线性系统的频域分析法.ppt
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四、线性系统的频域分析法
其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b
01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90
01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0
幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900
10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
线性系统的频域分析法
转折频率：
n 1 T
+20dB/dec
2 2
L( ) 20 lg 1 T
20 0 -20
1 T
• 低频段：T 1时，
G ( j ) j T 1 1 2T 2 e j arctanT
0
幅相曲线：
Im
∞
ω=0
1 Re
A( ) 1 T 幅频特性：
2
2
( ) arctanT 相频特性：
伯德图：
1）对数幅频图
A( ) 1 2T 2
L(ω)/dB
L( ) 20 lg
20dB/dec
ω
( )
90 0 0.1 1 10
2）对数相频图
( ) G( j ) 90
ω
微分环节的对数坐标图
（4）惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1
频率特性： G ( j )
1 1 j T j T 1 1 2 T 2 1 e j arctanT 1 2T 2 1 幅频特性： A( ) 1 2T 2
1 G( s ) Ts 1
解: 将s=jω代入，求得频率特性为：
1 G( j ) G( s ) s j jT 1 1 T j 2 2 2 2 1 T 1 T
1 1 2T 2
11
e j arctanT
2 2T 22 1 1 T ( ) G( j ) arctan T 相频特性： T 虚频特性： Q( ) Im[ G ( j )] 1 2T 2
R(s) C(s)
G(s)
结论： 稳定的系统，在正弦信号作用下其稳态 输出也是同频率的正弦信号，但振幅和相 位不同。
自动控制原理课件：线性系统的频域分析
曲线顺时针方向移动一周时，在 平面上的映射曲线按逆时针方向
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
包围坐标原点 − 周。
m
F (s)
K1 ( s z j )
j 1
n
i 1
( s pi )
24
• 02
基本概念
m
1 G ( s) H ( s) F ( s)
K1 ( s z j )
j 1
在 平面上的映射曲线 F 1 G ( j ) H ( j )将按逆时针方向
围绕坐标原点旋转 = − 周。
如果在s平面上，s沿着奈奎斯特回线顺时针方向移动一周时，
在 平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时针方向旋转 =
周，则系统为稳定的。
26
根据
( 1, j 0)
L( ) 20 lg K 20 lg 1 12 2 20 lg 1 22 2
( ) arctg 1 arctg 2
τ2
20dB / dec 1
2
L3 ( )
L2 ( )
40dB / dec
( )
0
L( )
90
A( ) 1, ( )
L ( ) 20 lg A( ) 0
L( )
jQ( )
L( ) 0
0
( )
1
0
1
P( )
1
0
30
60
16
5.3
系统开环频率特性图
设开环系统由n个典型环节串联组成
G(s ) G 1(s )G 2(s ) G n(s )
这意味着 的映射曲线 F 围绕原点运动的情况，相当于
自动控制原理-胡寿松-第五章-线性系统的频域分析法
第四象限
第三象限
Mr
注意： （特殊点与趋势） 1. A(0) 1, (0) 0; A() 0, () 180 2. 与虚轴的交点 （转折点，是阻尼比的减函数） 2 (0 ) 3.有谐振时， 2 r , M r 为 的减函数 。当 2 0.707 时，谐振峰值 M r 1 。 2
