是最基本的解决最大流问题的方法。
其基本思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
2. Dinic算法Dinic算法是一种改进型的增广路算法，其核心思想是通过层次分析和分层图来减少搜索次数，进而提高效率。
具体步骤如下：（1）构建分层图；（2）在分层图上进行BFS搜索寻找增广路径；（3）计算路径上可行流量并更新残留网络；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
3. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种基于增广路的算法，其核心思想是不断地寻找增广路，并将其上的流量加入到原来的流中，直到不存在增广路为止。
具体步骤如下：（1）初始化网络中各边上的流量均为0；（2）在残留网络中寻找增广路；（3）如果存在增广路，则将其上的最小剩余容量作为增量加入到原来的流中；（4）重复步骤2和步骤3，直到不存在增广路。
三、最大流问题解题步骤1. 确定源点和汇点首先需要确定问题中的源点和汇点，这是解决最大流问题的前提条件。
2. 构建残留网络在有向图中，每条边都有一个容量限制。
我们可以将这些边看作管道，容量看作管道的宽度。
在实际传输过程中，某些管道可能已经被占用了一部分宽度。
因此，在求解最大流问题时，需要构建一个残留网络来表示哪些管道还能够继续传输数据。
具体方法是：对于每条边(u,v)，分别构造两条边(u,v)和(v,u)，容量分别为c(u,v)-f(u,v)和f(u,v)，其中c(u,v)表示边的容量，f(u,v)表示当前流量。
dinic（最大流）算法讲解
dinic（最⼤流）算法讲解“⽹络流博⼤精深”—sideman语⼀个基本的⽹络流问题感谢WHD的⼤⼒⽀持最早知道⽹络流的内容便是最⼤流问题，最⼤流问题很好理解：解释⼀定要通俗!如右图所⽰,有⼀个管道系统,节点{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向图⼀张. [1]是源点,有⽆限的⽔量,[4]是汇点,管道容量如图所⽰.试问[4]点最⼤可接收的⽔的流量?这便是简单的最⼤流问题,显然[4]点的最⼤流量为50死理性派请注意:流量是单位时间内的,总可以了吧!然⽽对于复杂图的最⼤流⽅法是什么呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下⾯介绍Dinic算法()Dinic 算法Dinic算法的基本思路:1. 根据残量⽹络计算层次图。
2. 在层次图中使⽤DFS进⾏增⼴直到不存在增⼴路3. 重复以上步骤直到⽆法增⼴引⾃,相当简单是吧...⼩贴⼠:⼀般情况下在Dinic算法中,我们只记录某⼀边的剩余流量.残量⽹络:包含反向弧的有向图,Dinic要循环的,每次修改过的图都是残量⽹络,层次图:分层图,以[从原点到某点的最短距离]分层的图,距离相等的为⼀层,(⽐如上图的分层为{1},{2,4},{3})DFS:这个就不⽤说了吧...增⼴ :在现有流量基础上发现新的路径,扩⼤发现的最⼤流量(注意:增加量不⼀定是这条路径的流量,⽽是新的流量与上次流量之差)增⼴路:在现有流量基础上发现的新路径.(快来找茬,和上⼀条有何不同?)剩余流量:当⼀条边被增⼴之后(即它是增⼴路的⼀部分,或者说增⼴路通过这条边),这条边还能通过的流量.反向弧:我们在Dinic算法中,对于⼀条有向边,我们需要建⽴另⼀条反向边(弧),当正向(输⼊数据)边剩余流量减少I时,反向弧剩余流量增加I Comzyh的较详细解释(流程) :Dinic动画演⽰1. ⽤BFS建⽴分层图注意:分层图是以当前图为基础建⽴的,所以要重复建⽴分层图2. ⽤DFS的⽅法寻找⼀条由源点到汇点的路径,获得这条路径的流量I 根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少I,反向边流量增加I,注意I是⾮负数3. 重复步骤2,直到DFS找不到新的路径时,重复步骤1注意(可以⽆视):Dinic(其实其他的好多)算法中寻找到增⼴路后要将反向边增加IDinic中DFS时只在分层图中DFS，意思是说DFS的下⼀个节点的Dis(距源点的距离)要⽐⾃⼰的Dis⼤1,例如在图1中第⼀个次DFS中,1->2->4 这条路径是不合法的,因为Dis[2]=1;Dis[4]=1;步骤2中"获得这条路径的流量I "实现:DFS函数有参量low,代表从源点到现在最窄的(剩余流量最⼩)的边的剩余流量,当DFS到汇点是,Low便是我们要的流量I对于反向弧(反向边)的理解:这⼀段不理解也不是不可以,对于会写算法没什么帮助,如果你着急,直接⽆视即可.先举⼀个例⼦(如右图):必须使⽤反向弧的流⽹络在这幅图中我们⾸先要增⼴1->2->4->6,这时可以获得⼀个容量为 2的流,但是如果不建⽴4->2反向弧的话,则⽆法进⼀步增⼴,最终答案为2,显然是不对的,然⽽如果建⽴了反向弧4->2,则第⼆次能进⾏ 1->3->4->2->5->6的增⼴,最⼤流为3.Comzyh对反向弧的理解可以说是"偷梁换柱",请仔细阅读: 在上⾯的例⼦中,我们可以看出,最终结果是1->2->5->6和1->2->4->6和 1->3->4->6.当增⼴完1->2->4->6(代号A)后,在增⼴ 1->3->4->2->5->6(代号B),相当于将经过节点2的A流从中截流1(总共是2)⾛2->5>6,⽽不⾛2->4>6了,同时B流也从节点4截流出1(总共是1)⾛4->6⽽不是4->2->5->6,相当于AB流做加法.