定积分与微积分基本定理精修订
第四节 定积分与微积分基本定理
第四节 定积分与微积分基本定理高考概览：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义．[知识梳理]1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑i ＝1nf (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f(x)d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n →∞∑i ＝1nb －an f (ξi )．在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质3．微积分基本定理4．定积分的几何和物理应用[辨识巧记]1．两个结论(1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．(2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程．2．两个性质函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若⎠⎛ab f (x )d x <0，则由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√[解析] ⎠⎛－11|x |d x ＝⎠⎛－1(－x )d x ＋⎠⎛1x d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12x 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 0－1＋12x 210＝12＋12＝1.[答案] A3．(选修2－2P 65A 组T 5改编)曲线y ＝x 2＋2x 与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为( )A.16B.13C.56D.23[解析] 如图，两函数图象交点为(－1，－1)和(0,0)，所求面积S＝⎠⎛－1 0[x －(x 2＋2x )]d x＝⎠⎛－10(－x 2－x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3－12x 2⎪⎪⎪－1＝16. [答案] A4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 [解析] 如图，[答案] C5．定积分⎠⎛0416－x 2d x ＝________.[解析] 令y ＝16－x 2，则x 2＋y 2＝16(y ≥0)，点(x ，y )的轨迹为半圆，⎠⎛416－x 2d x 表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，所以⎠⎛0416－x 2d x ＝14×π×42＝4π.[答案] 4π考点一 定积分的计算【例1】 计算下列定积分： (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ；(2)⎠⎛02(x －1)d x ； (3)⎠⎛01(－x 2＋2x )d x ；[思路引导] 定理法→数形结合法→性质 [解]微积分基本定理求定积分的注意点：(1)对被积函数要先化简，再求积分．(2)若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分．(4)若被积函数具有明确的几何意义或奇偶性，可利用定积分的几何意义和性质求解．[对点训练]计算下列定积分： (1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛13⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 2d x ；[解]考点二 利用定积分求图形的面积【例2】 (1)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4(2)曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积为________． (3)曲线f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54π与x 轴围成的图形的面积为________．[思路引导] 作出图形→求交点→转化为定积分 [解析][答案] (1)D (2)136 (3)3－22利用定积分求平面图形面积的4个步骤[对点训练]1．(2018·河北张家口质检)如图，由曲线y＝x2－4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积是()[解析][答案] C2．曲线y ＝sin x 在[0,2π]上与x 轴围成的封闭图形的面积为________．[解析] S ＝⎠⎛0πsin x d x －∫2ππsin x d x ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.[答案] 4考点三 定积分在物理中的应用【例3】 (1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25 ln5B ．8＋25 ln 113 C ．4＋25 ln5D ．4＋50 ln2(2)一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向做直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )做的功为( )A. 3 JB.233 JC.433 JD ．2 3 J[解析] (1)令v (t )＝0，即7－3t ＋251＋t ＝0，化简为3t 2－4t －32＝0.又∵t >0， 解得t ＝4或t ＝－83(舍去)， 所以s ＝⎠⎛4v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )⎪⎪⎪4＝7×4－32×42＋25ln5＝4＋25 ln5，故选C. (2)W ＝⎠⎛12F (x )cos30°d x ＝⎠⎛1232(5－x 2)d x＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －x 33| 21＝433(J)．[答案] (1)C (2)C定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[对点训练]1．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1的方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．[解析] 由题意知变力F (x )对质点M 所做的功为[答案]3422.一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在1 2s～6 s间的运动路程为________．[解析]由图可知，[答案]494m课后跟踪训练(十九)基础巩固练一、选择题[解析][答案] C[解析]a ＝－1.故选A. [答案] A3．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0ef (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76[解析] ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛1e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1x d x ＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋1＝43.故选A. [答案] A4．