2018年(辽宁地区)聚焦中考数学总复习专题突破训练：第14讲三角形及其性质(数理化网)

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2018年全国中考数学三角形全等、相似专题复习汇总

2018 年全国中考数学三角形全等、相似专题复习汇总
【课标要求】 1.三角形的有关概念： (1)了解三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系； (2)理解三角形内角和定理及推论； (3)理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质. 2.特殊三角形的性质和判定： (1)了解等腰三角形及等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定； (2)掌握线段中垂线和角平分线的性质及判定； (3)了解直角三角形的有关概念，掌握其性质与判定； (4)掌握勾股定理与逆定理，并能用来解决有关问题. 3.全等三角形： (1)理解全等三角形的定义和性质； (2)掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明； 4.相似三角形： (1)比例线段：了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题. (2)相似图形：了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用； (3)相似三角形： ①了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件； ②能利用图形的相似解决一些实际问题； ③通过实例了解中心投影和平行投影，了解视点、视线及盲区的涵义； (4)位似了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质. 【课时分布】本单元在第一轮复习时大约需要 9 个课时，下表为内容及课时安排(仅供参考). 课时数 1 2 1 3 2 【知识回顾】 1.知识脉络内容三角形的有关概念等腰三角形、直角三角形全等三角形的判定、性质相似三角形单元测评
三角形的有关概念
三角形的边角关系
等腰三角形三角形两类特殊三角形直角三角形
等边三角形
勾股定理
全等三角形的性质三角形全等全等三角形的判定相似比 K=1 相似三角形的性质三角形相似相似三角形的判定 2.基础知识 (1)三角形的概念及性质三角形的概念：由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形. 三角形的性质： ① 三角形的内角和是 180°； ② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角； ③ 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边. (2)三角形中的重要线段三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高. 三角形的中线在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. 三角形的中位线 ①连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. ②定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半. (3)三角形的外心、内心 ①三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ②三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三角形三边的距离相等. (4)等腰三角形

2022-2023学年辽宁省大连市中考数学专项突破仿真模拟试卷(一模二模)含解析

2022-2023 学年辽宁省大连市中考数学专项突破仿真模拟试卷（一模）
请点击修正第 I 卷的文字阐明
第 I 卷（选一选）
评卷人得分一、单选题
1．下列四个数中，的数是（）
A．﹣2
B．
x2 y 3
2．计算
的结果是（
）
C．0
D．6
A． x6 y3
B． x5 y3
C． x5 y
D． x2 y3
如果不是，请阐明理由；
②如图（2），已知点 A1, 2， B 2,1，点 G 是线段 AB 上的动点，点 F 在 y 轴上，若以 A 、
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
信息二：A、B 两个采样点送检车行驶的工夫之和为 2 小时．
若 B 采样点从开始采集样本到送检车出发用了 2.6 小时，则 B 采样点采集的样本会不会失效？
23．2022 年 3 月 23 日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶
光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校先生全员观
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
评卷人得分三、解答题
( 1 )1 3 tan 30 12
19．计算： 2
．
5x 2 3(x 2)
20．解不等式组：
x
3
5
2x
看了太空授课直播，为了了解先生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分先生（每人

中考数学一轮复习第14讲解直角三角形试题

卜人入州八九几市潮王学校第十四讲：解直角三角形知识梳理知识点1.直角三角形中边与角的关系重点：纯熟掌握直角三角形中边与角的关系难点：运用直角三角形中边与角的关系中，∠C=90°〔1〕边的关系：〔2〕角的关系：〔3〕边与角的关系：sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝bc ，tanA ＝＝a b ，tanB ＝b a。

例1如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕A ．3sin 2A =B ．1tan 2A =C ．3cos 2B =．tan 3B =解题思路：运用直角三角形的边角关系，选D例2．在AABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是() A ．43B ．34C ．53D ．54 解题思路：运用直角三角形的边角关系，例1选D ，例2选C练习1在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1,c=4,那么sinA 的值是()BCAαCBAA 、1515B 、41C 、31D 、415ΔABC 中,∠C=900,那么以下等式中不正确的选项是() 〔A 〕a=csinA ；〔B 〕a=bcotB ；〔C 〕b=csinB ；〔D 〕c=cos b B.重点：熟记特殊角的三角函数值难点：纯熟计算三角函数值特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：例：计算：006045解题思路：0sin 60=0cos 45= 原式练习 1.计算2(2)tan 452cos 60-+-。

；2.计算：()2cos 602009π--+°知识点3.直角三角形的解法重点：利用直角三角形的边角关系解直角三角形难点：理解题意，灵敏运用直角三角形中各元素间的关系是解直角三角形的根据，因此，解直角三角形的关键是正确选择直角三角形的边角关系式，使两个元素〔其中至少有一个元素是边〕和一个未知元素一共处于这个关系式中，其四种类型的解法如下表：一边一角条件解法斜边和一个锐角A①②③一条直角边和一个锐角A①②③两边斜边和一条直角边①②利用求A③两条直角边①②利用，求A③例1如图，AC=1，求BD。

2020年中考数学一轮复习《第14讲：三角形及其性质》精练(含答案).docx

第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则∠C等于( )A.45°B.60°C.75°D.90°2.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( )A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.下列说法错误的是( )A.三角形三条中线交于三角形内一点B.三角形三条角平分线交于三角形内一点C.三角形三条高交于三角形内一点D.三角形的中线、角平分线、高都是线段4.在△ABC中,AB=4a,BC=14,AC=3a,则a的取值范围是( )A.a>2B.2<a<14C.7<a<14D.a<145.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P( )A.有且只有1个B.有且只有2个C.组成∠E的角平分线D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)6.在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,则BC的长是( )A.14B.4C.14或4D.以上都不对二、填空题7.(2018滨州)在△ABC中,若∠A=30°,∠B=50°,则∠C=.8.(2018枣庄)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,则该三角形的面积为S=--.现已知△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为.9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点.若CD=5,则EF的长为.10.已知:a、b、c是△ABC的三边长,且M=(a+b+c)(a+b-c)(a-b-c),那么M 0.(填“>”“<”或“=”)三、解答题11.一个飞机零件的形状如图所示,按规定∠A应等于90°,∠B,∠D 应分别是20°和30°,康师傅量得∠BCD=143°,就能断定这个零件不合格,你能说出其中的道理吗?12.已知∠ABC=90°,D是直线AB上的点,AD=BC.(1)如图1,过点A作AF⊥AB,并截取AF=BD,连接DC、DF、CF,判断△CDF 的形状并证明;(2)如图2,E是直线BC上一点,且CE=BD,直线AE、CD相交于点P,∠APD 的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由.B组提升题组一、选择题1.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x,那么x的取值范围是( )A.1<x<B.C.<x<5D.<x<2.(2017浙江湖州)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AB=6,点P是Rt△ABC的重心,则点P到AB所在直线的距离等于( )A.1B.C.D.2二、填空题3.如图,平面上直线a,b分别经过线段OK的两个端点(如图),则a,b 相交所成的锐角是.4.如图所示,AB=BC=CD=DE=EF=FG,∠1=130°,则∠A=°.5.如图,在△ABC中,AD为BC边上的中线,已知AC=5,AD=4,则AB的取值范围是.对比训练上题中若作修改“AC=5,AB=4,求AD的取值范围”,怎样计算?三、解答题6.已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A、B、C分别是射线OM、OE、ON 上的动点(A、B、C不与点O重合),连接AC交射线OE于点D.设∠OAC=x°.(1)如图1,若AB∥ON,则①∠ABO的度数是;②当∠BAD=∠ABD时,x= ;③当∠BAD=∠BDA时,x= ;(2)如图2,若AB⊥OM,则是否存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.第14讲三角形及其性质A组基础题组一、选择题1.C 180°×=180°×=75°,即∠C=75°.故选C.2.D3.C4.B5.D6.C二、填空题7.答案100°解析∵在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,∴∠C=180°-30°-50°=100°.故答案为100°.8.答案 1解析∵S=--,△ABC的三边长分别为1,2,,则△ABC的面积为:∴S△ABC=--)=1,故答案为1.9.答案 5解析∵△ABC是直角三角形,CD是斜边的中线,∴CD=AB,∴AB=2CD=2×5=10,又∵EF是△ABC的中位线,∴EF=×10=5.10.答案<解析根据三角形的三边关系可得,a+b+c>0,a+b-c>0,a-b-c<0,由实数运算得M<0.三、解答题11.解析能.理由如下:延长DC与AB相交于点E.易知∠BED=∠D+∠A=120°,∵∠BCD=∠B+∠BED=130°≠143°.∴这个零件不合格.12.解析 1)△CDF是等腰直角三角形.证明如下: ∵AF⊥AD,∠ABC=90°,∴∠FAD=∠DBC.在△FAD与△DBC中,,,,∴△FAD≌△DBC SAS),∴FD=DC,∴△CDF是等腰三角形.易知∠BDC+∠DCB=90°,∠FDA=∠DCB.∴∠BDC+∠FDA=90°,即∠FDC=90°,∴△CDF是等腰直角三角形.2)∠APD的度数是一个固定的值.理由如下:如图,作AF⊥AB于A,且AF=BD,连接DF,CF.由(1)得△CDF是等腰直角三角形,∴∠FCD=45°.由题意得AF∥CE,且AF=BD=CE,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AE∥CF,∴∠APD=∠FCD=45°.B组提升题组一、选择题1.B 因为32-22=5,32+22=13,所以5<x2<13,即<x<.故选B.2.A 连接CP并延长,交AB于点D.∵P是Rt△ABC的重心,∴CD是Rt△ABC的中线,∴PD=CD.∵∠ACB=90°,∴CD=AB=3,∴PD=CD=1,∵AC=BC,CD是Rt△ABC的中线,∴CD⊥AB.∴点P到AB所在直线的距离等于1.故选A.二、填空题3.答案30°解析由三角形的外角性质得,a,b相交所成的锐角的度数是100°-70°=30°,故答案为30°.4.答案10解析设∠A=x°,根据三角形两内角之和等于第三个角的外角、等腰三角形的性质,知∠ACB为x°,∴∠CBD=∠CDB=2x°,∴∠DCE=∠DEC=3x°,同理可得:∠EDF=∠EFD=4x°,∠FEG=∠FGE=5x°,∵∠1+∠FGE=180°,∴∠FGE=50°,∠A=10°.5.答案3<AB<13解析如图,过点B作平行于AC的直线,与AD的延长线交于点E,则△ACD≌△EBD,∴AD=ED,AC=EB,∵AC=5,AD=4,∴在△ABE中,AE=8,BE=AC=5,∴3<AB<13.对比训练<AD<三、解答题6.解析 1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,∴∠ABO=∠BON=20°.②∵∠BAD=∠ABD,∴∠BAD=20°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=120°.③∵∠BAD=∠BDA,∠ABO=20°.∴∠BAD=80°.∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°,∴∠OAC=60°.故答案为①20°;②120;③60.(2)存在.理由如下:①当点D在线段OB上时,若∠BAD=∠ABD,则x=20;若∠BAD=∠BDA,则x=35;若∠ADB=∠ABD,则x=50;②当点D在射线BE上时,因为∠ABE=110°,且三角形的内角和为180°,所以只有∠BAD=∠BDA,此时x=125.综上可知,当x=20、35、50、125时,存在这样的x值,使得△ADB中有两个相等的角.。