简单的说反向弧为今后提供反悔的机会,让前⾯不⾛这条路⽽⾛别的路.Dinic算法的程序实现最⼤流算法⼀直有⼀个⼊门经典题: 或者是这两个是同⼀个题给出这道题的代码1 #include<cstdio>2 #include<cstring>3 #include<cmath>4 #include<iostream>5 #include<algorithm>6 #include<set>7 #include<map>8 #include<queue>9 #include<vector>10 #include<string>11#define Min(a,b) a<b?a:b12#define Max(a,b) a>b?a:b13#define CL(a,num) memset(a,num,sizeof(a));14#define eps 1e-1215#define inf 0x7fffffff1617//freopen("data.txt","r",stdin);18const double pi = acos(-1.0);19 typedef __int64 ll;20const int maxn = 300 ;21using namespace std;22int n , m;23int flow[maxn][maxn],dis[maxn] ;//dis[i],表⽰到原点 s 的层数2425int bfs()// 重新建图（按层数建图）26 {27 CL(dis,-1);28 dis[1] = 0 ;29 queue<int>que;30 que.push(1);31while(!que.empty())32 {33int k = que.front();que.pop() ;34for( int i = 1;i<= n;i++)35 {36if(flow[k][i] > 0 && dis[i] < 0 )// 如果可以可以到达但还没有访问37 {38 dis[i] = dis[k]+ 1 ;39 que.push(i) ;40 }41 }42 }4344if(dis[n] > 0) return1;45else return0 ;4647 }48int dfs(int x,int mx)// 查找路径上的最⼩的流量49 {5051int i , a ;52if(x == n) return mx ;5354for(i = 1;i<= n;i++)55 {56if(flow[x][i] > 0 && dis[i] == dis[x] + 1 && (a =dfs(i,min(mx,flow[x][i]))))57 {58 flow[x][i] -= a;59 flow[i][x] += a;60return a ;616263 }64 }65return0 ;66 }67int main()68 {69//freopen("data.txt","r",stdin);70int i ,s,e,c;71while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)72 {73 CL(flow,0);74for(i = 0 ; i < m;i++)75 {76 scanf("%d%d%d",&s,&e,&c);77 flow[s][e] += c;78 }79int ans = 0;80int res;8182while(bfs())83 {848586while(res = dfs(1,inf)) ans+= res ;8788 }89 printf("%d\n",ans);90 }9192 }更⾼效的 dinichdu 4292 Food#include<cstdio>#include<cstring>#include<cmath>#include<iostream>#include<algorithm>#include<set>#include<map>#include<queue>#include<vector>#include<string>#define INF 0x3fffffff#define F(x) (x)#define N(x) (205+(x))#define CPN(x) (410+(x))#define D(x) (615+(x))#define maxn 250#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define Pnum 210using namespace std;int next[maxn*20],dis[maxn*10];int s,e;int n, fnum ,dnum ,f[maxn],d[maxn],cnt;struct node{int to;int cap ;int next ;}p[200000] ;int que[maxn*maxn] ,idx;void add(int x,int y,int cap)// 建边注意反向边的流量为 0{p[cnt].to = y;p[cnt].cap = cap ;p[cnt].next = next[x];next[x] = cnt++ ;p[cnt].to = x;p[cnt].cap = 0;p[cnt].next = next[y];next[y] = cnt++ ;}int bfs()// 重新建图（按层数建图）{memset(dis,0xff,sizeof(dis)) ;dis[s] = 0 ;queue<int>que;que.push(s);while(!que.empty()){int k = que.front();que.pop() ;for( int i = next[k];i!=-1;i = p[i].next){int v = p[i].to;int cap = p[i].cap ;if(cap > 0 && dis[v] < 0 )// 如果可以可以到达但还没有访问 {dis[v] = dis[k]+ 1 ;que.push(v) ;}}}if(dis[e] > 0) return1;else return0 ;}int dfs(int x,int mx)// 查找路径上的最⼩的流量{int i , a ,tf = 0;if(x == e) return mx ;for(i = next[x];i!= - 1;i = p[i].next){int v = p[i].to ;int cap = p[i].cap ;if(cap > 0 && dis[v] == dis[x] + 1 && (a =dfs(v,min(cap,mx)))){p[i].cap -= a;p[i^1].cap += a;return a;}}if(!tf) dis[x] = -1;// 没有找到最⼩流量，说明从这个点到不了终点，所以标记⼀下return tf ;}int main(){int i , j ;char c[250] ;//freopen("data.txt","r",stdin) ;while(scanf("%d%d%d",&n,&fnum,&dnum)!