【全国市级联考】北京市东城区2018届高三第一学期期末文科数学试题(原卷版)
东城区2018-2019第一学期期末数学文科答案终稿答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11）n a n =-,2n b =（答案不唯一） （12 （13）①② （14）4，2π 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==， 所以35a =. 所以31251 4.a a d -==-= 解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L=[1(21)]2(14)214n n n +-?+-=22(41)3nn +-. ……………………..13分 （16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x -=-1sin 2cos 2222x x =+-sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. ……………………………..5分 所以 ()f x 的最小正周期22T π==π. ……………………………..7分 （Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤. 所以22333x πππ-≤+≤.所以sin 2sin()33x ππ⎛⎫+≥-= ⎪⎝⎭所以()sin 23f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x ≥ ……………………………..13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30. 因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5. 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ， 从中抽取2人的所有可能结果是： (,)A B，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ， (,)B D，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E . 其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710. ……………………………..11分 （Ⅲ）根据题意， 0.082110.122130.152150.10217创+创+创+创 0.0521914.68+创=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68 小时 …………….13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C .因为11B C ⊂平面111A B C ， 所以111BB B C ⊥.又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B = ， 所以11B C ⊥平面 11AA B B . 因为1A B ⊂平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形. 所以11A B AB ⊥. 因为1111B C AB B = ，所以1A B ⊥平面11AB C . ……………………………..5分（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以 111BB A B ⊥.因为1111A B B C ⊥， 1111B C BB B = ， 所以 11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BBC C 的距离为2. 因为E 为11AC 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1. 所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点，所以平面EAB 平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ，所以//AB 平面111A B C .又平面111A B C 平面EAB EH =, 所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11AC 中点, 所以H 为11B C 中点 . 所以1111122B H BC ==．………………………..14分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-.(1) 当0a £时，10xae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分 （20）（共14分）解：（I ）由已知有22221,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分 （II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得22k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩12AB x =-==直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l的距离d =. 所以1F AB ∆的面积为111223AB d ⋅==. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，22y =±此时直线l的斜率为2±II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=. 设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k-=+代入，整理得310x x -=， 所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分。
2018-2019学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）若集合A＝{x|﹣2＜x≤0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0} 2．（5分）下列复数为纯虚数的是（）A．1+i2B．i+i2C．D．（1﹣i）23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，则cosα的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若x，y满足则x+2y的最小值为（）A．0B．4C．5D．105．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A．360B．60C．36D．126．（5分）设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A．2B．C．D．38．（5分）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A．（1，2）B．（5，6）C．（7，8）D．（15，16）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知向量＝（1，﹣2），＝（2，m），若⊥，则m＝．10．（5分）在△ABC中，已知a＝1，，，则c＝．11．（5分）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n＝，b n＝．12．（5分）过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，则双曲线的离心率e ＝．13．（5分）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制散点图，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系：某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%．其中正确的结论序号有．（注：请写出所有正确结论的序号）14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）．若∀x∈[﹣a，a]，都有f（x）g（x）≤0，则a的最大值为；此时ω＝．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知等差数列{a n}满足a1＝1，a2+a4＝10．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．16．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求证：对于任意的，都有．17．（13分）某中学有学生500人，学校为了解学生课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，收集了他们2018年10月课外阅读时间（单位：小时）的数据，并将数据进行整理，分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅱ）已知这50名学生中恰有2名女生的课外阅读时间在[18，20]，现从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率；（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数．18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，A1B1⊥B1C1，AA1＝AB＝2，BC＝1，E为A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面AB1C1；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ECC1的体积；（Ⅲ）设平面EAB与直线B1C1交于点H，求线段B1H的长．19．（13分）已知函数，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．20．（14分）已知椭圆C：的离心率为，其左焦点为F1（﹣1，0）．直线l：y＝k（x+2）（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B，直线BF1与椭圆C的另一个交点为E．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当时，求△F1AB的面积；（Ⅲ）证明：直线AE与x轴垂直．2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A表示﹣2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B＝{﹣1，0}，故选：C．2．【解答】解：∵1+i2＝1﹣1＝0，i+i2＝i﹣1，，（1﹣i）2＝1﹣2i+i2＝﹣2i．∴为纯虚数的是（1﹣i）2．故选：D．3．【解答】解：角α以Ox为始边，终边在射线y＝2x（x≥0）上，在终边上任意取一点（1，2），则cosα＝＝，故选：A．4．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，此时z＝2+2×1＝4．故选：B．5．【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值，可得程序框图实质是计算排列数的值，当n＝5，m＝3时，可得：＝60．故选：B．6．【解答】解：由c＞d，则“a＞b”⇒“a+c＞b+d”，反之不成立．例如取c＝5，d＝1，a＝2，b＝3．满足c＞d，“a+c＞b+d”，但是a＞b不成立．∴c＞d，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的充分不必要条件．故选：A．7．【解答】解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中P A⊥底面ABC，AC⊥BC，P A＝AC＝2，BC＝1，∴PB＝＝＝3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB＝3．故选：D．8．【解答】解：lgE＝4.8+1.5M，∴lgE1＝4.8+1.5×8＝16.8，lgE2＝4.8+1.5×7.5＝16.05，∴E1＝1016.8，E2＝1016.05，∴＝100.75，∵100.75＞90.75＝31.5＝3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．10．【解答】解：在△ABC中，已知a＝1，，，∴sin C＝，由正弦定理可得＝，∴c＝＝4，故答案为：4．11．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1＝﹣1，b1＝2，a3+b2＝﹣1，可得﹣1+2d+2q＝﹣1，即为d＝﹣q，可取d＝﹣1，可得q＝1，则a n＝﹣1﹣（n﹣1）＝﹣n；b n＝2．故答案为：﹣n，2．12．【解答】解：过双曲线的右焦点F作垂直于x轴的直线，交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为等腰直角三角形，可得c＝，即ac＝c2﹣a2，可得：e2﹣e﹣1＝0，e＞1，解得：e＝．故答案为：．13．【解答】解：，可得f（x）随着x的增加而减少，故①正确；当1＜x≤30时，f（x）＝+x，f（9）＝+•9＝0.35，9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f（26）＝+•26＞，故③错误．故答案为：①②．14．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣4x，g（x）＝sinωx（ω＞0）均为奇函数．∴只需考虑∀x∈[0，a]，都有f（x）g（x）≤0即可．∵函数f（x）＝x3﹣4x在[0，2]满足f（x）≤0，在[2，+∞）满足f（x）≥0，∴当且仅当在[0，2]上g（x）≥0，在[2，a]满足g（x）≤0，a才能取到最大值，（如图）．此时，，a＝4．故答案为：4，．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（I）设{a n}的公差为d，因为a2+a4＝2a3＝10，所以a3＝5．所以a3﹣a1＝2d＝5﹣1＝4．解得d＝2．所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1．……………………………..（7分）（Ⅱ）由（I）知，，所以{b n}的前n项和为＝＝．……………………..（13分）16．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，所以，f（x）的最小正周期．（Ⅱ）证明：∵，∴，∴，∴，∴，所以对于任意的，都有．17．【解答】解：（Ⅰ）0.10×2+0.05×2＝0.30，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30．