数学分析

第一章 数列极限与实数系基本定理一、数列极限1、lim 0,,,.n n n x a N n N x a εε→∞=⇔∀>∃∀>−<注1o 、几何意义：0,(,)O a εε∀>含数列{}n x 几乎所有项；2o、熟练掌握用定义证明极限的三种基本方法：等价代换求最小的N ，适当放大法，分步法；★3o 、要重视“适当放大法”，一方面它提供了第一批基本结果，如：ln !,1k n n n n n a n n <<<<<<<<=，等；另一方面它对理解极限定义大有裨益，另外要注意“平均值不等式”及“二项式定理”在放缩方面的作用；4o 、Cauchy 命题与Stolz 定理的证明方法很具特色，是极限理论中的基本方法；5o 、命题()Cauchy ：设lim ()n n x a →∞=±∞，则1lim.nn x x a n→∞++=L★定理()Stolz ：设{}n x 严格↑且→+∞，11lim()n nn n ny y a x x +→∞+−=±∞−，则lim.nn ny a x →∞= 2、收敛数列的基本性质：唯一性、有界性、保号性、迫敛性、四则运算法则.注1o、应独立完成以上性质证明，其中的方法是基本的；2o 、熟练掌握“三角不等式”的运用，它在分析学中的地位很不一般； 3o 、,lim ,2n n n n x M x a a x →∞⎧≤⎪=⇒⎨>⎪⎩整体性，局部性，该性质在后面很多地方都要用到；4o 、研究数列收敛时迫敛性是很基本的，其思想是用两个同极限的简单数列从两边夹住.二、实数系连续性与完备性1、上确界即最小的上界，它是最大数向无限集合的推广形式.定义：设S R φ≠⊂，若R ξ∈满足以下两点，则称ξ为S 的上确界，记为sup S ：(1),;x S x ξ∀∈≤(2)对于S 的任一上界,ηξη⎯⎯⎯⎯→≤←⎯⎯⎯⎯逆否命题任意小于ξ的数不是S 的上界 0,,...x S s t x εεξε⎯⎯⎯⎯→∀>∃∈>−←⎯⎯⎯⎯引入语言（这样定义的好处我们马上就能体会到）. 2、确界原理：非空有上界数集必有上确界.R ∈●该定理反映了实数系连续性这一基本性质，这可以从几何上加以理解：假若实数全体不能布满整条数轴而是留有“空隙”，则“空隙”左边的数集就没有上确界.该定理是整个数学分析的基石，其重要性不言而喻，但其证明却不值一提. ★3、定理：确界原理⇒单调有界定理.●从无限个数中要把唯一的极限点找出来无疑于大海捞针，但利用确界我们可对该极限作出准确的刻画.在按极限定义证明一个数列收敛时，都必须先知道它的极限是什么，这个要求对于许多实际情况来说并不现实，因为一个数列即使收敛，其极限也往往无法事先得到.该定理的重要性在于，它使我们可以从数列本身出发去研究其敛散性，这是一个很大的进步，下面看看它的应用吧：★命题：设'111(1),(1n n n n e e n n+=+=+，证明：'(1)lim lim ,n n n n e e →∞→∞=该极限定义为e ； 111(2)(1)(1);n n e n n++<<+11111111(3)ln ,ln(1)1;1232n n n n n n n+<<+++<+<++++L L 11(4)1ln 0,lim 0.577212n n n x n x n γ→∞=+++−>==L L （Euler 常数）； 111(5)lim()ln 2;122n n n n→∞+++=++L 1112(6)lim 1;ln n n n→∞+++=L 11(7)11,2!!n y n =++++L 则,lim ;n n n n e y e y e →∞<<=22112(8)11,01;2!!!121n n n n ne n n n n n n θθ+=+++++<<<<+++L(9)e 为无理数.★4、定理：单调有界定理⇒ 区间套定理.●从表明上看，与单调有界定理比较，后者似乎没有多少新的东西，只不过是含有两个有一定关系的单调数列而已.但实际上并非如此，与区间套相联系，有构造闭区间套的Bolzano 二等分法，有很强的应用.对每个具体问题，所构造的闭区间套一定要具有某种特性，构造过程就是要求将这个性质 “传递”下去，直至将这个特性“凝聚”到闭区间套公共点的任意邻域，当然，这种特性要能解决我们的问题. ★5、定理：区间套定理⇒致密性定理.●在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往采取两步走的方法，即一开始构造一个有界数列，然后对它用致密性定理得收敛子列.用形象化的语言来说，即是从混乱中找出了秩序.★6、定理：致密性定理⇒ Cauchy 收敛准则.注1o、Cauchy 数列（基本数列）必有实数极限，这一性质称为实数系完备性；2o 、该准则是数列收敛的充要条件.前面介绍了许多有关数列收敛的条件，但都有很大的局限.