2012届高考数学 平面向量的概念及线性运算 复习测试卷
高考数学刷题首选卷 考点测试 平面向量的概念及线性运算 理含解析.doc
考点测试26 平面向量的概念及线性运算高考概览考纲研读1．了解向量的实际背景2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3．理解向量的几何表示4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6．了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)．正确的个数是( )A．2 B．3 C．4 D．5答案 D解析由零向量和相反向量的性质知①②③④⑤均正确．2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k( )A．共线 B．不共线C．共线且同向 D．不一定共线答案 D解析如m∥0，0∥k，但k与m可能共线也可能不共线，故选D．3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )A．0B．C．D．答案 D解析＋＋＝＋＋＝．故选D．4．下列命题正确的是( )A．若|a|＝|b|，则a＝±b B．若|a|>|b|，则a>bC．若a∥b，则a＝b D．若|a|＝0，则a＝0答案 D解析对于A，当|a|＝|b|，即向量a，b的模相等时，方向不确定，故a＝±b不一定成立；对于B，向量的模可以比较大小，但向量不可以比较大小，B不正确；C显然不正确．故选D．5．关于平面向量，下列说法正确的是( )A．零向量是唯一没有方向的向量B．平面内的单位向量是唯一的C．方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D．共线向量就是相等向量答案 C解析对于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A不正确；对于B，单位向量的模为1，其方向可以是任意方向，故B不正确；对于C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故C正确；对于D，由共线向量和相等向量的定义可知D不正确，故选C．6．已知m，n∈R，a，b是向量，有下列命题：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n．其中正确的是( )A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②答案 D解析由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以①②正确；当m＝0时，a，b不一定相等，当a＝0时，m，n未必相等，所以③④错误．故选D．7．已知向量a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b( )A．一定共线B．一定不共线C．当且仅当e1与e2共线时共线D．当且仅当e1＝e2时共线答案 C解析由a＋2b＝5e1，2a－b＝5e2可知，当且仅当e1与e2共线时，两向量共线．故选C．8．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3答案 D解析①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选D．9．已知向量a，b是两个不共线的向量，若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则实数λ的值为( )A．－4 B．－ C． D．4答案 B解析因为向量a，b是两个不共线的向量，所以若向量m＝4a＋b与n＝a－λb共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－，故选B．10．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为( )A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1C．λμ＝－1 D．λμ＝1答案 D解析∵A，B，C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴∴λμ＝1，故选D．11．已知点M是△ABC的边BC的中点，点E在边AC上，且＝2，则＝( )A．＋ B．＋C．＋ D．＋答案 C解析如图，∵＝2，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋．故选C．12．已知在四边形ABCD中，O是四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，＝a－b＋c，则四边形ABCD的形状为( )A．梯形 B．正方形C．平行四边形 D．菱形答案 C解析因为＝a－b＋c，所以＝c－b，又＝c－b，所以∥且||＝||，所以四边形ABCD是平行四边形．故选C．二、高考小题13．(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )A．＝－＋ B．＝－C．＝＋ D．＝－答案 A解析＝＋＝＋＋＝＋＝＋(－)＝－＋．故选A．14．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( ) A．－ B．－C．＋ D．＋答案 A解析根据向量的运算法则，可得＝－＝－＝－(＋)＝－，故选A．15．(2015·安徽高考)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )A．|b|＝1 B．a⊥bC．a·b＝1 D．(4a＋b)⊥答案 D解析∵＝2a，＝2a＋b，∴a＝，b＝－＝，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴|b|＝2，a·b＝·＝－1，故a，b不垂直，4a＋b＝2＋＝＋，故(4a＋b)·＝(＋)·＝－2＋2＝0，∴(4a ＋b)⊥，故选D．16．(2015·北京高考)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝．若＝x＋y，则x＝________；y ＝________．答案－解析如图在△ABC中，＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(－)＝－．∴x＝，y＝－．三、模拟小题17．(2018·河北张家口月考)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )A．0B．C．D．答案 A解析在正六边形ABCDEF中，CD∥AF，CD＝AF，所以＋＋＝＋＋＝＋＝0，故选A．18．(2018·邯郸摸底)如图，在△ABC中，已知D为边BC的中点，E，F，G依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若＋＝4，则( )A．点P与图中的点D重合B．点P与图中的点E重合C．点P与图中的点F重合D．点P与图中的点G重合答案 C解析由平行四边形法则知＋＝2，又由＋＝4知2＝4，即＝2，所以P为AD的中点，即点P与点F重合．故选C．19．(2018·怀化一模)已知向量a，b不共线，向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线答案 B解析因为＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，所以，共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选B．20．(2018·河南中原名校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3E，F为AE的中点，则＝( )A．－ B．－C．－＋ D．－＋答案 C解析＝＋＝＋＝－＋＋＋＝－＋＋＋＝－＋＋＋(＋＋)＝－＋．故选C．21．(2018·深圳模拟)如图所示，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )A． B．C． D．2答案 B解析因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋＋μ(－＋)＝(λ－μ)＋λ＋μ，且＝＋，所以得所以λ＋μ＝，故选B．22．(2018·福建高三4月质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝．下列关系中正确的是( )A．－＝ B．＋＝C．－＝ D．＋＝答案 A解析由题意得，－＝－＝＝＝，所以A正确；＋＝＋＝＝，所以B错误；－＝－＝＝，所以C错误；＋＝＋，＝＝－，若＋＝，则＝0，不符合题意，所以D错误．故选A．23．(2018·银川一模)设点P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则＋＝________．答案0解析因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0．24．(2018·衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．答案解析设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x －y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(2018·山东莱芜模拟)如图，已知△OCB中，B，C关于点A对称，OD∶DB＝2∶1，DC 和OA交于点E，设＝a，＝b．(1)用a和b表示向量，；(2)若＝λ，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，得＋＝2．∴＝2－＝2a－b，∴＝－＝(2a－b)－b＝2a－b．(2)∵∥，＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b，∴＝，∴λ＝．2．(2018·河南安阳模拟)如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB 上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．解∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ．又∵＝，∴＋λ＝，即λ＝，∴λ＝．。
高考数学一轮复习 第六章 平面向量与复数 第1节 平面向量的概念及线性运算练习-人教版高三全册数学试
第1节 平面向量的概念及线性运算[A 级 基础巩固]1．(多选题)已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →，其中结果为零向量的是()A ．①B ．②C ．③D ．④解析：由题知结果为零向量的是①④. 答案：AD2．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是()A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b解析：由a |a |＋b |b |＝0得a |a |＝－b |b |≠0，即a ＝－b|b |·|a |≠0，则a 与b 共线且方向相反，因此当向量a 与向量b 共线且方向相反时，能使a |a |＋b|b |＝0成立．观察选项，C 项中a ，b 共线且方向相反． 答案：C3．已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则下列一定共线的三点是() A ．A ，B ，C B ．A ，B ，D C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D解析：因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，又AB →，AD →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：B4．在△ABC 中，G 为重心，记AB →＝a ，AC →＝b ，则CG →＝() A.13a －23b B.13a ＋23b C.23a －13b D.23a ＋13b 解析：因为G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13a ＋13b ，所以CG →＝CA →＋AG →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b .答案：A5．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是() A ．a 与λa 的方向相反B ．a 与λ2a 的方向相同 C ．|－λa |≥|a | D ．|－λa |≥|λ|·a解析：对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．答案：B6．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则() A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上解析：因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上． 答案：B7.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为O 为BC 的中点，所以AO →＝12(AB →＋AC →)＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n2AN →，因为M ，O ，N 三点共线，所以m 2＋n2＝1，所以m ＋n ＝2.答案：B8．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值X 围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析：设CO →＝yBC →，因为AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. 因为BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，所以y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， 因为AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，所以x ＝－y ，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0. 答案：D9.如图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量OA →相等的向量有________个．解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易知与向量OA →相等的向量有CB →，DO →，EF →，共3个．答案：310．(2020·武邑中学质检)在锐角△ABC 中，CM →＝3 MB →，AM →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则xy＝________．解析：由题设可得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故xy ＝3.答案：311．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________． 解析：因为λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝ta ＋2tb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，t ＝12.答案：1212．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，因为DE →＝λ1AB →＋λ2AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案：12[B 级 能力提升]13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14 C ．1 D.516解析：DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58.答案：A14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值X 围是()A ．(0，1)B ．(1，＋∞)C ．(1， 2 ]D ．(－1，0) 解析：设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ， 所以λ＋μ>1. 答案：B15．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．解析：取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，所以OB →＝－OD →，所以O 是AC 边上的中线BD 的中点， 所以S △ABC ＝2S △OAC ，所以△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1. 答案：2∶1[C 级 素养升华]16．(多选题)(2020·某某四校联考)如图所示，在△ABC 中，点D 在边BC 上，且CD ＝2DB ，点E 在边AD 上，且AD ＝3AE ，则()A.CE →＝29AB →＋89AC →B.CE →＝29AB →－89AC →C.CE →＝13AD →＋AC →D.CE →＝13AD →－AC →解析：因为CE →＝CA →＋AE →，AE →＝13AD →，AD →＝AB →＋BD →，BD →＝13BC →，BC →＝BA →＋AC →，所以CE →＝13AD →－AC →，BD →＝13(BA →＋AC →)，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BA →＋13AC →， 所以AE →＝13(AB →＋13BA →＋13AC →)，所以CE →＝CA →＋13AB →＋19BA →＋19AC →＝13AB →＋19BA →＋CA →＋19AC →＝29AB →－89AC →. 答案：BD素养培育直观想象——共线向量定理的推广(自主阅读)共线定理：已知PA →，PB →为平面内两个不共线的向量，设PC →＝xPA →＋yPB →，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1.推广形式：如图所示，直线DE ∥AB ，C 为直线DE 上任一点，设PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)．当直线DE 不过点P 时，直线PC 与直线AB 的交点记为F ，因为点F 在直线AB 上，所以由三点共线结论可知，若PF →＝λPA →＋μPB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1.由△PAB 与△PED 相似，知必存在一个常数m ∈R ，使得PC →＝mPF →，则PC →＝mPF →＝mλPA →＋mμPB →.又PC →＝xPA →＋yPB →(x ，y ∈R)， 所以x ＋y ＝mλ＋mμ＝m . 以上过程可逆．因此得到结论：PC →＝xPA →＋yPB →， 则x ＋y ＝m (定值)，反之亦成立．[典例1] 如图，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →(α，β∈R)，则α＋β的取值X 围是________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4][典例2] 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA →＋nOB →，则m ＋n 的取值X 围是________．解析：由点D 是圆O 外的一点，可设BD →＝λBA →(λ>1)，则OD →＝OB →＋BD →＝OB →＋λBA →＝λOA →＋(1－λ)OB →.因为C 、O 、D 三点共线，令OD →＝－μOC →(μ>1)．所以OC →＝－λμOA →－1－λμOB →(λ>1，μ>1)．因为OC →＝mOA →＋nOB →，所以m ＝－λμ，n ＝－1－λμ，所以m ＋n ＝－λμ－1－λμ＝－1μ∈(－1，0)．答案：(－1，0)。
2012年高考试题分类考点19 平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理及向量坐标运算