因为500×0.30＝150，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150．（5分）（Ⅱ）阅读时间在[18，20]的样本的频率为0.05×2＝0.10．因为50×0.10＝5，即课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生人数为5．这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A，B，男生为C，D，E，从中抽取2人的所有可能结果是：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）．其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18，20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的概率为p＝…（11分）（Ⅲ）根据题意，0.08×2×11+0.12×2×13+0.15×2×15+0.10×2×17+0.05×2×19＝14.68（小时）．由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68小时．……………．（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，所以BB1⊥平面A1B1C1．因为B1C1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥B1C1．又因为B1C1⊥A1B1，A1B1∩BB1＝B1，所以B1C1⊥平面AA1B1B．因为A1B⊂平面AA1B1B，所以A1B⊥B1C1．因为AA1＝AB＝2，所以四边形AA1B1B为菱形．所以A1B⊥AB1．因为B1C1∩AB1＝B1，所以A1B⊥平面AB1C1．……………………………..（5分）（Ⅱ）由已知，BB1⊥平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．因为A1B1⊥B1C1，B1C1∩BB1＝B1，所以A1B1⊥平面BB1C1C．又A1B1＝AB＝2，故A1到平面BB1C1C的距离为2．因为E为A1C1中点，所以E点到平面BB1C1C距离为1．所以．……..（9分）（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为E，H为平面EAB与平面A1B1C1的公共点，所以平面EAB∩平面A1B1C1＝EH．因为平面ABC∥平面A1B1C1，AB⊂平面ABC，所以AB∥平面A1B1C1．又平面A1B1C1∩平面EAB＝EH，所以EH∥AB．又AB∥A1B1，所以EH∥A1B1．因为E为A1C1中点，所以H为B1C1中点．所以．………………………..（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．当a＝1时，f′（0）＝0，f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝0．………………………..（5分）（Ⅱ）f′（x）＝ae x（x+1）﹣x﹣1＝（x+1）（ae x﹣1）．（1）当a≤0时，ae x﹣1＜0，所以当x＞﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），单调递减区间为（﹣1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣lna．①当﹣lna＝﹣1，即a＝e时，f′（x）≥0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当﹣lna＜﹣1，即a＞e时，当﹣lna＜x＜﹣1时，f′（x）＜0；当x＜﹣lna或x＞﹣1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣lna，﹣1），单调递增区间为（﹣∞，﹣lna），（﹣1，+∞）；③当﹣lna＞﹣1，即0＜a＜e时，当﹣1＜x＜﹣lna时，f′（x）＜0；当x＜﹣1或x＞﹣lna时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（﹣1，﹣lna），单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣lna，∞）．………………………………（12分）20．【解答】（共14分）解：（I）由已知有解得所以椭圆C的方程为．……………………………………（5分）（II）由消去y，整理得（1+2k2）x2+8k2x+（8k2﹣2）＝0．由已知，△＝（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．直线l的方程为x﹣2y+2＝0，F1（﹣1，0）到直线l的距离．所以△F1AB的面积为．…………………………………（10分）（III）当x2＝﹣1时，．此时直线l的斜率为，由（II）知不符合题意，所以x2≠﹣1．设直线BF1的斜率为．则直线BF1的方程为y＝t（x+1）．由消去y，整理得（1+2t2）x2+4t2x+（2t2﹣2）＝0．设E（x3，y3），则有．由得，代入上式整理得，解得．因为，将，代入，整理得x3﹣x1＝0，所以x3＝x1．所以直线AE与x轴垂直．……………………………………（14分）。
02东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学(文科)试题及答案
东城区2017-2018学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）本试卷共6页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
）（1）已知集合{1,2,3,4,5,6}A ，{1,3,7}B ，则AB （ ）（A ）{1,2,3,4,5,6,7}（B ）{1}（C ）{1,3} （D ）{2,4,5,6}（2）下列函数中为偶函数的是 （ ）（A ）2(2)y x =- （B ）|ln |y x（C ）cos yx x （D ）||ex y（3）直线:1l ykx 与圆22:1O x y 相交于 ,A B 两点，则“1k ”是“||2AB ”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，若输入2x ，则输出的S 值为（（A ）8 （B ）19（C ）42 （D ）89（5）已知向量(1,2),(0,2),(1,)λa b c ，若(2)a b ∥c ，则实数λ（ ）（A ）3 （B ）13（C ）1 （D ）3 （6）已知132a，21log 3b ，121log 3c ，则 （ ）（A ） ab c （B ）a c b （C ）c b a （D ）c a b0,1kS1kS x S k 4k是否 S 输出（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）（A）3（B ）43（C） （D ）83（8）在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为 （ ） （A ）甲、丁、乙、丙（B ）丁、甲、乙、丙（C ）丁、乙、丙、甲 （D ）乙、甲、丁、丙第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018年高三最新 北京市东城区2018学年度高三综合练习(一)(数学文) 精品
北京市东城区2018—2018学年度高三综合练习（一）数学试题（文科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共150分，考试时间120分钟. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题. 每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ={1，3，4，5}，B ={2，3，4}，C ={1，2}，则集合（A ∩B ）∪C 等于（ ） A ．{2} B ．{1，2} C ．{1，2，3，4} D ．{1，2，3，4，5} 2．已知函数x x x f sin )(=，则函数)(x f（ ）A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．是奇函数也是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数3．已知等比数列{n a }的前n 项和为S n ，且S 3=7a 1，则数列{n a }的公比q 的值为 （ ） A ．2 B ．3 C ．2或－3 D ．2或3 4．已知向量a 、b 的夹角为60°且|a |=2，|b |=3，则a 2+a ·b = （ ）A ．10B ．10C ．7D ．495．“a =0”是“函数ax x x f +=2)(在区间（0，+∞上是增函数”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为（ ）A ．22 B ．55 C ．1010 D ．322 7．某高校外语系有8名奥运会志愿者，其中有5名男生，3名女生，现从中选3人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作，若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有 （ ）A ．45种B ．56种C ．90种D ．120种8．△ABC 中，AB =22，AC=2，BC =2，设P 为线段BC 上一点，则一定有 （ ） A ．AB ·AC >PA 2，AB ·AC >PB ·PC B ．PA 2>AB ·AC ，PA 2>PB ·PCC ．PB ·PC > AB ·AC ，PB ·PC >PA 2D ．AB ·AC > PB ·PC ，PA 2 >PB ·PC第II 卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 9．函数12-=x y 的定义域是 .10．函数x x y cos 3sin +=的最大值为 .11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线为y=2x ，则双曲线的离心率e 的值为 .12．实数x ，y 满足条件y x z y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则,0,0,022,04的最大值为 .13．已知球面面积为16π，A ，B ，C 为球面上三点，且AB =2，BC =1，AC =3，则球的半径为 ；球心O 到平面ABC 的距离为 . 14．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a b b a R b a **,,=∈； ②对任意a a R a =∈0*,；③对任意c c b c a ab c c b a R b a 2)*()*()(**)*(,,-++=∈，则0*2= ；函数)0(1*)(>=x xx x f 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B cos C －sin C cos B =3sin A cos B . （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅，且6=a ，求b 的值.16．（本小题满分13分）已知等比数列.512,8},{52==a a a n（I ）求}{n a 的通项公式；（II ）令n n a b 2log =，求数列}{n b 的前n 项和S n .17．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =BB 1=1，AC =2.（I ）求直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的大小； （II ）求二面角A —B1C —B 的大小.18．（本小题满分13分） 甲、乙、丙三人进行某项比赛，每局有两人参加，没有平局，在一局比赛中，甲胜乙的概率为53，甲胜丙的概率为54，乙胜丙的概率为53，比赛的规则是先由甲和乙进行第一局的比赛，然后每局的获胜者与未参加此局比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中，有人获胜两局就算取得比赛的胜利，比赛结束. （I ）求只进行两局比赛，甲就取得胜利的概率； （II ）求只进行两局比赛，比赛就结束的概率； （III ）求甲取得比赛胜利的概率.19．（本小题满分13分）如图，在平面直角坐标系中，N 为圆A ：16)1(22=++y x 上的一动点，点B （1，0），点M 是BN 中点，点P 在线段AN 上，且.0=⋅BN MP（I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）试判断以PB 为直径的圆与圆22y x +=4的位置关系，并说明理由.20．（本小题满分14分）已知函数].1,1[,)(3-∈-=x cx ax x f（I ）若a =4，c =3，求证：对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ； （II ）若对任意]1,1[-∈x ，恒有1|)(|≤x f ，求证：|a |≤4.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．C 2．B 3．C 4．C 5．A 6．A 7．A 8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．),0[+∞ 10．2 11．5 12．4 13．23 14．2，3注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分。
北京东城区2018-2019学年上学期高三数学文科期末试卷附答案解析
3
sin(
) 3
3. 2
所以
f
(x)
sin
2x
3
3 2
3.
所以对于任意的
x
3
,
6
，都有
f
x
3．
……………………………..13 分
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ） 0.10 2 0.05 2 0.30 ，
[14,16) ，[16,18) ，[18, 20] ，得到如图所示的频率分布直方图.
频率/组距 0.15 0.12 0.10 0.08 0.05
10 12 14 16 18 20 阅读时间
（Ⅰ）试估计该校所有学生中，2018 年 10 月课外阅读时间不小于 16 小时的学生人数； （Ⅱ）已知这 50 名学生中恰有 2 名女生的课外阅读时间在[18, 20] ，现从课外阅读时间在[18, 20] 的 样
（A） 5 5
（B） 5 5
（C） 2 5 5
x ≤ 2,
（4）若
x,
y
满足
y
≤
2x,
则 x2y的最小值为
x y ≥ 3,
（A） 0
（B） 4
（C） 5
（5）执行如图所示的程序框图，输入 n 5, m 3 ，那么输出的 p
（D） 2 5 5
（D）10
值为
（A） 360 （C） 36
所以平面 EAB 平面 A1B1C1 EH .
因为平面 ABC // 平面 A1B1C1 ， AB 平面 ABC ，
所以 AB // 平面 A1B1C1 . 又平面 A1B1C1 平面 EAB EH , 所以 EH // AB .
