几何证明计算经典
立体几何证明及体积计算
立体几何常见证明方法与体积计算1、线线平行①利用相似三角形或平行四边形②利用公理4:平行于同一直线的两条直线互相平行 ③线面平行⇒线线平行 即////a a a l l αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭④面面平行⇒线线平行即b a b a ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβα即b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα 2、线线垂直①两条直线所成角为90︒②线面垂直⇒线线垂直即b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα ③三垂线定理与其逆定理三垂线定理:l AC l BC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α三垂线逆定理:l BC l AC AB ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥α④两直线平行,其中一条垂直于第三条直线,如此另一条也垂直于这条直线。
3、线面平行①定义:假如一条直线和一个平面没有公共点,如此它们平行; ②线线平行⇒线面平行假如平面外的一条直线平行于平面内的一条直线,如此它与这个平面平行。
即ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ ③面面平行⇒线面平行假如两平面平行,如此其中一个平面内的任一条直线平行于另一个平面。
即βαβα////aa ⇒⎭⎬⎫⊂ 4、线面垂直①线线垂直⇒线面垂直假如一条直线垂直平面内两条相交直线,如此这条直线垂直这个平面。
即ααα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂⊥⊥a O c b c b c a b a ,,②面面垂直⇒线面垂直两平面垂直,其中一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,如此这条直线垂直于另一个平面。
即βαβαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a la a l ,,即αββα⊥⇒⎭⎬⎫⊥l l //④两直线平行,其中一条直线垂直于这个平面,如此另一条直线也垂直于这个平面。
即αα⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a // 5、面面平行①线面平行⇒面面平行假如一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面,如此这两个平面平行。
即βαααββ//,//,//⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂O b a b a b a②平行于同一平面的两个平面平行即βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫即βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥l l6、面面垂直①依定义,二面角的平面角为90︒; ②βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a al练习:1、设a,b,c 是空间三条不同的直线,α,β,γ是空间三个不同的平面,给出如下四个命题: ①假如,a b αα⊥⊥,如此ab ;②假如,αγβγ⊥⊥,如此αβ;③假如,b b αβ⊂⊥,如此αβ⊥;④假如c 是b 在α内的射影,a a c α⊂⊥且,如此a b ⊥. 其中正确的个数是A 1B 2C 3D 4m 、n 与平面α、β,如下命题正确的答案是 〔 〕A .βα//,//n m 且βα//,如此n m //B .βα//,n m ⊥且β⊥α,如此n m ⊥C .m n m ⊥=β⋂α,且βα⊥,如此α⊥nD .βα⊥⊥n m ,且βα⊥,如此n m ⊥3.m ,n 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,如此如下命题中正确的答案是〔 〕 A .//,m n m n αα⊥⇒⊥ B . //,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C .,//m m n n αα⊥⊥⇒ D . ,,//,////m n m n ααββαβ⊂⊂⇒ 〔4〕一个正方体的所有顶点都在同一球面上,假如球的体积是4π3,如此正方体的外表积是 〔A 〕8 〔B 〕6 〔C 〕4 〔D 〕3 5.直线m,n 和平面βα,满足βα⊥⊥⊥,,a m n m ,如此( ).A n β⊥,//.βn B 或β⊂n α⊥n C .,//.αn D 或α⊂n6.1.(2009年某某卷文)给定如下四个命题:①假如一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②假如一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④假如两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是A .①和②B .②和③C .③和④D .②和④7.设,αβ是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的答案是〔 〕A .假如,l ααβ⊥⊥,如此l β⊂B .假如//,//l ααβ,如此l β⊂C .假如,//l ααβ⊥,如此l β⊥D .假如//,l ααβ⊥,如此l β⊥5. 三视图侧视与正视 高相等 正视与俯视长相等 侧视与俯视宽相等1.如图,三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱⊥1AA 底面ABC ,其正〔主〕视图是边长为2的正方形,如此此三棱柱侧〔左〕视图的面积为〔 〕 A .3 B .32 C .222. 一个空间几何体的三视图如下列图,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根据图中标出的尺寸,计算这个几何体的外表积是.4 一个几何体的三视图如下列图,如此此几何体的体积是 〔A 〕112 〔B 〕80 〔C 〕72 〔D 〕64立体几何证明1、〔将线面平行转变为线线平行〕:如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,且PA AB =,点E 是PD 的中点. 〔Ⅱ〕求证://PB 平面AEC ;俯视图4 4正视图侧视图435、〔将面面垂直转变为线面垂直〕如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上.〔Ⅰ〕求证:平面AEC PDB ⊥平面;9、如图,在长方体1111D C B A ABCD -中,a AD AA ==1,a AB 2=,E 、F 分别为11C D 、11D A 的中点. 〔Ⅰ〕求证:⊥DE 平面BCE ; 〔Ⅱ〕求证://AF 平面BDE .ABDC1A1B1C1DEF10、如下列图,四棱锥P-ABCD 底面是直角梯形,,,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点。
中考数学专题复习八几何证明题
专题八:几何证明题问题解析几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力;几何证明题和计算题在中考中占有重要地位.根据新的课程标准;对几何证明题证明的方法技巧上要降低;繁琐性、难度方面要降低.但是注重考查学生的基础把握推理能力;所以几何证明题是目前常考的题型.热点探究类型一:关于三角形的综合证明题例题12016·四川南充已知△ABN和△ACM位置如图所示;AB=AC;AD=AE;∠1=∠2.1求证:BD=CE;2求证:∠M=∠N.分析1由SAS证明△ABD≌△ACE;得出对应边相等即可2证出∠BAN=∠CAM;由全等三角形的性质得出∠B=∠C;由AAS证明△ACM≌△ABN;得出对应角相等即可.解答1证明:在△ABD和△ACE中;;∴△ABD≌△ACESAS;∴BD=CE;2证明:∵∠1=∠2;∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE;即∠BAN=∠CAM;由1得:△ABD≌△ACE;∴∠B=∠C;在△ACM和△ABN中;;∴△ACM≌△ABNASA;∴∠M=∠N.点评本题考查了全等三角形的判定与性质;证明三角形全等是解决问题的关键.同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.类型二:关于四边形的综合证明题例题22016·山东省滨州市·10分如图;BD是△ABC的角平分线;它的垂直平分线分别交AB;BD;BC 于点E;F;G;连接ED;DG.1请判断四边形EBGD的形状;并说明理由;2若∠ABC=30°;∠C=45°;ED=2;点H是BD上的一个动点;求HG+HC的最小值.考点平行四边形的判定与性质;角平分线的性质.分析1结论四边形EBGD是菱形.只要证明BE=ED=DG=GB即可.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EMC中;求出EM、MC即可解决问题.解答解:1四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD;∴EB=ED;GB=GD;∴∠EBD=∠EDB;∵∠EBD=∠DBC;∴∠EDF=∠GBF;在△EFD和△GFB中;;∴△EFD≌△GFB;∴ED=BG;∴BE=ED=DG=GB;∴四边形EBGD是菱形.2作EM⊥BC于M;DN⊥BC于N;连接EC交BD于点H;此时HG+HC最小;在RT△EBM中;∵∠EMB=90°;∠EBM=30°;EB=ED=2;∴EM=BE=;∵DE∥BC;EM⊥BC;DN⊥BC;∴EM∥DN;EM=DN=;MN=DE=2;在RT△DNC中;∵∠DNC=90°;∠DCN=45°;∴∠NDC=∠NCD=45°;∴DN=NC=;∴MC=3;在RT△EMC中;∵∠EMC=90°;EM=.MC=3;∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC;∴HG+HC的最小值为10.点评本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识;解题的关键是利用对称找到点H的位置;属于中考常考题型.同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.类型三:关于圆的综合证明题例题32016·山东潍坊正方形ABCD内接于⊙O;如图所示;在劣弧上取一点E;连接DE、BE;过点D作DF∥BE交⊙O于点F;连接BF、AF;且AF与DE相交于点G;求证:1四边形EBFD是矩形;2DG=BE.考点正方形的性质;矩形的判定;圆周角定理.分析1直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;∠EDF=90°;进而得出答案;2直接利用正方形的性质的度数是90°;进而得出BE=DF;则BE=DG.解答证明:1∵正方形ABCD内接于⊙O;∴∠BED=∠BAD=90°;∠BFD=∠BCD=90°;又∵DF∥BE;∴∠EDF+∠BED=180°;∴∠EDF=90°;∴四边形EBFD是矩形;2∵正方形ABCD内接于⊙O;∴的度数是90°;∴∠AFD=45°;又∵∠GDF=90°;∴∠DGF=∠DFC=45°;∴DG=DF;又∵在矩形EBFD中;BE=D同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.类型四:关于相似三角形的证明问题例题42016·黑龙江齐齐哈尔·8分如图;在△ABC中;AD⊥BC;BE⊥AC;垂足分别为D;E;AD与BE 相交于点F.1求证:△ACD∽△BFD;2当tan∠ABD=1;AC=3时;求BF的长.考点相似三角形的判定与性质.分析1由∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;推出∠DBF=∠DAC;由此即可证明.2先证明AD=BD;由△ACD∽△BFD;得==1;即可解决问题.解答1证明:∵AD⊥BC;BE⊥AC;∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°;∴∠C+∠DBF=90°;∠C+∠DAC=90°;∴∠DBF=∠DAC;∴△ACD∽△BFD.2∵tan∠ABD=1;∠ADB=90°∴=1;∴AD=BD;∵△ACD∽△BFD;∴==1;∴BF=AC=3.同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC 的一边AB 为直径的半圆与其它两边AC;BC 的交点分别为D 、E;且=.1试判断△ABC 的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD 的值.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD 中;E 、F 分别为边AB 、CD 的中点;BD 是对角线.1求证:△ADE ≌△CBF ;2若∠ADB 是直角;则四边形BEDF 是什么四边形 证明你的结论.