排列、组合、二项式定理.
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合二项式定理
排列组合和二项式定理一、排列组合1.1 排列排列是指从一组元素中选取一部分进行操作，按照一定的顺序进行排列。
在排列中，每个元素只能使用一次。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行排列，可以得到以下6个排列： 12、13、21、23、31、32。
排列的数目可以用符号P表示，表示从n个元素中选取r 个进行排列。
排列数的计算公式如下所示： P(n, r) = n! / (n - r)!其中，!表示阶乘，例如4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24。
1.2 组合组合是指从一组元素中选取一部分进行操作，不考虑元素的顺序。
与排列不同，组合中的元素只有选择与不选择两种情况。
例如，从1、2、3这三个元素中选出两个进行组合，可以得到以下三个组合： 12、13、23。
组合的数目可以用符号C表示，表示从n个元素中选取r 个进行组合。
组合数的计算公式如下所示： C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、二项式定理二项式定理是代数学中的一个重要定理，用于展开任意幂的二项式。
二项式定理公式如下所示： (a + b)^n = C(n, 0) × a^n × b^0 + C(n, 1) × a^(n-1) × b^1 + C(n, 2) × a^(n-2) × b^2 + … + C(n, n) × a^0 × b^n其中，C(n, r)表示组合数，表示从n个元素中选取r个进行组合。
a和b表示两个变量，n表示幂。
在二项式定理中，展开后的式子包含了各个组合数和变量的乘积，这些乘积的和即为二项式定理的展开结果。
二项式定理在代数学中有着广泛的应用，它可以用于计算各种复杂的代数表达式的展开结果。
二项式定理也是高中数学课程中常见的内容，通过学习二项式定理，可以帮助学生更好地理解代数学中的概念。
排列组合二项式定理
排列组合与二项式定理一、排列与组合简介在概率论和组合数学中，排列和组合是两个重要的概念。
排列和组合通常被用来描述从给定的有限集合中选择若干元素的方式。
排列指的是从一组元素中选择若干不同的元素并按照一定的顺序排列的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行排列的方式数目记作P(n, r)。
排列主要有两种情况：1.重复元素情况下的排列，即元素可重复使用。
此时，P(n, r) = n^r.2.不重复元素情况下的排列，即元素不可重复使用。
此时，P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) = n!/(n-r)!.组合指的是从一组元素中选择若干不同的元素，而不考虑元素的顺序的方式。
对于一个有n个元素的集合，从中选择r个元素进行组合的方式数目记作C(n, r)。
组合的计算公式为：C(n, r) = n!/[(n-r)!*r!].二、二项式定理的概念与展开二项式定理是高中数学中非常重要的一个定理，也是排列组合理论的重要应用。
它用于展开一个二项式的幂。
二项式定理的公式为：(x+y)^n = C(n,0)x ny^0 + C(n,1)x(n-1)y^1 + C(n,2)x(n-2)y^2 + … + C(n,n-1)x1y^(n-1) +C(n,n)x^0y^n.其中，C(n,r)表示从n个元素中选择r个元素进行组合的方式数目。
三、二项式定理的解读与应用二项式定理可以用来求解(x+y)^n的展开式中的各项系数。
在展开式中，每一项的系数就是对应的组合数。
举例说明，当n=3时，展开式为：(x+y)^3 = C(3,0)x3y^0 + C(3,1)x2y^1 + C(3,2)x1y^2 + C(3,3)x0y^3.展开后，得到：(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x y^2 + y^3.可以看出，展开式中的每一项系数正好是对应的组合数。
二项式定理在概率论、组合数学、代数等领域具有广泛的应用。
排列组合、二项式定理与概率统计
排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。
它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。
排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。
它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。
这里的A表示从n个中取出m个的排列数。
二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。
它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。
概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。
这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。
概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。
排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。
排列组合、二项式定理(附答案)
排列组合、二项式定理(附答案)第六章：排列组合与二项式定理一、考纲要求：1.掌握加法原理和乘法原理，能够用这两个原理解决简单的问题。
2.理解排列和组合的意义，掌握排列数和组合数的计算公式以及组合数的性质，并能够用它们解决简单的问题。
3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能够用它们计算和论证简单的问题。
二、知识结构：加法原理和乘法原理排列和组合排列数和组合数的公式和应用二项式定理和二项式系数的性质和应用三、知识点、能力点提示：1.加法原理和乘法原理是排列组合的基础，掌握这两个原理为处理排列和组合中的问题提供了理论根据。
2.排列和排列数公式是中学代数中的独特内容，研究对象和研究方法与前面掌握的知识不同，解题方法比较灵活。
