九年级数学第一学期期末试卷

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北京市东城区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷及解析

北京市东城区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若关于x的一元二次方程220-+=有一个根为0，则m的值为()x x mA．2B．1C．0D．1-2．下列图形中是中心对称图形的是（）A．正方形B．等边三角形C．直角三角形D．正五边形3．关于二次函数2=-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）y x2(4)6A．有最大值4B．有最小值4C．有最大值6D．有最小值6 4．一只不透明的袋子中装有3个黑球和2个白球，这些除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件是确定事件的为（）A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球5．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（）A．180（1﹣x）2=461B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442D．368（1+x）2=4426．如图，在O中，AB是直径，弦AC的长为5，点D在圆上，且30∠=︒，则OADC的半径为（）7．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC ，BD 分别与⊙O 切于点C ，D ，延长AC ，BD 交于点P ．若120P ∠=︒，⊙O 的半径为6cm ，则图中CD 的长为（）A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．4π cm8．如图，正方形ABCD 和O 的周长之和为20cm ，设圆的半径为cm x ，正方形的边长为cm y ，阴影部分的面积为2cm S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是（）A ．一次函数关系，一次函数关系B ．一次函数关系，二次函数关系C ．二次函数关系，二次函数关系D ．二次函数关系，一次函数关系二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为_________．10．把抛物线2112y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为_______．11．请写出一个常数c 的值，使得关于x 的方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，则c 的值可以是____________．12．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是______．（结果精确到0.1）13．以⊙ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A 点坐标为（﹣2，1），则C 点坐标为_____．14．如图，在⊙O 中，AB 切⊙O 于点A ，连接OB 交⊙O 于点C ，过点A 作AD ⊙OB 交⊙O 于点D ，连接CD ．若⊙B =50°，则⊙OCD 的度数等于___________．15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积12=（弦×失+失²）．弧田（图中阴影部分）由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为120︒，半径等于4米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积约为______ 米2． 1.73）16．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形,4,2ABCD AB AD ==，中心为O ，在矩形外有一点P ，3OP =，当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为__________．三、解答题17．下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A 在O 上．求作：O 的切线AB ．作法： ⊙作射线OA ；⊙以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交射线OA 于点C 和点D ；⊙分别以点C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧交点B ； ⊙作直线AB ．则直线AB 即为所求作的O 的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：连接BC ，BD ．由作图可知，AC AD =，BC = ．⊙BA OA ．⊙ 点A 在O 上，⊙直线AB 是O 的切线( ) (填写推理依据) ．18．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，若4AB =，求CD 的长.19．下面是小聪同学用配方法解方程：2240x x p --=()0p >的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．2240x x p --=解：移项，得：224x x p -=．⊙二次项系数化为1，得：222p x x -=．⊙ 配方，得2212p x x -+=．⊙ 即2(1)2p x -=. ⊙0p >，⊙1x -=⊙⊙11x =11x =⊙ (1)第⊙步二次项系数化为1的依据是什么？(2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解．20．如图，已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点A (0，﹣5)，B (5，0)．（1）求b ，c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．求点M 的坐标；21．如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，B ，O 均为格点(每个小正方形的顶点叫做格点)．(1)作点A 关于点O 的对称点1A ；(2)连接1A B ，将线段1A B 绕点1A 顺时针旋转90︒得到线段11A B ，点B 的对应点为1B ，画出旋转后的线段11A B ；(3)连接1AB ，1BB ，求出1ABB 的面积（直接写出结果即可）．22．2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号飞行乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富讲了又一堂精彩的太空科普课．这场充满奇思妙想的太空授课，让科学的种子在亿万青少年的心里生根发芽．小明和小亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”、“巡天飞船”等模块．他们决定先从“梦圆天路”、“飞天英雄”、“探秘太空”三个模块中随机选择一个进行学习，分别设这三个模块为A ，B ，C ，用画树状图或列表的方法求出小明和小亮选择相同模块的概率．23．已知关于x 的一元二次方程()22120x m x m +++-=．(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)当该方程的判别式的值最小时，写出m 的值，并求出此时方程的解．24．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系2()y a x h k =-+(0)a <．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()y a x h k =-+(0)a <； (2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d _____ 2d (填“＞”“＝”或“＜”)．25．如图，点C 在以AB 为直径的O 上，CD 平分ACB ∠交O 于点D ，交AB 于点E ，过点D 作DF AB 交CO 的延长线于点F ．(1)求证：直线DF 是O 的切线；(2)若30A ∠=°，AC =DF 的长．26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --都在该二次函数图象上，⊙请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“=”“<”填空）；⊙若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB AC BC ∠=︒=，，D 为AC 延长线上一点，连接BD ，将线段BD 绕点D 逆时针旋转90︒得到线段DE ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，连接AE ．(1)依题意补全图形；(2)比较AF 与CD 的大小，并证明；(3)连接BE ，G 为BE 的中点，连接CG ，用等式表示线段CD CG BC ，，之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，我们给出如下定义：将图形M 绕直线3x =上某一点P 顺时针旋转90︒，再关于直线3x =对称，得到图形N ，我们称图形N 为图形M 关于点P 的二次关联图形．已知点()0,1A ．(1)若点P 的坐标是()3,0，直接写出点A 关于点P 的二次关联图形的坐标________；(2)若点A 关于点P 的二次关联图形与点A 重合，求点P 的坐标（直接写出结果即可）；(3)已知O 的半径为1，点A 关于点P 的二次关联图形在O 上且不与点A 重合．若线段1AB =，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在O 及其内部，求此时 P 点坐标及点B 的纵坐标B y 的取值范围．参考答案：1．C【分析】将0x =代入方程220x x m -+=，即可求解．【详解】解：⊙关于x 的一元二次方程220x x m -+=有一个根为0，⊙0m =，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将0x =代入方程是解题的关键．2．A【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A 、是中心对称图形，本选项正确；B 、不是中心对称图形，本选项错误；C 、不是中心对称图形，本选项错误；D 、不是中心对称图形，本选项错误．故选A ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180度后与原图形重合．3．D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：⊙在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6），⊙函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．4．A【分析】列出摸出的三个球的颜色的所有可能情况即可．【详解】根据题意可得，摸出的三个球的颜色可能为：两个白球，一个黑球；一个白球，两个黑球；三个黑球，则可知摸出的三个球中，至少有一个黑球，故必然事件是至少有一个黑球，故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的产量将达到461万只”，即可得出方程．【详解】解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解题关键．6．B【分析】连接BC,由题意易得30ABC ADC∠=∠=︒，在Rt ACB中解三角形求解．【详解】连接BC,ABC ADC∴∠=∠=︒30在O中，AB是直径，ACB∴∠=︒，90在Rt ACB中，∠=︒，3090ACBAC=ABC∠=︒，5==AB AC210OA=5故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30︒直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理及含30︒直角三角形的性质是解题的关键．7．B【分析】连接OC 、OD ，利用切线的性质得到90OCP ODP ∠=∠=︒，根据四边形的内角和求得60COD ∠=︒，再利用弧长公式求得答案．【详解】连接OC 、OD ，,AC BD 分别与O 相切于点C ，D ，⊙90OCP ODP ∠=∠=︒，120360P OCP ODP P COD ∠=︒∠+∠+∠+∠=︒，，⊙60COD ∠=︒，CD ∴的长6062(cm)180ππ⨯==，故选：B【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．8．B 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到152y x π=-+，再根据S S S =-阴影正方形圆得到2215254S x x πππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由此即可得到答案．【详解】解：⊙正方形ABCD 和O 的周长之和为20cm ，圆的半径为cm x ，正方形的边长为cm y ，⊙4220y x π+=， ⊙152y x π=-+， ⊙S S S =-阴影正方形圆， ⊙22222211552524S y x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，故选B ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键．9．(0,5)【分析】令0x =，代入抛物线245y x x =-+，得到点C 的纵坐标，即可得解．【详解】解：依题意，令0x =，得到5y =，故抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C 的坐标为(0,5)，故答案为：(0,5)【点睛】本题考查了二次函数与y 轴交点问题，令0x =，即可得到抛物线与y 轴交点的纵坐标．10．21(1)22y x =+- 【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．【详解】解：抛物线2112y x =+，向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到()211132y x =++- 即()21122y x =+- 故答案为：()21122y x =+-．【点睛】本题主要考查函数图像的平移；熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．11．0，（答案不唯一，1c <即可）．【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c 的取值范围即可得到答案．【详解】解：因为方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，所以2Δ240c =->解得1c <故答案为：0，（答案不唯一，1c <即可）【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式；熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．12．0.9【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】⊙幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902，⊙估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9，故答案为：0.9．【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．13．（2，﹣1）【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据⊙ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【详解】解：⊙⊙ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），⊙点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点睛】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．14．20°##20度【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到⊙OAB=90°，则利用互余可计算出⊙AOB=40°，再利用圆周角定理得到⊙ADC=20°，然后根据平行线的性质得到⊙OCD的度数．【详解】解：连接OA，如图，⊙AB切⊙O于点A，⊙OA⊙AB，⊙⊙OAB=90°，⊙⊙B=50°，⊙⊙AOB=90°-50°=40°，⊙⊙ADC =12⊙AOB =20°， ⊙AD ⊙OB ，⊙⊙OCD =⊙ADC =20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 15．8.92【分析】由题意可知OC AB ⊥于D ，交圆弧于C ，由题意得4AO =米，120AOB ∠=︒解得122OD OA ==米，再求出CD ，最后由勾股定理得到AD ，由垂径定理求出AB 即可得出结果．【详解】解：如图，由题意可知，120AOB ∠=︒，AB CD ⊥，4OA OB ==（米），30,90DAO ADO ∴∠=︒∠=︒，12AD BD AB == 122OD OA ∴==（米） 422CD OC OD ∴=-=-=（米）AD ∴=2AB AD ∴==∴弧田面积()212AB CD CD =⨯+ ()21222=⨯+2=8.92≈（平方米）故答案为：8.92【点睛】本题考查了勾股定理以及垂径定理的应用；熟练掌握垂径定理是解答本题的关键．16．32d ≤【分析】根据题意分别求出当OP 过AB 的中点E 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PE =；当OP 过顶点A 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PA =；当OP 过顶点AD 边中点F 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PF =，即可求解．【详解】解：如图，当OP 过AB 的中点E 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PE =，112OE AD ==，⊙2d PE OP OE ==-=；如图，当OP 过顶点A 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PA =，矩形,4,2ABCD AB AD ==，中心为O ，⊙2,90BC AD B ==∠=︒，⊙AC ==，⊙12OA AC ==⊙3d AP OP OA ==-=如图，当OP 过顶点AD 边中点F 时，此时点P 与矩形ABCD 上所有点的连线中，d PF =，122OF AB ==，⊙1d PF OP OF ==-=；综上所述，点P 到矩形的距离d 的取值范围为32d ≤．故答案为：32d ≤≤【点睛】本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出临界点时点d 的值是解题的关键．17．(1)见解析；(2)BD ；⊥；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【详解】（1）补全图形如图所示，（2）证明：连接BC ，BD ．由作图可知，AC AD =，BC BD =．⊙BA OA ⊥，⊙ 点A 在O 上，⊙直线AB 是O 的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：BD ；⊥；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．18．CD =【分析】由垂径定理得到CE DE =，推出CE OE =，在Rt COE △中，利用勾股定理即可求解.【详解】解：如图，连接OC ．⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CE DE =．又⊙2CD OE =，⊙CE OE =．⊙4AB =，⊙2OC =．在Rt COE △中，222CE OE OC +=， ⊙CE ⊙CD =【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．19．(1)等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等(2)不正确，解答从第⊙步开始出错，1x =2x =【分析】（1）根据等式的性质2即可写出依据；（2）根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解．【详解】（1）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；（2）不正确，解答从第⊙步开始出错，正确的步骤为：配方，得22112p x x -+=+．⊙ 即22(1)2p x +-=⊙0p >，⊙1x -=⊙⊙1x =2x =．⊙此方程的解为1x =2x = 【点睛】本题考查等式的性质和解一元二次方程，解题的关键是读懂材料，明确每一步的做题依据．20．（1）4b =-，5c =-；（2）交点M 的坐标为（2，-3）．【分析】（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式，求解方程组即可；（2）设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将点A 、点B 坐标代入函数解析式求解确定解析式，然后根据（1）中确定二次函数解析式，求出其对称轴，求两条之间交点即可确定点M 的坐标．【详解】解：（1）将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：50255c b c-=⎧⎨=++⎩，解得：45b c =-⎧⎨=-⎩， ∴4b =-，5c =-；（2）设直线AB 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将点A 、点B 坐标代入函数解析式可得：505b k b -=⎧⎨=+⎩，解得：15k b =⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为：5y x =-，由（1）得二次函数解析式为：245y x x =--，对称轴为：22b x a=-=，直线5y x =-与2x =的交点为M ，∴当2x =时，=3y -，∴交点M的坐标为（2，-3）．【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定二次函数与一次函数解析式，两条直线的交点问题，二次函数的基本性质，理解题意，熟练运用待定系数法确定解析式是解题关键．21．(1)见解析(2)见解析(3)8【分析】（1）根据网格的特点作出点A关于点O的对称点1A；A B，即可求解；（2）根据题意，画出旋转后的线段11（3）根据网格的特点，以及三角形面积公式求得面积即可求解．【详解】（1）解：如图所示，点1A即为所求；A B即为所求；（2）解：如图所示，线段11（3）解：如图所示，118282ABB S =⨯⨯=．【点睛】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，网格中求三角形面积，数形结合是解题的关键．22．13【分析】先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出小明和小亮选择相同模块的结果，然后利用概率公式计算即可得．【详解】解：由题意，画树状图如下：由图可知，所有等可能的结果共有9种，其中，小明和小亮选择相同模块的结果有3种．则小明和小亮选择相同模块的概率为3193P ==，答：小明和小亮选择相同模块的概率为13．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．23．(1)见解析(2)0m =，122,1x x =-=【分析】（1）判断判别式的符号，即可得证；（2）求出判别式的值最小时的m 的值，再解一元二次方程即可．【详解】（1）证明：⊙22(21)4(2)49m m m ∆=+-⨯-=+，⊙20m ≥，⊙2Δ490m =+>．⊙无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）解：由题意可知，当0m =时，249m ∆=+的值最小．将0m =代入2(21)20x m x m +++-=，得220x x +-=解得：122,1x x =-=．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程．熟练掌握判别式与根的个数的关系，以及解一元二次方程的方法，是解题的关键．24．(1)2.95，20.08(4) 2.95y x =--+(2)＞【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值，并利用待定系数法得到抛物线解析式；（2）设着陆点的纵坐标为0，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标即为 1d 和2d ，然后进行比较即可．【详解】（1）解：由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为(42.95)，，所以实心球竖直高度的最大值为2.95，设抛物线的解析式为：2(4) 2.95y a x =-+，将点(01.67)，代入，得1.6716 2.95a =+，解得0.08a =-，⊙抛物线的解析式为：20.08(4) 2.95y x =--+；（2）解：第一次抛物线解析式为20.08(4) 2.95y x =--+，令0y =，得到4x =（负值舍去），第二次抛物线的解析式为20.09( 3.8) 2.97y x =--+，令0y =，得到 3.8x =+（负值舍去） 2954 3.88+ 12d d ∴>，故答案为：>【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．25．(1)见解析(2)FD =【分析】（1）连接OD ，证明DF OD AB OD ⊥⊥，，可得结论；（2）再Rt ACB △中，30A ∠=︒，AC =4AB =，2OD =，再在Rt ODF △中，由60F ∠=︒，继而求得FD ；【详解】（1）证明：连接OD ．⊙ AB 是O 的直径，CD 平分ACB ∠，AD DB ∴=⊙ 90AOD BOD ∠=∠=︒.又⊙ FD AB ∥，⊙ 90ODF BOD ∠=∠=︒．即 OD DF ⊥．⊙ 直线DF 为O 的切线．（2）解：⊙ AB 是O 的直径，⊙90ACB ∠=︒．又⊙30A ∠=︒，AC =⊙ 4AB =．⊙ 2OD =．⊙ AO CO =，30ACO A ∴∠=∠=︒⊙ 60COB A ACO ∠=∠+∠=︒.⊙ DF AB ，⊙ 60F ∠=︒,30FOD ∴∠=︒，设,FD x =则22OF FD x ==，又2OD =，在Rt ODF △中，由勾股定理得：22224x x +=，解得：x =故FD = 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．26．(1)抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3，对称轴2x =(2)⊙=； ⊙3154a -≤<-【分析】（1）0x =，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；（2）⊙根据题意可得点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，即可求解；⊙根据题意可得点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧，然后分两种情况：当0a >时，当a<0时，即可求解．【详解】（1）解：令0x =，则3y =，⊙抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3 ．对称轴422a x a-=-=．（2）解：⊙ ⊙函数图象的对称轴为直线2x =，⊙点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，⊙12y y =，故答案为：=；⊙⊙函数图象的对称轴为直线2x =，3112>>->-，⊙点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧．当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，⊙1234y y y y =<<，不合题意．当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则1234y y y y =>>，1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值可以满足12340y y y y >=≥>，⊙340,0y y ≥<，即当=1x -时，3430y a a =++≥，当2x =-时，44830y a a =++<．解得 3154a -≤<-．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27．(1)见解析(2)AF CD =，见解析 (3)BC CD =，见解析【分析】（1）根据旋转的性质画图即可；（2）根据旋转的性质以及等腰直角三角形可以得到全等三角形，再根据全等三角形的性质即可求出结论；（3）根据题意画出已知图形，再根据图形得到全等三角形，利用全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质即可求出结论．【详解】（1）解：补全图形如图所示（2）解：AF CD =，理由如下：⊙EF AD ⊥⊙90EFD ∠=︒⊙90ACB ∠=︒⊙EFD BCD ∠=∠⊙90ACB ∠=︒⊙90CBD CDB ∠∠=︒＋由题意可知，90BDE ∠=︒⊙90EDF BDC ∠∠=︒＋⊙EDF CBD ∠=∠在EFD △和DCB △中EDF CBD EFD DCB ED BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙EFD △⊙()AAS DCB⊙EF CD DF BC ==，⊙BC AC =⊙AC DF =⊙AF CD =（3）解：BC CD = 理由如下：连接DG ，FG⊙ DE BD =，G 为BE 的中点，90BDE ∠=︒⊙EG BG DG ==， 90DGB ∠=︒⊙90EFD DGE ∠=∠=︒⊙GEF CDG ∠=∠在EFG 和DCG △中EF DC GEF CDG EG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩⊙EFG ⊙SAS DCG （）⊙FG CG =，EGF DGC ∠=∠⊙90EGF EGC DGC EGC ∠+∠=∠+∠=︒即 90CGF ∠=︒⊙CGF △为等腰直角三角形 ⊙CF⊙ BC AC AF CF ==+，AF CD ＝ ⊙BC CD =【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等相关知识点，掌握全等三角形的性质和旋转的性质是解题的关键．28．(1)()2,3(2)()3,2-(3)()3,3-，12，102B y ≤≤【分析】（1）根据二次关联图形的定义分别找到A '和A ''，过点A '作A D x '⊥轴于点D ，可证得AOP PDA '≌，从而得到1,3OA PD OP A D '====，即可求解；（2）根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，过点A '作A F x '⊥轴交EP 延长线于点F ，坐标为m ，表达点A '的坐标，可得出结论；（3）由（2）可知，点A ''的坐标，由A 关于点P 的二次关联图形在O 上且不与点A 重合可得出点A ''的坐标，由线段1AB =，其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在O 及其内部，找到临界点B ''，可得出B ''的坐标，进而可得出点B 的坐标，即可得出B y 的取值范围．【详解】（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到A '和A ''，过点A '作A D x '⊥轴于点D ，⊙90A DP AOP '∠=∠=︒由旋转可知，90,APA AP A P ''∠=︒=，⊙90APO A PD A PD PA D '''∠+∠=∠+∠=︒，⊙APO PA D '∠=∠，⊙()AAS AOP PDA '≌，⊙1,3OA PD OP A D '====，⊙()4,3A '，⊙点A '和A ''关于直线3x =对称，⊙点()2,3A ''，即点A 关于点P 的二次关联图形的坐标为()2,3；故答案为：()2,3（2）解：根据题意得：点P 位于x 轴的下方，设点P 的纵坐标为m ，如图，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，过点A '作A F x '⊥轴交EP 延长线于点F ，由（1）得： AEP PFA '≌，⊙1,3AE PF m EP A F '==-==，⊙()4,3A m m '-+，根据题意得：点A 和点A '关于直线3x =对称，⊙46m -=，解得：2m =-，⊙点P 的坐标为()3,2-，（3）解：设点P 的纵坐标为n ，由（2）得：()4,3A n n '-+，⊙()2,3A n n ''++，⊙A ''在在O 上，⊙()()22231n n +++=，解得：2n =-（舍去）或3-，⊙点P 的坐标为()3,3-，⊙1AB =，AB 其关于点P 的二次关联图形上的任意一点都在O 及其内部，此时点B ''是一个临界点，连接OB ，如图，⊙1OA A B OB ''''''''===，⊙OA B ''''是等边三角形，过点B ''作B M x ''⊥轴于点M ，则12A M OM ''==，⊙B M ''=⊙1,2B ⎛''- ⎝⎭，⊙13,2B ⎛' ⎝⎭，⊙12B ⎫⎪⎝⎭，由对称性得：另一个点的坐标为12B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，⊙B y 的取值范围为102B y ≤≤．【点睛】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．。