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB 是⊙O 的直径;延长AB 至P;使BP=OB;BD 垂直于弦BC;垂足为点B;点D 在PC 上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.DCEF B A 图66. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.7. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE 交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.参考答案类型一:关于三角形的综合证明题同步练2016·山东省菏泽市·3分如图;△ACB和△DCE均为等腰三角形;点A;D;E在同一直线上;连接BE.1如图1;若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证:AD=BE;②求∠AEB的度数.2如图2;若∠ACB=∠DCE=120°;CM为△DCE中DE边上的高;BN为△ABE中AE边上的高;试证明:AE=2CM+BN.考点等腰三角形的性质.分析1①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE;再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC;DC=EC”;利用全等三角形的判定SAS即可证出△ACD≌△BCE;由此即可得出结论AD=BE;②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC;再通过角的计算即可算出∠AEB的度数;2根据等腰三角形的性质结合顶角的度数;即可得出底角的度数;利用1的结论;通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度;二者相加即可证出结论.解答1①证明:∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°;∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°.∵∠ACB=∠ACD+∠DCB;∠DCE=∠DCB+∠BCE;∴∠ACD=∠BCE.∵△AC B和△DCE均为等腰三角形;∴AC=BC;DC=EC.在△ACD和△BCE中;有;∴△ACD≌△BCESAS;∴AD=BE.②解:∵△ACD≌△BCE;∴∠ADC=∠BEC.∵点A;D;E在同一直线上;且∠CDE=50°;∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°;∴∠BEC=130°.∵∠BEC=∠CED+∠AEB;且∠CED=50°;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°.2证明:∵△ACB和△DCE均为等腰三角形;且∠ACB=∠DCE=120°;∴∠CDM=∠CEM=×180°﹣120°=30°.∵CM⊥DE;∴∠CMD=90°;DM=EM.在Rt△CMD中;∠CMD=90°;∠CDM=30°;∴DE=2DM=2×=2CM.∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°;∠BEC=∠CEM+∠AEB;∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°;∴∠BEN=180°﹣120°=60°.在Rt△BNE中;∠BNE=90°;∠BEN=60°;∴BE==BN.∵AD=BE;AE=AD+DE;∴AE=BE+DE=BN+2CM.点评本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算;解题的关键是:1通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE;2找出线段AD、DE的长.本题属于中档题;难度不大;但稍显繁琐;解决该题型题目时;利用角的计算找出相等的角;再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角;最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键.类型二:关于四边形的综合证明题同步练2016·山东省济宁市·3分如图;正方形ABCD的对角线AC;BD相交于点O;延长CB至点F;使CF=CA;连接AF;∠ACF的平分线分别交AF;AB;BD于点E;N;M;连接EO.1已知BD=;求正方形ABCD的边长;2猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明.考点正方形的性质.分析1根据正方形的性质以及勾股定理即可求得;2根据等腰三角形三线合一的性质证得CE⊥AF;进一步得出∠BAF=∠BCN;然后通过证得△ABF≌△CBN得出AF=CN;进而证得△ABF∽△COM;根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM.解答解:1∵四边形ABCD是正方形;∴△ABD是等腰直角三角形;∴2AB2=BD2;∵BD=;∴AB=1;∴正方形ABCD的边长为1;2CN=CM.证明:∵CF=CA;AF是∠ACF的平分线;∴CE⊥AF;∴∠AEN=∠CBN=90°;∵∠ANE=∠CNB;∴∠BAF=∠BCN;在△ABF和△CBN中;;∴△ABF≌△CBNAAS;∴AF=CN;∵∠BAF=∠BCN;∠ACN=∠BCN;∴∠BAF=∠OCM;∵四边形ABCD是正方形;∴AC⊥BD;∴∠ABF=∠COM=90°;∴△ABF∽△COM;∴=;∴==;即CN=CM.类型三:关于圆的综合证明题同步练枣庄市 2015 中考 -24如图;在△ABC中;∠ABC=90°;以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D;E是BC的中点;连接DE;OE.1判断DE与⊙O的位置关系;并说明理由;2求证:BC2=CD 2OE;3若cos∠BAD=35;BE=6;求OE的长.思路分析:本题考查了切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点.故对于题1可以连接OD;BD;由AB为圆O的直径;得到∠ADB为直角;从而得出三角形BCD为直角三角形;E为斜边BC 的中点;利用斜边上的中线等于斜边的一半;得到CE=DE;利用等边对等角得到一对角相等;再由OA=OD;利用等边对等角得到一对角相等;由直角三角形ABC中两锐角互余;利用等角的余角相等得到∠ADO与∠CDE互余;可得出∠ODE为直角;即DE垂直于半径OD;可得出DE为圆O的切线;对于题2首先可证明OE是△ABC的中位线;则AC=2OE;然后证明△ABC∽△BDC;根据相似三角形的对应边的比相等;即可证得;对于题3在直角△ABC中;利用勾股定理求得AC的长;之后根据三角形中位线定理OE的长即可求得.解题过程:1证明:连接OD;BD;∵AB为圆O的直径;∴∠ADB=90°;在Rt△BDC中;E为斜边BC的中点;∴CE=DE=BE=12 BC;∴∠C=∠CDE;∵OA=OD;∴∠A=∠ADO;∵∠ABC=90°;即∠C+∠A=90°;∴∠ADO+∠CDE=90°;即∠ODE=90°;∴DE⊥OD;又OD为圆的半径;∴DE为⊙O的切线;2证明:∵E是BC的中点;O点是AB的中点; ∴OE是△ABC的中位线;∴AC=2OE;∵∠C=∠C;∠ABC=∠BDC;∴△ABC∽△BDC;∴BC ACCD BC=;即BC2=AC CD.∴BC2=2CD OE;3解:∵cos∠BAD=35;∴sin∠BAC=45 BCAC=;又∵BE=6;E是BC的中点;即BC=12;∴AC=15.又∵AC=2OE;∴OE=12AC=152.规律总结:熟练把握切线的判定;垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点是解决本题的关键.要证某线是圆的切线;已知此线过圆上某点;连接圆心与这点即为半径;再证垂直即可.类型四:关于相似三角形的证明问题同步练2016·湖北武汉·10分在△ABC中;P为边AB上一点.1 如图1;若∠ACP=∠B;求证:AC2=AP·AB;2 若M为CP的中点;AC=2;① 如图2;若∠PBM=∠ACP;AB=3;求BP的长;② 如图3;若∠ABC=45°;∠A=∠BMP=60°;直接写出BP的长.考点相似形综合;考查相似三角形的判定和性质;平行线的性质;三角形中位线性质;勾股定理..答案 1证△ACP∽△ABC即可;2①BP=5;②71解析1证明:∵∠ACP=∠B;∠BAC=∠CAP;∴△ACP∽△ABC;∴AC:AB=AP:AC;∴AC2=AP·AB;2①如图;作CQ∥BM交AB延长线于Q;设BP=x;则P Q=2x∵∠PBM=∠ACP;∠PAC=∠CAQ;∴△APC∽△ACQ;由AC2=AP·AQ得:22=3-x35即BP②如图:作CQ⊥AB 于点Q;作CP 0=CP 交AB 于点P 0;∵AC =2;∴AQ=1;CQ =BQ; 设P0Q =PQ =1-x;BP -1+x;∵∠BPM=∠CP 0A ;∠BMP=∠CAP 0;∴△AP 0C∽△MPB;∴00AP P C MP BP =;∴MP P0C =2012P C ==AP 0 BP =1+x;解得x ∴BP =-11-.达标检测1. 2016·黑龙江哈尔滨·8分已知:如图;在正方形ABCD 中;点E 在边CD 上;AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P .1求证:AP=BQ ;2在不添加任何辅助线的情况下;请直接写出图中四对线段;使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ 的长.考点正方形的性质;全等三角形的判定与性质.分析1根据正方形的性质得出AD=BA;∠BAQ=∠ADP;再根据已知条件得到∠AQB=∠DPA;判定△AQB≌△DPA 并得出结论;2根据AQ ﹣AP=PQ 和全等三角形的对应边相等进行判断分析.解答解:1∵正方形ABCD∴AD=BA;∠BAD=90°;即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE 于点Q;DP⊥AQ 于点P∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPAAAS∴AP=BQ2①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ2. 2016·四川内江9分如图6所示;△ABC 中;D 是BC 边上一点;E 是AD 的中点;过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F;且AF =BD;连接BF .1求证:D 是BC 的中点;2若AB =AC;试判断四边形AFBD 的形状;并证明你的结论.考点三角形例行;特殊四边形的性质与判定..1证明:∵点E 是AD 的中点;∴AE =DE .∵AF ∥BC;∴∠AFE =∠DCE;∠FAE =∠CDE .∴△EAF ≌△EDC .∴AF =DC .∵AF =BD;∴BD =DC;即D 是BC 的中点.2四边形AFBD 是矩形.证明如下:∵AF ∥BD;AF =BD;∴四边形AFBD 是平行四边形.∵AB =AC;又由1可知D 是BC 的中点;∴AD ⊥BC .DC EF B A图6∴□AFBD是矩形.3. 烟台市 2015 中考 -23如图;以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC;BC的交点分别为D、E;且=.1试判断△ABC的形状;并说明理由.2已知半圆的半径为5;BC=12;求sin∠ABD的值.思路分析:1连结AE;如图;根据圆周角定理;由=得∠DAE=∠BAE;由AB为直径得∠AEB=90°;根据等腰三角形的判定方法即可得△ABC为等腰三角形;2由等腰三角形的性质得BE=CE=BC=6;再在Rt△ABE中利用勾股定理计算出AE=8;接着由AB为直径得到∠ADB=90°;则可利用面积法计算出BD=;然后在Rt△ABD中利用勾股定理计算出AD=;再根据正弦的定义求解.解题过程:解:1△ABC为等腰三角形.理由如下:连结AE;如图;∵=;∴∠DAE=∠BAE;即AE平分∠BAC;∵AB为直径;∴∠AEB=90°;∴AE⊥BC;∴△ABC为等腰三角形;2∵△ABC为等腰三角形;AE⊥BC;∴BE=CE=BC=×12=6;在Rt△ABE中;∵AB=10;BE=6;∴AE==8;∵AB为直径;∴∠ADB=90°;∴AE BC=BD AC;∴BD==;在Rt△ABD中;∵AB=10;BD=;∴AD==;∴sin∠ABD===.规律总结:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中;同弧或等弧所对的圆周角相等;都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆或直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了等腰三角形的判定与性质和勾股定理.4. 2015 内蒙古呼伦贝尔兴安盟;第22题7分如图;在平行四边形ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;BD是对角线.1求证:△ADE≌△CBF;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是什么四边形证明你的结论.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.