2018年辽宁中考数学专题复习多解问题

2018年辽宁中考数学专题复习多解问题类型一与三角形有关1. 已知△ABC 中，tan B ＝23，BC ＝6，过点A 作BC 边上的高，垂足为点D ，且满足BD ∶CD＝2∶1，则△ABC 面积的所有可能值为________．8或24 【解析】如解图①，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝4，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ×tan B ＝4×23＝83，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×83＝8；如解图②，∵BC ＝6，BD ∶CD ＝2∶1，∴BD ＝12，在Rt △ABD 中，AD ＝BD ×tan B ＝12×23＝8，∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×6×8＝24.第1题解图2. 在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝30°，AC ＝1，以BC 为边长作等边三角形BCD ，则AD 的长为________．1或7 【解析】∵在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝30°，AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，且∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB cos30°＝ 3.以BC 为边长作等边三角形有两种情况：①当所作等边三角形在BC 边左侧时，如解图①，连接AD .∵∠ABC ＝30°，∴∠DBA ＝30°，∴AB 为DC 的垂直平分线，∴AD ＝AC ＝1；②当所作等边三角形在BC 边右侧时，如解图②，连接AD .∵∠ABC ＝30°，∠CBD ＝60°，∴∠ABD ＝90°，又∵BD ＝BC ＝3，∴AD ＝AB 2＋BD 2＝22＋（3）2＝7.综上所述，AD 的长为1或 7.第2题解图3. 如图，正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，MN ＝1，线段MN 的两端在CB 、CD 上滑动，当△AED 与以N 、M 、C 为顶点的三角形相似时，CM 的长为________．第3题图55或255 【解析】 ∵正方形ABCD 的边长为2，AE ＝EB ，∴AE ＝1，∴DE ＝AD 2＋AE 2＝5，当△AED ∽△CNM 时，AD CM ＝DE MN ，即2CM ＝51，解得CM ＝255；当△AED ∽△CMN 时，AE CM ＝DE MN ，即1CM ＝51，解得CM ＝55，综上所述，CM 的长为55或255. 4. 如图，菱形ABCD 的边长为10，∠BAD ＝60°，点P 是对角线AC 上一动点，连接DP 、BP ，当△ADP 是直角三角形时，AP 的长为________．第4题图53或2033【解析】由四边形ABCD 是菱形得AD ＝AB ＝BC ＝CD ，则AB ＝10，且∠DAP ＝∠BAP ，∵∠BAD ＝60°， ∴∠DAP ＝30°，要使△ADP 为直角三角形，则①当∠APD ＝90°时满足，此时在Rt △ADP 中，AD ＝10，∠DAP ＝30°，∠APD ＝90°，则AP ＝AD ×cos30°＝10×32＝53；②当∠ADP ＝90°时满足，此时在Rt △ADP 中，∠DAP ＝30°，AD ＝10，∠ADP ＝90°，则AP ＝AD ÷cos30°＝10×23＝2033.则AP 的长为53或2033. 类型二与四边形有关5. 如图，菱形ABCD 的两条对角线交于点O ，BD 、AC 的长分别为6、63，将菱形ABCD 绕点C 旋转60°得到菱形A ′B ′CD ′，则AD ′的长为______．12或6 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝63，BD ＝6，∴AO ＝CO ＝12AC ＝33，BO ＝DO ＝12BD ＝3，AC ⊥BD ，∴BC ＝CD ＝CO 2＋DO 2＝6，∴BC ＝CD ＝BD ，∴△BCD 是等边三角形，∴∠DCB ＝60°. (Ⅰ)如解图①，将菱形ABCD 绕点C 逆时针旋转60°得菱形A ′B ′CD ′，可得点B ′与点D 重合，A 、D 、D ′三点在一条直线上，∴AD ′＝AB ′＋B ′D ′＝AD ＋BD ＝6＋6＝12；(Ⅱ)如解图②，将菱形ABCD 绕点C 顺时针旋转60°得菱形A ′B ′CD ′，可得点D ′与点B 重合，∴AD ′＝AB ＝6. 综上可得AD ′的长为12或6.第5题解图6. 在面积为15的平行四边形ABCD 中，已知BC 边上的高AE ＝52，CD 边的高AF ＝3，则CE ＋CF 的值为____________． 1＋32或11＋1132【解析】过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，垂足分别为点E 、点F ，由平行四边形面积公式得：BC ·AE ＝CD ·AF ＝15，解得CD ＝5，BC ＝6，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ＝5，BC ＝AD ＝6，(Ⅰ)如解图①，在Rt △ABE中，AE ＝52，由勾股定理得BE ＝AB 2－AE 2＝532，同理DF ＝33＞5，即点F 在DC 的延长线上，∴CE ＝6－532，CF ＝33－5，即CE ＋CF ＝1＋32；(Ⅱ)如解图②，在Rt △ABE 中，AE ＝52，由勾股定理得BE ＝AB 2－AE 2＝532，同理DF ＝33，∴CE ＝BC ＋BE ＝6＋532，CF ＝CD ＋DF ＝5＋33，∴CE ＋CF ＝11＋1132. 综上，CE ＋CF 的值为1＋32或11＋1132.第6题解图类型三与圆有关7. 已知⊙O 的直径AB ＝20，弦CD ⊥AB 于点E ，且CD ＝16，则AE 的长为________．16或4 【解析】如解图①，当弦CD 远离A 点时，由题可知OC ＝10，CE ＝12CD ＝8，∴OE ＝6，∴AE ＝16；如解图②，当弦CD 靠近A 点时，同理OE ＝6，AE ＝OA －OE ＝4，∴AE 的长为16或4.第7题解图8. 如图，平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴分别交于A 、B 两点，点P 的坐标为(3，－1)，AB ＝2 3 .将⊙P 沿着与y 轴平行的方向平移________时，⊙P 与x 轴相切．第8题图1或3 【解析】如解图，连接P A ，作PC ⊥AB 于点C ，由垂径定理得：AC ＝12AB ＝12×23＝3，在Rt △P AC 中，由勾股定理得：P A 2＝PC 2＋AC 2，即P A 2＝12＋(3)2＝4，∴P A ＝2，∴⊙P 的半径是2.将⊙P 向上平移，当⊙P 与x 轴相切时，平移的距离＝1＋2＝3；将⊙P 向下平移，当⊙P 与x 轴相切时，平移的距离＝2－1＝1，综上所述，平移1或3时，⊙P 与x 轴相切．第8题解图9. 已知AB是⊙O的直径，AC，AD是⊙O的弦，且AB＝4，AC＝22，AD＝2，则∠COD 的度数是________．30°或150°【解析】分两种情况讨论：当AD、AC，在直径AB同侧时，如解图①，连接OC，OD，∵OA＝OC＝2，AC ＝22，∴OA2＋OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，又∵OA＝OD＝AD＝2，∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝∠AOC－∠AOD＝30°，当AD、AC在直径AB两侧时，如解图②，同理∠COD＝∠AOC＋∠AOD＝150°.综上所述，∠COD的度数为30°或150°.第9题解图。

全国2018年中考数学真题分类汇编第14讲三角形的基础知识(无答案)

第14讲三角形的基础知识知识点1 三角形的高、中线、角平分线知识点2 三角形的中位线的性质知识点3 三角形的三边关系知识点4 三角形的内角和定理及其推论知识点1 三角形的高、中线、角平分线（2018·娄底）（2018·贵阳）知识点2 三角形的中位线的性质（2018·南京）知识点3 三角形的三边关系（2018·长沙）（2018·福建）答案：C（2018·常德）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（） A.1B.2C.8D. 11（2018·毕节）已知一个三角形的两边长分别为8和2,则这个三角形的第三边长可能是( ) A.4 B.6 C.8 D.10（2018·白银）已知a ，b ，c 是ABC ∆的三边长，a ，b 满足27(1)0a b -+-=，c 为奇数，则c = ．（2018·泰州）已知三角形两边的长分别为1，5，第三边长为整数，则第三边的长为_____________.（2018·黔东南）16.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程2680x x -+=的解，则此三角形的周长是．知识点4 三角形的内角和定理及其推论（2018·宁波）（2018·泰安）（2018·眉山）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是A．45°B．60°C．75°D．85°（2018·聊城）（2018·聊城）（2018·宿迁）（2018·株洲）如图，直线12,l l 被直线3l 所截，且12l l ，过1l 上的点A 作AB ⊥3l 交3l 于点B ，其中∠1＜30°，则下列一定正确的是[来A 、∠2＞120°B 、∠3＜60°C 、∠4－∠3＞90°D 、2∠3＞∠4 （2018·达州）如图，CD AB //，0803,451=∠=∠，则2∠的度数为（）A. 030 B. 035 C.040 D. 045（2018·德阳）（2018·广东）如图，AB //CD ，且∠DEC =100o，∠C =40o，则∠B 的大小是（）A.30oB.40oC.50oD.60o （2018·广西六市同城）答案：C（2018·遵义）（2018·海南）（2018·苏州）（2018·滨州）（2018·衡阳）（2018·湘西）（2018·永州）（2018·盐城）将一个含有45角的直角三角板摆放在矩形上，如图所示，若140∠=，则2∠= ．（2018·岳阳）（2018·黄石）如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 、BF 分别是∠BAC 、∠ABC 的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD ＋∠ACD ＝（ A ）A.75°B.80°C.85°D.90°（2018·荆门）答案：A（2018·长春）。

2018年全国中考数学真题分类解直角三角形及其应用解析版(精品文档)