7.延迟环节和延迟系统
1.典型环节
2.最小相位环节的频率特性
（考试、考研重点，nyquist图与bode图必须会画，概率图）
考试的标准画法
L(dB)
20
10
20 lg k
0
10
1
10
100
1000
o
( )
10
0
1
10
100
1000
10
比例环节的nyquist图与bode图
本节目录 1.典型环节 2.最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图） 4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图） 5.系统的开环对数频率特性曲线（bode图）
重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考，考研可能考。 6.传递函数的频域实验确定
考试的标准画法
o
注意考察几个特殊点： A(0), (0);
积分环节的nyquist图与bode 图
A(), ()
与横轴的交点。 注意横竖坐标交点处的的横坐标值（如果交点处没标横坐标值，则斜线不到头）
比较交点不标记的情况
0
0
纯微分环节的Bode图
半对数坐标系中的直线方程（重要，bode图解计算时经常用到）
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
线性系统的频域分析法
第五章线性系统的频域分析法5-1 什么是系统的频率响应？什么是幅频特性？什么是相频特性？什么是频率特性？答对于稳定的线性系统，当输入信号为正弦信号时，系统的稳态输出仍为同频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了改变，如图5-1所示，称这种过程为系统的频率响应。
图5-1 问5-1图称为系统的幅频特性，它是频率的函数；称为系统的相频特性，它是频率的函数：称为系统的频率特性。
稳定系统的频率特性可通过实验的方法确定。
5-2 频率特性与传递函数的关系是什么？试证明之。
证若系统的传递函数为，则相应系统的频率特性为，即将传递函数中的s用代替。
证明如下。
假设系统传递函数为：输入时，经拉氏反变换，有：稳态后，则有：其中：将与写成指数形式：则：与输入比较得：幅频特性相频特性所以是频率特性函数。
5-3 频率特性的几何表示有几种方法？简述每种表示方法的基本含义。
答频率特性的几何表示一般有3种方法。
⑴幅相频率特性曲线（奈奎斯特曲线或极坐标图）。
它以频率为参变量，以复平面上的矢量来表示的一种方法。
由于与对称于实轴，所以一般仅画出的频率特性即可。
⑵对数频率特性曲线（伯德图）。
此方法以幅频特性和相频特性两条曲线来表示系统的频率特性。
横坐标为，但常用对数分度。
对数幅频特性的纵坐标为，单位为dB。
对数相频特性的纵坐标为，单位为“。
”（度）。
和都是线性分度。
横坐标按分度可以扩大频率的表示范围，幅频特性采用可给作图带来很大方便。
⑶对数幅相频率特性曲线（尼柯尔斯曲线）。
这种方法以为参变量，为横坐标，为纵坐标。
5-4 什么是典型环节？答将系统的开环传递函数基于根的形式进行因式分解，可划分为以下几种类型，称为典型环节。
①比例环节k(k>0) ；②积分环节；③微分环节s；④惯性环节；⑤一阶微分环节；⑥延迟环节；⑦振荡环节；⑧二阶微分环节 ；⑨不稳定环节。
典型环节频率特性曲线的绘制是系统开环频率特性绘制的基础，为了使作图简单并考虑到工程分析设计的需要，典型环节对数幅频特性曲线常用渐近线法近似求取。
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法
自动控制原理第五章线性系统的频域分析法1、基本内容和要点（l）频率特性系统的稳态频率响应，频率响应的物理概念及数学定义；求取频率特性的分析法和实验法。
（2）典型环节的频率特性比例、惯性、积分、微分、振荡、延迟环节的频率特性和对数频率特性。
非最小相位环节的频率特性。
（3）反馈控制系统的开环频率特性研究系统开环频率特性的意义。
单环系统开环对数频率持性的求取与绘制。
最小相位系统开环对数幅频特性与相频特性间的对应关系。
（4）奈奎斯特稳定判据幅角定理。
S平面与F平面的映射关系。
根据开环频率特性判别闭环系统稳定性的奈氏判据。