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北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)高 三 数 学 (文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷l 至2页．第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式sin θ+sin φ=22φθ+cos2φθ- S 台侧=21(c ′+ c)lsin θ-sin φ=2cos2φθ+sin2φθ- 其中c ′,c 分别表示上,下底面周长,为母线cos θ+cos φ=2cos 2φθ+cos 2φθ- 台体的体积公式：cos θ-cos φ=-2sin 2φθ+sin 2φθ- V 台体=31(S ′+ s s'+S)h其中S ′,S 分别表示上、下底面积，h 表示高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)“lgx>lgy"是“x >y ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)若tg110°=a ，则ctg20°的值是(A)-a (B)a (C) a 1 (D)- a 1(3)已知复数z 1=1-i ，|z 2|=3，那么|z 1+z 2|的最大值是(A)3 -2 (B)3 (C)3 +2 (D)2 +3 (4)已知直线l 上平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题： ①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒∥m； ③l ∥m ⇒α⊥β； ④l ⊥m ⇒α∥β．其中正确的两个命题的序号是(A)①与② (B)③与④ (C)②与④ (D)①与③(5)已知函数f (x )=31-x ，设它的反函数为)y =f -1(x )，当y ≥0时，y =f -1(x )的图象是(6)已知{a n }是等差数列，a 1= -9，S 3=S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是(A)4 (B)5 (C)6 (D)7(7)直线l 与直线y=1，x –y-7=0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为(1，-1)，则直线l 的斜率为(A) 23 (B) 32 (C)- 32 (D)- 23(8)(A)90元 (B)80元 (C)70元 (D)60元第Ⅱ卷(非选择题共110分)注意事项：1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．(9) 已知集合{x||x|≤2，x∈R}，N={x|x∈N}，那么M ∩N 等于 ．(10)一张厚度为0.1mm 的矩形纸，每次将此纸沿对边中点连线对折，一共折叠20次(假定这样的折叠是可以完成的)，这样折叠后纸的总厚度h 1与一座塔的高度h 2=100m 的大小关系为h 1 h 2．(11)有5部各不相同的电话参加展览，排成一行，其中有2部不同的电话来自同一个厂家，则此2部电话恰好相邻的排法总数是 (用数字作答)．(12) 双曲线y=x1的焦点坐标是 和 。
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(文)
0 ,则 cos
．
（ 11 ）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（12）已知圆 C ： x2 y2 6x 8 0 ，则圆心 C 的坐标为
．
；若直线 y kx 与圆 C 相
切，且切点在第四象限，则 k
．
（ 13 ）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价
p% , 第二次提价 q% ；
B. a [ 2, )
C. a ( ,1] [ 2, )
D. a [ 1,2]
2．在下列关于直线 l 、 m 与平面 α、 β的命题中 ,真命题是（
）
A．若 l β 且 α⊥ β，则 l⊥ α．
B．若 l⊥ β 且 α∥ β,则 l⊥α.
C．若 l⊥ β 且 α⊥ β ,则 l ∥ α.
D．若 α∩ β=m 且 l∥ m,则 l∥ α．
A． 10x－ 1.
B． 1－ 10x.
C． 1－10—x.
D． 10—x－1.
5．某地 2004 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前 5 个行业的情况列表如下
行业名称 应聘人数
计算机 机械
营销
物流
215830 200250 154676 74570
贸易 65280
行业名称 招聘人数
计算机 营销
机械
124620 102935 89115
则 f (2, 2) ； f (n, 2)
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) 3 sin x cosx cos2 x ．
（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
2018年北京东城区高三上学期期末数学试题(文)
东城区2018年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科） 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ）A. a ∈-∞(,]1B. a ∈+∞[,)2C. a ∈-∞⋃+∞(,][,)12D. a ∈[,]122．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（ ）A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3．三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（ ） A ．{x │x =2k π+3π,k ∈Z}. B ．{x │x =2k π+35π,k ∈Z}. C ．{x │x =2k π±3π,k ∈Z}. D ．{x │x =k π+(－1)K 3x ,k ∈Z}. 4．若函数y=f(x)的图象与函数y=lg(x +1)的图象关于直线x －y=0对称,则f(x)=（ ）A ．10x －1.B ．1－10x .C ．1－10—x .D ．10—x －1.5．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ）A ．计算机行业好于化工行业.B ．建筑行业好于物流行业.C ．机械行业最紧张.D ．营销行业比贸易行业紧张.6已知x ，y 满足不等式组28,28,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ 则目标函数3z x y =+的最大值为 (A)332 (B)12 (C)8 (D)24 7已知抛物线22y px =的焦点F 到其准线的距离是8，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上且|||AK AF =，则AFK ∆的面积为（A ）32 （B ）16 （C ）8 （D ）48给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④若函数()323x f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
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北京市东城区2018年高三年级综合练习(一)数学试卷（文科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）参考公式：①如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) ②如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)③如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(④球的表面积公式24R S π=（其中R 表示球的半径） ⑤球的体积公式334R V π=（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则集合{1，3}是 （ ） A ．A ∩（ B ） B ． （A ∩B ） C ．B ∩（ A ） D ． A ∪B ） 2．函数)23(log 52-=x y 的定义域为（ ）A ．),32(+∞B ．]1,32(C ．),1(+∞D ．)54,32( 3．已知==<<ααπαπsin ,312cos ,23则（ ）A ．36 B ．－36 C ．33 D ．－33 4．预测人口的变化趋势有多种方法，最常的是“直接推算法”，使用的公式是nn k P P )1(0+=（k 为常数，k>－1），其中P n 为预测期内n 年后人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内 年增长率，如果－1<k<0，那么在这期间人口数 （ ） A ．呈上升趋势 B ．呈下降趋势 C ．先上升后下降 D ．先下降后上升 5．在等差数列==-=991,24,12,}{S a a a n 则中 （ ）A ．－36B ．48C ．54D ．726．已知m 、n 为两条不同的直线α、β为两个不同的平面，给出下列四个命题 ①若m ⊂α，n//α，则m//n ; ②若m ⊥α,n//α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α//β； ④若m//α,n//α，则m//n. 其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 7．已知在△ABC 中，=++，则O 为△ABC 的 （ ）A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心8．通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定发报机只发0和1两种信号，接收时发生错误是0收为1或1收为0的概率都是0.18，为减少错误，采取每一种信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（ ）A ．0.018375B ．0.018125C ．0.01825D ．0.0185第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．在(1－2x )6展开式中，含x 2项的系数为 ；所有项系数的和为 . 10．抛物线241x y =在点（2，1）处的切线的斜率为 ；切线方程为 .11．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你衣次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 18 88 77 18 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 18 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 18 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 18 82 52 42 18 44 38 15 51 00 13 42 99 66 18 79 5412．把曲线14:221=-ky x C 按向量a =（1，2）平移后得到曲线C 2，曲线C 2有一条准线方程为x =5，则k 的值为 ；离心率e 为 . 13．体积为33的正方体内接于球，则该球的体积为 .14．一种计算装置，有一数据入口A 和一个运算出口B ，执行某种运算程序： （1）当从A 口输入自然数1时，从B 口得到实数31，记为31)1(=f ；（2）当从A 口输入自然数n （n ≥2）时，在B 口得到的结果)(n f 是前一结果)1(-n f 的3)1(21)1(2+---n n 倍.当从A 口输入3时，从B 口得到 ；要想从B 口得到23031，则应从A 口输入自然数 .