二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》微格教案
微格教学教案
设计者：
教学对象：高中一年级
科目：数学
课题：二倍角的正弦、余弦、正切公式
主要教学技能：导入技能、讲解技能、提问技能、评价技能。
教学目标：
知识与技能：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形。
过程与方法：经过观察、探索过程，体会类比推理的数学思想。
情感态度与教学观：通过学习，使学生进一步掌握辩证唯物主义联系的观点。
教学重点：以两角和的正弦、余弦、正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式以及二倍角公式的运用。
教学难点：二倍角公式的证明及运用。
教学过程
备注：教学技能要素填写：综合技能、导入技能、讲解技能、提问技能、演示技能、提问技能、评价技能等。
设计时间一般不超过十五分钟。
第9课 二倍角的正弦、余弦和正切
合作探究的
= −
=
1 例题分析
例1
能力
.
−
学生积极思考，认真
求值.
听讲，积极回答问题
(1)15° 15° ；(2) 2
(3)
− 2 ；
8
8
215°
1 − 2 15°
例 1 当发现三
角式的形式
与二倍角公
的值.
解
1
已知2 = 2 2 − 1 = − 2
1
求得 2 = 4
1
又因为 ∈ ( 2 ，) ，所以 = − 2.
练习 3
1
已知 − = 2 , 且 ∈ ( 2 ，)，
求2.
解 已知
1
− = 2
1
两边平方，得2 − 2 + 2 = 4
1
即1 − 2=4
3
所以2 = 4
通过学生小
通过学生小结，梳理 结，梳理所学
所学内容提升对本节 内 容 提 升 对
四、归纳小结
知识的学习理解。
本节知识的
本节课学习了正弦、余弦、正切的二倍角
学习理解，回
公式，并运用此公式求解某些具体问题，对于
顾本节课重
二倍角变形公式，根据具体情况需要灵活使用。
30°
√3
= .
3
4
已知 = 5, 且 ∈ ( 2 ，)，求
例2
4
角的三个公
式，正切的值
直接由同角
三角函数的
2,2,2的值.
解
例 2 熟练二倍
因为 = 5,且 ∈ (2 ，)，
3
所以 = − .
二倍角正弦、余弦、正切公式教案
二倍角正弦、余弦、正切公式教案一、教学目标：1. 让学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 使学生能够灵活运用二倍角正弦、余弦、正切公式解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二、教学内容：1. 二倍角正弦公式：sin2α= 2sinαcosα2. 二倍角余弦公式：cos2α= cos^2αsin^2α= 2cos^2α1 = 1 2sin^2α3. 二倍角正切公式：tan2α= (tanα+ tan(α+π))/(1 tanαtan(α+π)) = (tanα+ tanα)/(1 tan^2α) = 2tanα/(1 tan^2α)三、教学重点与难点：1. 教学重点：二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程及应用。
2. 教学难点：二倍角正切公式的推导过程及应用。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程。
2. 运用例题，让学生在实践中掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生合作学习的能力。
五、教学步骤：1. 导入新课，回顾一倍角正弦、余弦、正切公式。
2. 引导学生利用已知公式，推导二倍角正弦、余弦、正切公式。
3. 通过例题，演示二倍角正弦、余弦、正切公式的应用。
4. 组织学生进行练习，巩固所学知识。
六、课后作业：（1）已知sinα= 1/2，求sin2α的值。
（2）已知cosα= √2/2，求cos2α的值。
（3）已知tanα= 1，求tan2α的值。
七、教学反思：在教学过程中，要注意引导学生掌握二倍角正弦、余弦、正切公式的推导过程，培养学生逻辑思维能力和运算能力。
针对不同学生的学习情况，给予适当的辅导，提高教学质量。
注重培养学生的合作学习意识，提高课堂参与度。
六、教学拓展：1. 引导学生探讨二倍角公式的推广，例如三倍角、四倍角公式。
2. 分析二倍角公式在实际问题中的应用，如测量、导航等领域。
七、课堂小结：2. 强调二倍角公式在解决实际问题中的重要性。
高中数学必修四二倍角正弦、余弦和正切公式教案
3．1．3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
【课题】：二倍角的正弦、余弦、正切公式
【学情分析】：同学们已经有了前两节的学习经验，所以学习这节知识并不困难。
可以放手让同学自己完成学习任务。
进一步培养同学解决问题的能力、探究问题的能力。
【教学目标】：
1.知识与技能目标：能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并理解它们的内在联系；能正确地对二倍角公式进行正用、逆用、变形使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，提高三角变形的能力以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
2．过程与方法目标：通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程；通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，使学生初步理解公式的结构及其功能，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3．情感、态度与价值观目标：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导，让学生感受事物之间的普遍联系规律，运用化归原理，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观；在公式的推导和转化过程中，让学生体会到数学的简洁美；通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
【教学重点】：二倍角公式的应用。
【教学难点】：二倍角公式的综合应用及公式的变形。
【课前准备】：指导学生预习、准备课件
【教学过程设计】：。
高中数学人教版必修二倍角的正弦、余弦、正切公式教案(系列五)
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式整体设计教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想.这一切教师要引导学生自己去做,因为，《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，否则就违背了新课标在这一章的编写意图和新课改精神.三维目标1.通过让学生探索、发现并推导二倍角公式,了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用.使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力.3.通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神.重点难点教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.安排1教学过程导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：sin2α=sin(αα)=sinαcosαcosαsinα=2sinαcosα的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.