考点19 平面向量的概念及其线性运算、 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1.（2012·广东高考理科·Ｔ3）若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =( )（A ）（-2,-4） （B ）(2,4) （C ）(6,10) （D ）(-6,-10)【解题指南】本小题考查了平面向量的坐标运算，解题关键为BC BA AC BA CA =+=- .【解析】选A. (2,3)(4,7)(2,4)BC BA AC BA CA =+=-=-=--.2.（2012·广东高考文科·Ｔ3）若向量(1,2)AB = ，(3,4)BC = ，则AC = ( )（A ）（4，6） （B ）（-4,-6） （C ）（-2，-2） （D ）（2，2）【解题指南】本题考查了平面向量的坐标运算，解题关键是AC AB BC =+ .【解析】选A.(1,2)(3,4)(4,6)AC AB BC =+=+=.3.（2012·浙江高考文科·Ｔ7）与（2012·浙江高考理科·Ｔ5）相同设a ，b 是两个非零向量.( )（A ）若|a +b |=|a |-|b |，则a ⊥b（B ）若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |（C ）若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λa（D ）若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |【解析】选C. 对于Ａ：若|a +b |=|a |-|b |，则a 与b 共线，且a 与b 反向，故选项Ｂ也不对，因为选项D 中λ不一定为负，所以选项D 也不正确，故选项Ｃ正确．二、填空题4.（2012·湖北高考文科·Ｔ13）已知向量a =（1,0），b =（1,1），则（1）与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为____________.（2）向量b -3a 与向量a 夹角的余弦值为____________.【解题指南】本题考查向量的坐标运算,解答本题的关键是明确同向的单位向量和向量夹角的余弦值的求法.【解析】（1）2(2,0)(1,1)(3,1)a b +=+=,2a b ∴+== 则与2a b + 同向的单位向量为22a b a b +=+ .（2）设所求夹角为θ. 向量3(2,1)b a -=-,(3)cos 53a b a a b aθ∙-∴===-- . 【答案】（1） （2） 5.（2012·山东高考文科·Ｔ16）与（2012·山东高考理科·Ｔ16）相同如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.【解题指南】本题考查圆周运动的距离即为P 点转过的弧长，再利用单位圆中的三角函数可求得P 点坐标，即为OP 的坐标.【解析】设圆心运动到C 时，圆与x 轴的切点为D ，则弧PD 长为2，所以2=∠PCD ,点P 的横坐标为2sin 222cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--π，点P 的纵坐标为2cos 122sin 1-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+π，所以点P 的坐标为()2cos 1,2sin 2--，即OP 的坐标为()2cos 1,2sin 2--.【答案】()2cos 1,2sin 2--。
高考数学大一轮复习配套课时训练：第四篇 平面向量 第1节 平面向量的概念及线性运算(含答案)
第四篇平面向量(必修4)第1节平面向量的概念及线性运算课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013泉州模拟)已知P,A,B,C是平面内四点,且++=,那么一定有( D )(A)=2(B)=2(C)=2(D)=2解析:∵++=,∴+=-=+=,∴=2.故选D.2.如图所示,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则( A )(A)++=0(B)-+=0(C)+-=0(D)--=0解析: ++=++=(++)=0.故选A.3.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μ b,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μ b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.4.(2013广东深圳中学阶段测试)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E 为BC的中点,则等于( A )(A)+(B)+(C)+(D)+解析:=++=-+,=+=+=+(-)=+.故选A.5.设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( D )(A)|a|=|b|且a∥b (B)a=-b(C)a∥b (D)a=2b解析:∵表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量, ∴a与b必须方向相同才能满足=.故选D.6.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( A )(A)A、B、D (B)A、B、C(C)B、C、D (D)A、C、D解析:=++=3a+6b=3.因为与有公共点A,所以A、B、D三点共线.故选A.7.已知向量a,b不共线,c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( D )(A)k=1且c与d同向(B)k=1且c与d反向(C)k=-1且c与d同向(D)k=-1且c与d反向解析:由题意可设c=λd,即ka+b=λ(a-b).(λ-k)a=(λ+1)b.∵a, b不共线,∴∴k=λ=-1.∴c与d反向.故选D.二、填空题8.(2013广东茂名一中模拟)如图所示,正六边形ABCDEF中,++等于.解析:++=+-=-=.答案:9.(2013年高考四川卷)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ= .解析:因为O为AC的中点,所以+==2,即λ=2.答案:210.在▱ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=(用a,b表示).解析:=+=-=b-(a+b)=-a+b.答案:-a+b11.如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,则m+n的值为.解析:∵O是BC的中点,∴=(+).又∵=m,=n,∴=+.∵M、O、N三点共线,∴+=1.∴m+n=2.答案:2三、解答题12.设点O 在△ABC 内部,且有4++=0,求△ABC 与△OBC 的面积之比.解:取BC 的中点D,连接OD,则+=2,∵4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||, ∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.13.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是BC,AC 的中点,=,=a,=b.用a,b 表示向量,,,,.解:延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).B组14.(2013石家庄二模)如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( C )(A)3 (B)1 (C)(D)解析:设=λ(λ∈R),则=+=+λ=+λ(-)=+λ-=(1-λ)+λ,则解得m=,故选C.15.(2013长春市第四次调研改编)如图,平面内有三个向量,,,其中与的夹角为120°,与的夹角为30°,且||=2,||=,||=2,若OC=λ+μ(λ,μ∈R),则= .解析:过C作CD∥OB交OA延长线于D,在△OCD中,∠COD=30°,∠OCD=90°,OC=2,∴OD=4,CD=2∴=2,=.∴=+=2+.∴λ=2,μ=,∴=.答案:16.设e1,e2是两个不共的线向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A、B、D三点共线;(2)若=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,求k的值.(1)证明:由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,∵=2e1-8e2,∴=2.又∵与有公共点B,∴A、B、D三点共线.(2)解:由(1)可知=e1-4e2,∵=3e1-ke2,且B、D、F三点共线,∴=λ(λ∈R),即3e1-ke2=λe1-4λe2, 得解得k=12.。
高考数学《平面向量的线性运算》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的线性运算》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量(2,1),(5,2)a m b ==，若//a b ，则m 的值为（ ）A ．15-B ．15C ．52-D ．542．在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,AD CD 的中点，BM a =，BN b =，则BD =（ ）A ．3243a b +B ．2233ab C ．2334a b +D ．3344a b +3．已知四边形ABCD 的对角线交于点O ，E 为AO 的中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=（ ） A ．12B ．13C ．14D ．14．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论正确的是（ ）A ．AB CD = B ．AB DA BD +=C ．AB AD DB -=D ．0AD BC +=5．如图，已知ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则2m n +=( )A ．16-B ．12-C ．14-D ．126．如图，ABC 中，AD 为BC 边上的中线，M 为AD 的中点，若BM BA BC λμ=+，则实数对(),λμ=（ ）A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭7．在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足2AM MD =，则CM =（ ）A ．1233AB AC -+B ．2133AB AC -+ C ．1233AB AC -D ．2133AB AC -8．已知a b ，是平面内两个不共线向量，2AB ma b =+，3BC a b =-，A ，B ，C 三点共线，则m ＝（ ） A ．－23B ．23C ．－6D ．69．已知a ，b 是不共线的向量，且2AB a b =+，2AC a b =+，33CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，C ，D 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，B ，D 三点共线10．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且点D 满足2,2CD DA BD ==，若1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为（ ） A 125B 65C 5D ．3511．设D 是ABC 所在平面内一点，3BC CD =，则AD =（ ）A ．4133+AB ACB ．4133AB AC -C ．1433AB AC -D ．1433AB AC -+12．已知△ABC 中，22AB AC ==()min 2AB BC R λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ） A 3B ．23C 5D 6二、填空题13．在△ABC 中，点D 是线段BC 的中点，点E 在线段AD 上，且满足AE ＝2ED ，若CE AB AC λμ=+，则λ＋μ＝_________．14．已知ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，其中90A ∠=，点O 是ABC 所在平面上的任意一点，则向量()()OA OC OB OC -+-的模为________15．已知向量AB ，CD 在正方形网格中的位置如图所示.若网格上小正方形的边长为1，则AB CD ⋅=________.16．正ABC 的边长为1，中心为O ，过O 的动直线l 与边AB ，AC 分别相交于点M 、N ，AM AB λ=，AN AC μ=，BD DC =．给出下列四个结论：①1133AO AB AC =+； ②若2AN NC =，则14AD NC ⋅=； ③11λμ+不是定值，与直线l 的位置有关；④AMN 与ABC 的面积之比的最小值为49． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题17．设a 、b 是不共线的两个非零向量．(1)若2OA a b =-，3OB a b =+，3OC a b =-，求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a kb +与2ka b +共线，求实数k 的值．18．如图，在ABC 中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点.（1）设AB a =，AC b =，试用a ，b 表示BN ，CM ； （2）若BN CM ⊥，求cos BAC ∠.19．如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上.（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ+的值； （2）若3,2AB BC ==，求AF EF ⋅的取值范围.20．已知13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1b =，且a ，b 的夹角为3π. （1）求2a b +；（2）若()()//a kb ka b ++，求实数k 的值.21．如图所示，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 是线段AD 的中点.过点E 的直线与边AB ，AC 分别交于点P ，Q .设PB AP λ=，QC AQ μ=，其中0λμ≥，(1)试用AD 与BC 表示AB 、AC ； (2)求证：λμ+为定值，并求此定值；(3)设APQ △的面积为1S ，ABC 的面积为2S ，求12S S 的取值范围.22．如图所示，在ABC 中，1,,3AQ QC AR AB BQ ==与CR 相交于点I .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ； (2)若AI mAB nAC =+，求实数m 和n 的值.23．如图，在ABC 中，设AC a =，AB b =，||2a =，||3b =，已知2DB AD =，2CE EB =，60BAC ∠=︒，CD 与AE 交于点O ．(1)求AE DC ⋅的值； (2)若0OC OD μλ+=，求λμ的值．24．如图所示，ABC 中，AB a =，AC b =，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且4DC EC =，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b 表示AE ；(2)用向量a ，b 表示AF ，并求出:AE EF 和:BF FC 的值。
平面向量的概念及线性运算检测题与详解答案
平面向量的概念及线性运算检测题与详解答案1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ―→＋FC ―→＝( ) A ．AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D ．BC ―→解析：选 A 由题意得EB ―→＋FC ―→＝12(AB ―→＋CB ―→)＋12(AC ―→＋BC ―→)＝12(AB ―→＋AC ―→)＝AD ―→.2．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12解析：选B 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝kd (k ＜0)，于是λa ＋b ＝k []a2λ－1b .整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b.由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k ＜0，所以λ＜0，故λ＝－12.3．设向量a ，b 不共线，AB ―→＝2a ＋p b ，BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选B 因为BC ―→＝a ＋b ，CD ―→＝a －2b ，所以BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a －b.又因为A ，B ，D 三点共线，所以AB ―→，BD ―→共线．设AB ―→＝λBD ―→，所以2a ＋p b ＝λ(2a －b)，所以2＝2λ，p ＝－λ，即λ＝1，p ＝－1.4．(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝－4CD ―→，则AD ―→＝( ) A.14AB ―→－34AC ―→ B.14AB ―→＋34AC ―→C.34AB ―→－14AC ―→ D.34AB ―→＋14AC ―→解析：选B 法一：设AD ―→＝x AB ―→＋y AC ―→，由BC ―→＝－4CD ―→可得，BA ―→＋AC ―→＝－4CA―→－4AD ―→，即－AB ―→－3AC ―→＝－4x AB ―→－4y AC―→，则⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＝－1，－4y ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝34，即AD ―→＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.法二：在△ABC 中，BC ―→＝－4CD ―→，即－14BC ―→＝CD ―→，则AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→－14BC―→＝AC ―→－14(BA ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋34AC ―→，故选B.5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足OC ―→＝34OA ―→＋14OB ―→，则|BC ―→||AC ―→|等于( )A ．1B ．2C ．3D.32解析：选C 因为BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OB ―→＝34BA ―→，AC ―→＝OC ―→－OA ―→＝34OA ―→＋14OB ―→－OA ―→＝14AB ―→，所以|BC ―→||AC ―→|＝3.故选C.6．已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点G 满足GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，且AG ―→＝λGD ―→，则λ的值是( )A.12 B ．2 C ．－2D ．－12解析：选C 由GA ―→＋BG ―→＋CG ―→＝0，得G 为以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AG ―→＝－2GD ―→，则λ＝－2.故选C.7．下列四个结论：①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝0；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝0； ③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝0；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ①AB ―→＋BC ―→＋CA ―→＝AC ―→＋CA ―→＝0，①正确；②AB ―→＋MB ―→＋BO ―→＋OM ―→＝AB ―→＋MO ―→＋OM ―→＝AB ―→，②错误；③AB ―→－AC ―→＋BD ―→－CD ―→＝CB ―→＋BD ―→＋DC ―→＝CD ―→＋DC ―→＝0，③正确；④N Q ―→＋Q P ―→＋MN ―→－MP ―→＝NP ―→＋PN ―→＝0，④正确．故①③④正确．8.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，AD 上的点，且AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，AC ，MN 交于点P .若AP ―→＝λAC ―→，则λ的值为( ) A.35 B.37C.316D.617解析：选 D ∵AM ―→＝34AB ―→，AN ―→＝23AD ―→，∴AP ―→＝λAC ―→＝λ(AB ―→＋AD ―→)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫43AM ―→＋32AN ―→＝43λAM ―→＋32λAN ―→.∵点M ，N ，P 三点共线，∴43λ＋32λ＝1，则λ＝617. 故选D.9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以可设λa ＋b ＝k (a ＋2b)，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.答案：1210．若AP ―→＝12PB ―→，AB ―→＝(λ＋1)BP ―→，则λ＝________.解析：如图，由AP ―→＝12PB ―→，可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点，则AB ―→＝－32BP ―→，结合题意可得λ＋1＝－32，所以λ＝－52.答案：－5211．已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则DC ―→＝________，BC ―→＝________.(用a ，b 表示)解析：如图，DC ―→＝AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝b －a ，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝－OA ―→－OB ―→＝－a －b.答案：b －a －a －b12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点．若AB ―→＝λAM ―→＋μDB ―→，则λ－μ＝________.解析：如图，在平行四边形ABCD 中，AB ―→＝DC ―→，所以AB ―→＝AM ―→＋MB ―→＝AM ―→＋12CB ―→＝AM ―→＋12(DB ―→－DC ―→)＝AM ―→＋12(DB ―→－AB ―→)＝AM ―→＋12DB ―→－12AB ―→，所以32AB ―→＝AM ―→＋12DB ―→，所以AB ―→＝23AM ―→＋13DB ―→，所以λ＝23，μ＝13，所以λ－μ＝13.答案：1313．设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB ―→＝2e 1－8e 2，CB ―→＝e 1＋3e 2，CD ―→＝2e 1－e 2. (1)求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若BF ―→＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解：(1)证明：由已知得BD ―→＝CD ―→－CB ―→＝(2e 1－e 2)－(e 1＋3e 2)＝e 1－4e 2， ∵AB ―→＝2e 1－8e 2， ∴AB ―→＝2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线． (2)由(1)可知BD ―→＝e 1－4e 2，∵BF ―→＝3e 1－ke 2，且B ，D ，F 三点共线， ∴存在实数λ，使BF ―→＝λBD ―→， 即3e 1－ke 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ.解得k ＝12.。
