数学物理方程及其定解问题
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什么是定解问题
§1.2 什么是定解问题1. 定解问题定解问题是根据已知物理规律求解特定物理过程的数学条件，它由泛定方程和定解条件两个部分组成，泛定方程也称为数学物理方程。
2. 泛定方程泛定方程是待解物理过程所遵循的物理规律的数学表达式，具体表现为某物理量关于时间和空间变量的偏微分方程，同一类物理过程遵循相同的物理规律，因此泛定方程反映一类物理过程的共性。
方程中物理量对时间变量的偏微分项反映物理过程的因果关联。
方程中物理量对空间变量的偏微分项反映物理过程的内部作用，或内在关联。
例1. 质点运动状态的演化问题在质点动力学问题中常求质点的运动轨迹，一旦求出运动轨迹，则一切与质点运动有关的物理量（如动能、动量、角动量等）都可求出。
质点的运动状态是由质点的位矢和动量完全确定，求质点运动轨迹的方法就是求解质点的运动状态随时间演变的过程，即由前一时刻的位矢和动量推算出下一时刻位矢和动量，从物理上看前后二时刻质点的运动状态的联系为dt t p m t r dt t r t r dt t r )(1)()()()(K K K K K +=+=+， dt t F t p dt t p t p dt t p )()()()()(K K K K K +=+=+ 因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程F t r m K K =)(满足初始条件“0000)(,)(v t r r t r K K K K ==”的解。
§1.3 定解条件。
一、初始条件初始条件描述特定物理过程的起因，就t 这个自变数而言，如果泛定方程中物理量u 对t 最高阶偏导数是n 阶偏导数n n tu ∂∂，则要确定具体的定解问题，需要n 个初始条件。
例1：均匀细杆的导热问题满足的泛定方程为02=−xx t u a u ，则要确定具体的导热问题的解只需一个初始条件：)(0x u t ϕ==，即要已知初始温度分布。
第11章：数学物理方程的定解问题
∂ 2u ∂ 2u − 2 =0 2 ∂t ∂x
25
令 得到 通解
ξ = x − t ;η = x + t
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
u = G (ξ ) + F (η )
波动方程的通解
u ( x, t ) = F ( x + t ) + G ( x − t )
u |t =0 = f ( x); u t |t =0 = g ( x)
两个任意函数：初始条件决定——Cauchy问题
1 1 x +t u ( x, t ) = [ f ( x − t ) + f ( x + t )] + ∫ g ( s)ds 2 2 x −t
26
定解问题 偏微分方程：求通解没必要、意义不大 求给定条件的特解 ——定解问题 边界条件 —系统与外部的相互作用 初始条件 —系统过去的历史
——五个未知数：ρ、 P、vx、vy、vz, 现有四 个方程。
14
（3）介质本构方程：描述压强 P=p+P0、密度 ρ （体积）和 熵 s 的关系，由热力学决定
P = P( ρ , s )
一般假定，声波振动是等熵过程，则 P = P( ρ ) 其中： ρ = ρ 0 + ρ ′ 。这三个方程是声波过程的基 本方程。 在无限小振动近似下
电磁波方程 描述参量：电场强度矢量 E; 磁感应强度矢量 B; 磁场强度矢量 H; 电位移矢量 D。 满足 Maxwell 方程组（无源情况）
∇ ⋅ B = 0; ∇ ⋅ D = 0; ∇ × E + ∂B ∂D = 0; ∇ × H − =0 ∂t ∂t
17
介质本构方程
B = µH ; D = εE
25
令 得到 通解
ξ = x − t ;η = x + t
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
u = G (ξ ) + F (η )
波动方程的通解
u ( x, t ) = F ( x + t ) + G ( x − t )
u |t =0 = f ( x); u t |t =0 = g ( x)
两个任意函数：初始条件决定——Cauchy问题
1 1 x +t u ( x, t ) = [ f ( x − t ) + f ( x + t )] + ∫ g ( s)ds 2 2 x −t
26