2018年全国中考数学真题分类解直角三角形及其应用（三）一、选择题1. （2018吉林省长春市，6，3）如图，某地修建高速公路，要从A 地向B 地修一条隧道（点A 、B 在同一水平面上）.为了测量A 、B 两地之间的距离，一架直升飞机从A 地出发，垂直上升800米到达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则A 、B 两地之间的距离为（A ）800sin α米（B ）800tan α米（C ）800sin α米（D ）800tan α米【答案】D【解析】由题中条件可知，在RT △ABC 中，∠ABC=α，AC=800米，建立数学模型tan α=ACAB，可得AB=800tan α米. 【知识点】解直角三角形，锐角三角函数，俯角问题.2. （2018江苏苏州，8，3分）如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏两30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之问的距离（即PC 的长）为 A ．40海里B ．60海里C ．D ．αACB【答案】D【解析】本题解答时要利用直角三角形的边角关键和勾股定理来进行计算.由题意可知AB =20，∠APB =30゜，∴PA，∵BC =2⨯20=40，∴AC =60，∴PC，故选D .二、填空题1. （2018湖北省江汉油田潜江天门仙桃市，15，3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B 在海岛A ，C 附近捕鱼作业，已知海岛C 位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B 上测得海岛A 位于渔船B 的北偏西30°的方向上，此时海岛C 恰好位于渔船B的正北方向18(1n mile 处，则海岛A ，C 之间的距离为 n mile ．【答案】218【解析】本题主要考察三角函数的应用．过A 作AD ⊥BC 于D ．设x AD =，∵∠C 45°，∠B 30°，∴x xC AD CD ===︒45tan tan ，x xC AD AC 245sin sin ===︒，x xB AD BD 330tan tan ===︒．∵BD CD BC +=+=)31(18，∴x x 3)31(18+=+，解得18=x ．∴218=AC ．【知识点】三角函数的应用==2. （湖北省咸宁市，13，3）如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部的仰角为45 °，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为110m ，那么该建筑物的高度BC 约为_________m.(1.73≈)【答案】300【解析】在Rt △ABD 中，∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ＝110 m ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝110 m∴CD＝AD tan 60⋅︒=BC ＝BD +CD=110+300 m 【知识点】解直角三角形的应用3. (2018辽宁葫芦岛，15，3分) 如图，某景区的两个景点A 、B 处于同一水平地面上，一架无人机在空中沿水平方向飞行进行航拍作业，M N 与A B 在同一铅直平面内，当无人机飞行至C 处时，测得景点A 的俯角为45°，景点B 为的俯角为30°，此时C 到地面的距离C D 为100米，则两景点A 、B 间的距离为__________米(结果保留根号)．【答案】：100+100，【解析】∵MN ∥AB ，∴∠A ＝∠MCA ＝45°，∠B ＝∠NCB ＝30°． ∵CD ＝100，∴AD ＝tan 45CD ︒＝100，DB ＝tan30CD︒． ∴AB ＝AD ＋DB ＝100＋DC AB4. （2018广西南宁，16，3）如图，从甲楼底部A 处测得乙楼顶部C 处的仰角是30°，从甲楼顶部B 处测得乙楼底部D 处的俯角是45°．已知甲楼的高AB 是120m ，则乙楼的高CD 是m ．（结果保留根号）【答案】403，【解析】∵俯角是45°，∴∠BDA ＝45°，∴AB ＝AD ＝120m ，又∵∠CAD ＝30°∴在Rt △ADC 中，tan ∠CDA ＝tan30°＝CD AD ＝33． ∴CD ＝ 403．5. (2018湖北黄石，14，3分)如图，无人机在空中C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD 为1003米，点A 、D 、E 在同一水平直线上，则A 、B 两点间的距离是____________米．(结果保留根号)第14题图【答案】100(1＋3)【解析】由题意可知∠A ＝30°，∠B ＝45°，∴AD ＝tan CDA＝100米，BD ＝CD ＝1003米，∴AB ＝AD ＋BD ＝100＋1003＝100(1＋3)米.6.（2018·宁夏，15，3）一艘货轮以182km/h 的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A 处时，发现它的东南方向有一灯塔B ，货轮继续向东航行30分钟后到达C 处，发现灯塔B 在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B 的距离为____________km ．D C B A45°60°甲楼ABCD乙楼30°第16题图45°【答案】18．【解析】如下图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CAD＝45°，∠ACB＝105°，从而∠B＝30°，AC＝12×Rt△ACD中，sin∠CAD＝CDAC，从而CD＝AC sin∠CAD＝sin45°＝2＝9．在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝2CD＝18（km），故填18．【知识点】解直角三角形；方向角7.（2018辽宁锦州，16，3分）如图，射线OM在第一象限，且与x轴正半轴的夹角为60°，过点D（6，0）作DA⊥OM于点A，作线段OD的垂直平分线BE交x轴于点E，交AD于点B，作射线OB，以AB为边的△AOB的外侧作正方形ABCA1，延长A1C交射线OB于点B1，以A1B1为边在△A1OB1的外侧作正方形A1B1C1A2，延长A2C1交射线OB于点B2，以AB为边在△A2OB2的外侧作正方形A2B2C2A3……按此规律进行下去，则正方式A2017B2017C2017A2018的周长为东CBAD东CBA【答案】4×()2017201613)33(+⨯，【解析】本题为规律探究题，先根据图形运用三角函数∠AOD=60°,OD=3,AD=33,BD=23,AB=,B 1C=1 ,A 1B 1=3+1, B 2C1=tan30°A 1B 1=33A 1B 1,A 2B 2=A 1B 1+33A 1B 1=33A 1B 1(3+1)=33(3+1)2B 3C 2=33A 2B 2,A 3B 3=A 2B 2+33A 2B 2=33A 2B 2(3+1)=(33)2(3+1)3 A 2017B 2017=(33)2016(3+1)2017 A 2017B 2017C 2017A 2018的周长4A 2017B 2017=4×(33)2016(3+1)2017 三、解答题1. （2018广西省桂林市，23，8分）如图所示，在某海域，一艘指挥船在C 处收到渔船在B 处位于C 处的南偏西45°方向上，且BC ＝60海里；指挥船搜索发现，在C 处的南偏西60°方向上有一艘海监船A ，恰好位于B 处的正西方向.于是命令海监船A 前往救援，已知海监船A 的航行速度为30海里/小时，问渔船在B 处需要等待多长时间才能得到海监船A≈1.41 1.73， 2.45，结果精确到0.1小时）【思路分析】过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，先根据BC ＝60，利用特殊角的三角函数值求出BD 的长，再求出AD 的长即可．【解题过程】解：如图（1），过点B 作BD ⊥DC 于点D ，由题意可知，∠BCD ＝45°，∠ACD ＝60°，DC ＝BD ，则在Rt △DEF 中，∵BC ＝60，∴sin ∠BCD ＝BD BC，即sin 45402BD =︒=，解得BD ＝DC ＝BD ＝则在Rt △ACD 中， tan ∠ACD ＝ADCD，tan 60=︒=解得AD ＝，∴AB ＝AD －BD ＝－≈30（2.45－1.41）＝31.2（海里），∴渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要的时间为31.230＝1.04≈1.0（小时），答：渔船在B 处等待得到海监船A 的救援需要约1.0小时．【知识点】锐角三角函数的实际应用；二次根式的化简2. （2018海南省，22，8分）如图10，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端H 的仰角∠HDE 为45°，此时教学楼顶端G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达B 处，又测得教学楼顶端G 的仰角∠GEF 为60°，点A ，B ，C 三点在同一水平线上．（1）计算古树BH 的高；（2）计算教学楼CG 的高．（参考数据：412.≈，713.≈）【思路分析】（1）在Rt△DEH中，∠HDE=45°，∴HE=DE，BH=HE+BE，从而求出BH的长．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∠GEF=60°，用x表示出GF的长，GF=3x，在Rt△GDF中，∠GDF=45°，∴DF=GF，7+x=3x，求解出x，从而得到GF的长，GC=GF+FC，故求得CG的长．【解题过程】（1）在Rt△DEH中，∵∠DEH=90°，∠HDE=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=HE+BE=7+1.5=8.5米．（2）设EF=x米，在Rt△GEF中，∵∠GFE=90°，∠GEF=60°，∴GF=EF·tan60°=3x．在Rt△GDF中，∵∠GFD=90°，∠GDF=45°，∴DF=GF．∴7+x=3x．将7代入上式，解得x=10．GF=3x=17．3.1∴GC=GF+FC=18.5米．答：古树高为8.5米，教学楼高为18.5米．【知识点】解直角三角形，解直角三角形的应用3.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）.参考数据：，.【答案】甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.【解析】分析：首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．详解：如图，过点作，垂足为.则. 由题意可知，，，，，.可得四边形为矩形.∴，.在中，， ∴. 在中，，∴. ∴ .∴. 答：甲建筑物的高度约为，乙建筑物的高度约为.点睛：本题考查解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．4. (2018甘肃省兰州市,23,7分) (7分)如图,斜坡BE ,坡顶B 到水平地面的距离AB 为3米,坡底AE 为18米,在B 处,E 处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30°,60°.求CD 的高度.(结果保留根号)【思路分析】作BF ⊥CD 于F ,然后在两个直角三角形中分别表示出BF ,CE ,然后利用BF 和CE 相B A DCFE等即可求解.【解题过程】作BF⊥CD于F,设CE=x米,因为∠DEC=60°,所以DC米｡DF-2)米,因为∠FBD=30°,所以BF x-2)米｡因为BA⊥AC,DC⊥AC,所以四边形BACF为矩形,所以BF=AC,(x-2)=x+18,解得x答:CD的高度是米｡【知识点】解直角三角形三角函数5. （2018黑龙江省齐齐哈尔市，题号23，分值12）折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪呰数学结论.实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B’落在矩形所在平面内，B’C和AD相交于点E，连接B’D.解决问题(1)在图1中，①B’D和AC的位置关系为______________;②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________________;(2) 若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形.则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为____________；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=43AB’D恰好为直角三角形时，BC的长度为__________. . 【思路分析】(1)由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE,再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’,又∵∠B’ED=∠AEC 为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’，∴B’D∥AC,将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形，故答案为①B’D∥AC，②菱形；(2)利用（1）的思路即可得出矩形变平行四边形时也可得到B’D∥AC和菱形的结论；（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，3 1；（4）由（2）可知，AE=CE，B’E=DE, AC∥B’D.当∠AB’D=90°，且点B’在AD上方时，可得出∠B’AC=∠AB’D=90°,∴BC='cos'ABAB C∠;当点B’在AD下方，∠ADB’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos∠ADC×CD.当∠B’AD=90°,且点B’在AD上方时，∵∠AB’C=30°，AE=CE,AB’3可得出BC=B’E+CE=B’E+AE='cos'ABAB C∠+tan∠AB’C×AB’. 当∠B’AD=90°,且点B’在AD下方时，∠ADC=30°，∵B’E=DE,∴AB’=AB=AE+B’E=AD×tan∠ADC+cos ADADC∠.【解题过程】解：（1）由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE.再由四边形ABCD为矩形，AC为对角线可知，∠ACB=∠DAC，∴∠DAC=∠ACE，即AE=CE，∵BC=AD=B’C,∴B’E=DE,∴∠EB’D=∠EDB’.又∵∠B’ED=∠AEC为对顶角，∴∠DAC=∠ACE=∠EB’D=∠EDB’.∴B’D∥AC.将△AEC剪下展开后，能得到四条边均相等的四边形，即菱形.故答案为①B’D∥AC，②菱形.（2）结论仍然成立.若选择结论①证明：∵B’C=AD,AE=CE,∴B’E=DE.∴∠CB’D=∠ADB’.∵∠AEC=∠B’ED,∠ACB’=∠CAD.∴∠ADB’=∠DAC.∴B’D∥AC.若选择结论②证明：如图所示，设点E的对应点为点F.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥AE.∴∠DAC=∠ACF.由折叠可得，∠ACE=∠ACF，CE=CF.∴∠DAC=∠ACE.∴AE=CE.∴AE=CF.∴四边形AECF是菱形.（3）当矩形为正方形时符合题意，即长宽之比为1：1；当∠ACB=30°时符合题意，：1.（答对一个得1分，写成“1（4）由（2）可知，AE=CE ，B ’E=DE, AC ∥B ’D.当∠AB ’D=90°，且点B ’在AD 上方时，可得出∠B ’AC=∠AB ’D=90°.∵∠B=∠AB ’C=30°， ∴在Rt △AB ’C 中，BC='cos 'AB AB C∠=8；当点B ’在AD 下方，∠ADB ’=90°时，∠ADC=∠B=30°，得出BC=AD=cos ∠ADC ×CD=6.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 上方时，∵∠AB ’C=30°，AE=CE,AB ’可得出BC=B ’E+CE=B ’E+AE='cos 'AB AB C∠+tan ∠AB ’C ×AB ’=12.当∠B ’AD=90°,且点B ’在AD 下方时，∠ADC=30°，∵B ’E=DE,∴AB ’=AB=AE+B ’E=AD ×tan ∠ADC+cos ADADC∠AD=4.故答案为4或6或8或12.（答对一个得1分）【知识点】折叠的性质，平行线的判定与性质，锐角三角函数的应用，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质.6.（2018湖南省怀化市，23，12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD//BC ，点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件________，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作ʘ O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写做法)；（3）在（2）的条件下，ʘ O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE ＝4，sin ∠AGF ＝54，求ʘ O 的半径．【思路分析】（1）在四边形中，一组对边平行且相等，那么这个四边形为平行四边形．（2）由AB 为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到︒=∠90AFG ，通过AE 为DAB ∠的角平分线，可知EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中有两角对应相等，所以两三角形相似，所以sin ∠AGF ＝sin ∠ABE ，又已知AE ＝4，所以通过直角三角形的三角函数可求出直径AB 的值，继而求出半径的值．【解题过程】（1）令AD ＝BC ，又∵AD//BC ，根据平行四边行的判定定理，∴四边形ABCD 是平行四边形．（2）∵ʘ O 交边AD 于点F ，∴点F 为圆上一点，∴︒=∠90AFG ，因为AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线，AD//BC ，所以︒=∠+∠90EBA EAB ，即得，在AEB ∆中，︒=∠90AEB又∵AE 为DAB ∠的角平分线，∴EAB FAG ∠=∠，所以在三角形AFG 和三角形AEB 中，有AEB AFG ∠=∠，EAB FAG ∠=∠，∴AFG ∆∽EAB ∠，∴sin ∠AGF ＝AB AE ＝sin ABE ∠＝54，已知AE ＝4，所以可得出直径AB ＝5，即半径等于2.5．【知识点】平行四边形的判定定理尺规作图三角形相似的判定定理和相似三角形的性质直角三角形的三角函数求值圆周角的性质7. （2018年江苏省南京市，23，8分）如图，为了测量建筑物AB 的高度，在D 处树立标杆CD ，标杆的高是2m .在DB 上选取观测点E 、F ，从E 测得标杆和建筑物的顶部C 、A 的仰角分别为58、45，从F 测得C 、A 的仰角分别为22、70.求建筑物AB 的高度（精确到0.1m ） .（参考数据：tan 220.40≈，tan58 1.60≈，tan 70 2.75≈.）【思路分析】在△CED 中，得出DE ，在△CFD 中，得出DF ，进而得出EF ，列出方程即可得出建筑物AB 的高度。