(2018·武汉武昌区调研)物体A 以速度v ＝3t 2＋1(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方5 m 处以v ＝10t (t 的单位：s ，v 的单位：m/s)的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是( )A ．120 mB ．130 mC ．140 mD ．150 m[解析] 设t 秒后两物体相遇，则⎠⎛0t (3t 2＋1)d t －⎠⎛0t 10t d t ＝5，即t 3＋t －5t 2＝5，(t 2＋1)(t －5)＝0，t ＝5(s)，此时物体A 离出发地的距离为⎠⎛05(3t 2＋1)d t ＝(t 3＋t )| 50＝53＋5＝130 (m)．[答案] B5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163 D ．6[解析] 作出曲线y ＝x ，直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x －2得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛04[x －(x －2)]d x ＝⎠⎛04(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x | 4＝23×8－12×16＋2×4＝163. [答案] C 二、填空题6．(2019·湖南省长沙市高三统一模拟)⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝________.[解析][答案] π[解析][答案]π－2 4[解析][答案]4 3三、解答题9．如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．[解]建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，由图易知(5,2)在抛物线上，可得p＝254，抛物线方程为x2＝252y，所以当前最大流量对应的截面面积为2⎠⎛5⎝⎛⎭⎪⎫2－225x2d x＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×(6＋10)2＝16，所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.10.在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．[解]S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－⎠⎛t x2d x＝23t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2,1－t面积，即S2＝⎠⎛t1x2d x－t2(1－t)＝23t3－t2＋13.所以阴影部分的面积S (t )＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12＝0，得t ＝0或t ＝12. t ＝0时，S (t )＝13；t ＝12时，S (t )＝14；t ＝1时，S (t )＝23. 所以当t ＝12时，S (t )最小，且最小值为14.能力提升练[解析][答案] D12．(2019·宁夏银川质检)如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3 C.353 D.323 [解析][答案] D13．(2019·福建师大附中期中)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x＝________.[解析] 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则f (x )＝x 2＋2c ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ＝c ，解得c ＝－13，所以⎠⎛1f (x )d x ＝－13.[答案] －1314．学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB 为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O ，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米．(1)求水面宽；(2)如图①所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，求沟中的水有多少立方米？(3)现在学校要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切(如图②所示)，问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？[解] (1)建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为y ＝ax 2(－1≤x ≤1)．则由抛物线过点B (1,2)，可得a ＝2.于是抛物线方程为y ＝2x 2，－1≤x ≤1.当y ＝1时，x ＝±22，由此知水面宽为2米．(3)为使挖的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切．设切点P (t,2t 2)(0<t ≤1)是抛物线弧OB 上的一点，过点P 作抛物线的切线得到如图所示的直角梯形OCDE ，则切线CD 的方程为y －2t 2＝4t (x －t )，于是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12t ，2. 记梯形OCDE 的面积为S ，则S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋t 2＋12t ≥2，当且仅当t ＝12t ，即t ＝22时等号成立，所以改挖后的沟底宽为22米时，所挖的土最少．拓展延伸练15．(2019·安徽淮北质检)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83 D.1623[解析] 由题意知，抛物线的焦点坐标为(0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)．根据图形的对称性和定积分的几何意义可得，所求图形的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 312⎪⎪⎪20＝83. [答案] C16．(2018·四川绵阳期中)如图，直线y ＝kx 将抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形分成面积相等的两部分，则k ＝________.[解析] 因为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16，所以∫1－k 0[(x －x 2)－kx ]d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3⎪⎪⎪1－k 0＝(1－k )36＝112，所以(1－k )3＝12，解得k ＝1－312＝1－342.[答案] 1－342。
精品课件：定积分与微积分基本定理
• 1．定积分与曲边梯形的面积：
如图，设阴影部分面积为 S.
b
①S＝af(x)dx. ②S＝－abf(x)dx. ③S＝caf(x)dx－cbf(x)dx. ④S＝baf(x)dx－abg(x)dx＝ab[f(x)－g(x)]dx.
9－x2dx＝π·432＝94π，故
选 C.
• 答案 (1)C (2)B (3)C
• 规律方法 (1)定积分的计算方法有三个： 定义法、几何意义法和微积分基本定理法， 其中利用微积分基本定理是最常用的方法， 若被积函数有明显的几何意义，则考虑用 几何意义法，定义法太麻烦一般不用．
• (2)运用微积分基本定理求定积分时要注意 以下几点：
0
1
(2)令0f(x)dx＝m，则
f(x)＝x2＋2m，所以01f(x)dx＝10(x2＋2m)dx＝
13x3＋2mx10 ＝13＋2m＝m，解得 m＝－13，故选 B.
