数学物理定解问题(第九章)2

2
x = ±1(θ = 0, π )的自然边界条件构成本征值问题，决定l只能取整数。
z
2.柱坐标系(x,y,z) (, ϕ,z) ρ∆u = 0在球坐标系下的形式为： 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u + 2 =0 (ρ ) + 2 (1) 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z 设（ρ , ϕ , z） R( ρ )Φ (ϕ ) Z ( z )代入(1)式,得 u =
ρ 2 d 2 R ρ dR Z '' + + ρ2 = λ (5) 2 R dρ R dρ Z
1 进一步将(5)式分解，用 并令λ = m 2 Z '' 1 d 2R 1 dR m 2 + − 2 =− = −µ R dρ2 ρR dρ ρ Z
(7)
d 2R d dR d 1 dR dt = ( )= ( ) 2 dρ dρ dρ dt ρ dt d ρ 1 d 2 R 1 1 dR = − 2 2 ρ dt ρ ρ dt d 2R − m2 R = 0 ⇒ dt 2 R = C1emt + C2 e − mt = C1 ρ m + C2 ρ − m
d 2 dR (r ) − l (l + 1) R = 0 (4) ⇒ R( r ) = Cr l + Dr − ( l +1) (7) dr dr 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1)Y = 0 (5) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题 9.1 特殊函数常微分方程
教学重点： 教学重点：
(一)拉普拉斯方程∆u = 0 对于方程∆u = 0，如为矩形边界条件,应采用直角坐标系:u xx + u yy = 0 如为圆形边界条件,应采用平面极坐标系:uρρ + 1 1
ρ
uρ +
ρ
2
uϕϕ = 0.
d 2 R 1 dR m2 具体求解(8)(9):Z ''− µ Z = 0(8), 2 + + ( µ − 2 ) R = 0 (9) dρ ρ dρ ρ (3)如µ < 0, 记µ = −ν 2 , 则：Z ''＋ν 2 Z = 0 ⇒ Z ( z ) = C cosν z + D sinν z 若附加z = z1和z = z2处(即柱体的上下底面)的齐次边界条件，则构成 本征值问题。 对于方程(9)，将µ = −ν 2 代入，并作代换x = νρ ,
对于不同的边界形状需选用合适的坐标系，那么对于球形和柱形边界 问题，我们需选用球坐标系和柱坐标系。 1.球坐标系
z
θ ϕ
(x,y,z)
r
(r,θ,ϕ) θϕ
x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ
y
2 2 2 2 r =x +y +z 2 2 θ = arctg ( x + y z ) y ϕ = arctg x
x
∆u = 0在球坐标系下的形式为： 1 ∂ 2 ∂u 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 =0 r 2 ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂ϕ 2 ∂r ∂θ (1)
可见u是r , θ , ϕ的函数，先把表示距离的变数r 跟表示方向的变数θ , ϕ 分离，设（r , θ , ϕ） R( r )Y (θ , ϕ ), 代入上式 u = Y d 2 dR R ∂ ∂Y R ∂ 2Y (r )+ 2 (sin θ )+ 2 2 =0 (2) 2 2 r dr dr r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ϕ r2 尽量将含r的项与含θ , ϕ的项分离 用 遍乘上式并移项,得 YR 1 d 2 dR 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y = l (l + 1) (r )=− (sin θ )− 2 2 R dr dr Y sin θ ∂θ ∂θ Y sin θ ∂ϕ
d 2 R 1 dR m2 具体求解(8)(9):Z ''− µ Z = 0(8), 2 + + ( µ − 2 ) R = 0 (9) dρ ρ dρ ρ (1)若常数µ = 0, 则方程(8)(9)的解为： R = E ρ m + F ρ − m , m = 1, 2,3... Z = C + Dz , (10) R = E + F ln ρ , m = 0 若µ ≠ 0(着重讨论此种情况) (2)如µ > 0, Z ( z ) = Ce