专题14 直角三角形-备战2022年中考数学题源解密(原卷版)

专题14 直角三角形考向1 直角三角形及其性质与判定【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．【母题来源】（2021·浙江宁波）【母题题文】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝．若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为（）A．B．C．1 D．【母题来源】（2021·浙江金华）【母题题文】如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是．【母题来源】（2021·浙江杭州）【母题题文】已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB于点P，则AP：AB＝（）A．1：B．1：2 C．1：D．1：【母题来源】（2021·浙江丽水）【母题题文】小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM＝2EM，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB，CD之间的距离是．【母题来源】（2021·浙江衢州）【母题题文】将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中，顶点A与原点O重合，AB在x轴正半轴上，且AB＝4，点E在AD上，DE＝AD，将这副三角板整体向右平移个单位，C，E两点同时落在反比例函数y＝的图象上．【母题来源】（2021·浙江嘉兴）【母题题文】如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为．【试题分析】以上试题考察了直角三角形的定义、性质、以及判定三个考点；【命题意图】直角三角形是中考数学中比较重要的问题背景，不管是全等三角形还是特殊三角形以及后续的相似三角形，牵涉或者转化成了直角三角形，问题的突破口可能也就出来了。

(辽宁地区)2018年中考数学总复习专题突破训练第15讲全等三角形试题

第15讲全等三角形(时间35分钟满分90分)一、选择题(每小题3分，共12分)1．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是( D )A．∠A＝∠D B．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD第1题图第2题图2．等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于E，交BA的延长线于F，若BF＝12，则△FBC的面积为( C )A. 40B. 46C. 48D. 503．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则下列结论错误的是( D )A．DE＝DC B．∠ADE＝∠ABCC．BE＝BC D．∠ADE＝∠ABD第3题图第4题图4．如图，点A，E，F，D在同一直线上，若AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有( C )A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题(每小题3分，共21分)5．(2016·成都)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B ＝_120°_.第5题图第6题图6．(2017·怀化)如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_AB＝DE(答案不唯一)_，使得△ABC≌△DEC.7．(2016·南京)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO.下列结论：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④DA＝DC.其中所有正确结论的序号是_①②③_.第7题图第8题图8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝_7_cm.9．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC 全等，则D点坐标为_(0，－2)，(2，－2)，(2，2)_．(导学号58824153)第9题图第10题图10．(2017·陕西)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BCD＝90°，连接AC ，若AC ＝6，则四边形ABCD 的面积为_18_.11．(2017·武汉)如图，在△ABC 中，AB BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°.若BD ＝2CE ，则DE 的长为三、解答题(本大题5小题，共57分)12．(11分)(2017·宜宾)如图，已知点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，AB ＝DE ，∠A ＝∠D，AC ∥DF.求证：BE ＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB ＝∠F，在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠ACB ＝∠F，AB ＝DE ，∴△ABC ≌△DEF(AAS )，∴BC ＝EF ，∴BC －CE ＝EF －CE ，即BE ＝CF.13．(11分)(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O.(1)求证：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ，∴∠AOD ＝∠BOE.在△AOD 和△BOE 中，∠A ＝∠B，∴∠BEO ＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO，∴∠AEC ＝∠BED.在△AEC 和△BED 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠B，AE ＝BE ，∠AEC ＝∠BED，∴△AEC ≌△BED(ASA )．(2)解：∵△AEC≌△BED，∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE.∵在△EDC 中，EC ＝ED ，∠1＝42°，∴∠C ＝∠EDC＝69°，∴∠BDE ＝∠C＝69°.14．(11分)(2017·齐齐哈尔)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E 、F 分别是BG 、AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°，在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC，DG ＝DC ，∴△BD G≌△ADC(SAS )，∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C，∵∠ADB ＝∠ADC＝90°，E 、F 分别是BG 、AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF ， ∴DE ＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD，∴∠EDG ＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF ；(2)解：∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理得，EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2.(导学号 58824154)15．(12分)(2017·重庆A )在△ABC 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB ＝32，BC ＝5，求AC 的长；(2)如图②，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3，则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2， ∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13；(2)如解图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC，BM ＝AM ，∴△BMD ≌△AMC(SAS )，∴AC ＝BD ，又CE ＝AC ，因此BD ＝CE ，∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠CFE，FG ＝FE ，∴△BFG ≌△CFE ，故BG ＝CE ，∠G ＝∠E，∴BD ＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G＝∠E.16．(12分)(2017·哈尔滨)已知：△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，连接AE 、BD 交于点O ，AE 与DC 交于点M ，BD 与AC 交于点N.(1)如图①，求证：AE ＝BD ；(2)如图②，若AC ＝DC ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四对全等的直角三角形．(1)证明：∵△ACB 和△DCE 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，∴AC ＝BC ，DC ＝EC ，∴∠ACB ＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，∴∠BCD ＝∠ACE，在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD，CE ＝CD ，∴△ACE≌△BCD(SAS )，∴AE ＝BD ；(2)解：∵AC＝DC ，∴AC ＝CD ＝EC ＝CB ，∴△ACB ≌△DCE(SAS )；由(1)可知：∠AEC＝∠BDC，∠EAC ＝∠DBC， ∴∠DOM ＝90°，∵∠AEC ＝∠CAE＝∠CBD，∴△EMC ≌△BNC(ASA )，∴CM ＝CN ，∴DM ＝AN ，△AON ≌△DOM(AAS )， ∵DE ＝AB ，AO ＝DO ，∴△AOB ≌△DOE(HL )．。