三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知向量1)(),cos 2,cos 3(),cos ,sin 2(-⋅==x f x x s x 定义函数.（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求函数)(x f 的单调减区间.16．（本小题满分13分）一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，对该箱中的产品逐一取出进行测试.（1）求前两次取出的都是二等品的概率；（2）求第三次取出全部二等品的概率.17．（本小题满分14分）已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1=a，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.（1）求证：DF//平面ABC；（2）求二面角B1—AF—B的大小（用反三角函数表示）；（3）求三棱锥F—B1AE的体积.18．（本小题满分13分） 已知函数x mx mx x f 3)(23++=在R 上是增函数，求实数m 的取值范围.19．（本小题满分14分） 已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（－1，0）和（1，0），点P 满足.4||||=+PF PE （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过E 点做直线与C 相交于M 、N 两点，且,2=求直线MN 的方程.20．（本小题满分13分）已知数列),4,3,2(1,1,}{111 =+==--n a a a a a n n n n 中 （1）求2a 、3a 的值；（2）证明当.2312,,4,3,2-≤<-=n a n n n 时高三数学（文）参考答案一、选择题：1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 9.C二、填空题：9．60，1 10．1，01=--y x 11．785，567，199，518，17512．－3，21 13．29π 14．351，24注：9、10、12、14小题第一个空2分，第二个空3分，11小题答对一个给1分. 三、解答题15．解：1cos 2cos sin 321)(2-+=-⋅=x x x x f ).62sin(22cos 2sin 3π+=+=x x x ………………………………7分 （1）.||2πωπ==T ……………………………………9分（2）3422322326222πππππππππ+≤≤+⇔+≤+≤+k x k k x k )(326Z k k x k ∈+≤≤+⇔ππππ ).](32,6[)(Z k k k x f ∈++∴ππππ的单调减区间为函数……………………13分 16．解：（1）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，前两次取出的产品都是二等品的共有1212C C ⨯种方法，∴前两次取出的产品都是二等品的概率为61441212=⨯A C C ；…………………………6分（2）四件产品逐一取出排成一列共有A 44种方法，第二次取出的产品是四等品的共有3312A C ⨯种方法，∴前三次取出全部产品是二等品的概率为1－21443312=⨯A A C ；……………………13分17．解法一：（1）连接A 1B 、A 1E ，并延长A 1E 交AC 的延长线于点P ，连接BP.由E 为C 1C 的中点，A 1C 1//CP ，可证A 1E=EP. ∵D 、E 是A 1B 、A 1P 的中点，∴DE//BP. 又∵BP ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ， ∴DE//平面ABC.……………………5分（2）∵△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， F 为BC 的中点，∴BC ⊥AF ，又∵BB 1⊥平面ABC ， 由三垂线定理可证B 1F ⊥AF.∴∠B 1FB 为二面角B 1—AF —B 的平面角. 在Rt △B 1BF 中，∠B 1BF=90°，由B 1B=a ，,22a BF =可求,2tan 11==∠BF B B FB B ∴∠B 1FB=.2arctan∴二面角B 1—AF —B 的大小为.2arctan ……10分设AB=A 1A=a , （3）又,49,43,2322122221a E B a EF a F B === ∴,,,.1121221F AF FE AF F B FE F B E B EF F B =⋂⊥⊥∴=+∴F B 1⊥平面AEF. ∵C 1C ⊥平面ABC ，AF ⊥FC ，由三垂线定理可证EF ⊥AF.∴3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFB B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--. …………14分 解法二：如图建立空间直角坐标系xyz O -，令AB=AA 1=a =4，则A （0，0，0）， F （2，2，0），B （4，0，0），B 1（4，0，4）…………2分 （1）同解法一………………7分（2）（★有个别学生按超出课本要求的方法求解， 按此标准给分）平面AEF 的法向量为)4,0,0(1-=B ， 设平面B 1AF 的法向量为⎩⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+∴=.02,0.0,0),,,(1z y x y x B z y x 即 令).1,1,1(,1,1,1--=∴-=-==z yx 则.331636||||,cos 111=⨯=⋅>=<∴B B n B∴二面角B 1—AF —B 的大小为.33arccos ………………9分（3）),2,2,2(),0,2,2(),4,2,2(1--==--=EF AF F B.0)2()4()2(22)2(1=-⨯-+-⨯+⨯-=⋅EF F B..11EF F B B ⊥∴⊥∴ .00)4(222)2(1=⨯-+⨯+⨯-=⋅AF F B ..11AF F B B ⊥∴⊥∴ 又.,1AEF F B F AF FE 平面⊥∴=.00)2(2)2(22=⨯-+⨯-+⨯=⋅AF EF ..AF EF ⊥∴⊥∴ 3118121313111a F B EF AF F B S V V AEF AFE B AE B F =⨯⨯⨯⨯=⨯==∆--…………14分 18．解：.323)(2++='mx mx x f ……………………2分（1）当0=m时，03)(>='x f ，)(x f ∴在R 上为增函数；……………………4分 （2）当0≠m 时，)9(43640)(2-=-=∆='m m m m x f 的，①当0<m时，)(x f '开口向下且0>∆，说明存在区间使0)(<'x f ， 0<∴m 时，)(x f在R 上不是增函数；………………6分 ②当90<<m 时，)(x f '开口向上且0<∆，说明)(x f '恒大于0， 90<<∴m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………8分 ③当9=m 时，91)31(9399)(323-+=++=x x x x x f ，由函数3x y =的单调性可 知9=m 时，)(x f 在R 上是增函数；………………10分④当9>m 时，)(x f '开口向上且0>∆，说明存在区间使)(x f '<0，9<∴m时，)(x f 在R 上不是增函数.………………12分 综上所述，所求m 的取值范围为[0，9].……………………13分19．解：（1）,4=+ 由椭圆的第一定义可知点P 的轨迹为椭圆，且2a =4，c=1，∴.3,422==b a ∴所求的椭圆方程为.13422=+y x ……5分 （2）①当直线MN 的斜率不存在时，不满足题意； …………6分②当直线MN 的斜率存在时，设其方程为 代入),1(+=x k y 13422=+y x 化简得 .01248)43(2222=-+++k x k x k设两交点的坐标为（),(11y x M 、),,(22y x N则2221222143124,438k k x x k k x x +-=+-=+ ……8分 .32,221-=+∴=x x EN ME .0,25454312443494349.434923;434943832222222222122222>∆±==∴+-=+-⨯+--∴+-=--=+--=++-=∴满足即k k kk k k k k k k x x k k k k x∴所求的直线MN 的方程为).1(25+±=x y ………………14分 20．解（1）.252121,2111223112=+=+==+=+=a a a a a a ………………4分 （2）当.221)1(,,5,4,3,22121212112+>++=+==-----k k k k k k a a a a a a k 时 ∑=--->-=-∴>-n k k k n k k n a a a a aa 2212212212).1(2)(,2 .12,12)1(2212->∴-=-+>∴n a n n a a n n………………8分 .1,0),,4,3,2(1,1111111=≥>∴>∴=+==----a a a a k a a a a k k k k k k ∑∑==---=⨯-+-≤+-=-=-∴n k n k k k k n n n n a n a aa a 2221212212.331)1()1(21)1(2)(.23.2333212-≤∴-=+-≤∴n a n a n a n n ……………………12分).,5,4,3,2(2312 =-≤<-∴n n a n n ……………………13分。
2018年高三最新 北京市东城区2018学年度第一学期高三
北京市东城区2018-2018学年度第一学期期末教学目标检测高三数学 （文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
１．已知集合{}{}512,0342<+=<+-=x x N x x x M ，则N M 等于 （ B ）A ．{}31<<x x B ．{}21<<x x C ．{}3<x x D ．{}32<<x x2．“34πα=”是“23sin -=α”的 （ A ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数)()(3R x x x x f ∈+= ( A )A ．是奇函数且在),(+∞-∞上是增函数B ．是奇函数且在),(+∞-∞上是减函数C ．是偶函数且在),(+∞-∞上是增函数D ．是偶函数且在),(+∞-∞上是减函数 4．5)2(-x 的展开式中含3x 项的系数是 （ C ） A ．10 B ．10- C ．40D ．40-5． 已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m ，n ，有下列四个命题：①若α⊂nn m ,//，则α//m ②若αα//,//n m ，且ββ⊂⊂n m ,，则βα//③若αα⊂n m ,//，则n m // ④若βα//，α⊂m ，则β//m其中正确命题的个数是 （ A ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ D ）A ．9个B ．24个C ．3６个D ．54个ABM CDA 1B 1C 1D 17．如图，在ABCRT ∆中，2,4==CB CA ，M为斜边AB的中点，则⋅的值为( B )A ．1B ．6C ．5 D ． 108．如图，在平面直角坐标系xOy 中，)1,1(,)0,1(B A ，映射f 将xOy ),y x 对应到另一个平面直角坐标系v uO '上的点),2('22y x xy P -，例如xOy )1,2在映射f 的作用下对应到v uO '平面上的点)3,4('P ，则当点P 在线段AB 上运动时，在映射f的作用下，动点'P 的轨迹是（ B ）A. B ． C ． D ．北京市东城区2018-2018学年度第一学期期末教学目标检测高三数学（文科）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
【全国市级联考】北京市东城区2018届高三第一学期期末文科数学试题(解析版)