分析:1由四边形ABCD是平行四边形;即可得AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;又由E、F分别为边AB、CD的中点;可证得AE=CF;然后由SAS;即可判定△ADE≌△CBF;2先证明BE与DF平行且相等;然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;再连接EF;可以证明四边形AEFD是平行四边形;所以AD∥EF;又AD⊥BD;所以BD⊥EF;根据菱形的判定可以得到四边形是菱形.解答:1证明:∵四边形ABCD是平行四边形;∴AD=BC;AB=CD;∠A=∠C;∵E、F分别为边AB、CD的中点;∴AE=AB;CF=CD;∴AE=CF;在△ADE和△CBF中;∵;∴△ADE≌△CBFSAS;2若∠ADB是直角;则四边形BEDF是菱形;理由如下:解:由1可得BE=DF;又∵AB∥C D;∴BE∥DF;BE=DF;∴四边形BEDF是平行四边形;连接EF;在 ABCD中;E、F分别为边AB、CD的中点;∴DF∥AE;DF=AE;∴四边形AEFD是平行四边形;∴EF∥AD;∵∠ADB是直角;∴AD⊥BD;∴EF⊥BD;又∵四边形BFDE是平行四边形;∴四边形BFDE是菱形.点评:本题主要考查了平行四边形的性质;全等三角形的判定以及菱形的判定;利用好E、F 是中点是解题的关键.5. 烟台市 2014 中考 -24如图;AB是⊙O的直径;延长AB至P;使BP=OB;BD垂直于弦BC;垂足为点B;点D在PC上.设∠PCB=α;∠POC=β.求证:tanα tan=.解析:连接AC先求出△PBD∽△PAC;再求出=;最后得到tanα tan=.解答:证明:连接AC;则∠A=∠POC=;∵AB是⊙O的直径;∴∠ACB=90°;∴tanα=;BD∥AC;∴∠PBD=∠A;∵∠P=∠P;∴△PBD∽△PAC;∴=;∵PB=0B=OA;∴=;∴tana tan===.点评:本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识;本题解题的关键是求出△PBD∽△PAC;再求出tanα tan=.6. 2015 梧州;第25题12分如图;在正方形ABCD中;点P在AD上;且不与A、D重合;BP的垂直平分线分别交CD、AB于E、F两点;垂足为Q;过E作EH⊥AB于H.1求证:HF=AP;2若正方形ABCD的边长为12;AP=4;求线段EQ的长.考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理.所有分析: 1先根据EQ⊥BO;EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°.根据∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH;故∠QEM=∠HBM.由ASA定理得出△APB≌△HFE;故可得出结论;2由勾股定理求出BP的长;根据EF是BP的垂直平分线可知BQ=BP;再根据锐角三角函数的定义得出QF=BQ的长;由1知;△APB≌△HFE;故EF=BP=4;再根据EQ=EF﹣QF即可得出结论.解答: 1证明:∵EQ⊥BO;EH⊥AB;∴∠EQN=∠BHM=90°.∵∠EMQ=∠BMH;∴△EMQ∽△BMH;∴∠QEM=∠HBM.在Rt△APB与Rt△HFE中;;∴△APB≌△HFE;∴HF=AP;2解:由勾股定理得;BP===4.∵EF是BP的垂直平分线;∴BQ=BP=2;∴QF=BQ tan∠FBQ=BQ tan∠ABP=2×=.由1知;△APB≌△HFE;∴EF=BP=4;∴EQ=EF﹣QF=4﹣=.点评:本题考查的是正方形的性质;熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键.7.8. 2015 北海;第25题12分如图;AB、CD为⊙O的直径;弦AE∥CD;连接BE交CD于点F;过点E作直线EP与CD的延长线交于点P;使∠PED=∠C.1求证:PE是⊙O的切线;2求证:ED平分∠BEP;3若⊙O的半径为5;CF=2EF;求PD的长.考点:切线的判定.分析: 1如图;连接OE.欲证明PE是⊙O的切线;只需推知OE⊥PE即可;2由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°;根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4;结合已知条件证得结论;3设EF=x;则CF=2x;在RT△OEF中;根据勾股定理得出52=x2+2x﹣52;求得EF=4;进而求得BE=8;CF=8;在RT△AEB中;根据勾股定理求得AE=6;然后根据△AEB∽△EFP;得出=;求得PF=;即可求得PD的长.解答: 1证明:如图;连接OE.∵CD是圆O的直径;∴∠CED=90°.∵OC=OE;∴∠1=∠2.又∵∠PED=∠C;即∠PED=∠1;∴∠PED=∠2;∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°;即∠OEP=90°; ∴OE⊥EP;又∵点E在圆上;∴PE是⊙O的切线;2证明:∵AB、CD为⊙O的直径;∴∠AEB=∠CED=90°;∴∠3=∠4同角的余角相等.又∵∠PED=∠1;∴∠PED=∠4;即ED平分∠BEP;3解:设EF=x;则CF=2x;∵⊙O的半径为5;∴OF=2x﹣5;在RT△OEF中;OE2=OF2+EF2;即52=x2+2x﹣52;解得x=4;∴EF=4;∴BE=2EF=8;CF=2EF=8;∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2;∵AB为⊙O的直径;∴∠AEB=90°;∵AB=10;BE=8;∴AE=6;∵∠BEP=∠A;∠EFP=∠AEB=90°;∴△AEB∽△EFP;∴=;即=;∴PF=;∴PD=PF﹣DF=﹣2=.点评:本题考查了切线的判定和性质;圆周角定理的应用;勾股定理的应用;三角形相似的判定和性质;熟练掌握性质定理是解题的关键.。
立体几何常见证明方法
立体几何方法归纳小结一、线线平行的证明方法1、根据公理4,证明两直线都与第三条直线平行。
2、根据线面平行的性质定理,若直线a平行于平面A ,过a的平面B与平面A相交于b ,则a//b。
3、根据线面垂直的性质定理,若直线a与直线b都与平面A垂直,则a//b 。
4、根据面面平行的性质定理,若平面A//平面B,平面C与平面A和平面B的交线分别为直线a与直线b,则a//b 。
二、线面平行的证明方法1、根据线面平行的定义,证直线与平面没有公共点。
2、根据线面平行的判定定理,若平面A内存在一条直线b与平面外的直线a平行,则a//A 。
(用相似三角形或平行四边形)3、根据平面与平面平行的性质定理,若两平面平行,则一个平面内的任一直线与另一个平面平行。
三、面面平行的证明方法1、根据定义,若两平面没有公共点,则两平面平行。
2、根据两平面平行的判定定理,一个平面内有两相交直线与另一平面平行,则两平面平行。
或根据两平面平行的判定定理的推论,一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行,则两平面平行。
3、垂直同一直线的两平面平行。
4、平行同一平面的两平面平行。
四、两直线垂直的证明方法1、根据定义,证明两直线所成的角为90°2、一直线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、一直线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的所有直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).五、线面垂直的证明方法1、根据定义,证明一直线与平面内的任一(所有)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,一直线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、一直线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.六、面面垂直的证明方法1、根据面面垂直的定义,两平面相交所成的二面角为直二面角,则两平面垂直。
专题04 几何计算与几何证明(解析版)
专题04几何计算与几何证明【提要】平面几何是培养训练人的逻辑思维能力的很好的工具,也是初中数学学习内容的重要组成部分,因此它是初中数学学业考试的重要内容之一.在平面几何中,除了一些证明题外,还有一些计算问题,它也是要经过一定的逻辑推理后,再进行计算.因此熟练掌握几何中的一些重要定义、定理,是解决问题的前提.另外还需注意的是,要把解决常见问题的基本方法加以归类整理,比如证明角相等有哪些常见的方法?证明线段相等有哪些常见的方法?这样在遇到复杂问题时,我们才能运用化归的思想,分析和解决问题.【范例】【例1】如图,在▱ABCD中,E为BC边上一点,且AB=AE.(1)求证:△ABC≌△EAD;(2)若AE平分∠DAB,∠EAC=25°,求∠AED的度数.【解析】(1)【证明】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AB=AE,∴∠AEB=∠B.∴∠CBA=∠DAE.∴△ABC≌△EAD.(2)【解析】∵∠DAE=∠BAE,∠DAE=∠AEB,∴∠BAE=∠AEB=∠B.∴△ABE为等边三角形.∴∠BAE=60°.∵∠EAC=25°,∴∠BAC=85°.∵△ABC≌△EAD,∴∠AED=∠BAC=85°.【例2】两个全等的含30°,60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置,E、A、C三点在一条直线上,连接BD,取BD的中点M,连接ME、MC,试判断△EMC的形状,并说明理由.【解析】△EMC的形状是等腰直角三角形.证明:连接AM.∵∠DAE=∠ABC=30°,∠BAC=∠ADE=60°.又∵DM =MB , ∴MA =12DB =DM .∵AD =AB ,∴∠MAD =∠MAB =∠MDA =45°,∠DMA =90°. ∴∠MDE =∠MAC =105°. ∴△EDM ≌△CAM .∴EM =MC ,∠DME =∠AMC . 又∠DME +∠EMA =90°, ∴∠EMA +∠AMC =90°. ∴CM ⊥EM .∴△EMC 是等腰直角三角形.【例3】如图,已知:在△ABC 中,D 是边BC 上的中点,且AD =AC ,DE ⊥BC , DE 与AB 相交于点E ,EC 与AD 相交于点F . (1)求证:CF =12AB ;(2)若△FCD 的面积=5,BC =10,求DE 的长.(1)【证明】取AC 的中点G ,连接DG .∵D 是BC 的中点,∴DG ∥AB ,DG =12AB∵DE ⊥BC ,∴DE 是BC 的垂直平分线,BE =CE , ∠EBC =∠ECB ,∵∠GDC =∠EBC ,∴∠GDC =∠ECB . 由AD =AC ,得∠ACD =∠ADC 在△GDC 和△FCD 中,∠GDC =∠FCD ,∠GCD =∠FDC , DC =CD ,得△GDC ≌△FCD , ∴DG =CF ,∴CF =12AB .(2)【解析】作AH ⊥DC ,垂足为H ,则DH =CH . ∵△GDC ≌△FCD , ∴CG =DF =12AC =12AD ,∴F 是AD 的中点,∵S △FCD =5,BC =10, ∴S △FCA =5,DC =5,DH =52,S △ADC =10∵S △ADC =12DC ·AH ,∴AH =4,∵ED ∥AH , ∴ED AH =BD BHED =AH ·BD BH =4×5152=83,∴DE =83.【例4】如图(1),已知⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ,垂足为F ,点E 在AB 上,且EA =EC . (1)求证:AC 2=AE ·AB ;(2)延长EC 到点P ,连接PB ,如果PB =PE ,试判断PB 与⊙O 的位置关系,并说明理由.(1)【证明】连接BC.∵直径CD⊥AB,∴AF=BF.∴AC=BC.∴∠A=∠ABC.又∵EA=EC,∴∠A=∠ACE.∴∠ABC=∠ACE.∵∠A=∠A,∴△ACE∽△ABC.∴AEAC=ACAB,即AC2=AE·AB.(2)【解析】连接OB.∵PB=PE,∴∠PBE=∠PEB,即∠PBC+∠EBC=∠A+∠ECA.∴∠PBC=∠EBC=∠A=∠ECA.又∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.而∠OCB+∠EBC=90°.∴∠OBC+∠PBC=90°,即∠OBP=90°.∴OB⊥PB,∴PB与⊙O的位置关系是相切.【例5】如图(1),正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点(点G与C、D不重合),以CG 为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.(1)求证:①△BCG≌△DCE;②BH⊥DE.(2)试问当点G运动到什么位置时,BH垂直平分DE?请说明理由.(1)【证明】∵四边形ABCD 、四边形GCEF 都是正方形, ∴BC =DC ,∠BCG =∠DCE =90°,CG =CE , ∴△BCG ≌△DCE . ∴∠CBG =∠CDE . ∵∠BGC =∠DGH ,∴∠DHG =∠BCG =90°,即BH ⊥DE . (2)【解析】连接EG .(如图(2))要使BH 垂直平分DE ,必须有GE =GD . 设CG =x .那么GE =2x ,DG =1-x . ∴2x =1-x .解得x =2-1,即当CG =2-1时,BH 垂直平分DE .【训练】1.