陕西省西安市交通大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

A ．B ．．． 2．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为框宽度忽略不计），其中较小的内角为A ．4B ．3．一元二次方程的根的情况为（A ．有两个不相等的实数根D ．无法确定3223210x x --=A ．25．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为A ．B ．13A ．10．点在二次函数A ．最大值二．填空题（本大题共14．如图，在矩形段上移动，并与意一点，连接90︒(),A m n 4-ABCD EF EF ,AN CM三．解答题（本大题共1115．计算：(1)；(2)18．已知：如图，点为对角线点，．求证：．19．为贯彻落实党的二十大精神，全面建设社会主义现代化国家、兴，某校团委举办以“无悔青春献祖国，接力奋斗新时代赛，九年级（2）班的王伟和孙莉两人文采相当，且都想代表班级参赛，于是班长制作了()0π3128-+--2cos30tan60sin45cos45︒-︒+︒O ABCD Y E F DE BF =21．西安丰庆公园是现代生态景观与历史文化景观融为一体的皇家园林，园内的最高建筑．某数学活动小组想测量怡心阁的高度心阁的高度：小明沿后退到F 恰好看到标杆顶端22．类比一次函数的研究思路，九年级“励志”行探究．下面是他们的探究过程，请补充完整：(1)列表：下表是与的几组对应值，则的值为01654210BD x y m x ⋅⋅⋅5-4-3-2-1-y ⋅⋅⋅m(3)函数的图象和直线的交点坐标是______．23．如图，四边形是的内接四边形，为直径，点为弧的中点，延长交于点，为的切线．(1)求证：；(2)若，求的长．24．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，连接，将线段绕着点逆时针旋转，点的对应点为点．(1)求经过三点的抛物线的表达式；(2)将抛物线沿着轴平移到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形，若存在，求平移的方式．若不存在，说明理由．|1|y x =-2y =ABCD O e BD D AC AD BC 、E DF O e CDF EDF ∠=∠2DF EF ==AD A ()4,2OA OA O 90︒A B ,,B O A L L x L 'L 'D ,,,B O A D图2图3【详解】解：观察图形可得，其主视图是3．A【分析】本题考查了根的判别式，根据题意算出根的判别式即可得；掌握根的判别式即可得．【详解】解：，23210x x --=在Rt ACD中，tan C故选B．【点睛】本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．7．C【分析】根据二次函数的性质判断出【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，9．B【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，∠的圆周角相等得到ADC=【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，每个内角都相等．13．48【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合．1求得相似比为，利用相似比求得∵平行于轴，∴轴，∴，∵，∴，AC x BAC ∠BD x ⊥BAC BDO ∽△△2OC BC =13BC BA BO BD ==18．详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，再证明线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，OEA OFC ∠=∠AOE ≌△△AD AE BC CF -=-ABCD依题意，∴，∵，∴，∴，设，2, 1.5,EM FD MD EF MN ====3 1.5 1.5CM CD MD =-=-=CM AN ∥CME ANE V V ∽CM EM AN EN=AN x =；（3）解：把代入中得：，解得：或，∴函数的图象和直线的交点坐标是：23．(1)见详解(2)【分析】（1）由“直径所对的圆周角等于”和圆周角定理可得2y =|1|y x =-|1|2x -==1x -3x =|1|y x =-2y =390︒设与交于点，∵是等腰直角三角形，AB OD M (),D m n BOA △（2）如图所示，连接AC、（3）如图所示，过点D作DH⊥。

2022-2023学年山东省济南市九级九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题4分，共48分）1．在平面直角坐标系中，点P （m ，1）与点Q （﹣2，n ）关于原点对称,则m n 的值是（）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．22．下列二次根式是最简二次根式的是（）A ．18B ．13C ．10D ．0.33．服装店为了解某品牌外套销售情况，对各种码数销量进行统计店主最应关注的统计量是（） A ．平均数 B ．中位数 C ．方差 D ．众数4．如图，平面直角坐标系中，()()()8,0,8,4,0,4A B C --，反比例函数k y x=的图象分别与线段,AB BC 交于点,D E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k =（）A ．20-B ．16-C ．12-D ．8-5．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．6．已知关于x 的方程（m +4）x 2+2x ﹣3m ＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．m ＜﹣4B ．m ≠0C ．m ≠﹣4D ．m ＞﹣47．已知如图ABC 中，点O 为BAC ∠，ACB ∠的角平分线的交点，点D 为AC 延长线上的一点，且AD AB =，CD CO =，若138∠=︒AOD ，则ABC ∠的度数是（）．A ．12︒B ．24︒C ．48︒D ．96︒8．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若12AB BC =，则DE EF=（）A ．12B ．13C ．23D ．19．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A ．2B 2C 2D ．110．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定 11．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +=（） A ．12 B ．1 C 5 D 512．若反比例函数2k yx （k 为常数）的图象在第二、四象限，则k 的取值范围是（） A ．2k <-B ．2k >-且0k ≠C ．2k >D ．2k <且0k ≠二、填空题（每题4分，共24分）13．超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为______元．14．若二次函数25(0)y ax bx a =-+≠的图像经过点(2,2)，则242017b a -+的值是_______．15． “上升数”是一个数中右边数字比左边数字大的自然数（如：34，568，2469等）．任取一个两位数，是“上升数”的概率是_________ ．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是______(结果保留π).17．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数是_____．18．某班级准备举办“迎鼠年，闹新春”的民俗知识竞答活动，计划A、B两组对抗赛方式进行，实际报名后，A组有男生3人，女生2人，B组有男生1人，女生4人，若从两组中各随机抽取1人，则抽取到的两人刚好是1男1女的概率是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知△ABC，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，EF是BD的中垂线，且分别交BC于点E，交AB于点F，交BD于点K，连接DE，DF．（1）证明：DE//AB；（2）若CD=3，求四边形BEDF的周长．20．（8分）一个盒子中装有两个红球，一个白球和一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，请你用列表法和画树状图法求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率（说明：红色和蓝色能配成紫色）21．（8分）为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学生就一期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图．试根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图；（2）若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式（含“非常喜欢”和“喜欢”两种情况的学生）．22．（10分）某校综合实践小组要对一幢建筑物MN 的高度进行测量.如图，该小组在一斜坡坡脚A 处测得该建筑物顶端M 的仰角为45︒，沿斜坡向上走20m 到达B 处，（即20AB m =）测得该建筑物顶端M 的仰角为30.已知斜坡的坡度3:4i =，请你计算建筑物MN 的高度（即MN 的长，结果保留根号）.23．（10分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC=8cm ，BC=6cm . 点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm /s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm /s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t (s).（1）当PQ ∥AC 时，求t 的值；（2）当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.24．（10分）如图，已知抛物线经过坐标原点O 和x 轴上另一点E ，顶点M 的坐标为()2,4．矩形ABCD 的顶点A 与点O 重合，AD 、AB 分别在x 轴、y 轴上，且AD =2，AB =1．（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD 以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x 轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P 也以相同的速度从点A 出发向B 匀速移动，设它们运动的时间为t 秒(03)t ≤≤，直线AB 与该抛物线的交点为N (如图2所示)． ①当52t =，判断点P 是否在直线MB 上，并说明理由； ②设P 、N 、C 、D 以为顶点的多边形面积为S ，试问S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．25．（12分）先化简，再求值：2111x y x y xy y⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中x 52，y 5 2. 26．已知，直线23y x =-+与抛物线2y ax =相交于A 、B 两点，且A 的坐标是(3,)m -（1）求a ，m 的值；（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】已知在平面直角坐标系中，点P (m ,1)与点Q(﹣2,n )关于原点对称，则P 和Q 两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可求得m ，n ，进而求得m n 的值．【详解】∵点P (m ,1)与点Q(﹣2,n )关于原点对称∴m=2，n=-1∴m n =-2故选：A【点睛】本题考查了直角坐标系中，关于原点对称的两个点的坐标特点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 2、C【解析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可.【详解】A. ，故不是最简二次根式；B. ，故不是最简二次根式；C. ，是最简二次根式；D. ，故不是最简二次根式；故选C.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式.3、D【分析】根据题意，应该关注哪种尺码销量最多.【详解】由于众数是数据中出现次数最多的数，故应该关注这组数据中的众数.故选D【点睛】本题考查了数据的选择，根据题意分析，即可完成。

江苏省南京市秦淮区2023-2024学年上学期期末检测九年级数学试卷(含解析)

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg 4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（）A．0B．C．D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝ °．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为环．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是．2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；D、y＝，不是二次函数，不符合题意．故选：B．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，故选：C．3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（）A．0B．C．D．2【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．故答案为：．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数　60°或120°　．【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB 是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，则∠ACB＝∠AOB＝60°；如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°；故答案为：60°或120°．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝　80　°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°∴∠DCE＝∠A＝80°故答案为：80．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程　36（1﹣x）2＝25　．【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，36（1﹣x）2＝25，故答案为：36（1﹣x）2＝25．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　15π　cm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为　8　环．【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．【解答】解：由题意可得，x1+x2+x3＝3×7＝21，∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6＝48÷6＝8（环），即这6箭的平均成绩为8环，故答案为：8．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为　3﹣　．【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵D为的中点，直径AD交BC于点E，∴AD⊥BC，∴BE＝BC＝，∵AD＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，∴32＝OE2+，∴OE＝或OE＝﹣（舍去），∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，故答案为：3﹣．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为　y＝x2﹣2x　．【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为　13　．【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝3﹣x，x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出y1和y2即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，，解得，所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝﹣1时，；当x＝4时，；∴y1＞y2．故答案为：＞．19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设边AB边的长为x m，由题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，答：边AB的长为5m．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为　3　．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，解得：AC＝3．故答案为：3．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是　2　；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，∴，解得a＝2，经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．故答案为：2．（2）列表如下：白红红白（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，红）（红，红）红（红，（红，（红，白）红）红）共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，∴2次摸到的球颜色不同的概率为．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；（2）如图②，∠APB为所作；23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是　⑤　．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；（2）对照表格可得答案；（3）参照天气情况图可得答案．【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，故答案为：⑤；（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100x2+3400x﹣24000＝﹣100（x﹣17）2+4900．∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．∴每月最大利润为147000元．答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，∴xy＝4ab，将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，即，∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；如下图所示：（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，∴b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，∵x＝3a，∴，∴．∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是　0≤d＜2　．【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，连接AD，BE，AE，CE，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴＝＝，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，又∵D，E分别是，的中点，∴＝＝＝，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，∴DE∥AB，∴∠DAB＝∠EBA＝90°，∴DA⊥AB，EB⊥AB，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE；证明：（2）在（1）的条件下，∵∠ACB＝60°，FG∥AB，∴∠CFG＝∠CGF＝60°，∴△CFG为等边三角形，∴CF＝FG＝CG，又∵∠CED＝∠ECB＝30°，∴CG＝GE，∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，∴BG＝2GE＝2FG，∵AB＝AF+CF，∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；解：（3）连接OB，作OM⊥AB，∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，∴点O与点I的距离d为0，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴劣弧对的圆心角为120°，∴∠OBM＝30°，又∵AB＝6，∴OB＝2，∵OI≤OB+IB，∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，∵点C不与A，B两点重合，∴OI＜2，∴0≤d＜2，故答案为：0≤d＜2．。