东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，所以，故选C.2. 下列函数中为偶函数的是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】既不是偶函数又不是奇函数，不满足条件；是偶函数，在区间内单调递增，不满足条件；是是奇函数，不满足条件；为偶函数且在上递减，满足条件，故选D.3. 直线与圆相交于两点，，则“”“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件,【答案】A【解析】直线与圆相交于两点，圆心到直线的距离，则，当时，，即充分性成立，若，则，即，解得或，即必要性不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )A. 8B. 19C. 42D. 89【答案】C【解析】执行程序框图，输入，第一次循环第二次循环第三次循环第四次循环第五次循环，退出循环，输出，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.5. 已知向量，，，若，则实数( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为向量，，，所以，又因为，所以，解得,故选A.6. 已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】，，故选D.7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知，该三棱锥的直观图是（图中正方体的棱长为），三棱锥的体积为，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
2018年高三最新 北京市东城区2018年高三数学(文史类)(
北京市东城区2001年高三数学（文史类）（一）参考答案及评分标准一、（1）B （2）A （3）D （4）B （5）A （6）A （7）B （8）A （9）C （10）D （11）D （12）C. 二、（13）12 （14）841-=x （15）92. (16)截面11D AB ，或截面1ACD ，或截面C AB 1.（注：未写截面二字不扣分） 三、（17）解：2log log )1(log 2a a a x x +>+)2(log )1(log 2x x a a >+…………………………………………………………2分当10<<a 时，121112112100122>-<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-<->⇔⎪⎩⎪⎨⎧<+>>+x x x x x x x x x 或或…………………………………7分 当a >1时，1002112102100122<<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<<-≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+x x x x x x x x 或 综上：当10<<a 时，不等式的解为211-<<-x 或1>x ，当a >1时，不等式的解为10021<<<<-x x 或.………………………………12分 （18）解：由已知i i i 5354)s i n (c o s )s i n (c o s +=+++ββαα 即i i 5354)sin (sin )cos (cos +=+++βαβα ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+53sin sin 54cos cos ②①βαβα……………………………………………………………4分由①得 542c o s 2c o s 2=-+βαβα…………………………………………………………6分由②得 532c o s 2s i n2=-+βαβα……………………………………………………………8分两式相除，得432=+βαtg……………………………………………………………………10分∴ 724)43(14322122)(22=-⨯=+-+=+βαβαβαtg tgtg ………………………………………………12分 评分标准说明：由复数相等的充要条件转化为两个三角等式各2分.两次和差化积各2分.求出432=+βαtg占2分.用正切倍角公式计算正确占2分.两个复数的三角形式写对可各给1分 （19）（I ）解：由⊥PD 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，得BC PD ⊥. 由DC AD ⊥，AD ∥BC ，得DC BC ⊥.又D DC PD = ，则⊥BC 平面PDC .…………………………………………2分所以BPC ∠为直线PB 与平面PDC 所成的角令PD =1，则DC =1，2=BC ，可求出2=PC .……………………………3分由⊥BC 平面PDC ，⊂PC 平面PDC ，得PC BC ⊥. 在PBC Rt ∆中，由BC PC =得︒=∠45BPC即直线PB 与平面PDC 所成的角为︒45……………………………………………4分（II ）解法（一）：取PC 中点E ，连DE ，则PC DE ⊥.由⊥BC 平面PDC ，⊂BC 平面PBC ，得平面⊥PDC 平面PBC .则⊥DE 平面PBC .……………………………………………………………………5分作PB EF ⊥于F ，连DF ，由三垂线定理，得PB DF ⊥.则DFE ∠为二面角D —PB —C 的平面角………………………………………………7分 在PDC Rt ∆中，求得22=DE 在PFE Rt ∆中，求得21=EF . 在DEF Rt ∆中，2==∠EFDEDFE tg . 即二面角D —PB —C 的正切值为2……………………………………………………8分解法（二）：由⊥PD 平面ABCD ，⊂PD 平面PDB 得平面⊥PDB 平面ABCD作BD CH ⊥于H ，则⊥CH 平面PDB .…………………………………………………5分 作PB HF ⊥于F ，连CF ，由三垂线定理得PB CF ⊥，则CFH ∠为二面角D —PB —C 的平面角…………………………………………………7分 在等腰PBC Rt ∆中，求出斜边上的中线CF =1.在DBC Rt ∆中，求出321=+=DB .可进一步求出斜边上的高32=CH . 在FHC Rt ∆中，求出31=HF .∴2==∠HFHC HFC tg . 即二面角D —PB —C 的正切值为2………………………………………………………8分 （Ⅲ）证：取PB 中点G ，连AG 和EG . 由三角形中位线定理得GE ∥BC ，BC GE 21=. 由已知，AD ∥BC ，BC AD 21=. ∴AD =GE ，AD ∥GE .则四边形AGED 为平行四边形，∴AG ∥DE …………………………………………………………………………………10分又⊂AG 平面P AB ，DE ⊄平面P AB ，∴DE ∥平面P AB .…………………………………………………………………………12 （20）解：旋转后的椭圆方程为12)1()1(22=-+-x y .………………………………3分 设平移后的椭圆方程为12)()1(22=-+-a x y .…………………………………………4分解解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-②① 22 12)()1(22x y a x y将②代入①后，得12)()122(22=-+-a x x .化简后，得 0)2(2222=++-a x a x ③…………………………………………………………7分由椭圆截直线所得线段长为3有328)2(4)22(1222=-+⋅+a a ……………9分解得a =0或22=a ，并且都使方程③有实根.∴变换后的椭圆方程为：1)1(222=-+y x ………………………………………………11分 或1)1(2)22(22=-+-y x ………………………………………………………………12分 （21）解：由已知，得mna m n 110=+…………………………………………………………………4分 解得ma n a m mn n 10111+=+=……………………………………………………………………5分 同样可得)1)(1(1210212ma m a n m a n n ++=+=……………………………………………………6分 )1)(1)(1(13210323ma m a m a n m a n n +++=+=……………………………………………………7分 由a a a a =++321及平均值定理，得33213213111)1)(1)(1(⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤+++m a m a m a m a m a m a =3)31(m a +. 当且仅当3321aa a a ===时等号成立.…………………………………………………10分 ∴303)31(ma n n +≥，当且仅当3321aa a a ===时等号成立.……………………………11分 则将a 千克的水平均分成三次使用可使衣物上的残留物最少.………………………12分 （22）解：（I ）设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q 由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+=⨯+=+811)(22566311111q b q b b d qb d 化简后，得⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=③②① )1(8 72215 131111q b q b b d q b d ……………………2分 将①③代入②并化简后，得0720122=+-q q .解得21=q 或67=q （舍） 将21=q 代入①③分别求出31=d ，41=b .………………………………………………5分 则)2(31+=n a n ，3)21(-=n n b .……………………………………………………………7分（Ⅱ）3)21(23-=-n n n a nb ………………………………………………………………………8分 考查不等式nn 1)21(3<-，当5=n 时不成立，n =6时成立，猜想取50=n .…………10分用数学归纳法证明如下：①当n =6时，6181)21(36<=-，不等式成立.②假设),6(N k k k n ∈≥=时，不等式成立，即k k 1)21(3<-.则当1+=k n 时，1121121)21(21)21(33)1(+<=⋅<⋅=--+k k k k k . 不等式也成立.综合①②，对任意6≥n 的自然数n ，不等式nn 1)21(3<-成立.………………………12分评分标准说明：列方程组正确，2分，解方程组每个解正确各1分，通项公式写对各1分，代入计算23-n n a nb 正确占1分.猜想50=n 占2分，用数学归纳法证明占4分.欢迎光临数学公园。
2019年1月北京市东城区2018-2019第一学期期末数学文科数学试题参考答案