2012年高考数学二轮专题测试 平面向量 理
平面向量 专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是( ) A ．a ＝b B ．a －b ＝0C ．a 2－b 2＝0 D ．a ＋λb ＝0(λ∈R ) 答案：D2．(2011年某某质检)已知a 1，a 2均为单位向量，那么a 1＝(32，12)是a 1＋a 2＝(3，1)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：设a 1＝(x 1，y 1)，a 2＝(x 2，y 2)⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝3y 1＋y 2＝1x 12＋y 12＝1x 22＋y 22＝1⎩⎨⎧x 2＝3－x 1y 2＝1－y 1代入x 22＋y 22＝13＋x 12－23x 1＋1＋y 12－2y 1＝1 4＝23x 1＋2y 1 3x 1＋y 1＝2y 1＝2－3x 1，x 12＋4＋3x 12－43x 1＝14x 12－43x 1＋3＝0 (2x 1－3)2＝0 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32y 1＝12∴a 1＝(32，12)，反之不成立 如a 1＝(32，12)，a 2＝(1,0) a 1＋a 2＝(32＋1，12)，不成立，故选B. 答案：B3．(2011年某某师大附中二模)设O 在△ABC 的内部，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：由OC →＝－12(OA →＋OB →)，设D 为AB 的中点，则OD →＝12(OA →＋OB →)，∴OD →＝－OC →，∴O 为CD 的中点， ∴S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ，∴S △ABCS △AOC＝4. 答案：B4．(2011年东北三校联考)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa －b 与a 垂直，则实数λ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)λa －b ＝(λ－4,2－3λ)，a ＝(1，－3)∵λa －b 与a 垂直 ∴λ－4－6＋9λ＝0 11λ＝11，λ＝1，选B. 答案：B5．(2011年某某省两地三校联考)已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n等于( )A ．3 B.13C.33D. 3 解析：∵OC →·OA →＝m ＝|OC →|·32，OC →·OB →＝3n ＝|OC →|×3×12，∴m ＝3n ，∴m n＝3.答案：A6．(2010年某某高考)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 解析：|a |＝12＋02＝1，|b |＝122＋122＝22；a ·b ＝1×12＋0×12＝12；(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 答案：C7．(2011年某某四校联考)O 、A 、B 、C 是平面上任意三点不共线的四个定点，P 是平面上一动点，若点P 满足：OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 一定过△ABC 的( )A ．重心B ．内心C ．外心D ．垂心解析：OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →) AP →＝λ(AB →＋AC →)∴P 在BC 的中线上，故过△ABC 的重心． 答案：A8．(2011年某某省2月联考)在△ABC 中，若AB →·BC →＋AB 2→＝0，则△ABC 的形状是( ) A ．∠C 为钝角的三角形 B ．∠B 为直角的直角三角形 C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形 解析：AB →·BC →＋AB 2→＝0AB →·(BC →＋AB →)＝0AB →·AC →＝0AB →⊥AC →，∴∠A 为直角，故选D. 答案：D9．(2011年某某二诊)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．4B ．6C ．－4D ．－2解析：如图过C 点作CE ∥AD 交AB 的延长线于E 点，在△ACE 中，CE ＝1，AE ＝2，∴λ＝2，μ＝2，λ＋μ＝4，故选A.答案：A11．(2011年某某高三第三次调研考试)若e 1、e 2是夹角为π3的单位向量，且a ＝2e 1＋e 2，b ＝－3e 1＋2e 2，则a ·b 等于( )A ．1B ．－4C ．－72D.72解析：依题意，e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos π3＝12，∴a ·b ＝(2e 1＋e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝－6|e 1|2＋2|e 2|2＋e 1·e 2＝－6＋2＋12＝－72，选C.答案：C11．已知非零向量a 、b ，|a |＝|b |＝1，且a ⊥b ，又知(2a ＋3b )⊥(k a －4b )，则实数k 的值为( )A ．－6B ．－3C ．3D ．6解析：由(2a ＋3b )·(k a －4b )＝0，得2k －12＝0， ∴k ＝6，选D. 答案：D12．已知a 、b 、c 是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|k a ＋b ＋c |>1，则实数k 的取值X 围是( )A ．k <0B ．k >2C ．k <0或k >2D ．0<k <2解析：由|k a ＋b ＋c |>1得(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2＋1＋1＋2k (－12)＋2k (－12)＋2×(－12)>1，得k 2－2k >0.∴k >2或k <0，故选C. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．)13．(2011年某某某某第一次调研)设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2.答案：214．(2011年黄冈3月质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC →的值为________．解析：特例法：在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝5 如图AO →·BC →＝52×4·cos C ＝52×4×45＝8.答案：815．O 是平面上一点，A ，B ，C 是平面上不共线三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，当λ＝12时，PA →·(PB →＋PC →)的值为________．解析：由OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ＝12，得AP →＝12(AB →＋AC →)，即P 为△ABC 中BC 边的中点．∴PB →＋PC →＝0.∴PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·0＝0. 答案：016．(2011年某某高三第三次模拟)如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值是________．解析：(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2|PO →|·|PC →|≥－|PO →|＋|PC →|22＝－92.答案：－92三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题11分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a ，b 的夹角为135°，求|a ＋b |. 解：(1)∵a ∥b ，∴若a ，b 同向，则a ·b ＝|a ||b |＝2； 若a ，b 反向，则a ·b ＝－|a ||b |＝－ 2. (2)∵a ，b 的夹角为135°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos135°＝－1，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝1＋2－2＝1， ∴|a ＋b |＝1.18．(2011年某某质检)已知向量m ＝(sin x ，－1)，向量n ＝(3cos x ，－12)，函数f (x )＝(m ＋n )·m .(1)求f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )恰是f (x )在[0，π2]上的最大值，求A ，b 和△ABC 的面积S .解：(1)f (x )＝(m ＋n )·m ＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12＝1－cos2x 2＋1＋32sin2x ＋12＝32sin2x －12cos2x ＋2 ＝sin(2x －π6)＋2因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π(2)由(1)知：f (A )＝sin(2A －π6)＋2x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6由正弦函数图象可知，当2x －π6＝π2时f (x )取得最大值3所以2A －π6＝π2，A ＝π3由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ∴12＝b 2＋16－2×4b ×12∴b ＝2从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4sin π3＝2 3.19．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ＝(a ，b )，向量n ＝(cos A ，cos B )，向量p ＝(22sinB ＋C2，2sin A )，若m∥n ，p 2＝9，求证：△ABC 为等边三角形．证明：∵m∥n ，∴a cos B ＝b cos A .由正弦定理，得 sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为三角形的内角，∴－π<A －B <π. ∴A ＝B . ∵p 2＝9，∴8sin2B ＋C2＋4sin 2A ＝9.∴4[1－cos(B ＋C )]＋4(1－cos 2A )＝9. ∴4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.∴△ABC 为正三角形．20．(2012年某某第七十四中学上学期期末)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(sin A ，cos B )，n ＝(cos A ，sin B )．(1)若m ∥n ，求角C ；(2)若m ⊥n ，B ＝15°，a ＝6＋2，求边c 的大小．解：(1)由m ∥n ⇒sin A sin B －cos A cos B ＝0 ⇒cos(A ＋B )＝0，因为0<A ＋B <180°，所以A ＋B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝90°.(2)由m ⊥n ⇒sin A cos A ＋sin B cos B ＝0⇒sin2A ＋sin2B ＝0， 已知B ＝15°，所以sin2A ＋sin30°＝0，sin2A ＝－12，因为0<2A <360°－2B ＝330°，所以2A ＝211°，A ＝115°，C ＝180°－15°－115°＝60°.根据正弦定理a sin A ＝c sin C ⇒6＋2sin105°＝csin60°⇒c ＝6＋2sin60°sin105°，因为sin115°＝sin(45°＋60°)＝6＋24， 所以c ＝6＋2×326＋24＝2 3.21．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，－3sin2x )，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)若x ∈[－π4，0]，求函数f (x )的值域；(3)若函数y ＝f (x )的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到函数y ＝2sin2x 的图象，某某数m 、n 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝－3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋5π6)＋1.令2kπ＋π2≤2x ＋5π6≤2kπ＋3π2，k ∈Z ，得kπ－π6≤x ≤kπ＋π3，k ∈Z . 因此，函数f (x )的单调减区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k ∈Z )．(2)当x ∈[－π4，0]时，2x ＋5π6∈[π3，5π6]，∴sin(2x ＋5π6)∈[12，1]，因此，函数f (x )的值域为[2,3]．(3)函数y ＝f (x )的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π2)平移后得到的图象对应的函数是y ＝f (x－m )＋n ＝2sin(2x －2m －5π6)＋1＋n .令－2m ＋5π6＝2kπ，k ∈Z,1＋n ＝0，得m ＝－kπ＋5π12，n ＝－1.又|m |<π2，故m ＝5π12.22．已知a ＝(x,1)，b ＝(λ，sin x )，函数f (x )＝a ·b 在区间[－1,1]上是减函数． (1)求f (x )在x ∈[－1,1]上的最大值；(2)若f (x )≤t 2＋λt ＋1对任意x ∈[－1,1]及任意λ∈(－∞，－1]恒成立，求t 的取值X 围．解：(1)f (x )＝a ·b ＝λx ＋sin x ，f ′(x )＝λ＋cos x ，∵f (x )在[－1,1]上是减函数，∴f ′(x )＝λ＋cos x ≤0在x ∈[－1,1]上恒成立， 即λ≤－cos x 在x ∈[－1,1]上恒成立． 而－1≤x ≤1时，cos x 1≤cos x ≤1， ∴－1≤－cos x ≤－cos1.于是λ≤－1， ∴f (x )max ＝f (－1)＝－λ－sin1(λ≤－1)．(2)由(1)知，对任意x ∈[－1,1]及λ∈(－∞，－1], f (x )≤－λ－sin1，∴f (x )≤t 2＋λt ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ≤－1，－λ－sin1≤t 2＋λt ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ≤－1，t ＋1λ＋t 2＋1＋sin1≥0.(*)令g (x )＝(t ＋1)λ＋t 2＋1＋sin1，要使(*)对任意λ∈(－∞，－1]恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧t ＋1≤0，g－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤－1， ①t 2－t ＋sin1≥0. ②∵②中Δ＝1－4sin1<1－4sin π6<0，∴②恒成立．∴t ≤－1，即t 的取值X 围是(－∞，－1]．。
2012年平面向量高考题及其答案
1 ．（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |,则下面结论正确的是 （ ）A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．{0,1,3}D ．a +b =a -b2 ．（2012天津文）在A B C ∆中,90A ∠=︒,1AB =,AC=2,设点,P Q 满足,(1),AP AB AQ AC R λλλ==-∈ .若2BQ C P ⋅=-,则λ=（ ）A ．13B ．23C ．43D ．23 ．（2012重庆理）设,x y ∈R,向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ,且c b c a //,⊥,则_______=+ （ ）A ．B ．C ．D ．104 ．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.（ ）A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥bB ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λbD ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |5 ．（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2A B ,设点P,Q 满足=A P A B λ ,=(1)AQ AC λ- ,R λ∈,若3=2BQ C P ⋅- ,则=λ （ ）A ．12B ．12± C ．12± D ．32-±6 ．（2012大纲理）A B C ∆中,A B 边上的高为C D ,若,,0,||1,||2C B a C A b a b a b ==⋅===,则AD =（ ）A ．1133a b -B ．2233a b -C ．3355a b -D ．4455a b -7．（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP 按逆时针旋转34π后,得向量O Q则点Q 的坐标是 （ ）A ．(-B ．(-C ．(2)--D ．(2)-二、填空题8．（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC ⋅ =________.9．（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,=则AN AM ⋅的取值范围是_________ .10．（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为045,且|a |=1,|2-a b则|b |=_______.11．（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3A P =且AP AC =_____.12．（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b == ,则(Ⅰ)与2a b +同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a - 与向量a夹角的余弦值为____________.13．（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________.14．（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2a m b m c m ==+=,若()a c +⊥b ,则a =_____.15、．（2012江苏）如图,在矩形ABC D 中,2AB BC ==，点E 为B C 的中点,点F在边C D 上,若AB AF =则AE BF的值是___.16．（2012北京理）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB ⋅的值为________;DE DC ⋅的最大值为________.17．