3
(3)由定积分的几何意义知，0
9－x2dx 是由曲线 y＝
9－x2，直线
3
x＝0，x＝3，y＝0 围成的封闭图形的面积，故0
• ①对被积函数要先化简，再求积分．
• ②求被积函数为分段函数的定积分，依据 定积分“对区间的可加性”，分段积分再 求和．
利用定积分求平面图形的面积(师生共研)
例 2 (2014 年高考山东卷)直线 y＝4x 与曲线 y＝x3 在第一象限内围
成的封闭图形的面积为( )
A．2 2
B．4 2
C．2 解析
•• AC．．35 BD．．46 秒内行驶的路程为t010tdt，所以0t (3t2＋1－10t)dt＝(t3＋t－5t2)t0 ＝t3＋t－
课件1：定积分与微积分基本定理
自
第4节 定积分与微积分基本定理
高 考
主
体
落
验
实
·
·
明
固
考
基
情
础
典例课来自探后究
作
·
业
提
知
能
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高
自
考
主 落
1．定积分的概念与性质
体 验
实
·
(1)定积分的定义：
· 明
固
考
基 础
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝ 情
π (1)(2013·广州模拟)若∫ 2 0(sin x＋acos x)dx＝2，则实数 a 等于( )
验 · 明 考 情
A．－1
B．1
C. 3
D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为( ) 0
典 例 探 究
A．9π B．3π C.94π D.92π
课 后 作
·
业
提
知
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固 基
当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常
考 情
础
数 叫 做 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 定 积 分 ， 记 作
典 例 探
__baf_(_x_)d_x___，即baf(x)dx＝limi＝n1 b－n af(ξi)．
课 后
究
作
·
业
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③bf(x)dx＝_____a _______＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
第十三节定积分与微积分基本定理
a
图1
(2)由三条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、x 轴、一条曲线 y＝
f(x)[f(x)≤0]围成的曲边梯形的面积(如图 2)：
S＝|bf(x)dx|＝－bf(x)dx.
a
a
图2
(3)由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、两条曲线 y＝f(x)、y＝ g(x)[f(x)≥g(x)]围成的平面图形的面积(如图 3)；
题型一 计算积分 例 1 计算以下定积分：
解析：(1)函数 y＝2x2－1x的一个原函数是 y＝23x3－lnx，所
以12(2x2－1x)dx＝(23x3－lnx)
2 1
21＝136－ln2－23＝134－ln2.
(2)3( 2
x＋ 1x)2dx＝23(x＋1x＋2)dx
∴在 t＝4s 时的路程为
s＝1(t2－4t＋3)dt＋|3(t2－4t＋3)dt|＋4(t2－4t＋3)dt＝4m.
0
1
3
点评：用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物 理问题转化为数学问题是关键，另外，路程是位移的绝对值之 和，一定要判断在不同区间上位移的符号，否则会出现计算错 误．
第十三节 定积分与微积分基本定理
【知识梳理】
1.定积分的概念
(1)设f(x)是在区间[a，b]上有定义的函数，在a，b之间取若干分点
a=Δx0<xxk中1<x最2<大…<xn=b.记小区间[xk-1，xk]为Δ k，其长度x_k-__x_k-_1_记作Δ xk， __的__________记作d.再在每个小区间Δ k上任取一点代表点zk，作和式
f(x)在[a，b] 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴 上有正有负 下方的曲边梯形的面积
定积分与微积分基本定理
答案
解析
3 A. 4
4 B. 5
5 C. 6
6 D. 7
2 1 2 2 ʃ0f(x)dx＝ʃ0x dx＋ʃ1(2－x)dx
1 31 1 2 2 ＝ x |0＋(2x－ x )|1 3 2 1 1 1 5 ＝ ＋(4－ ×4)－(2－ )＝ . 3 2 2 6
题型二 定积分的几何意义 命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分
3 3 7 13 ＝ ×4＋4－( ＋2)＝10－ ＝ (m). 2 2 2 2
2 答案 3 4.若 ʃT x 0 dx ＝9，则常数T的值为________.