2018年中考数学专题训练反比例函数与一次函数的综合

2018级中考数学专题复习—反比例函数与一次函数的综合1．在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．3．如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．4．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？5．如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．6．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．7．已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．8．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．9．如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．10．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．11．如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．12．已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．13．如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．14．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．15．如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；16．如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．17．如图，一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点．已知：OA=，tanAOC=，点B的坐标为（，m）（1）求该反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）点M在射线CA上，且MA=2AC，求△MOB的面积．18．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数交于一象限内的P（，n），Q（4，m）两点，且tan∠BOP=：（1）求反比例函数和直线的函数表达式；（2）求△OPQ的面积．19．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴、y轴交于点C、D两点，点B的横坐标为1，OC=OD，点P在反比例函数图象上且到x轴、y轴距离相等．（1）求一次函数的解析式；（2）求△APB的面积．20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，与反比例函数的图象交于点C，连接CO，过C作CD⊥x轴于D，已知tan∠ABO=，OB=4，OD=2．（1）求直线AB和反比例函数的解析式；（2）在x轴上有一点E，使△CDE与△COB的面积相等，求点E的坐标．21．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=（k≠0）图象上一点，AB⊥x轴于B点，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象交y轴于D（0，﹣2），交x轴于C点，并与反比例函数的图象交于A，E两点，连接OA，若△AOD的面积为4，且点C为OB中点．（1）分别求双曲线及直线AE的解析式；（2）若点Q在双曲线上，且S△QAB=4S△BAC，求点Q的坐标．22．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别x轴，y轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E 两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OD=1，OE=，cos∠AOE=（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．23．如图，一次函数y=x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点为A（2，m）．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，设点D在反比例函数图象上，且△DBC的面积等于6，请求出点D的坐标；（3）请直接写出不等式x+2＜成立的x取值范围．24．如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=k2x+b的图象交于A、B两点，A（2，n），B（﹣1，﹣4）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式y1＞y2的解集．25．如图，已知反比例函数y=（k＜0）的图象经过点A（﹣2，m），过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为2．（1）求k和m的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴的交点为点C，试求出△ABC的面积．26．如图，已知一次函数y=k1x+b的图象分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，且与反比例函数y=交于C、E两点，点C在第二象限，过点C作CD⊥x轴于点D，OA=OB=2，OD=1．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求△OCE的面积．27．如图，已知直线y=mx+b（m≠0）与双曲线y=（k≠0）交于A（﹣3，﹣1）与B（n，6）两点，连接OA、OB．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）求△AOB的面积．28．如图，直线y=﹣2和双曲线y=相交于A（b，1），点P在直线y=x﹣2上，且P点的纵坐标为﹣1，过P作PQ∥y轴交双曲线于点Q．（1）求Q点的坐标；（2）求△APQ的面积．29．如图，在一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积．30．已知直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y=交于一象限内的P（，n），Q （4，m）两点，且tan∠BOP=．（1）求双曲线和直线AB的函数表达式；（2）求△OPQ的面积；（3）当kx+b＞时，请根据图象直接写出x的取值范围．2018级中考数学专题复习-反比例函数与一次函数的交点参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2016•重庆）在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图形与反比例函数y=（k≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH=3，tan∠AOH=，点B的坐标为（m，﹣2）．（1）求△AHO的周长；（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案；（2）根据待定系数法，可得函数解析式．【解答】解：（1）由OH=3，tan∠AOH=，得AH=4．即A（﹣4，3）．由勾股定理，得AO==5，△AHO的周长=AO+AH+OH=3+4+5=12；（2）将A点坐标代入y=（k≠0），得k=﹣4×3=﹣12，反比例函数的解析式为y=；当y=﹣2时，﹣2=，解得x=6，即B（6，﹣2）．将A、B点坐标代入y=ax+b，得，解得，一次函数的解析式为y=﹣x+1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法是解题关键．2．（2016•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC=．（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积．【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=．通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．设反比例函数解析式为y=．∵AE⊥x轴，∴∠AEO=90°．在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=，∠AEO=90°，∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE==4，∴点A的坐标为（﹣4，3）．∵点A（﹣4，3）在反比例函数y=的图象上，∴3=，解得：k=﹣12．∴反比例函数解析式为y=﹣．（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣的图象上，∴﹣4=﹣，解得：m=3，∴点B的坐标为（3，﹣4）．设直线AB的解析式为y=ax+b，将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：，解得：，∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．S△AOB=OC•（y A﹣y B）=×1×[3﹣（﹣4）]=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．3．（2016•南充）如图，直线y=x+2与双曲线相交于点A（m，3），与x轴交于点C．（1）求双曲线解析式；（2）点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出m的值，确定出A坐标，即可确定出双曲线解析式；（2）设P（x，0），表示出PC的长，高为A纵坐标，根据三角形ACP面积求出x的值，确定出P坐标即可．【解答】解：（1）把A（m，3）代入直线解析式得：3=m+2，即m=2，∴A（2，3），把A坐标代入y=，得k=6，则双曲线解析式为y=；（2）对于直线y=x+2，令y=0，得到x=﹣4，即C（﹣4，0），设P（x，0），可得PC=|x+4|，∵△ACP面积为3，∴|x+4|•3=3，即|x+4|=2，解得：x=﹣2或x=﹣6，则P坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）．【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，以及三角形面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．4．（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．【解答】解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B（，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．5．（2010•成都）如图，已知反比例函数与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A（1，﹣k+4）．（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求出这两个函数图象的另一个交点B的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．【分析】（1）把A（1，﹣k+4）代入解析式y=，即可求出k的值；把求出的A点坐标代入一次函数y=x+b的解析式，即可求出b的值；从而求出这两个函数的表达式；（2）将两个函数的解析式组成方程组，其解即为另一点的坐标．当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围．【解答】解：（1）∵已知反比例函数经过点A（1，﹣k+4），∴，即﹣k+4=k，∴k=2，∴A（1，2），∵一次函数y=x+b的图象经过点A（1，2），∴2=1+b，∴b=1，∴反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y=x+1．（2）由，消去y，得x2+x﹣2=0．即（x+2）（x﹣1）=0，∴x=﹣2或x=1．∴y=﹣1或y=2．∴或．∵点B在第三象限，∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数中k的几何意义．这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．6．（2010•泸州）如图，已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=kx+b的图象交于两点A（﹣2，1）、B（a，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）若一次函数y2=kx+b的图象交y轴于点C，求△AOC的面积（O为坐标原点）；（3）求使y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据点A的坐标求出反比例函数的解析式为y1=﹣，再求出B的坐标是（1，﹣2），利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）在一次函数的解析式中，令x=0，得出对应的y2的值，即得出直线y2=﹣x﹣1与y轴交点C的坐标，从而求出△AOC的面积；（3）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直线在双曲线的下方，直接根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值x的取值范围﹣2＜x＜0或x＞1．【解答】解：（1）∵函数y1=的图象过点A（﹣2，1），即1=；∴m=﹣2，即y1=﹣，又∵点B（a，﹣2）在y1=﹣上，∴a=1，∴B（1，﹣2）．又∵一次函数y2=kx+b过A、B两点，即．解之得．∴y2=﹣x﹣1．（2）∵x=0，∴y2=﹣x﹣1=﹣1，即y2=﹣x﹣1与y轴交点C（0，﹣1）．设点A的横坐标为x A，∴△AOC的面积S△OAC==×1×2=1．（3）要使y1＞y2，即函数y1的图象总在函数y2的图象上方．∴﹣2＜x＜0，或x＞1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式．这里体现了数形结合的思想．7．（2008•甘南州）已知：如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【分析】（1）反比例函数y=的图象与一次函数y=mx+b的图象交于A（1，3），B（n，﹣1）两点，把A点坐标代入反比例函数解析式，即可求出k，得到反比例函数的解析式．将B（n，﹣1）代入反比例函数的解析式求得B点坐标，然后再把A、B点的坐标代入一次函数的解析式，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据图象，分别在第一、三象限求出反比例函数的值大于一次函数的值时x的取值范围．【解答】解：（1）∵A（1，3）在y=的图象上，∴k=3，∴y=．又∵B（n，﹣1）在y=的图象上，∴n=﹣3，即B（﹣3，﹣1）∴解得：m=1，b=2，∴反比例函数的解析式为y=，一次函数的解析式为y=x+2．（2）从图象上可知，当x＜﹣3或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值．【点评】本类题目的解决需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，另外要学会利用图象，确定x的取值范围．8．（2008•南充）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积．【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y=kx+b和反比例函数y=，运用待定系数法分别求其解析式；（2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，∴m=﹣8．∴反比例函数的解析式为y=﹣．∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，∴n=2．∴A（﹣4，2）．∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），∴．解之得．∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．（2）∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y=0时，x=﹣2．∴点C（﹣2，0）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6．【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．9．（2007•资阳）如图，已知点A（﹣4，2）、B（ n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数图象的两个交点：（1）求点B的坐标和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．【分析】（1）由A和B都在反比例函数图象上，故把两点坐标代入到反比例解析式中，列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A的坐标及反比例函数解析式，把确定出的A坐标及B的坐标代入到一次函数解析式中，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式；（2）令一次函数解析式中x为0，求出此时y的值，即可得到一次函数与y轴交点C的坐标，得到OC的长，三角形AOB的面积分为三角形AOC及三角形BOC面积之和，且这两三角形底都为OC，高分别为A和B的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积；（3）根据图象和交点坐标即可得出结果．【解答】解：（1）∵m=﹣8，∴n=2，则y=kx+b过A（﹣4，2），B（n，﹣4）两点，∴解得k=﹣1，b=﹣2．故B（2，﹣4），一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）由（1）得一次函数y=﹣x﹣2，令x=0，解得y=﹣2，∴一次函数与y轴交点为C（0，﹣2），∴OC=2，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=OC•|y点A横坐标|+OC•|y点B横坐标|=×2×4+×2×2=6．S△AOB=6；（3）一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围：﹣4＜x＜0或x＞2．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有利用待定系数法求函数解析式，两函数交点坐标的意义，一次函数与坐标轴交点的求法，以及三角形的面积公式，利用了数形结合的思想．第一问利用的方法为待定系数法，即根据题意把两交点坐标分别代入两函数解析式中，得到方程组，求出方程组的解确定出函数解析式中的字母常数，从而确定出函数解析式，第二问要求学生借助图形，找出点坐标与三角形边长及边上高的关系，进而把所求三角形分为两三角形来求面积．10．（2005•四川）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．已知OA=，tan∠AOC=，点B的坐标为（，m）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）根据tan∠AOC=，且OA=，结合勾股定理可以求得点A的坐标，进一步代入y=中，得到反比例函数的解析式；然后根据反比例函数的解析式得到点B的坐标，再根据待定系数法求一次函数解析式；（2）三角形AOB的面积可利用，求和的方法即等于S△AOC+S△COB来求．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x于点H．在RT△AHO中，tan∠AOH==，所以OH=2AH．又AH2+HO2=OA2，且OA=，所以AH=1，OH=2，即点A（﹣2，1）．代入y=得k=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．又因为点B的坐标为（，m），代入解得m=﹣4．∴B（，﹣4）．把A（﹣2，1）B（，﹣4）代入y=ax+b，得，∴a=﹣2，b=﹣3．∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3．（2）在y=﹣2x﹣3中，当y=0时，x=﹣．即C（，0）．∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（1+4）×=．【点评】此题综合考查了解直角三角形、待定系数法、和函数的基本知识，难易程度适中．11．（2016•乐至县一模）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积；（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣2，4），B（4，﹣2）代入一次函数y=kx+b即可求出k及b的值；（2）先求出C点的坐标，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC即可求解；（3）由图象即可得出答案；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，4），B（4，﹣2），∵一次函数过A、B两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）设直线AB与y轴交于C，则C（0，2），∵S△AOC=×OC×|A x|，S△BOC=×OC×|B x|∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=•OC•|A x|+•OC•|B x|==6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，属于基础题，关键是掌握用待定系数法求解函数解析式．12．（2016•重庆校级模拟）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于一、三象限内的A、B两点，与x交于点C，与y轴交于点D，OC=1，BC=5，．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接BO，AO，求△AOB的面积．（3）观察图象，直接写出不等式的解集．【分析】（1）先根据解直角三角形求得点D和点B的坐标，再利用C、D两点的坐标求得一次函数解析式，利用点B的坐标求得反比例函数解析式；（2）先根据解方程组求得两个函数图象的交点A的坐标，再将x轴作为分割线，求得△AOB的面积；（3）根据函数图象进行观察，写出一次函数图象在反比例函数图象下方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）∵∴直角三角形OCD中，=，即CD=OD又∵OC=1∴12+OD2=（OD）2解得OD=，即D（0，﹣）将C（1，0）和D（0，﹣）代入一次函数y=ax+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y=x﹣过B作BE⊥x轴，垂足为E∵直角三角形BCE中，BC=5，∴BE=3，CE==4∴OE=4﹣1=3，即B（﹣3，﹣3）将B（﹣3，﹣3）代入反比例函数，可得k=9∴反比例函数的解析式为y=；（2）解方程组，可得，∴A（4，）∴S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×+×1×3=+=；（3）根据图象可得，不等式的解集为：x＜﹣3或0＜x＜4．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，需要掌握待定系数法求函数解析式的方法，以及根据两个函数图象的交点坐标求有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象上点的坐标满足函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．13．（2016•重庆校级一模）如图，已知一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点，与坐标轴交于M、N两点．且点A的横坐标和点B的纵坐标都是﹣2．（1）求一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．【分析】（1）先根据反比例函数解析式求得两个交点坐标，再根据待定系数法求得一次函数解析式；（2）将两条坐标轴作为△AOB的分割线，求得△AOB的面积；（3）根据两个函数图象交点的坐标，写出一次函数图象在反比例函数图象上方时所有点的横坐标的集合即可．【解答】解：（1）设点A坐标为（﹣2，m），点B坐标为（n，﹣2）∵一次函数y1=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=﹣的图象交于A、B两点∴将A（﹣2，m）B（n，﹣2）代入反比例函数y2=﹣可得，m=4，n=4∴将A（﹣2，4）、B（4，﹣2）代入一次函数y1=kx+b，可得，解得∴一次函数的解析式为y1=﹣x+2；（2）在一次函数y1=﹣x+2中，当x=0时，y=2，即N（0，2）；当y=0时，x=2，即M（2，0）∴S△AOB=S△AON+S△MON+S△MOB=×2×2+×2×2+×2×2=2+2+2=6；（3）根据图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为：x＜﹣2或0＜x＜4【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决问题的关键是掌握根据函数图象的交点坐标求一次函数解析式和有关不等式解集的方法．解答此类试题的依据是：①函数图象的交点坐标满足两个函数解析式；②不等式的解集就是其所对应的函数图象上满足条件的所有点的横坐标的集合．14．（2016•重庆校级模拟）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集．（3）连接OA、OB，求S△ABO．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m和n，利用待定系数法求出一次函数的解析式；（2）根据函数图象得到答案；（3）求出直线与x轴的交点坐标，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象经过A（2，3），∴m=2×3=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∵反比例函数的图象经过于B（﹣3，n），∴n==﹣2，∴点B的坐标（﹣3，﹣2），由题意得，，解得，，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知，不等式kx+b＞的解集为：﹣3＜x＜0或x＞2；（3）直线y=x+1与x轴的交点C的坐标为（﹣1，0），则OC=1，则S△ABO=S△OBC+S△ACO=×1×2+×1×3=．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键，注意数形结合思想的运用．15．（2016•成华区模拟）如图，已知一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（﹣2，m）和点B（4，﹣2），与x轴交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）由B点的坐标根据待定系数法即可求得在反比例函数的解析式，代入A（﹣2，m）即可求得m，再由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由直线解析式求得C点的坐标，从而求出△AOB的面积．【解答】解：（1）∵B（4，﹣2）在反比例函数y=的图象上，∴k=4×（﹣2）=﹣8，又∵A（﹣2，M）在反比例函数y=的图象上，∴﹣2m=﹣8，∴m=4，∴A（﹣2，4），又∵AB是一次函数y=ax+b的上的点，∴解得，a=﹣1，b=2，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2，反比例函数的解析式y=﹣；（2）由直线y=﹣x+2可知C（2，0），所以△AOB的面积=×2×4+×2×2=6．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，是基础知识要熟练掌握．16．（2016•重庆校级一模）如图，一次函数y=mx+n（m≠0）与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．【分析】（1）把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，再把B点坐标代入可求得b，再利用待定系数法可求得一次函数解析式；（2）可先求得D点坐标，再利用三角形的面积计算即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y=（k≠0）的图象过A（﹣1，2），∴k=﹣1×2=﹣2，∴反比例函数解析式为y=﹣，当x=2时，y=﹣1，即B点坐标为（2，﹣1），∵一次函数y=mx+n（m≠0）过A、B两点，∴把A、B两点坐标代入可得，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x+1；（2）在y=﹣x+1中，当x=0时，y=1，∴C点坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴D点坐标为（0，﹣1），∴CD=2，∴S△ABD=S△ACD+S△BCD=×2×1+×2×2=3．【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数的交点，掌握两函数图象的交点坐标满足每一个函数解析式是解题的关键．。