奈氏判据在多环系统中的应用和推广。
系统的相对稳定性。
相角与增益稳定裕量。
（5）二阶和高阶系统的频率域性能指标与时域性指标。
系统频率域性能指标。
二阶和高阶系统暂态响应性能指标与频率域性能指标间的解析关系及近似关系。
（6）系统的闭环频率特性开环频率特性与闭环频率特性间的解析关系。
用等M圆线从开环频率特性求取闭环频率特性。
用尼氏图线从开环对数频率特性求取闭环频率特性。
2、重点（l）系统稳态频率响应和暂态时域响应的关系。
（2）系统开环频率特性的绘制，最小相位系统开环频率特性的特点。
（3）奈奎斯特稳定判据和稳定裕量。
5-1引言第三章，时域分析，分析系统零、极点与系统时域指标的关系；典型二阶系统极点或和n与时域指标tp、和t、tr及稳态误差等的关系，及高阶系统的近似指标计算；第四章，根轨迹分析，研究系统某一个参数变化对系统闭环极点的影响；本章讨论系统零、极点对系统频率域指标的关系，频域指标又分开环频域指标和闭环频域指标，它们都是在频域上评价系统性能的参数。
频域分析是控制理论的一个重要分析方法。
5-2频率特性1．频率特性的基本概念理论依据定理：设线性定常系统G()的输入信号是正弦信号某(t)某int，在过度过程结束后，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率的函数，即为c(t)Y()in[t()]。
线性系统的频域分析_自动控制原理
X G(-j )X d 1 G(s) 2 (s j ) S -j 2 2j s X G(j )X d 2 G(s) 2 (s - j ) S j 2 2j s G(j ) | G(j ) | e j G(-j ) | G(-j ) | e - j | G(j ) || G(-j ) |
第五章 线性系统的频域分析 §1 频率响应及其描述
一．频率特性 1.频率特性的基本概念 a.RC网络
右图所示的RC 网络的微分方程为
0 T dU dt U 0 U i
R UI C U0
式中
T RC 则
U 0 (S) U i (S)
1 TS 1
设 U i Asin t U 0 (S)
说明: 1.在稳态求出的输出信号 与输入信号的幅值比是 的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | j ) | 2.输出信号与输入信号的 相位差是的非线性函数 ,称 为相频特性 .它描述在稳态情况下 ,当系统输入不同频率 的谐波信号时 , 其相位产生超前 ( 0 )或滞后( 0 )的 特性. 3.幅频特性和相频特性总 称为频率特性 , 记为 G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s) s j
X(t) xsint Y(S)
B( s ) x ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) (s j )(s - j ) d1 d2 c1 cn s j s j s s1 s sn
y(t) d1e - jt d 2e jt c1e s1t c n e sn t 对于稳定系统 ,由于极点S1 , S2 , , Sn都有负实部 , 所以当t 时 y ss ( t ) d1e jt d 2e jt
第4章 线性系统的频域分析
系统的稳态输出相对于输入信号发生的幅值 和相角的变化，可以用一个关于角频率ω 的 复变函数表示，称为系统的频率特性。
G(i) | G(i) | e
iG ( )
频率特性中的模值和相角也分别称为系统的 幅频特性函数和相频特性函数。
频率特性是系统的频域模型
系统的频率特性可以用实验直接测定。 线性定常系统的频率特性与系统的传递函数 具有如下对应关系：
以RC网络为例。输入是正弦信号，则系统 的稳态输出也是同频率的正弦信号，但幅值 和相角发生变化。
RCu (来自 ) sin tu (t )
uc (t )
uo (t ) A( ) sin[ t ( )] A( ) 1 1 (T ) 2
i (t )
du o RC uo u dt
0
0 1 Re G
O
2 n G( s) 2 2 s 2n s n
1 Re G
Im G
G ( s ) T 2 s 2 2Ts 1
Im G
0
1 Re G
O