(2020•宝山区一模)如图,直线:l y =,点1A 坐标为(1,0),过点1A 作x 轴的垂线交直线l 于点1B ,以原点O 为圆心,1OB 为半径画弧交x 轴于点2A ;再过点2A 作x 的垂线交直线l 于点2B ,以原点O 为圆心,2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ,⋯,按此做法进行下去.求:(1)点1B 的坐标和11AOB ∠的度数; (2)弦43A B 的弦心距的长度.【分析】(1)求出11tan AOB ∠的值,11A B 即可解决问题. (2)连接43A B ,作43OH A B ⊥于H .求出OH 即可.【解答】解:(1)Q 直线的解析式y =,11111tan A B AOB OA ∴∠== 1160AOB ∴∠=︒,11OA =,11A B ∴=212OA OB ==,1B ∴.(2)连接43A B ,作43OH A B ⊥于H . 由题意11OA =,22OA =,34OA =,48OA =, 43OA OB =Q ,43OH A B ⊥,4431302A OH A OB ∴∠=∠=︒,4cos308OH OA ∴=︒==g2.(2020•奉贤区一模)如图,已知AB 是O e 的直径,C 是O e 上一点,CD AB ⊥,垂足为点D ,E 是¶BC的中点,OE 与弦BC 交于点F .(1)如果C 是¶AE 的中点,求:AD DB 的值;(2)如果O e 的直径6AB =,:1:2FO EF =,求CD 的长.【分析】(1)连接OC ,根据垂径定理的推论得到OE BC ⊥,¶¶¶AC ECEB ==,根据含30︒的直角三角形的性质计算;(2)根据勾股定理求出BF ,得到BC 的长,证明BFO BDC ∆∆∽,根据相似三角形的性质列出比例式,代入计算得到答案.【解答】解:(1)连接OC , E Q 是¶BC的中点, ∴¶¶ECEB =,OE BC ⊥, C Q 是¶AE 的中点, ∴¶¶AC EC=, ∴¶¶¶AC ECEB ==, 60AOC COE EOB ∴∠=∠=∠=︒, 30OCD ∴∠=︒,在Rt COD ∆中,30OCD ∠=︒, 12OD OC ∴=,:1:3AD DB ∴=;(2)6AB =Q ,:1:2FO EF =, 1OF ∴=,在Rt BOF ∆中,BF =,BC ∴=,CD AB ⊥Q ,OE BC ⊥,90BDC BFO ∴∠=∠=︒,又B B ∠=∠, BFO BDC ∴∆∆∽,∴BO OFBC CD =1CD=,解得,CD =.3.(2020•黄浦区一模)如图,ABC ∆是边长为2的等边三角形,点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧,且AD AC =,连接BD 、CD ,BD 交直线AC 于点E .(1)当90CAD ∠=︒时,求线段AE 的长.(2)过点A 作AH CD ⊥,垂足为点H ,直线AH 交BD 于点F , ①当120CAD ∠<︒时,设AE x =,BCEAEFS y S ∆∆=(其中BCE S ∆表示BCE ∆的面积,AEF S ∆表示AEF ∆的面积),求y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值范围; ②当7BCEAEFS S ∆∆=时,请直接写出线段AE 的长.【分析】(1)过点E 作EG BC ⊥,垂足为点G .AE x =,则2EC x =-.根据BG EG =构建方程求出x 即可解决问题.(2)①证明AEF BEC ∆∆∽,可得22BCE AEF S BE S AE ∆∆=,由此构建关系式即可解决问题. ②分两种情形:当120CAD ∠<︒时,当120180CAD ︒<∠<︒时,分别求解即可解决问题. 【解答】解:(1)ABC ∆Q 是等边三角形,2AB BC AC ∴=-=,60BAC ABC ACB ∠=∠=∠=︒.AD AC =Q ,AD AB ∴=,ABD ADB ∴∠=∠,180ABD ADB BAC CAD ∠+∠+∠+∠=︒Q ,90CAD ∠=︒,15ABD ∠=︒,45EBC ∴∠=︒.过点E 作EG BC ⊥,垂足为点G .设AE x =,则2EC x =-. 在Rt CGE ∆中,60ACB ∠=︒,∴sin )EG EC ACB x =∠=-g ,1cos 12CG EC ACB x =∠=-g , 1212BG CG x ∴=-=+, 在Rt BGE ∆中,45EBC ∠=︒,∴11)2x x +=-,解得4x =-所以线段AE 的长是4-(2)①设ABD α∠=,则BDA α∠=,1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=︒-. AD AC =Q ,AH CD ⊥,∴1602CAF DAC α∠=∠=︒-, 又60AEF α∠=︒+Q , 60AFE ∴∠=︒,AFE ACB ∴∠=∠,又AEF BEC ∠=∠Q , AEF BEC ∴∆∆∽,∴22BCE AEF S BE S AE ∆∆=, 由(1)得在Rt CGE ∆中,112BG x =+,)EG x -,222224BE BG EG x x ∴=+=-+,∴2224(02)x x y x x -+=<<.②当120CAD ∠<︒时,7y =,则有22247x x x -+=, 整理得2320x x +-=, 解得23x =或1-(舍弃), 23AE =. 当120180CAD ︒<∠<︒时,同法可得2224x x y x++= 当7y =时,22247x x x ++=,整理得2320x x --=,解得23x =-(舍弃)或1,1AE ∴=.4.(2020•闵行区一模)如图,梯形ABCD 中,//AD BC ,90ADC ∠=︒,2AD =,4BC =,tan 3B =.以AB 为直径作O e ,交边DC 于E 、F 两点.(1)求证:DE CF =; (2)求:直径AB 的长.【分析】(1)直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH HC =,进而得出答案; (2)过点A 作AG BC ⊥,垂足为点G ,再利用已知结合勾股定理得出答案. 【解答】(1)证明:过点O 作OH DC ⊥,垂足为H . //AD BC Q ,90ADC ∠=︒,OH DC ⊥, 90BCN OHC ADC ∴∠=∠=∠=︒.////AD OH BC ∴.又OA OB =Q . DH HC ∴=.OH DC ⊥Q ,OH 过圆心,EH HF ∴=,DH EH HC HF ∴-=-.即:DE CF =.(2)解:过点A 作AG BC ⊥,垂足为点G ,90AGB ∠=︒, 90AGB BCN ∠=∠=︒Q , //AG DC ∴. //AD BC Q ,AD CG ∴=.2AD =Q ,4BC =,2BG BC CG ∴=-=.在Rt AGB ∆中,tan 3B =Q , tan 236AG BG B ∴==⨯=g .在Rt AGB ∆中,222AB AG BG =+AB ∴=5.(2020•奉贤区一模)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边AD 上,点F 在边CB 的延长线上,连接CE 、EF ,2CE DE CF =g. (1)求证:D CEF ∠=∠;(2)连接AC ,交EF 于点G ,如果AC 平分ECF ∠,求证:AC AE CB CG =g g .【分析】(1)根据2CE DE CF =g 且DEC ECF ∠=∠可证明CDE CEF ∆∆∽,即可得结论;(2)根据AC 平分ECF ∠,//AD BC ,可得EAC ECA ∠=∠,进而得E EC =,再证明CGE CAB ∆∆∽,对应边成比例即可.【解答】(1)证明:2CE DE CF =Q g ,即CE CFDE CE=Q 四边形ABCD 为平行四边形,//AD BC ∴,DEC ECF ∴∠=∠, CDE CEF ∴∆∆∽, D CEF ∴∠=∠.(2)如图所示:AC Q 平分ECF ∠,ECA BCA ∴∠=∠,D CEF ∠=∠Q ,D B ∠=∠, CEF B ∴∠=∠,CGE CAB ∴∆∆∽,∴CG CEAC CB=, //AD BC Q ,DAC BCA ∴∠=∠, ECA DAC ∠=∠Q , AE CE ∴=,∴CG AEAC CB=,即AC AE CB CG =g g . 6.(2020•崇明区一模)如图,AC 是O e 的直径,弦BD AO ⊥于点E ,连接BC ,过点O 作OF BC ⊥于点F ,8BD =,2AE =.(1)求O e 的半径; (2)求OF 的长度.【分析】(1)连接OB ,根据垂径定理求出BE ,根据勾股定理计算,得到答案; (2)根据勾股定理求出BC ,根据垂径定理求出BF ,根据勾股定理计算,得到答案. 【解答】解:(1)连接OB , 设O e 的半径为x ,则2OE x =-, OA BD ⊥Q , 142BE ED BD ∴===, 在Rt OEB ∆中,222OB OE BE =+,即222(2)4x x =-+, 解得,5x =,即O e 的半径为5;(2)在Rt CEB ∆中,BC = OF BC ⊥Q ,12BF BC ∴==OF ∴=7.(2020•嘉定区一模)如图,在O e 中,AB 、CD 是两条弦,O e 的半径长为rcm ,弧AB 的长度为1l cm ,弧CD 的长度为2l cm (温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别).当12l l =时,求证:AB CD =.【分析】根据弧长公式求得AOB COD ∠=∠,然后利用ASA 证得AOB COD ∆≅∆,即可证得结论. 【解答】解:设AOB m ∠=︒,COD n ∠=︒, 由题意,得1180mr l π=,2180nr l π=, QBG FH DG CH =,∴180180mr nr ππ=, m n ∴=,即AOB COD ∠=∠,OA Q 、OB 、OC 、OD 都是O e 的半径, OA OB OC OD ∴===,OA OC =Q ,AOB COD ∠=∠,OB OD =,()AOB COD SAS ∴∆≅∆ AB CD ∴=.8.(2020•徐汇区一模)如图,在ABC ∆中,5AB AC ==,6BC =,点D 是边AB 上的动点(点D 不与点AB 重合),点G 在边AB 的延长线上,CDE A ∠=∠,GBE ABC ∠=∠,DE 与边BC 交于点F . (1)求cos A 的值;(2)当2A ACD ∠=∠时,求AD 的长;(3)点D 在边AB 上运动的过程中,:AD BE 的值是否会发生变化?如果不变化,请求:AD BE 的值;如果变化,请说明理由.【分析】(1)作AH BC ⊥于H ,BM AC ⊥于M .解直角三角形求出BM ,AM 即可解决问题. (2)设AH 交CD 于K .首先证明AK CK =,设AK CK x ==,在Rt CHK ∆中,理由勾股定理求出x ,再证明ADK CDA ∆∆∽,理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题. (3)结论::5:6AD BE =值不变.证明ACD BCE ∆∆∽,可得56AD AC BE BC ==. 【解答】解:(1)作AH BC ⊥于H ,BM AC ⊥于M . AB AC =Q ,AH BC ⊥,3BH CH ∴==,4AH ∴=, 1122ABC S BC AH AC BM ∆==Q g g g g ,245BC AH BM AC ∴==g ,75AM ∴==, 7cos 25AM A AB ∴==.(2)设AH 交CD 于K .2BAC ACD ∠=∠Q ,BAH CAH ∠=∠,CAK ACK ∴∠=∠,CK AK ∴=,设CK AK x ==,在Rt CKH ∆中,则有222(4)3x x =-+, 解得258x =,258AK CK ∴==, ADK ADC ∠=∠Q ,DAK ACD ∠=∠, ADK CDA ∴∆∆∽,∴255858AD AK DK CD AC AD ====,设AD m =,DK n =, 则有25258825()8mn m n n ⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得12539m =,625312n =. 12539AD ∴=.(3)结论::5:6AD BE =值不变.理由:GBE ABC ∠=∠Q ,2180BAC ABC ∠+∠=︒,180GBE EBC ABC ∠+∠+∠=︒, EBC BAC ∴∠=∠,EDC BAC ∠=∠Q , EBC EDC ∴∠=∠,D ∴,B ,E ,C 四点共圆,EDB ECB ∴∠=∠,EDB EDC ACD DAC ∠+∠=∠+∠Q ,EDC DAC ∠=∠, EDB ACD ∴∠=∠, ECB ACD ∴∠=∠, ACD BCE ∴∆∆∽,∴56AD AC BE BC ==.9.(2019•杨浦区三模)已知,在ACB ∆和DCE ∆中,90ACB DCE ∠=∠=︒,AC BC =,DC EC =,M 为DE 的中点,连接BE .(1)如图1,当点A 、D 、E 在同一直线上,连接CM ,求证:22AE BECM =-; (2)如图2,当点D 在边AB 上时,连接BM ,求证:222()()22AD BD BM =+.【分析】(1)先证明ACD BCE ∆≅∆,根据全等三角形的性质得出,AD BE =,得出AE AD AE BE DE -=-=,根据直角三角形斜边上的中线性质求出12CM DE =,即可得出结论; (2)同(1)得:ACD BCE ∆≅∆,得出AD BE =,45DAC EBC ∠=∠=︒,得出90ABE ABC EBC ∠=∠+∠=︒,由勾股定理得出222DE BE BD =+,由直角三角形斜边上的中线性质得出2DE BM =,即可得出结论. 