解析
1 3T 1 3 T 2 ʃ0x dx＝ x |0＝ T ＝9，∴T＝3. 3 3
x2，x∈[0，1]， 5.设 f(x)＝ 1 ，x∈1，e] x
§3.3 定积分与微积分基本定理
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.定积分的概念 在 ʃb af(x)dx中， a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积
分区间，函数 f(x) 叫做被积函数， x 叫做积分变量， f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的性质
S 1 4 2 2 3 2 阴＝ʃ0(4x－x )dx＝(2x － x )|0 4
1 ＝8－ ×24＝4，故选 D. 4
3.(教材改编)汽车以v＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1 s至第2 s间 的1 s内经过的位移是 答案
13 A. m 2 B.6 m
解析
15 C. m 2
D.7 m
32 2 s＝ʃ1(3t＋2)dt＝( t ＋2t)|2 1 2
高考理科数学新课标件定积分与微积分基本定理
定积分的性质
线性性质
对于任意常数$k_1$和$k_2$，有$int_{a}^{b}[k_1f(x) + k_2g(x)]dx = k_1int_{a}^{b}f(x)dx + k_2int_{a}^{b}g(x)dx$。
区间可加性
若$c$是区间$[a,b]$内的一点，则$int_{a}^{b}f(x)dx = int_{a}^{c}f(x)dx + int_{c}^{b}f(x)dx$。
微积分基本定理在解题中的应用
01
计算定积分
02
证明等式
利用微积分基本定理，可以直接计算 出某些函数的定积分结果，而不需要 使用复杂的积分方法和技巧。
通过构造适当的原函数和变上限积分 ，可以利用微积分基本定理证明一些 与定积分相关的等式。
03
解决实际问题
微积分基本定理在实际问题中也有广 泛的应用，例如计算物体的质量、重 心、转动惯量等物理量，以及求解经 济学中的边际效应和弹性等问题。
VS
变量代换法的步骤
首先，根据被积函数的特征，选择合适的 变量代换；其次，将原积分转化为关于新 变量的积分；最后，求出原函数并加上常 数C。
分部积分法
分部积分法的原理
利用两个函数乘积的积分等于其中一个函数与另一个函数的原函数乘积的积分减去另一 个函数与第一个函数的原函数乘积的积分，从而将复杂的积分转化为简单的积分形式。
要点二
定积分的几何意义
定积分在几何上表示由曲线$y=f(x)$，直线$x=a$， $x=b$及$x$轴所围成的曲边梯形的面积。若$f(x) geq 0$ ，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形的面积；若 $f(x) leq 0$，则定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$等于曲边梯形 面积的负值。
定积分及微积分基本定理
高三数学备课组
2011.10.13
定积分的性质
性质1 性质 性质2 性质
∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g( x )dx
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
b c b
b
b
b
b
b
(k 为常数 为常数)
性质3 性质 假设a < c < b
f ( x )dx
性质4 性质
∫a 1 ⋅ dx = ∫a
b
b
b
dx = b − a
性质5 性质 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0
a
(a < b)
定理 3（微积分基本公式） 如果 F ( x ) 是连续函数 （微积分基本公式）
求 ∫ (e x + x − 1)dx
0
2
x2 2 x x − x) 0 = e 2 − 1 (e + x − 1)dx = (e + ∫0 2
2
例 解
所以
求 ∫ x − 1 dx
−1
3
1− x −1 ≤ x < 1 因为 x − 1 = 1≤ x ≤ 3 x −1 3 1 3 ∫−1 x − 1dx = ∫ −1 x − 1 dx + ∫1 x − 1dx
y1Leabharlann x = y2线的交点坐标为 (0, 0) 和 (1, 1), 则图形的面积为
0
y = x2
1
微积分学基本定理定积分计算(续)(精)
§5 微积分学基本定理∙定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。
重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。
教学方法：讲练结合。