=EOF){CL(next,-1) ;cnt = 0;s = 0;e = 2000;for(i = 1 ; i <= fnum;i++){scanf("%d",&f[i]);}for(i = 1 ; i<= dnum;i++){scanf("%d",&d[i]) ;}for(i = 1; i <= n;i++)// ⼈和吃的{scanf("%s",c);for(j = 0 ; j< fnum ;j++){if(c[j] == 'Y'){add(j + 1,i + Pnum,1) ;}}}for(i = 1; i<= n;i++)// ⼈和喝的{scanf("%s",c);for(j = 0 ; j< dnum ;j++){if(c[j] == 'Y'){add(i + Pnum*2,j + Pnum*3 + 1,1) ;}}}for(i = 1; i <= fnum;i++)//增加源点{add(0,i,f[i]) ;}for(i = Pnum*3 + 1,j = 1; j <= dnum;i++,j++)//增加汇点 {add(i,e,d[j]) ;}for(i = 1; i <= n;i++)// 将⼈拆分{add(i + Pnum,i +Pnum*2,1);}int ans = 0;int res;while(bfs()){while(res = dfs(s,INF)) ans+= res ;}printf("%d\n",ans);}}。
最大流问题实际应用场景
最大流问题实际应用场景
1. 交通流量优化：在城市交通规划中，可以使用最大流算法来优化交通流量分配，从而减少交通拥堵。
2. 网络传输优化：在计算机网络中，最大流算法可以用来优化网络传输流量，提高网络性能。
3. 航空航天工程：在飞机和火箭等航空航天工程中，最大流算法可以用来优化燃料、水和氧气之间的流量，从而提高飞行效率。
4. 电力系统优化：在电力系统中，最大流算法可以用来优化电力分配，从而降低能量损失。
5. 医疗资源调度：在医疗资源调度中，最大流算法可以用来优化医疗资源的分配和调度，确保医疗资源的最大利用。
6. 供应链优化：在供应链管理中，最大流算法可以用来优化物流流量分配，提高供应链效率。
7. 金融风险管理：在金融领域中，最大流算法可以用来优化资产、负债和现金之间的流动，从而降低金融风险。
最大流算法的实施步骤
最大流算法的实施步骤1. 算法介绍最大流算法是解决网络流问题的一种常用算法。
给定一个网络图，其中包含源点s和汇点t，以及带有容量限制的边。
最大流算法的目标是找到从源点s到汇点t的最大流量。
2. 算法步骤最大流算法通常采用增广路径的方法来逐步增加网络的流量，直至无法再找到增广路径为止。
下面是最大流算法的具体步骤：步骤 1：初始化1.创建一个残余网络图，用于记录每条边的剩余容量。
2.初始化所有边的流量为0。
步骤 2：寻找增广路径1.在残余网络图中使用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）寻找从源点s到汇点t的增广路径。
2.如果找到增广路径，则记录该路径上的最小剩余容量（即该路径上的最小容量）。
步骤 3：更新流量1.将步骤2中找到的路径上的最小剩余容量，加到该路径上的每条边的流量中。
2.同时更新残余网络图中该路径上每条边的剩余容量。
步骤 4：重复步骤2和31.重复步骤2和3，直到无法再找到增广路径。
2.此时，经过网络的流量即为最大流量。
3. 算法的示例假设有以下网络图作为示例：s ---4---> 1 ---2---> 3 --3--> t| / \\ / |5 / \\ / 6| / \\ / |v v v v v2 1 43 14 / v| 2| / v |2 2 | 2| t |+-------- 5-----+------------+按照上述步骤，我们来计算最大流量：1.初始化残余网络图和边的流量。
s ---4/0---> 1 ---2/0---> 3 --3/0--> t| / \\ / |5/0 / \\ / 6/0| / \\ / |v v v v v2/0 1/0 4/0 3/0 1/0| / \\ | |4/0 / v | 2/0| / v |2/0 t |+-------- 5/0 -----+------------+2.使用BFS寻找增广路径：s -> 1 -> 3 -> t，最小剩余容量为2。
最大流问题的几种经典解法综述
最⼤流问题的⼏种经典解法综述⼀、什么是最⼤流问题假设现在有⼀个地下⽔管道⽹络，有m根管道，n个管道交叉点，现在⾃来⽔⼚位于其中⼀个点，向⽹络中输⽔，隔壁⽼王在另外⼀个点接⽔，已知由于管道修建的年代不同，有的管道能承受的⽔流量较⼤，有的较⼩，现在求在⾃来⽔⼚输⼊的⽔不限的情况下，隔壁⽼王能接到的⽔的最⼤值？为解决该问题，可以将输⽔⽹络抽象成⼀个联通的有向图，每根管道是⼀条边，交叉点为⼀个结点，从u流向v的管道能承受的最⼤流量称为容量，设为cap[u][v]，⽽该管道实际流过的流量设为flow[u][v]，⾃来⽔⼚称为源点s，隔壁⽼王家称为汇点t，则该问题求的是最终流⼊汇点的总流量flow的最⼤值。
⼆、思路分析关于最⼤流问题的解法⼤致分为两类：增⼴路算法和预流推进算法。
增⼴路算法的特点是代码量⼩，适⽤范围⼴，因此⼴受欢迎；⽽预流推进算法代码量⽐较⼤，经常达到200+⾏，但运⾏效率略⾼，如果腹⿊的出题⼈要卡掉⼤多数⼈的code，那么预流推进则成为唯⼀的选择。
( ⊙ o ⊙ )咳咳。
先来看下增⼴路算法：为了便于理解，先引⼊⼀个引理：最⼤流最⼩割定理。
在⼀个连通图中，如果删掉若⼲条边，使图不联通，则称这些边为此图的⼀个割集。
在这些割集中流量和最⼩的⼀个称为最⼩割。
最⼤流最⼩割定理：⼀个图的最⼤流等于最⼩割。
⼤开脑洞⼀下，发现此结论显⽽易见，故略去证明（其实严格的证明反⽽不太好写，但是很容易看出结论是对的，是吧）。
这便是增⼴路算法的理论基础。
在图上从s到t引⼀条路径，给路径输⼊流flow，如果此flow使得该路径上某条边容量饱和，则称此路径为⼀条增⼴路。