【解答】(1)证明:90ACB DCE ∠=∠=︒Q ,AC BC =, 90ACD BCE DCB ∴∠=∠=︒-∠,45BAC ABC ∠=∠=︒, 在ACD ∆和BCE ∆中,AC BCACD BCEDC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()ACD BCE SAS ∴∆≅∆,AD BE ∴=,AE AD AE BE DE ∴-=-=, M Q 为DE 的中点,90DCE ∠=︒,11()2222AE BECM DE AE AD ∴==-=-; (2)证明:同(1)得:ACD BCE ∆≅∆,AD BE ∴=,45DAC EBC ∠=∠=︒,90ABE ABC EBC ∴∠=∠+∠=︒,222DE BE BD ∴=+, M Q 为DE 的中点, 2DE BM ∴=,222224BM BE BD AD BD ∴=+=+,222()()22AD BD BM ∴=+. 10.(2019•静安区二模)已知:如图,ABC ∆内接于O e ,AB AC =,点E 为弦AB 的中点,AO 的延长线交BC 于点D ,连接ED .过点B 作BF DE ⊥交AC 于点F . (1)求证:BAD CBF ∠=∠;(2)如果OD DB =.求证:AF BF =.【分析】(1)由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠,由垂径定理得出AD BC ⊥,BD CD =,证出DE 是ABC ∆的中位线.得出//DE AC ,证出90BFC ∠=︒,由角的互余关系即可得出结论;(2)连接OB .证出ODB ∆是等腰直角三角形,得出45BOD ∠=︒.再由等腰三角形的性质得出OBA OAB ∠=∠.即可得出结论.【解答】(1)证明:如图1所示: AB AC =Q ,ABC C ∴∠=∠, Q 直线AD 经过圆心O ,AD BC ∴⊥,BD CD =, Q 点E 为弦AB 的中点,DE ∴是ABC ∆的中位线.//DE AC ∴,BF DE ⊥Q ,90BPD ∴∠=︒,90BFC ∴∠=︒, 90CBF ACB ∴∠+∠=︒. AB AC =Q , ABC ACB ∴∠=∠,90CBF ABC ∴∠+∠=︒,又AD BC ⊥Q , 90BAD ABC ∴∠+∠=︒, BAD CBF ∴∠=∠;(2)证明:连接OB .如图2所示: AD BC ⊥Q ,OD DB =, ODB ∴∆是等腰直角三角形, 45BOD ∴∠=︒.OB OA =Q , OBA OAB ∴∠=∠. BOD OBA OAB ∠=∠+∠Q ,122.52BAO BOD ∴∠=∠=︒,AB AC =Q ,且AD BC ⊥,245BAC BAO ∴∠=∠=︒. 290∠=︒Q ,即BF AC ⊥,∴在ABF ∆中,904545ABF ∠=︒-︒=︒,ABF BAC ∴∠=∠,AF BF ∴=.11.(2019•嘉定区二模)如图已知:ABC ∆中,AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点,11BC =,12AD =,DFGH 为边长为4的正方形,其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上.(1)求BD 的长度; (2)求cos EDC ∠的值.【分析】(1)由四边形DFGH 为边长为4的正方形得GF AFBD AD=,将相关线段的长度代入计算可得; (2)先求出CD 、AC 的长,再由E 是边AC 的中点知ED EC =,据此得EDC ACD ∠=∠,再根据余弦函数的定义可得答案.【解答】解:(1)Q 四边形DFGH 为顶点在ABD ∆边长的正方形,且边长为4, //GF BD ∴,4GF DF ==,∴GF AFBD AD=, 12AD =Q ,8AF ∴=,则4812BD =, 解得:6BD =;(2)11BC =Q ,6BD =, 5CD ∴=,在直角ADC ∆中,222AC AD DC =+, 13AC ∴=,E Q 是边AC 的中点,ED EC ∴=,EDC ACD ∴∠=∠,∴5cos cos 13EDC ACD ∠=∠=. 12.(2019•松江区二模)如图,已知ABCD Y 中,AB AC =,CO AD ⊥,垂足为点O ,延长CO 、BA 交于点E ,连接DE .(1)求证:四边形ACDE 是菱形;(2)连接OB ,交AC 于点F ,如果OF OC =,求证:22AB BF BO =g .【分析】(1)首先证明四边形AEDC 是平行四边形,再证明AE AC =即可解决问题. (2)证明BAF BOE ∆∆∽,可得BA BFBO BE=解决问题. 【解答】(1)证明:CO BC ⊥Q , 90BCE ∴∠=︒,AB AC =Q , B ACB ∴∠=∠,90AEC B ∠+∠=︒Q ,90ACE ACB ∠+∠=︒, ACE AEC ∴∠=∠,AE AC ∴=,AE AB ∴=,Q 四边形ABCD 是平行四边形,//BE CD ∴,AB CD AE ==,∴四边形AEDC 是平行四边形,AE AC =Q ,∴四边形AEDC 是菱形.(2)解:连接OB 交AC 于F . Q 四边形AEDC 是菱形,AEC ACE ∴∠=∠, OF OC =Q ,OFC OCF AFB ∴∠=∠=∠, AFB AEO ∴∠=∠,ABF OBE ∠=∠Q , BAF BOE ∴∆∆∽,∴BA BFBO BE=, BA BE BF BO ∴=g g ,2BE BA =Q ,22AB BF BO ∴=g .13.(2019•奉贤区二模)已知:如图,正方形ABCD ,点E 在边AD 上,AF BE ⊥,垂足为点F ,点G 在线段BF 上,BG AF =. (1)求证:CG BE ⊥;(2)如果点E 是AD 的中点,连接CF ,求证:CF CB =.【分析】(1)证明AFB BGC ∆≅∆,通过角的代换即可得到90BGC ∠=︒,即CG BE ⊥; (2)先证明AEB FAB ∆∆∽,得到AE AFAB BF=,根据中点线段关系结合比例式推导出FG BG =,又CG BE ⊥,所以CF CB =.【解答】证明:(1)Q 四边形ABCD 是正方形,AB BC ∴=,90ABC ∠=︒.AF BE ⊥Q ,90FAB FBA ∴∠+∠=︒. 90FBA CBG ∠+∠=︒Q , FAB CBG ∴∠=∠.又AF BG =Q , ()AFB BGC SAS ∴∆≅∆. AFB BGC ∴∠=∠.90BGC ∴∠=︒,CG BE ∴⊥.(2)ABF EBA ∠=∠Q ,90AFB BAE ∠=∠=︒,AEB FAB ∴∆∆∽.∴AE AFAB BF=. Q 点E 是AD 的中点,AD AB =,∴12AE AF AB BF ==. AF BG =Q ,∴12BG BF =,即FG BG =. CG BE ⊥Q ,CF CB ∴=.14.(2019•金山区二模)已知:如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,若CAD DBC ∠=∠. (1)求证:四边形ABCD 是正方形.(2)E 是OB 上一点,DH CE ⊥,垂足为H ,DH 与OC 相交于点F ,求证:OE OF =.【分析】(1)由菱形的性质得出//AD BC ,2BAD DAC ∠=∠,2ABC DBC ∠=∠,得出180BAD ABC ∠+∠=︒,证出BAD ABC ∠=∠,求出90BAD ∠=︒,即可得出结论; (2)由正方形的性质得出AC BD ⊥,AC BD =,12CO AC =,12DO BO =,得出90COB DOC ∠=∠=︒,CO DO =,证出ECO EDH ∠=∠,证明()ECO FDO ASA ∆≅∆,即可得出结论.【解答】(1)证明:Q 四边形ABCD 是菱形, //AD BC ∴,2BAD DAC ∠=∠,2ABC DBC ∠=∠, 180BAD ABC ∴∠+∠=︒,CAD DBC ∠=∠Q , BAD ABC ∴∠=∠,2180BAD ∴∠=︒,90BAD ∴∠=︒,∴四边形ABCD 是正方形;(2)证明:Q 四边形ABCD 是正方形, AC BD ∴⊥,AC BD =,12CO AC =,12DO BO =, 90COB DOC ∴∠=∠=︒,CO DO =, DH CE ⊥Q ,垂足为H ,90DHE ∴∠=︒,90EDH DEH ∠+∠=︒,90ECO DEH ∠+∠=︒Q , ECO EDH ∴∠=∠,在ECO ∆和FDO ∆中,90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩,()ECO FDO ASA ∴∆≅∆, OE OF ∴=.15.(2019•奉贤区二模)如图,已知梯形ABCD 中,//AD BC ,90ABC ∠=︒,28BC AB ==,对角线AC 平分BCD ∠,过点D 作DE AC ⊥,垂足为点E ,交边AB 的延长线于点F ,连接CF . (1)求腰DC 的长; (2)求BCF ∠的余弦值.【分析】(1)根据勾股定理求出AC ,求出CE ,解直角三角形求出DE ,根据勾股定理求出DC 即可; (2)根据相似三角形的性质和判定求出AF ,求出CF ,解直角三角形求出即可. 【解答】解:(1)90ABC ∠=︒Q ,28BC AB ==,4AB ∴=,AC ==//AD BC Q , DAC BCA ∴∠=∠, AC Q 平分BCD ∠,DCA ACB ∴∠=∠, DAC DCA ∴∠=∠, AD CD ∴=, DE AC ⊥Q ,1122CE AC ∴==⨯= 在Rt DEC ∆中,90DEC ∠=︒,tan DEDCE CE∠=, 在Rt ABC ∆中,90ABC ∠=︒,41tan 82AB ACB BC ∠===, ∴12DE CE =,CE =QDE ∴在Rt DEC ∆中,由勾股定理得:5DC =; 即腰DC 的长是5;(2)设DF 与BC 相交于点Q ,90FBC FEC ∠=∠=︒Q ,BQF EQC ∠=∠,∴由三角形内角和定理得:AFE ACB∠=∠,90FAD ABC∠=∠=︒Q,AFD BCA∴∆∆∽,∴AD AB AF BC=,5 AD DC==Q,12 ABBC=,∴512 AF=,解得:10AF=,AE CE=Q,FE AC⊥,10CF AF∴==,在Rt BCF∆中,90CBF∠=︒,84 cos105BCBCFCF∠===.16.已知:如图,在ABC∆中,AB BC=,90ABC∠=︒,点D、E分别是边AB、BC的中点,点F、G是边AC的三等分点,DF、EG的延长线相交于点H,连接HA、HC.求证:(1)四边形FBGH是菱形;(2)四边形ABCH是正方形.【分析】(1)由三角形中位线知识可得//DF BG,//GH BF,根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH是菱形;(2)连结BH,交AC于点O,利用平行四边形的对角线互相平分可得OB OH=,OF OG=,又AF CG=,所以OA OC=.再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形,再根据一组邻边相等的菱形即可求解.【解答】证明:(1)Q点F、G是边AC的三等分点,AF FG GC∴==.又Q点D是边AB的中点,//DH BG∴.同理://EH BF .∴四边形FBGH 是平行四边形,连结BH ,交AC 于点O , OF OG ∴=, AO CO ∴=, AB BC =Q ,BH FG ∴⊥,∴四边形FBGH 是菱形;(2)Q 四边形FBGH 是平行四边形, BO HO ∴=,FO GO =.又AF FG GC ==Q ,AF FO GC GO ∴+=+,即:AO CO =.∴四边形ABCH 是平行四边形.AC BH ⊥Q ,AB BC =,∴四边形ABCH 是正方形.17.(2019•普陀区一模)如图,1O e 和2O e 相交于A 、B 两点,12O O 与AB 交于点C ,2O A 的延长线交1O e 于点D ,点E 为AD 的中点,AE AC =,连接OE . (1)求证:11O E O C =;(2)如果1210O O =,16O E =,求2O e 的半径长.【分析】(1)连接1O A ,根据垂径定理得到1O E AD ⊥,根据相交两圆的性质得到1O C AB ⊥,证明Rt △1O EA Rt ≅△1O CA ,根据全等三角形的性质证明结论;(2)设2O e 的半径长为r ,根据勾股定理列出方程,解方程得到答案. 【解答】(1)证明:连接1O A , Q 点E 为AD 的中点, 1O E AD ∴⊥,1O Q e 和2O e 相交于A 、B 两点,12O O 与AB 交于点C , 1O C AB ∴⊥,在Rt △1O EA 和Rt △1O CA 中, 11O A O AAE AC =⎧⎨=⎩, Rt ∴△1O EA Rt ≅△1()O CA HL 11O E O C ∴=;(2)解:设2O e 的半径长为r , 116O E O C ==Q , 21064O C ∴=-=,在Rt △12O EO 中,28O E =,则8AC AE r ==-,在2Rt ACO ∆中,22222O A AC O C =+,即222(8)4r r =-+, 解得,5r =,即2O e 的半径长为5.。
空间几何的计算与证明
空间几何的计算与证明空间几何是研究三维空间中的物体形状、大小、位置等性质的数学学科。
在解决实际问题中,我们常常需要进行空间几何的计算与证明。
本文将介绍一些常见的空间几何计算方法和证明技巧。
一、空间几何计算1. 点到平面的距离计算对于三维空间中的一点P(x,y,z),以及平面Ax+By+Cz+D=0,我们可以利用点P到平面的距离公式来计算二者的距离。
该公式为:d = |Ax+By+Cz+D| / √(A^2+B^2+C^2)例如,给定一个平面2x+y+3z-4=0,点P(1,2,3)到该平面的距离可以计算如下:d = |2*1+1*2+3*3-4| / √(2^2+1^2+3^2)= |2+2+9-4| / √14= 9 / √142. 直线和平面的交点计算对于直线和平面的交点计算,我们需要先求出直线的参数方程和平面的方程,然后解联立方程组即可得到交点的坐标。