本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一变限积分与原函数的存在性设f在[a,b]上可积，根据定积分的性质4，对任何x∈[a,b]，f在[a,x]上也可积.于是，由Φ(x)=⎰f(t)dt,x∈[a,b] （1） ax定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分：ψ(x)=⎰f(t)dt,x∈[a,b]. （2） xbΦ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成⎰f(x)dx，以免与积分上、下限的x相混淆. ax变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于上限积分的情形．⎰bxf(t)dt=-⎰f(t)dt,因此下面只讨论变xb定理9．9 若f在[a,b]上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[a,b]上连续．证对[a,b]上任一确定的点x，只要x+∆x∈[a,b]，按定义式(1)有∆Φ=⎰x+∆xaf(t)dt-⎰f(t)dt=⎰axx+∆xxf(t)dt.因f在[a,b]上有界，可设f(t)≤M,t∈[a,b]．于是，当∆x>0时有∆Φ=⎰x+∆xxf(t)dt≤⎰x+∆xxf(t)≤M∆x;当∆x<0时则有∆Φ≤M∆x．由此得到lim∆Φ=0, ∆x→0即证得Φ在点x连续．由x的任意性，Φ在[a,b]上处处连续．口定理9．10 (原函数存在定理) 若f在[a,b]上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[a,b]上处处可导，且Φ'(x)=dxf(t)dt=f(x),x∈[a,b]. （3） dx⎰a证对[a,b]上任一确定的x，当∆x≠0且x+∆x∈[a,b]时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有第九章第五节第1页∆Φ1x+∆x=f(t)dt⎰x ∆x∆x=f(x+θ∆x),0≤θ≤1.由于f在点x连续，故有Φ'(x)=lim∆Φ=limf(x+θ∆x)=f(x). ∆x→0∆x∆x→0由x在[a,b]上的任意性，证得Φ是f在[a,b]上的一个原函数．口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f为连续函数时，它的任一原函数F必满足 F(x)=⎰f(t)dt+C. ax若在此式中令x=a，得到C=F(a)，从而有⎰f(t)dt=F(x)-F(a).再令x=b,有ax⎰f(t)dt=F(x)-F(a). ab这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f在[a,b]上可积.(ⅰ)若函数g在[a,b]上减,且g(x)≥0,则存在ξ∈[a,b],使⎰f(x)g(x)dx=g(a)⎰f(x)dx aabξ(ⅱ)若函数g在[a,b]上增,且g(x)≥0,则存在η∈[a,b],使⎰baf(x)g(x)dx=g(b)⎰f(x)dx ηb推论设函数f在[a,b]上可积, 若函数g为单调函数,则存在ξ∈[a,b],使⎰baf(x)g(x)dx=g(a)⎰f(x)+g(b)⎰f(x)dx aξbξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f在[a,b]上连续，ϕ在[α,β]上连续可微，且满足ϕ(a)=a,ϕ(b)=b,a≤ϕ(t)≤b,t∈[α,β]，第九章第五节第2页则有定积分换元公式：⎰f(x)dx=⎰αf(ϕ(t))ϕ'(t)dt （9）abβ证由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F是f 在[a,b]上的一个原函数，由复合函数微分法 dF(ϕ(t))=F'(ϕ(t))ϕ'(t)=f(ϕ(t))ϕ'(t) dt可见F(ϕ(t))是f(ϕ(t))ϕ'(t)的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得⎰αf(ϕ(t))ϕ'(t)dt=F(ϕ(β))-F(ϕ(a)) β=F(b)-F(a)=⎰f(x)dx ab从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注如果在定理9．12的条件中只假定f为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例计算⎰10-x2dx.解令x=sint，当t由0变到π⎡π⎤时，x由0增到1，故取[α,β]=⎢0,⎥.应用公式(9)，2⎣2⎦π20并注意到在第一象限中cost≥0，则有⎰1π200-xdx=⎰2-sintcostdt=⎰2cos2tdt ππ121⎛1⎫2 =⎰(1+cos2t)dt= t+sin2t⎪ 202⎝2⎭0=ππ. 4例2 计算⎰20sintcos2tdt.解逆向使用公式(9)，令x=cost,dx=-sintdt,当t由0变到则有ππ时，x由1减到0，2⎰20011sintcos2tdt=-⎰x2dx=⎰x2dx= 103第九章第五节第3页例3 计算J=ln(1+x)⎰01+x2. 1解令x=tant，当t从0变到得到ππdx时，x从0增到1.于是由公式（9）及dt=41+x2πJ=⎰40ln(1+tant)dt=⎰4ln0cost+sint cost⎛π⎫2cos-t ⎪π4⎝⎭dt =⎰4ln0cost⎛π⎫ =⎰4ln2dt+⎰4lncos -t⎪dt-⎰4lncostdt. 000⎝4⎭对最末第二个定积分作变换u=πππππ4-t，有π0⎛π⎫⎰4lncos -t⎪dt=πlncosu(-du)=⎰4lncosudu, 00⎝4⎭4它与上面第三个定积分相消．故得πJ=⎰40ln2dt=π8ln2.事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题．