在其中单调有界定理是充分条件，在应用时也不需要事先知道极限，但它当然依赖于单调性；其他如迫敛性是充分条件，在应用时局限更大，因为要找到两个同极限的简单数列并从两边夹住远非易事；数列有界是必要条件，只能用于判定数列发散；有一个与子列有关的数列收敛的充要条件，即数列收敛等价于它的一切子列收敛，由于数列也是自身的子列，所以这个结论的充分性等于什么也没说；3o 、从上述意义上来说，Cauchy 收敛准则是研究数列收敛最有力的工具；4o 、纵观数学分析，在包括积分与级数的许多类型极限中，都有相应的Cauchy收敛准则，而且往往是其他收敛判别法的基础，因此，它具有其他基本定理所不能替代的独特作用.※三、实数系七大基本定理的相互推导从上面的逻辑推理关系我们发现，实数系连续性蕴含完备性，事实上我们可以证明： 定理：实数系的连续性等价于实数系的完备性.由于以下七个定理的等价，所以每一个定理都称为实数系基本定理：确界原理，单调有界定理，Cauchy 收敛准则，致密性定理，聚点定理，区间套定理，有限覆盖定理.●闭区间套定理是通过构造闭区间套的方法从某种整体性质推出在某个点附近有某种局部性质.但有限覆盖定理恰恰相反，它从局部性质推出整体性质时运用非常自然. 定理1~6属于同一类型，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在.这种点分别是：确界点，极限点，子列收敛点，聚点，公共点.从以上证明我们不难发现，它们是同一个“点”的不同表现形式，因此彼此等价就成为必然.定理7属于另一种类型，它是前六个定理的逆否形式.不论用前六个定理来分别证明定理7，还是用定理7分别推出前六个定理，都可用反证法完成.而前六个定理，可以直接相互推导.这些定理的互相推导大部分都可以用Bolzano 二等分法来完成.四、压缩映射原理考研中有类数列要引起注意，即递推形式数列.一般计算这类数列的极限，可以采用以下两种方法：1、利用单调有界定理判断单调性，通常方法是作差、作商比较；另外注意以下方法：1(),()0,n n x f x f x +′=≥当12x x ≤时，n x ↑；当12x x ≥时，.n x ↓2、利用压缩映射原理定义：设[][][](,),,01,,,,()()f a b a b k x y a b f x f y k x y ⊆∃<<∀∈−≤−，称f 为[],a b 上一个压缩映射，k 为压缩常数.下面定理以Cauchy 收敛准则为基础，在处理递推数列的极限时很凑效. ★定理（压缩映射原理）：设f 为[],a b 上的一个压缩映射，则： （1）!∃不动点[](),,;f a b ξξξ=∈（2）由任何初始值[]0,a a b ∈和递推公式1()n n a f a +=生成的数列收敛于ξ；（3）成立估计式11n n n ka a a kξ−−≤−−和10.1n n k a a a k ξ−≤−− ●前一个不等式可以从相继的两次计算估计当前误差，称事后估计；后一个不等式比前一个要粗一些，但可以用于在计算之前估计要迭代多少次才能达到所要的精度，称先验估计.五、典型例题与考研真题☆参见课堂教学☆第二章 函数极限与连续一、定义与性质1、00lim ()0,0,(0),().x x f x A x x x f x A εδδε→=⇔∀>∃>∀<−<−<注1o、两类极限有平行的理论，类似的方法，彼此间有着深刻的内在联系；2o 、函数极限的基本性质：唯一性、局部有界保号迫敛性、四则运算法则；★3o 、熟练掌握εδ−语言证明函数极限；4o 、理解函数极限的其他类型.2、000lim 0lim ()().x x x y f x f x Δ→→Δ=⇔=注1o、能够证明函数()sin ,ln f x x x =在其定义区间内连续；★2o、掌握连续函数三大法则：四则运算、反函数的连续性及复合函数的连续性；由此推导出一切初等函数在其定义区间内连续，函数极限计算的每道题几乎不可避免地要使用该性质；★3o 、连续的复合函数极限法则提供了极限运算与函数运算可交换的理论依据；4o 、熟练掌握求函数的间断点并判断其类型.二、基本命题1、定理：0lim ()lim ()lim ().x x x x x x f x A f x f x A −+→→→=⇔== 2、与单调数列的情况类似，有单调函数的极限存在定理.命题：设()f x 为(,)a b 上单调递增有上界函数，则()f b −存在.★3、定理（Heine 归结原理）： {}000lim (),,lim ,lim ().n n n n x x n n f x A x x x x x f x A →→∞→∞=⇔∀≠==注1o、Heine 归结原理是函数极限的又一个基本性质，它是沟通两类极限桥梁；2o 、利用这个原理，可将许多函数极限问题归结为数列极限问题去解决，因此具有独特的重要性；3o 、其证明方法是极限理论中的基本内容；4o 、数列极限中有与Heine 归结原理类似的命题：数列收敛等价于它的一切子列收敛，该命题的充分性只是空话，但其必要性的证明与Heine 归结原理确有类似之处；5o 、命题（Heine 归结原理的变形）：0lim ()x x f x →存在 {}{}00,,lim ,()n n n n n x x x x x f x →∞⇔∀≠=收敛；6o 、函数极限的基本性质，一般地说至少可以用两种方法来证明.