定解问题 偏微分方程：求通解没必要、意义不大 求给定条件的特解 ——定解问题 边界条件 —系统与外部的相互作用 初始条件 —系统过去的历史
——五个未知数：ρ、 P、vx、vy、vz, 现有四 个方程。
14
（3）介质本构方程：描述压强 P=p+P0、密度 ρ （体积）和 熵 s 的关系，由热力学决定
P = P( ρ , s )
一般假定，声波振动是等熵过程，则 P = P( ρ ) 其中： ρ = ρ 0 + ρ ′ 。这三个方程是声波过程的基 本方程。 在无限小振动近似下
电磁波方程 描述参量：电场强度矢量 E; 磁感应强度矢量 B; 磁场强度矢量 H; 电位移矢量 D。 满足 Maxwell 方程组（无源情况）
∇ ⋅ B = 0; ∇ ⋅ D = 0; ∇ × E + ∂B ∂D = 0; ∇ × H − =0 ∂t ∂t
17
介质本构方程
B = µH ; D = εE
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
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第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
习题11数学物理方程和定解条件
ρ + ε1Δ ρ ϕ +ε 2Δϕ
（ 0 < ε1 < 1 ， 0 < ε 2 < 1 ） ，
即
1
( ρ + Δρ )
Δu Δρ
−ρ
ρ + Δρ
Δu Δρ
ρ
ρ
Δρ
1 ∂ ρ ∂ρ
+
Δu 1 Δϕ
−
ϕ + Δϕ
Δu Δϕ
ϕ
ρ2
Δϕ
−
ρ m ∂ 2u
T ∂t 2
ρ + ε1Δρ ϕ + ε 2 Δϕ
=0
205．在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的吸收和增殖过程。设在单位时间 内单位体积中，吸收和增殖的中子数均正比于该时刻该处的中子浓度 u ( r , t ) ，因而净增中 子数可表为 α u ( r , t ) ， α 为比例常数。试导出 u ( r , t ) 所满足的方程。 用 q 表示单位时间流过某单位面积的中子数，有 q = − D∇u 。取一个六面体
− sin θ
θ +Δθ
∂u ⎤ 1 ⎛ ∂u k r + Δ ⎜ ⎥ ∂θ θ ⎦ Δϕ ⎜ ⎝ ∂ϕ
−
ϕ +Δϕ
= ρ ca 2 sin 2 θΔr
令 Δr , Δθ , Δϕ , Δt → 0 ，因为
Δu 。 Δt ⎡ ∂u ⎢sin (θ + Δθ ) ∂θ ⎣ − sin θ
θ +Δθ
1 Δθ
∂u ∂x
= 0 。由于左端点固定，故有 u
x=l
x=0
=0。
令（a）式中 t = 0 有 F − E S
∂u ∂x
第一章 三类典型方程和定解条件
a 其中，ij (x), bi (x), c x , f (x)都只是 x1 , x2, , xm 的已知 函数，与未知函数无关。
若一个函数具有某偏微分方程中所需 要的各阶连续偏导数，并且代入该方程中 能使它变成恒等式，则此函数称为该方程 的解（古典解）。 初始条件和边界条件都称为定解条件。 把某个偏微分方程和相应的定解条件 结合在一起，就构成了一个定解问题。 只有初始条件，没有边界条件的定解问题 称为始值问题（或柯西问题）。反之，只 有边界条件，没有初始条件的定解问题称 为边值问题。既有初始条件又有边界条件 的定解问题，称为混合问题。
数学物理方程
第一章 三类典型方程和定解条件 第二章 分离变量法 第三章 Laplace方程的格林函数法
第四章 贝塞尔函数及勒让德多项式
第一章 三类典型方程和定解条件
数学物理方程的研究对象——定解问题。 一个定解问题是由偏微分方程和相应的定解 条件组成。我们先来介绍三类典型的方程：
三类典型方程
一、波动方程 二、热传导方程
用以说明初始状态的条件称为初始条件。 用以说明边界上的约束情况的条件称为边 界条件。
一、初始条件
比如说波动方程（1.3）其初始条件有两 个，一个是参数u，一个是u的一阶导数。 即： u u t 0 及 都已知。 t
t 0
而热传导方程（1.7）其初始条件只有一 个，就是参数u。即：
Байду номын сангаасu t 0 是已知。
一个定解问题提的是否符合实际情况，从 数学角度来看，有三方面可以加以检验：
1、解的存在性，看定解问题是否有解。
2、解的唯一性，看是否只有一个解。
3、解的稳定性，看当定解条件有微小