（2012安徽理）若平面向量,a b满足:23a b -≤ ;则a b 的最小值是_____1、 【答案】B【解析一】由|a +b |=|a -b |,平方可得a ⋅b =0, 所a ⊥b ,故选B【解析二】根据向量加法、减法的几何意义可知|a +b |与|a -b |分别为以向量a ,b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长,因为|a +b |=|a -b|,所以该平行四边形为矩形,所以a ⊥b ,故选B【点评】本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系,属于容易题.解析一是利用向量的运算来解,解析二是利用了向量运算的几何意义来解.2. 【解析】如图,设c AC b AB ==, ,则0,21=∙==c b ,又c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=,b c AP CA CP λ+-=+=,由2-=∙CP BQ得2)1(41()(])1([-=--=--=+-∙-+-λλλλλb c c b ,即32,23==λλ,选B.3 【答案】B【解析】由02402a c a c x x ⊥⇒⋅=⇒-=⇒= ,由//422b c y y ⇒-=⇒=-,故||a b +==【考点定位】本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示,模长公式.解决问题的关键在于根据a c ⊥ 、//b c,得到,x y 的值,只要记住两个向量垂直,平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不会出错,注意数字的运算. 4. 【答案】C【命题意图】本题考查的是平面向量,主要考查向量加法运算,向量的共线含义,向量的垂直关系.【解析】利用排除法可得选项C 是正确的,∵|a +b |=|a |-|b |,则a ,b 共线,即存在实 数λ,使得a =λb .如选项A:|a +b |=|a |-|b |时,a ,b 可为异向的共线向量;选项B:若a ⊥b ,由正方形得|a +b |=|a |-|b |不成立;选项D:若存在实数λ,使得a =λb ,a ,b 可为同向的共线向量,此时显然|a +b |=|a |-|b |不成立.5、 【答案】A【命题意图】本试题以等边三角形为载体,主要考查了向量加减法的几何意义,平面向量基本定理,共线向量定理及其数量积的综合运用. 【解析】∵=B Q A Q A B - =(1)AC AB λ-- ,=CP AP AC -=AB AC λ- ,又∵3=2BQ C P ⋅- ,且||=||=2AB AC ,0<,>=60A B A C ,0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅,∴3[(1)]()=2A C AB A B AC λλ---- ,2223||+(1)+(1)||=2A B A B A C A C λλλλ--⋅- ,所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---,解得1=2λ.6. 答案D【命题意图】本试题主要考查了向量的加减法几何意义的运用,结合运用特殊直角三角形求解点D 的位置的运用.C【解析】由0a b ⋅=可得90A C B ∠=︒,故AB =用等面积法求得5C D =,所以5AD =,故4444()5555A D ABC B C A a b ==-=-,故选答案D7、 【解析】选A【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55O P θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44O Q ππθθ=++=-【方法二】将向量(6,8)O P = 按逆时针旋转32π后得(8,6)O M =-则)(OQ OP OM =-+=-8. 【答案】-16【命题意图】本题主要考查了平面向量在三角形中的综合应用. 【解析】由余弦定理22222co s53ABA M BM AM B M=+-⋅∠=+, 222222cos 35253cos AC AMCMAM CM AMC AMC=+-⋅∠=+-⨯⨯∠,0180AMB AMC ∠+∠=,两式子相加为2222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=, 2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB ACAB ACAB AC+-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯,68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯.9. [解析] 如图建系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1),C (2,1).t ==∈[0,1],则t BM =||,t CN 2||=,所以M (2,t ),N (2-2t ,1),故AN AM ⋅=4-4t +t =4-3t=f (t ),因为t ∈[0,1],所以f (t )递减, 所以(AN AM ⋅)max = f (0)=4,(AN AM ⋅)min = f (1)=1.10. 【命题意图】.本题主要考查平面向量的数量积及其运算法则,是简单题.【解析】∵|2-a b平方得224410-= a a b +b ,即260--=|b |b |,解得|b|=舍)11. 【答案】18【解析】设AC BD O = ,则2()AC AB BO =+ ,AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO + 222()2AP AB AP AP PB AP ==+= 18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算,考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.12. (Ⅰ)1010⎛ ⎪⎝⎭;(Ⅱ)5- 【解析】(Ⅰ)由()()1,0,1,1a =b =,得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =,则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >,解得1010x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为01010⎛ ⎝⎭. (Ⅱ)由()()1,0,1,1a =b =,得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ,则()32,11,0cos 35θ--===-- b a ab a a.【点评】本题考查单位向量的概念,平面向量的坐标运算,向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个,但与某向量共线的单位向量一般有2个,它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理,基本概念以及创新性问题的考查.13. 【答案】1;1【解析】根据平面向量的点乘公式||||c o s D E C B D E D AD E D A θ⋅=⋅=⋅,可知||c o s ||D E D A θ=,因此2||1DE C B D⋅== ;||||cos ||cos DE D C D E D C D E αα⋅=⋅=⋅ ,而||cos D E α 就是向量D E在D C 边上的射影,要想让DE DC ⋅ 最大,即让射影最大,此时E 点与B 点重合,射影为||D C,所以长度为1【考点定位】 本题是平面向量问题,考查学生对于平面向量点乘知识的理解,其中包含动点问题,考查学生最值的求法.14. 【解析】a =1(3,3),()3(1)302a c m a cb m m m a +=+=++=⇔=-⇒=15、.【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义. 【解析】由A B A F =,得cos AB AF FAB ∠=,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF ∠.∵AB =DF =∴1DF =.∴1CF =.记AE BF和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，,则θαβ=+.又∵2BC =，点E 为BC 的中点,∴1BE =. ∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-)=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯-=.本题也可建立以, A B A D 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解. 16、同13题17、 【解析】a b 的最小值是98-22222349494449448a b a b a ba b a b a b a b a b a b -≤⇔+≤++≥≥-⇒+≥-⇔≥-。
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理-5年3年模拟北京高考
5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理五年高考考点1 向量的线性运算及几何意义1．（2013陕西．3，5分）设a ，b 为向量，则,|,|||||b a b a =⋅是”“b a //的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2．（2012浙江．5,5分）设a ，b 是两个非零向量． ( ) A ．若b a b a b a ⊥-=+则|,||||| B ．若,b a ⊥则||||||b a b a -=+C ．若|,|||||b a b a -=+则存在实数,λ使得a b λ=D ．若存在实数,λ使得||||||,b a b a a b -=+=则λ3．（2012辽宁，3,5分）已知两个非零向量a ，b 满足=+||b a |,|b a -则下面结论正确的是 ( )b a A //. b a B ⊥. ||||.b a C = b a b a D -=+.4．（2011山东，12，5分）设4321,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若),(2131R A A A A ∈=λλ∈=μμ(2141A A A A ),R 且,211=+μλ则称43,A A 调和分割⋅21,A A 已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是 ( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B.D 可能是线段AB 的中点C.C ，D 可能同时在线段AB 上D.C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上5．（2011上海．17，5分）设54321,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同点，则使054321=++++MA MA MA MA MA 成立的点M 的个数为( )0.A 1.B 5.C 10.D6．（2013四川．12.5分）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,0D ,A A AB O λ=+则=λ7．（2013江苏．10.5分）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，.32,21AD BC BE AB ==若1λ= 212,λλλ<+AL 为实数），则21λλ+的值为 8．（2011北京．10.5分）已知向量=-==c b a ),1,0(),1,3(⋅)3,(k 若a-2b 与c 共线，则=k 考点2 平面向量的基本定理及坐标表示1．(2013辽宁．3.5分)已知点A(l ，3)，B （4，-1），则与向量AB 同方向的单位向量为 ( ))5,5.(-A )5,5.(-B )5,5.(-C )5,5.(-D 2．（2013重庆．10，5分）在平面上，==⊥||||,2121OB OB AB AB .,121AB AB +=若,21||<则 ||的取值范围是( ))25,0.(A )27,25.(B )2,25.(C )2,27.(D 3．（2012大纲全国．6,5分）△ABC 中，AB 边的高为CD.若=,0,,=⋅=b a b a ===b a 则,2,1|| ( )b a A 3131.- b a B 3232.- b a C 5353.- b a D 5454.- 4．（2012广东，3，5分）若向量),7,4(),3,2(==CA BA 则=BC ( ))4,2.(--A )4,2.(B )10,6.(C )10,6.(--D5．（2012安徽．8，5分）在平面直角坐标系中，点0(0，0)，P(6，8)，将向量绕点0按逆时针方向旋转43π后得向量,则点Q 的坐标是 ( ) )2,27.(--A )2,27.(-B )2,64.(--C )2,64.(-D6．（2012重庆．6,5分）设,,R y x ∈向量c y b x a ),,1(),1,(==),4,2(-=且,//,c b C a ⊥则=+||b a ( )5.A 10.B 52.C 10.D7．（2010安徽．3,5分）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )智力背景分粟子 三个小女孩一共采集到770颗栗子，她们打算如往常那样，根据她们年龄的大小按比例进 行分配 ．以往，当玛丽拿4颗栗子时，尼莉拿3颗；而每当玛丽得到6颗时，苏茜可以拿7颗，试问：每个女孩可以分到多少颗栗子？答案是最小女孩可分到198颗，年纪稍大的分得264颗，最年长的可分得308颗．||||.b a A = 22.=⋅b a B b b a C 与-.垂直 b a D //. 8．（2013北京．13,5分）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若),,(R b a c ∈+=μλμλ则=μλ解读探究知识清单1．既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用有向线段来表示．2．向量B A 的大小，也就是向量B A 的长度（或称模），记作.||3．长度为O 的向量叫做零向量，记作0．长度为1个单位长度的向量叫做单位向量． 4．方向相同或相反的非零向量叫做①____，也叫做②____．规定：O 与任一向量平行．5．长度相等且③____的向量叫做相等向量．6．向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则． 7．向量加法的交换律：a+b=b+a ， 向量加法的结合律：（a+b ）+c=a+(b+c)．8．与a 长度相等，④____ 的向量叫做a 的相反向量，规定：O 的相反向量是09．实数λ与向量a 的乘积||a λ是一个向量，它的长度是a 的||λ倍，即.||||||a a λλ=它的方向:当0>λ时，与a 同向；当0<λ时，与a 反向．显然，当0=λ时，.0=a λ10.设a 、b 是任意向量，μλ、是实数，则实数与向量的积适合以下运算律：a ．结合律.;)()(b a a λμμλ= 第一分配律=+a )(μλ.;c a a μλ+第二分配律.)(b a b a λλλ+=+ 11.向量共线的判断：(1)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是⑤(2)若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数.,λ使⑥ 12.平面向量基本定理：如果21.e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数,21λλh 使,2211e e a λλ+=其中21e e 、是一组基底． 13.平面向量的坐标运算：(1)若),0)(,(),,(2211=/==b y x b y x a 则,21x x b a ±=±（).21y y ± (2)若),,(),,(2211y x B y x A 则⋅--=),(1212y y x x Ak (3)若,),,(R y x a ∈=λ则).,(y x a λλλ= 14．向量平行的坐标表示：(1)如果),,(),,(2211y x b y x a ==则a∥b 的充要条件为⑦智力背景BSD 猎想 数学家总是对诸如222z y x =+这样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷，欧几里得 曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，就变得极为困难．事实上，正如马蒂雅谢维 奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解．当 解是一个阿贝尔簇的点时 ，贝赫和斯维讷通一戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数 z(s)在点s=l 附近的性态．(2)三点),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 共线的充要条件为))())((12131312y y x x y y x x -----（.0=【知识拓展】1．向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，在用有向线段表示向量时，要认识到有向线段的起点的选取是任意的，不要误以为向量是由起点、大小和方向三个要素决定的．一句话，研究向量问题应具有“平移”意识——长度相等、方向相同的向量都是相等向量．2．两个向量的和仍是向量．特别注意的是：在向量加法的表达式中，零向量一定要写成O ，而不应写成O ；在△ABC 中，0=++AF （如图）．3．两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：（如图）用平行四边形法则时，两个向量也是共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线),(而差向量是另一条对角线),(方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点．·知识清单答案突破方法方法1 平面向量的线性运算用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加、减法，数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．例1 （2012山东聊城二模．10.5分）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b a ==则等于 ( )b a A 2141.+ b a B 3132.+ b a C 4121.+ b a D 3231.+解题思路解析 如图，,DF AD AF +=由题意知，,31,:3:1:AB DF BE DE =∴== .3132)2121(312121b a b a b a +=-++=∴答案 B【方法点拨】 向量的线性运算法则：向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同，方法2 平面向量共线问题向量共线定理的坐标表示提供了通过代数运算来解决向量共线的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简单易行的方法，解题时要注意向量共线定理的坐标表示本身具有公式特征，应学会利用这一点来构造函数和方程，以便用函数与方程的思想解题.例2（2012浙江杭州二模．11,4分）已知点A （1，-2），点AB 的中点坐标为(3，1)，且与向量),1(λ=a 共线，则=λ解题思路解析 由AB 的中点坐标为(3，1)可知B(5，4)，=∴AB ),6,4(又⋅=∴=⨯-∴23,0614,//λλa AB 答案23 【方法点拨】 共线向量的求解方法：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：b a b b a λ=⇔=/)0(//或.01221=-y x y x可以利用两个向量共线的条件列方程，求未知数的值，智力背景奔跑的狗（一） 一次在德国 苏步青与一位有名的数学家同乘电车时，这位数学象出了一道关于奔 跑的狗的题目让苏教授解答，逸道题是：甲、乙两人同时从相距100千米的两地出发，相向而行．甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，甲带了一只狗和他同时出发，狗以每小时10千米的速度向乙奔去，遇到乙立即回头向甲奔去；遇到甲又回头向己奔去，蛊~甲、乙两人相遇时狗才停止问这只狗共跑了多少千米路？对这个问题，苏步青教授略加思索，就算出了正确的答案.三年模拟A 组 2011-2013年模拟探究专项基础测试时间：40分钟 分值:45分一、选择题（每题5分，共20分）1．（2013北京石景山期末）AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，===),3,1(),4,2(A 则 ( ))4,2(⋅A )7,3(⋅B )1,1.(C )1,1.(--D2．（2013辽宁朝阳一模．5）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，,μλ+=则μλ+ 的值为 ( )21.A 31.B 41.C 1.D 3．（2012辽宁大连沙河口3月模拟．8）非零不共线向量,且,02y x P +=若),(R AB PA ∈=λλ则点Q(x ，y)的轨迹方程是( )02.=-+y x A 012.