人教版九年级数学上册期末测试题附答案

人教版九年级数学上册期末测试题附答案九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）1．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放篮球比赛B．守株待兔C．明天是晴天D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球2．一元二次方程2某2﹣某+1=0的一次项系数和常数项依次是（）A．﹣1和1B．1和1C．2和1D．0和13．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．方程2某（某﹣3）=5（某﹣3）的根是（）A．某=B．某=3C．某1=，某2=3D．某1=﹣，某2=35．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）A．25πB．65πC．90πD．130π7．如图，抛物线y1=﹣某2+4某和直线y2=2某，当y1＜y2时，某的取值范围是（）A．0＜某＜2B．某＜0或某＞2C．某＜0或某＞4D．0＜某＜48．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．1B．3C．﹣1D．﹣39．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）A．5%B．20%C．15%D．10%10．某1，某2是关于某的一元二次方程某2﹣m某+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在11．若函数，则当函数值y=8时，自变量某的值是（）A．±B．4C．±或4D．4或﹣12．如图为二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④△＞0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是．14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是．15．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF：S△ABC=．16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．17．将抛物线y=某2﹣2向上平移一个单位后，又沿某轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是．18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=某2﹣2某﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为．三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）19．（1）解方程：某2﹣3某+2=0．（2）已知：关于某的方程某2+k某﹣2=0①求证：方程有两个不相等的实数根；②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．20．（1）解方程：+=；（2）图①②均为7某6的正方形网络，点A，B，C在格点上．（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．22．用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米（1）若围成的面积为72米2，球矩形的长与宽；（2）菜园的面积能否为120米2，为什么？23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．24．如图，在平面直角坐标系某Oy中，直线y=某+2与某轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=a某2+b某+c的对称轴是某=﹣且经过A，C两点，与某轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直某轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共36分，每小题给出四个答案中，只有一个符合题目要求）1．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机，正在播放篮球比赛B．守株待兔C．明天是晴天D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球【考点】随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，A不正确；守株待兔是随机事件，B不正确；明天是晴天是随机事件，C不正确；在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．一元二次方程2某2﹣某+1=0的一次项系数和常数项依次是（）A．﹣1和1B．1和1C．2和1D．0和1【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式进行选择．【解答】解：一元二次方程2某2﹣某+1=0的一次项系数和常数项依次是﹣1和1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：a某2+b某+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中a某2叫二次项，b某叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【专题】常规题型．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了中心对称及轴对称的知识，解题时掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．方程2某（某﹣3）=5（某﹣3）的根是（）A．某=B．某=3C．某1=，某2=3D．某1=﹣，某2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先把方程变形为：2某（某﹣3）﹣5（某﹣3）=0，再把方程左边进行因式分解得（某﹣3）（2某﹣5）=0，方程就可化为两个一元一次方程某﹣3=0或2某﹣5=0，解两个一元一次方程即可．【解答】解：方程变形为：2某（某﹣3）﹣5（某﹣3）=0，∴（某﹣3）（2某﹣5）=0，∴某﹣3=0或2某﹣5=0，∴某1=3，某2=．故选C．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：先把方程右边化为0，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=60°，则∠ABO的大小为（）A．30°B．40°C．45°D．50°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠AOB=120°，再根据三角形内角和定理可得答案．【解答】解：∵∠ACB=60°，∴∠AOB=120°，∵AO=BO，∴∠B=÷2=30°，故选：A．【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是（）A．25πB．65πC．90πD．130π【考点】圆锥的计算；勾股定理．【专题】压轴题；操作型．【分析】运用公式=πlr（其中勾股定理求解得到母线长l为13）求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，∴AB==13，∴母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是=πlr=13某5某π=65π．故选B．【点评】要学会灵活的运用公式求解．7．如图，抛物线y1=﹣某2+4某和直线y2=2某，当y1＜y2时，某的取值范围是（）A．0＜某＜2B．某＜0或某＞2C．某＜0或某＞4D．0＜某＜4【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，再根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的某的取值范围即可．【解答】解：联立，解得，，∴两函数图象交点坐标为（0，0），（2，4），由图可知，y1＜y2时某的取值范围是0＜某＜2．故选A．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．8．已知点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，则a+b的值为（）A．1B．3C．﹣1D．﹣3【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，进而得到答案．【解答】解：∵点A（1，a）、点B（b，2）关于原点对称，∴b=﹣1，a=﹣2，a+b=﹣3，故选：D．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．9．王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（）A．5%B．20%C．15%D．10%【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设定期一年的利率是某，则存入一年后的本息和是5000（1+某）元，取3000元后余[5000（1+某）﹣3000]元，再存一年则有方程[5000（1+某）﹣3000]（1+某）=2750，解这个方程即可求解．【解答】解：设定期一年的利率是某，根据题意得：一年时：5000（1+某），取出3000后剩：5000（1+某）﹣3000，同理两年后是[5000（1+某）﹣3000]（1+某），即方程为[5000（1+某）﹣3000]（1+某）=2750，解得：某1=10%，某2=﹣150%（不符合题意，故舍去），即年利率是10%．故选D．【点评】此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和=本金某（1+利率某期数），难度一般．10．某1，某2是关于某的一元二次方程某2﹣m某+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在【考点】根与系数的关系．【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，某1+某2=m，某1某2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵某1，某2是关于某的一元二次方程某2﹣m某+m﹣2=0的两个实数根，∴某1+某2=m，某1某2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程某2﹣m某+m﹣2=0即为某2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果某1，某2是方程某2+p某+q=0的两根时，那么某1+某2=﹣p，某1某2=q．11．若函数，则当函数值y=8时，自变量某的值是（）A．±B．4C．±或4D．4或﹣【考点】函数值．【专题】计算题．【分析】把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．【解答】解：把y=8代入函数，先代入上边的方程得某=，∵某≤2，某=不合题意舍去，故某=﹣；再代入下边的方程某=4，∵某＞2，故某=4，综上，某的值为4或﹣．【点评】本题比较容易，考查求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．12．如图为二次函数y=a某2+b某+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④△＞0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴某=1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，故本选项错误；②由对称轴为某==1，∴﹣=1，∴b=﹣2a，则2a+b=0，故本选项正确；③由图象可知，当某=1时，y＞0，则a+b+c＞0，故本选项正确；④从图象知，抛物线与某轴有两个交点，∴△＞0，故本选项错正确；⑤由图象可知，当某=﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项正确；【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案直接填写在题中横线上）13．小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是．【考点】概率公式．【分析】由小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．其中能被4整除的有4，8，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小明制作了十张卡片，上面分别标有1～10这是个数字．其中能被4整除的有4，8；∴从这十张卡片中随机抽取一张恰好能被4整除的概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是1：2．【考点】正多边形和圆．【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．【解答】解：如图所示：∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为a，∴等边三角形的高为a，∴该等边三角形的外接圆的半径为a∴同圆外切正三角形的边长=2某a某tan30°=2a．∴周长之比为：3a：6a=1：2，故答案为：1：2．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三角形的性质求解，关键是构造正确的直角三角形．15．△ABC中，E，F分别是AC，AB的中点，连接EF，则S△AEF：S△ABC=．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】由E、F分别是AB、AC的中点，可得EF是△ABC的中位线，直接利用三角形中位线定理即可求得BC=2EF，然后根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，EF=4，∴EF是△ABC的中位线，∴BC=2EF，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴S△AEF：S△ABC=（）2=，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟记三角形的中位线的性质是解题的关键．16．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是8mm．【考点】相交弦定理；勾股定理．【专题】应用题；压轴题．【分析】根据垂径定理和相交弦定理求解．【解答】解：钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，则下面的距离就是2．利用相交弦定理可得：2某8=AB某AB，解得AB=8．故答案为：8．【点评】本题的关键是利用垂径定理和相交弦定理求线段的长．17．将抛物线y=某2﹣2向上平移一个单位后，又沿某轴折叠，得新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是y=﹣某2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先确定抛物线y=某2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），再根据点平移的规律和关于某轴对称的点的坐标特征得到（0，﹣2）变换后的对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出新抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=某2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），点（0，﹣2）向上平移一个单位所得对应点的坐标为（0，﹣1），点（0，﹣1）关于某轴的对称点的坐标为（0，1），因为新抛物线的开口向下，所以新抛物线的解析式为y=﹣某2+1．故答案为【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y=某2﹣2某﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为3+．【考点】二次函数综合题．【分析】连接AC，BC，有抛物线的解析式可求出A，B，C的坐标，进而求出AO，BO，DO的长，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的长，进而可求出CD的长．【解答】解：连接AC，BC，∵抛物线的解析式为y=某2﹣2某﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，设y=0，则0=某2﹣2某﹣3，解得：某=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AOBO=3，∴CO=，∴CD=CO+OD=3+，故答案为：3+．【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键．三、解答题（本大题共6个小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或推理步骤）19．（1）解方程：某2﹣3某+2=0．（2）已知：关于某的方程某2+k某﹣2=0①求证：方程有两个不相等的实数根；②若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．【考点】根的判别式；解一元二次方程-因式分解法．【分析】（1）把方程某2﹣3某+2=0进行因式分解，变为（某﹣2）（某﹣1）=0，再根据“两式乘积为0，则至少一式的值为0”求出解；（2）①由△=b2﹣4ac=k2+8＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根；②首先将某=﹣1代入原方程，求得k的值，然后解此方程即可求得另一个根．【解答】（1）解：某2﹣3某+2=0，（某﹣2）（某﹣1）=0，某1=2，某2=1；（2）①证明：∵a=1，b=k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=k2﹣4某1某（﹣2）=k2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；②解：当某=﹣1时，（﹣1）2﹣k﹣2=0，解得：k=﹣1，则原方程为：某2﹣某﹣2=0，即（某﹣2）（某+1）=0，解得：某1=2，某2=﹣1，所以另一个根为2．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程a某2+b某+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．也考查了用因式分解法解一元二次方程．20．（1）解方程：+=；（2）图①②均为7某6的正方形网络，点A，B，C在格点上．（a）在图①中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）．（b）在图②中确定格点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）【考点】利用旋转设计图案；解分式方程；利用轴对称设计图案．【分析】（1）化分式方程为整式方程，然后解方程，注意要验根；（2）可画出一个等腰梯形，则是轴对称图形；（3）画一个矩形，则是中心对称图形．【解答】解：（1）由原方程，得5+某（某+1）=（某+4）（某﹣1），整理，得2某=9，解得某=4.5；（2）如图①所示：等腰梯形ABCD为轴对称图形；；（3）如图②所示：矩形ABDC为轴对称图形；．【点评】此题比较灵活的考查了等腰梯形、矩形的对称性，是道好题．21．一只不透明袋子中装有1个红球，2个黄球，这些球除颜色外都相同，小明搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，用树状图或列表法列出摸出球的所有等可能情况，并求两次摸出的球都是黄色的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球都是黄球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有4种情况，∴两次摸出的球都是红球的概率为：．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，墙长为18米（1）若围成的面积为72米2，球矩形的长与宽；（2）菜园的面积能否为120米2，为什么？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设垂直于墙的一边长为某米，则矩形的另一边长为（30﹣2某）米，根据面积为72米2列出方程，求解即可；（2）根据题意列出方程，用根的判别式判断方程根的情况即可．【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长为某米，则某（30﹣2某）=72，解方程得：某1=3，某2=12．当某=3时，长=30﹣2某3=24＞18，故舍去，所以某=12．答：矩形的长为12米，宽为6米；（2）假设面积可以为120平方米，则某（30﹣2某）=120，整理得即某2﹣15某+60=0，△=b2﹣4ac=152﹣4某60=﹣15＜0，方程无实数解，故面积不能为120平方米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．23．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D，E分别是∠ACB 的平分线与⊙O，直径AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】切线的判定．【分析】（1）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°，则可利用勾股定理计算出AC=8；由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°，根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°，则△ADB为等腰直角三角形，由勾股定理即可得出AD的长；（2）连结OC，由PC=PE得∠PCE=∠PEC，利用三角形外角性质得∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，加上∠CAB=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，于是可得到∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，则∠OCE+∠PCE=90°，于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线．【解答】解：（1）连结BD，如图1所示，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AB=10cm，BC=6cm，∴AC==8（cm）；∵DC平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DBA=45°∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD=AB=5（cm）；（2）PC与圆⊙O相切．理由如下：连结OC，如图2所示：∵PC=PE，∴∠PCE=∠PEC，∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°，而∠CAB=90°﹣∠ABC，∠ABC=∠OCB，∴∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣（∠OCE+45°）+45°，∴∠OCE+∠PCE=90°，即∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解决问题的关键．24．如图，在平面直角坐标系某Oy中，直线y=某+2与某轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=a某2+b某+c的对称轴是某=﹣且经过A，C两点，与某轴的另一交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直某轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据自变量与函数值的对应关系，可得M点坐标．【解答】解：（1）当某=0时，y=2，即C（0，2），当y=0时，某+2=0，解得某=﹣4，即A（﹣4，1）．由A、B关于对称轴对称，得B（1，0）．将A、B、C点坐标代入函数解析式，得，解得，抛物线的解析式为y=﹣某2﹣某+2；（2）抛物线上是存在点M，过点M作MN垂直某轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，如图，设M（m，﹣m2﹣m+2），N（m，0）．AN=m+4，MN=﹣m2﹣m+2．由勾股定理，得AC==2，BC==．当△ANM∽△ACB时，=，即=，解得m=0（不符合题意，舍），m=﹣4（不符合题意，舍）；当△ANM∽△BCA时，=，即=，解得m=﹣3，m=﹣4（不符合题意，舍），当m=﹣3时，﹣m2﹣m+2=2，即M（﹣3，2）．综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直某轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（﹣3，2）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用相似三角形的性质得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．。

人教版九年级上册数学期末检测试卷(含答案)

人教版九年级上册数学期末检测试卷一、选择题（每题3分，共24分） 1. 已知⊙O 的半径为6cm ，点O 到直线l 的距离为7cm ，则直线l 与O 的位置关系是（） A. 相交 B. 相离 C. 相切 D. 无法确定2. 线段2cm ，8cm 的比例中项为 cm 。

（） A. 4 B. 4.5 C. ±4 D. ±83. 如图,已知直线a //b//c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F 、AC=3，CE=6，BD=2，DF= （） A. 4 B.4.5 C. 3 D. 3.54. 张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为米. （） A. 3.2 B. 4.8 C.5.2 D. 5.6第3题图第8题图5. 把抛物线y =2x ²向左平移2个单位，则平移后抛物线对应的函数表达式是（） A. y=2x ²+2 B. y=2（x-2）² C. y=2x ²+2 D. y=2（x+2）²6. 在△ABC 中，若|21sinA -|+（cosB 22-）²=0，则∠C 的度数是（） A. 45° B. 75° C. 105° D. 120°7. 如下图，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的为（）8. 如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在直线l3，l4，l2，l1上。

若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB =5，BC =3，则tan α的值为（） A. 103 B. 53C. 126D. 25二、填空题（每题3分，共24分）9. 二次函数y=（x-1）²+2的顶点坐标为。