增⼴路算法的基本思路是在图中不断找增⼴路并累加在flow中，直到找不到增⼴路为⽌，此时的flow即是最⼤流。
可以看出，此算法其实就是在构造最⼩割。
增⼴路算法⽽预流推进算法的思路⽐较奇葩（没找到⽐较好的图，只能⾃⾏脑补⼀下了。
= =#）：先将s相连的边流⾄饱和，这种边饱和的结点称为活动点，将这些活动点加⼊队列，每次从中取出⼀个点u,如果存在⼀个相邻点v是⾮活动点，则顺着边u->v 推流，直到u变为⾮活动点。
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用
几类求解最大流问题算法在运输问题中的应用摘要：本文将介绍几种求解最大流问题的算法在运输问题中的应用，包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic 算法和Push-Relabel算法。
通过比较几种算法在运输问题中的效率和计算复杂度，找出适用于不同场景的最佳算法。
本文还将列举实际案例，展示这些算法在实际应用中的效果。
关键词：最大流问题；运输问题；Ford-Fulkerson算法；Edmonds-Karp算法；Dinic算法；Push-Relabel算法；计算复杂度正文：1. 引言最大流问题是图论中的经典问题之一，其应用广泛，尤其是在运输问题中。
运输问题是指在一定的限制条件下，如何通过最小的代价（费用）将各种物品从一些供给点运输到一些需求点上的问题。
这里的限制条件可能是供应量、需求量、容量等，因此求解最大流问题对解决运输问题具有重要意义。
目前，常见的求解最大流问题的算法包括Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法、Dinic算法和Push-Relabel算法。
2. Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早被提出的求解最大流问题的算法之一。
该算法通过不断寻找增广路径（即残量网络中一条从源点到汇点的路径，其边权的最小值称为该路径的剩余容量）来不断增加流量，直到无法找到增广路径为止。
该算法的时间复杂度取决于增广路径的数量，因此时间复杂度可能非常高，且可能存在无穷增广路径的情况。
尽管如此，Ford-Fulkerson算法仍然是求解最大流问题的基础，而且可以通过改进来提高其效率，如通过贪心算法选择增广路径。
3. Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是在Ford-Fulkerson算法的基础上进一步优化而来的算法。
该算法在寻找增广路径时，使用BFS（广度优先搜索）替代了Ford-Fulkerson算法中的DFS（深度优先搜索），从而保证了每次找到的增广路径具有最小距离，其时间复杂度为O(V*E^2)，其中V为节点数，E为边数。
网络流（最大流-Dinic算法）
⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。
换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
离散数学中的图的网络流与最小割最大流算法
网络流与最小割最大流算法是离散数学中重要的概念之一，它在实际应用中有着广泛的应用，特别是在信息传输、网络设计和管理、运筹学等领域中起着关键的作用。
本文将从网络流的概念入手，介绍最小割最大流算法的基本原理和应用。
首先，我们来看看网络流是什么。
网络流是指在有向图中，从一个点流向另一个点的过程，这个过程中每条边都有一个容量限制，表示这条边上最多能通过的流量。
就像水流在管道中流动一样，网络流也有一些基本的性质，比如流入节点和流出节点的流量守恒，即入流等于出流；另外，流动的总量不能超过每条边的容量限制。
网络流的一个重要应用就是最小割最大流算法。
最小割最大流算法是一种寻找最大流的方法，它的基本思想是通过不断增加流量，直到无法再增加为止，从而得到最大流。
为了理解最小割最大流算法，我们需要引入割的概念。
在一个有向图中，割是指将图中的顶点分成两个集合的方式，将流从一个集合中的顶点流向另一个集合中的顶点。
一个割的容量等于从一个集合中的顶点流向另一个集合中的顶点的边的容量之和。
最小割就是指找到一个割，使得割的容量最小。
最小割最大流算法的基本思想是先找到一个流，然后根据这个流构造一个割，并计算割的容量。
然后，将流量限制调整为新割的容量，再进行下一次流的寻找，直到无法再找到增加的流为止。
算法的核心是在当前流的基础上不断找增广路径，即从源点到汇点的一条路径，路径上的每条边的流量都小于等于这条边的容量，而且这条路径上的剩余容量最小。
找到增广路径后，可以根据路径上的边来增加流，然后重新寻找增广路径。
最小割最大流算法在实际应用中有着广泛的用途。
比如，在通信网络中，流量控制就是一个重要的问题。
通过最小割最大流算法，可以确定网络中最大能够通过的流量，从而避免网络拥塞；在电力网络中，也可以通过最小割最大流算法进行优化，从而实现电力的均衡分配；此外，在运输和物流领域，同样可以利用最小割最大流算法进行路径选择和调度，以达到最优的效果。
总结起来，离散数学中的图的网络流与最小割最大流算法是一种实用且强大的工具，它在各个领域都有着重要的应用价值。
dinic算法(最大流)
begin
e[tot1].point:=b; e[tot1].next:=first[a]; e[tot1].c:=c; first[a]:=tot1; inc(tot1);
end;
procedure init;
var i,x,y,q:longint;
begin
tot1:=2;
readln(n,m);
for i:=m+2 to n+m+1 do
begin
read(a1); add(in+m+2,a1);
add(n+m+2,i,0);
end;
for i:=2 to m+1 do
bfs;
while h[t]<n do｛如果在分层图中找得到汇点｝
begin
inc(tot,dfs(s,maxlongint));｛根据分层图增广｝
bfs;｛根据新的流量构建分层图｝
end;
end;
Begin
init;
main;
writeln(j-tot);
End.