=-+y x B 022.=-+y x C 022.=-+y x D4．（2012广东佛山三模．5）设a ),1,(),2,1(0-=-=O b a b ,0,0),0,(>>-=为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则ba 21+的最小值是 ( )二、填空题（每题5分，共15分）5．（2013北京西城高三上学期期末）已知向量==b a ),3,1().3,2(),1,2(=-c 若向量C 与向量b ka +共线，则实数=k6．（2013宁夏吴忠3月．15）在平面直角坐标系中，已知=AB ),1,2(),3,1(-=-AC 则=||BC 7．（2013江苏苏州一模．9）如图，在△ABC 中，点0是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若,C ,B AN n A AM m A ==则n m +的值为三、解答题（共10分）8．（2013山东莱芜一模，17）如图，已知△OCB 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 是将分成2:1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设.,b a == (1)用a 和b 表示向量;、 (2)若,OA OE λ=求实数λ的值．B 组 2011-2013年模拟探究专项提升测试 时间：45分钟 分值：45分一、选择题（每题5分，共10分）1．（2013陕西黄陵一模．6）已知向量,2(),3,1(=-=),2,1(1-+=-k k 若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )2.-=k A 21.=k B 1.=k C 1.-=k D 2．（2013湖北襄樊=模．8）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为B A ∠∠、.、C ∠的对边，且,a b c >>若向量)1,(b a m -=和,c b n -=（)1平行，且,54sin =B 当△ABC 的面积为23时，则=b ( ) 231.+A 2.B 4.C 32.+D 二、填空题（每题5分，共10分）3．（2013福建南平一模，14）设,,R y x ∈向量,1),1,(（==b x a )4,2(),-=c y 且,//,c b c a ⊥则=+||b a4．（2011陕西西安5月．14）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若,3,2λ+==C A 则=λ智力背景奔跑的狗（二） 解答：狗从甲、乙出发时起，直到两人相遇时止，一直在甲、乙之间奔跑，从未停止过．因此它奔跑的时间，就是甲、乙两人从开始行走到相遇时的时间，这就是解答本题的关键．时间知道了，狗跑的路程也就能算出来了．甲、乙两人从开始走到相遇共用100÷(6+4)=lO 小时，所以狗跑的总 路程是10×10 =100千米．三、解答题（共25分）5．（2013吉林松原5月．18）已知平行四边形ABCD ，从平面AB-CD 外一点O 引向量,0k =OD K OH ,OC K C ,B K F ===O O O 求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面ABCD//平面EFGH.6．（2012江西九江5月模拟．17）在□ABCD 中，=A ),1,1(),0,6(点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．(1)若),5,3(D =A 求点C 的坐标； (2)当|D |||A =时，求点P 的轨迹．。
高考数学知识点总复习教案平面向量的概念及其线性运算
第1讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·合肥检测)已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )．A.AO→＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 解析 由2OA →＋OB →＋OC →＝0可知，O 是底边BC 上的中线AD 的中点，故AO →＝OD →. 答案 A2．已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且四边形ABCD 为平行四边形，则 ( )．A ．a －b ＋c －d ＝0B ．a －b －c ＋d ＝0C ．a ＋b －c －d ＝0D ．a ＋b ＋c ＋d ＝0解析 依题意，得AB→＝DC →，故AB →＋CD →＝0，即OB →－OA →＋OD →－OC →＝0，即有OA →－OB →＋OC →－OD →＝0，则a －b ＋c －d ＝0.选A. 答案 A3．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为 ( )．A.12B.13C.14D.16解析 由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.故选A.4．(2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是 ( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 若A 成立，则λ＝12，而1μ＝0，不可能；同理B 也不可能；若C 成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，1λ＋1μ＞2，与已知矛盾；若C ，D 同时在线段AB 的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，1λ＋1μ＜2，与已知矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确． 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·泰安模拟)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为________． 解析 ∵BD→＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎨⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1. 答案 －16.如图，在矩形ABCD 中，|AB→|＝1，|AD →|＝2，设AB →＝a ，BC→＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 解析 根据向量的三角形法则有|a ＋b ＋c |＝|AB →＋BC →＋BD→|＝|AB →＋BD →＋AD →|＝|AD →＋AD →|＝2|AD →|＝4.三、解答题(共25分)7．(12分)如图，在平行四边形OADB 中，设OA→＝a ，OB →＝b ，BM→＝13BC →，CN →＝13CD →.试用a ，b 表示OM →，ON →及MN →. 解 由题意知，在平行四边形OADB 中，BM→＝13BC →＝16BA→＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )＝16a －16b ，则OM→＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b . ON→＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )＝23a ＋23b ，MN→＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 8．(13分)(1)设两个非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A ，B ，D 三点共线． (2)设e 1，e 2是两个不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值． (1)证明 因为BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2， 所以BD →＝BC →＋CD →＝10e 1＋15e 2. 又因为AB →＝2e 1＋3e 2，得BD →＝5AB →，即BD →∥AB →， 又因为AB→，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． (2)解 D B →＝CB →－CD →＝e 1＋3e 2－2e 1＋e 2＝4e 2－e 1，AB →＝2e 1＋k e 2， 若A ，B ，D 共线，则AB →∥D B →，设D B →＝λAB →，所以⎩⎨⎧－1＝2λ，4＝λk⇒k ＝－8.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·济南一模)已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为三角形ABC 的 ( )．A ．AB 边中线的中点B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析 设AB 的中点为M ，则12OA →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OC →)＝13OM →＋23OC →，即3OP→＝OM →＋2OC →，也就是MP →＝2PC →，∴P ，M ，C 三点共线，且P 是CM 上靠近C 点的一个三等分点． 答案 B2．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )．A.15B.25C.35D.45解析 设AB 的中点为D ，由5AM→＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，也就是△ABM与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35，选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)3．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．解析 OB→＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB→－OC →＝CB →＝AB →－AC →，∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|.故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案 直角三角形4.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC→＝nAN →，则m ＋n 的值为________． 解析 ∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分)5．(12分)如图所示，在△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ→＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解 ∵AP→＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋NC →)＝12BC →，QA →＝MA →－MQ →＝12BM→＋λMC →，又∵AP→＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.6．(13分)已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点．(1)求GA→＋GB →＋GO →； (2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →， ∴GA→＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2)证明 显然OM →＝12(a ＋b )．因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P ，G ，Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ→. 而PG→＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ， GQ→＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13b . 又因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n ＝3.。
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(10 平面向量)
2012年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（10平面向量）一、选择题：1. (2012安徽理)在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ， 则点Q 的坐标是（ ）（A ）(- ()B (- ()C (2)-- ()D (2)-【解析】选A 【方法一】设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒==则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=- 【方法二】将向量(6,8)OP =按逆时针旋转32π后得(8,6)OM =-则)(OQ OP OM =+=-2. (2012福建文)已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a ⊥b 的充要条件是（ ）A.x=-12B.x=-1C.x=5 D .x=0 【解析】有向量垂直的充要条件得2（x-1）+2=0 所以x=0 。
D 正确 【答案】D【考点定位】考察数量积的运算和性质，要明确性质。
3. (2012广东文)若向量(1,2)AB =，(3,4)BC =，则AC =（ ）A. (4,6)B. (4,6)--C. (2,2)--D. (2,2) 3. A. (4,6)AC AB BC =+=.4．(2012广东理)若向量)3,2(=, )7,4(=，则BC =（ ）A.)4,2(--B. )4,2( C ．)10,6( D ．)10,6(-- 解析：（A ）．依题意得BC =)4,2()7,4()3,2(--=-=-=+5. (2012广东文) 对任意两个非零的平面向量α和β，定义=⋅⋅αβαβββ. 若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 且a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，则=a b （ ）A. 52B. 32C. 1D. 125. D. =⋅⋅a b a b b b 2cos cos θθ⋅==a b a b b，同理有cos θ=b b a a a b 和b a 都在集合2n n ⎧⎫∈⎨⎬⎭⎩Z 中，即2cos θa b 和2cos θb a 是整数， 取3πθ=，则a b 和b a 是整数，则1==a b b a，则=a b 12.6. (2012广东理) 对任意两个非零的平面向量和，定义βββα=，若平面向量b a ,满足0>≥，与的夹角⎪⎭⎫ ⎝⎛∈4,0πθ，且 和 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈Z n n |2中，则 =（ ）A ．21B ．1C ．3D ．25解析：（C ）．θos==， θ==因为 和 都在集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈Z n n |2中，故可设2m=， =2n，Z n m ∈, 所以θm =，θn =。
高考数学专题复习五-5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示-模拟练习题(附答案)
专题五 平面向量5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示基础篇考点一 平面向量的概念及线性运算1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a =(4,3),则与向量a 垂直的单位向量的坐标为 ( ) A.(45,35) B.(35,−45)C.(−45,−35)或(45,35) D.(35,−45)或(−35,45) 答案 D2.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD =2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2n B.-2m +3n C.3m +2n D.2m +3n 答案 B3.(2022四川绵阳二模,6)已知平面向量a ,b 不共线,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +6b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +3b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +3b ,则( )A.A ,B ,D 三点共线B.A ,B ,C 三点共线C.B ,C ,D 三点共线D.A ,C ,D 三点共线 答案 D4.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =38AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B.38AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −58AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C.-58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ D.58AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +38AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 C5.(2023届江西宜春月考,7)已知S △ABC =3,点M 是△ABC 内一点且MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△MBC 的面积为( )A.14B.13C.34D.12答案 C6.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC 中,点D 是线段BC 上任意一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若存在实数m 和n ,使得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +nAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n = ( )A.23 B.13 C.-23 D.−13 答案 C7.(2022贵州适应性考试,14)在平行四边形ABCD 中,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .若CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ= . 答案 23考点二 平面向量基本定理及坐标表示考向一 平面向量基本定理1.(2022江西重点中学联考二,5)设e 1,e 2是两个不共线的平面向量,若a =3e 1-2e 2,b =e 1+ke 2,且a 与b 共线,则实数k 的值为( ) A.-12 B.12 C.−23 D.23 答案 C2.(2022甘肃顶级名校第二次联考,14)如图,在△ABC 中,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +4y 的值为 .答案 13.(2022东北三省三校联考(二),14)在正六边形ABCDEF 中,点G 为线段DF (含端点)上的动点,若CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是 . 答案 [1,4]考向二 平面向量的坐标运算1.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a =(3,-2),b =(m ,1),若a ⊥b ,则a -3b = ( )A.(0,5)B.(5,1)C.(1,-5)D.(152,−5) 答案 C2.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a =(1,2),b =(1,1),若c =a +kb ,且b ⊥c ,则实数k =( )A.32B.−53C.53D.−32答案 D3.(2021云南统一检测一,7)已知向量a =(32,1),b =(−12,4),则 ( )A.a ∥(a -b )B.a ⊥(a -b )C.(a -b )∥(a +b )D.(a -b )⊥(a +b ) 答案 B4.(2018课标Ⅲ,13,5分)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ= . 答案 125.(2022合肥二模,13)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2t ,t +5),若A ,B ,C 三点共线,则t = . 答案 -16.