推进新课新知探究提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sinα吗？cos2α=2cosα吗？tan2α=2tanα？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβsin2α=2sinαcosα（S 2α）cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβcos2α=cos 2αsin 2α(C 2α)tan(αβ)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2αcos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ4π和α≠kπ2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ2π,k ∈Z 时,虽然tanα不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2πα是4π2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cosαsinα=cos4α，tan2α=2tanα(1tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sinα,则2sinαcosα=2sinα,即sinα=0或cosα=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cosα,则2cos 2α2cosα1=0,即cosα=231-(cosα=231+舍去). 若tan2α=2tanα,则aa 2tan 1tan 2-=2tanα,∴tanα=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）应用示例思路1例1 已知sin2α=135,4π<α<2π,求si n4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的二倍角,因此可以考虑用倍角公式.本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成.解:由4π<α<2π,得2π<2α<π.又∵sin2α=135, ∴cos2α=a 2sin 12--=1312)135(12-=--.于是sin4α=sin[2×(2α)]=2sin2αcos2α=2×135×(1312-)=169120- cos4α=cos[2×(2α)]=12sinα=12×(135)2=129119 tan4α=a a 4cos 4sin =(169120)×119169=119120-. 点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙、规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应用是高考的热点.变式训练1.不查表,求值:sin15°cos15°.解:原式=2615cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力.2.(2007年高考海南卷,9) 若22)4sin(2cos -=-πa a,则cosαsinα的值为……( ) A.27- B.21- C.21 D.27 答案:C3.(2007年高考重庆卷,6) 下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°cos15° B.cos 215°sin 215°C.2sin 215°1D.sin 215°cos 215°答案:B例2 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tanθ. 活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=+-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθ22cos cos sin cos 1cos sin +-+ =θθθθθθ22cos cos sin sin cos sin ++ )cos (sin cos )sin (cos sin θθθθθθ++=tanθ=右. 所以,原式成立.方法二:左= =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++=tanθ=右. 方法三:左=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+•++--•++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =)sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin θθθθθθθθθθθθ-+++-+++ =θθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin •+•+=tanθ=右.点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20° =20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233•• =.16120sin 1620sin 20sin 16160sin == 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A2B)的值. 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如ABC=π,0<A<π,0<B<π,0<C<π,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A2B 与A,B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A2B)的值改为求tan2C 的值.解：方法一:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA=A A cos sin =53×45=43, tan2A=724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A 又tanB=2,所以tan2B=.342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B 于是tan(2A2B)=.17744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A 方法二:在△ABC 中,由cosA=54,0<A<π,得 sinA=.53)54(1cos 122=-=-A 所以tanA==A A cos sin 53×45=43.又tanB=2, 所以tan(AB)=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A 于是tan(2A2B)=tan[2(AB)]=.11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用,本质上没有区别,其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考,以拓展学生的视野.变式训练化简：.4sin 4cos 14sin 4cos 1aa a a +-++解：原式＝aa a a a a 2cos 2sin 22sin 22cos 2sin 22cos 222++ =)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 2a a a a a a ++ =cot2α.