10. 已知扇形的圆心角为120°，半径为2厘米，则这个扇形的弧长为厘米。

人教版九年级上册数学期末考试试卷带答案

人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．在下列二次函数中，图象的开口向下，顶点坐标为（－2，－1）的是（） A ．22()1y x =-+ B ．2(2)1=---y x C ．2(2)1y x =++D ．2(2)1y x =-+-3．下列事件中，是必然事件的是（）A ．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中B ．13个人中至少有两个人生肖相同C ．车辆经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．明天一定会下雨 4．反比例函数1y x=-的图象不经过（）A ．第一、二象限B ．第二、四象限C ．第一、四象限D ．第一、三象限 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，36ACO ∠=︒，则B 的度数等于（）A ．36°B ．44°C ．54°D ．60°6．一元二次方程22560x x p -+-=的根的情况是（）A ．没有实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．无法确定 7．把函数()212y x =-+的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A ．()211y x =++B ．()231y x =-+C ．()213y x =++ D ．()233y x =-+8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，115BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是（）A ．130°B ．120°C ．1l5°D ．105°9．如图，P 是等边ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转60°到1BP ，已知1150APB ∠=︒，11:1:2P A PC =，则1:PB P A =（）A B ．2:1 C ．3:1 D10．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是()1,n ，以下结论：⊙0abc >；⊙30a c +<；⊙520a b c -+>；⊙()24b a c n =-．正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．已知二次函数21y x =+，当0x <时，y 随x 的增大而________．（填“增大”或“减小”） 12．为了估计鱼塘中鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞200条鱼，在每条鱼身上做好标记后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，发现其中50条鱼有标记，则鱼塘中鱼的条数大约有________条．13．如图，以点O 为圆心的两个同心圆的半径分别等于3和6，大圆的弦AB 是小圆的切线，则AB =________．14．如果m 是方程210x x -+=的一个根，那么代数式()1m m -的值等于________． 15．点()1,2A a +和点()3,1B a -均在反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象上，则=a ________．16．已知一个圆锥的母线长为3cm ，它的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面圆的半径等于________cm ．17．如图，ABC 的内切圆⊙O 分别与AB ，AC ，BC 相切于点D ，E ，F ．若90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则⊙O 的半径等于________．三、解答题18．解方程：(25)410x x x -=-19．一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为A ，B ，C ，D ．随机抽出一个小球然后放回，再随机抽出一个小球．（1）请用列表法或画树状图法列举出两次抽出的球的所有可能结果；（2）求两次抽出的小球的标号不相同的概率．20．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，通过尺规作图（作图痕迹如图所示）得到的射线与AC 相交于点P ．以点P 为圆心，AP 为半径的圆与尺规作图得到的射线的一个交点为F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙P 的切线；（2）若56ABC ∠=︒，求AFP ∠的大小． 21．已知反比例函数ky x=（k 为常数，0k ≠）的图象经过点()2,6A ．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点()3,4B -，142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否在这个函数的图象上，并说明理由；（3）当42x -<<-时，求y 的取值范围． 22．已知抛物线22y x x c =++．（1）若抛物线与x 轴有两个公共点，求c 的取值范围；（2）当3c =-时，在平面直角坐标系中画出这条抛物线，并根据图象，直接写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．23．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，通过调查发现，这种水产品的销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．现商店把这种水产品的售价定为x （单位：元/千克）．（1）填空：每月的销售量是千克（用含x 的代数式表示）；（2）求月销售利润y （单位：元）与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式；（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24．如图，AB 是O 的直径，点C ，D ，E 分别是⊙O 上异于A ，B 的三点，弦CD 与直径AB 相交于点H ，E ADC ∠=∠，过点D 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点F ．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若点B 是OF 的中点，求证：DAF △是等腰三角形．25．如图，一次函数y ＝k 1x+b 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（3，n ）．（1）求这两个函数的表达式；（2）点P 在线段AB 上，且S⊙APO ：S⊙BOP ＝1：3，求点P 的坐标．26．如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=xk（k≠0）交于点A （4，1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求⊙AOB 的面积；（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．27．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当⊙PAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M，使⊙MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．A2．D3．B4．D5．C 6．C 7．B 8．A 9．D 10．A 11．减小 12．80013．14．-1 15．5 16．1 17．2 18．152x =，22x =【详解】解：(25)2(25)0x x x ---=，(25)(2)0x x --=，250x -=或20x -=，152x =，22x =.19．（1）(A ，A)，(B ，A)，(C ，A)，(D ，A)，(A ，B)，(B ，B)，(C ，B)，(D ，B)，(A ，C)，(B ，C)，(C ，C)，(D ，C)，(A ，D)，(B ，D)，(C ，D)，(D ，D)，见解析；（2）34【分析】（1）根据题意利用列表法求出所有的结果即可得到答案；（2）根据（1）中的结果，求出标号不同的所有结果数，然后根据概率公式求解即可得到答案.【详解】解：（1）列表如下：（2）由（1）知，共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两次抽出的小球的标号不相同的结果有12种．⊙两次抽出的小球的标号不相同的概率为123164P ==. 20．（1）见解析；（2）31°【分析】（1）过点P 作PD⊙BC ，根据尺规作图可知，BP 是⊙ABC 的平分线，由⊙BAC=90°得，PA⊙AB ，再根据角平分线的性质和切线的判定可得；（2）由（1）可知，以及角平分线的性质得，⊙ ABP=12⊙ABC ，求出⊙APB 的度数，再根据等腰三角形以及三角形的外角的性质即可求出；【详解】（1）证明：过点P 作PD BC ⊥，垂足为D 由尺规作图知，BP 是ABC ∠的平分线；由90BAC ∠=︒得，PA AB ⊥ ⊙PD PA = ⊙BC 是P 的切线（2）解：由（1）得，11562822ABP ABC ∠=∠==︒⨯︒⊙9062APB ABP ∠=-∠=︒︒ ⊙1312AFP APB ∠=∠=︒21．（1）12y x =；（2）点()3,4B -不在函数12y x =的图象上，点142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在函数12y x =的图象上，见解析；（3）63y -<<-【分析】（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值．（2）只要把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于12时，即该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．【详解】解：（1）⊙反比例函数ky x=的图象经过点()2,6A ． ⊙62k=解得12k =⊙反比例函数的解析式为12y x=（2）⊙()3412⨯-≠，14241225⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⊙点()3,4B -不在函数12y x =的图象上，点142,425C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在函数12y x =的图象上（3）当4x =-时，1234y ==--；当2x =-时，1262y ==-- ⊙函数12y x=的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小 ⊙当42x -<<-时，求y 的取值范围为63y -<<-． 22．（1）1c <；（2）见解析，3x <-，或1x >【分析】（1）根据抛物线与x 轴有两个公共点，得出方程220x x c ++=有两个不相等的实数根，再根据0∆>列出关于c 的不等式求解即可；（2）将3c =-代入二次函数，再列表、描点、连线即可得出图象，再根据图象即可得出范围．【详解】解：（1）⊙抛物线与x 轴有两个公共点 ⊙方程220x x c ++=有两个不相等的实数根 ⊙224240b ac c ∆=-=-> 解得1c <⊙c 的取值范围1c <（2）当3c =-时，223y x x =+-列表：描点，连线，得图象当y 为正数时，自变量x 的取值范围是3x <-，或1x >．23．（1）100010x -；（2）210140040000y x x =-+-（50100x ≤≤）；（3）在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克【分析】（1）根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克劣势即可；（2）根据销售利润和售价的关系列式即可；（3）当月销售利润达到8000元，求出x 的值，判断即可；【详解】解：（1）()5005010100010x x --⨯=-；故答案是100010x -；（2）()()24010001010140040000y x x x x =--=-+-，其中50100x ≤≤；（3）当月销售利润达到8000元时，有2101400400008000x x -+-=，化简，得214048000x x -+=，解得60x =，或80x =，当60x =时，月销售成本为()40100010601600010000⨯-⨯=>，当80x =时，月销售成本为40(10001080)800010000⨯-⨯=<， ⊙月销售成本不超过10000元， ⊙80x =；答：在月销售成本不超过13000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元/千克．24．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接OC，OD，证明BOD BOC∠=∠，运用等腰三角形三线合一的性质即可证明出结论；（2）连接BD，由切线的性质可证明OB=BD=BF以及BOD是等边三角形，进一步可得出结论．【详解】解：（1）证明：连接OC，OD⊙E ADC∠=∠⊙AOD AOC∠=∠⊙AD AC=⊙AB是O的直径⊙ADB ACB=⊙ADB AD ACB AC-=-即DB CB=⊙BOD BOC∠=∠，⊙OC OD=⊙OH CD⊥即AB CD⊥（2）连接BD⊙DF是O的切线⊙OD DF⊥，即90ODF∠=︒⊙点B是OF的中点⊙12BD OF OB ==⊙OD OB =⊙OD OB BD ==⊙BOD 是等边三角形⊙60BOD ∠=︒⊙30BAD ∠=︒，30F ∠=︒⊙BAD F ∠=∠⊙DA DF =⊙DAF △是等腰三角形25．（1）反比例函数解析式为y ＝﹣3x；一次函数解析式为y ＝﹣x+2；（2）P 点坐标为（0，2）．【分析】（1））先把点A 点坐标代入y=2k x中求出k 2得到反比例函数解析式为y=-3x ；再把B （3，n ）代入y=-3x中求出n 得到得B （3，-1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；（2）设P （x ，-x+2），利用三角形面积公式得到AP ：PB=1：3，即PB=3PA ，根据两点间的距离公式得到（x -3）2+（-x+2+1）2=9[（x+1）2+（-x+2-3）2]，然后解方程求出x 即可得到P 点坐标．【详解】（1）把点A （﹣1，3）代入y ＝2k x得k 2＝﹣1×3＝﹣3，则反比例函数解析式为y ＝﹣3x；把B （3，n ）代入y ＝﹣3x 得3n ＝﹣3，解得n ＝﹣1，则B （3，﹣1），把A （﹣1，3），B （3，﹣1）代入y ＝k 1x+b 得11331k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得1k 1b 2=-⎧⎨=⎩， ⊙一次函数解析式为y ＝﹣x+2；（2）设P （x ，﹣x+2），⊙S⊙APO ：S⊙BOP ＝1：3，⊙AP ：PB ＝1：3，即PB ＝3PA ，⊙（x ﹣3）2+（﹣x+2+1）2＝9[（x+1）2+（﹣x+2﹣3）2]，解得x 1＝0，x 2＝﹣3（舍去），⊙P 点坐标为（0，2）．26．（1）反比例函数的解析式为：y=4x；一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）S⊙AOB=152；（3）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．【分析】（1）把A的坐标代入y=kx，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y=x+b求出一次函数的解析式；（2）求出D、B的坐标，利用S⊙AOB=S⊙AOD+S⊙BOD计算，即可求出答案；（3）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．【详解】（1）⊙反比例函数y=kx的图象过点A（4，1），⊙1=k4，即k=4，⊙反比例函数的解析式为：y=4x．⊙一次函数y=x+b（k≠0）的图象过点A（4，1），⊙1=4+b，解得b=﹣3，⊙一次函数的解析式为：y=x﹣3；（2）⊙令x=0，则y=﹣3，⊙D（0，﹣3），即DO=3．解方程4x=x﹣3，得x=﹣1，⊙B（﹣1，﹣4），⊙S⊙AOB=S⊙AOD+S⊙BOD=12×3×4+12×3×1=152；（3）⊙A（4，1），B（﹣1，﹣4），⊙一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞4．27．（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1)，(1，)，(1，1)，(1，0)．【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可．（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．（3）由于⊙MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：⊙MA＝AC、⊙MA＝MC、⊙AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示⊙MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解【详解】（1）⊙A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，⊙可设抛物线为y ＝a （x ＋1）（x －3）．又⊙C(0，3) 经过抛物线，⊙代入，得3＝a （0＋1）（0－3），即a=-1．⊙抛物线的解析式为y ＝-（x+1）（x -3），即y ＝-x 2+2x+3．（2）连接BC ，直线BC 与直线l 的交点为P ．则此时的点P ，使⊙PAC 的周长最小．设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：303k b b +=⎧⎨=⎩，解得：13kb =-⎧⎨=⎩．⊙直线BC 的函数关系式y ＝－x ＋3．当x －1时，y ＝2，即P 的坐标(1，2)．（3）存在．点M 的坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．⊙抛物线的对称轴为： x=1，⊙设M(1，m)．⊙A(－1，0)、C(0，3)，⊙MA 2＝m 2＋4，MC 2＝m 2－6m ＋10，AC 2＝10．若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得：m 2＋4＝m 2－6m ＋10，得：m ＝1．⊙若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得：m 2＋4＝10，得：m ＝．⊙若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得：m 2－6m ＋10＝10，得：m ＝0，m ＝6，当m ＝6时，M 、A 、C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1)，(1)，(1，1)，(1，0)．。

2022-2023学年人教版九年级数学第一学期期末测试题含答案

第1页，共4页第2页，共4页………○…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………………○…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………考点考场考号姓名座位号2022-2023学年第一学期期末质量监测试卷九年级数学学科（考试时间：120分钟考试分值：150分）一、选择题。

（每题5分，共45分）1.在下列图形中，是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列事件属于必然事件的是（）A.打开电视，正在播放新闻B.我们班的同学将会有人成为航天员C.实数0＜a ，则02＜aD.新疆的冬天不下雪3.若关于x 的一元二次方程01)12=++-x x k （有两个实数根，则k 的取值范围是（） A.45≤k B.45＞kC.45＜k 且1≠kD.45≤k 且1≠k4.用配方法解方程0982=++x x ，变形后的结果正确的是 A.9)4(2-=+x B.7)4(2-=+x C.25)4(2=+xD.7)4(2=+x5.二次函数3)1(2+-=x y 的图象的顶点坐标是 A.)3,1(-B.)3,1(C.)3,1(--D.)3,1(-6.如图，在圆O 中,所对的圆周角50=∠ACB ，若P 为上一点，55=∠AOP ，则=∠POB ( ) A.30B.45 C.55D.60第6题图第7题图7.小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作圆锥形生日礼帽．如图，圆锥帽底面半径为cm 9，母线长为cm 36，请你帮助他们计算制作一个这样的生日礼帽需要纸板的面积为（） A.2648cm ΠB.2432cm ΠC.2324cm ΠD.2216cm Π8.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）A.B. C. D.9.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x 元．则有（）A.10890)1050)(20180=--+xx （ B.10890)1018050)(20=---x x （C.180902050)108050(=⨯---x xD.108902050)1050)(180=⨯--+xx （二、填空题。

九年级(上)期末数学试卷(含答案)

九年级（上）期末数学试卷一.相信你的选择（每小题3分，共30分）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A．B． C．D．2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（）A．西瓜B．蜜橘C．土豆 D．梨4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，﹣2b）B．（﹣a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．07．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（）A．200m B．m C．m D．100m8．（3）（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4米B．3米C．2米D．1米10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米二.试试你的身手（每小题3分，共30分）11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=．12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有桶．13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C 的北偏东30°方向上，则AB=km．14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为米．15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点．16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是．17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为元/平方米．19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为m．20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米．（精确到1米）三.挑战你的能力（共40分）21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长．23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=，BC=；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？参考答案与试题解析一.相信你的选择（每小题3分，共30分）1．下列四幅图形中，表示两棵圣诞树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（）A．B． C．D．【考点】平行投影．【分析】平行投影特点：在同一时刻，不同物体的影子同向，且不同物体的物高和影长成比例．【解答】解：A、影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，正确；B、影子的方向不相同，错误；C、影子的方向不相同，错误；D、相同树高与影子是成正比的，较高的树的影子长度小于较低的树的影子，错误．故选A．【点评】本题考查了平行投影特点．2．已知二次函数y=2（x﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】常规题型．【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．【解答】解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；综上所述，说法正确的有④共1个．故选A．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要考查了函数图象的开口方向，对称轴解析式，顶点坐标，以及函数的增减性，都是基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．3．下面三视图表示的可能是宜昌四种特产：西瓜、蜜橘、梨、土豆中的（）A．西瓜B．蜜橘C．土豆 D．梨【考点】由三视图判断几何体．【专题】图表型．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是蜜橘．故选B．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．本题着重应从柱体这个概念去思考．4．如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】压轴题．【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB．【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB==，∴tanB′=tanB=．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角函数值的求法．5．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A．（﹣2a，﹣2b）B．（﹣a，﹣2b）C．（﹣2b，﹣2a）D．（﹣2a，﹣b）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】压轴题．【分析】位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，位似变换是以原点为位似中心，相似比为1：2．【解答】解：根据题意图形易得，两个图形的位似比是1：2，∴对应点是（﹣2a，﹣2b）．故选A．【点评】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．6．二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．【解答】解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，﹣9+6+k=0，解得k=3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选B．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．7．如图，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是（）A．200m B．m C．m D．100m【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】根据P在N的北偏西30°的方向，可求得∠P=∠N，再根据三角函数即可求得PM的值．【解答】解：由已知得，∠P=∠N=30°．在直角△PMN中，PM==200．故选A．【点评】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．8．如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】压轴题．【分析】图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【解答】解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．9．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（）A．4米B．3米C．2米D．1米【考点】二次函数的应用．【专题】应用题；压轴题；数形结合．【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．10．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米【考点】相似三角形的应用．【专题】应用题．【分析】由已知得△ABP∽△CDP，则根据相似形的性质可得，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴，∴CD==8（米）．故选：B【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识，是一道较为简单的题，考查相似三角形在测量中的应用．二.试试你的身手（每小题3分，共30分）11．在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=75°．【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．【分析】首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知c osA﹣=0，sinB﹣=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．【解答】解：∵|cosA﹣|+（sinB﹣）2=0，∴cosA﹣=0，sinB﹣=0，∴cosA=，sinB=，∴∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°，故答案为：75°．【点评】此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．12．若干桶方便面摆放在桌子上．实物图片左边所给的是它的三视图．则这一堆方便面共有6桶．【考点】由三视图判断几何体．【分析】从俯视图中可以看出最底层方便面的个数及摆放的形状，从主视图可以看出每一层方便面的层数和个数，从左视图可看出每一行方便面的层数和个数，从而算出总的个数．【解答】解：三摞方便面是桶数之和为：3+1+2=6．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．13．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C 的北偏东30°方向上，则AB=3km．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】过C作CE⊥BD于E，根据题意及三角函数可求得CE的长，从而得到AB的长．【解答】解：过C作CE⊥BD于E，则CE=AB．直角△CED中，∠ECD=30°，CD=6，则CE=CD•cos30°=3=AB．∴AB=3（km）．【点评】此题的关键是添加辅助线构造直角三角形，再运用三角函数定义求解．14．如图，某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为9米．【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴△DEF∽△ABC，∴=，即=，∴AC=6×1.5=9米．故答案为：9．【点评】此题考查相似三角形的实际运用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点P．【考点】位似变换．【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【解答】解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．故答案为：P．【点评】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．16．复习课上，张老师念了这样一道题目：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，“三位同学”分别说出了它的一些结论．“可心”说：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；“童谣”说：③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；“思宇”说：⑤c﹣a＞1．请你根据图找出其中正确结论的序号是①②③⑤．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由二次函数的图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，再结合图象判断各结论．【解答】解：由图象可得：a＜0，b＜0，c=1＞0，对称轴x=﹣1，①x=1时，a+b+c＜0，正确；②x=﹣1时，a﹣b+c＞1，正确；③abc＞0，正确；④4a﹣2b+c＜0，错误，x=﹣2时，4a﹣2b+c＞0；⑤x=﹣1时，a﹣b+c＞1，又﹣=﹣1，b=2a，c﹣a＞1，正确，综上可知其中正确结论的序号是①②③⑤，故答案为：①②③⑤．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．17．如图，一条河的两岸有一段平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为22.5米．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意，河两岸平行，故可根据平行线分线段成比例来解决问题，列出方程，求解即可．【解答】解：如图，设河宽为h，∵AB∥CD由平行线分线段成比例定理得：=，解得：h=22.5，∴河宽为22.5米．故答案为：22.5．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．18．兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为2080元/平方米．【考点】二次函数的应用．【专题】操作型；函数思想．【分析】从图象中找出顶点坐标、对称轴，利用对称性即可解答．【解答】解：由图象可知（4，2200）是抛物线的顶点，∵x=4是对称轴，∴点（2，2080）关于直线x=4的对称点是（6，2080）．∴6楼房子的价格为2080元．【点评】要求熟悉二次函数的对称性，并准确的找到所求的点与那个已知点是对称点，此题的关键是能找到顶点是（4，2200）．19．如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为45m．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】用AC表示出BE，BC长，根据BC﹣BE=30得方程求AC，进而求得BC长．【解答】解：根据题意得：BC==AC，∵BE=DEtan30°=ACtan30°=AC．∴大楼高AD=BC﹣BE=（﹣）AC=30．解得：AC=15．∴BC=AC=45．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．20．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是18米．（精确到1米）【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】由题可知，E、F两点纵坐标为8，代入解析式后，可求出二者的横坐标，F的横坐标减去E的横坐标即为EF的长．【解答】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，可知y=8，把y=8代入y=﹣x2+10得：x=±4，∴由两点间距离公式可求出EF=8≈18（米）．【点评】以丽水市“古廊桥文化”为背景呈现问题，考查了现实中的二次函数问题，赋予传统试题新的活力，感觉不到“老调重弹”，在考查提取、筛选信息，分析、解决实际问题等能力的同时，发挥了让学生“熏陶文化，保护遗产”的教育功能．三.挑战你的能力（共40分）21．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα==，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°=；（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据直角三角形的性质用AC表示出A B及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2）由于tanA=，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，∴BC=AB，∴AC===AB，∴ctan30°==．故答案为：；（2）∵tanA=，∴设BC=3，AC=4，∴ctanA==．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．22．如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，AB、CD、EF是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是2 m，已知AB、CD在灯光下的影长分别为BM=1.6 m，DN=0.6m．（1）请画出路灯O的位置和标杆EF在路灯灯光下的影子；（2）求标杆EF的影长．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题；作图题．【分析】解此题要借助于相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，还要注意数形结合思想与方程思想的应用．【解答】解：（1）如右图．（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，由AB∥CD∥OH得，即，解得x=1.2．设FG=ym，同理得，即，解得y=0.4．所以EF的影长为0.4m．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了方程的思想．23．如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC=135°，BC=2；（2）判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论．【考点】相似三角形的判定；勾股定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出∠ABC的度数，根据，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段BC的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似．【解答】（1）解：∠ABC=90°+45°=135°，BC===2；故答案为：135°；2．（2）△ABC∽△DEF．证明：∵在4×4的正方形方格中，∠ABC=135°，∠DEF=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠DEF．∵AB=2，BC=2，FE=2，DE=∴==，==．∴△ABC∽△DEF．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．24．如图，二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可．【解答】解：（1）由已知条件得，解得，所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴AO=4，设点P到x轴的距离为h，则S△AOP=×4h=8，解得h=4，①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，解得x=﹣2，所以，点P的坐标为（﹣2，4），②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，解得x1=﹣2+2，x2=﹣2﹣2，所以，点P的坐标为（﹣2+2，﹣4）或（﹣2﹣2，﹣4），综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+2，﹣4）、（﹣2﹣2，﹣4）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解．25．北京的6月绿树成荫花成海，周末小明约了几个同到户外活动．当他们来到一座小亭子时，一位同学提议测量一下小亭子的高度，大家很高兴．于是设计出了这样一个测量方案：小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置，观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°，观测小树尖D的仰角∠DAE=45°．已知小树高DE=2米．请你也参与到这个活动中来，帮他们求出小亭子高BC的长．（结果精确到0.1.，）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】在Rt△ADE中，由小树的高度以及∠DAE的大小，可求解AE的长，即AC的长，进而再在Rt△ABC中，由边角关系∠BAC=60°特殊角，即可求解亭子高度BC的长．【解答】解：根据题意得：∠C=∠E=90°．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∠E=90°，∴∠D=∠DAE=45°．∵DE=2，∴AE=DE=2．∵A为CE的中点，∴AC=AE=2．（2分）在Rt△ACB中，∠BAC=60°，∠C=90°，∴．∴BC=．∴BC≈2×1.73≈3.5．答：小亭子高约为3.5米．【点评】本题主要考查了解直角三角形的问题，又涉及仰角、俯角的实际应用，其中重点还是直角三角形的求解问题．26．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x元（x 为整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）销售利润=每件商品的利润×（180﹣10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．【解答】解：（1）y=（30﹣20+x）（180﹣10x）=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y=﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x==4时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；（3）1920=﹣10x2+80x+1800x2﹣8x+12=0，（x﹣2）（x﹣6）=0，解得x=2或x=6，∵0≤x≤5，∴x=2，∴30+2=32（元）∴售价为32元时，利润为1920元．【点评】考查二次函数的应用；得到月销售量是解决本题的突破点；注意结合自变量的取值求得相应的售价．。