(2021全国甲,14,5分)已知向量a =(3,1),b =(1,0),c =a +kb.若a ⊥c ,则k = . 答案 -1037.(2022河南中原名校4月联考,13)已知向量a =(-1,1),b =(-2,4),若a ∥c ,a ⊥(b +c ),则|c |= . 答案 3√28.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a -b |2=|a |2-|b |2,则实数m = . 答案 39.(2019上海,9,5分)过曲线y 2=4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与曲线y 2=4x 交于A 、B ,A 在B 上方,M 为抛物线上一点,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(λ-2)OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ= . 答案 310.(2022湘豫名校4月联考,13)已知向量a =(-1,3),b =(2x ,-x ),其中x ∈R ,则|a -b |的最小值为 . 答案 √5综合篇考法一 平面向量的线性运算1.(2021贵州安顺模拟,5)如图,在正六边形ABCDEF 中,M 为DE 的中点,设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.54a -34b B.-34a +54b C.54a +34b D.34a +54b 答案 D2.(2022届江苏南通如皋调研,7)如图,已知OA =2,OB =2,OC =1,∠AOB =60°,∠BOC =90°,若OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x y= ( )A.√3B.12 C.√33D.23答案 C3.(2021皖江名校4月联考,10)在△ABC 中,AC ⊥AB ,AB =2,AC =1,点P ,M 是△ABC 所在平面内一点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗ |+2AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,且满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,若AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2λ+μ的最小值是 ( )A.3+√2B.5C.1D.3−√2 答案 D4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC 中,BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,过点O 的直线分别交射线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,则△AMN 与△ABC 的面积之比的最小值为 ( )A.2√23B.49C.89 D.2答案 C5.(2022山西大同重点中学4月联考,14)在△ABC 中,若AD 是∠BAC 的平分线,且D 在边BC 上,则有ABAC =BDDC ,称之为三角形的内角平分线定理.已知在△ABC 中,AC =4,BC =6,AB =8,P 是△ABC 的内心,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则xy = . 答案8816.(2022昆明五华模拟,15)如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =3,以CD 为直径的半圆上有一点P ,若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ+μ的最大值为 .答案 737.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模分别为1,1,√2,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ,n ∈R ),则m +n = .答案 3考法二 向量共线问题1.(2021山西孝义二模,6)已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,cos α),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2sin α),若A ,B ,D 三点共线,则tan α=( )A.-2B.-12 C.12 D.2 答案 A2.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD 中,AB ∥DC 且AB =2DC ,点E 为线段BC 的靠近点C 的一个四等分点,点F 为线段AD 的中点,AE 与BF 交于点O ,且AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x +y 的值为( )A.1B.57C.1417D.56答案 C3.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC 中,点D 在线段AC 上,且满足|AD |=13|AC |,点Q 为线段BD 上任意一点,若实数x ,y 满足AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =xAB⃗⃗⃗⃗⃗ +yAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则1x+1y的最小值为 ( )A.4B.4√3C.8D.4+2√3 答案 D4.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC 中,E 、F 分别为AC 、AB 上的点,BE 与CF 交于点Q ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,延长AQ 交BC 于点D ,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λQD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C5.(2022豫北名校联盟4月联考,14)如图所示,A ,B ,C 是圆O 上的三点,线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOA⃗⃗⃗⃗⃗ +nOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则m +n 的取值范围为 .答案 (-1,0)。
数学高考平面向量的概念及线性运算专题复习题附答案
《数学高考平面向量的概念及线性运算专题复习题附答案.doc》长度等于0的向量叫做零向量，下面的是数学高考复习平面向量的概念及线性运算专题测试，...将本文的Word文档下载，方便收藏和打印推荐度：点击下载文档https://m./shiti/2043547.html下载说明：1. 下载的文档为doc格式，下载后可用word文档或者wps打开进行编辑；2. 若打开文档排版布局出现错乱，请安装最新版本的word/wps 软件；3. 下载时请不要更换浏览器或者清理浏览器缓存，否则会导致无法下载成功；4. 网页上所展示的文章内容和下载后的文档内容是保持一致的，下载前请确认当前文章内容是您所想要下载的内容。
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高考数学平面向量的概念及线性运算专题卷
高考数学平面向量的概念及线性运算专题卷一、单选题（共12题；共24分）1.已知向量，=（﹣5，），=（10，﹣），则与（）A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向2.关于有以下说法，不正确的是（）A. 的方向是任意的B. 与任一向量共线，所以C. 对于任意的非零向量，都有D.3.设P是△ABC所在平面内的一点，，则( )A. B. C. D.4.在△ABC中，M是BC的中点．若＝，＝，则＝( )A. B. C. D.5.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若,则的值为（）A. B. C. D.6.向量( ＋)＋( ＋)＋化简后为( )A. B. C. D.7.已知的三个顶点及平面内一点满足：，若实数满足：，则的值为（）A. B. C. D.8.在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则（）A. B. C. D.9.在中，点D为边AB的中点，则向量A. B. C. D.10.在中，若点满足，且，则（）A. B. C. D.11.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B. C. D.12.向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )A. －10＋8iB. 10－8iC. 0D. 10＋8i二、填空题（共5题；共5分）13.在中，，点在上，，，则________．14.已知点为所在平面上的一点,且,其中为实数,若点落在的内部,则的取值范围是________.15.有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；其中正确命题的序号是________16.正中，在方向上的投影为，且,则________.17.已知，，，，且，，则向量与的夹角是________．三、解答题（共3题；共35分）18.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．（1）若= ，求D点的坐标；（2）设向量= ，= ，若k ﹣与+3 平行，求实数k的值．19.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，1），C（2，0），点P是平面直角坐标系xOy 上一点，且=m （m，n∈R），（1）若m=1，且∥，试求实数n的值；（2）若点P在△ABC三边围成的区域（含边界）上，求m+3n的最大值．20.设两个非零向量与不共线.（1）如果, , ,求证：、、三点共线；（2）试确定实数的值，使和共线.答案一、单选题1. D2. C3. B4. D5.A6.A7. D8. A9. A 10. C 11.D 12.C二、填空题13. 12 14. 15.⑤④16. 17.三、解答题18.（1）解：设D（x，y）．∵，∴（2，﹣2）﹣（1，3）=（x，y）﹣（4，1），化为（1，﹣5）=（x﹣4，y﹣1），∴，解得，∴D（5，﹣4）（2）解：∵=（1，﹣5），= =（4，1）﹣（2，﹣2）=（2，3）．∴=k（1，﹣5）﹣（2，3）=（k﹣2，﹣5k﹣3），=（1，﹣5）+3（2，3）=（7，4）．∵k ﹣与+3 平行，∴7（﹣5k﹣3）﹣4（k﹣2）=0，解得k= ．∴19.（1）解：由题设知：，，∵m=1，所以：，又∵，，∴2+3n=﹣1，得n=﹣1，所以，满足题意的实数n=﹣1（2）解：设P（x，y），…∴令：，∴，∴m+3n=x﹣y，令z=x﹣y，由图知，当直线y=x﹣z过点C（2，0）时，z取得最大值2，故m+3n的最大值为220. （1）证明：,∴A、B、D共线.（2）解：要使和共线，只需存在实数，使.于是, .∴.由于与不共线，所以只有, .。
2012年高考数学 高考试题+模拟新题分类汇编专题F 平面向量 文
F 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算4．H1、F1[2012·某某卷] 若d ＝(2,1)是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．4．arctan 12[解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．由已知可得直线的斜率k ＝12，k ＝tan α，所以直线的倾斜角α＝arctan 12.20．H5、F1、H1[2012·某某卷] 已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．20．解：(1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a ＞2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2，将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k2，又由OB →＝2OA →得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k2，由OB →＝2OA →得x 2B ＝161＋4k 2，y 2B ＝16k 21＋4k2，将x 2B ，y 2B 代入y 216＋x 24＝1中，得4＋k 21＋4k 2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2，解得k ＝±1， 故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .F2 平面向量基本定理及向量坐标运算13．F2、F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010 (2)－255 [解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫310，110，即⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝b －3a ·a |b －3a ||a |＝－2，1·1，05×1＝－255.3．F2[2012·某某卷] 若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)3．A [解析] 因为AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.9．F2[2012·全国卷] △ABC 中，AB 边的高为CD ，若CB →＝a ，CA →＝b ，a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35bD.45a －45b9．D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a 和b 作为基底去表示向量AD →.易知a ⊥b ，|AB |＝5，用等面积法求得|CD |＝255，∵AD ＝AC 2－CD 2＝455，AB ＝5，∴AD →＝45AB →＝45(a －b )，故选D.7．F2、C6[2012·某某卷] 设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( )A.22B.12C ．0D ．－1 7．C [解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos 2θ＝0，则cos2θ＝2cos 2θ－1＝0.故选C.6．F2、F3[2012·某某卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋－12＝10，选B.F3 平面向量的数量积及应用12．F3[2012·某某卷] 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1.若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|→||CD →|，则AM →·AN →的取值X 围是________．12．[1,4] [解析] 令BM →＝nBC →(0≤n ≤1)，则DN →＝(1－n )DC →，在矩形ABCD 中，AM →＝AB →＋nAD →，AN →＝AD →＋(1－n )AB →，所以AM →·AN →＝(AB →＋nAD →)·[AD →＋(1－n )AB →]＝(1－n )AB →2＋nAD →2＝4－3n ，而函数f (n )＝4－3n 在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，所以AM →·AN →的取值X 围是[1,4]．1．F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12C.12 D ．11．D [解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．因为a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝1×2－1·x ＝1⇒x ＝1，所以答案选D.15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.15．[答案] 3 2[解析] 因为|2a －b |＝10，平方得4a 2－4a ·b ＋b 2＝10，得4－4×|b |×22＋|b |2＝10，解得|b |＝3 2.12．F3[2012·某某卷] 设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________.12. 5 [解析] 设c ＝(1,2) ，则c ⊥b ，∴c ∥m .∵| m |＝1，∴|m·c |＝|c |＝ 5.21．H5、H8、F3[2012·某某卷] 如图，设椭圆的中点为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求△PB 2Q 的面积．21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形且|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，从而|OA |＝|OB 2|，即b ＝c 2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2，c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝255.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2， 由题设条件S △AB 1B 2＝4得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20.因此所求椭圆的标准方程为：x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)、B 2(2,0)．由题意，直线PQ 的倾斜角不为0，故可设直线PQ 的方程为：x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.(*)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5.又B 2P →＝(x 1－2，y 1)，B 2Q →＝(x 2－2，y 2)，所以 B 2P →·B 2Q →＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2 ＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16＝－16m 2＋1m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，知B 2P →·B 2Q →＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.当m ＝2时，方程(*)化为：9y 2－8y －16＝0，故y 1＝4＋4109，y 2＝4－4109，|y 1－y 2|＝8910，△PB 2Q 的面积S ＝12|B 1B 2|·|y 1－y 2|＝16910.当m ＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB 2Q 的面积S ＝16910.综上所述，△PB 2Q 的面积为16910.9．F3[2012·某某卷] 如图1－3，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．9. 2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F 的位置．以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则AB →＝(2，0)． 设AF →＝(x,2)，则由条件得2x ＝2，得x ＝1，从而F (1,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(1－2，2)，于是AE →·BF →＝ 2.15．F3[2012·某某卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP＝3，则AP →·AC →＝________.图1－515．18 [解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．AP →·AC →＝AP →·(DB →＋2BC →) ＝2AP →·BC →＝2AP →·AD →＝2|AP →|·|AP →|＝18.[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化AD →＝BC →，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了AD →在向量AP →上的射影等于|AP →|.13．F2、F3[2012·某某卷] 已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则 (1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．13．