知能训练(2007年高考四川卷,17) 已知cosα=71,cos(αβ)=1413,且0<β<α<2π, (1)求tan2α的值(2)求β.解:(1)由cosα=71,0<α<2π,得sinα=a 2cos 1-=.734)71(12=- ∴tanα=a a cos sin =17734⨯=43.于是tan2α=.4738tan 1342tan 1tan 222-=-⨯--aa a (2)由0<α<β<2π,得0<αβ<2π.又∵cos(αβ)=1413,∴sin(αβ)=.1433)1413(1)(cos 122=-=--βa 由β=α(αβ),得 cosβ=cos ［α(αβ)］=cosαcos(αβ)sinαsin(αβ)=71×14131433734⨯=21. ∴β=3π.点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.作业课本习题3.1 A 组15、16、17.课题小结1.先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题.在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的.。
《二倍角的正弦余弦正切公式》的教案使用
《二倍角的正弦余弦正切公式》的教案使用一、教学目标：1.知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导和运用；理解二倍角的概念和性质。
2.能力目标：能够运用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决相关问题。
3.情感目标：培养学生研究问题、探索规律的兴趣和能力。
二、教学重难点：1.重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导和运用。
2.难点：二倍角公式的推导过程和运用。
三、教学过程：Step 1：导入新知（10分钟）1.导入问题：老师出示一个直角三角形ABC，角A=45°，边长AC=1，求∠ACB的正弦、余弦、正切值。
2.引导思考：学生结合图形来讨论其正弦、余弦、正切值，并利用计算器计算数值。
Step 2：探究二倍角概念及其性质（15分钟）1.提问：若已知一个角的正弦、余弦、正切值，能否求出这个角的二倍角的正弦、余弦、正切值？为什么？2.引导学生思考：学生根据自己的经验和计算器的计算结果，尝试给出答案，并给出理由。
3.定义二倍角：老师出示定义“二倍角是指一个角的角度是另一个角的两倍”，并与学生共同探究二倍角的性质，并总结。
Step 3：推导二倍角的正弦、余弦、正切公式（30分钟）1.推导正弦二倍角公式：老师以正弦公式推导为例，将角A设为α，利用三角函数的定义及三角恒等式（正弦的平方加余弦的平方等于1）来求解sin2α，并根据利用角和公式（即角A的二倍角的正弦等于sinA的余弦和正弦的乘积）推导出sin2α的表达式。
2.推导余弦二倍角公式：老师以余弦公式推导为例，将角A设为α，利用三角函数的定义及三角恒等式（正弦的平方加余弦的平方等于1）来求解cos2α，并根据利用角和公式（即角A的二倍角的余弦等于cosA的余弦和正弦的乘积）推导出cos2α的表达式。
3.推导正切二倍角公式：老师以正切公式推导为例，将角A设为α，利用三角函数的定义及利用角的正弦和余弦的比值来求解tan2α，并根据利用角和公式（即角A 的二倍角的正切等于tanA的正切的平方减1的平方和2的倍积）推导出tan2α的表达式。
高一数学必修《二倍角的正弦、余弦、正切公式》优质课教学设计
课堂教学设计表课程名称二倍角的正弦、余弦、正切公式设计者单位（学校）授课班级章节名称 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学时 1学习目标课程标准：普通高中数学课程标准：一、（二）3.4；二、（一）2.5.6；四、（一）主题二3.（4）②；五、（二）。
本节（课）教学目标：知识和能力:能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
会用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决问题。
过程和方法:通过多媒体展示，对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
情感态度和价值观:通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
学生特征我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。
从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
学习目标描述知识点编号学习目标具体描述语句3.1.3-13.1.3-23.1.3-33.1.3-43.1.3-53.1.3-6知识和能力过程和方法情感态度和价值观1.能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2.会用二倍角的正弦、余弦、正切公式解决问题。
3.了解它们之间的内在联系。
1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识。
2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
项目内容解决措施教学重点将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件，如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
【新课标必修】《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教学案例
课题 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式教学目标：知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.能力目标：培养学生利用公式求值、化简的分析、转化、推理能力；情感态度与价值观：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.教学重点难点：1．重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；2．难点：二倍角的理解及其灵活运用。
教法与学法：1．教法选择：研究性学习方式——“设置问题情境，探索辨析，归纳应用，延伸拓展”；2．学法指导：类比、联想，产生知识迁移；观察、实验，体验知识的形成过程；猜想、求证，达到知识的延展。
教学过程：一、设置情境，激发探索二、归纳总结，变式演练三、归纳小结，课堂延展教学设计说明1．教材地位分析：本节的目的是让学生加深对向量的认识,更好地体会向量这个工具的优越性.对于向量方法,就思路而言,几何中的向量方法完全与几何中的代数方法一致,不同的只是用“向量和向量运算”来代替“数和数的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量,对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论,然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果.2．学生现实分析：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律3.不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。
课堂教学最终是为了让学生摆脱课堂,独立学习,所以不仅要让学生掌握数学的基础知识,更要让他们领悟科学的研究方法。