例如,假设有一条直线L,其参数方程为:x = x_0 + lty = y_0 + mtz = z_0 + nt另外有一个平面P,其方程为:Ax + By + Cz + D = 0我们可以将直线的参数方程代入平面方程,得到一个关于t的一元二次方程,解该方程即可求得直线和平面的交点的坐标。
3. 多面体的表面积和体积计算对于多面体的表面积和体积计算,常用的方法是利用相应的公式进行计算。
例如,对于一个六面体,其表面积和体积的计算公式如下:六面体的表面积 S = 2(ab+ac+bc)六面体的体积 V = abc其中,a、b、c分别表示六面体的三个相邻棱长。
二、空间几何证明1. 平行线之间的角度在空间几何中,证明两条平行线之间的角度是一个重要问题。
一种常见的证明方法是利用平行线与平行线之间的交线来构造三角形,然后应用三角形的性质进行角度证明。
例如,我们希望证明两条平行直线L1和L2之间的夹角为90度。
我们可以构造一条与L1和L2都垂直的直线L3,然后证明L3与L1、L2之间的夹角都是90度,从而推出L1和L2之间的夹角也是90度。
立体几何证明8条定理
立体几何证明8条定理立体几何是几何学的一个分支,研究的是在三维空间中的图形和体的性质。
在立体几何中有许多定理,其中一些重要的定理包括平行线定理、垂直线定理、欧拉定理、等角定理、切线定理、割线定理、同位角定理和三角形内角和定理等。
下面将详细讨论这些定理:1.平行线定理:如果两条平行线被一组平行线截断,那么它们的对应线段成比例。
这个定理可以用于证明两条线平行。
2.垂直线定理:如果两条直线相交,且其中一条直线垂直于另一条直线,那么相交处的四个角都是直角。
这个定理可以用于证明两条线垂直。
3.欧拉定理:在任意一个凸多面体中,顶点数、棱数和面数之间存在一个关系:顶点数加上面数等于棱数加上2、这个定理被应用于立体几何中的多面体的计算。
4.等角定理:如果两条线分别与一条平行线相交,且其中一对内错角(相对于平行线的两条线之间的两个角)或一个内错角和一个外错角(与平行线的两条线相交形成的一对内角和一对外角)相等,那么这两条线是平行线。
这个定理可以用于证明平行线。
5.切线定理:给定一个圆和一个与圆相切且通过切点的直线,那么切线的切点与切线所跨越的弦的两个端点之间的角是直角。
这个定理可以用于证明圆的性质。
6.割线定理:给定一个圆和一个与圆相交的直线,那么直线与圆的切线所跨越的弦的两个端点之间的角相等。
这个定理也可以用于证明圆的性质。
7.同位角定理:如果两条平行线被一条截线截断,那么同位角(相对于平行线的两条线的每一对内角)相等。
这个定理可以用于证明平行线。
8.三角形内角和定理:三角形的三个内角的度数之和等于180度。
这个定理是三角形的基本性质,可以用于证明其他三角形的性质。
这些定理是立体几何中的一些基本定理,通过运用它们可以推导出其他一些更复杂的定理。
这些定理不仅在几何学中有重要的应用,而且在物理学、工程学等其他学科中也有广泛的应用。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中,立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时,我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形,我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说,我们可以按照以下步骤进行证明:1. 画出平行四边形的底边和高线;2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形,我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说,我们可以按照以下步骤进行证明:1. 画出等腰三角形;2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明,即等腰三角形的两边相等,所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性,如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说,我们可以按照以下步骤进行证明:1. 给定两条线段;2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率,然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质,如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说,我们可以按照以下步骤进行证明:1. 给定两个或多个三角形;2. 证明对应角相等或对应边成比例,以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质,如共线的三个点必然共面等。
具体来说,我们可以按照以下步骤进行证明:1. 给定多个点的坐标或描述;2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。
七年级几何证明和计算题入门.doc
七年级几何证明和计算题入门几何证明和计算题是七年级数学的一个重点,因为刚接触这门学科,很多学生反映不知道如何着手分析解题,为了帮助学生们快速掌握学会这类题型,本文就几个典型例题详细讲解解题思路和解题全过程。
例题1如图,已知:点A在射线BG上,∠1=∠2,∠1+∠3=180°,∠EAB=∠BCD.求证:EF∥CD.1、根据需要证明的结论添加辅助线证明:EF∥CD,需要构造同位角、内错角或同旁内角,因此考虑添加辅助线,延长AE交CD于M。
2、根据需要证明的结论反推需要先证明的结论证明:EF∥CD,需要先证明∠3=∠EMD;根据题目中的条件:∠1+∠3=180°,需要先证明∠EMD +∠3=180°;根据平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,需要先证明BG∥CD。
3、根据题目中的条件推断可以得到的结论由题目中的条件:∠1=∠2,根据平行线的判定:同位角相等,两直线平行,则AE∥BC;根据平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,则∠EAB+∠2=180°;根据题目中的条件:∠EAB=∠BCD,则∠BCD+∠2=180°;根据平行线的判定:同旁内角互补,两直线平行,则BG ∥CD。
4、具体证明过程延长AE交CD于M∵∠1=∠2∴AE∥BC∴∠EAB+∠2=180°∵∠EAB=∠BCD∴∠BCD+∠2=180°∴BG∥CD∴∠1+∠EMD=180°∵∠1+∠3=180°∴∠EMD=∠3∴EF∥CD例题2如图,AB∥CD,∠CDE=119°,GF交∠DEB的平分线EF于点F,∠AGF=130°,求∠F1、根据题目需要求解的值反推需要先求解的值需要求解∠F,由题目中的条件:∠AGF为△EFG的外角,根据三角形外角的性质:三角形的外角等于不相邻两个内角的和,则∠AGF=∠AEF+∠F,即∠F=∠AGF-∠AEF,因此,需要先求解∠AEF;根据题目中的条件:∠AEF=∠AED+∠DEF,需要先求解∠AED,∠DEF;由题目中的条件EF为∠DEB的平分线,根据角平分线的性质:角平分线可以得到两个相等的角,则∠DEF=1/2∠DEB,因此需要先求解∠DEB。
初中几何证明题(精选多篇)
初中几何证明题(精选多篇)第一篇:初中几何证明题初中几何证明题己知m是△abc边bc上的中点,,d,e分别为ab,ac上的点,且dm⊥em。
求证:bd+ce≥de。
1.延长em至f,使mf=em,连bf.∵bm=cm,∠bmf=∠cme,∴△bfm≌△cem(sas),∴bf=ce,又dm⊥em,mf=em,∴de=df而∠dbf=∠abc+∠mbf=∠abc+∠acb<180°,∴bd+bf>df,∴bd+ce>de。
2.己知m是△abc边bc上的中点,,d,e分别为ab,ac上的点,且dm⊥em。
求证:bd+ce≥de如图过点c作ab的平行线,交dm的延长线于点f;连接ef因为cf//ab所以,∠b=∠fcm已知m为bc中点,所以bm=cm又,∠bmd=∠cmf所以,△bmd≌△cmf(asa)所以,bd=cf那么,bd+ce=cf+ce (1)且,dm=fm而,em⊥dm所以,em为线段df的中垂线所以,de=ef在△cef中,很明显有ce+cf>ef (2)所以,bd+ce>de当点d与点b重合,或者点e与点c重合时,仍然采用上述方法,可以得到bd+ce=de综上就有:bd+ce≥de。
3.证明因为∠dme=90°,∠bmd<90°,过m作∠bmd=∠fmd,则∠cme=∠fme。
截取bf=bc/2=bm=cm。
连结df,ef。
易证△bmd≌△fmd,△cme≌△fme所以bd=df,ce=ef。
在△dfe中,df+ef≥de,即bd+ce≥de。
当f点落在de时取等号。
另证延长em到f使mf=me,连结df,bf。
∵mb=mc,∠bmf=∠cme,∴△mbf≌△mce,∴bf=ce,df=de,在三角形bdf中,bd+bf≥df,即bd+ce≥de。
分析已知、求证与图形,探索证明的思路。
对于证明题,有三种思考方式:(1)正向思维。
平面几何习题大全
平面几何习题大全(总39页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--平面几何习题大全下面的平面几何习题均是我两年来收集的,属竞赛范围。
共分为五种类型,1,几何计算;2,几何证明;3,共点线与共线点;4,几何不等式;5,经典几何。
几何计算-1命题设点D是Rt△ABC斜边AB上的一点,DE⊥BC于点E,DF⊥AC于点F。
若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是多少解:设DF=CE=x,DE=CF=y. ∵Rt△BED∽Rt△DFA, ∴BE/DE=DF/AF<==> 10/y=x/15 <==> xy=150.所以,矩形DECF的面积150.几何证明-1命题在圆内接四边形ABCD中,O为圆心,己知∠AOB+∠COD=180.求证:由O向四边形ABCD所作的垂线段之和等于四边形ABCD的周长的一半。
证明(一) 连OA,OB,OC,OD,过圆心O点分别作AB,BC,CD,DA的垂线,垂足依次为P,Q,R,S。
易证ΔAPO≌ΔORD,所以 DR=OP,AP=OR,故 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
证明(二) 连OA,OB,OC,OD,因为∠AOB+∠COD=180°,OA=OD,所以易证RtΔAPO≌RtΔORD,故得 DR=OP,AP=OR,即 OP+OR=DR+AP=(CD+AB)/2。
同理可得:OQ+OS=(DA+BC)/2。
因此有 OP+OQ+OR+OS=(AB+BC+CD+DA)/2。
几何不等式-1命题设P是正△ABC内任意一点,△DEF是P点关于正△ABC的内接三角形[AP,BP,CP延长分别交BC,CA,AB于D,E,F],记面积为S1;△KNM是P点关于正△ABC的垂足三角形[过P点分别作BC,CA,AB垂线交于K,N,M],记面积为S2。
中考几何证明与计算(1)
专题----<<几何>>证明与计算(1)1,在正方形ABCD中,AB=4 ,AC为对角线,E为AC上一点,连接EB、ED.(1)求证:△BEC≌△DEC;F,当∠BED=120°时,求△AEF的面积2, 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连结AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.(1)证明:△ABE≌△DAF;(2)若∠AGB=30°,求EF的长.3,已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE = AF.(1)求证:BE = DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM = OA,连接EM、FM.判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.4, 如图,一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点,试探究线段AE与EF的数量关系,并说明理由。
125. 在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 上,且∠BAE=30º,∠DAF=15 º.(1)求证: EF=BE+DF ; (2)若AB=3,求△AEF 的面积。
6,如图,已知在正方形ABCD 中,AB=2,P 是边BC 上的任意一点,E 是边BC 延长线上一点,E 是边BC 延长线上一点,连接AP ,过点P 作PF 垂直于AP ,与角DCE 的平分线CF 相交于点F ,连接AF ,于边CD 相交于点G ,连接PG 。
(1)求证:AP=FP(2)当BP 取何值时,PG//CFE7,如图,在ABC ∆中,点D 为射线BC 上一动点,连接AD ,以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF .如果,90,AB AC BAC =∠=//点D 在线段BC 上运动.且45BCA ∠= 时,①请你判断线段CF BD 、之间的位置..关系,并说明理由(要求写出证明过程).②若,3,24==CF AC 求正方形ADEF 的边长(要求写出计算过程).8,如图,已知正方形ABCD 的边长是2,E 是AB 的中点,延长BC 到点F 使CF =AE . (1)若把ADE △绕点D 旋转一定的角度时,能否与CDF △重合?请说明理由. (2)现把DCF △向左平移,使DC 与AB 重合,得ABH △,AH 交ED 于点G .求证:AH ED ⊥,并求AG 的长FE D C B AF H E B C。