[答案] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫31010，1010 (2)－255[解析] (1)由题意，2a ＋b ＝(3,1)，所以与2a ＋b 同向的单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫310，110，即⎝⎛⎭⎪⎫31010，1010. (2)因为a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，所以b －3a ＝(－2,1)．设向量b －3a 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝b －3a ·a |b －3a ||a |＝－2，1·1，05×1＝－255.10．F3[2012·某某卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α∘ββ∘β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )A.52B.32 C ．1 D.1210．D [解析] 根据新定义得：a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b ||b |＝|a |cos θ|b |＝n 2(n ∈Z )，(1)b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a ||a |＝|b |cos θ|a |＝m 2(m ∈Z )，(2)以上两式相乘得：cos 2θ＝n ·m 4(n ，m ∈Z )．∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，即n ·m 4<12，所以0<mn <2，又因为n ，m ∈Z ，所以m ＝n ＝1，所以a ∘b ＝12.所以选择D. 11．F3[2012·某某卷] 设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )，若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.11. 2 [解析] 因为a ＋c ＝(3,3m )，又b ＝(m ＋1,1)，(a ＋c )⊥b, 所以(a ＋c )·b ＝0，即(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)．故|a |＝ 2.13．F3[2012·卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________，DE →·DC →的最大值为________．13．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE ·CB ＝DE →·DA →＝|DE →|·|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →·DC →最大只要使向量DE →在向量DC→上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →·DC →)max ＝|DC →|2＝1；法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE →，所以DE →·CB →＝(DA →＋AE →)·DA →＝|DA →|2＝1，DE →·DC →＝(DA →＋AE →)·AB →＝AB →·AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →·DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →·DC →)max ＝1.法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x,1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x,1)，CB →＝(0,1)，可得DE →·CB →＝x ×0＋1×1＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →·DC →)max ＝1.3．A2、F3[2012·某某卷] b ＝(2,1)，则a⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝03．D [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即(x －1)×2＋2×1＝0，解得x ＝0.8．F3[2012·某某卷] 在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23C.43D ．2 8．B [解析] BQ →·CP →＝(AQ →－AB →)·(AP →－AC →)＝[(1－λ)AC →－AB →]·(λAB →－AC →)＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＝3λ－4＝－2，解得λ＝23.7．F3[2012·某某卷] 设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |7．C [解析] 本题考查对平面向量数量积理解及应用．法一：对于选项A ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的向量，A 不正确；对于选项B ，由a ⊥b ，得a ·b ＝0，由|a ＋b |＝|a |－|b |得a ·b ＝－|a ||b |，故B 不正确；对于选项C ，若|a ＋b |＝|a |－|b |可得a ·b ＝－|a ||b |，则a 与b 为方向相反的共线向量，∴b ＝λa ；对于选项D ，若b ＝λa ，当λ>0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当λ<0时，可有|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 不正确．法二：特值验证排除，先取a ＝(2,0)，b ＝(－1,0)，满足|a ＋b |＝|a |－|b |，但两向量不垂直，故A 错；再取a ＝(2,0)，b ＝(1,0)，满足a ＝λb ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故D 错；取a ＝(2,0)，b ＝(0，－1)，满足a ⊥b ，但不满足|a ＋b |＝|a |－|b |，故B 错，所以答案为C.[点评] 由|a ＋b |＝|a |－|b |判断a ，b 方向相反，且有|a |≥|b |是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．15．C8、F3[2012·某某卷] 在△ABC 中，M 是线段BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.15．－16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →＋MC →) ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－5×5＝－16.法二：特例法：假设△ABC 是以AB 、AC 为腰的等腰三角形，如图，AM ＝3，BC ＝10，AB ＝AC ＝34，cos ∠BAC ＝34＋34－1002×34＝－817，AB →·AC →＝|AB →|·|AC→|·cos∠BAC ＝－16.6．F2、F3[2012·某某卷] 设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a⊥b ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5 D ．106．B [解析] 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0，即x ·1＋1·(－2)＝0，解得x ＝2，所以a＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝32＋－12＝10，选B.F4 单元综合7．F4[2012·某某卷] 设a 、b 都是非零向量．下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．|a |＝|b |且a ∥bB ．a ＝－bC ．a ∥bD ．a ＝2b 7．D [解析] 要使得a |a |＝b|b |，在a ，b 为非零向量的前提下，必须且只需a 、b 同向即可，结合四个选项，只有D 满足这一条件．16．C9、F4[2012·某某卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．16．(2－sin2,1－cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P 旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q ，圆心为C 2，作C 2M ⊥y 轴于M, ∠PC 2Q ＝2，∠PC 2M ＝2－π2，∴点P 的横坐标为2－1×cos ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝2－sin2，点P 的纵坐标为1＋1×sin ⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＝1－cos2.2012模拟题1．[2012·某某测试] 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，x )，且a ∥b ，则x ＝( )A ．－23 B.23C ．6D ．－61.C [解析] 由a ∥b 则x －3×2＝0，即x ＝6，选C.2．[2012·某某一中模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y∈R )，则x ＋y 的最大值是( )A ．2 B. 3 C.2D ．12．A [解析] 因为a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝－12，c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，由|c |＝1得x 2＋y 2＝xy ＋1，所以xy ≤1，而(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＝3xy ＋1≤4，x ＋y ≤2，选A.3．[2012·某某普通高中联考] 关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零平面向量)，且a 、b 不共线，则该方程的解的情况是( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．C [解析] 由已知，x 是实数．关于x 的方程a x 2＋b x ＋c ＝0(其中a 、b 、c 都是非零向量)可化为c ＝－x 2a －xb ，a ，b 不共线且为非零平面向量，由平面向量的基本定理，存在唯一实数对(m ，n )使c ＝m a ＋n b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＝m －x ＝n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－m ，x ＝－n ，至多有两个解．4．[2012·某某期末] 设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．4．5 [解析] 设OA →，OB →的夹角为α，则cos α＝－2×4＋1×35×5＝－55，∴sin α＝255，S △OAB ＝12×5×5×255＝5.5．[2012·某某质量评估] 如图G5－1，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在OA ，OB 上，且OC ＝BD .若OA ＝1，∠AOB →MD →的取值X 围是________．5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，12 [解析] 设OC ＝BD ＝x ，MC →·MD →＝(OC →－OM →)·(OD →－OM →)＝OC →·OD →＋OM →2－OM →·(OC →＋OD →)．∵∠＝∠DOM ＝60°，∴MC →·MD →＝x (1－x )cos120°＋1－x cos60°－(1－x )cos60°＝x 2－x ＋12，x ∈[0,1]．。
2012届高考数学一轮复习精品题集之平面向量
平面向量第2章平面向量§2.1向量的概念及其表示重难点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量，掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系．考纲要求：①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念及向量相等的含义．③理解向量的几何表示．经典例题：下列命题正确的是（）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行当堂练习：1.下列各量中是向量的是( )A.密度B.体积C.重力D.质量2下列说法中正确的是（）A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量C. 零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量3．设O是正方形ABCD的中心，则向量AO、OB、CO、OD是（）A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等的向量D．模都相同的向量4.下列结论中,正确的是( )A. 零向量只有大小没有方向B. 对任一向量,||>0总是成立的|=|| D. ||与线段BA的长度不相等C. |5.若四边形ABCD是矩形,则下列命题中不正确的是( )A. 与共线B. 与相等C. AD与是相反向量D. AB与模相等6．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，（1）与BC相等的向量有；（2）与OB 长度相等的向量有 ； （3）与DA 共线的向量有 ．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ．并对你的判断举例说 明 ．8．如图，O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：（1）与AO 相等的向量有 ；（2）写出与AO 共线的向有 ； （3）写出与AO 的模相等的有 ； （4）向量AO 与CO 是否相等？答 ． 9．O 是正六边形ABCDE 的中心，且OA a =，OB b =，AB c =，在以A ，B ，C ，D ，E ，O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有 ； （2）与b 相等的向量有 ； （3）与c 相等的向量有10．在如图所示的向量a ，b ，c ，d ，e 中（小正方形的边长为1），是否存在：（1）是共线向量的有 ； （2）是相反向量的为 ； （3）相等向量的的 ； （4）模相等的向量 ．11．如图，△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，AB ，CA 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段中所表示的向量中，（1）与向量FE 共线的有 ．OABC DE F（2）与向量DF 的模相等的有 ． （3）与向量ED 相等的有 ．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．若它位于图中的P 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否从点A 走到与它相邻的B ？它能否从一交叉点出发，走到棋盘上的其它任何一个交叉点？第2章 平面向量 §2.2向量的线性运算重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件．考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。
高考数学(文)大一轮复习检测：第四章第1讲平面向量的概念及线性运算 Word版含答案
知识点考纲下载平面向量的实际背景及基本概念 1.了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．向量的线性运算1.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．2．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 3．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 平面向量的基本定理及坐标表示1.了解平面向量的基本定理及其意义．2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 平面向量的数量积及向量的应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．第1讲平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律3.两个向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2．三点共线的等价关系A ，P ，B 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0)⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，P ，B的任一点，t ∈R )⇔OP →＝xOA →＋yOB →(O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．1.教材习题改编如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是( )A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|D [解析] 根据向量的概念可知选D.2.教材习题改编下列结论正确的是( ) A ．若|a |＝0，则a ＝0B ．若a ，b 是两个单位向量，则a ＝bC ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．若AB ＝AC ，则AB →＝AC →C [解析] 根据向量的概念可知选C.3.教材习题改编如图，▱ABCD 的对角线交于M ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a ，b 表示MD →为( )A ．12a ＋12bB ．12a －12bC ．－12a －12bD ．－12a ＋12bD [解析] MD →＝12BD →＝12(b －a )＝－12a ＋12b ，故选D.4.教材习题改编已知a ，b 是非零向量，命题p ：a ＝b ，命题q ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [解析] 若a ＝b ，则|a ＋b |＝|2a |＝2|a |，|a |＋|b |＝|a |＋|a |＝2|a |即p ⇒q ，若|a ＋b |＝|a |＋|b |，由加法的运算知a 与b 同向共线，即a ＝λb 且λ＞0，故q ⇒/p . 所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.5.教材习题改编向量e 1与e 2不共线，若a ＝e 1－e 2与b ＝－2e 1＋λe 2共线，则λ的值为________．[解析] 因为e 1与e 2不共线，且a ＝e 1－e 2与b ＝－2e 1＋λe 2共线，所以存在μ∈R ，使e 1－e 2＝μ(－2e 1＋λe 2)＝－2μe 1＋μλe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2μ－1＝μλ，所以λ＝2. [答案] 2平面向量的有关概念[学生用书P87][典例引领]给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③向量AB →与向量CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c . 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0【解析】①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0时，则a 与c 不一定平行． 【答案】D对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．[通关练习]1．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 A [解析]只有④正确．2．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3D [解析]向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(高频考点)[学生用书P88]平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算，是高考考查向量的热点．常以选择题、填空题的形式出现．高考对平面向量的线性运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求已知向量的和；(2)用已知向量表示未知向量； (3)求参数的值．