本节课所采用的科研式教学法体现了研究新问题的一般思路,让学生逐步领悟这种科学的研究方法,有利于他们今后能够更好地开展研究性学习活动4．让计算机和多媒体真正走入数学课堂,发挥它们的辅助作用。
二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案
二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式课型：新授课一、教学目标1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式；(2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。
2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。
3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。
二、教学重点、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、教学过程设计：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），（二）公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈（三）应用举例例1、已知5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 分析：已知条件给出了2α的正弦值。
二倍角的正弦余弦和正切公式教案
二倍角的正弦、余弦和正切公式
顺序课时
1
教
学
目
标
知识与能力
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用
过程与方法
学生探索
情感态度与价值观
教学重点
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式讨式教学、双案教学
知识流程
教师活动
学生活动
一、复习：两角和的正弦、余弦、正切公式
；
；
我们由此能否得到 的公式呢？
二、公式推导：
；
；
思考：把上述关于 的式子能否变成只含有 或 的式子呢？
；
．
．
注意：
三、例题讲解：
例1：已知 求 的值．
学生思考并回答
知识流程
教师活动
学生活动
例2：已知 求 的值．
例3：在 中， ，求 的值。
例4：已知 为第二象限角， ， 为第一象限角， 。
求 的值。
公开课《二倍角的正弦公式、余弦正切公式》教学设计
例 3（课本 P133 例 6）、在 ΔABC 中， cos A
4 , tan B 2 ，求 tan(2 A 2B) 的值。 5
讲评：此题两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学 生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野。 【设计意图：复习应用所学知识解简单三角综合问题，培养学生综合解题应用能力】
2、 （探索性提问）当上述公式中角 有特殊化关系
、
具
预设学生板书：
时，公式变为什么形式？
请一名学生到黑板上演示简化，其他同学在 座位上做。 3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果 （学生回答：左边角均为 4、引入正题 师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美 教师板书/放幻灯片 ，右边角均为 ，具有“二倍”关系）
式，另外逆用此公式时更要注重结构形式。 【设计意图： 使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识， 抓住重点难点， 关键进行课后复习巩固】 五、作业布置： 必做：教科书 138 习题 3.1A 组 14、15 【设计意图：培养学生自觉学习的习惯，检查学习效果，及时反馈，插漏补缺】
选做：用
余力的学生留出自我发展的空间，尝试能力，拓展创新】
申
请
书
我，叶新群，系学校高一级数学教师，因 2017 年 4 月 12 日星期三上午第 四节，承担本校高一（4）班一节题为《二倍角的正弦、余弦、正切公式》公开 课，特向学校申请录像机进行课堂录像，以进行个人教学工作研究。 恳请学校领导批准！
指出：尤其注意
成立的条件
【设计意图：引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件】
4、 （探索性提问）在 存在，能否用 求
二倍角公式公开课教案
二倍角的正弦、余弦、正切公式一、教学目标：1.学会利用S (α+β) C (α+β) T (α+β)推导出sin2α,cos2α,tan2α. 知道各公式 间的内在联系，认识整个公式体系的生成过程，从而培养逻辑推理能力。
2.记住并能正确运用二倍角公式进行求值、化简、证明；通过综合运用 公式，掌握基本方法，提高分析问题、解决问题的能力。
二、教学重难点：二倍角的公式的推导及灵活应用，倍角的相对性三、教学过程1、复习引入前面我们学习了和(差)角公式，现在请同学们回忆一下和角公式的内容： sin （α+β）=cos （α+β）=tan （α+β）=2、新科探究探究一、在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样的结果呢？sin2α=sin （α+α）= sin αcos α+cos αsin α= 2sin αcos αcos2α=cos （α+α）= cos αcos α－sin αsin α= cos 2α－sin 2αtan2α= tan （α+α）=tan α+ tan α1－tan αtan α =2tan α1－tan 2α 整理得:sin2α=2sin αcos αcos2α= cos 2α-sin 2αtan2α=2tan α1－tan 2α 注意：要使tan2α= 2tan α1－tan 2α 有意义，α须满足α∈﹛α∣α≠ k π+ π2，且α≠ k 2π+ π4﹜ 学以致用提问：对于cos2α的求解还有没有其它的办法探究二、cos2α的变形式利用公式sin 2α + cos 2α=1变形可得：cos2α = cos 2α－sin 2α=cos 2α－（1－cos 2α）=2cos 2α－1cos2α = cos 2α－sin 2α=（1－sin 2α ）－sin 2α =1－2sin 2α因此：cos2α = cos 2α－sin 2α1例.2tan ,2cos ,2sin ),20(,54cos 的值求若αααπαα<<=1cos 2,0290.9ααα︒︒=<<已知,求cos =2cos 2α－1=1－2sin 2α3、公式深化1、这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去。
第二高中数学 《二倍角的正弦余弦和正切公式》教案 必修