O
0
1 Re G
延时环节的频率特性曲线
Im G
e
1
i
1 i / 2 1 i / 2
1 Re G
O
G(s) e s
例题4－1
已知某系统频率特性曲线，试确定传递函数。
解 该系统没有积分环节， 没有零点时为二阶系统。 设传递函数为
Kn 2 G( s) 2 s 2n s n 2
Im G
1.2
O
Re G
令s=iω =0 得到 K=1.2。
第4章 线性系统的频域分析
第4章线频域分析法频域分析方法是根据系统的频率特性来分析系统的性能，也常称为频率特性法或频率法。
频域分析法有以下特点，首先是频率特性有明确的物理意义。
系统的频率响应可以用数学模型算出，也可以通过实际的频率特性实验测出。
这一点在工程实践上价值很大，特别是对结构复杂或机理不明确的对象，频率分析法提供了一个处理这类问题的有效方法。
频率法计算简单，只用很小的计算量和很简单的运算方法，再辅以作图，便可以完成分析与综合的工作。
当前已有一套完整便捷的基于频率法的计算机辅助设计软件，可以代替人工完成绝大部分的设计工作。
频率法也有其缺点和局限性。
频率法只适合用于线性定常系统。
从原理上讲频率法不能用于非线性系统或时变系统。
虽然在研究非线性系统时也借用了频率法的一些思想，但只能在特定的条件下解决一些很有局限性的问题。
本章研究频率特性的基本概念、图示方法、控制系统的稳定性判据、系统性能的频域分析方法。
4.1 频率特性系统的频率特性描述了线性系统在正弦信号输入下其稳态输出和输入的关系。
为了说明频率特性的概念，下面分析线性系统在正弦输入信号的作用下，其输出信号和输入信号间的关系。
设线性定常系统输入信号为()r t ，输出信号为()c t ，如图4-1所示。
图中G(s)为系统的传递函数。
即 1011111()()()mm m m n n n nb s b s b s b C s G s R s s a s a s a ----++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++ （n m ≥） （4-1）若在系统输入端作用一个时间的谐波函数，即0()s i n ()r t r t ωϕ=⋅+ ，式中，0r 是振幅；ω是频率；ϕ是相角。
为简便起见，假设0ϕ=，则0()sin r t r t ω=⋅ 图4-1 一般线性定常系统由于0022()()()r r R s s s j s j ωωωωω==++- （4-2）系统输出()C s 为10110111()()()()()m m m m n n n n b s b s b s b r C s G s R s s a s a s a s j s j ωωω----++⋅⋅⋅++==⋅++⋅⋅⋅+++-1()ni i i C B Ds s s j s j ωω==++-+-∑（4-3）式中，i s 为系统特征根，即极点（设为互异）；C i ，B ，D 均为相应极点处留数。
第5章线性系统的频域分析方法
最小相位环节：
特点:某个参数的符号相反
除积分微分外，最小相位环 节有对应的非最小相位环节
非最小相位环节:
非最小相位环节和与之相对 应的最小相位环节的区别在 于其零极点在s平面的位置。
不稳定环节
设有两个系统
1 Ts G1 ( s ) 1 10Ts
和
1 Ts G2 ( s) 1 10Ts
1 典型环节 根据零极点，将开环传递函数的分子和分母多项式分解 成因式，再将因式分类，得到典型环节。 开环系统可表示为若干典型环节的串联形式
设典型环节的频率特性为
幅值相乘， 相角相加
则系统开环频率特性
系统的开环幅频特性和相频特性
系统开环频率特性为组成系统的各典型环节频率特性的合成 系统开环对数幅频特性
A 1 U o (s) [U i ( s ) Tuo 0 ] 代入 U i ( s ) L[ A sin t ] 2 s 2 Ts 1
U o ( s) Tu 1 A A [ 2 Tuo 0 ] o 0 再由拉氏逆变换 Ts 1 s 2 (Ts 1)(s 2 2 ) Ts 1
(1) 幅相频率特性曲线 (Nyquist图，极坐标图)
将频率特性表示为复平面上的向量，其长度为A(ω) ， 向量与正实轴夹角为 (ω)，则ω变化时，相应向量的矢端 曲线即为幅相曲线。
G( jω)=A(ω)e j(ω) ，G(-jω)=A(ω)e -j(ω)