人教版九年级上册数学期末考试试卷及答案

人教版九年级上册数学期末考试试题一、单选题1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个根，则m 的值是（）A ．3-B ．3C ．0D ．0或3-3．下列事件中，是必然事件的是（）A ．从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球B ．掷一枚硬币，正面朝上C ．任意买一张电影票座位是3D ．汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯4．把抛物线y ＝﹣（x+1）2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线为（）A ．y ＝﹣（x+2）2﹣3B ．y ＝﹣x 2﹣3C ．y ＝﹣x 2+3D ．y ＝﹣（x+2）2+35．如图，点A ，B ，C 在O 上，若BC ，AB ，AC 分别是O 内接正三角形．正方形，正n 边形的一边，则n =（）A ．9B ．10C ．12D ．156．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点（1，﹣2），则它也经过（）A ．（﹣1，﹣2）B ．（﹣1，2）C ．（1，2）D ．（2，1） 7．如图，在ABC 中，64C ∠=︒，将ABC 绕着点A 顺时针旋转后，得到AB C ''，且点C '在BC 上，则B C B ∠''的度数为（）A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°8．一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x ，两年后这台机器约为y 万元，则y 与x 的函数关系式为（）A ．2100(1)y x =-B ．100(1)y x =-C ．2100y x =-D ．2100(1)y x =+ 9．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径6CA =，圆心角120ACB ∠=︒，则此圆锥高OC 的长度是（）A ．2B ．C ．D ．10．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；①3a ＋c ＞0；①当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；①当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．在平面直角坐标系中点A （2，1）关于原点对称点的坐标是 ___．12．已知一元二次方程x 2+2x ﹣m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 _____．13．如图：四边形ABCD 内接于①O ，E 为BC 延长线上一点，若①A ＝72°，则①DCE ＝______°．14．在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时同地测得一栋楼的影长为90m ，则这栋楼的高度为________m ．15．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系是y ＝﹣22531312x x ++，则他将铅球推出的距离是 _____m ．16．如图，反比例函数的图象与一次函数y ＝﹣2x+3的图象相交于点P ，点P 到y 轴的距离是1，则这个反比例函数的解析式是__________________．17．方程x （x ﹣2）﹣x+2＝0的正根为_____．三、解答题18．如图，①ABC 绕着顶点A 逆时针旋转到①ADE ，①B ＝40°，①E ＝60°，AB//DE ，求①DAC 的度数．19．如图，AB 是①O 直径，弦CD 交AB 于点E ，OE ＝DE ，①BOD ＝α，求①AOC （用含α的式子表示）．20．一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．(1)随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为_______；(2)随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出的小球标号相同的概率．21．如图所示，点D是①ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC①ACD①①ABC．22．如图，墙壁EF长24米，需要借助墙壁围成一个矩形花园ABCD，现有围栏40米，设AB长x米．(1)BC的长为米（用含x的式子表示）；(2)求这个花园的面积最大值．23．如图1，AB是①O的直径，弦CD与AB相交于点E，①C+①D＝90°，BF①CD．(1)求证：BF是①O的切线；(2)延长AC交直线FB于点P（如图2），若点E为OB中点，CD＝6，求PC的长．24．如图，AB是①O的直径，AC是弦，P为AB延长线上一点，①BCP＝①BAC，①ACB 的平分线交①O于点D，交AB于点E，（1）求证：PC是①O的切线；（2）求证：①PEC是等腰三角形；（3）若AC＋BC＝2时，求CD的长．25．如图，抛物线2=++与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA=1，OB=OC=3．y ax bx c（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点D为第一象限抛物线上一动点，连接DC，DB，BC，设点D的横坐标为m，①BCD的面积为S，求S的最大值；（3）如图2，点P(0，n)是线段OC上一点(不与点O、C重合)，连接PB，将线段PB以点P为中心，旋转90°得到线段PQ，是否存在n的值，使点Q落在抛物线上？若存在，请求出满足条件的n的值，若不存在，请说明理由．26．如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．①当t＞0时，①BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．参考答案1．C【详解】解：A、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；C、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意；D、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意；故选：C．2．A【详解】解：①x＝2是一元二次方程x2+mx+2＝0的一个解，①4+2m+2＝0，①m＝3 ．故选：A．3．A【详解】解：A 、“从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球”是必然事件，此项符合题意；B 、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，此项不符题意；C 、“任意买一张电影票座位是3”是随机事件，此项不符题意；D 、“汽车经过红绿灯路口时前方正好是绿灯”是随机事件，此项不符题意；故选：A ．4．D【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，平移后的抛物线解析式为2(11)3y x =-+++即为2(2)3y x =-++故选D5．C【分析】分别连接OB 、OA 、OC ，根据正多边形的中心角=360n︒，可分别求得①BOC 、①AOB 的度数，从而可得①AOC 的度数，再根据正多边形的中心角=360n ︒，可求得边数n ．【详解】分别连接OB 、OA 、OC ，如图所示①BC 是O 内接正三角形的一边 ①①BOC=3601203︒=︒ 同理，可得：①AOB=90°①①AOC=①BOC−①AOB=30°①AC 是O 正n 边形的一边①36030n︒=︒ ①n=12故选：C ．【点睛】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=360n︒，掌握这一知识是解决本题的关键．6．A【分析】先根据题意求出a 的值，然后逐项分析判断即可．【详解】解：①二次函数2y ax =的图象经过点（1，﹣2），①将（1，﹣2）代入2y ax =得：2a =-，①二次函数的解析式为：22y x =-，当1x =-时，2y =-，即原函数图象经过点（﹣1，﹣2），当2x =时，8y =-，即原函数图象经过点（2，﹣8），当1x =时，2y =-，即原函数图象经过点（1，﹣2），故选：A ．【点睛】本题考查二次函数2y ax =的图象与性质，掌握函数图象上点坐标的特征，准确求解函数解析式是解题关键．7．C【分析】根据旋转的性质可以得到AC AC ='，然后根据64C ∠=︒，即可得到旋转角的度数，然后三角形内角和，即可得到B C B ∠''的度数．【详解】解：将ABC 绕着点A 顺时针旋转后，得到AB C ''，64C ∠=︒， AC AC ∴='，CAC BAB ∠'=∠'，B B ∠=∠'，64C AC C ∴∠=∠'=︒，18052CAC C AC C ∴∠'=︒-∠-∠'=︒，52BAB ∴∠'=︒，52B AD ∴∠'=︒，B B ∠=∠'，BDC B DA ∠'=∠'，52BC D B AD ∴∠'=∠'=︒，即B C B ∠''的度数为52︒，故选：C．【点睛】本题考查旋转的性质、三角形内角和、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．A【分析】原价为100万元，一年后的价格是100×（1-x），二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式求得．【详解】解：由题意得：二年后的价格是为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则函数解析式是：y=100（1-x）2．故选A．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，需注意第二年的价位是在第一年的价位的基础上降价的．9．C【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可．【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r①AC=6，①ACB=120°①12062180l AB rππ⨯==，即：r=OA=2在Rt①AOC中，OA=2，AC=6，由勾股定理得，OC==故填：【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键．10．B【详解】解：①抛物线与x轴有2个交点，①b2﹣4ac＞0，所以①正确；①抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），①方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以①正确；①x=﹣2b a=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0， ①a+2a+c=0，所以①错误；①抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），①当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以①错误；①抛物线的对称轴为直线x=1，①当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以①正确．故选：B ．11．（-2，-1）【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】解：点A （2，1）关于原点的对称点的坐标是（-2，-1），故答案为：（-2，-1）．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．m>-1【分析】根据一元二次方程根的判别式，当①>0时，方程有两个不相等的实数根，列不等式求出m 的范围即可．【详解】①方程有两个不相等的实数根①①>0①22 -4×1• (-m)>04+4m>0m>-1①m 的取值范围是m>-1故答案为：m>-1【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0， ①>0时，方程有两个不相等的实数根；①=0时，方程有两个相等的实数根；①<0时方程没有实数根．掌握以上知识是解题的关键．13．72【分析】根据圆内接四边形对角和为180°再结合补角的性质即可得到①DCE=①A ．【详解】解：①四边形ABCD 内接于①O ，①①A+①BCD=180°①①BCD+①DCE=180°①①DCE=①A=72°，故答案为：72．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质和补角性质，掌握圆这些是本题关键． 14．54【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．【详解】解：设这栋楼的高度为hm ，①在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为60m ， ①1.8390h =，解得h=54（m ）．故答案为54．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．15．10【分析】成绩就是当高度y=0时x 的值，所以解方程可求解．【详解】解：当y=0时，-22531312x x ++=0，解之得x 1=10，x 2=-2（不合题意，舍去），所以推铅球的距离是10米．故答案为10【点睛】此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．16．5y x=- 【分析】根据点P 到到y 轴的距离及其象限，确定横坐标，代入一次函数解析式，得到其纵坐标，再将点P 的坐标代入反比例函数解析式k y x=中求得k 值，即可得解；【详解】解：①点P 到y 轴的距离是1，且由图可知，点P 在第二象限，①点P 的横坐标为x=-1，代入一次函数y ＝﹣2x+3中得到：y ＝﹣2×（-1）+3=5，①点P 的坐标为（-1，5），设反比例函数的解析式为：k y x=，点P 在反比例函数图象上， ①51k =-， ①k=-5，①反比例函数解析式为：5y x=-，故答案为：5y x=- 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．17．x ＝1或x ＝2【分析】利用提取公因式法解方程即可得答案．【详解】①x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0，①（x ﹣2）（x ﹣1）＝0，①x ﹣2＝0或x ﹣1＝0，解得：x ＝2或x ＝1，故答案为：x ＝1或x ＝2【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键．18．40°【分析】根据旋转的性质可知，①B ＝①D ，①C ＝①E ；根据三角形内角和即可求出①BAC 的度数；再根据AB①DE ，可得①BAD ＝①D ，因此可求解①DAC 的度数．【详解】①①ABC 旋转到①ADE ，①B ＝40°，①E ＝60°①①B ＝①D ＝40°，①C ＝①E ＝60°①①BAC ＝180°－40°－60°＝80°①AB①DE①①BAD ＝①D ＝40°①①DAC ＝①BAC －①BAD ＝80°－40°＝40°【点睛】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，运用旋转的性质得出①C的度数是本题的关键．19．①AOC=3α【分析】利用等腰三角形的性质得到①D=①BOD=α，利用三角形外角性质得到①CEO=2α，由于OC=OD，则①C=①D=α，然后根据三角形外角性质得到①AOC=3α．【详解】解：①OE=DE，①①D=①BOD=α，①①CEO=①D+①BOD，①①CEO=2α，①OC=OD，①①C=①D=α，①①AOC=①C+①CEO，①①AOC=3α．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系．20．(1)23(2)P（两次取出的小球标号相同）1 3【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，两次取出小球标号相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．(1)①在1，2，3三个数中，其中奇数有1，3共2个数，①随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为23故答案为：23；(2)画树状图如下：由树状图可知，随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球，共有9种等可能的结果，其中两次取出的小球标号相同的结果共有3种，①P （两次取出的小球标号相同）3193==. 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．见解析【分析】首先利用已知得出AD AC AC AB=，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．【详解】证明：①AD AC =，AC AB ==，， ①AD AC AC AB =， ①①A=①A ，①①ACD①①ABC ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．22．(1)（40-2x ）(2)200平方米【分析】（1）由AB+BC+CD=40米，AB=CD=x 米可得答案；（2）根据矩形的面积公式得出y=x （40-2x ）=-2x 2+40x=-2（x -10）2+200，再利用二次函数的性质求解即可．（1）解：由题意知AB+BC+CD=40米，AB=CD=x 米，所以BC 的长为（40-2x ）米，故答案为：（40-2x ）；（2）解：设这个花园的面积为y 平方米，由题意得：y=x （40-2x ）=-2x 2+40x=-2（x -10）2+200，①-2＜0，①当x=10时，y 取得最大值，最大值为200，答：这个花园的面积最大值为200平方米．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．23．(1)见解析(2)PC=2【分析】（1）根据圆周角定理以及已知条件可得①BEC=①A+①C=90°，根据平行线的性质得①ABF=①BEC=90°，则AB①BF，即可得BF是①O的切线；（2）由垂径定理得DE=CE=3，根据线段垂直平分线的性质得OD=BD，可证明①OBD是等可得边三角形，可得①BDE=30°，BD=2BE，根据勾股定理求出（1）证明：①①A=①D，①C+①D=90°，①①BEC=①A+①C=90°，①BF∥CD，①①ABF=①BEC=90°，①AB①BF，①BF是①O的切线；（2）解：连接OD，①①BEC=90°，①AB①CD，①点E为OB中点，CD=6，①CE=DE=3，OD=BD，①OB=OD=BD，①①OBD 是等边三角形，①①OBD=60°，①BDE=30°，①BD=2BE ，①A=①BDE=30°，在Rt①BDE 中，BD 2=BE 2+DE 2，①（2BE ）2=BE 2+32，解得①点E 为OB 中点，在Rt①ACE 中，AC 2=CE 2+AE 2=32+（2=36，①AC=6=2CE ，①BP=4，AP=8，①PC=8-6=2．24．（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）连接OC ，根据圆周角定理可得①ACB=90°，根据等腰三角形等边对等角以及已知条件证明①BCP +①OCB=90°即可；（2）根据题意以及角平分线定义求得①PEC=①PCE 即可得出结论；（3）连接BD ，作DM AC ⊥,DN CB ⊥,垂足为M ，N ，先证明()AMD BND HL ≌，然后证明四边形CMDN 为正方形，结合已知可得出结论．【详解】解：连接OC,①AB 为直径，①①ACB=90°，①①ACO+①OCB=90°，①OA=OC ，①①BAC=①ACO ，①①BCP ＝①BAC ，①①BCP=①ACO①①BCP +①OCB=90°，即①OCP=90°，①PC 是①O 的切线；（2）①①BCP ＝①BAC ，① ①ACB 的平分线交①O 于点D ，①①ACD ＝①BCD ，①①PCE ＝①PCB+ ①BCD ，①PEC ＝①BAC+①ACD ，①①PEC=①PCE ，①①PEC 是等腰三角形；（3）连接BD ，作DM AC ⊥,DN CB ⊥,垂足为M ，N ，①CD 平分ACB ∠，DM AC ⊥，DN CB ⊥，①DM DN =,AD BD =,①AD BD =,①90AMD BND ∠=∠=︒,①()AMD BND HL ≌，①90DMC MCN CND ∠=∠=∠=︒,①四边形CMDN 为矩形，①DM DN =,①矩形CMDN 为正方形，①CN =, ①2AC BC CM AM CB CN +=++=, ①AC BC +=,①2AC BC +=， ①CD25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）278；（3）存在，n=1或【分析】（1）通过待定系数法求解函数解析式即可；（2）作DF①x 轴于点F ，交BC 于点E ，根据12S DE OB =⋅求得S 关于m 的解析式，根据二次函数的性质求解即可；（3）过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N ，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：(1)设函数关系式为2y ax bx c =++由题意，得A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)①(1)(3)y a x x =+-把C(0，3)代入得，1a =-①2y x 2x 3=-++(2)作DF①x 轴于点F ，交BC 于点E设直线BC 关系式为y=kx ＋b ，代入(3，0)，(0，3)得k=－1，b=3，①y=－x ＋3①点D 的横坐标为m ，则DF=223m m -++，EF=－m ＋3①DE=23m m -+22133327(3)()22228S DE OB m m m =⋅=-+=--+ ①302-<，①S 的最大值是278(3)过点P 作PB 的垂线，交抛物线于点1Q 和2Q ，作1Q M y ⊥轴于点M ，2Q N y ⊥轴于点N①1290Q MP Q NP BOP ∠=∠=∠=︒①1190Q PM PQ M ∠+∠=︒，190Q PM BPO ∠+∠=︒，①1PQ M BPO ∠=∠又①1BP PQ =，①1Q PM PBO △≌△①1MQ OP n ==，3MP OB ==，①1()3Q n n +，代入抛物线，得2323n n n +=-++解得11n =，20n =(舍去)同理，2PN Q PBO ≌，①2Q (－n ，n －3)代入抛物线，得2323n n n =-+－－解得1n =2n =舍去)综上，存在n 的值，n=1或【点睛】此题考查了二次函数与几何的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数以及全等三角形的判定与性质．26．（1），B 点坐标为（3，0）；（2）①；①．【分析】（1）由对称轴公式可求得b ，由A 点坐标可求得c ，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B 点坐标；（2）①用t 可表示出ON 和OM ，则可表示出P 点坐标，即可表示出PM 的长，由矩形的性质可得ON=PM ，可得到关于t 的方程，可求得t 的值；①由题意可知OB=OA ，故当①BOQ 为等腰三角形时，只能有OB=BQ 或OQ=BQ ，用t 可表示出Q 点的坐标，则可表示出OQ 和BQ 的长，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．【详解】（1）①抛物线2y x bx c =-++对称轴是直线x=1，①﹣2(1)b ⨯-=1，解得b=2， ①抛物线过A （0，3），①c=3，①抛物线解析式为2y x 2x 3=-++，令y=0可得2230x x -++=，解得x=﹣1或x=3， ①B 点坐标为（3，0）；（2）①由题意可知ON=3t ，OM=2t ，①P 在抛物线上，①P （2t ，2443t t -++），①四边形OMPN 为矩形，①ON=PM ，①3t=2443t t -++，解得t=1或t=﹣34（舍去）， ①当t 的值为1时，四边形OMPN 为矩形；①①A （0，3），B （3，0），①OA=OB=3，且可求得直线AB 解析式为y=﹣x+3，①当t＞0时，OQ≠OB，①当①BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，①Q（2t，﹣2t+3），﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB|2t﹣3|=3，解得当OQ=BQ﹣3|，解得t=34；综上可知当t34时，①BOQ为等腰三角形．21。