STEP2：用增广路算法计算L的最大流F，若在L中找不到增广路，算法结束。
SETP3：根据F更新G中的流f，转STEP1。
分层网络的构造算法：
STEP1：标号源节点s，M[s]＝0。
STEP2：调用广度优先遍历算法，执行一步遍历操作，当前遍历的弧e=v1v2，令r＝G.u（e）－G.f（e）。
function dfs(now,low:longint):longint;｛根据分层图增广，low表示到now为止最多可增广流量｝
最大流算法
◆如果有一组流量满足条件： 源点s ： 流出量 = 整个网络的流量 汇点t ： 流入量 =整个网络的流量 中间点：总流入量 = 总流出量
2 ） 对与该增广路径上的边 若( u, v ) 是正向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) + d; 若( u, v ) 是逆向边，f ( u, v ) = f ( u, v ) – d;
增广后，总流量增加了d
样例：
4
1
6
23
2
34
开始流量为:sum=0
4
5
5
23
4
4
1
2
5
6
34
5
4 23 4
1 2 22
5
6
3
4
2
5
1、一条增广路径: 1235 d=min{4,2,4} =2 增加流量: 2 Sum=2
4 23 4
1
2
22
5
6
3
4
2
5
2 32
1
4
2
2
22
4
2
5
6
34
5
2
2、一条增广路径: 1245 d=min{4-2,3,5} =2 增加流量: 2 Sum=2+2=4
2 32
i:=b[i];
ห้องสมุดไป่ตู้
end;
inc(sum,d); {总流量增加d}
主程序：
for i:=1 to n do b[i]:= -1; {初始化增广路径} b[1]:=0; while findflow(1) do {增广流}
最大流问题经典例题
最大流问题经典例题最大流问题是图论中的一个经典问题，其目的是在一个有向图中找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上的流量最大。
最大流问题有多种解法，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp 算法。
下面介绍一个最大流问题的经典例题：给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示节点集合，E表示边集合。
假设有源点s和汇点t，并且每条边都有一个容量c，表示该边最多可以通过的流量。
请找到从源点s到汇点t的最大流量。
解法：一种解法是使用Ford-Fulkerson算法。
该算法通过不断增广路径来寻找最大流，直到无法找到增广路径为止。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条增广路径，即从s到t的一条路径，使得路径上所有边的剩余容量都大于0。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
另一种解法是使用Edmonds-Karp算法。
该算法在Ford-Fulkerson算法的基础上优化了增广路径的选择，选择最短路作为增广路径，从而提高了算法的效率。
具体实现过程如下：1. 初始化流f=0。
2. 寻找一条从s到t的最短增广路径，即路径上所有边的剩余容量都大于0，且路径长度最短。
3. 计算该路径上的最小剩余容量d。
4. 对该路径上的所有边e，将其流量增加d，同时将其反向边的流量减少d。
5. 将f增加d。
6. 重复步骤2-5，直到无法找到增广路径。
无论使用哪种算法，最后得到的f即为从源点s到汇点t的最大流量。
运筹学最大流问题实验报告
运筹学最大流问题实验报告一、实验目的1. 学习最大流问题的基本概念。
2. 掌握最大流问题的求解算法。
3. 通过程序模拟求解，加深对最大流问题的理解。
二、实验原理最大流问题是在一个有向图中，给定一条源点到汇点的路径以及每一条边的最大容量，求最大流量的问题。
在网络流中，每个有向边都表示一定的流量，其中每个边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
最大流问题通常使用增广路算法或Ford-Fulkerson算法来求解。
1.增广路算法增广路算法是一种贪心算法。
该算法不断寻找一条增广路，并将增广路中的最小流量分配给这条增广路的每一条边。
当不存在增广路时，算法结束，返回最大流量。
2.Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是一种经典的解法，它是基于增广路径的算法。
但是这种算法是暴力寻求增广路径，时间复杂度较高。
需要借助一个可行函数，用来判断剩余网络中是否还有增广路。
一个网络的可行函数应该满足：当且仅当所有的边都满足限制的时候，可行函数有唯一最大值。
可行函数常常构建为距离标号（下面会讲到）。
三、实验步骤使用Python语言，实现最大流问题的求解算法。
算法采用增广路算法。
1. 构建有向图，每个节点可以表示为一个数字。
源点的编号为0，汇点的编号为N-1。
有向边的构成是（开始节点，结束节点，最大容量）。
2. 实现BFS广度优先搜索算法寻找增广路径。
3. 实现对路径上节点的最小流量计算并更新网络。
4. 不断循环执行2、3步骤，直到不存在增广路径为止。
5. 输出最大流量。
四、实验结果下面是一个简单的实例，以验证程序的正确性。
在这个网络中，从源点0到汇点5，可以有两条不同路径：0→1→2→4→5和0→1→3→4→5。
这两条路径中，最小容量的路径是第一条，容量为3。
在执行完毕后，程序输出了最大流量为3。
五、实验结论通过本实验，我们学习了最大流问题的基本概念，掌握了最大流问题的求解算法，并且通过程序模拟成功地求解了一个基本问题，加深了对最大流问题的理解。
最大流算法及其应用
最大流算法及其应用随着社会经济的发展和科技的进步，许多问题需要通过优化算法来解决，最大流算法就是其中之一。
最大流算法是在一个有向图中找到从源点到汇点的最大可能流的算法。
该算法在网络设计，交通流量控制，通信网络等领域有着广泛的应用。
1. 最大流问题在一个有向图G=(V,E)中，包含源点s和汇点t，每条边(u,v)上有一个容量c，表示该边的最大流量。