变动时，解是否相应地只有微小的变 动，若确实如此，则称此解是稳定的。
数学物理方程及定解问题
这个初始问题有解
u( x, y) n2 sinh ny sin nx
数学物理方法2015.02
D 为扩散系数
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
稳定的温度场
a2u f ( x, y, z)
膜平衡方程
2u 2u a 2 2 f ( x, y ) x y
2
数学物理方法2015.02
第三节 位势方程
定解条件与定解问题的提法
第一类边界条件： u( x, y, z) g( x, y, z)
b u t2 b t2 u dx dx dt f0dx T0 ux (b, t ) ux (a, t ) dt a a t1 a t1 t t t2 t t t1 b
dt
t1
t2
b
a
数学物理方法2015.02
物理模型 在三维空间中，考虑均匀的、各向同性的物体。 假定它的内部有热源或汇，并且与周围的介质 有热交换，来研究物体内部温度的分布规律。 均匀物体： 物体的密度为常数 各向同性： 物体的比热和热传导系数均为常数
数学物理方法2015.02
第二节 热传导方程与扩散方程
数学模型的建立 设： u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 C 表示是比热 (焦耳/度· 千克) 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克· 秒)
数学物理方法2015.02
第一节 波动方程及定解条件
三维波动方程或声波方程
2 2u 2u 2u 2 u a 2 2 2 f ( x, y , z , t ) 2 t z x y
第1章 数学物理方程及定解问题
记 = a
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
2
T
ρ
, f (x, t) =
F(x, t)
ρ
, 得 力 用 ,弦 动 程 外 作 下 振 方 为
一维非齐次波动方程
∂ 2 u( x , t ) ∂ 2 u( x , t ) − a2 = f ( x , t ). 2 2 ∂t ∂x
二维波动方程或膜振动方程
一块均匀的紧张的薄膜，离开静止水平位置作垂直 于水平位置的微小振动，其运动规律满足
2 ∂ 2u ∂ 2u 2∂ u = a 2 + 2 + f ( x, y , t ) 2 ∂t ∂y ∂x
在时刻t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t ) ∫x ρ ∂t dx;
x + ∆x x
在时刻t + ∆t , 弦段[ x , x + ∆x ]的动量为 x + ∆x ∂u( x , t + ∆t ) dx . ∫x ρ ∂t
∫
=∫
∂u( x , t + ∆ t ) ∂u( x , t ) − ρ dx . ∂t ∂t
第一节 波动方程及定解条件
1.一维波动方程或弦振动方程 一维波动方程或弦振动方程
物理模型
一长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后， 开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振 求弦上个点的运动规律。 动，求弦上个点的运动规律。
张紧的、静止的弦是一直线，该直线是弦的 平衡位置，以此为 x 轴。振动总是传播到整 根弦，横振动就是弦中的质点离开平衡位置 的位移垂直于 x 轴， 可用 t 时刻弦上各质点 x 离开平衡位置的横向位移 u ( x, t ) 来描述弦的 状态， 某一时刻 u ( x, t ) 的分布代表弦的形状， 称为位形。由于弦中质点的位移不同导致弦 的形变，形变产生应力，为了便于应力的描 述，不妨假定所研究的弦为“柔软的”弦。
数学物理方程-福州大学-江飞-2.1热传导方程及其定解问题的导出
n
k
u n
k1 u
u1 uΒιβλιοθήκη k k1u nu1
一般形式：u
u n (x,y,z)
g(x, y, z,t)
或
u
u n
g
泛定方程：u t
a2
2u x2
2u y2
2u z2
f
柯 西
初始条件 u
a2u f
问 题
t0
初 边
u g
值边
热管道 1D : ut a2uxx f
t1
则有热源的热传导方程为 ut a2u f a2u F / c .