九年级(上)期末数学试卷(含答案)

九年级（上）期末数学试卷一、选一选，本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.6183．（3分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞04．（3分）下列运算正确的是（）A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=5．（3分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（）A．增加B．减少C．不变D．不能确定6．（3分）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D．7．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤58．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=5709．（3分）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm210．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C二、认真填一填，本大题共8小题，每小题4分，共32分．11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=．12．（4分）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款元．13．（4分）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是元．14．（4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，可列方程．15．（4分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是．16．（4分）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，若△ABC的周长为8cm，则△ADE的周长为．17．（4分）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为m．18．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）计算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．20．（7分）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圆⊙P（不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面积．22．（8分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）23．（8分）甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，“金城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种．（甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A，B，C，D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E，F，G，H）（1）用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：（1）m=；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为；（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有名学生最喜爱足球活动．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y=﹣2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积．26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．27．（10分）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．28．（12分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．参考答案与试题解析一、选一选，本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．【解答】解：|﹣2|=2．故选：B．2．（3分）将6.18×10﹣3化为小数是（）A．0.000618 B．0.00618 C．0.0618 D．0.618【解答】解：∵0.00618=6.18×10﹣3，∴6.18×10﹣3=0.00618，故选：B．3．（3分）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣4 B．bd＞0 C．|a|＞|b|D．b+c＞0【解答】解：由数轴上点的位置，得a＜﹣4＜b＜0＜c＜1＜d．A、a＜﹣4，故A不符合题意；B、bd＜0，故B不符合题意；C、∵|a|＞4，|b|＜2，∴|a|＞|b|，故C符合题意；D、b+c＜0，故D不符合题意；故选：C．4．（3分）下列运算正确的是（）A．a0=0 B．a3+a2=a5 C．a2•a﹣1=a D． +=【解答】解：（A）a0=1（a≠0），故A错误；（B）a2与a3不是同类项，故B错误；（D）原式=，故D错误；故选：C．5．（3分）若多边形的边数由3增加到n（n为大于3的整数）则其外角和的度数（）A．增加B．减少C．不变D．不能确定【解答】解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的读数是不变的．故选：C．6．（3分）已知k1＞0＞k2，则函数y=k1x和y=的图象在同一平面直角坐标系中大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵k1＞0＞k2，∴函数y=k1x的结果第一、三象限，反比例y=的图象分布在第二、四象限．故选：C．7．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣5 B．x≤﹣5 C．x≥5 D．x≤5【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，解得x≥5．故选：C．8．（3分）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570【解答】解：设道路的宽为xm，根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）=570，故选：A．9．（3分）已知圆锥的底面面积为9πcm2，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是（）A．18πcm2B．27πcm2C．18cm2D．27cm2【解答】解：∵圆锥的底面积为9πcm2，∴圆锥的底面半径为3，∵母线长为6cm，∴侧面积为3×6π=18πcm2，故选：A．10．（3分）如图1，有一正方形广场ABCD，图形中的线段均表示直行道路，表示一条以A为圆心，以AB为半径的圆弧形道路．如图2，在该广场的A处有一路灯，O是灯泡，夜晚小齐同学沿广场道路散步时，影子长度随行走路线的变化而变化，设他步行的路程为x （m）时，相应影子的长度为y （m），根据他步行的路线得到y与x之间关系的大致图象如图3，则他行走的路线是（）A．A→B→E→G B．A→E→D→C C．A→E→B→F D．A→B→D→C【解答】解：根据图3可得，函数图象的中间一部分为水平方向的线段，故影子的长度不变，即沿着弧形道路步行，因为函数图象中第一段和第三段图象对应的x的范围相等，且均小于中间一段图象对应的x的范围，故中间一段图象对应的路径为，又因为第一段和第三段图象都从左往右上升，所以第一段函数图象对应的路径为正方形的边AB或AD，第三段函数图象对应的路径为BC或DC，故行走的路线是A→B→D→C（或A→D→B→C），故选：D．二、认真填一填，本大题共8小题，每小题4分，共32分．11．（4分）因式分解：x2y﹣4y=y（x﹣2）（x+2）．【解答】解：x2y﹣4y=y（x2﹣4）=y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．12．（4分）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款3a+5b 元．【解答】解：应付款3a+5b元．故答案为：3a+5b．13．（4分）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是1000元．【解答】解：设这台空调的进价为x元，根据题意得：2000×0.6﹣x=x×20%，解得：x=1000．故这台空调的进价是1000元．故答案为：1000．14．（4分）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，可列方程=．【解答】解：由题意可得，=，故答案为：=．15．（4分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是13或．【解答】解：设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：52+122=x2，∴x=13；（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：52+x2=122，∴x=；∴第三边的长为13或．故答案为：13或．16．（4分）如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，若△ABC的周长为8cm，则△ADE的周长为4cm．【解答】解：∵在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴△ABC的周长：△ADE的周长=，∵△ABC的周长为8cm，∴△ADE的周长为4cm，故答案为：4cm．17．（4分）如图，是一个圆心人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100m，测得圆周角∠ACB=30°，则这个人工湖的直径为200m．【解答】解：连结OA、OB，如图，∵∠AOB=2∠ACB=2×30°=60°，而OA=OB，∴△OAB为等边三角形，∴OA=AB=100m，∴个人工湖的直径为200m．故答案为200m．18．（4分）按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．【解答】解：按一定规律排列的一列数依次为：，，，，，，…，按此规律，第n个数为，∴当n=100时，=，即这列数中的第100个数是，故答案为：．三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（7分）计算：﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20080﹣|﹣2|．【解答】解：原式=2﹣+3﹣﹣1﹣（2﹣）=2﹣2+=．20．（7分）化简分式：（﹣）÷，并从1，2，3，4这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．【解答】解：（﹣）÷=[﹣）÷=（﹣）÷=×=x+2，∵x2﹣4≠0，x﹣3≠0，∴x≠2且x≠﹣2且x≠3，∴可取x=1代入，原式=3．21．（8分）（1）作Rt△ABC的外接圆⊙P（不写作法，保留作图痕迹）（2）Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=8，AC=6．求：⊙P的面积．【解答】解：（1）Rt△ABC的外接圆⊙P如图所示：（2）在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∴⊙P的面积=25π．22．（8分）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物AB的高度，一测量人员在该建筑物附近C处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为45°，随后沿直线BC向前走了100米后到达D处，在D处测得A处的仰角大小为30°，求建筑物AB的高度．（注：结果保留到0.1，≈1.414，≈1.732）【解答】解：设AB=x米，在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴BC=AB=x米，则BD=BC+C D=x+100（米），在Rt△ABD中，∵∠ADB=30°，∴tan∠ADB==，即=，解得：x=50+50≈136.6，即建筑物AB的高度约为136.6米．23．（8分）甘肃省省府兰州，又名金城，在金城，黄河母亲河通过自身文化的演绎，衍生和流传了独特的“金城八宝”美食，“金城八宝”美食中甜品类有：味甜汤糊“灰豆子”、醇香软糯“甜胚子”、生津润肺“热冬果”、香甜什锦“八宝百合”；其他类有：青白红绿“牛肉面”、酸辣清凉“酿皮子”、清爽溜滑“浆水面”、香醇肥美“手抓羊肉”，李华和王涛同时去品尝美食，李华准备在“甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉”这四种美食中选择一种，王涛准备在“八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面”这四种美食中选择一种．（甜胚子、牛肉面、酿皮子、手抓羊肉分别记为A，B，C，D，八宝百合、灰豆子、热冬果、浆水面分别记为E，F，G，H）（1）用树状图或表格的方法表示李华和王涛同学选择美食的所有可能结果；（2）求李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率．【解答】解：（1）列表得：E F G H李华王涛A AE AF AG AHB BE BF BG BHC CE CF CG CHD DE DF DG DH由列表可知共有16种情况；（2）由（1）可知有16种情况，其中李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的情况有AE，AF，AG三种情况，所以李华和王涛同时选择的美食都是甜品类的概率=．四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤24．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图．请结合以上信息解答下列问题：（1）m=150；（2）请补全上面的条形统计图；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为36°；（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．【解答】解：（1）m=21÷14%=150，（2）“足球“的人数=150×20%=30人，补全上面的条形统计图如图所示；（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×=36°；（4）1200×20%=240人，答：估计该校约有240名学生最喜爱足球活动．故答案为：150，36°，240．25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+4（k≠0）与y轴交于点A．直线y=﹣2x+1与直线y=kx+4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求点B的坐标及k的值；（2）求直线y=﹣2x+1、直线y=kx+4与y轴所围成的△ABC的面积．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+1过点B，点B的横坐标为﹣1，∴y=2+1=3，∴B（﹣1，3），∵直线y=kx+4过B点，∴3=﹣k+4，解得：k=1；（2）∵k=1，∴一次函数解析式为：y=x+4，∴A（0，4），∵y=﹣2x+1，∴C（0，1），∴AC=4﹣1=3，∴△ABC的面积为：×1×3=．26．（10分）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴EO=FO，∴四边形BEDF是平行四边形；（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，设BE=x，则DE=x，AE=6﹣x，在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，∴x2=42+（6﹣x）2，解得：x=，∵BD==2，∴OB=BD=，∵BD⊥EF，∴EO==，∴EF=2EO=．27．（10分）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．28．（12分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．【解答】方法一：解：（1）∵对称轴为直线x=2，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k．将A（﹣1，0），C（0，5）代入得：，解得，∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．（2）当a=1时，E（1，0），F（2，0），OE=1，OF=2．设P（x，﹣x2+4x+5），如答图2，过点P作PN⊥y轴于点N，则PN=x，ON=﹣x2+4x+5，∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4．S四边形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME=（PN+OF）•ON﹣PN•MN﹣OM•OE=（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x•（﹣x2+4x+4）﹣×1×1=﹣x2+x+=﹣（x﹣）2+∴当x=时，四边形MEFP的面积有最大值为，把x=时，y=﹣（﹣2）2+9=．此时点P坐标为（，）．（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3．令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2±．∵点P在第一象限，∴P（2+，3）．四边形PMEF的四条边中，PM、EF长度固定，因此只要ME+PF最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1）；作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1）；连接PM2，与x轴交于F点，此时ME+PF=PM2最小．设直线PM2的解析式为y=mx+n，将P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得：，解得：m=，n=﹣，∴y=x﹣．当y=0时，解得x=．∴F（，0）．∵a+1=，∴a=．∴a=时，四边形PMEF周长最小．方法二：（1）略．（2）连接MF，过点P作x轴垂线，交MF于点H，有最大值时，四边形MEFP面积最大．显然当S△PMF当a=1时，E（1，0），F（2，0），∵M（0，1），∴l MF：y=﹣x+1，设P（t，﹣t2+4t+5），H（t，﹣t+1），=（P Y﹣H Y）（F X﹣M X），∴S△PMF=（﹣t2+4t+5+t﹣1）（2﹣0）=﹣t2+t+4，∴S△PMF最大值为，∴当t=时，S△PMF=EF×MY=×1×1=，∵S△MEF的最大值为+=．∴S四边形MEFP（3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，∴点P的纵坐标为3，∴﹣x2+4x+5=0，解得：x=2±，∵点P在第一象限，∴P（2+，3），PM、EF长度固定，当ME+PF最小时，PMEF的周长取得最小值，将点M向右平移1个单位长度（EF的长度），得M1（1，1），∵四边形MEFM1为平行四边形，∴ME=M1F，作点M1关于x轴的对称点M2，则M2（1，﹣1），∴M2F=M1F=ME，当且仅当P，F，M2三点共线时，此时ME+PF=PM2最小，∵P（2+，3），M2（1，﹣1），F（a+1，0），∴K PF=K M1F，∴，∴a=．。

九年级上学期期末考试数学试卷(附答案)

九年级上学期期末考试数学试卷(附答案)一.单选题。

（每小题4分，共40分）1.﹣5的相反数是（）A.15B.﹣15C.5D.﹣52.如图是一根空心方管，它的左视图是（）A. B. C. D.3.一个数是8600，这个数用科学计数法表示8600为（）A.8.6×102B.8.6×103C.86×102D.0.86×1044.下列各式计算正确的是（）A.3x+3y=6xyB.4xy2－5xy2=﹣1C.﹣2（x－3）=﹣2x+6D.2a+a=3a25.把20个除颜色外完全相同的小球，放在一个不透明的盒子中，其中有m个白球，做大量重复试验，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子里，最终发现摸到白球的频率稳定在35%左右，则m的值大约是（）A.7B.8C.9D.106.关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.邻边相等D.对角线相等7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，下列关系正确的是（）A.sinA=BCAC B.tanB=ACABC.cosA=CDACD.sinB=CDBC（第7题图）（第8题图）（第9题图）8.如图，点A，B是反比例函数y=kx（x＞0）图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA ，BC ，若点C （1，0），BD=2，△BCD 面积为3，则△AOC 的面积是（） A.2 B.3 C.4 D.59.如图，已知点C ，D 是以AB 为直径的半圆O 的三等分点，圆的半径为1，则图中阴影部分面积是（）A.16π B.316π C.124π D.112π+√3410.如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）下列结论：①ab ＞0，②b 2－4ac ＞0，③0＜a+b+c ＜2，④0＜b ＜1，⑤当y ＞﹣1时，x ＞0，其中正确结论个数是（）A.2个B.3个C.4个D.5个（第10题图）二.填空题。