中考数学几何压轴题解题技巧
初中几何证明技巧及经典试题证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5 .直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆(或等圆)中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
门.两前项(或两后项)相等的比例式中的两后项(或两前项)相等。
*12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。
4•两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5•同角(或等角)的余角(或补角)相等。
*6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
*7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
*9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
证明两条直线互相垂直1•等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。
2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。
4•邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
*10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
空间几何证明举例
空间几何证明举例1.(典型例题)如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=DC ,E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 于点F.(1)证明:PA//平面EDB ; (2)证明:BP ⊥平面EFD ;[对症下药](1)如图,连接AC 、AC 交BD 于O ,连接EO 。
∵底面ABCD 为正方形,∴O 为AC 的中点,在△PAC 中,EO是中位线,∴PA//EO ,又EO ⊂平面EDB ,且PA ⊄平面EDB ,所以PA//平面EDB ;(2)∵PD ⊥平面ABCD ,∴平面PDC ⊥平面ABCD ,又底面ABCD 为正方形,∴BC ⊥CD ,∴BC ⊥平面PCD ,∴BC ⊥DE ,又DE ⊥PC ,∴DE ⊥平面PBC ,∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ,又EF ⊥PB ,∴DF ⊥PB ,又PB ⊥EF ,∴PB ⊥平面DEF ;(3)由(2)知,PB ⊥DF ,故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。
由(2)知,DE ⊥EF ,PD ⊥DB ,设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ,BD=2a ,PB=3a ,PC=2a,DE=21PC=a 22,在Rt △PDBk ,OF=a PB BD PD 36=∙.在Rt △EFD 中,sin ∠EFD=23=DF DE ,∴∠EFD=.3π所以二面角C —PB —D 的大小为.3π2.(典型例题)如图10-4所示,在正三棱锥A —BCD 中,∠BAC=30°,AB=a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。
(1)判定四边形EFGH 的形状,并说明理由;(2)设P 是棱AD 上的点,当AP 为何值时,平面PBC ⊥平面EFGH ,请给出证明。
[专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错,正三棱锥的相对的棱互相垂直;正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。
几何证明与应用
几何证明与应用几何学是研究空间和形状的数学学科,它的基础是几何证明。
几何证明是通过逻辑推理和几何性质的运用来展示和证明几何定理的过程。
在我们的日常生活和各个领域中,几何证明都具有广泛且重要的应用。
本文将探讨几何证明的基本原理和它在实际生活中的应用。
一、几何证明的基本原理1.公设法:几何证明的基础是一些公设,它们被作为起始点,不能被证明。
例如,直线上的任意两点可以互相连接。
公设法在解决几何问题时经常被使用,但需要特别注意合理性。
2.辅助线法:辅助线法是几何证明中常用的一种方法。
它通过添加辅助线,将复杂的几何问题转化为简单的几何问题来解决。
辅助线法可以帮助我们发现隐藏的几何性质,从而推导出几何定理。
3.等量代换法:等量代换法是利用等量代换的思想来进行几何证明。
等量代换是指将一个图形替换成另一个等量的图形,并保持其他条件不变。
通过等量代换,我们可以将证明复杂的几何问题转化为证明简单的几何问题。
二、几何证明在实际生活中的应用1.建筑设计:几何证明在建筑设计中有着广泛的应用。
例如,在设计一座桥梁时,必须保证桥梁的稳定性和承载能力。
通过几何证明,可以确定各个部分的尺寸和角度,以确保桥梁的结构坚固。
2.地理测量:几何证明在地理测量中起着重要的作用。
例如,在测量地球上的距离时,可以利用几何证明来计算地球表面上两点之间的最短距离,从而确定最佳的航线或者公路路径等。
3.机械制造:几何证明在机械制造中也有着重要的应用。
例如,在设计一台汽车发动机时,需要准确计算和设计各个零件的尺寸和形状。
几何证明可以帮助工程师们确定各个部件的位置和相互关系,确保发动机的正常运转。
4.艺术设计:几何证明也在艺术设计中发挥着重要的作用。
例如,在绘画和雕塑中,艺术家们常常需要准确地构造出各种形状和比例。
几何证明可以帮助艺术家们理解和运用各种几何原理,以创作出美观而有吸引力的作品。
总结:几何证明是几何学的基础,它通过逻辑推理和几何性质的运用来展示和证明几何定理。
立体几何空间奔驰定理
立体几何空间奔驰定理引言:立体几何是数学中的一个重要分支,研究空间中的图形、体积和位置关系。
奔驰定理是立体几何中的一个重要定理,它揭示了平行四边形的性质与平行四边形对角线之间的关系。
本文将介绍奔驰定理的定义、证明方法以及相关应用。
一、奔驰定理的定义奔驰定理是指平行四边形对角线之间的关系定理。
在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,那么有以下结论:1. 对角线互相平分:即AO与CO互相平分,BO与DO互相平分。
2. 对角线互相垂直:即AO与BO互相垂直,CO与DO互相垂直。
3. 对角线平方和相等:即AC² + BD² = 2(AB² + BC²)。
二、奔驰定理的证明方法下面将介绍奔驰定理的证明方法,主要利用向量的性质来进行推导。
证明:设向量OA=a,向量OB=b,向量OC=c,向量OD=d。
由平行四边形的性质可知,向量OC=a+b,向量OD=a+d。
根据向量平行四边形法则,有向量OC平方等于向量OA加向量OB的平方,即|a+b|²=|a|²+|b|²+2a·b。
同理,有向量OD平方等于向量OA加向量OD的平方,即|a+d|²=|a|²+|d|²+2a·d。
由于平行四边形的性质,有向量OC平方等于向量OD平方,即|a+b|²=|a+d|²。
将上述两个式子相等的条件展开,得到|a|²+|b|²+2a·b=|a|²+|d|²+2a·d。
整理可得2a·b=2a·d,即a·b=a·d。
由于向量a不为零向量,所以可以得到b=d。
因此,平行四边形的对角线互相平分,即AO与CO互相平分,BO与DO互相平分。
同理,可以证明平行四边形的对角线互相垂直,即AO与BO互相垂直,CO与DO互相垂直。
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几何证明计算精选1、已知△ABC 中,∠ACB=90°,AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点,PM 、QN 的中点分别为E 、F ,求证:EF ∥AB .2、如图所示,已知O 为正三角形ABC 的高AD 、BE 、CF 的交点,P 是△ABC 所在平面上的任一点,作PL ⊥AD 于L ,PM ⊥BE 于M ,PN ⊥CF 于N .试证:PL 、PM 、PN 中较大的一条线段等于其它两条线段的和.3、如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC ,BD交于点S ,且DS=2SB ,P 为AC 的中点. 求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC .4、如图,已知△ABC 中,∠B=90°,AB=8cm ,BC=6cm ,点P 从点A 开始沿△ABC 的边做逆时针运动,且速度为每秒1cm ,点Q 从点B 开始沿△ABC 的边做逆时针运动,且速度为每秒2cm ,它们同时出发; (1)在运动过程中△PQB 能形成等腰三角形吗?若能则求出几秒钟后第一次形成等腰三角形;若不能则说明理由. (2)从出发几秒后,直线PQ 第一次把原三角形周长分成相等的两部分?5、如图,将长方形纸片的两角分别折叠,使顶点B 落在B′处,顶点A 落在A′处,EC 为折痕,点E 、A′、B′在同一条直线上.(1)猜想折痕EC 和ED 的位置关系,并说明理由;(2)ED 的反向延长线交CA 交于F ,若∠BED=32°,求∠AEF 和∠A′EC 的度数.6、小知识:如图,我们称两臂长度相等(即CA=CB )的圆规为等臂圆规.当等臂圆规的两脚摆放在一条直线上时,若张角∠ACB=x°,则底角∠CAB=∠CBA=(90-x/2)°.请运用上述知识解决问题:如图,n 个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上,其张角度数变化如下:∠A 1C 1A 2=160°,∠A 2C 2A 3=80°,∠A 3C 3A 4=40°,∠A 4C 4A 5=20°,…(1)①由题意可得∠A 1A 2C 1=②若A 2M 平分∠A 3A 2C 1,则∠MA 2C 2= (2)∠A n+1A n C n = °(用含n 的代数式表示);(3)当n≥3时,设∠A n-1A n C n-1的度数为a ,∠A n+1A n C n-1的角平分线A n N 与A n C n 构成的角的度数为β,那么a 与β之间的等量关系是 ,请说明理由.(提示:可以借助下面的局部示意图)7、在△ABC 中,AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13,求这个三角形的面积.小华同学在解答这道题时,先画一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC (即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示.这样不需求△ABC 的高,而借用网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法. (1)△ABC 的面积为 :(2)若△DEF 三边的长分别为5、22、17,请在图1的正方形网格中画出相应的△DEF ,并利用构图法求出它的面积.(3)如图2,一个六边形的花坛被分割成7个部分,其中正方形PRBA ,RQDC ,QPFE 的面积分别为26、25、17,且△PQR 、△BCR 、△DEQ 、△AFP 的面积相等,求六边形花坛ABCDEF 的面积.8、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AM⊥AD交直线BC于M,若∠BAC=36°,BM=AB+AC.求∠ABC的度数.9、如图1,Rt△ABC≌Rt△EDF,∠ACB=∠F=90°,∠A=∠E=30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转,DE,DF分别交线段AC于点M,K.(1)观察:①如图2、图3,当∠CDF=0°或60°时,AM+CK MK(填“>”,“<”或“=”);②如图4,当∠CDF=30°时,AM+CK MK(只填“>”或“<”);(2)猜想:如图1,当0°<∠CDF<60°时,AM+CK MK,证明你所得到的结论;(3)如果MK2+CK2=AM2,请直接写出∠CDF的度数和MK/AM的值.10、在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90°,则∠BCE= 度;(2)设∠BAC=α,∠BCE=β.①如图2,当点D在线段BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请说明理由;②当点D在直线BC上移动,则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.11、(1)已知:如图①,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=60°,求证:①AC=BD;②∠APB=60度;(2)如图②,在△AOB和△COD中,若OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,则AC与BD间的数量关系式为;∠APB的大小为(3)如图③,在△AOB和△COD中,若OA=k•OB,OC=k•OD(k>1),∠AOB=∠COD=α,则AC与BD 间的数量关系式为;∠APB的大小为12、如图,以O为原点的直角坐标系中,A点的坐标为(0,1),直线x=1交x轴于点B.P为线段AB上一动点,作直线PC⊥PO,交直线x=1于点C.