A(ω)偶, (ω)奇
ω：0→+∞和ω：0→ -∞的幅相曲线关于实轴对称 只绘制ω从零变化至+∞的幅相曲线。 用箭头表示ω增大时幅相曲线变化方向 对于RC网络 G ( j )
j
cos j sin
自动控制原理第五章 线性系统的频域分析法-5-6
自 动
5.6 控制系统的频域校正方法
控
结合校正装置，简要介绍串联校正的设计方法。常
制 原
用校正装置分为无源和有源两大类。
理 1. 串联无源校正 包括无源超前、无源滞后和无源滞
后-超前校正三种。无源校正网络由电阻、电容构成。
⑴ 串联无源超前校正
超前校正网络实现形式
Gc
(s)
U U
c r
( (
s s
) )
a4
制 校验相角裕度
原 理
m
arctan
a 21 a=源自arctan3 4
=36.9
=180 +(c)+m 180 167.2 36.9 49.7
达到相角裕度的要求。由于选择超前校正，校正后开
环幅相曲线与负实轴仍无交点，故幅值裕度无穷大，
自然满足要求。
再由
m
T
1 a
=4.4
T 0.114 s
串联超前校正设计步骤
R(s)
K C(s)
例5.6-1 图示反馈系统
-
s(s 1)
要求系统在 r(t)=t 1(t) 时,
稳态误差 e ss 0 .1 ra d ,截止频率 c 4 .4 ra d / s 相角
裕度 4 5 幅值裕度 h d B 1 0 d B ,试设计串联无
源超前网络。
5
Page: 5
自 解：① 设计开环增益，满足稳态要求
动
控 未校正系统为Ⅰ型系统。在单位斜坡输入下，由
制
1
原 理
ess K 0.1
K 10
T 为a的减函数 m 为a的增函数
② 校验待校正系统频域指标 由 L(m) 为a的增函数
5.6 控制系统的频域校正方法
控
结合校正装置，简要介绍串联校正的设计方法。常
制 原
用校正装置分为无源和有源两大类。
理 1. 串联无源校正 包括无源超前、无源滞后和无源滞
后-超前校正三种。无源校正网络由电阻、电容构成。
⑴ 串联无源超前校正
超前校正网络实现形式
Gc
(s)
U U
c r
( (
s s
) )
a4
制 校验相角裕度
原 理
m
arctan
a 21 a=源自arctan3 4
=36.9
=180 +(c)+m 180 167.2 36.9 49.7
达到相角裕度的要求。由于选择超前校正，校正后开
环幅相曲线与负实轴仍无交点，故幅值裕度无穷大，
自然满足要求。
再由
m
T
1 a
=4.4
T 0.114 s
串联超前校正设计步骤
R(s)
K C(s)
例5.6-1 图示反馈系统
-
s(s 1)
要求系统在 r(t)=t 1(t) 时,
稳态误差 e ss 0 .1 ra d ,截止频率 c 4 .4 ra d / s 相角
裕度 4 5 幅值裕度 h d B 1 0 d B ,试设计串联无
源超前网络。
5
Page: 5
自 解：① 设计开环增益，满足稳态要求
动
控 未校正系统为Ⅰ型系统。在单位斜坡输入下，由
制
1
原 理
ess K 0.1
K 10
T 为a的减函数 m 为a的增函数
② 校验待校正系统频域指标 由 L(m) 为a的增函数
信号与系统§6.1线性系统复频域分析法
两边取拉普拉斯变换就得复频域中的电压-电流象函 数关系为）UR (s) RIR (s) ,称为电阻R的复频域模型。
电阻R的运算阻抗可以表示为R UR(s)
IR (s)
R iR (t)
R IR(s)
vR t
VR(s)
2. 电感元t
n
i0
ai
siR(s)
i1 k 0
si1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs jE(s)
j0
（6-4）
即
n i0
ai si
R(s)
n i0
ai
i1 k0
si
1k
r
(k
)
(0
)
m
bjs
j0
设系统的初始状态为r(0 ),r(0 ) ，…，r(n1) (0 ) 。根据
拉氏变换的时域微分特性，响应信号r(t) 及其各阶导
数的拉式变换为
i 1
L r(i) (t) si R(s) si1k r(k) (0 ) k 0
(i 0,1,L , n)
(6-2)
如果激励信号 e(t) 为有始信号，且L e(t) E(s), 将 e(t)
设为 t 0 时的接入，则在 t 0 时 e(t) 及其各阶导
