线代A答案

线性代数A 模拟试卷一参考答案一、（15分）填空题：1.设123456110A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 |A|= -9 , A*=63276318113-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,A -1=6327163189113-⎡⎤-⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.2.设4维向量α=(1,2,0,-3)T , β=(2,-1,5,0)T ,则α与β的内积(α,β)= 0 ,夹角<α,β>= 90o . 3.设矩阵123456A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1224510B ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，初等矩阵P 满足：AP=B,则P=101010001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.（A 的第3列-第1列得B ，所以P 为E 的第3列-第1列所得初等阵） 4. α1,α2,α3,α4均为3维向量，则向量组α1,α2,α3,α4必线性 相 关. （ch3/Th7/推论2）5.[]2R x 中的基222142,3,15x x x x x -++-+到基21,,x x 的过渡矩阵为1131516114102034672152713---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦. 二、（15分）选择题： 1.设3阶行列式112233112233112233a x a x a x Db y b y b yc z c z c z +++=++++++则（ B ）. （A ）123123123123123123a a a x x x D b b b y y y c c c z z z =+； （B ）122331223312233122331223312233a a x a x x a x a x D b b y b y y b y b y c c z c z z c z c z ++++=+++++++++ （C ）123123123123123123123123123a a x a x a x a a Db b y b y b y b bc c z c z c z c c =++.(ch1/行列式性质5)2.设矩阵A 的秩R(A)=r,则（ B ）.(A)A 中只有一个r 阶子式不为零，其余的r 阶子式全为零；(B) A 中存在一个r 阶子式不为零，所有的r+1阶子式（若有）全为零； (C) A 中所有的r 阶子式均不为零，而高阶子式全为零. 3. 设线性方程组12312321231ax x x x ax x a x x ax a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解，则（ C ）. (A)a=1;(B)a=-2;(C)a ≠1且a ≠-2.4.设 向量组α1,α2,…，αs 线性相关，则（ C ）.(A) α1一定可由α2,α3,…，αs 线性表示； (B) α1一定不可由α2,α3,…，αs 线性表示；(C) 其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表示. 5.n 阶方阵A 与对角阵相似，则（ C ）.(A)A 有n 个不同的特征值；(B) A 有n 个相同的特征值；(C) A 有n 个线性无关的特征向量. 三、（14分）设n 维向量αT =(1/2,0,…,0,1/2),又A=E-ααT , B=E+2ααT ,其中E 为n 阶单位矩阵，求AB,A -1,B -1,并写出A -1与B -1的具体形式. 解：AB=（ E-ααT ）（E+2ααT ）= E-ααT +2ααT -2ααT ααT= E+ααT -2α（αT α）αTαT α=120111110...0 (2)2442012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∴AB= E+ααT -ααT =E.A -1=B=11/40...01/42000...001120...02..................22000...0011/40...01/42E E ⎛⎫ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎛⎫ ⎪⎢⎥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭=1/20...01/23/20...01/200...0001...00..............................00...0000...101/20...01/21/20...03/2E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B -1= A =11/40...01/42000...00110...0..................22000...0011/40...01/42E E ⎛⎫ ⎪⎡⎤⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎛⎫ ⎪⎢⎥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭=3/40...01/401...00...............00...101/40...03/4-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.四、（16分）设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(2,3,4,5)T , α3=(3,4,5,6)T , α4=(4,5,6,7)T ,求由该向量组生成的向量空间L=L （α1, α2, α3, α4）的维数及一组基，并求其余向量在这组基下的坐标.解：A=【α1, α2, α3, α4】14,3,21234234534564567i i r r i --=⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎣⎦4232211234*********111r r r r r r ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1222(1)1234012300000000r r r +⨯-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦1012012300000000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，dimL=R （A ）=2，α1, α2为L 的一组基， ∵α3= -α1+2α2,α4= -2α1+3α 2.∴α3在这组基下的坐标为-1，2；α4在这组基下的坐标为-2，3. 五、（14分）λ为何值时,下列线性方程组有唯一解?无解？无穷多解？若有无穷多解,求出全部解.123123123(2)2212(5)4224(5)1x x x x x x x x x λλλλ-+-=⎧⎪+--=⎨⎪--+-=--⎩解：3223222222||254254245011r r c c A λλλλλλλ+-----=--=--=--+-- 242294001λλλ----- = -（λ-1）2（λ-10）.1）当1λ≠且10λ≠，|A|≠0，方程组有唯一解2）当λ=1，增广阵B=122112212442000024420000r⎡-⎤⎡-⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦， x 1=1-2x 2+2x 3，令2132x c x c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得通解1122132122x c c x c x c -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=12122010001c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 3）当λ=10，增广阵B=82218041201725422017011124511011100027r r ⎡--⎤⎡---⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦，.R （A ）=2，R （B ）=3，系数阵与增广阵秩不相等，无解。