过P点作直线MN平行于x轴,交y轴于点M,交直线x=1于点N.(1)当点C在第一象限时,求证:△OPM≌△PCN;(2)当点C在第一象限时,设AP长为m,四边形POBC的面积为S,请求出S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;(3)当点P在线段AB上移动时,点C也随之在直线x=1上移动,△PBC能否成为等腰三角形?如果可能,求出所有能使△PBC成为等腰三角形的点P的坐标;如果不可能,请说明理由.13、如图①、②、③中,点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点.(1)求图①中,∠APD的度数(2)图②中,∠APD的度数为,图③中,∠APD的度数为(3)根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况.若能,写出推广问题和结论;若不能,请说明理由.14、如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连接BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A1B1P,连接AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.(1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;(2)如图2,设∠ABP=β.当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP 全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为S,求S 关于x的函数关系式.15、如图①,将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开,得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起.(1)操作:如图②,将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合),FE交DA于点G(G点不与D点重合).求证:BH•GD=BF2(2)操作:如图③,△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过点A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG.探究:FD+DG= .请予证明.16、已知矩形纸片ABCD中,AB=2,BC=3.操作:将矩形纸片沿EF折叠,使点B落在边CD上.探究:(1)如图1,若点B与点D重合,你认为△EDA1和△FDC全等吗?如果全等给出证明,如果不全等请说明理由;(2)如图2,若点B与CD的中点重合,求△FCB1和△B1DG的周长之比.17、阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 相交于点O .若梯形ABCD 的面积为1,试求以AC ,BD ,AD+BC 的长度为三边长的三角形的面积.小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ,得到的△BDE 即是以AC ,BD ,AD+BC 的长度为三边长的三角形(如图2).参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题: 如图3,△ABC 的三条中线分别为AD ,BE ,CF .(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD ,BE ,CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);(2)若△ABC 的面积为1,则以AD ,BE ,CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 .18、在▱ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ,交直线DC 于点F . (1)在图1中证明CE=CF ;(2)若∠ABC=90°,G 是EF 的中点(如图2),直接写出∠BDG 的度数;(3)若∠ABC=120°,FG ∥CE ,FG=CE ,分别连接DB 、DG (如图3),求∠BDG 的度数.19、如图,在等腰梯形ABCD 中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P 从点B 出发沿BC 向点C 运动,动点Q 同时以相同速度从点C 出发沿CD 向点D 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.(1)求AB 的长;(2)设BP=x ,问当x 为何值时△PCQ 的面积最大,并求出最大值;(3)探究:在AB 边上是否存在点M ,使得四边形PCQM 为菱形?请说明理由.20、如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O (0,0),A (8,0),B (4,4),C (0,4),直线l :y=x+b 保持与四边形OABC 的边交于点M 、N (M 在折线AOC 上,N 在折线ABC 上).设四边形OABC 在l 右下方部分的面积为S 1,在l 左上方部分的面积为S 2,记S 为S 1、S 2的差(S≥0). (1)求∠OAB 的大小;(2)当M 、N 重合时,求l 的解析式;(3)当b≤0时,问线段AB 上是否存在点N 使得S=0?若存在,求b 的值;若不存在,请说明理由; (4)求S 与b 的函数关系式.21、如图,ABCD 是一张边AB 长为2,边AD 长为1的矩形纸片,沿过点B 的折痕将A 角翻折,使得点A 落在边CD 上的点A′处,折痕交边AD 于点E . (1)求∠DA′E 的大小; (2)求△A′BE 的面积.22、如图(1),在直角△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F ,若AC=mBC ,CE=nEA (m ,n 为实数).试探究线段EF 与EG 的数量关系. (1)如图(2),当m=1,n=1时,EF 与EG 的数量关系是 . 证明:(2)如图(3),当m=1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 . 证明:(3)如图(1),当m ,n 均为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是 .(写出关系式,不必证明)23、情境观察将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△A′C′D,如图1所示.将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合,并绕点A 按逆时针方向旋转,使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上,如图2所示. 观察图2可知:与BC 相等的线段是 ,∠CAC′= °.问题探究如图3,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论.拓展延伸如图4,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME 和矩形ACNF ,射线GA 交EF 于点H .若AB=kAE ,AC=kAF ,试探究HE 与HF 之间的数量关系,并说明理由.24、如图,已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x 的图象交于点A ,且与x 轴交于点B . (1)求点A 和点B 的坐标;(2)过点A 作AC ⊥y 轴于点C ,过点B 作直线l ∥y 轴.动点P 从点O 出发,以每秒1个单位长的速度,沿O-C-A 的路线向点A 运动;同时直线l 从点B 出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l 交x 轴于点R ,交线段BA 或线段AO 于点Q .当点P 到达点A 时,点P 和直线l 都停止运动.在运动过程中,设动点P 运动的时间为t 秒.①当t 为何值时,以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8?②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.25、已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F .(1)特殊发现:如图1,若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点.求证:菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心;(2)若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动.记等边△AEF 的外心为点P .①猜想验证:如图2.猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上,并加以证明;②拓展运用:如图3,当△AEF 面积最小时,过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ,交边DC 的延长线于点N ,试判断1DM+1DN 是否为定值.若是,请求出该定值;若不是.请说明理由.26、如图,在四边形ABCD 中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D . (1)求证:四边形ABCD 是平行四边形;(2)若AB=3cm ,BC=5cm ,AE=13AB ,点P 从B 点出发,以1cm/s 的速度沿BC→CD→DA 运动至A 点停止,则从运动开始经过多少时间,△BEP 为等腰三角形?27、如图1,O 为正方形ABCD 的中心,分别延长OA 、OD 到点F 、E ,使OF=2OA ,OE=2OD ,连接EF .将△EOF 绕点O 逆时针旋转α角得到△E 1OF 1(如图2). (1)探究AE 1与BF 1的数量关系,并给予证明; (2)当α=30°时,求证:△AOE 1为直角三角形.28、如图①,在矩形ABCD 中,将矩形折叠,使B 落在边AD (含端点)上,落点记为E ,这时折痕与边BC 或者边CD (含端点)交于F ,然后展开铺平,则以B 、E 、F 为顶点的三角形△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD 的任意一个“折痕△BEF”是一个 三角形 (2)如图②、在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,,当它的“折痕△BEF”的顶点E 位于AD 的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F 的坐标;(3)如图③,在矩形ABCD 中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E 的坐标?若不存在,为什么?29、已知:在△ABC 中,BC=2AC ,∠DBC=∠ACB ,BD=BC ,CD 交线段AB 于点E . (1)如图l ,当∠ACB=90°时,则线段DE 、CE 之间的数量关系为 ;(2)如图2,当∠ACB=120°时,求证:DE=3CE ;(3)如图3,在(2)的条件下,点F 是BC 边的中点,连接DF ,DF 与AB 交于G ,△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称(点B 的对称点是点K ,延长DK 交AB 于点H .若BH=10,求CE 的长.30、认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.探究1:如图1,在△ABC 中,O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点,通过分析发现∠BOC=90°+1/2∠A ,理由如下:∵BO 和CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线 ∴∠1=1/2∠ABC ,∠2=1/2∠ACB ∴∠1+∠2=1/2(∠ABC+∠ACB) 又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠1+∠2=1/2(180°-∠A)=90°-12∠A∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-1/2∠A )=90°+1/2∠A探究2:如图2中,O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点,试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系?请说明理由.探究3:如图3中,O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点,则∠BOC 与∠A 有怎样的关系?(只写结论,不需证明) 结论:。