定理9.13 (定积分分部积分法)若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：⎰bau(x)v'(x)dx=u(x)v(x)a-⎰u'(x)v(x)dx. （10） bab证因为uv是uv'+u'v在[a,b]上的一个原函数，所以有⎰bau(x)v'(x)dx+⎰u'(x)v(x)dx=⎰[u(x)v'(x)+u'(x)v(x)]dx aabbb =u(x)v(xa.移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成⎰u(x)dv(x)= =u(x)v(x)-⎰v(x)du(x). （10'） bbbaaa第九章第五节第4页例4解计算⎰e1x2lnxdx. ee1e1⎛332lnxdx=xlnx-xdx⎫⎪⎰⎰111⎝⎭33⎰e1x2lnxdx=()e⎫131⎛133⎪ =e-x=2e+1. ⎪3 391⎭⎝()ππ例5 计算⎰20sinxdx和⎰2cosnxdx,n=1,2, . 0n解当n≥2时，用分部积分求得ππJn=⎰20sinxdx=-sinπ20nn-1xcosx020+(n-1)⎰2sinn-2xcos2xdx 0π =(n-1)⎰sinn-2xdx-(n-1)⎰2sinnxdx π=(n-1)Jn-2-(n-1)Jn. 移项整理后得到递推公式：Jn=由于πn-1Jn-2,n≥2. nJ0=⎰02dx=重复应用递推式(11)便得π2π,J1=⎰02sinxdx=1,J2m=2m-12m-31π(2m-1)!!π⎫⋅⋅=⋅,⎪2m!!2⎪2m2m-222⎬ (12) (2m2m-222m)!!J2m+1=⋅⋅1=.⎪2m+1!!⎪2m+12m-13⎭-t，可得令x=π2⎛π⎫⎰02cosxdx=-⎰πcos -t⎪dt=⎰02sinnxdx. ⎝2⎭2n0nππ因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：π事实上，由⎡(2m)!!⎤1=lim⎢⋅. (13) 2m→∞⎣2m-1!!⎥2m+1⎦π2⎫n⎛π2m-1⎰02sin2n+1xdx<⎰0cos-txdx, ⎪dt=⎰02sinπ2⎝⎭2把(12)代人，得到π(2m)!!<(2m-1)!!⋅π<(2m-2)!!, 2m-1!!2m!!22m-1!! 第九章第五节第5页⎡(2m)!!⎤1π⎡(2m)!!⎤1<由此又得Am=⎢⎥2m+12<⎢2m-1!!⎥2m=Bm.2m+1!!⎣⎦⎣⎦⎡(2m)!!⎤11π<⋅→0(m→∞), 因为o<Bm-Am=⎢⎥⎣2m-1!!⎦2m2m+12m2所以lim(Bm-Am)=0.而m→∞222π2-Am<Bm-Am,故得limAm=m→∞π2（即(13)式）.三泰勒公式的积分型余项若在[a,b]上u(x)、v(x)有n+1阶连续导函数，则有(n+1)(x)dx=[u(x)v(n)(x)-u'(x)v(n-1)(x)+ ⎰bau(x)v+(-1)u(n)(x)v(x)]ba+(-1)nn+1ba⎰u(n+1)(x)v(x)dx(n=1,2, ). (14) 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式(14) 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f在点x0的某邻域U(x0)内有n+1阶连续导函数．令x∈U(x0)，n．利用(14)式得 u(t)=(x-t)，v(t)=f(t)，t∈[x0,x]（或[x,,x0]）(n+1)(t)dt=[(x-t)f(n)(t)+n(x-t)⎰xx0(x-t)fnnxxn-1f(n-1)(t)++n!f(t)]x0+⎰x00⋅f(t)dt=n!f(x)-n![f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f(n)(x0)(x-x0)n] +n!=n!Rn(x)，其中Rn(x)即为泰勒公式的n阶余项．由此求得Rn(x)=1x(n+1)(t)(x-t)ndt，⎰x0f (15)n!这就是泰勒公式的积分型余项．由于f(n+1)(t)连续，(x-t)n在[x0,x](或[x,x0])上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将(15)式写作第九章第五节第6页Rn(x)=1fn!(n+1)(ξ)⎰xx(x-t)ndt 0=1n+1f(n+1)(ξ)(x-x0)， n+1!其中ξ=x0+θ(x-x0),0≤θ≤1．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项．如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得Rn(x)=由于1(n+1)(ξ)(x-ξ)n(x-x0)，fn!ξ=x0+θ(x-x0),0≤θ≤1.(x-ξ)n(x-x0)=[x-x0-θ(x-x0)]n(x-x0)nn+1=(1-θ)(x-x0)因此又可进一步把Rn(x)改写为1(n+1)(x0+θ(x-x0))(1-θ)n(x-x0)n+1, fn!0≤θ≤1. （16） Rn(x)=特别当x0=0时，又有Rn(x)=1(n+1)(θx)(1-θ)nxn+1,0≤θ≤1. （17） fn!公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)第九章第五节第7页。