2018年辽宁地区中考专题突破训练(14)三角形及其性质(含解析)

第14讲三角形及其性质 (时间40分钟满分80分)A 卷一、选择题(每小题3分，共21分) 1．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( C ) A ．2，3，4 B ．5，7，7 C ．5，6，12 D ．6，8，10 2．(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 3．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B ) A ．40° B ．36° C ．30° D ．25°第3题图第4题图4．(2017·毕节)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( A )A . 6B . 4C . 7D . 12 5．(2017·大庆)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( B )A ．30°B ．15°C ．45°D ．25°(导学号 58824150)第5题图第6题图6．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB ＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B′C 的长为( A )A ．3 3B ．6C ．3 2D .21 7．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B ) A .32 B .332 C .32D ．不能确定二、填空题(每小题3分，共21分) 8．(2017·成都)在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠A 的度数为_40°_. 9．(2017·青岛)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE 、ED 、BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为_32_度．10．(2017·宁夏)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为_8_.(导学号 58824151)第10题图第11题图11．(2017·铁岭模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上且CE ＝12AC ，连接BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是_24_. 12．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D 分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝_23_.13．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为6，△BCF 的面积为9，△CEF 的面积为6，则四边形ADFE 的面积为_24_.第13题图第14题图14．(2017·七台河)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为_43或47或4_.三、解答题(本大题2小题，共20分)15. (10分)如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点G 是CE 的中点，DG ⊥CE ，点G 为垂足. (1)求证：DC ＝BE ； (2)若∠AEC ＝66°，求∠BCE 的度数．(1)证明：∵G 是CE 的中点，DG ⊥CE ，∴DG 是CE 的垂直平分线，∴DE ＝DC ， ∵AD 是高，CE 是中线，∴DE 是Rt △ADB 的斜边AB 上的中线， ∴DE ＝BE ＝12AB ，∴DC ＝BE ；(2)解：∵DE ＝DC ， ∴∠DEC ＝∠BCE ，∴∠EDB ＝∠DEC ＋∠BCE ＝2∠BCE ， ∵DE ＝BE ，∴∠B ＝∠EDB ， ∴∠B ＝2∠BCE ，∴∠AEC ＝3∠BCE ＝66°， ∴∠BCE ＝22°.16．(10分)(2017·绍兴)已知△ABC ，AB ＝AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD ＝AE ，设∠BAD ＝α，∠CDE ＝β.(1)如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．①如果∠ABC ＝60°，∠ADE ＝70°，那么α＝_20_°，β＝_10_°； ②求α，β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．解：(1)①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝60°＋20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°；图①图②②设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β；(2)①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如解图①，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如解图②，同①的方法可得α＝180°－2β.B卷1．(3分)(2017·黄石)如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝( C )A．60°B．75°C．90°D．105°第1题图第2题图2．(3分)(2017·绵阳)如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF的值为( D )A .12B .54C .23D .333．(3分)(2017·鄂州)如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，则△ABE 的面积为( D )A .127B .247C .487D .507第3题图第4题图4．(3分)(2017·营口模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝_45_°. (导学号 58824152) 5．(3分)(2017·泸州)在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，垂足为O.若OD ＝2 cm ，OE ＝4 cm ，则线段AO 的长度为_45_.6．(3分)如图，线段AB ＝2，C 是AB 上一动点，以AC 、BC 为边在AB 同侧作正△ACE 、正△BCF ，连接EF ，点P 为EF 的中点．当点C 从A 运动到B 时，P 点运动路径长为_1_.。

聚焦中考数学辽宁省考点聚焦特殊三角形PPT教案

证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴ AD⊥ BC，A D平分 ∠BAC，∵BE ⊥AC， ∴∠CBE＋∠ C＝∠CAD＋ ∠C＝9 0°，又∵∠CAD＝ ∠BAD ，∴∠CBE＝ ∠BAD 【点评】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
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等边三角形
【例3】如图，在等边△ABC中，∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点O ，且O D∥AB，OE∥ AC. (1)试判定△ODE的形状，并说明你的理由； (2)线段BD，DE，EC三者有什么关系？写出你的判断过程．
解：(1)△ODE是等边三角形，理由： ∵△A BC是等边三角形，∴ ∠ABC＝∠A CB＝60 °，∵ OD∥ AB，O E∥AC，∴∠ ODE＝ ∠ABC＝60° ，∠OE D＝∠ ACB＝ 60°∴ △ODE 是等边三角形【点评】此题主要考查等边三角形的判定及性质的理解及运用．
(2)(2015·桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(
)
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【点评】 (1)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． (2)在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
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8 4．(2015·辽阳)如图，在△ABC中，BD⊥A C于D，点E为 AB的中点，A D＝6， DE＝5 ，则线段BD 的长等于____ ． 5．(2014·鞍山)如图，H是△ABC的边BC的中点， AG平分 ∠BAC，点D 是AC上一点，且AG ⊥BD于点G，已知AB＝12， BC＝1 5，GH ＝5，则△ABC的周长为___ _.