数都为0，即 e( j) (0 ) 0( j 0,1, 2,L , m) ，于是激励信号
e(t) 及其各阶倒数的拉式变换为
L e( j) (t) s j E(s) ( j 0,1,L , m) （6-3） 对式（6-1）的两边取拉式变换，并利用式（6-2）、 （6-3），得
电阻R的运算阻抗可以表示为R UR(s)
IR (s)
R iR (t)
R IR(s)
vR t
VR(s)
2. 电感元t
n
i0
ai
siR(s)
i1 k 0
si1k
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bjs jE(s)
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（6-4）
即
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设系统的初始状态为r(0 ),r(0 ) ，…，r(n1) (0 ) 。根据
拉氏变换的时域微分特性，响应信号r(t) 及其各阶导
数的拉式变换为
i 1
L r(i) (t) si R(s) si1k r(k) (0 ) k 0
(i 0,1,L , n)
(6-2)
如果激励信号 e(t) 为有始信号，且L e(t) E(s), 将 e(t)
设为 t 0 时的接入，则在 t 0 时 e(t) 及其各阶导
数都为0，即 e( j) (0 ) 0( j 0,1, 2,L , m) ，于是激励信号
e(t) 及其各阶倒数的拉式变换为
L e( j) (t) s j E(s) ( j 0,1,L , m) （6-3） 对式（6-1）的两边取拉式变换，并利用式（6-2）、 （6-3），得
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23.03.2019
自动控制原理实验教程
3. 实验内容 （1）绘制控制系统Nyquist图 给定系统开环传递函数的分子系数多项式num和分母系数 多项式，在MATLAB软件中nyquist () 函数用来绘制系统的 奈氏曲线，函数调用格式有三种。 格式一：nyquist (num , den) 作Nyquist图，角频率向量的范围自动设定，默认ω的范围 为（－∞，＋∞）。
23.03.2019
自动控制原理实验教程
1）相角裕度 对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后γ 度， 则系统将变为临界稳定。当 γ > 0时，相角裕度为正，闭环 系统稳定。当 γ = 0 时，表示奈氏曲线恰好通过点，系统 处于临界稳定状态。当 γ < 0 时，相角裕度为负，闭环系 统不稳定。 2）幅值裕度 对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h 倍，则系统将变为临界稳定状态。当h (dB)> 0时 ，闭环 系统稳定。当h (dB) = 0时，系统处于临界稳定状态。当h (dB) < 0 ，闭环系统不稳定。
23.03.2019
自动控制原理实验教程
奈奎斯特稳定性判据是利用系统开环频率特性来判断 闭环系统稳定性的一个判据，便于研究当系统结构参数改变 时对系统稳定性的影响。 1）对于开环稳定的系统，闭环系统稳定的充分必要条件是： 开环系统的奈氏曲线不包围点。反之，则闭环系统是不稳定 的。 2）对于开环不稳定的系统，有个开环极点位于右半平面， 则闭环系统稳定的充分必要条件是：当从变到时，开环系统 的奈氏曲线逆时针包围点次。
23.03.2019
自动控制原理实验教程
3. 实验内容 （1）绘制连续系统的伯德图 格式一：bode（num, den） 在当前图形窗口中直接绘制系统的Bode图，角频率向 量ω的范围自动设定。 格式二：bode（num , den , w） 用于绘制的系统Bode图，ω为输入给定角频率，用来 定义绘制Bode图时的频率范围或者频率点。ω为对数 等分，用对数等分函数logspace ( ) 完成，其调用格式 为： logspace（d1，d2，n），表示将变量ω作对数等分， 命令中d1，d2为10 d1 ~ 10 d2之间的变量范围，n为等 分点数。
23.03.2019