诚西郊市崇武区沿街学校第二中学高二数学3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目的以两角和正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为根底，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵敏运用.三、学法与教学用具学法：研讨式教学四、教学设想：〔一〕复习式导入：大家首先回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式，()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-．我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？〔学生自己动手，把上述公式中β看成α即可〕，〔二〕公式推导：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=； ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 考虑：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或者者cos α形式的式子呢？22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--． 注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+()k z ∈〔三〕例题讲解例1、5sin 2,,1342ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 解：由,42ππα<<得22παπ<<． 又因为5sin 2,13α=12cos 213α===-． 于是512120sin 42sin 2cos 221313169ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭； 225119cos 412sin 21213169αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭；120sin 4120169tan 4119cos 4119169ααα-===-．。
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式片段教学设计（人教A版本必修4 第三章第一节）教材的地位及作用:1.本节内容是三角函数中最基础的知识之一。
它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。
2.本节在本章中处于承上启下的地位。
3.三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。
它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。
教学目标：1、知识目标：以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2、能力目标：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
3、德育目标：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。
多媒体平台教学流程：复习引入，创设情境观察探究、推进新课引导探究、深化认识例题讲解、归纳步骤课堂练习、巩固提高课堂小结、构建体系课后作业、深化拓展1。
二倍角的正弦余弦正切公式教案
引导学生积极参与到推导过程当中
情感态度价值观：
树立辩证思维的能力，培养学生创新能力。
教学重点
以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式
教学难点
二倍角的理解及其灵活运用
教 学 内 容
操作细则
一、引入新课及学习目标展示［3分钟］
1.引入新课：一、复习准备：
大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
2.学习目标展示［2分钟］
1，会借助于两角和的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式
2，灵活运用二倍角公式进行简单的恒等变换.
二、自学指导［30分钟］
我们已经知道两角和的正弦、余弦、正切公式
；
；
．
思考：当 = 这些公式会变成怎么样呢？
新课教学：
；
；
思考：把上述关于 的式子能否化为只含有 或 形式的式子吗？ ； ．
4．若cos2= ,则sin4– cos4=.
三、计算题
四、选做题
导入部分：
激发学生学习兴趣，使学生对本节课要学内容有大概了解
使学生对本节课所学内容和要达到的目标有清晰的了解
根据课本思考老师
提出的问题，
并积极回答。
指导学生归纳小结
并进行本章内容整体衔接
清学稿中的练习题应精选择，针对性要强，梯度要好，关键是做好引导，步步深入。
3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式清学稿
一、选择题
1．已知sin cos = ，且 < < ,则cos －sin 的值为（）
A． B． C． D．
2．函数 是（）
A．最小正周期为2π的偶函数B．最小正周期为2π的奇函数
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二倍角的正弦、余弦和正切公式公开课教案
课题：3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
课型：新授课
一、教学目标
1. 知识与技能：(1)会推导二倍角的正弦，余弦，正切公式；
(2)灵活运用二倍角公式解决有关的求值，化简，证明等问题。
2. 过程与方法：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，理解推导 过程，掌握其应用。
3. 情感态度价值观：灵活运用有关公式解决相关的数学问题，感受三角问题的有关恒等变换，用联系，发展 的观点看问题。
二、教学重点、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、教学过程设计：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+
βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+
βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+=+ 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），
（二）公式推导：
()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；
()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；
思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？
22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；
22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα
+=+==--．
注意：2,22k k π
π
απαπ≠+≠+ ()k z ∈
（三）应用举例
例1、已知5sin 2,,1342
ππαα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值． 分析：已知条件给出了2α的正弦值。
由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式。
变式训练：（课本P135练习1）已知4cos
85α=-，812παπ，求sin 4α，cos 4α，tan 4α。
例2．在△ABC 中，5
4cos =A ，。
B A B 的值求)22tan(,2tan += 分析与思考：22A+B 与A ，B 之间能构成怎样的关系？ 变式训练：（课本P135练习）已知1tan 2,3α=
求tan α的值． 解析：22tan 1tan 21tan 3
ααα==-，由此得2tan 6tan 10αα+-=
解得tan 2α=-tan 2α=-
（四）课堂练习：教材P135练习
1. 求值：(1)sin15cos15︒︒ (2)22cos
sin 88ππ- (3)2tan 22.51tan 22.5︒-︒
(4)22cos 22.51︒-
（五）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，
学会灵活运用.
（六）作业布置：P138习题3.1 A 组 19
（七）教学反思：。