★4、与数列的情况类似，可以从函数f 在点0x 附近的性态本身判定它在点0x 是否收敛.这就是函数极限Cauchy 收敛准则.从其证明我们可以看出Heine 归结原理是如何起作用的.定理（Cauchy 收敛准则）： 0lim ()x x f x →存在00,0,,(,),()().x x O x f x f x εδδε′′′′′′⇔∀>∃>∀∈−<o●必要性的证明和数列如出一辙，但充分性部分因为有了Heine 归结原理而显得异常容易.三、两个重要极限在以下两个极限基础上可以解决许多极限计算问题，特别是从这两个极限出发可以推导出微分学中基本初等函数的所有求导法则，是进入微分学之前的必要准备.◎两个重要极限之一：0sin lim1x xx→=；◎两个重要极限之二：1lim(1)xx x e →+=.我们经常发现，根据具体问题作适当的变量代换是非常有用的手段.这里有一个在求极限时作变量代换的合理性问题，其合理性由下面定理提供保障：★定理（复合函数极限方法――变量代换法）：0()lim (())lim ().u g x x x u ux x u u f g x f u =→→→→⎯⎯⎯⎯⎯→令时， 利用上述定理，可以扩充以上两个极限的适用范围，该定理是求极限基本方法之一.四、无穷小分析●极限问题可归结为无穷小问题.极限方法的重要部分是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析.运用无穷小来处理，有时问题会变得异常简洁，以后我们有很多机会来体验.下面的知识是基本的：1、无穷小与极限、无穷大的关系. ★2、等价无穷小及等价替换定理.★3、常见的等价无穷小. 0x →时，~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~x x x x x21(1)111~~ln(1)~ln log (1)~,1cos ~.ln 2x xa a x e x a x x x a αα−+−−++−★4、无穷小与无穷大的运算性质. 将2441cos ()224x x x o x −=−+代入221cos (1cos )1((1cos ))39x x o x −−+−+−得：244().224x x o x −+ 那么用34sin ()6x x x o x =−+代入424sin sin (sin )2x x o x −+等于?5、无穷小阶的分析方法.※五、闭区间上连续函数的分析性质●连续函数类是数学分析中的主要函数类之一.有关连续函数的一系列重要结论是支持数学分析整个体系的支柱.有界性定理、最值定理、零点存在定理、中间值定理、一致连续性定理是闭区间上连续函数最重要的分析性质，由于这些性质都和连续函数的整个定义域密切联系，与局部有界性、保号性等局部性质有根本的不同，因此称为连续函数的整体性质.事实上，可以用实数系基本定理中任何一个来证明闭区间上连续函数的任何一个性质，只是证明的难度稍有差别罢了，作为对这些重要内容的一种很好的复习和总结方式，请用不同方法证明：1、定理（一致连续性，Cantor ）：设()f x 在闭区间[],a b 上连续，则()f x 在闭区间[],a b 上一致连续.●一致连续性是一个精细的概念，它是由于数学分析内部理论发展的需要而产生的.证⑴：【有限覆盖】因()f x 连续，[]0,,,0,..(,),x x x a b s t u O x εδδ∀>∀∈∃>∀∈()().,(,),()()()()()().2x f u f x x x O x f x f x f x f x f x f x εδε′′′′′′′′′−<∀∈−≤−+−<显然，[](,,2xO x x a b δ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭是[],a b 的一个开覆盖，据有限覆盖定理，存在(,)1,,2i x i O x i n δ⎧⎫=⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭覆盖[],a b ，取min 1,,2i x i n δδ⎧⎫==⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，当,,x x k δ′′′−<∃(,),,(,)22kk xkk k k k k x x O x x x x x x x x O x δδδδδ′′′′′′′′′∈−≤−+−<+≤∴∈，于是()().f x f x ε′′′−<□证⑵：（反证）若()f x 在[],a b 上不一致连续，则000,0,,()().