2. 扩散方程的导出
扩散物从浓度高流向浓度低
* Nerst扩散定律
在该点的扩散系数
扩散物在无穷小时段dt内沿法线方向流过一个无穷
小面积dＳ的质量dm与扩散物浓度沿曲面dＳ法线
方向的方向导数N 成正比，即
n
t1,t2
由能量守恒：Q流入 Q吸收
t2 k(x, y, z) udSdt
t1
n
N-L公式及交换下积分次
c(x, y, z)(x, y, z)[u(x, y, z,t2) u(x, y序, z,t1)]dxdydz
t2 t1
ctudxdydzdt
利用高维N-L积分公式，
左端 t2 k(x, y, z) udSdt
dm D(x, y, z) N dSdt
n
因此类似热方程推导：
t2 D(x, y, z) NdSdt
t1
n
(N(x, y, z,t2) N(x, y, z,t1))dxdydz
tN(x, y, z,t) x DxN x DyN x DzN
1写出定解问题——将物理问题表述成数学方程(2)求解定
f(x,t)称为力密度，方程的一般形式可写为 utt a2uxx f (x,t)
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为
l(1－2)，放手后自由振动。试写出该定
解问题的泛定方程。
➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0 而伸长，放手后自由振动。试写出该定解 问题的泛定方程。
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端在纵向
A 均匀弦的横振动，B 均匀杆的纵振动
② 输运方程 ut a2u 0
A 扩散方程，B 热传导方程
③ 稳定场方程 u 0
A 静电场方程，B 稳定浓度（温度）方程
作业
1.混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速 率正比于当时尚储存着的水化热密度Q，即
dQ bQ
dt
试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
➢ 二者的关系——能量守恒定律
crut q
2. 热流由空间各点的温度差异决定
➢ 二者的关系——热传导定律：热流与温度梯度成 正比 q ku
➢ 存在热源的热传导方程一般形式
• 考虑存在热源，热源强度为单位时间内单位体 积中产生的热量，记为F(x,y,z,t) ，则方程为
crut ku F (x, y, z,t)
从而得热传导方程：
ut
a 2u xx
q (x rc
x0 )
三、稳定场方程
A 静电场的电势分布
问题：设一个静电场的电荷密度分布为r，求
该静电场中的电势分布。
解：记电势为V (x, y, z) ，电势与电场强度之间有关系：
E V
静电场高斯定理：
E
dS
1
0
rdV
将积分高斯定理 E dS EdV 代入上式，有
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为
l(1－2)，放手后自由振动。试写出该定
解问题的泛定方程。
➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端受力F0 而伸长，放手后自由振动。试写出该定解 问题的泛定方程。
【例】 ➢ 长为l的均匀杆，一端固定，另一端在纵向
A 均匀弦的横振动，B 均匀杆的纵振动
② 输运方程 ut a2u 0
A 扩散方程，B 热传导方程
③ 稳定场方程 u 0
A 静电场方程，B 稳定浓度（温度）方程
作业
1.混凝土浇灌后逐渐放出“水化热”，放热速 率正比于当时尚储存着的水化热密度Q，即
dQ bQ
dt
试推导浇灌后的混凝土内的热传导方程。
➢ 二者的关系——能量守恒定律
crut q
2. 热流由空间各点的温度差异决定
➢ 二者的关系——热传导定律：热流与温度梯度成 正比 q ku
➢ 存在热源的热传导方程一般形式
• 考虑存在热源，热源强度为单位时间内单位体 积中产生的热量，记为F(x,y,z,t) ，则方程为
crut ku F (x, y, z,t)
从而得热传导方程：
ut
a 2u xx
q (x rc
x0 )
三、稳定场方程
A 静电场的电势分布
问题：设一个静电场的电荷密度分布为r，求
该静电场中的电势分布。
解：记电势为V (x, y, z) ，电势与电场强度之间有关系：
E V
静电场高斯定理：
E
dS
1
0
rdV
将积分高斯定理 E dS EdV 代入上式，有
数学物理方程：第1章 数学物理方程的定解问题
第1章 数学物理方程的定解问题§1.1 数学物理方程的一般概念本节讨论：①数学物理方程的基本概念，②三类基本方程的数学表示，③一些简单解法▲数学物理方程的任务与特点 数学物理方程（亦称数理方程）在数学上为二阶偏微分方程。
它的任务有两个方面：①寻找数学定解问题的求解方法，给出解的表达式和计算方法；②通过理论分析得出问题的通解或某些特解的一般性质。
数学物理方程有如下特点：①它紧密地、直接地联系物理学、力学与工程技术中的许多问题。
②它广泛地运用数学物理中许多的技术成果。
如：数学中的复变函数、积分变换、常微分方程、泛函分析、广义函数等等，物理学中的力学、电学、磁学、热力学、原子物理学、振动与波、空气动力学等等。
⒈ 一些基本概念数学物理方程是物理过程中的一些偏微分方程。