[典例引领](1)(2015·高考全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A ．AD →＝－13AB →＋43AC →B ．AD →＝13AB →－43AC →C ．AD →＝43AB →＋13AC →D ．AD →＝43AB →－13AC →(2)(2015·高考北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．【解析】 (1)AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC →.(2)因为AM →＝2MC →，所以AM →＝23AC →.因为BN →＝NC →，所以AN →＝12(AB →＋AC →)，所以MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.【答案】 (1)A (2)12－16向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[题点通关]角度一求已知向量的和1．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．BC →D ．12BC →A [解析]EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →，故选A.角度二用已知向量表示未知向量 2．(2017·龙岩模拟)如图所示，下列结论正确的是( )①PQ →＝32a ＋32b ；②PT →＝32a －b ；③PS →＝32a －12b ；④PR →＝32a ＋b .A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④C [解析]①根据向量的加法法则，得PQ →＝32a ＋32b ，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT →＝32a －32b ，故②错误；③PS →＝PQ →＋QS →＝32a ＋32b －2b ＝32a －12b ，故③正确；④PR →＝PQ →＋QR →＝32a ＋32b －b ＝32a ＋12b ，故④错误．故选C.角度三求参数的值3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A ．23B ．13C ．－13D ．－23A [解析]如图所示，过点D 分别作AC ，BC 的平行线，分别交BC ，AC 于点F ，E ，所以CD →＝CE →＋CF →.因为AD →＝2DB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝23CB →，故CD →＝13CA →＋23CB →，所以λ＝23.平面向量共线定理的应用[学生用书P88][典例引领]已知非零向量e 1，e 2不共线． (1)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)， 求证：A 、B 、D 三点共线；(2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．【解】 (1)证明：因为AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →，所以AB →与BD →共线， 且有公共点B ，所以A 、B 、D 三点共线． (2)因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. 由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1.[通关练习]1．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( )A ．λ＋μ＝2B ．λ－μ＝1C ．λμ＝－1D ．λμ＝1D [解析]因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥AC →，设AB →＝mAC →(m ≠0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝m ，1＝mμ，所以λμ＝1，故选D.2．已知a ，b 是两个不共线的非零向量，且a 与b 起点相同，若a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一直线上，则t ＝________．[解析] 因为a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上，且a 与b 起点相同．所以a －t b 与a －13(a ＋b )共线．即a －t b 与23a －13b 共线．所以存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝⎛⎭⎫23a －13b ，所以⎩⎨⎧1＝23λ，t ＝13λ，解得λ＝32，t ＝12，即t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上．[答案]12,[学生用书P323(独立成册)])1.如图所示，D 是△ABC 的边AB 的中点，则向量CD →＝( )A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →＋12AB →C ．BC →－12BA →D ．BC →＋12BA →A [解析] 因为CD →＝CB →＋BD →，CB →＝－BC →，BD →＝12BA →，所以CD →＝－BC →＋12BA →.2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( )A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．以上都不对C [解析] 由已知，得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →，故AD →∥BC →.又因为AB →与CD →不平行，所以四边形ABCD 是梯形．3．设D ，E ，F 分别是△ABC 的三边BC ，CA ，AB 上的点，且DC →＝2BD →，CE →＝2EA →，AF →＝2FB →，则AD →＋BE →＋CF →与BC →( )A ．反向平行B ．同向平行C ．互相垂直D ．既不平行也不垂直A [解析] 由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，BE →＝BA →＋AE →＝BA →＋13AC →，CF →＝CB →＋BF →＝CB →＋13BA →，因此AD →＋BE →＋CF →＝CB →＋13(BC →＋AC →－AB →)＝CB →＋23BC →＝－13BC →，故AD →＋BE →＋CF →与BC →反向平行．4．已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( )A ．aB ．bC ．cD ．0D [解析] 依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0.5．已知P 是△ABC 内的一点，AP →＝13(AB →＋AC →)，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为( )A ．2B ．3C ．32D ．6B [解析] 由AP →＝13(AB →＋AC →)，得3AP →＝AB →＋AC →，AP →＋(AP →－AB →)＋(AP →－AC →)＝0.所以PB →＋PC →＋P A →＝0，P 是△ABC 的重心．所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为3.6．如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋bD [解析] 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .7．(2017·唐山统考)已知a 与－b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ的值为________．[解析]因为a ＋λb 与－(b －3a )共线， 所以存在实数μ，使a ＋λb ＝μ(3a －b )，即⎩⎪⎨⎪⎧1＝3μ，λ＝－μ，所以⎩⎨⎧μ＝13，λ＝－13.[答案] －138．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确命题的个数为________．[解析] BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；所以AD →＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0.所以正确命题为②③④.[答案] 39．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．[解析] 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC→|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝2 3.[答案] 2 310．在直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝23，BC ＝2，点E 在线段CD 上，若AE →＝AD →＋μAB →，则μ的取值范围是________．[解析] 由题意可求得AD ＝1，CD ＝3，所以AB →＝2DC →.因为点E 在线段CD 上，所以DE →＝λDC →(0≤λ≤1)．因为AE →＝AD →＋DE →，又AE →＝AD →＋μAB →＝AD →＋2μDC →＝AD →＋2μλDE →，所以2μλ＝1，即μ＝λ2.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.[答案] ⎣⎡⎦⎤0，1211.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.[解] 因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a－56b ＝12a －16b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16b .12．设M 是△ABC 所在平面上的一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A ．13B ．12C ．1D ．2 A [解析] 因为D 是AC 的中点，延长MD 至E ，使得DE ＝MD ，所以四边形MAEC 为平行四边形，所以MD →＝12ME →＝12(MA →＋MC →)．因为MB →＋32MA →＋32MC →＝0，所以MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →，所以|MD →||BM →|＝|MD →||3MD →|＝13，故选A .13.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB →，BC→分别为a ，b ，则AH →＝( )A ．25a －45bB ．25a ＋45bC ．－25a ＋45bD ．－25a －45bB [解析] 如图，过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，且GF →＝12EC →＝14BC →，所以GF →＝14AD →，则△AHD ∽△FHG ， 从而HF →＝14AH →， 所以AH →＝45AF →，AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ， 所以AH →＝45(b ＋12a )＝25a ＋45b ，故选B. 14．已知点G 是△ABC 的重心，过G 作一条直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求xy x ＋y的值． [解] 法一：由已知得M ，G ，N 三点共线，所以AG →＝λAM →＋(1－λ)AN →＝λx AB →＋(1－λ)yAC →，因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎨⎧λx ＝13（1－λ）y ＝13，即⎩⎨⎧λ＝13x 1－λ＝13y ，得13x ＋13y ＝1， 即1x ＋1y ＝3，通分变形得，x ＋y xy ＝3，所以xy x ＋y ＝13. 法二：利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ＝23，y ＝23，所以xy x ＋y＝13. 15.如图，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →，BF →；(2)求证：B ，E ，F 三点共线．[解] (1)延长AD 到G ，使AD →＝12AG →， 连接BG ，CG ，得到平行四边形ABGC ，所以AG →＝a ＋b ，AD →＝12AG →＝12(a ＋b )， AE →＝23AD →＝13(a ＋b )，AF →＝12AC →＝12b ， BE →＝AE →－AB →＝13(a ＋b )－a ＝13(b －2a )， BF →＝AF →－AB →＝12b －a ＝12(b －2a )． (2)证明：由(1)可知BE →＝23BF →， 又因为BE →，BF →有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．。
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第二十三讲 平面向量的概念及线性运算
一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)
1.(2010•四川)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC
=16,
||||,AB AC AB AC +=- 则|AM |=()
A.8
B.4
C.2
D.1
解析:由||||AB AC AB AC +=- 可知,AB ⊥,AC 则AM 为Rt△ABC 斜边BC 上的中线,因
此,|1|||2,2
AM BC == 选C. 答案:C
2.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB sAC ==+ 则r+s 的值是()
24.
.3
3
A B C.-3 D.0 解析:∵2CD DB = ∴22()33CD CB AB AC ==- ∴22,33
CD AB AC =- 又,CD r AB sAC =+ ∴r=22,33
s =-,∴r+s=0.故选D. 答案:D
3.平面向量a,b 共线的充要条件是()
A.a,b 方向相同
B.a,b 两向量中至少有一个为0
C.存在λ∈R,使b=λ a
D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0
解析:a,b 共线时,a,b 方向相同或相反,故A 错.a,b 共线时,a,b 不一定是零向量,故B 错.当b=λa 时,a,b 一定共线,若b≠0,a=0.则b=λa 不成立,故C 错.排除A 、B 、C,故选D.
答案:D
4.已知O ､A ､B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB += 则OC 等于( )
.2.22112..3333
A OA O
B B OA OB
C OA OB
D OA OB --+--+ 解析:22(),OC OB BC OB AC OB OC OA =+=+=+- ∴2,OC OA OB =- 故选A.
答案:A
5.设D ､E ､F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且2,2,2,DC BD CE EA AF FB === 则
AD BE CF ++ 与()BC
A.反向平行
B.同向平行
C.不平行
D.无法判断
解析:12,,332,3
AD AB BD AB BC BE BC CE BC CA CF CA AF CA AB =+=+=+=+=+=+ ∴55433354541().33333
AD BE CF AB CA BC AB CA BC CB BC BC ++=++=++=+=- 故选A. 答案:A
6.已知a,b 是不共线的向量,AB =λa+b,AC =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线的充要条
件为()
A.λ+μ=2
B.λ-μ=1
C.λμ=-1
D.λμ=1
解析:对充要条件的问题,要注意从充分性和必要性两个方面进行分析论证.由A 、B 、C 三点共线
AB ∥AC AB mAC λα= λa+b=ma+m μb (λ-m)a=(m μ-1)b.
因为a,b 不共线,
所以必有,10
m m λμ=⎧⎨-=⎩故可得λμ=1.
反之,若λμ=1,则μ=1.λ所以11AC a b λλ=+= (λa+b)=1,AB AB αλ
∥,AC 所以A 、B 、C 三点共线.
故选D.
答案:D
二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)
7.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+- ,则△ABC 的形状为________.
解析:2,,
OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC +-=-+-=+-==- ∴||||,AB AC AB AC +=- 故A ､B ､C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形.
答案:直角三角形
8.在平行四边形ABCD 中,E ､F 分别是边CD 和BC 的中点,若AC =λAE +u ,AF 其中λ,u∈R,则
λ+u=________.
解析:设,,BC b BA a == 则11,,22AF b a AE b a AC =-=- =b-a,代入条件得λ=u=23,∴λ+u=43
. 答案:43
9.如图,平面内有三个向量OA ､OB ､,OC 其中OA 与OB 的夹角为120°,OA 与OC 的夹角为30°,
且|OA |=|OB |=1,|OC
|=若OC =λOA + μOB (λ,μ∈R),则λ+μ的值为________
.
解析:过C 作OA 与OB 的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由
∠BOC=90°,∠AOC=30°,||OC = 得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=2+4=6.
答案:6
10.如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB,AC 于不同的两点M,N,若,,AB mAM AC nAN == 则m+n 的值为________.
解析:由于MN 的任意性可用特殊位置法:当MN 与BC 重合时知m=1,n=1,故m+n=2.
答案:2
三､解答题:(本大题共3小题,11､12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)
11．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R ，若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，tb ，13
(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？
解：设a －tb ＝m [a －13
(a ＋b )]，m ∈R ， 化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭
⎫m 3－t b ， ∵a 与b 不共线，
∴⎩⎨⎧ 23m －1＝0m 3－t ＝0⇒⎩
⎨⎧ m ＝32，t ＝12
. ∴t ＝12时，a ，tb ，13(a ＋b )的终点在一条直线上． 12.设a 、b 是不共线的两个非零向量,
(1)若2,3,OA a b OB a b OC =-=+ =a-3b,求证:A 、B 、C 三点共线;
(2)若8a+kb 与ka+2b 共线,求实数k 的值.
解:(1)证明:∵AB = (3a+b)-(2a-b)=a+2b.
而BC =(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,AB
∴AB 与BC 共线,且有公共端点B,
∴A、B 、C 三点共线.
(2)∵8a+kb 与ka+2b 共线,
存在实数λ使得8a+kb=λ(ka+2b) (8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a 与b 是不共线的两个非零向量,
∴⎩⎪⎨⎪⎧
8－λk ＝0，k －2λ＝0，⇒8＝2λ2⇒λ＝±2， ∴k ＝2λ＝±4.
13.如图所示,△ABC 中,点M 是BC 的中点,点N 在AC 边上,且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,求AP PM 的值.
解:设BM =e 1,CN = e 2,则AM AC CM =+ =-3e 2-e 1,BN = 2e 1+e 2,
∵A ､P ､M 和B ､P ､N 分别共线,∴存在λ､μ∈R,使AP =λAM =-λe 1-3λe 2,BP =μBN =2μe 1+μe 2.
故BA BP AP =- =(λ+2μ)e 1+(3λ+μ)e 2,
而BA BC CA =+= 2e 1+3e 2,
∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋2μ＝23λ＋μ＝3，∴⎩⎨⎧ λ＝45μ＝35，
∴4,5
AP AM = 即AP:PM=4:1.。