定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理1．定积分的概念 在⎰b af (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质 (1)⎰b akf (x )d x ＝k⎰b af (x )d x (k 为常数)；(2)⎰b a[f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎰baf 1(x )d x ±⎰b af 2(x )d x ；(3⎰b af (x )d x ＝⎰b af (x )d x ＋⎰b af (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎰baf (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数． 为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即f ⎰b a(x )d x ＝F (x ) |b a ＝F (b )－F (a )．基本积分公式表⑴C dx =⎰0 ⑵C x m dx x m m++=+⎰111 ⑶C x dx x+=⎰ln 1⑷C e dx e xx+=⎰⑸C aa dx a xx+=⎰ln ⑹⎰+=C x xdx sin cos ⑺⎰+-=C x x cos sin ⑻⎰+-=C x x x xdx ln ln 1．(2013·江西高考)若S 1＝⎰21x 2d x ，S 2＝⎰211xd x ，S 3＝⎰21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3 .C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．（2013北京，5分）直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直， 则l 与C 所围成的图形的面积等于( ) A.43B ．2 C.83 . D. 16233．（2013湖南，5分）若∫T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．4．（2012福建，5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取 一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) A.14 B.15 C.16 D.175．（2012湖北，5分）已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( ) A.2π5 B.43 . C.32 D.π26．（2011湖南，5分）由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1 C.32D.3. 7．（2010山东，5分）由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14C.13D.712 8.（2010湖南，5分）⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2.9．(2009·福建，5分)⎰-22ππ(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2.10．（2011陕西，5分）设f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≤+>⎰0,30,lg 2x dt t x x x a 若f (f (1))＝1，则a ＝________. 11、(2008海南)由直线21=x ，x=2，曲线x y 1=及x 轴所围图形的面积为（ ） A.415B. 417 C. 2ln 21 D. 2ln 2.12、(2010海南)设()y f x =为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,N x x x …和12,,N y y y …，由此得到N 个点11(,)(1,2,)x y i N =…,，再数出其中满足11()(1,2,)y f x i N ≤=…,的点数1N ，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 。
课件5：3.3 定积分与微积分基本定理
表示由直线 x＝a，x＝b，y＝0 及曲线 y＝f(x)所围 成的曲边梯形的面积的相反数
f(x)在[a，b]上 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于 x 轴
有正有负 下方的曲边梯形的面积
(3)定积分的基本性质
①bkf(x)dx＝kbf(x)dx (k 为常数)；
a
a
②b[f1(x)±f2(x)]dx＝bf1(x)dx±bf2(x)dx ；
所以6 f(x)dx＝2 6f(x)dx＝8×2＝16.故选 D.
-6
0
[答案] D
2． (x－sin x)dx 等于( )
A.π42－1
B.π82－1
π2 C. 8
D.π82＋1
[解析]
(x－sin x)dx＝(12x2＋cos x)
[答案] B
＝π82－1.故选 B.
3．曲线 y＝x2 与直线 y＝x 所围成的图形面积为( )
考向二 应用定积分求面积
例 2 (1)(2015·郑州模拟)由曲线 xy＝1，直线 y＝x，x＝3
及 x 轴所围成的曲边四边形的面积为( )
11
9
A. 6
B.2
C.12＋ln 3
D．4－ln 3
(2)(2014·陕西汉中模拟)抛物线 y2＝4x 与直线 y＝2x－4 围
成的平面图形的面积是________.
a
成的图形一定在 x 轴下方．
④若 f(x)是偶函数，则a f(x)dx＝2af(x)dx.