d 2 R ΦZ dR RZ ΦZ + + Φ ''+ RΦZ '' = 0 dρ2 ρ dρ ρ2 (2)
ϕ
ρ
y
x
ρ2
用
RΦZ ρ 2 d 2 R ρ dR ρ 2 1 + + Z '' = − Φ ''= λ R dρ2 R dρ Z Φ 遍乘上式并移项,得:
(3)
(4) Φ ''+ λΦ = 0 左边是ρ、z的函数，与ϕ 无关，右边只是ϕ的函数，与ρ、z无关， 2 2 Z '' ρ d R ρ dR 要使两边相等，除非两边等于同一个常数，记为λ.则分解为两个方程 + + ρ2 = λ (5) R dρ2 R dρ Z 本征值λ = m 2，m = 0,1, 2,... Φ ''+ λΦ = 0 构成本征值问题 （6） 本征函数Φ (ϕ ) = A cos mϕ + B sin mϕ Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) 自然周期条件
对于(5)式进一步分离变数：Y (θ , ϕ ) = Θ(θ )Φ (ϕ )代入球函数方程 Φ d dΘ Θ d 2Φ 得： (sin θ )+ 2 + l (l + 1)ΘΦ = 0 (8) 2 sin θ dθ dθ sin θ dϕ sin 2 θ 尽量分离含θ , ϕ的项， 用 乘以(8)式两边，并移项得 ΘΦ sin θ d dΘ 1 d 2Φ 2 得： (sin θ ) + l (l + 1) sin θ = − =λ (9) Θ dθ dθ Φ dϕ 2
一常数 µ = 0, m ≠ 0时：
d 2R dR ρ +ρ − m 2 R = 0，令ρ = et , dρ2 dρ d ρ dR dR dt 1 dR , = = 则t = ln ρ , dt = ρ d ρ dt d ρ ρ dt
2
ρ
dR 1 dR d 2 R 1 d 2 R 1 1 dR = = − , d ρ ρ dt d ρ 2 ρ dt 2 ρ ρ 2 dt d 2R = 0 ⇒ R = C1 + C2t = C1 + C2 ln ρ 2 dt
d Θ d Θ dx dΘ = = − sin θ , dθ dx dθ dx d dΘ d d Θ dx d dΘ (sin θ ) = (− sin 2 θ ) )( − sin θ ) = (− sin 2 θ dθ dθ dx dx dθ dx dx d m2 2 dΘ ∴ 方程12变形为： [(1 − x ) ] + [l (l + 1) − ]Θ = 0 dx dx 1 − x2
d m2 2 dΘ [(1 − x ) ] + [l (l + 1) − ]Θ = 0 2 dx dx 1− x
d 2Θ dΘ m2 ⇒ (1 − x ) 2 − 2 x + [l (l + 1) − ]Θ = 0 (13) 2 dx dx 1− x 称为l阶连带勒让德方程
2
在m = 0下，方程(13)成为 d 2Θ dΘ (1 − x ) 2 − 2 x + l (l + 1)Θ = 0 (14)称为l阶勒让德方程 dx dx 关于勒让德方程和连带勒让德方程的求解见P237$10.2,上述方程与在
Φ ''+ λΦ = 0，Φ (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ（11） )
Φ(ϕ ) = A cos λϕ + B sin λϕ = A cos mϕ + B sin mϕ (满足周期条件) λ = 0时，Φ (ϕ ) = C1ϕ + C2 ,当且仅当Φ (ϕ ) = C2才满足周期条件 q 2 + λ = 0, λ > 0时，q1， = ± λ i, 令λ = m 2， 2
左边是θ的函数，右边是ϕ的函数,两边要相等除非等于同一个常数，记为λ.
d dΘ sin θ (sin θ ) + [l (l + 1) sin 2 θ − λ ]Θ = 0(10) dθ dθ ⇒ d 2Φ Φ ''+ λΦ = 0 构成本征值问题 + λΦ = 0 ⇒ （11） dϕ 2 Φ(ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) 自然周期条件
d 2 dR (4) dr (r dr ) − l (l + 1) R = 0 1 ∂ ∂Y 1 ∂ 2Y (sin θ )+ 2 + l (l + 1)Y = 0 (5) 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ
2
对于(5)式， Y(θ , ϕ )与 Q 半径r无关，称为球面 函数(简称球函数). ∴(5)式称为球函数方程。
µz
+ De −
µz
(11)
对于方程(9)通常作代换：x = µ ρ , 将自变数从ρ换为x