东城区2018-2019学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B （6）A （7）D （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1 （10）（11）n a n =-,2n b =（答案不唯一） （12 （13）①② （14）4，2π 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）设{}n a 的公差为d ,因为243210a a a +==， 所以35a =. 所以31251 4.a a d -==-= 解得2d =.所以1(1)1(1)22 1.n a a n d n n =+-=+-⨯=- ……………………………..7分（Ⅱ）由（I ）知，21212n n b n -=-+，所以{}n b 的前n 项和为132112[13(21)](222)n n b b b n -+++=+++-++++L L L=[1(21)]2(14)214n n n +-?+-=22(41)3nn +-. ……………………..13分 （16）（共13分）解:（Ⅰ）()2sin cos f x x x x =11cos 2sin 222x x -=-1sin 2cos 2222x x =+-sin 232x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭. ……………………………..5分 所以 ()f x 的最小正周期22T π==π. ……………………………..7分 （Ⅱ）因为36x ππ-≤≤，所以233x 2ππ-≤≤. 所以22333x πππ-≤+≤.所以sin 2sin()33x ππ⎛⎫+≥-= ⎪⎝⎭所以()sin 23f x x π⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭.所以对于任意的,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x ≥ ……………………………..13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16小时的样本的频率为0.30. 因为5000.30150⨯=，所以估计该校所有学生中，2018年10月课外阅读时间不小于16小时的学生人数为150. …………………………………………………………………………………………….5分（Ⅱ）阅读时间在[18,20]的样本的频率为0.0520.10⨯=.因为500.105⨯=，即课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生人数为5. 这5名学生中有2名女生，3名男生，设女生为A ，B ，男生为C ，D ，E ， 从中抽取2人的所有可能结果是： (,)A B，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)B C ， (,)B D，(,)B E ，(,)C D ，(,)C E ，(,)D E . 其中至少抽到1名女生的结果有7个，所以从课外阅读时间在[18,20]的样本对应的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生的所求概率为710. ……………………………..11分 （Ⅲ）根据题意， 0.082110.122130.152150.10217创+创+创+创 0.0521914.68+创=（小时）.由此估计该校学生2018年10月课外阅读时间的平均数为14.68 小时 …………….13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）因为三棱柱111ABC A B C - 中，侧棱垂直于底面，所以1BB ⊥平面111A B C .因为11B C ⊂平面111A B C ， 所以111BB B C ⊥. 又因为1111B C A B ⊥，1111A B BB B =，所以11B C ⊥平面 11AA B B . 因为1A B ⊂平面11AA B B ， 所以111A B B C ⊥.因为12AA AB ==，所以四边形11AA B B 为菱形. 所以11A B AB ⊥. 因为1111B C AB B =，所以1A B ⊥平面11AB C . ……………………………..5分（Ⅱ） 由已知，1BB ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，所以 111BB A B ⊥. 因为1111A B B C ⊥， 1111B C BB B =，所以 11A B ⊥平面11BB C C .又112A B AB ==，故1A 到平面11BB C C 的距离为2. 因为E 为11AC 中点，所以E 点到平面11BB C C 距离为1. 所以11111211323B ECC E BCC V V --==⨯⨯⨯⨯=．……..9分 （Ⅲ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为E ，H 为平面EAB 与平面111A B C 的公共点， 所以平面EAB平面111A B C EH =.因为平面ABC //平面111A B C ，AB ⊂平面ABC ，所以//AB 平面111A B C . 又平面111A B C 平面EAB EH =,所以//EH AB .又11//AB A B ，所以11//EH A B .因为E 为11AC 中点, 所以H 为11B C 中点 . 所以1111122B H BC ==．………………………..14分 （19）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R ,'()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-．当1a =时，'(0)0f =，(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为0y =．………………………..7分 (Ⅱ) '()(1)1(1)(1)x x f x ae x x x ae =+--=+-.(1) 当0a £时，10xae -<，所以当1x >-时，'()0f x <；当1x <-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).(2) 当0a >时，令'()0f x =，得11x =-，2ln x a =-.①当ln 1a -=-，即a e =时，'()0f x ³，所以()f x 的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间； ②当ln 1a -<-，即a e >时，当ln 1a x -<<-时，'()0f x <；当ln 1x a x <->-或时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(ln ,1)a --，单调递增区间为(,ln )a -?，(1,)-+?；③当ln 1a ->-，即0a e <<时，当1ln x a -<<-时，'()0f x <；当1ln 或x x a <->-时，'()0f x >.所以()f x 的单调递减区间为(1,ln )a --，单调递增区间为(,1)-?，(ln ,)a -+?. …………………………………………………………………………………………13分 （20）（共14分）解：（I ）由已知有2221,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎪⎩解得1,1.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ……………………………………5分 （II ）由22(2),12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)8(82)0k x k x k +++-=. 由已知，2222(8)4(12)(82)0k k k Δ=-+->，解得22k -<<. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122212284,123820.12k x x k k x x k ⎧-+==-⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩123AB x =-==直线l 的方程为220x y -+=，1(1,0)F -到直线l的距离d =. 所以1F AB ∆的面积为1112233AB d ⋅=⨯=. …………………………………10分 （III ）当21x =-时，2y =此时直线l的斜率为2±II ）知不符合题意，所以21x ≠-. 设直线1BF 的斜率为222(1)1y t x x =≠-+. 则直线1BF 的方程为(1)y t x =+.由22(1),12y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2222(12)4(22)0t x t x t +++-=. 设33(,)E x y ，则有22222232222222224()14412(1)212()1y x y t x x y t x y x -+--+===+++++. 由222212x y +=得222212x y =-，代入上式整理得223222423x x x x -+=+， 解得2323423x x x --=+.因为21212311223423()42323x x x x x x x x x x ----+--=-=++，将2122812k x x k -+=+，21228212k x x k-=+代入，整理得310x x -=， 所以31x x =. 所以直线AE 与x 轴垂直. ……………………………………14分。
2018年北京市东城区高考数学一模试卷(文科)
2018年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A ＝{x|−3<x <1}，B ＝{x|x <−1或x >2}，则A ∩B ＝（ ） A.{x|−3<x <−1} B.{x|−3<x <2} C.{x|−1<x <1} D.{x|1<x <2} 【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】根据交集的定义计算A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x|−3<x <1}， B ＝{x|x <−1或x >2}，则A ∩B ＝{x|−3<x <−1}．2. 复数z =i 1−i在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 B【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】将复数化简整理，得z =−12+12i ，由此不难得到它在复平面内对应的点，得到点所在的象限． 【解答】解：z =i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i ,所以复数z =i1−i 在复平面内对应的点为(−12, 12)， 为第二象限内的点. 故选B .3. 若x ，y 满足{x +y −2≤02x +y −2≥0y ≥0 ，则y −x 的最大值为（ ）A.−2B.−1C.2D.4【答案】 C【考点】 简单线性规划由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解由约束条件作可行域如图，设z=y−x化目标函数为y=x+z，由图可知，最优解为A(0, 2)，∴z的最大值为：2−0=(2)4. 执行如图所示的程序框图，如果输出的S值为30，那么空白的判断框中应填入的条件是（）A.n≤2B.n≤3C.n≤4D.n≤5【答案】B【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当n=0，S=0时，应满足进行循环的条件，故n=1，S=2；当n=1，S=2时，应满足进行循环的条件，故n=2，S=6；当n=2，S=6时，应满足进行循环的条件，故n=3，S=14；当n=3，S=14时，应满足进行循环的条件，故n=4，S=30；当n=4，S=30时，应不满足进行循环的条件，故空白的判断框中应填入的条件是n≤3，5. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为（）A.2B.2√2C.2√3D.4C【考点】由三视图求体积 【解析】作出棱锥的直观图，根据勾股定理计算各棱长得出结论． 【解答】作出三棱锥的直观图如图所示：由三视图可知AB ⊥底面BCD ，底面BCD 为等腰直角三角形， 且AB =BC =CD =2，∴ BD =AC =2√2，AD =√AB 2+BD 2=2√3． 故选：C ．6. 函数f(x)=4x −2x 的零点所在区间是（ ） A.(0,12) B.(12,1)C.(1,32)D.(32,2)【答案】 C【考点】函数零点的判定定理 【解析】根据题意，分析可得函数f(x)为减函数，依次计算f(12)、f(1)、f(32)、f(2)的值，由函数零点判定定理分析可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)=4x −2x ，分析易得函数f(x)为减函数， 且f(12)=8−√2>0， f(1)=4−2=2>0， f(32)=83−√8<0， f(2)=2−4=−2<0，则函数f(x)=4x −2x 的零点所在区间是(1, 32)； 故选：C ．7. 已知平面向量a →，b →，c →均为非零向量，则“(a →⋅b →)c →=(b →∗c →)a →”是“向量a →，c →同向”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】向量a→，c→同向⇒(a→⋅b→)c→=(b→∗c→)a→，反之不成立，可能向量a→，c→反向．即可判断出结论．【解答】向量a→，c→同向⇒(a→⋅b→)c→=(b→∗c→)a→，反之不成立，可能向量a→，c→反向．