由于物理过程是十分复杂的，故它们的数学表达式也是十分广泛的。
本书不能将众多的数学物理方程一一讨论，仅讨论一些常用的二阶线性微分方程。
一般而言，二阶线性偏微分方程可写为2,11nn ij i i j i i j i u u Lu a b cu f x x x ==∂∂=++=∂∂∂∑∑ （1.1.1） 式中：自变量),,(1n x x x ⋅⋅⋅=，系数ij a 、i b 、c 为x 的函数或为常数，并且ji ij a a =。
由于式中关于未知函数u 的导数最高为二阶导数，故方程称为二阶微分方程；同样，由于x 为n 维向量，方程也称为n 维方程；由于方程中对u 的各阶偏导数为线性的，故称为线性方程，否则就称为非线性方程。
若系数ij a 、i b 、c 均为常数，则称为常系数方程，否则称为变系数方程；若0≡f ，则称为齐次方程，反之称为非齐次方程。
▲方程的数学形式 在所有的自变量i x 中，时间变量t 常常被使用，由于它的独特性，人们常常直接用t 表示而不置于i x 之中，关于t 的导数式为：22u u L u a b t t t∂∂=+∂∂ (1.1.2) 故上述方程可改写为：f Lu u L t += (1.1.3)上述方程习惯上也称为n 维方程。
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第二篇 数学物理方程
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
第二章定解问题
（k为热导率，与介质材料有关 ）
（3）热源强度（ 单位时间内单位体积源放出的热量）
F Q tV
3、建立方程： （1）在t时间内引起小段x的温度升高时，所需热量为
Q c( Ax)[u(x,t t) u(x,t)]
取 t 0
Q c Autxt
（2）在t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为
Q1(x) kux (x,t) At
l2
x
l
ut (x, t) t0 0
（2）如果泛定方程是关于时间变量 t 的 n 阶(n=1,2…) 方程，就必须给出 n 个初始条件，只有这样才可能给 出具体问题的定解。
例 长为 l 的细杆导热问题，设其初始温度均匀，记 为u0 ，试写出该过程的初始条件。 解：由题意，得
u(x,t) |t0 u0 , (0 x l)
1在?t时间内引起小段?x的温度升高时所需热量为qcaxuxttuxt??????取0t??tqcauxt????tq?2在?t时间内沿x轴正向流入x处截面的热量为1xqxkuxtat???3在?t时间内沿x轴由x?x处正向流出截面的热量为2xqxxkuxxtat???????4在?t内杆内热源在?x段产生的热量为qftaat??3qfxtaxat???根据能量守恒定律123qqqq???txxcauxtkuxtatkuxxtatfaxt?????????????xxtkuxxxuxtcufx???????令0x??取极限kf令0x??取极限txxuucc????txxudufxt??一维的热传导方程类似可得三维扩散热传导方程
所产生的扩散物质），试根据能斯特（Nernst)定律（通过界面d 流出的扩散物质为-Du d )和能量守恒定律导出扩散方程：
ut Du F, 其中D为扩散系数。
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
19九稳定浓度分布扩散方程随时间变化扩散运动将持续进行下去最终将达到稳定状态即u泊松方程如果在某一区域里无源无汇解满足方程laplace方程20十稳定温度分布热传导方程z不随时间变化热传导将持续进行下去最终将达到稳定状泊松方程如果在某一区域里无热源解满足方程21十一静电场电荷密度分布为xyz电场分布满足方程因此存在标量势uxyz代入上式有poisson方程
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
数学物理方程复习
数学物理方程复习一．三类方程及定解问题（一）方程1.波动方程（双曲型）Utt = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）;Ut (x,0)=Ψ2（x）。
2.热传导方程（抛物型）Ut = a2Uxx+f; 0<x<l,t>0U(0,t)= Φ1（t）;U(l,t)= Φ2（t）;U(x,0)= Ψ1（x）.3.稳态方程（椭圆型）Uxx +Uyy=f; 0<x<a;0<y<b;t>0.U(0,x)= Φ1（x）;U(b,x)= Φ2（x）;U(y,0)= Ψ1（y）;Ut (y,a)=Ψ2（y）。
（二）解题的步骤1.建立数学模型，写出方程及定解条件2.解方程3.解的实定性问题（检验）（三）写方程的定解条件1.微元法：物理定理2.定解条件：初始条件及边界条件（四）解方程的方法1.分离变量法（有界区域内）2.行波法（针对波动方程，无界区域内）3.积分变换法（Fourier变换Laplace变换）Fourier变换:针对整个空间奇：正弦变换偶：余弦变换Laplace变换：针对半空间4.Green函数及基本解法5.Bessel函数及Legendre函数法例一：在弦的横震动问题中，若弦受到一与速度成正比的阻尼，试导出弦阻尼振动方程。