2019年(辽宁地区)聚焦中考数学总复习专题突破训练：第16讲相似三角形(含答案)

第 16 讲相像三角形 ( 含位似 )( 时间 45 分钟满分 85 分)A 卷一、选择题 ( 每题 3 分，共 27 分)1．(2018 ·兰州 ) 已知 2x ＝3y(y>0) ，则下边结论成立的是 ( A )A .x 3 y ＝2B .x 2 3＝yC .x 2 y ＝3D .x y 2＝32．(2018 ·重庆 B ) 已知△ ABC ∽△ DEF ，且相像比为 1∶2，则△ ABC与△ DEF 的面积比为 ( A )A ．1∶4B ．4∶1C ．1∶2D ．2∶13．(2018 ·杭州 ) 如图，在△ ABC 中，点 D ，E 分别在边 AB ，AC上， DE ∥BC ，若 BD ＝2AD ，则 ( B )AD 1 AE1 AD 1 DE 1A . ＝B .＝2C . ＝D .＝2AB 2EC EC2 BC 第3 题图第 4 题图4．(2018·恩施州 ) 如图，在△ ABC 中，DE ∥BC ，∠ ADE ＝∠ EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则 DE 的长为 ( C )A ．6B ．8C ．10D ．12( 导学号58824155)5．(2018 ·绥化 ) 如图，△ A ′B ′C ′是△ ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换获得的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则 OB′∶ OB为( A )A．2∶3B．3∶2C．4∶5D．4∶9第 5 题图第 6 题图6．(2018·哈尔滨 ) 如图，在△ ABC中，D、E分别为 AB、AC边上的点， DE∥BC，点 F 为 BC边上一点，连结 AF 交 DE于点 G，则以下结论中必定正确的选项是 ( C)AD AE AG AEA.＝B.＝AB EC GF BDBD CE AG ACC.＝D.＝AD AE AF EC7．( 2016·安徽 ) 如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠ DAC，则线段 AC的长为 ( B )A．4B．42C．6D．43第 7 题图第 8 题图8．(2018 ·张家界 ) 如图， D，E 分别是△ ABC的边 AB，AC上的中点，假如△ ADE的周长是 6，则△ ABC的周长是 ( B )A．6B．12C．18D．249．(2018 ·泰安 ) 如图，正方形 ABCD中， M为 BC上一点，ME⊥ AM，ME交 AD的延伸线于点 E. 若 AB＝12，BM＝5，则 DE的长为 ( B )109A．18B.59625C.5D.3二、填空题 ( 每题 3 分，共 18 分)10．(2018 ·长春 ) 如图，直线 a∥b∥c，直线 l 1，l 2与这三条平行线分别交于点 A，B，C和点 D，E，F. 若 AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为 _6_.第 10 题图第 11 题图BO 2 11．(2018 ·临沂 ) 已知 AB∥CD，AD与 BC订交于点 O.若＝，OC 3 AD＝10，则 AO＝_4_.12．(2018 ·随州 ) 在△ ABC中， AB＝6，AC＝5，点 D在边 AB上，5 12且 AD＝2，点 E 在边 AC上，当 AE＝_3或5 _时，以 A，D，E 为极点的三角形与△ ABC相像．13．(2018 ·六盘水 ) 如图，在 ?ABCD中，对角线 AC，BD订交于点 O，在 BA的延伸线上取一点 E，连结 OE交 AD于点 F. 若 CD＝5，BC16＝8，AE＝2，则 AF＝_ 9 _.( 导学号58824156)第 13 题图第 14 题图14．(2018 ·铁岭模拟 ) 如图，△ ABC中，A，B 两个极点在 x 轴的上方，点 C的坐标是 ( －1，0) ，以点 C为位似中心，在 x 轴下方作△ABC 的位似图形△ A′B′C，并把△ ABC的边长放大到本来的 2 倍．设点 B 的对应点 B′的横坐标是 2，则点 B的横坐标是 _－2.5_.15．(2018 ·杭州 ) 如图，在Rt△ABC中，∠ BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点 D在边 AC上，AD＝ 5，DE⊥BC于点 E，连结 AE，则△ ABE的面积等于 _78_.三、解答题 ( 本大题 2 小题，共 22 分)16．(11 分)(2018 ·杭州 ) 如图，在锐角三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，AB上，AG⊥BC于点 G，AF⊥DE于点 F，∠EAF＝∠ GAC.(1)求证：△ ADE∽△ ABC；AF(2)若 AD＝3，AB＝5，求的值． ( 导学号 58824157)AG解： (1) ∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠ AFE＝∠ AGC＝90°，∵∠ EAF＝∠ GAC，∴∠ AED＝∠ ACB.∵∠ EAD＝∠ BAC，∴△ ADE∽△ ABC；(2) 由(1) 可知：△ ADE∽△ ABC，AD AE 3∴＝＝，AB AC 5由(1) 可知：∠ AFE＝∠ AGC＝90°，∴∠ EAF＝∠ CAG，∴△ EAF∽△ CAG，AF AE AF 3∴＝，∴＝AG AC AG 517．(11 分)(2018 ·凉山州 ) 如图，在边长为 1 的正方形网格中成立平面直角坐标系，已知△ ABC三个极点分别为 A(－1，2) ，B(2 ，1)，C(4，5) ．(1)画出△ ABC对于 x 轴对称的△ A1B1C1；(2)以原点 O为位似中心，在 x 轴的上方画出△ A2 B2C2，使△A2B2C2与△ ABC位似，且位似比为2，并求出△ A2B2C2的面积．解： (1) 如解图所示，△ A1B1 C1就是所求三角形；(2)如解图所示，△ A2B2C2就是所求三角形，∵A(－1，2) ，B(2，1) ，C(4，5) ，△ A2B2C2与△ ABC位似，且位似比为 2，∴ A2( －2，4) ，B2(4 ，2) ，C2(8 ，10) ．111∴S△A2B2 C2＝8×10－2×6×2－2×4×8－2×6×10＝28.B 卷1．(3 分) 如图，在等边△ ABC中，D为 AC边上的一点，连结 BD，CD M为 BD上一点，且∠ AMD＝60°，AM交 BC于 E. 当 M为 BD中点时，AD 的值为 (B )25－133A.3B.2C.2D.5第 1 题图2．(3分)(2018·内江 ) 如图，四边形第 2 题图ABCD中，AD∥BC，CM是∠ BCD的均分线，且1CM⊥AB，M为垂足，AM＝3AB.若四边形ABCD的面积为157 ，则四边形AMCD的面积是_1_.(导学号58824158)3．(12 分)(2018 ·武汉 ) 已知四边形 ABCD的一组对边 AD、BC的延伸线交于点 E.(1)如图①，若∠ ABC＝∠ ADC＝90°，求证： ED·EA＝EC·EB；3(2)如图②，若∠ ABC＝120°，cos∠ADC＝5，CD＝5，AB＝ 12，△C DE的面积为 6，求四边形 ABCD的面积；(3)如图③，另一组对边 AB，DC的延伸线订交于点 F. 若cos∠ABC3＝c os∠ADC＝5，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示 ) ．图①图②图③解： (1) 如解图①，∵∠ ADC＝90°，∠ EDC＋∠ ADC＝180°，∴∠E DC＝90°，图①∵∠ ABC＝90°，∴∠ EDC＝∠ ABC，∵∠ E＝∠ E，∴△ EDC∽△ EBA，ED EC∴＝，EB EA∴ED·EA＝EC·EB；(2)S 四边形ABCD＝75－18 3；图②(3)如解图②，作 CH⊥AD 于点 H，则 CH＝4，DH＝3，∴tan∠E4，＝n＋3作AG⊥DF于点 G，设 AD＝5a，则 DG＝3a，AG＝4a，∴ FG＝DF－DG＝5＋n－3a，AG CH∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠ E＝∠ F，易证△ AFG∽△ CEH，∴ ＝，∴FG EH 4a4n＋55（n＋5）5＋n－3a＝n＋3，∴ a＝n＋6，∴ AD＝5a＝n＋6.。