现要从源点到汇点流过尽可能多的流量，问最大可能的流量是多少？这就是最大流问题，寻找的答案是最大流量F。
2. 最大流算法最大流算法有多种实现方法，其中最著名的是 Ford-Fulkerson算法。
该算法的核心是寻找增广路径。
增广路径是一条从源点到汇点的路径，并且在该路径上所有边的容量都大于0。
通过将增广路径上的每一条边的流量都增加相同的值，就可以增加当前的流量。
重复这个过程直到不能再找到增广路径为止。
算法的详细步骤如下：1. 初始化所有边流量为0。
2. 查找增广路径。
可以使用深度优先搜索或广度优先搜索实现。
每找到一条增广路径就更新整个图的流量。
3. 重复步骤 2 直到无法再找到增广路径。
4. 输出最大流F。
该算法的时间复杂度不稳定，最差情况下是指数级的，但是由于增广路径的挖掘和流量的增加都是“往前走一步”，因此这种最长路径的情况是非常少见的。
在实际应用中，最大流算法基本上可以忽略这种情况。
3. 最大流算法应用(1) 网络设计在网络设计中，如果可以量化每个设备之间的容量，比如光缆的传输带宽，那么就可以使用最大流算法确定网络的最大传输能力。
如果网络的总传输能力超过了最大数据需求，那么可以减少设备之间的传输带宽，从而节省成本。
(2) 交通流量控制在城市交通中，最大流算法可以用来确定道路的拥堵情况，以及交叉路口的物流控制。
在公路建设中，如果能够准确地预测车辆数量和流量，就可以使用最大流算法确定道路的最大承载能力，从而保证交通的顺畅。
(3) 通信网络最大流算法也可以用于网络协议的设计。
最大流算法-最高标号预流推进（HLPP）
最⼤流算法-最⾼标号预流推进（HLPP）昨天我们学习了ISAP算法，它属于增⼴路算法的⼤类。
今天学习的算法是预流推进算法中很⾼效的⼀类——最⾼标号预流推进（HLPP）。
预流推进预流推进是⼀种很直观的⽹络流算法。
如果给到⼀个⽹络流让你⼿算，⼀般的想法是从源点开始流，遇到不够的就减掉，⼀直往前推到汇点。
这就是预流推进算法的基本思想。
每个节点是⼀个储⽔池，最开始源点有⽆限多的⽔。
⽤⼀个队列维护需要处理的点。
最开始把源点加进去，对于每⼀个当前点，我们把将这个点⽔池中有的流量沿着边（⽔管）推到相邻的点，然后把相邻的点加⼊队列中。
算法思想如此，但其中有⼀个问题：这样做有可能出现两个点⼀个推过来⼀个推回去，结果就死循环了。
这时候我们给每个点引⼊⼀个⾼度来解决这个问题。
源点的⾼度为\(n\)，汇点的⾼度为\(0\)，其他点初始⾼度为0，我们规定，⽔往下⼀层流，即我们只推\(h[x]=h[v]+1\)的边\((x,v)\)。
如果⼀个点还有⽔，但是却⽆法推出去，即周围的点都⽐他⾼，那么我们就抬⾼这个点，因为\(h\)值是连续的，所以每次出现这种情况我们就给它加⼀。
如果这个点根本就流不出去，那么最后它会被抬⾼到\(n+1\)的⾼度，回流给源点。
最⾼标号Tarjan和Goldberg在1986年提出了最⾼标号预留推进算法，即把普通队列换成优先队列，每次取出⾼度最⾼的那个来推进。
Cheriyan和Maheshwari在1988年证明了这样做的复杂度为\ (O(n^2\sqrt m)\)。
优化喜闻乐见的gap优化，但和ISAP的形式不太⼀样。
如果我们发现在给⼀个点抬⾼1的⾼度的时候，这个点原来的⾼度已经没有点了，那么我们直接把⼤于这个⾼度的点全部设为⾼度\(n+1\)，让他们回流到源点去，因为根据算法，他们⽆法再有机会把⽔推到汇点（为什么不能有下⾯⼀个点抬上来形成路径呢？因为⼀个点的⾼度是所有相邻点⾼度最⼩值加⼀，所以不可能出现这种情况）。
CHAP13网络最大流
Chap13网络最大流的基本概念
容量
在网络中，每条边的容量表示该边能够承载的最 大流量。
残量
残量是指当前边的实际流量与容量之间的差值。
增广路径
增广路径是指从源点s到终点t的一条路径，该路径 上的所有边的流量都可以增加。
02
Chap13网络最大流的算法
算法的分类
预流推进算法
容量缩减算法
通过预流和反向边来不断推进流量的算法 ，包括Ford-Fulkerson和Edmonds-Karp 等变种。
采用更高效的算法
01
例如，使用Edmonds-Karp算法代替Ford-Fulkerson算法，可
以减少存在增广路径的节点，减少不
必要的搜索。
优化数据结构
03
使用更有效的数据结构，如优先队列，来存储和操作剩余容量。
提高计算精度
避免浮点数运算
尽可能使用整数运算，避免精度 损失。
02
Dinic算法的时间复杂度 为O(V^2E)，其中V是 节点数，E是边数。
03
Kosaraju和Tarjan算法 的时间复杂度为O(V^2)， 其中V是节点数。
04
Push-Relabel和BFS算 法的时间复杂度为 O(V^3)，其中V是节点 数。
03
Chap13网络最大流的优化
减少计算量
在其他领域的应用前景
交通运输
将网络最大流算法应用于交通运输领域，优化交通流分配和路径 规划，提高运输效率。
电力网络
将网络最大流算法应用于电力网络领域，优化电力分配和调度，提 高电力系统的稳定性和可靠性。
社交网络
将网络最大流算法应用于社交网络领域，分析社交网络的传播规律 和影响力，为社交媒体营销和舆情分析提供支持。
最大流算法及其应用
当前弧优化
可以注意到一个事实：如果说在某次迭代 中从i出发的弧(i,j)不是允许弧，则在顶点i的 标号修改之前(i,j)都不可能是允许弧。（因 为d(i)不变，d(j)不减且d(i)<d(j)+1）这样， 在查找允许弧的时候只需要从上一次找到 的允许弧开始找。所以我们增加“当前弧” 这个数据结构，记录当前顶点找到的允许 弧，只有在修改这个顶点标号时才会更改 这个顶点的当前弧。
最小割问题
最小割是指流网络中容量最小的割。 Ford-Fulkerson定理（最小割最大流定
理）：在流网络中，最小割的容量等于最 大流的流量。 根据这个定理，我们就可以通过求流网络 的最大流来得到最小割。
最大流算法
前面所讲的只是求最大流的一种方法，但 怎样高效地实现还是一个问题。
个特别的顶点：源点s和汇点t。
一个流网络的例子
3 s
5
2
v1
2
v
21
3
v 3
4
v
6
t
1
2
4
v
v
4
6
5
流 (Flow)
G的流是一个实值函数f，f(u,v)表示顶点u到顶点 v的流，它可以为正，为零，也可以为负，且满 足下列三个性质：