九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．cos60°•sin60°的值等于（）A．B．C．D．2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（）A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=813．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2B．y=﹣C．y=﹣x+1 D．y=4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：45．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣37．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．89．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直于弦的直线必过圆心10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（）A．B．C．D．11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm212．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）A．B．3C．6D．9二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是．14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=度．15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC=．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．按下列的要求解一元二次方程：（1）（因式分解法）x2+7x+12=0（2）（配方法）x2+4x+1=0．19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？23．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD=2，求线段BC的长．25．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意．1．cos60°•sin60°的值等于（）A．B．C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：cos60°•sin60°=×=，故选：D．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．一元二次方程x2﹣81=0的解是（）A．x=﹣9 B．x=9 C．x1=9，x2=﹣9 D．x=81【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】首先移项，把﹣81移到等号右边，再两边直接开平方即可．【解答】解：x2﹣81=0，移项得：x2=81，两边直接开平方得：x=±9，到x1=9，x2=﹣9，故选：C．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．3．下列函数中，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大的是（）A．y=﹣x2B．y=﹣C．y=﹣x+1 D．y=【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：A、∵y=﹣x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项错误；B、∵反比例函数y=﹣中，k=﹣1＜0，∴当x＞0时y随x的增大而增大，故本选项正确；C、∵k＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项错误；D、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了一次函数、反比例函数以及二次函数的性质，主要掌握二次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），是解题的关键，是一道难度中等的题目．4．三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成的影子如图所示．若OA=20cm，OA′=50cm，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）A．5：2 B．2：5 C．4：25 D．25：4【考点】相似三角形的应用．【分析】先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【解答】解：如图，∵OA=20cm，OA′=50cm，∴===，∵三角尺与影子是相似三角形，∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比==2：5．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等于相似比的性质．5．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．90°【考点】圆周角定理；正多边形和圆．【分析】连接OB、OC，首先根据正方形的性质，得∠BOC=90°，再根据圆周角定理，得∠BPC=45°．【解答】解：如图，连接OB、OC，则∠BOC=90°，根据圆周角定理，得：∠BPC=∠BOC=45°．故选A．【点评】本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用．这里注意：根据90°的圆周角所对的弦是直径，知正方形对角线的交点即为其外接圆的圆心．6．将函数y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的新函数是（）A．y=2（x+2）2+3 B．y=2（x﹣2）2+3 C．y=2（x+2）2﹣3 D．y=2（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】由于所给的函数解析式为顶点坐标式，可直接利用“上加下减、左加右减”的平移规律进行解答．【解答】解：将函数y=2x2向左平移2个单位，得：y=2（x+2）2；再向下平移3个单位，得：y=2（x+2）2﹣3；故选C．【点评】此题主要考查的是二次函数图象的平移规律，即：左加右减，上加下减．7．一元二次方程x2﹣5x+7=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根【考点】根的判别式．【分析】求出根的判别式△的值再进行判断即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣5x+7=0中，△=（﹣5）2﹣4×1×7=﹣3＜0，所以原方程无实数根．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，tanA=，则AC的长是（）A．3 B．4 C．6 D．8【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理．【分析】根据锐角三角函数正切等于对边比邻边，可得BC与AC的关系，根据勾股定理，可得AC 的长．【解答】解：由tanA==，得BC=3x，CA=4x，由勾股定理，得BC2+AC2=AB2，即（3x）2+（4x）2=100，解得x=2，AC=4x=4×2=8．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数，利用了锐角三角函数正切等于对边比邻边，还利用了勾股定理．9．下列命题中，正确的是（）A．平分弦的直线必垂直于这条弦B．垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧C．平分弦的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧D．垂直于弦的直线必过圆心【考点】命题与定理．【分析】根据垂径定理及其推论对各选项分别进行判断．【解答】解：A、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，所以A选项错误；B、垂直平分弦的直线必平分这条弦所对的弧，所以B选项正确；C、平分弦（非直径）的直径必垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，所以C选项错误；D、垂直平分弦的直线必过圆心，所以D选项错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限．【解答】解：∵xy=4，∴xy=4，∴y=（x＞0，y＞0），当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，故选：C．【点评】考查了反比例函数的图象及应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．11．小洋用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．120πcm2B．240πcm2C．260πcm2D．480πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【解答】解：圆锥的侧面积=•2π•10•24=240π（cm2），所以这张扇形纸板的面积为240πcm2．故选B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．12．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结A A′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）A．B．3C．6D．9【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】利用△ADE沿DE翻折的特性求出AM=A′M，再由DE∥BC，得到=，求得AE，再求出AM，利用△ADE的面积=DE•AM求解．【解答】解：△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处∴AM=A′M，又∵A′为MN的中点，∴AM=A′M=A′N，∵DE∥AC，∴=，∵△ABC是等边三角形，BC=6，∴BC=AC，∴=∴AE=2，∵AN是△ABC的BC边上的高，中线及角平分线，∴∠MAE=30°，∴AM=，ME=1，∴DE=2，∴△ADE的面积=DE•AM=××2=，故选：A．【点评】本题主要考查了三角形的折叠问题上，解题的关键是运用比例求出AE，再求面积．二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果．13．若关于x的方程ax2﹣4x+3=0有两个相等的实数根，则常数a的值是．【考点】根的判别式．【分析】根据判别式的意义得到△=（﹣4）2﹣4a×3=0，然后求解即可．【解答】解：根据题意得△=（﹣4）2﹣4a×3=0，解得a=．故答案为．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．14．圆内接四边形ABCD的内角∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠D=90度．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D的度数．【解答】解：∵圆内接四边形的对角互补∴∠A：∠B：∠C：∠D=2：3：4：3设∠A=2x，则∠B=3x，∠C=4x，∠D=3x∴2x+3x+4x+3x=360°∴x=30°∴∠D=90°．【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用．15．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．16．如图，⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上一点，点D平分，DE=2cm，则弦AC=6cm．【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】由题意可知OD平分BC，OE为△ABC的中位线，根据直径求出半径，进而求出OE的长度，再根据中位线原理即可解答．【解答】解：∵点D平分，∴OD平分BC，∴OE为△ABC的中位线，又∵⊙O的直径AB=10cm，∴OD=5cm，DE=2cm，∴0E=3cm则弦AC=6cm．故答案为6cm．【点评】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．【点评】本题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表示出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是本题的关键．三、解答题：本大题共8小题，共69分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．按下列的要求解一元二次方程：（1）（因式分解法）x2+7x+12=0（2）（配方法）x2+4x+1=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】（1）利用因式分解法把原方程化为x+4=0或x+3=0，然后解两个一次方程即可；（2）利用配方法得到（x+2）2=3，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x+4）（x+3）=0，x+4=0或x+3=0，所以x1=﹣4，x2=﹣3；（2）x2+4x=﹣1，x2+4x+4=3，（x+2）2=3，x+2=±所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．19．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】探究型．【分析】（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1=kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=的图象上，∴=6，m=6．∴反比例函数的解析式为：y2=，∴=2，a==3，∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1=kx+b的图象上，∴，解这个方程组，得∴一次函数的解析式为y1=﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=；（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∵点A（1，6），B（3，2），∴1≤x≤3．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．20．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】几何图形问题．【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．【解答】解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．21．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC=∠ACD．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=3，AB=7，求AC的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似即可证明△ADC∽△ACB；（2）根据相似三角形的对应边成比例得出AC：AB=AD：AC，即AC2=AB•AD，将数值代入计算即可求出AC的长．【解答】（1）证明：在△ADC与△ACB中，∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AB•AD，∵AD=2，AB=7，∴AC2=7×2=14，∴AC=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，用到的知识点为：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两三角形相似）；②相似三角形的对应边成比例．22．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是20元，根据市场调查，在一段时间内，销售单价是30元时，销量是300件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，若商场想获得利润3750元，并规定每件玩具的利润不得超过进价时单价的100%，问该玩具的销售单价应定为多少元？【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】利用每件利润×销量=3750，进而求出答案即可．【解答】解：设该玩具的销售单价为x元，则依题意有：[300﹣10（x﹣30）]（x﹣20）=3750化简得x2﹣80x+1575=0解这个方程得：x1=35，x2=45因为利润不得超过原价的100%，所以x2=45应舍去．答：该玩具应定价为35元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润等于单件利润乘以销量，难度不大．23．如图，抛物线经过点A、B、C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求△ODC的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】（1）由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把A点坐标代入求出a的值即可；（2）利用抛物线的对称性易得D点坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，把A（﹣1，0）代入得a•（﹣1﹣1）2﹣4=0，解得a=1，所以抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣4；（2）因为抛物线的对称轴为直线x=1，则点A（﹣1，0）关于直线x=1的对称点D的坐标为（3，0），所以△ODC的面积=×3×4=6．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．24．如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若，AD=2，求线段BC的长．【考点】切线的判定与性质；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）因为BC经过圆的半径的外端，只要证明AB⊥BC即可．连接OE、OC，利用△OBC≌△OEC，得到∠OBC=90°即可证明BC为⊙O的切线．（2）作DF⊥BC于点F，构造Rt△DFC，利用勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OE、OC．∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC．∴∠OBC=∠OEC．又∵DE与⊙O相切于点E，∴∠OEC=90°．∴∠OBC=90°．∴BC为⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，BF=AD=2，DF=AB=2．∵AD、DC、BC分别切⊙O于点A、E、B，∴DA=DE，CE=CB．设BC为x，则CF=x﹣2，DC=x+2．在Rt△DFC中，（x+2）2﹣（x﹣2）2=（2）2，解得x=．∴BC=．【点评】此题考查了切线的判定和勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．25．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．。

2022-2023学年度九年级数学第一学期期末质量检测试卷(含答案)

2022-2023学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷（考试时间：120分钟；满分：120分）友情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！本次考试只交答题纸，请同学们务必将学校、班级、姓名写在答题纸的卷面上,务必在答题纸规定的位置上写答案，在其它位置写答案不得分！一、单选题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将1—8各小题所选答案涂在答题纸规定的位置.1．两个形状相同、大小相等的小木块放置于桌面上，则其左视图是（） .A ．B ．C ．D ．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AB =2，则下列结论正确的是（）A ．23sin =B B ．21tan =BC ．23cos =A D ．3tan =A 3.小丽和小强在阳光下行走，小丽身高1.6米，她的影长2.0米，小丽比小强矮10cm,此刻小强的影长是（）米．A ．817 B ．178 C ．815 D ．158 4.在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（）个．A ．8B ．9C ．14D ．15ACB第2题图第1题图5.方程22x －5x ＋m = 0没有实数根，则m 的取值范围是（）A.m ＞825 B.m ＜825 C.m ≤825 D.m ≥825 6．如图，□ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，△ABO 是等边三角形，若AC ＝8cm ，则□ABCD 的面积是（）cm 2 . A ．16 B ．43C ．83D ．1637.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，人和木板对地面的压强P （Pa ）是木板面积S （m 2）的反比例函数，其图象如图，点A 在反比例函数图象上，坐标是（8，30），当压强P （Pa ）是4800Pa 时，木板面积为（）m 2A ． 0.5B ．2C ．0.05D ． 20第7题图8.如图，在□ABCD 中，AB =6，BC =9，∠ABC ，∠BCD 的角平分线分别交AD 于E 和F ，BE 与CF 交于点O ，则△EFO 与△BCO 面积之比是（）A ．1：3B ． 1：9C ．2：3D ． 9：1 二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）请将 9—16各小题的答案填写在答题纸规定的位置.9．计算：tan45°＋3sin60°=__________.10.由于手机市场的迅速成长，某品牌的手机为了赢得消费者，在一年之内连续两次降价，从5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？设这个降低百分率为x ，则根据题意，可列方程： . 11．如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且DE //BC ，若AD = 6，DB = 8，AE =4，则AC = ．12．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，﹣4），B （﹣6，2），以原点O 为位似中心，ADE 第11题图B C A （8,30）AODCB第6题图AODCB第8题图F E位似比为2：1，将△ABO 缩小，则点B 的对应点B ′的坐标是．13.如图所示，某小区想借助互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域40m 长的篱笆围成一个面积为384m 2矩形花园．设宽AB ＝x m ，且AB ＜BC ,则x ＝ m ． 14.如图，在水平的地面BD 上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB ，CD ，以点B 为坐标原点，直线BD 为x 轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线62.38.02+-=x x y 则电线最低点离地面的距离是米．15.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，它与x 轴的两个交点的坐标分别为（﹣1，0）（2，0）．下列结论：①0<abc ；②042>-ac b ；③当021<<x x 时，21y y <；④当﹣1＜x ＜2时，y ＜0．正确的有．（填正确结论的序号）．16．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC =8cm ，BD =4cm ， AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥CD 交CD 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AE 交AE 于点F ，下列结论： ①tan ∠FOA =21； ②GO FG =； ③558=FO cm ；④S 梯形ABCE =5104cm 2．正确的有．（填正确结论的序号）．F D OCGBAE第15题图－1Oxy2第14题图ABxy(米) DC第13题图ABDOC第16题图三、作图题（本题满分4分）（保留作图痕迹，不写做法） 17.已知:线段m .求作：正方形ABCD,使正方形ABCD 边长AB=m .四、解答题（本题满分68分）18．解方程：（本小题满分8分，每小题4分）（1）872=-x x （用配方法）．（2）282-22+=+x x x （用适当方法）．19．（本小题满分6分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字3、－3、6、－6的小球，小球的形状、大小、质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x ，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y ．（1）用列表法或树状图法表示出（x ，y ）所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各取一次小球所确定的数字和为0的概率．m如图，在矩形ABOC 中，AB ＝4，AC ＝6，点D 是边AB 的中点，反比例函数xky =1（x <0）的图象经过点D ，交AC 边于点E ，直线DE 的关系式为2y ＝m x +n （m ≠0）．（1）求反比例函数的关系式和直线DE 的关系式；（2）在第二象限内，根据图象直接写出当x 时，21y y >．21.（本题满分8分）为全面实施乡村振兴战略，促进农业全面升级、农村全面进步、农民全面发展.如图，四边形ABCD 是某蔬菜大棚的侧面示意图，已知墙BC 与地面垂直，且长度为5米，现测得∠ABC ＝112°，∠D =67°，AB =4米，，求此蔬菜大棚的宽CD 的长度.（精确到0.1米）（参考数据：sin22°≈83，cos22°≈1615，tan22°≈53，sin67°≈1312， cos67°≈135，tan67°≈512）CB D ABDBOxy CDA E如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ．延长BF 至G ，使FG ＝BF ，连结DG ．（1）求证：GF =DE ．（2）当OF ：BF ＝1 ：2时，判断四边形DEFG 是什么特殊四边形？并说明理由．23．（本小题满分10分）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．越来越多的人可以足不出户就能进行网上购物，网上支付，中国电子商务的发展走在了世界的前列.某网店专售一种书包，其成本为每个40元，已知销售过程中，当售价为每个50元时，每月可销售500个.据市场调查发现，销售单价每涨2元，每月就少售20个.物价部门规定：销售单价不低于成本单价，且这种商品的利润率不得高于60%．设每个书包售x 元，每月销售量y 个.（1）求出y 与x 的函数关系式;（2）设该网店每月获得的利润为W 元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出100元资助贫困学生．为了保证捐款后每月获得的利润不低于6650元，且让消费者得到最大的实惠，如何确定该商品的销售单价？D A CBGOEF（1）阅读下面的材料：如果函数y ＝f （x ）满足：对于自变量x 的取值范围内的任意1x ，2x ，（1）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＜f （2x ），则称f （x ）是增函数；（2）若1x ＜2x ，都有f （1x ）＞f （2x ），则称f （x ）是减函数．例题：证明函数f （x ）＝x5（x ＞0）是减函数．证明：设0＜1x ＜2x ， f （1x ）﹣f （2x ）＝2155x x -＝211255x x x x -＝21125x x x x ）（-． ∵0＜1x ＜2x ，∴2x ﹣1x ＞0，1x 2x ＞0． ∴21125x x x x ）（-＞0．即f （1x ）﹣f （2x ）＞0．∴f （1x ）＞f （2x ）． ∴函数f （x ）=x5（x ＞0）是减函数．（2）根据以上材料，解答下面的问题：已知：函数f （x ）＝x x 31212++（x ＜0）， ①计算：f （﹣1）＝，f （﹣2）＝； ②猜想：函数f （x ）＝x x 31212++（x ＜0）是函数（填“增”或“减”）； ③验证：请仿照例题证明你对②的猜想．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝5cm ，E 是AD 上一点，DE ＝3cm ，连接BE 、CE ．点P 从点C 出发，沿CE 方向向点E 匀速运动，运动速度2 cm/s ，同时点Q 从点B 出发，沿BC 方向匀速运动，运动速度均为1cm/s ，连接PQ . 设点P 、Q 的运动时间为t （s ）（0＜t ＜2.5）．（1）当t 为何值时，△PQC 是等腰三角形？（2）设五边形ABQPE 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t ，使得S五边形ABQPE：S矩形ABCD＝23：50？若存在，求出t的值,并求出此时PQ 的长；若不存在，请说明理由．APD CBEQA DCBE备用图参考答案及评分标准一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）二、填空题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分） 9．25 10．5980(1－x ）2=4698 11．328 12．（-3，1），（3，-1） 13．16 14． 2.8 15．①①① 16．①①① 三、作图题（本题满分4分）17．作图正确3分，结论1分四、解答题（本题满分68分）18．（本题满分8分，每小题4分）本题只给出最后结果，阅卷时注意分步得分. （1）1,821-==x x …………4分（2） 313,13321-=+=x x ……………4分19．(本题满分6分)20. （本小题满分8分）解：（1）∵点D 是边AB 的中点，AB ＝4，∴B D ＝2，∵四边形ABOC 是矩形，AC ＝6， ∴D （-6，2）， ∵反比例函数xky =1（x <0）的图象经过点D ， ∴k ＝-12，∴反比例函数的关系式为xy 121-=（x <0），…….4分当y ＝4时，x ＝-3， ∴E （-3，4），把D （-6，2）和E （-3，4）代入y 2＝mx +n （m ≠0）得，⎩⎨⎧=+-=+-4326n m n m∴⎪⎩⎪⎨⎧==632n m 解得∴直线DE 的解析式为6322+=x y …….6分（2）03-6<<-<x x 或或（03-69<<-<<-x x 或）（两个答案都可以）……8分BOxyCD AE21. （本小题满分8分）解：如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，…….1分根据题意可知：AB ＝4，,CB=5,∠ABF ＝22°，分米。