2018年(辽宁地区)聚焦中考数学总复习专题突破训练：第17讲解直角三角形及其应用

第17讲解直角三角形及其应用 (时间45分钟满分120分)A 卷一、选择题(每小题3分，共21分) 1．(2017·天津)cos 60°的值等于( D ) A .3 B ．1 C .22 D .122．(2017·金华)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( A ) A .34 B .43 C .35 D .453．(2016·怀化)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 4．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A ．2＋ 3B ．2 3C ．3＋ 3D ．3 3 (导学号 58824159) 5．(2017·绥化)某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为( A )A ．3.5sin 29° 米B ．3.5cos 29° 米C ．3.5tan 29° 米D . 3.5cos 29°米第5题图第6题图6．(2017·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列选项中，错误的是( C )A ．sin α ＝cos αB ．tanC ＝2 C ．sin β＝cos βD ．tan α＝1(导学号 58824160) 7．(2017·重庆B )如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364)( A )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米二、填空题(每小题3分，共12分)8．(2017·广州)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝_17_.9．(2017·烟台)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A 2＝_12_.10．(2017·山西)如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB ，其中一名小组成员站在距离树10米的点E 处，测得树顶A 的仰角为54°.已知测角仪的架高CE ＝1.5米，则这棵树的高度为_15.3_米．(结果保留一位小数．参考数据：sin 54°≈0.8090，cos 54°≈0.5878，tan 54°≈1.3764)第10题图第11题图11．(2017·苏州)如图，在一笔直的沿湖道路l 上有A 、B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 北偏东60°的方向，在码头B 北偏西45°的方向，AC ＝4 km .游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA 回到码头A 或沿CB 回到码头B ，设开往码头A 、B 的游船速度分别为v 1、v 2，若回到A 、B 所用时间相等，则v 1v 2＝结果保留根号)．三、解答题(本大题4小题，共46分) 12．(11分)(2017·张家界)位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°，在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米，求像体AD 的高度(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.5°≈0.943，cos 70.5°≈0.334，tan 70.5°≈2.824)解：∵在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3 m ， ∴BC ＝2.3 m ， ∵在Rt △ABC 中， ∠ABC ＝70.5°， ∴tan 70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824，解得：AD ≈4.2.答：像体AD 的高度约为4.2 m .13．(11分)(2017·黄冈)在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图所示)，已知标语牌的高AB ＝5 m ，在地面的点E 处，测得标语牌点A 的仰角为30°，在地面的点F 处，测得标语牌点A 的仰角为75°，且点E ，F ，B ，C 在同一直线上，求点E 与点F 之间的距离．(计算结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)(导学号 58824161)解：如解图，作FH ⊥AE 于H.由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，∴AH ＝HF ，设AH ＝HF ＝x ，则EF ＝2x ，EH ＝3x ，在Rt △AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m ， ∴AE ＝2AB ＝10 m ， ∴x ＋3x ＝10， ∴x ＝53－5，∴EF ＝2x ＝103－10≈7.3 m ，答：点E 与点F 之间的距离为7.3 m .14．(12分)(2017·陕西)某市一湖的湖心岛有一颗百年古树，当地人称它为“乡思柳”，不乘船不易到达，每年初春时节，人们喜欢在“聚贤亭”观湖赏柳．小红和小军很想知道“聚贤亭”与“乡思柳”之间的大致距离，于是，有一天，他们俩带着侧倾器和皮尺来测量这段距离．测量方法如下：如图，首先，小军站在“聚贤亭”的A 处，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M 点的仰角为23°，此时测得小军的眼睛距地面的高度AB 为1.7米，然后，小军在A 处蹲下，用侧倾器测得“乡思柳”顶端M 点的仰角为24°，这时测得小军的眼睛距地面的高度AC 为1米．请你利用以上测得的数据，计算“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN 的长(结果精确到1米)．(参考数据：sin 23°≈0.3907，cos 23°≈0.9205，tan 23°≈0.4245，sin 24°≈0.4067，cos 24°≈0.9135，tan 24°≈0.4452)解：如解图，作BD ⊥MN ，CE ⊥MN ，垂足分别为点D 、E ，设AN ＝x 米，则BD ＝CE ＝x 米，在Rt △MBD 中，MD ＝x·tan 23°，在Rt △MCE 中，ME ＝x·tan 24°， ∵ME －MD ＝DE ＝BC ， ∴x ·tan 24°－x·tan 23°＝1.7－1， ∴x ＝0.7tan 24°－tan 23°，解得x ≈34(米)．答：“聚贤亭”与“乡思柳”之间的距离AN 的长约为34米．15．(12分)(2017·天津)如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处，求BP 和BA 的长．(结果取整数)(参考数据：sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05，2取1.414)(导学号 58824162)解：如解图，作PC ⊥AB 于点C.由题意得∠A ＝64°，∠B ＝45°，PA ＝120，在Rt △APC 中，sin A ＝PC PA ，cos A ＝ACPA ，∴PC ＝PA·sin A ＝120·sin 64°，AC ＝PA·cos A ＝120·cos 64°. 在Rt △PCB 中，∵∠B ＝45°，∴PC ＝BC ， ∴PB ＝PC sin 45°＝120×0.9022≈153，∴AB ＝AC ＋BC ＝120·cos 64°＋120·sin 64°≈120×0.90＋120×0.44≈161. 答：BP 的长约为153海里，BA 的长约为161海里．B 卷1．(3分)(2015·牡丹江)在△ABC 中，AB ＝122，AC ＝13，cos ∠B ＝22，则BC 边长为( D )A ．7B ．8C ．8或17D ．7或172．(3分)(2017·龙东地区)△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是3．(3分)(2017·无锡)在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于_3_.4．(10分)(2017·黔东南州)如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数)(参考数据：sin 39°≈0.63，cos 39°≈0.78，tan 39°≈0.81，2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24) 解：假设点D 移到D′的位置时，恰好α＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，作D′E′⊥AC 于点E′，∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD·sin 60°＝12×32＝6 3 米， CE ＝CD·cos 60°＝12×12＝6米．∵DE ⊥AC ，D ′E ′⊥AC ，DD ′∥D ′E ′， ∴四边形DEE′D′是矩形，∴DE ＝D′E′＝63米． ∵∠D ′CE ′＝39°，∴CE ′＝D′E′tan 39°≈630.81≈12.8，∴EE ′＝CE′－CE ＝12.8－6＝6.8≈7米．答：学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．5．(11分)(2017·乌鲁木齐)一艘渔船位于港口A 的北偏东60°方向，距离港口20海里B 处，它沿北偏西37°方向航行至C 处突然出现故障，在C 处等待救援，B ，C 之间的距离为10海里，救援船从港口A 出发20分钟到达C 处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)(导学号 58824163)解：作辅助线如解图所示，BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ，由题意知，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°， ∴∠BAD ＝30°，∵AB ＝20海里，∴BD ＝10海里．在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝103≈17.32海里，在Rt △BCE 中，sin 37°＝CEBC ，∴CE ＝BC·sin 37°≈0.6×10＝6海里， ∵cos 37°＝EBBC， ∴EB ＝BC·cos 37°≈0.8×10＝8海里，EF ＝AD ＝17.32海里．∴FC ＝EF －CE ＝11.32海里，AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18海里，在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26海里， 21．26×3≈64海里/小时．答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．6．(11分)(2017·遵义)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程，由主桥AB 和引桥BC 两部分组成(如图所示)，建造前工程师用以下方式做了测量：无人机在A 处正上方97 m 处的P 点，测得B 处的俯角为30°(当时C 处被小山体阻挡无法观测)，无人机飞行到B 处正上方的D 处时能看到C 处，此时测得C 处俯角为80°36′.(1)求主桥AB 的长度；(2)若两观察点P 、D 的连线与水平方向的夹角为30°，求引桥BC 的长．(长度均精确到1 m ，参考数据：3≈1.73，sin 80°36′≈0.987，cos 80°36′≈0.163，tan 80°36′≈6.06)解：(1)由题意知∠ABP ＝30°，AP ＝97， ∴AB ＝AP tan ∠ABP ＝97tan 30°＝9733＝973≈168 m .答：主桥AB 的长度约为168 m ； (2)∵∠ABP ＝30°，AP ＝97， ∴PB ＝2PA ＝194，又∵∠DBC ＝∠DBA ＝90°，∠PBA ＝30°， ∴∠DBP ＝∠DPB ＝60°，∴△PBD 是等边三角形，∴DB ＝PB ＝194，在Rt △BCD 中，∵∠C ＝80°36′， ∴BC ＝BD tan ∠C ＝194tan 80°36′≈32. 答：引桥BC 的长约为32 m .。

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第14讲三角形及其性质 (时间40分钟满分80分)
A 卷
一、选择题(每小题3分，共21分) 1．(2017·金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是( C ) A ．2，3，4 B ．5，7，7 C ．5，6，12 D ．6，8，10 2．(2017·长沙)一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形 3．(2017·滨州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B )
A ．40°
B ．36°
C ．30°
D ．25°
第3题图
第4题图
4．(2017·毕节)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，斜边AB ＝9，D 为AB 的中点，F 为CD 上一点，且CF ＝13CD ，过点B 作BE ∥DC 交AF 的延长线于点E ，则BE 的长为( A )
A . 6
B . 4
C . 7
D . 12 5．(2017·大庆)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为
E ，AD 与BE 的延长线交于点
F ，则∠AFB 的度数为( B )
A ．30°
B ．15°
C ．45°
D ．25°
(导学号 58824150)
第5题图
第6题图
6．(2017·陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A 重合，点C′落在边AB 上，连接B′C.若∠ACB ＝∠AC′B′＝90°，AC ＝BC ＝3，则B′C 的长为( A )
A ．3 3
B ．6
C ．3 2
D .21 7．(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )
A .
32 B .332 C .3
2
D ．不能确定二、填空题(每小题3分，共21分) 8．(2017·成都)在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4，则∠A 的度数为_40°_. 9．(2017·青岛)
如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 为对角线AC 的中点，连接BE 、ED 、BD.若∠BAD ＝58°，则∠EBD 的度数为_32_度．
10．(2017·宁夏)在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13
DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为_8_.(导学号 58824151)
第10题图
第11题图
11．(2017·铁岭模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上且CE ＝1
2
AC ，连接BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是_24_.
12．(2017·淄博)在边长为4的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的任意一点，过点D
分别作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则DE ＋DF ＝13．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为6，△BCF 的面积为9，△CEF 的面积为6，则四边形ADFE 的面积为_24_.
第13题图
第14题图
14．(2017·七台河)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，AO ＝BO ，点M 是射线CO 上的
一个动点，∠AOC ＝60°，则当△ABM 为直角三角形时，AM 的长为三、解答题(本大题2小题，共20分)
15. (10分)如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，点G 是CE 的中点，DG ⊥CE ，点G 为垂足.
(1)求证：DC ＝BE ； (2)若∠AEC ＝66°，求∠BCE 的度数．
(1)证明：∵G 是CE 的中点，DG ⊥CE ，∴DG 是CE 的垂直平分线，∴DE ＝DC ， ∵AD 是高，CE 是中线，
∴DE 是Rt △ADB 的斜边AB 上的中线， ∴DE ＝BE ＝1
2AB ，
∴DC ＝BE ；
(2)解：∵DE ＝DC ， ∴∠DEC ＝∠BCE ，
∴∠EDB ＝∠DEC ＋∠BCE ＝2∠BCE ， ∵DE ＝BE ，∴∠B ＝∠EDB ， ∴∠B ＝2∠BCE ，
∴∠AEC ＝3∠BCE ＝66°， ∴∠BCE ＝22°.
16．(10分)(2017·绍兴)已知△ABC ，AB ＝AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD ＝AE ，设∠BAD ＝α，∠CDE ＝β.
(1)如图，若点D 在线段BC 上，点E 在线段AC 上．
①如果∠ABC ＝60°，∠ADE ＝70°，那么α＝_20_°，β＝_10_°；
②求α，β之间的关系式；
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，说明理由．
解：(1)①∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD＋∠ABD＝60°＋20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°；
图①
图②
②设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β＋x，
在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，
∴α＝2β；
(2)①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如解图①，设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△ABD中，x＋α＝β－y，
在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如解图②，同①的方法可得α＝180°－2β.
B卷
1．(3分)(2017·黄石)如图，△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，
DE ＝
3
2
，则∠CDE ＋∠ACD ＝( C ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°
第1题图
第2题图
2．(3分)(2017·绵阳)如图，直角△ABC 中，∠B ＝30°，点O 是△ABC 的重心，连接CO 并延长交AB 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，连接AF 交CE 于点M ，则MO MF 的
值为( D )
A .12
B .54
C .23
D .33
3．(3分)(2017·鄂州)如图四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC ＋AD ，∠DAC ＝45°，E 为CD 上一点，且∠BAE ＝45°.若CD ＝4，则△ABE 的面积为( D )
A .127
B .247
C .487
D .507
第3题图
第4题图
4．(3分)(2017·营口模拟)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，BE ⊥AC ，AF ⊥BC ，则∠EFC ＝_45_°.
(导学号 58824152) 5．(3分)(2017·泸州)在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是边AC 、AB 上的中线，且BD ⊥CE ，
垂足为O.若OD ＝2 cm ，OE ＝4 cm ，则线段AO 的长度为
6．(3分)如图，线段AB＝2，C是AB上一动点，以AC、BC为边在AB同侧作正△ACE、正△BCF，连接EF，点P为EF的中点．当点C从A运动到B时，P点运动路径长为_1_.。