∴ “(a→⋅b→)c→=(b→∗c→)a→”是“向量a→，c→同向”的必要不充分条件．8. 为弘扬中华传统文化，某校组织高一年级学生到古都西安游学．在某景区，由于时间关系，每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览．高一1班的27名同学决定投票来选定游览的景点，约定每人只能选择一个景点，得票数高于其它景点的入选．据了解，在甲、乙两个景点中有18人会选择甲，在乙、丙两个景点中有18人会选择乙．那么关于这轮投票结果，下列说法正确的是（）①该班选择去甲景点游览；②乙景点的得票数可能会超过9；③丙景点的得票数不会比甲景点高；④三个景点的得票数可能会相等．A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】利用韦恩图，可得选择乙的人数为18+18−29=9，求出选甲，丙的人数为9，即可判断．【解答】利用韦恩图，可得选择乙的人数为18+18−29=9，则选则甲的人数为9，选择丙的人数为9，故③④正确，二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．命题“∀x∈R，e x>0”的否定是________．【答案】∃x∈R，e x≤0【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【解答】因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x ∈R ，e x >0”的否定是：∃x ∈R ，e x ≤(0)已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(14,0)，则p =________． 【答案】 12【考点】 抛物线的求解 【解析】根据抛物线的焦点坐标求得p 的值． 【解答】抛物线y 2=2px(p >0)的焦点坐标为(14,0)， ∴ p2=14， 解得p =12．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边的角θ的终边经过点(35,45)，则sinθ=________，tan2θ=________． 【答案】45,−247 【考点】 三角函数 【解析】利用任意角的三角函数的定义求得 sinθ 和tanθ的值，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值． 【解答】∵ 以Ox 为始边的角θ的终边经过点(35,45)，∴ x =35，y =45，r =1， ∴ sinθ=yr =45，∴ tanθ=y r=43，∴ tan2θ=2tanθ1−tan 2θ=831−169=−247，已知圆(x −1)2+y 2=1上的点到直线y =kx −2的距离的最小值为1，则实数k =________． 【答案】 −43或0【考点】直线与圆的位置关系 【解析】圆(x −1)2+y 2=1的圆心C(1, 0)，半径r =1，推导出圆心C(1, 0)到直线y =kx −2的距离：d =√k 2+1=r +1，由此能求出k ．【解答】圆(x −1)2+y 2=1的圆心C(1, 0)，半径r =1，∵ 圆(x −1)2+y 2=1上的点到直线y =kx −2的距离的最小值为1， ∴ 圆心C(1, 0)到直线y =kx −2的距离： d =2=r +1=2，解得k =−43或k =(0)已知实数x ，y 满足2x +y =1，则xy 的最大值为________． 【答案】18【考点】 基本不等式 【解析】根据题意，由2x +y =1可得y =1−2x ，则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，实数x ，y 满足2x +y =1，则y =1−2x ， 则xy =x(1−2x)=x −2x 2=−2(x −14)2+18， 分析可得：当x =14时，xy 取得最大值，其最大值为18；定义：函数f(x)在区间[a, b]上的最大值与最小值的差为f(x)在区间[a, b]上的极差，记作d(a, b)．①若f(x)=x 2−2x +2，则d(1, 2)=________；②若f(x)=x +m x ，且d(1, 2)≠|f(2)−f(1)|，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 1,(1, 4) 【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】①求得f(x)的对称轴，判断f(x)在[1, 2]的单调性，可得最值，即可得到所求； ②由题意可得f(x)在[1, 2]不单调，讨论m =0，m <0，m >0，结合对勾函数的单调性，即可得到m 的范围． 【解答】f(x)=x 2−2x +2的对称轴为x =1， 可得f(x)在[1, 2]递增，可得f(x)的最大值为f(2)=2， 最小值为f(1)=1，可得d(1, 2)=2−1=1；（1）若f(x)=x+mx，且d(1, 2)≠|f(2)−f(1)|，可得f(x)不为单调函数，若m=0时，f(x)为[1, 2]的递增函数，若m<0时，f(x)为[1, 2]的递增函数，若m>0时，由于f(x)在x=√m处取得极值，则1<√m<2，可得1<m<4，即m的范围是(1, 4)．故答案为：1，(1, 4)．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，且a3=−6，S5=S6．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n}满足b1=a2，b2=S3，求{b n}的前n项和．【答案】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d．∵S n是等差数列{a n}的前n项和，且a3=−6，S5=S6．∴{5a1+5×42d=6a1+6×52da1+2d=−6，解得a1=−10，d=(2)∴a n=a1+(n−1)d=−10+(n−1)×2=2n−12，n∈N∗．(Ⅱ)设等比数列{b n}的公比为q．∵等比数列{b n}满足b1=a2，b2=S3，∴由(Ⅰ)可知，b1=−8，b2=−24，∴q=(3)∴数列{b n}的前n项和为T n=(−8)(1−3n)1−3=4(1−3n)，n∈N∗．【考点】等差数列的通项公式数列的求和【解析】(Ⅰ)利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，能求出a1=−10，d=(2)由此能求出{a n}的通项公式．(Ⅱ)等比数列{b n}满足b1=a2，b2=S3，求出b1=−8，b2=−24，从而q=(3)由此能求出数列{b n}的前n项和．【解答】(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d．∵S n是等差数列{a n}的前n项和，且a3=−6，S5=S6．∴{5a1+5×42d=6a1+6×52da1+2d=−6，解得a1=−10，d=(2)∴a n=a1+(n−1)d=−10+(n−1)×2=2n−12，n∈N∗．(Ⅱ)设等比数列{b n}的公比为q．∵等比数列{b n}满足b1=a2，b2=S3，∴由(Ⅰ)可知，b1=−8，b2=−24，∴q=(3)∴数列{b n}的前n项和为T n=(−8)(1−3n)1−3=4(1−3n)，n∈N∗．函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，令F(x)=f(x)+g(x)，求函数F(x)的单调递增区间．【答案】（1）因为T=2πω=4(5π6−π3)=2π，所以ω=(1)又因为sin(π3+φ)=1，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π6+2kπ，k∈Z．因为−π2<φ<π2，所以φ=π6．所以f(x)的解析式是f(x)=sin(x+π6)．…………（2）由已知g(x)=sin[(x+π3)+π6]=sin(x+π2)=cosx，所以F(x)=f(x)+g(x)=sin(x+π6)+cosx=√32sinx+12cosx+cosx=√32sinx+3 2cosx=√3sin(x+π3)．函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2, 2kπ+π2]，k∈Z．由2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2，得2kπ−5π6≤x≤2kπ+π6，k∈Z，所以F(x)的单调递增区间为[2kπ−5π6, 2kπ+π6]，k∈Z．……【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】(Ⅰ)根据图象分别确定周期和φ即可．(Ⅱ)根据图象平移变换关系，求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】（1）因为T=2πω=4(5π6−π3)=2π，所以ω=(1)又因为sin(π3+φ)=1，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=π6+2kπ，k∈Z．因为−π2<φ<π2，所以φ=π6．所以f(x)的解析式是f(x)=sin(x+π6)．…………（2）由已知g(x)=sin[(x+π3)+π6]=sin(x+π2)=cosx，所以F(x)=f(x)+g(x)=sin(x+π6)+cosx=√32sinx+12cosx+cosx=√32sinx+3 2cosx=√3sin(x+π3)．函数y=sinx的单调递增区间为[2kπ−π2, 2kπ+π2]，k∈Z．由2kπ−π2≤x+π3≤2kπ+π2，得2kπ−5π6≤x≤2kπ+π6，k∈Z，所以F(x)的单调递增区间为[2kπ−5π6, 2kπ+π6]，k∈Z．……某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：[10, 20),[20, 30),…,[50, 60]，并整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，估计其年龄低于40岁的概率；(Ⅲ)估计春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄．【答案】(Ⅰ) 根据频率分布直方图可知，10×(a +0.005+0.01+0.02+0.03)=1， 解得a =0.0(35)(Ⅱ)根据题意，样本中年龄低于40的频率为： 10×(0.01+0.035+0.03)=0.75，所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人， 估计其年龄低于40岁的概率为0.(75)(Ⅲ)根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为： 15×0.1+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.05=32.5（岁）． 【考点】频率分布直方图 【解析】(Ⅰ) 根据频率分布直方图能求出a 的值．(Ⅱ)先求出样本中年龄低于40的频率，从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人，由此能估计其年龄低于40岁的概率．(Ⅲ)由频率分布直方图能求出春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计值． 【解答】(Ⅰ) 根据频率分布直方图可知，10×(a +0.005+0.01+0.02+0.03)=1， 解得a =0.0(35)(Ⅱ)根据题意，样本中年龄低于40的频率为： 10×(0.01+0.035+0.03)=0.75，所以从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取一人， 估计其年龄低于40岁的概率为0.(75)(Ⅲ)根据题意，春节期间参与收发网络红包的手机用户的平均年龄估计为： 15×0.1+25×0.35+35×0.3+45×0.2+55×0.05=32.5（岁）．如图，四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，ED ⊥平面ABCD ，ED =AD =2EF =2，EF // AB ，M 为BC 中点． (Ⅰ)求证：FM // 平面BDE ； (Ⅱ)求证：AC ⊥BE ；(Ⅲ)若G 为线段BE 上的点，当三棱锥G −BCD 的体积为2√39时，求BGBE 的值．