自动控制原理实验教程
3. 实验内容与步骤 （1）比例环节频率特性测试 在输入端接上高频正弦发生器，设定正弦波信号幅值为 0.05 v，用双踪示波器观察并记录输出与输入幅值的比和 相位差。
R
100kΩ 100kΩ
ui
100kΩ
uo
100kΩ 100kΩ
23.03.2019
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线性系统的频域分析法
5.1 典型环节频率特性测试
1. 实验目的 （1）加深了解模拟典型环节频率特性的物理概念。 （2）掌握模拟典型环节频率特性的测试方法。 （3）学会根据频率特性建立系统传递函数。 （4）了解模拟典型环节的伯德图与理想环节的不同， 并确定近似条件。
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uc ur
频率特性仪 或 数字示波器
正弦信号
线性系统
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（2）由实验频率特性确定最小相位传递函数 根据实验测试数据绘制系统开环频率特性，然后确定系 统开环传递函数，步骤如下： 1）将用实验方法取得的伯德图用斜率为的直线段近似， 得到对数幅频渐近特性曲线。 2）根据低频段对数幅频特性的斜率确定系统开环传递 函数中含有串联积分环节的个数。若有个积分环节，则 低频段渐近线的斜率为。 3）根据在0 dB轴以上部分的对象幅频特性的形状与相 应的分贝值、频率值确定系统的开环增益K。
ui
100kΩ
Байду номын сангаас
100kΩ
uo
100kΩ 100kΩ
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（4）比例微分环节频率特性测试 输入正弦波测试信号的频率可从 1Hz 开始，直到大于 1 Ｍ Ｈ z为止。在幅值变化方向或相位差变化较大时刻处，频 率变化要小一些，多测几组。用双踪示波器观察并记录输 出与输入正弦波的幅值比及相位差。
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6. 实验能力要求 （1）熟练掌握控制系统频率特性的测量方法，能够正 确选择测试频率，在测试过程中，能够根据测试数据 的变化判断系统的转折频率点。 （2）根据原始测量数据进行必要的数据转换，绘制 Bode图。 （3）根据系统幅频特性，作渐近处理，建立系统数学 模型。 （4）比较实测频率特性与理想频率特性，分析测量误 差。 （5）分析二阶系统的频域指标与动态性能指标之间的 关系。
50kΩ 50kΩ 0.04uF 100kΩ 100kΩ
ui
100kΩ
uo
100kΩ
100kΩ
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自动控制原理实验教程
5. 实验能力要求 （1）学会典型环节频率特性测试方法，能够根据不同环 节，不同特征参数确定测试信号的幅值和频率； （2）在测试过程中能够抓住关键区域测试，通过输出信 号幅值和相位变化确定转折频率； （3）能够根据实际测量数据绘制伯德图； （4）根据实测伯德图，作渐近处理，推算传递函数； （5）与理想环节相比，确定用理想环节数学模型近似描 述模拟环节的条件。
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（2）惯性环节频率特性测试 设置正弦输入信号的幅值为1v，频率从1Ｈz开始逐步提高， 到16Ｈz附近须仔细测定，一直测试到频率约为300Ｈz为止， 或到难于检测出时为止。
100kΩ 0.01uF 100kΩ
ui
100kΩ
100kΩ
uo
100kΩ 100kΩ
23.03.2019
23.03.2019
自动控制原理实验教程
格式二：nyquist (num , den , w) 作开环系统的奈氏曲线，角频率向量ω的范围可以人工给 定。ω为对数等分，用对数等分函数logspace ( ) 完成，其 调用格式为：logspace（d1，d2，n），表示将变量ω作对 数等分，命令中d1，d2为10 d1 ~ 10 d2之间的变量范围， 【范例5-1】系统开环传递函数 n为等分点数。 格式三：[re , im , w] = nyquist (num , den) ，绘制其Nyquist图。 返回变量格式不作曲线，其中 re为频率响应的实部，im为 频率响应的虚部，w是频率点。 【范例5-1】系统开环传递函数，绘制其Nyquist图。