容量限制：对所有u,v∈V，要求f(u,v)≤c(u,v)。 反对称性：对所有u,v∈V ，要求f(u,v)=-f(v,u)。 流守恒性：对所有u,v∈V-{s,t}，要求
836 网络最大流的应用
网络最大流的应用Applications of Maximum Flow可以将二部图的匹配问题化为网络流图：1.将原图的所有无向边改为有向边，由X中顶点指向Y 中顶点；2.添加一个超源顶点s 和一个超汇顶点t；3.添加s到X中每个顶点的有向边，添加Y中每个顶点到t的有向边；4.所有有向边的容量都设置为1。
所得的图称作匹配网络（matching nerwork）x 1x 2x 3 x 4 x 5 y 1 y 2y 3y 4Y 5 s t 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1定理(a) 可以由匹配网络的一个流给出G的一个匹配，其中顶点x∈X和y∈Y相匹配当且仅当边(x, y) 上的流量是1(b) 一个最大流对应于一个最大匹配(c) 一个值为| X | 的流对应于一个饱和X 中每个结点的匹配舞伴问题（dancing problem，k-正则二部图的完美匹配）：一次舞会有n个男孩和n个女孩，每名男孩恰好认识k名女孩，每名女孩也恰好认识k名男孩（1 ≤k ≤n），是否可以安排得当，使得每人的舞伴都是自己认识的？也即是否存在k-正则二部图的完美匹配？f (s, x i)=1，f (y j, t)=1，f (x i, y j)=1/k，其中1≤i, j≤n，x i∈X，y j∈Y可以证明它是一个值为n的最大流——这就证明了完美匹配的存在性1 3 5 1' 3' 5'2 4 2'4'TS11111/21设G=(V, E) 是一个有向连通图，s和t是图中两个给定的不同顶点。
在图中从顶点s 到顶点t的没有公共边的初级道路称为边不相交的道路（edge-disjoint paths）s abcdeft由于要求找到从s到t的初级道路，因此可以忽略指向s的有向边和由t发出的有向边、忽略不是s或t但入度为0或出度为0的顶点故而可以假定图中只有一个入度为0的顶点s、只有一个出度为0的顶点t，并给每条有向边都赋以权值1，于是形成一个网络其中最大流的值就是s到t的边不相交道路的最大数目如果E’ E，且满足每条从s到t的初级道路都必然包含E’中的边，则称E’是G的st-分离集(st-disconnectigng set)s abcdeft其中最大流的值就是s到t的边不相交道路的最大数目，而最小割的容量则是st-分离集的最少有向边数由最大流最小割定理即得到门格定理（Menger， 1927）：网络最大流的应用定理有向图D 中的从顶点s到顶点t的边不相交有向道路的最大数目等于st-分离集的最少有向边数11 sabcdeftE nd。
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SAP-ALGORITHM (G, s, t)
1 initialize flow f to 0
2 do BFS to calculate d of each vertex
// In fact, we can initialize d to 0. 3 i←s
4 while d(s) < n // n is the amount of vertexes in G
12
then d(i) ← min{ d(j)+1 | (i,j)∈Ef }
13
else d(i) ← n
14
if i≠s then do delete i in augmenting path p
15
i ← last vertex in p
16 return f
SAP 算法有两个重要的优化：Gap 优化和当前弧优化。 Gap 优化：我们可以注意到由于残留网络的修改只会使 d(u) 越来越大（因
再来看一道例题：POJ 3281 Dining (USACO 2007 Open Gold) 题目意思比较简单，就是说现在有 N 只奶牛，F 种食物和 D 种饮料，每只奶 牛喜欢其中的一些食物和饮料。现在每种食物和饮料只能分给一只奶牛，每只奶 牛也只能吃一种食物和一种饮料，问最多能使多少奶牛既吃到食物又喝到饮料。 这个题和二分图匹配有相似之处，但又不完全相同，我们可以沿着二分图匹 配的建模方式继续思考。 由于有 N 只奶牛、F 种食物和 D 种饮料，因此我们可以将这些东西抽象成图 中的点。为了方便，我们将食物放在左边，奶牛放在中间，饮料放在右边。沿用 前面的建模方式，由于食物和饮料的使用限制，我们从源点向每种食物连一条边， 从每种饮料向汇点连一条边，容量都为 1。而每只奶牛都有喜欢的食物和饮料， 因此将每只奶牛喜欢的食物连到这只奶牛，从这只奶牛连到每种它喜欢的饮料。 但这样是否就对了呢？实际还是有问题的，因为经过每只奶牛的食物可能超 过一种，这就意味着每只奶牛可能会吃超过一组的食物和饮料，而这在题目中是 不允许的。 怎么解决这个问题呢？我们又回到了流的基本性质：容量限制
弧，由允许弧组成的一条 s-t 路径是允许路。显然，允许路是残留网络 Gf 中的一 条最短增广路。当找不到允许路的时候，我们需要修改某些点的 d 值。
实现中我们用一个 DFS 实现这个寻找最短增广的过程，如果无法继续向前， 那么我们就修改当前结点的距离标号。
算法伪代码如下（此程序用非递归实现 DFS）：
为修改前 d(u) d(v) 1，而修改后会存在 d(u) d(v) 1，因此 d(u) 变大了），所 以说 d 函数是单调递增的，这就提示我们，如果 d 函数出现了“断层”，即没有
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最大流算法及其应用
d(u) k ，而有 d(v) k 1，这时候必定无法再找到增广路径。我们可以这么想，
伪代码如下： FORD-FULKERSON-METHORD (G, s, t) 1 initialize flow f to 0 2 while there exists an augmenting path p 3 do augment flow f along p 4 return f
2. 最小割问题
容量限制：对所有 u, v V ，要求 f (u,v) c(u, v) 。