解：建立如图所示的直角坐标系，设位移函数为U（x,t）,取任意一小段△x进行受力分析，由题设，单位弦所受阻力为b U t（b为常数），在振动过程中有△x所受纵向力为：（T2COSa2-T1COSa1）横向力为：（T2SINa2-T1SINa1-b U t(x+n△x））(0<n<1). T2,T1为△x弦两端所受的张力，又因为弦做横振动而无纵振动，由牛顿定律有T2COSa2-T1COSa1=0，T2SINa2-T1SINa1-b(x+n△x)U t=p U tt(x+n△x)△x在小的振动下SINa1≈TANa1=Ux(x,t), SINa2≈TANa2=Ux(x+△x,t),COSa2≈COSa1≈1,T=T1=T2.(ρ是密度)即(T/ρ)[ Ux (x+△x,t)- Ux(x,t)]/ △x-(b/ρ) U t(x+n△x，t)即令△x→0时有：U tt+ aU t=a2U xx例二：设扩散物质的源强（即单位时间内单位体积所产生的扩散物质）为F （x,y,z,t），试导出扩散方程。
数学物理方法第七章
x dx
相对伸长
u x
x
u x
x
x dx
F
x dx
x
由虎克定律，B两端的 张应力（单位横截面 的力）分别为
u ( x)
u ( x dx)
A
B
C
u u u B段运动方程为 YS ) 2 x dx YS x ( Sdx x x t Y u x x dx u x x utt dx
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析和牛顿运动定律： 2
沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+x
（ 1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下：
如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为
u dxdydzdt (u t dt u t )dxdydz du x , y , z dxdydz t u dxdydz t
u u u ( D )dxdydz ( D )dxdydz ( D )dxdydz x x y y z z u u u u { [ ( D ) ( D ) ( D )]}dxdydz 0 t x x y y z z
7.1 数学物理方程的导出
步骤：
1、明确要研究的物理量是什么？
从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 2、研究物理量遵循哪些物理规律？ 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
波动方程的导出
（一）均匀弦微小横振动方程 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附
数学物理方法 第7章 定解问题
u tt a 2 u f ( x , y , t ) ，其中 a
2
2
T
，
f ( x, y, t )
1
F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )
这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
2
2
T
，
f ( x, y, t )
1
F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )
这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 法
数学物理方程小结
1.6‘定解问题
utt − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = 0 (−∞ < x < +∞)
utt (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % Fourier变换 % Fourier % % 定解问题： u (λ , 0) = ϕ (λ ), ut (λ , 0) = 0 %
方程具有傅立叶正弦级数解
nπ x u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1
∞
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ An cos + Bn sin sin l l l n =1
∞
数学物理方程小结
1.2定解问题
utt − a 2u xx = 0 u x (0, t ) = 0, u x (l , t ) = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), u ( x, 0) = ψ ( x) (0 < x < l ) t
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 变 换 法 2.6’定解问题
ut − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), (−∞ < x < +∞)
Fourier 定解问题 解 Fourier