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九年级数学第一学期期末试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 抛物线()212y x =-+的对称轴为（）.A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =D ．直线2x =-2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠C =15°，则∠BOC =（）.A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°3. 如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（）. A ．1 B ．13C ．12D ． 2 4．用配方法将2611y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为（）.A ．2(3)2y x =++B ．2(3)2y x =--C ．2(6)2y x =--D ．2(3)2y x =-+5．如图，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△111A B C（顶点均在格点上），若它们是以P 点为位似中心的位似图形，则P 点的坐标是（）.A ．(4,3)--B ．(3,3)--C ．(4,4)--D ．(3,4)--6. 某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量P （件）与每件的销售价x （元）满足关系：1002P x =-.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（）.A ．(30)(1002)200x x --=B ．(1002)200x x -=C ．(30)(1002)200x x --=D ．(30)(2100)200x x --=7. 如图，△OAB 中，OA =OB ，∠A =30°，⊙O 与AB 相切，切点为E ，并分别交OA ，OB 于C ，D 两点，连接CD .若CD 等于OCED 的面积等于（）.A ．23π B ．43π C ．83π D ．163π 8. 如图，OA=4，线段OA 的中点为B ，点P 在以O 为圆心，OB 为半径的圆上运动，P A 的中点为Q .当点Q 也落在⊙O 上时，cos ∠OQB 的值等于（）.A ．12B ．13C ．14D ．23二、填空题（本题共16分，每小题4分）9. 如图，在△ABC 中，DE ∥AB 分别交AC ，BC 于点D ，E ，若AD =2，CD =3，则△CDE 与△CAB 的周长比为 .10. 两圆的半径分别为3cm 和4cm ，若圆心距为5cm ，则这两圆的位置关系为 .11. 如图，平面直角坐标系xOy 中，点A (2,0)，以OA 为半径作⊙O 若点P ，B 都在⊙O 上，且四边形AOPB 为菱形，则点P 的坐标为 .12．抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）满足条件：（1）40a b -=；（2）0a b c -+>；（3）与x 轴有两个交点，且两交点间的距离小于2．以下有四个结论：①0a <；②0c >；③0a b c ++<；④43c c a <<，其中所有正确结论的序号是．三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．计算：26tan 30cos45︒︒-︒．14．若关于x 的方程 2430x x a +-+=有实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若a 为符合条件的最小整数，求此时方程的根．15．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60AC D 为CB 延长线上一点，且BD =2AB ．求AD 的长．16．右图为抛物线cbxxy++-=2的一部分，它经过A(1,0)-，B(0,3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）将此抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的解析式．17.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50m，求这栋楼的高度.取1.414，取1.732）18．对于抛物线243y x x=-+.（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程2430x x t-+-=（t为实数）在1-＜x＜72的范围内有解，则t的取值范围是．四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC= 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．20．两个长为2，宽为1的矩形ABCD和矩形EFGH如图1所示摆放在直线l上，DE=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转α角（090α︒<<︒），将矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．（1）当两个矩形旋转到顶点C，F重合时（如图2），∠DCE= °，点C到直线l的距离等于，α= °；（2）利用图3思考：在旋转的过程中，矩形ABCD和矩形EFGH重合部分为正方形时，α= °．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD ⊥AC 于点E ，交⊙O 于点F ，连接BF ，CF ，∠D=∠BFC .（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若AC=8，tan B =12，求AD 的长.22．请阅读下面材料：若10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，证明直线122x x x += 为此抛物线的对称轴. 有一种方法证明如下：证明：∵ 10(,)A x y ，20(,)B x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，∴ 20112022 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩且 1x ≠2x . ①-②得 221212()()0a x x b x x -+-=.∴ []1212()()0x x a x x b -++=.∴ 12b x x a+=-. 又∵ 抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴为2b x a =-， ∴ 直线122x x x +=为此抛物线的对称轴. （1）反之，如果11(,)M x y ，22(,)N x y 是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）上不同的两点，直线122x x x +=为该抛物线的对称轴，那么自变量取1x ，2x 时函数值相等吗？写出你的猜想，并参考．．上述方法写出证明过程；（2）利用以上结论解答下面问题：已知二次函数21y x bx =+- 当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等，求x = 2012时的函数值.五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23. 已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数）（1）若此方程的一个非零实数根为k ，① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 24. 已知抛物线2()y ax a c x c =-++（其中a ≠ c 且a ≠0）.（1）求此抛物线与x 轴的交点坐标；（用a ，c 的代数式表示）（2）若经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a+-，求此抛物线的解析式；（3）点P 在（2）中x 轴上方的抛物线上，直线y x k =-+与 y 轴的交点为C ，若1tan tan 4POB POC ∠=∠，求点P 的坐标；（4）若（2）中的二次函数的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值时，记它的整数函数值的个数为N ，则N 关于n 的函数关系式为 .25. 含30°角的直角三角板ABC 中，∠A =30°.将其绕直角顶点C 顺时针旋转α角（0120α︒<<︒且α≠ 90°），得到Rt △''A B C ，'A C 边与AB 所在直线交于点D ，过点 D 作DE ∥''A B 交'CB 边于点E ，连接BE .（1）如图1，当''A B 边经过点B 时，α= °；（2）在三角板旋转的过程中，若∠CBD 的度数是∠CBE 度数的m 倍，猜想m 的值并证明你的结论；（3）设 BC =1，AD =x ，△BDE 的面积为S ，以点E 为圆心，EB 为半径作⊙E ，当S =13ABC S ∆ 时，求AD 的长，并判断此时直线'A C 与⊙E 的位置关系.九年级数学参考答案及评分标准二、填空题（本题共16分，每小题4分）9.35.10. 相交. 11. (-，(1,-.（每个2分） 12.②，④.（写对一个给2分，每写一个错误答案扣1分，最低0分不倒扣分）三、解答题（本题共31分，第13～17题每小题5分，第18题6分）13．解： 26tan 30cos45︒︒-︒26=⨯……………………………………………………………3分 322=- 12=……………………………………………………………………………5分14．解：（1）244(3)a ∆=--44a =+.…………………………………………………… 1分∵ 该方程有实数根，∴ 44a +≥0．…………………………………………………………………2分解得a ≥1-．……………………………………………………………………3分（2）当a 为符合条件的最小整数时，a = 1-． ………………………………… 4分此时方程化为2440x x ++=，方程的根为122x x ==-．…………………5分15．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，AC∴ 2sin 60AC AB ==︒，BC =1．……………………2分 ∵ D 为CB 延长线上一点，BD =2AB ，∴ BD =4，CD =5． …………………………………………………………………4分 ∴ AD ==……………………………………………………5分16．解：（1）∵ 抛物线经过A (1,0)-，B (0,3)两点，∴ 10, 3.b c c --+=⎧⎨=⎩……………………………………………………………1分解得 2, 3.b c =⎧⎨=⎩ …………………………………………………………………2分 ∴ 抛物线的解析式为223y x x =-++． ……………………………………3分（2）∵ 抛物线223y x x =-++的顶点坐标为(1,4)，∴ 平移后的抛物线的顶点坐标为(2,3)-．∴ 平移后的抛物线的解析式为22(2)341y x x x =-++=---．…………5分17．解：在Rt △ABD 中，∠BDA =90°，∠BAD =45°，∴ BD =AD =50(m)． …………………………………………2分在Rt △ACD 中，∠ADC =90°，∠CAD =60°，∴CD =(m) ． ………………………………4分∴ BC= BD+CD=50+1)136.6=≈(m)．……5分答：这栋楼约高136.6 m ． 18．解：（1）它与x 轴交点的坐标为(1,0),(3,0)，与y 轴交点的坐标为(0,3)，顶点坐标为(2,1)-； ………………………………………3分（2）列表：……………………………4分图象如图3所示． ……………………………5分（3）t 的取值范围是18t -≤<．……………………6分四、解答题（本题共19分，第20题4分，其余每小题5分）19．（1）证明：∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ．……………………………1分∵ ∠ADE +∠BDE =∠ADB =∠C +∠CAD ，∠ADE =∠C ，∴ ∠BDE =∠CAD ． ………………………………………………………2分 ∴ △BDE ∽△CAD ． ………………………………………………………3分（2）解：由（1）得DB AC BE CD=．…………………………………………………………4分 ∵ AB =AC = 5，BC = 8，CD =2，∴ 6DB BC CD =-=．∴ 62 2.45DB CD BE AC ⨯⨯===． ………………………………………………5分 20．解：（1）∠DCE = 60 °，点C 到直线lα= 30 °； …………………3分（2）α= 45 °． ………………………………………………………………………4分21．（1）证明：∵ OD ⊥AC 于点E ，∴ ∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．∵ ∠D=∠BFC ，∠BFC=∠1，∴ ∠D +∠2=90°，∠OAD =90°．∴ OA ⊥AD 于点A ．………………………1分∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AD 是⊙O 的切线． ……………………2分（2）解：∵ OD ⊥AC 于点E ，AC 是⊙O 的弦，AC=8，∴ 42AC AE EC ===．………………………………………………………3分 ∵ ∠B =∠C ，tan B =12， ∴ 在Rt △CEF 中，∠CEF =90°，tan C =12． ∴ tan 2EF EC C =⋅=．设⊙O 的半径为r ，则2OE r =-．在Rt △OAE 中，由勾股定理得 222OA OE AE =+，即 222(2)4r r =-+．解得 r =5．……………………………………………………………………4分 ∴ 在Rt △OAE 中，4tan 23AE OE ∠==． ∴ 在Rt △OAD 中，420tan 2533AD OA =⋅∠=⨯=． ………………………5分 22．解：（1）结论：自变量取1x ，2x 时函数值相等． ……………………………………1分证明：∵ 11(,)M x y ，22(,)N x y 为抛物线2y ax bx c =++上不同的两点，由题意得 21112222 , ,y ax bx c y ax bx c ⎧=++⎪⎨=++⎪⎩1x ≠2x ． ①-②，得 []221212121212()()()()y y a x x b x x x x a x x b -=-+-=-++. ……………………………………………………………2分∵ 直线122x x x +=是抛物线2y ax bx c =++（a ≠ 0）的对称轴， ∴ 1222x x b x a+==-. ∴ 12bx x a +=-.∴ []121212()()0y y x x a x x b -=-++=，即12y y =.………………3分（阅卷说明：其他代数证明方法相应给分；直接利用抛物线的对称性而没有用代数方法进行证明的不给分）（2）∵ 二次函数21y x bx =+-当x = 4 时的函数值与x = 2007 时的函数值相等， ∴ 由阅读材料可知二次函数21y x bx =+-的对称轴为直线20112x =. ∴ 201122b -=，2011b =-. ∴ 二次函数的解析式为220111y x x =--. …………………………………4分∵ 20112012(1)22+-=，由（1）知，当x = 2012的函数值与1x =-时的函数值相等.∵ 当x =1-时的函数值为2(1)2011(1)12011--⨯--=，∴ 当x = 2012 时的函数值为2011. …………………………………………5分五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23.解：（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※ …………………………………………1分 ① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =. ………………………………………………………2分 ∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程，∴ m ≠ 2.∴ m= 1. ……………………………………………………………………3分（阅卷说明：写对m= 1，但多出其他错误答案扣1分）② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0m m k m k---+=.…………………4分整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k =+-+=+.……………………………………………5分（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .………6分当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0. ∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象， ∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点. …………………………6分∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. ……………7分解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.…………6分结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图6）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4；当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0. ∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根…………………………………………7分24.解：（1）抛物线2()y ax a c x c =-++与x 轴交点的横坐标是关于x 2()0ax a c x c -++=（其中a ≠ 0，a ≠c ）的解. 解得 11x =，2c x a=. ………………………………………………………… 1分 ∴ 抛物线与x 轴交点的坐标为(1,0)，(,0)c a.……………………………… 2分（2）抛物线2()y ax a c x c =-++的顶点A 的坐标为2()(,)24a c a c a a +--. ∵ 经过此抛物线顶点A 的直线y x k =-+与此抛物线的另一个交点为(,)a c B c a +-， 22() ,42 , ()().a c a c k a a a c c k a a c a c c a a c c a a ⎧-+-=-+⎪⎪+⎪∴-=-+⎨⎪++⎪-=-+⨯+⎪⎩ 由③得 c =0. ……………………………………………………………………3分将其代入①、② 得 1 ,42 01.a k k ⎧-=-+⎪⎨⎪=-+⎩ 解得 2a =-.∴ 所求抛物线的解析式为 222y x x =-+.…………………………………… 4分（3）作PE ⊥x 轴于点E ， PF ⊥y 轴于点F .（如图7）抛物线222y x x =-+的顶点A 的坐标11(,)22，点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,1).设点P 的坐标为(,)m n .∵ 点P 在x 轴上方的抛物线222y x x =-+上，∴ 222n m m =-+，且0＜m ＜1，102n <<.∴ tan PE n POB OE m ∠==，tan PF m POC OF n∠==. ∵ 1tan tan 4POB POC ∠=∠， ∴ 224m n =.解得 m =2n ，或2m n =-（舍去）. ………………………………………………5分将m =2n 代入222n m m =-+，得2830n n -=. 解得138n =，20n =（舍去）. ∴ 324m n ==. ∴ 点P 的坐标为33(,)48. …………………………………………………………6分（4）N 关于n 的函数关系式为N=4n . ………………………………………………7分说明：二次函数222y x x =-+的自变量x 在n ≤x ＜1n +（n 为正整数）的范围内取值，此时y 随x 的增大而减小，∴ 222n n --＜y ≤222n n -+，其中的整数有2221n n --+，2222n n --+，…222n n -+.22(22)(22)4N n n n n n =-+---=.25.（1）当''A B 边经过点B 时，α= 60 °； ………………………………………… 1分（2）猜想：①如图8，点D 在AB 边上时，m =2；②如图9，点D 在AB 的延长线上时，m =4.（阅卷说明：为与后边证明不重复给分，猜想结论不设给分点）证明：① 当090α︒<<︒时，点D 在AB 边上（如图8）.（阅卷说明：①、②两种情况没写α的取值范围不扣分）∵ DE ∥''A B ，∴ CD CE CA CB =''. 由旋转性质可知，CA ='CA ，CB ='CB ，∠ACD=∠BCE . ∴CD CE CA CB =. ∴ △CAD ∽△CBE . ……………2分∴ ∠A =∠CBE=30°. ∵ 点D 在AB 边上，∠CBD=60°，∴ 2CBD CBE ∠=∠，即 m =2. ………………………………………3分② 当90120α︒<<︒时，点D 在AB 的延长线上（如图9）.与①同理可得 ∠A =∠CBE=30°.∵ 点D 在AB 的延长线上，180120CBD CBA ∠=︒-∠=︒，∴ 4CBD CBE ∠=∠，即 m =4. ……………………………………4分（阅卷说明：第（2）问用四点共圆方法证明的扣1分.）（3）解：在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A =30°，BC =1，∴ AB = 2，AC =ABC S . 由 △CAD ∽△CBE 得AD BE AC BC =. ∵ AD =x ，∴1BE =，BE =. ①当点D 在AB 边上时，AD =x ，2BD AB AD=-=此时，11(2)22BDES S BD BE x ==⨯=-= . 当S =13ABC S ∆. 整理，得 2210x x -+=.解得 121x x ==，即AD =1.…………………5分此时D 为AB 中点，∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE .（如图10） ∴ EC = EB .∵ ''90A CB ∠=︒，点E 在'CB 边上，∴ 圆心E 到'A C 的距离EC 等于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相切. …………………………………………………6分 ②当点D 在AB 的延长线上时，AD =x ，2BD x =-，∠DBE=90°.（如图9）. 11(2)22BDE S S BD BE x ==⨯=- . 当S =13ABC S ∆=. 整理，得 2210x x --=.解得 11x =+，21x =（负值，舍去）.即AD =……………………………………………………………… 7分此时∠BCE=α，而90120α︒<<︒，∠CBE =30°，∴ ∠CBE ＜∠BCE .∴ EC ＜EB ，即圆心E 到'A C 的距离EC 小于⊙E 的半径EB .∴ 直线'A C 与⊙E 相交. ……………………………………………………8分。

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