()x x f x f x εδδε′′′′′′∃>∀>−<−≥⋅⋅⋅∗对[],a b 二等分取其中不一致连续区间记为[]11,a b （易证，若()f x 在[][],,,a c c b 上一致连续，则()f x 在[],a b 上一致连续），这样一直下去，得到闭区间套[]{},1,2,n n a b n =⋅⋅⋅，满足0(),n n b a n −→→∞且每个闭区间都不一致连续，①【区间套】由区间套定理，[]!,,1,2,.n n a b n ξ∃∈=⋅⋅⋅由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □② 【确界】由确界原理，{}{}sup inf ,n n a b ξη=≤=因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=（不然，n n b a ηξ−≥−与0n n b a −→矛盾），由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □③【单调有界】由单调有界定理，lim lim n n n n a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ξη∴=，由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □④【Cauchy 准则】{}10,2m n n n n n b aa ab a a −−−<−=→为Cauchy 数列，同理{}n b 也是Cauchy 数列，由Cauchy 收敛准则，lim lim n n n n a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=，由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □⑤【致密性】由致密性定理，lim lim k l n n k l a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=，由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □⑥【聚点】由聚点定理，{}{}n n a b ∪有聚点[],a b ξ∈，由于()f x 在ξ点连续，[]000,0,(,),,()(),N N x O a b f x f εδξδξε∀>∃>∀∈⊃−<与()∗式矛盾. □2、定理（零点定理）：设()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0,f a f b <则(,),..()0.a b s t f ξξ∃∈=证⑴：【有限覆盖】（反证）若[],,()0.x a b f x ∀∈≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，[],,x a b ∀∈,()x f x δ∃在(,)x O x δ内同号.显然，[]{}(,),x O x x a b δ∈是[],a b 的一个开覆盖，据有限覆盖定理，存在{}(,)1,,i i x O x i n δ=⋅⋅⋅覆盖[],a b ， ,a b 所在的开区间符号相反，但经过有限次邻接后产生矛盾.□证⑵：对[],a b 二等分并取端点异号的区间记为[]11,a b ，这样一直下去，得到闭区间套[]{},1,2,n n a b n =⋅⋅⋅，满足0(),n n b a n −→→∞且每个闭区间端点函数值异号， ①【区间套】由区间套定理，[]!,,1,2,.n n a b n ξ∃∈=⋅⋅⋅若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在(,)O ξδ内同号.当n 充分大时，,n n a b 同时进入邻域(,)O ξδ，将与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴= □② 【确界】由确界原理，{}{}sup inf ,n n a b ξη=≤=因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=，若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在[](,),n n O a b ξδ⊃内同号，这与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴=□③【单调有界】由单调有界定理，lim lim n n n n a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ξη∴=，若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在[](,),n n O a b ξδ⊃内同号，这与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴= □④【Cauchy 准则】{}10,2m n n n n n b aa ab a a −−−<−=→为Cauchy 数列，同理{}n b 也是Cauchy 数列，由Cauchy 收敛准则，lim lim n n n n a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=，若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在[](,),n n O a b ξδ⊃内同号，这与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴= □⑤【致密性】由致密性定理，lim lim k l n n k l a b ξη→∞→∞=≤=，因0(),n n b a n −→→∞ ξη∴=，若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在[](,),n n O a b ξδ⊃内同号，这与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴= □⑥【聚点】由聚点定理，{}{}n n a b ∪有聚点[],a b ξ∈，若()0,f ξ≠因()f x 连续，据函数极限局部保号性，0,()f x δ∃>在[](,),n n O a b ξδ⊃内同号，这与端点函数值(),()n n f a f b 异号矛盾，()0.f ξ∴= □如果你理解了上面的本质，你也能照猫画虎，依葫芦画瓢，试试看吧：3、设()f x 在闭区间[],a b 上处处局部有界，则()f x 在闭区间[],a b 上有界.六、典型例题与考研真题☆参见课堂教学☆第三章 一元函数微分学一、导数与微分 1、0()()()lim()();().x f x x f x f x y f x x o x dy f x dx x Δ→+Δ−′′′=⇔Δ=Δ+Δ=Δ注①、计算导数就是求0型的不定式的函数极限，这也就是在学习微分学之前要先学极限理论的理由之一；②、理解导数的几何意义及微分的原始思想；★③、一元函数：可导⇔可微⇒连续⇒极限存在，多元函数又如何？④、dydx既可以看成一个完整的记号，也可看成微分之间的除法运算（微商）——这种观点有助于更深刻地理解微分和导数的本质及其相互关系. yx∂∂呢？★⑤、注意导函数的两大性质：介值性和无第一类间断点. 2、利用定义及两个重要极限推导两个基本初等函数导数公式：0sin lim(sin )cos x xx x x→′⇒=；1lim(1)ln(1)~1~().x x x xx x e x x e x e e →′+=⎯⎯⎯⎯→+⎯⎯⎯⎯⎯⎯→−⇒=连续复合函复合函数极限法则数极限法则即变量代换3、三大求导法则：⑴();f g f g ′′′+=+⑵();fg f g fg ′′′=+⑶复合函数链式求导法则：设(()),y f g x =则()()((()))()u g x du g x dxdy d f g x df u dudx dx du dx=′==⎯⎯⎯⎯→令（可看成变量代换，但不能作为证明）. 注①、其它求导法则都可以由上述法则推导出来；②、使用定义推导⑴、⑵；用导数与微分两种方法证明复合函数链式法则； ★③、复合函数链式求导法则的应用，⎧⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎩反函数求导法则隐函数求导法复合函数链式求导法则参数形式函数求导对数求导法；4、高阶导数与高阶微分.●注意Leibniz 公式及一阶微分形式不变性.二、微分中值定理★导数定义Fermat ⇒引理[],C a b Rolle ⎯⎯⎯⎯→性质定理Lagrange ⎯⎯⎯⎯→作辅助函数中值定理Cauchy ⇒中值定理L Hospital Peano Taylor Lagrange Taylor ′⇒⎧⇒⎨⎩法则型公式型公式注①、Fermat 引理的证明只需很少的函数极限知识，但它是函数极值的基本定理.利用其逆否命题可求出所有极值可疑点；②、Rolle 定理证明需要[],C a b 性质，其看似容易，实际上是前面许多内容的结晶，而这还是刚刚开始，后面许多结论都是直间接建筑在Rolle 定理之上； ③、Rolle 定理更为基本.但总的来说Lagrange 中值定理用处要大得多，因为它解决了函数研究中的基本问题：如何将自变量从a 到b 所引起的因变量的增量与导数联系起来.通过中值定理，可以用导数研究函数在大范围上的性质，如单调性、凹凸性等；④、从数学分析一开始，极限计算就是一大难题，这种状况在有了L Hospital′法则后才可以说有了根本的改变.由于这个法则将求不定式极限归结为极为简单的导数计算，因此该法则成为求极限的倚天剑.