-a
0
⑤微积分基本定理中 F(x)是唯一的．
其中真命题的是________．(写出所有真命题的序号)
[解析] ①正确．定积分与被积函数、积分上限和积分下
第十六讲定积分与微积分基本定理
(2) 2(xx2 1)dx;
1
x
(3) 0(coxsex)dx
[分析] 先由定积分的性质将其分解成简单的 定积分,再利用牛顿—莱布尼兹公式求解.
类型二:定积分的几何意义
解题准备:求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤. (1)画出图形; (2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积
典例3.已知二次函数 f(x)ax2bxc,
满足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是
1. 4
(1)求f(x)的解析式;
(2)设直线 l : y t2 t( 其中
0 t 1 ,t 2
为常数,若直
线l与f(x)的图象以及y轴所围成封闭图形的面积是S_1(t),直
线l与f(x)的图象所围成封闭图形的面积是S_2(t),设
(2)几种典型的曲边梯形面积的计算方法:
①由三条直线x=a、x=b(a<b) 、x轴,一条曲线y=f(x)[f(x)≥0] 围成的曲边梯形的面积:
s b f xdx (如图). a
②由三条直线x=a、x=b(a<b)、x轴,一条曲线y=f(x)[f(x)≤0] 围成的曲边梯形的面积:
(2)用定义求定积分的一般方法是:
①__分割______:n等分区间;
②_近__似__代__替_:取点ξ_i∈[x_i-1,x_i];
③__求__和____: ④_取___极__限__:
n
i1
f (i )
5ba; n
baf(x)dxlimn i1f(i)b na.
(3)定积分的几何意义:如果f(x)在上连续且恒有f(x)≥0,那么定
0≤t≤2,t为常数);l_2:x=2.若直线l_1,l_2与函数f(x)的图象以及 l_1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如右图的阴影 所示.
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定积分与微积分基本定
理
标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
课题：定积分与微积分定理使用时间：2011-10-11
【使用说明及学法指导】
1.先仔细阅读教材选修2-2：,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；
2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法.
【学习目标】
1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念、几何意义。
2．直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。
3．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题，在解决问题的过程中体验定积分的价值.
学习重点：正确计算定积分，利用定积分求面积。
学习难点：定积分的概念，将实际问题化归为定积分问题。
学习策略：
①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，理解定积分的概念。
②求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.
③求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【课前预习】
一、基础知识梳理：
知识点一：定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点
将区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点
（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即
＝，这里，与分别叫做积分与积分，区间叫做，函数叫做，叫做，叫做 .
说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
知识点二：定积分的几何意义：
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的；
在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的
曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积
的；
在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积 .
知识点三：定积分的性质：
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
知识点四：微积分基本定理：
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.
注意：
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数，其中c为常数.
知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积：
1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：
2．如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积：
3．由三条直线轴及一条曲线（不妨设在区间上，
在区间上）围成的图形的面积：
＝＋.
4. 如图，由曲线及直线，
围成图形的面积：
知识点六：定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数
在时间区间上的定积分，即.
②变力作功物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
，那么变力所作的功.
规律方法指导
3．利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤：
（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；
（2）解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限；
（3）借助图形确定出被积函数；
（4）写出平面图形的定积分表达式；
（5）运用公式求出平面图形的面积.
二、我的知识树：
【我的疑问】
【课内探究】
经典例题精析：
类型一：利用定积分的几何定义求定积分：
1．说明定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。
【变式】由，，以及轴围成的图形的面积写成定积分是
____________；
类型二：运用微积分定理求定积分
例题：运用微积分定理求定积分：
计算下列定积分的值：
（1），（2），（3）
类型三：运用积分的性质求定积分：
例题3．求定积分：；
类型四：利用定积分求平面图形面积
例题4．求直线与抛物线所围成的图形面积.
【变式】求由曲线（），，围成的平面图形的面积.
二、总结提升
1.知识方面：
2.数学思想方法：
课题：定积分与微积分定理
【课后训练案】
使用说明：1.限时45分钟完成：2.独立、认真；规范快速。
1.说明下列定积分所表示的几何意义，并根据其意义求出定积分的值。
（1）；（2）；
2.利用定积分的几何定义求定积分：
（1）；（2）
3.计算下列定积分的值：
（1）；（2）；（3）.
4.已知函数，计算.
5.求由曲线围成的平面图形的面积.
6.求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【自主纠错】请珍惜每一次训练的机会，发现自己存在的问题，重视纠错，总结经验，继续前进！。