ut (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % % % % u (λ , 0) = ϕ (λ ),
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得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程是齐次的
1 x ( )d ,则 u( x, t ) ( x)( x at ) ( x)( x at ) 令 ( x) 2a 结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加。
9
3 4 sin 7 x( x ) 7 7 练习: 初位移 ( x) 0(其余)
第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
1.基本概念 a. 二阶偏微分方程: 若 u u ( x ,, x
1
a u
j 1 u xi cu f 0
i 1
n n
) ,如果方程可以表为:
,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程 b. 二阶线性偏微分方程: 若其中的系数只是自变量的函数，即 aij , bi , c, f只是 x1 ,, xn 的函数，则称为是线性的方程
2
c. 齐次二阶线性偏微分方程:
若
f 0 则称方程是齐次的
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
——达朗贝尔公式
7
例一.求解初值问题
utt a 2u xx 0 u ( x, 0) cos x ut ( x, 0) 2
8
讨论：达朗贝尔解的物理意义 I.只有初始位移时:
分析: 端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点自由，作偶延拓
( x)( x 0) ( x)( x 0) ( x) , ( x) ( x)( x 0) ( x)(x 0)
14
由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
16
分析: 端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点固定，作奇延拓
( x)(x 0) ( x)(x 0) ( x) , ( x) ( x)(x 0) ( x)(x 0)
11
由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。
1 [ ( x at ) ( x at )] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at) (at x)] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a at x
5
定解问题：
utt a u xx 0
2
u ( x, 0) ( x) ( x ) ut ( x, 0) ( x) ( x )
2. 求无界弦的自由振动方程 ⑴求偏微分方程的通解 分析范定方程的形式, 为表示的简化对称做变量代换:
x at, x at
1 2 [ ( x at ) ( x at )] 1 x at ( ) d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at ) ( at x)] 2 1 x at 1 at x ( )d ( )d (t x / a ); 0 0 2a 2a
解得
1 1 x 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 2a x0 2 1 1 x 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 2a x0 2
1 ( x at ) 代表以速度a沿x轴正向传播的波 2 1 ( x at ) 代表以速度a沿x轴负向传播的波 2
1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
II.只有初始速度时：
1 x at u ( x, t ) ( )d 2a x at
作业:P179,1.,5.
17
12
在初速为0的情况下， 如右图所示 右半边实线:左右两方向移动 的波 左半边细线:其奇延拓 端点的影响表现为反射波
反射波的相位跟入射波相 反,形成半波损失
13
2. 半无限长杆的自由振动 杆的端点自由
utt a u xx 0, (0 x )
2
定解问题:
u ( x, 0) ( x), (0 x ) ut ( x, 0) ( x), (0 x ) u x (0, t ) 0
10
二. 端点的反射 1. 半无界弦的自由振动
半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点 定解问题:
utt a u xx 0, (0 x )
2
u ( x, 0) ( x), (0 x ) ut ( x, 0) ( x), (0 x ) u (0, t ) 0
2.叠加原理 当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作 几个部分的解的线性叠加.