虽然该法则确实是计算极限的强有力工具，但毕竟“一花独放不是春”，只有将其与其它方法相结合，才能取得更好的效果；⑤、L Hospital ′法则是Cauchy 定理的经典应用，其中包涵的丰富思想、一般方法及常见技巧可以给我们带来很多启迪；⑥、()()()y f x x o x Peano Taylor y f x x x Lagrange Taylor θ⎧′Δ=Δ+Δ⎯⎯⎯⎯→⎨′Δ=+ΔΔ⎯⎯⎯⎯→⎩精确估计推而广之型公式(定性)型公式（定量）， [,]()()C a b y f x x o x ′Δ=Δ+Δ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→质的飞跃微分与的结晶()y f x x x θ′Δ=+ΔΔ，它给出了自变量、因变量的差分和函数的导数值的精确关系；⑦、关于Taylor 公式，下面一段话很经典：“我们不想把话说得太绝对，但至少可以说：凡是用一元微分学中的定理、技巧能解决的问题，其中的大部分都可以用Taylor 公式来解决.掌握了Taylor 公式之后，回过头去看前面的那些理论，似乎一切都在你的掌握之中，使你有一种‘会当凌绝顶，一览众山小’的意境.从这个意义上说‘Taylor 公式是一元微分学的顶峰’，并不过分”； ⑧、Taylor 公式可以解决很多问题，技巧性很强：选择什么余项，在哪一点展开，是展开一点的值还是展开多点的值进行复合都很有讲究.三、Taylor 公式的应用1、证明微分学中所有定理及结论；2、近似计算；3、证明不等式；4、求曲线的渐近线；5、计算极限；6、函数作图；7、方程近似求解；8、无穷小阶的估计.四、典型例题与考研真题 ☆详见课堂教学☆★设()[1,),(1,)f x C D ∈+∞+∞，函数2()xe f x −′在(1,)+∞上有界，证明函数2()x xe f x −在(1,)+∞上有界.证：设2(),(1,).x ef x M x −′≤∈+∞首先对于函数2(),(1,),x e f x x −∈+∞应用Cauchy 中值定理，可以证明它是有界的：2222(1)()()(1)(1)()(1)x x x x f f x f x f f f x f eeeee e−−≤+<+−22(1)(1)()()22f f f f eee e ξξξξξ′′=+<+(1),2f M e≤+ 其中(1,)x ξ∈.进一步，对于函数2(),(1,),x xe f x x −∈+∞也有 2222(1)()()(1)(1)()1(1)xxxx f xf x xf x f f xf x f ee e e e e−−⋅≤+<+− 2(1)()()2f f f e eξξξξξ′+=+22()()22f f e e ξξξξ′<++(1)f e 3(1)3.42f M e<+□ ● 该题是Cauchy 定理的经典应用，其中包涵思想、方法及技巧很有启迪.1、设()[1,),(1,)f x C D ∈+∞+∞，函数()x e f x −′在(1,)+∞上有界，证明函数()xe f x −在(1,)+∞上有界.2、设()(,)f x D a ∈+∞，且lim ()0,x f x →+∞′=则()lim0.x f x x→+∞= 3、设[]2(),,(,),f x C a b D a b ∈证明：(,),..a b s t η∃∈2()()2()(().22a b b a f b f a f f η+−′′+−= 4、设()[0,1],(0,1),f x C D ∈，且1(0)(1)0,() 1.2f f f ===证明：⑴1(,1),..();2s t f ξξξ∃∈=⑵,(0,),..()[()] 1.R s t f f ληξηληη′∀∈∃∈−−=5、设(),0,()0,0,g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中(0)(0)0,(0)10,g g g ′′′===求(0).f ′6、设函数()f x 满足(0)0,f =且(0)f ′存在，证明：()lim 1.f x x x +→= 7、设函数()(,)f x D a ∈+∞，且lim [()()],x f x f x k →+∞′+=证明：lim ().x f x k →+∞=8、设2()11()()()()(),01,2!!n n f x h f x f x h f x h f x h h n θθ′′′+=+++⋅⋅⋅++<<且(1)()0,n f x +≠证明：01lim .1h n θ→=+ 9、设2()[0,1],f x D ∈且在[0,1]上成立(),().f x A f x B ′′≤≤证明：[]()20.5,0,1.f x A B x ′≤+∈10、设()f x 在0x x =处可微，00(1,2,),lim lim ,n n n n n n x n x αβαβ→∞→∞<<=⋅⋅⋅==证明：0()()lim().n n n n nf f f x βαβα→∞−′=−11、设()f x 在0x =连续，0(2)()lim.x f x f x A x→−=求证：(0)f A ′=.。