【答案】证明：(Ⅰ) 设AC ∩BD =O ，连结EO ，MO ． 因为M ，O 分别是BC ，BD 的中点，因为EF // AB，且EF=12AB，OM // AB，且OM=12AB，所以EF // OM，且EF=OM．所以四边形EOMF为平行四边形．所以FM // EO．又因为EO⊂平面BDE，FM平面BDE，所以FM // 平面BDE．(Ⅱ)因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AC．因为BD∩ED=D，所以AC⊥平面BDE．又因为BE⊂平面BDE，所以AC⊥BE．(Ⅲ)过G作ED的平行线交BD于H．由已知ED⊥平面ABCD，所以GH⊥平面ABCD．所以GH为三棱锥G−BCD的高．因为三棱锥G−BCD的体积为2√39，所以三棱锥G−BCD的体积V=13×12∗BD∗BC∗sin60∘∗GH=2√39．解得GH=23．所以GHED=BGBE=232=13．所以BGBE =13．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】(Ⅰ)设AC∩BD=O，连结EO，MO，推导出四边形EOMF为平行四边形，从而FM // EO．由此能证明FM // 平面BDE．(Ⅱ)推导出AC⊥BD，ED⊥AC，从而AC⊥平面BDE，由此能证明AC⊥BE．(Ⅲ)过G作ED的平行线交BD于H，则GH⊥平面ABCD，GH为三棱锥G−BCD的高，三棱锥G−BCD的体积V=13×12∗BD∗BC∗sin60∘∗GH=2√39．由此能求出BGBE的值．【解答】证明：(Ⅰ)设AC∩BD=O，连结EO，MO．因为M，O分别是BC，BD的中点，因为EF // AB，且EF=12AB，OM // AB，且OM=12AB，所以EF // OM，且EF=OM．所以四边形EOMF为平行四边形．所以FM // EO．又因为EO⊂平面BDE，FM平面BDE，所以FM // 平面BDE．(Ⅱ)因为ABCD为菱形，所以AC⊥BD．因为ED⊥平面ABCD，所以ED⊥AC．因为BD∩ED=D，所以AC⊥平面BDE．又因为BE⊂平面BDE，所以AC⊥BE．(Ⅲ)过G作ED的平行线交BD于H．由已知ED⊥平面ABCD，所以GH⊥平面ABCD．所以GH为三棱锥G−BCD的高．因为三棱锥G−BCD的体积为2√39，所以三棱锥G−BCD的体积V=13×12∗BD∗BC∗sin60∘∗GH=2√39．解得GH=23．所以GHED=BGBE=232=13．所以BGBE =13．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)的离心率为√33，长轴长为2√3．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)点M是以长轴为直径的圆O上一点，圆O在点M处的切线交直线x=3于点N．求证：过点M且垂直于直线ON的直线l过椭圆C的右焦点．【答案】（1）由题意得{2a=2√3ca=√33解得a=√3，c=(1)所以b2=a2−c2=(2)所以椭圆C的方程为x23+y22=1．……（2）证明：由题意知，圆O的方程为x2+y2=(3)设N(3, t)，M(x0, y0)，x02+y02=(3)由|ON|2=3+|MN|2，得32+t2=3+(x0−3)2+(y0−t)2，即9+t2=3+x02−6x0+9+y02−2ty0+t2，即3+x02−6x0+y02−2ty0=0．因为x02+y02=3，所以3x0+y0t−3=(0)当t=0时，x0=1，直线l的方程为x=1，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．当t≠0时，直线MN的方程为y−y0=−3t(x−x0)，即ty−ty0=−3x+3x0，即ty=−3(x−1)，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．……【考点】椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)根据椭圆的性质及离心率公式即可求得a和b的值，求得椭圆方程；(Ⅱ)求得圆O的方程，根据题意|ON|2=3+|MN|2，求得3x0+y0t−3=0，分类讨论，当t≠0时，直线MN的方程，则ty=−3(x−1)，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．【解答】（1）由题意得{2a=2√3ca=√33解得a=√3，c=(1)所以b2=a2−c2=(2)所以椭圆C的方程为x23+y22=1．……（2）证明：由题意知，圆O的方程为x2+y2=(3)设N(3, t)，M(x0, y0)，x02+y02=(3)由|ON|2=3+|MN|2，得32+t2=3+(x0−3)2+(y0−t)2，即9+t2=3+x02−6x0+9+y02−2ty0+t2，即3+x02−6x0+y02−2ty0=0．因为x02+y02=3，所以3x0+y0t−3=(0)当t=0时，x0=1，直线l的方程为x=1，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．当t≠0时，直线MN的方程为y−y0=−3t(x−x0)，即ty−ty0=−3x+3x0，即ty=−3(x−1)，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F(1, 0)．……已知函数f(x)=xsinx+acosx+x，a∈R．(Ⅰ)当a=−1时，求曲线y=f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)当a=2时，求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)当a>2时，若方程f(x)−3=0在区间[0,π2]上有唯一解，求a的取值范围．【答案】（1）当a=−1时，f(x)=xsinx−cosx+x，所以f′(x)=2sinx+xcosx+1，f′(0)=(1)又因为f(0)=−1，所以曲线y=f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y=x−1；（2）当a=2时，f(x)=xsinx+2cosx+x，所以f′(x)=−sinx+xcosx+(1)当x∈(0,π2)时，1−sinx>0，xcosx>0，所以f′(x)>(0)所以f(x)在区间[0,π2]上单调递增．因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(π2)=π，最小值为f(0)=2；(Ⅲ)当a>2时，f′(x)=(1−a)sinx+xcosx+1，设ℎ(x)=(1−a)sinx+xcosx+1，ℎ′(x)=(2−a)cosx−xsinx，因为a>2，x∈[0,π2]，所以ℎ′(x)<(0)所以ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，因为ℎ(0)=1>0，ℎ(π2)=1−a+1=2−a<0，所以存在唯一的x0∈[0,π2]，使ℎ(x0)=0，即f′(x0)=(0)所以f(x)在区间[0, x0]上单调递增，在区间[x0,π2]上单调递减．因为f(0)=a，f(π2)=π，又因为方程f(x)−3=0在区间[0,π2]上有唯一解，所以2<a≤(3)【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)求得f(x)的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程；(Ⅱ)求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值；(Ⅲ)求得导数，构造函数ℎ(x)=(1−a)sinx+xcosx+1，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得f(x)的单调性，结合条件可得a的范围．【解答】（1）当a=−1时，f(x)=xsinx−cosx+x，所以f′(x)=2sinx+xcosx+1，f′(0)=(1)又因为f(0)=−1，所以曲线y=f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y=x−1；（2）当a=2时，f(x)=xsinx+2cosx+x，所以f′(x)=−sinx+xcosx+(1)当x∈(0,π2)时，1−sinx>0，xcosx>0，所以f′(x)>(0)所以f(x)在区间[0,π2]上单调递增．因此f(x)在区间[0,π2]上的最大值为f(π2)=π，最小值为f(0)=2；(Ⅲ)当a>2时，f′(x)=(1−a)sinx+xcosx+1，设ℎ(x)=(1−a)sinx+xcosx+1，ℎ′(x)=(2−a)cosx−xsinx，因为a>2，x∈[0,π2]，所以ℎ′(x)<(0)所以ℎ(x)在区间[0,π2]上单调递减，因为ℎ(0)=1>0，ℎ(π2)=1−a+1=2−a<0，所以存在唯一的x0∈[0,π2]，使ℎ(x0)=0，即f′(x0)=(0)]上单调递减．所以f(x)在区间[0, x0]上单调递增，在区间[x0,π2)=π，因为f(0)=a，f(π2]上有唯一解，又因为方程f(x)−3=0在区间[0,π2所以2<a≤(3)。
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东城区高三年级第一学期期末练习数学（文科）
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 已知集合，则( )
A. B. C. D.
2. 下列函数中为偶函数的是( )
A. B.
C. D.
3. 直线与圆相交于两点，，则“”“”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件,
4. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )
A. 8
B. 19
C. 42
D. 89
5. 已知向量，，，若，则实数( )
A. B. C. D.
6. 已知，则( )
A. B. C. D.
...
7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8. 再一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：同学甲、丙的阅读量之和与乙、丁的阅读量之和相同，甲、乙的阅读量之和大于丙、丁的阅读量之和。
丁的阅读量大于乙、丙的阅读量之和.那么这四名同学按阅读量从大到小的顺序排列为( )
A. 甲、丁、乙、丙
B. 丁、甲、乙、丙
C. 丁、乙、丙、甲
D. 乙、甲、丁、丙
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9. 复数_______.
10. 双曲线的渐近线方程为_________.
11. 若满足，则的最大值是__________.
12. 在中，，则_____，的面积为____.
13. 函数当时，的值域为______；当有两个不同零点时，实数的取值范围为______.
14. 设命题已知，满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为______.
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
15. 已知是等差数列，是等比数列，且.
（1）数列和的通项公式；
（2）设，求数列前项和.
16. 已知函数.
（1）当时，求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）当的图像经过点时，求的值及函数的最小正周期.
17. “砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为,农村居民收入实际增速为）.
（1）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于的概率；
（2）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，为的中点，四边形为直角梯形，
.
（1）求证：平面平面；
（2）求四棱锥的体积；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.
20. 已知椭圆的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.。