3
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
1.无限长的自由振动
满足达朗贝尔公式
2.端点的反射
半无限长弦的自由振动 延拓,利用达朗贝尔公式
半无限长杆的自由振动
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
(2)自由振动：弦不受强迫力的作用，振动是自由的 方程是齐次的
1 x ( )d ,则 u( x, t ) ( x)( x at ) ( x)( x at ) 令 ( x) 2a 结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波的叠加。
9
3 4 sin 7 x( x ) 7 7 练习: 初位移 ( x) 0(其余)
第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
1.基本概念 a. 二阶偏微分方程: 若 u u ( x ,, x
1
a u
j 1 u xi cu f 0
i 1
n n
) ,如果方程可以表为:
,即方程中偏导数的阶数是2次的,则称为二阶偏微分方程 b. 二阶线性偏微分方程: 若其中的系数只是自变量的函数，即 aij , bi , c, f只是 x1 ,, xn 的函数，则称为是线性的方程
2
c. 齐次二阶线性偏微分方程:
若
f 0 则称方程是齐次的
1 1 x at u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] ( )d 2 2a x at
——达朗贝尔公式
7
例一.求解初值问题
utt a 2u xx 0 u ( x, 0) cos x ut ( x, 0) 2
8
讨论：达朗贝尔解的物理意义 I.只有初始位移时:
分析: 端点自由。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点自由，作偶延拓
( x)( x 0) ( x)( x 0) ( x) , ( x) ( x)( x 0) ( x)(x 0)
14
由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
16
分析: 端点固定。不能直接应用达朗贝尔公式，扩大定义， 考虑端点固定，作奇延拓
( x)(x 0) ( x)(x 0) ( x) , ( x) ( x)(x 0) ( x)(x 0)
11
由达朗贝尔公式得到解，其中x≥0的部分即所讨论问题的解。
1 [ ( x at ) ( x at )] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at) (at x)] 2 1 x at ( )d (t x / a ); 2a at x
5
定解问题：
utt a u xx 0
2
u ( x, 0) ( x) ( x ) ut ( x, 0) ( x) ( x )
2. 求无界弦的自由振动方程 ⑴求偏微分方程的通解 分析范定方程的形式, 为表示的简化对称做变量代换:
x at, x at
1 2 [ ( x at ) ( x at )] 1 x at ( ) d (t x / a ); 2a x at u 1 [ ( x at ) ( at x)] 2 1 x at 1 at x ( )d ( )d (t x / a ); 0 0 2a 2a
解得
1 1 x 1 f1 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 2a x0 2 1 1 x 1 f 2 ( x) ( x) ( )d [ f1 ( x0 ) f 2 ( x0 )] 2 2a x0 2
1 ( x at ) 代表以速度a沿x轴正向传播的波 2 1 ( x at ) 代表以速度a沿x轴负向传播的波 2
1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] 2
II.只有初始速度时：
1 x at u ( x, t ) ( )d 2a x at
作业:P179,1.,5.
17
12
在初速为0的情况下， 如右图所示 右半边实线:左右两方向移动 的波 左半边细线:其奇延拓 端点的影响表现为反射波
反射波的相位跟入射波相 反,形成半波损失
13
2. 半无限长杆的自由振动 杆的端点自由
utt a u xx 0, (0 x )
2
定解问题:
u ( x, 0) ( x), (0 x ) ut ( x, 0) ( x), (0 x ) u x (0, t ) 0
10
二. 端点的反射 1. 半无界弦的自由振动
半无界的弦只有一个端点,设端点在坐标原点 定解问题:
utt a u xx 0, (0 x )
2
u ( x, 0) ( x), (0 x ) ut ( x, 0) ( x), (0 x ) u (0, t ) 0
2.叠加原理 当泛定方程和定解条件都是线性的，可以把定解问题的解看作 几个部分的解的线性叠加.
3
7.4 达朗贝尔公式 定解问题
1.无限长的自由振动
满足达朗贝尔公式
2.端点的反射
半无限长弦的自由振动 延拓,利用达朗贝尔公式
半无限长杆的自由振动
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性