10 s
1 0.1s 1
C (s)
K1
自动控制原理实验教程
4. 实验步骤 1 （1）连接被测系统的模拟电路，进行计算机通信测试。 G (s) 2 s (s 10 ) （2）打开测试软件，选择正弦波输入测试信号，设置其 幅值为1.0v，频率从低频开始，然后逐步提高。观察输出 信号幅值和相位的变化，记录输出幅值与输入幅值的比 Uom/Uim及其相位差 。在这两组数据变化较大的频段， 应该多测试几组数据，仔细测定，直到输出滞后输入的相 位为止。测试频率可以设定以下频率：0.1Hz，1Hz，5Hz， 8Hz，10Hz，15Hz，20Hz，25Hz，30Hz，40Hz，50Hz， 80Hz，100Hz，150Hz。 （4）将测试数据处理，绘制系统幅频特性曲线和相频特 性曲线。测出谐振峰值Mr、峰值频率ωr、带宽频率ωb、 剪切频率ωc和相角裕度。 （3）测量系统阶跃响应曲线，记录其动态性能指标：超 调量Mp和调整时间ts。
测试正弦信号从低频开始，开始频率可随着比例系 数的增高而降低。当R配置10MΩ、1MΩ或100kΩ不同值 时，开始频率可分别为1kHz、10kＨz或100kＨz。然后逐 步提高测试正弦信号的频率，在伯德图上转折频率处， 输出振幅减小或相位滞后，此时应仔细测定。然后增大 测试信号频率间距，直到输出滞后于输入的相位约有为 止。
10 G (s ) 2 s 2 s 10
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（2）根据奈氏曲线判定系统的稳定性 【范例5-2】已知
0 . 5 G ( s ) H ( s ) 3 2 s 2 s s 0 . 5
绘制Nyquist图，判定系统的稳定性。 为了应用奈氏曲线稳定判据对闭环系统判稳，必须知道 G(s)H(s)不稳定根个数p是否为0。可以通过求其特征方 程的根roots ( ) 函数求得。 p = [1 2 1 0.5] ; roots (p) 【分析】由于系统奈氏曲线没有包围且远离（-1，j 0） 点，且p=0，因此系统闭环稳定。
23.03.2019
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3. 实验内容 二阶控制系统模拟电路图、结构图所示。
C 1uF C 1uF
100kΩ 100kΩ 100kΩ
R3
500kΩ
ui (t )
D / A1
100kΩ 100kΩ
uo (t )
A / D1
100kΩ
100kΩ
100kΩ
R( s)
+
23.03.2019
23.03.2019
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5.4 基于MATLAB控制系统的伯德图及其频域分析 1. 实验目的 （1）熟练掌握运用MATLAB命令绘制控制系统伯德图的方 法。 （2）了解系统伯德图的一般规律及其频域指标的获取方法。 （3）熟练掌握运用伯德图分析控制系统稳定性的方法。 2. 实验原理 对数频率稳定性判据的内容为： 闭环系统稳定的充分必要条件是当从零变化到时，时， 在开环系统对数幅频特性曲线的频段内，相频特性穿越的 次数为。其中 ，为正穿越次数，为负穿越次数，为开环传 递函数的正实部极点数。
23.03.2019
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5.2 控制系统频率特性测试
1. 实验目的 （1）加深了解控制系统频率特性的物理概念。 （2）熟练掌握控制系统频率特性的测量方法。 （3）巩固根据系统频率特性建立系统数学模型。 （4）了解实际频率特性与理想特性的差异，确定近似条件。 2. 实验原理 根据系统理想的对数幅频特性渐近线的转折频率和谐振 峰值，确定输入正弦信号的频率变化范围和测试点，通常取 低于转折频率10倍左右的频率作为开始测试的最低频率，取 高于转折频率10倍左右的频率为终止测试的最高频率。在峰 值频率和转折频率附近，应多测几个点。