六、（18分）设二次型f=2x 12+3x 22+3x 32+4x 2x 3. 1.写出f 的矩阵；2.求A 的特征值与特征向量；3.用正交变换X=QY 将f 化为标准形，并写出正交矩阵Q.解：1. f 的矩阵A=200032023⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 2.|λE-A|=200032023λλλ-----=（λ-1）（λ-2）（λ-5）=0.得A 的特征值1，2，5.对λ=1，λE-A=100100022011022000r-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，1230x x x =⎧⎨=-⎩，基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，属于1的全部特征向量为c 11ξ，c 1为任意非零常数；对λ=2，λE-A=000010012001021000r⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，2300x x =⎧⎨=⎩，x 1是自由未知量，基础解系2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，属于2的全部特征向量为c 22ξ，c 2为任意非零常数；对λ=5，λE-A=300100022011022000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，1230x x x =⎧⎨=⎩，基础解系3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，属于5的全部特征向量为c 33ξ，c 3为任意非零常数。

3.123,,ξξξ是A 的两两正交的特征向量，将其单位化，得A的两两正交的单位特征向量：1122330101,0,1101q q q ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪======⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭， Q=【q 1 q 2 q 3】=01000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎢⎢⎣为正交阵，且Q TAQ =100020005⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=Λ. 作正交变换X=QY ，则f=X T AX= （QY ）T A （QY ）=YQ T AQY= Y T ΛY=y 12+2y 22+5y 32七、（8分）证明：若为A 正交矩阵，则A 的伴随矩阵A*也为正交矩阵. 证：A*=|A|A -1，（A*）T A*=（|A|A -1）T |A|A -1=|A|2E=E.所以A*也为正交矩阵.线性代数A 模拟试卷2参考答案一、（15分）填空题：1.在4阶行列式det[aij]中，含有因子a 11a 32的项有：-a 11a 32 a 23a 44，a 11a 32 a 43a 24.2. 矩阵103211000000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的秩= 2 . 3.设A ，B,C 为可逆矩阵，分块矩阵00000A H BC⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 则1111000000C H B A ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 4. 用矩阵形式表示二次型f=x 12+x 1x 2+2x 22+3x 32-2x 2x 3,f= X T AX ，其中X=123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，11/201/221013A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.5.R 4的子空间V={(x 1,x 2,x 3,x 4)T |x 1+x 2+x 3+x 4=0}的维数= 3 ,一组基为111100,,010001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二、（15分）选择题：1.设α=(1,2,3)T , β=(1,1/2,1/3)T ,A=αβT ,则A 10=（ B ）.（A ）310; (B) 911/21/33212/333/21⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（C ）10101010101011123221()333()12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. .2.设线性方程组1231232312(2)(2)33(2)3x x x x a x b x ax a b x +-=⎧⎪++-+=⎨⎪-++=-⎩有无穷多组解，则（ A ）.(A)a=b ≠0;(B) a ≠0且a ≠b;(C)a=b=0.. 向量组α1,α2,…，αs 线性无关的充要条件为（ C ）.(A) α1不能由α2,α3,…，αs 线性表示；(B)α1,α2,…，αs 的秩小于s ； (C) α1,α2,…，αs 的秩等于s.4.设b A a ⎤⎥⎥=⎢⎢⎣为正交矩阵，则（ B ）. （b=(B) a=b=(C) a=b=0. 5.设3阶方阵A 与对角阵100020003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦相似，则（ B ）. (A)A -1有特征值1，2，-3；(B) A+E 有特征值2,3,-2；(C) A 2有特征向量1,2,-3 三、（18分）设矩阵1201512031001000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，,试求1.|A|;2.A -1;3.|A 4|.解: 1.|A|=120151251201231023100101001000=-==. 2.12011000100000015120010002011001[|]31000010010000131000000101200105r A E ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000001100001010000130100001300011025001001/21/210020011200011025r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,∴A -1=0001001301/21/211025⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦. 3.|A 4|=|A|4=16.四、（16分）求齐次线性方程组1234123412342546235843622x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩的通解. 解：2154612358431622r ⎡-⎤⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥--⎣⎦107/53/540111/514/5200000⎡-⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.13423447/53/5211/514/5x x x x x x =+-⎧⎨=-+-⎩令314255x c x c =⎧⎨=⎩，则11221231424732111455x c c x c c x c x c +-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1247321114050005c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 五、（16分）设向量组设向量组α1=(1,2,3,4)T , α2=(-1,1,-1,0)T , α3=(2,-1,3,1)T , α4=(0,3,2,4)T ,求该向量组生成的子空间L=L(α1,α2,α3,α4)的维数dim L 及L 的一组基,并写出其余向量在这组基下的坐标.解：A=【α1, α2, α3, α4】11201120211303533132023240140232r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦1001010100100000r ⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦dim L=3，α1, α2,α3为L 的一组基,，α4=α1+α2，即α4在这组基下的坐标为1，1，0.六、（20分）设对称矩阵A=200012021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.求A 的特征值与特征向量；2.求一个正交矩阵Q 和对角阵Λ,使得Q -1AQ=Λ.解：1. |λE-A|=200012021λλλ-----=（λ-2）（λ-3）（λ+1）=0. 得A 的特征值2，3,-1.对λ=2，λE-A=000010012001021000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，2300x x =⎧⎨=⎩，x 1是自由未知量，基础解系1100ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，属于2的全部特征向量为c 11ξ，c 1为任意非零常数；对λ=3，λE-A=100100022011022000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，1230x x x =⎧⎨=⎩，基础解系2011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，属于3的全部特征向量为c 22ξ，c 2为任意非零常数；对λ=-1，λE-A=300100022011022000r -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，1230x x x =⎧⎨=-⎩，基础解系3011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，属于-1的全部特征向量为c 33ξ，c 3为任意非零常数。