反对称性：对所有 u, v V ，要求 f (u,v) f (v,u) 。
流守恒性：对所有 u V {s,t}，要求 f (u, v) 0 。 vV
整个流网络 G 的流量 f f (s,v) 或 f f (u,t) 。
5
if there exists j that (i,j)∈Ef and d(i)=d(j)+1
6 then do add vertex i into augmenting path p
7
i←j
8
if i=t
9
then do augment flow f along p
10
i←s
11 else if there exists j that (i,j)∈Ef
最小割是指流网络中容量最小的割。 Ford-Fulkerson 定理（最小割最大流定理）：在流网络中，最小割的容量等 于最大流的流量。（证明也在此略去） 根据这个定理，我们就可以通过求流网络的最大流来得到最小割。
3. 最大流算法
前面所讲的只是求最大流的一种方法，但怎样高效地实现还是一个问题。 这个方法的最大问题就在于怎样快速地找到一条增广路径。当然我们可以用 最基本的搜索（DFS 或 BFS），但是这种方法肯定不够高效，这时我们就需要更 高效的算法。 本文将重点介绍一种高效且实用的最大流算法：SAP 算法（最短增广路算 法）。 最短增广路算法(Shortest Augmenting Path Algorithm)，即每次寻找包
含弧的个数最少的增广路进行增广，可以证明，此算法最多只需要进行 V E 次 2
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最大流算法及其应用
增广。并且引入距离标号的概念，可以在 O(V ) 的时间里找到一条最短增广路。
最终的时间复杂度为 O(V 2 E ) ，但在实践中，时间复杂度远远小于理论值（特 别是加了优化之后），因此还是很实用的。
二、最大流和最小割问题
（1）最大流问题 （2）最小割问题 （3）最大流算法
三、最大流算法的应用
（1）最大流模型 （2）最小割模型
四、总结
第 1 页 共 13 页
一、网络流相关的一些概念
最大流算法及其应用
1. 流网络 (Flow Network)
流网络 G (V , E) 是一个有向图，其中每条边 (u, v) E 均有一非负容量
当前弧优化：可以注意到一个事实：如果说在某次迭代中从 i 出发的弧 (u, v)
不是允许弧，则在顶点 i 的标号修改之前 (u, v) 都不可能是允许弧。（因为 d(u) 不
变， d(v) 单调不降且 d(u) d(v) 1）这样，在查找允许弧的时候只需要从上一 次找到的允许弧开始找。所以我们增加“当前弧”这个数据结构，记录当前顶点 找到的允许弧，只有在修改这个顶点标号时才会更改这个顶点的当前弧。
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最大流算法及其应用
减去 p 的残留容量，cf (v,u) 加上 p 的残留容量。（程序实现基本都是通过直接修 改残留网络来实现增广的）
二、最大流和最小割问题
1. 最大流问题
对于一个流网络 G (V , E) ，其流量 f 的最大值称为最大流，最大流问题就 是求一个流网络的最大流。
s
t
图 4 新建的流网络（图中弧的容量均为 1）
对于每个左边的点，进去的流量最多只有 1；对于每个右边的点，出去的流 量最多只有 1，所以每个点最多在选中的边里最多出现一次（选中的边即为中间 流量为 1 的弧）。又因为流最大，所以结果就是原二分图的最大二分匹配。
关于二分图的最大二分匹配还有另外一种算法：匈牙利算法，由于其可以更 简单地实现，所以在竞赛中往往不使用最大流，但这种建模方式值得借鉴。
vV
uV
3. 割 (Cut)
流网络 G (V , E) 的割 (S,T ) 将V 划分成 S 和T V S 两部分，使得 s S ，
t T 。定义割 (S,T ) 的容量为 c(S,T ) ，则：
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c(S,T ) c(u,v) uS ,vT
最大流算法及其应用
(u, v) E ， u X 且 v Y 。二分图的最大二分匹配问题就是从 E 中选择一些边， 使得每个点最多在选择的边里出现一次，问最多能选多少条边。
图 3 一个二分图 的例子及其最大匹 配（实线表示选中 的边，虚线表示未 选中的边）
由于每个点只能在选择的边里出现一次，就此我们可以联想到了流的容量限
增广路定理：当且仅当由当前的流 f 压得的残留网络 Gf 中不存在增广路径
时，流 f 的流量 f 达到最大。（证明在此略去，可以参见相关书籍） 根据增广路定理，我们可以设计出最基本的求最大流的方法，一开始将流网
络 G (V , E) 的流 f 置为零流，即对于 (u, v) E 时， f (u,v) 0 。然后构建残留网 络，寻找增广路径增广，再修改残留网络，重复此过程，直到无法找到增广路径。 此方法（之所以不是算法，是因为实现方法很多）称为 Ford-Fulkerson 方法。
c(u,v) 0 。如果 (u, v) E ，则假定 c(u,v) 0 。流网络中有两个特别的顶点： 源பைடு நூலகம் s 和汇点 t。
3 s
5
2 2
1
1 3
2
4 t
4
6 图 1 一个流网络的例子（边上的数字表示该弧的容量）
2. 流 (Flow)
G 的流是一个实值函数 f， f (u,v) 表示顶点 u 到顶点 v 的流，它可以为正， 为零，也可以为负，且满足下列三个性质：
距离标号：对于每个顶点 u 赋予一个非负整数值 d(u) 来描述 u 到 t 的“距离” 远近，称它为距离标号，并且满足以下两个条件：
（1） d(t) 0 。
（2）对于残留网络 Gf 中的一条弧 (u, v) ， d(u) d(v) 1。
如果残留网络 Gf 中的一条弧 (u, v) 满足 d(u) d(v) 1，我们称 (u,v) 是允许
最大流算法及其应用
最大流算法及其应用
南京外国语学校 贾志鹏
【关键词】网络流、最大流问题、最小割问题
【摘要】本文介绍了一种特殊的图——流网络及其相关问题，主
要介绍的是最大流问题和最小割问题，并提出了解决方案。最后
介绍了一些网络流相关的建模问题。
【目录】
一、网络流相关的一些概念