历届高考主要考查排列的应用题，通常是选择题或填空题。
3.组合和组合数公式是历届高考中常出现的题型，主要考查排列组合的应用题，通常是选择题或填空题。
组合数有两个性质：对称性和递推关系。
4.二项式定理和二项式系数的性质是高中数学中的重要内容，主要考查计算和论证方面的问题，通常是选择题或证明题。
3a4的值为(。
)A.4B.6C.8D.10解：根据二项式定理，展开(2x+3)的四次方可得：2x+3)4= C412x)4+ C422x)3(3)+ C432x)2(3)2+ C442x)(3)3+ C453)416x4+96x3+216x2+216x+81将(2x+3)表示成a+a1x+a2x+a3x+a4x的形式，可得：a+a1x+a2x+a3x+a4x= C4a4+ C41a3x+ C42a2x2+ C43ax3+ C44x416a4+96a3x+216a2x2+216ax3+81x4 由此可得：a+a2a3a4C4a4+ C42a2+ C43a+ C4416a4+216a2+81又因为(2x+3)的系数为1，所以a=2，代入上式可得：a+a2a3a416(2)4+216(2)2+81=8故选C.例21：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，8名学生入座(每人一个座位)，则不同座法的总数是多少？解：对于8个人的任意一个排列均可“按先前排从左到右再后排从左到右”的次序入座，所以应有$P_8$种不同的入座法。
(完整版)排列组合与二项式定理
8、九张卡片分别写着数字0,1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？ 【参考答案】可以分为两类情况：① 若取出6，则有()211182772P C C C +种方法； ②若不取6，则有1277C P 种方法．根据分类计数原理，一共有()211182772P C C C ++1277C P ＝602种方法． 9、从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的取法有 种.【参考答案】由分析，完成第一类办法还可以分成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有26C 种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有35C 种方法，据乘法原理共有3526C C ⋅种方法.同理，完成第二类办法中有2536C C ⋅种方法.据加法原理完成全部的选取过程共有+⋅3526C C 3502536=⋅C C 种方法. 经典例题：例1．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同取法共有（ ）A ．150种B. 147种C. 144种D. 141种【答案】取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂，可采用间接法，先不加限制任取四点，再减去四面共点的取法．在10个点中任取4点，有410C 种取法，取出的4点共面有三类 第一类：共四面体的某一个面，有446C 种取法；第二类：过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点，如图中的平面ABE ，有6种取法； 第三类：过四面体的四条棱的中点，面与另外两条棱平行，如图中的平面EFGM ，共有3个． 故取4个不共面的点的不同取法共有410C －(446C ＋6＋3)＝141，因此选D例2. 一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课（上午四节，下午二节），要求上午第一节不排体育，。
排列、组合与二项式定理(理)
二项式定理的未来发展方向
理论完善
随着数学的发展，二项式定理的理论体系将不断完善，新的证明方 法和技巧将不断涌现。
应用拓展
随着各学科的发展，二项式定理的应用领域将不断拓展，特别是在 大数据处理、人工智能和量子计算等领域。
排列数的计算
01
二项式定理也可以用来计算排列数，特别是当排列数的上标和
下标较大时，使用二项式定理可以简化计算过程。
排列数的性质
02
通过二项式定理，我们可以推导出排列数的性质，如排列数的
增减性等。
排列数的递推关系
03
利用二项式定理，我们可以得到排列数的递推关系，从而更方
便地计算排列数。
利用二项式定理解决实际问题
互异性
有序性
排列中的元素顺序是确定的，不能随 意调换。
排列中的元素没有重复出现的情况。
组合的定义与性质
组合的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0<m≤n），不考虑顺序，称为 从n个不同元素中取出m个元素的
一个组合。
互异性
组合中的元素没有重复出现的情况。
无序性
组合中的元素顺序不影响其组合结 果。
排列与组合的关系
利用组合数的性质，通过数学推导推导出二项式定理的展开式。
利用多项式乘法推导
将$(a+b)^n$展开成多项式，然后利用多项式乘法的性质推导出二 项式定理的展开式。
利用幂的性质推导
利用幂的性质，将$(a+b)^n$展开成幂的形式，然后通过数学推导 推导出二项式定理的展开式。
04 二项式定理的应用举例
利用二项式定理计算组合数
职高数学——排列、组合与二项式定理
计数原理一、高考要求:掌握分类计数原理及分步计数原理,并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题.二、知识要点:1.分类计数原理(又称加法原理):完成一件事,有n 类办法,在第1类办法中有1m 种不同的方法,在第2类办法中有2m 种不同的方法,……,在第n 类办法中有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.2.分步计数原理(又称乘法原理):完成一件事,需要分成n 个步骤,做第1步有1m 种不同的方法,做第2步有2m 种不同的方法,……,做第n 步有n m 种不同的方法,那么完成这件事共有 12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.三、典型例题: 例1: (1)有红、黄、白色旗子各n 面(n ＞3),取其中一面、二面、三面组成纵列信号,可以有多少不同的信号？(2)有1元、2元、5元、10元的钞票各一张,取其中一张或几张,能组成多少种不同的币值？(1)解 因为纵列信号有上、下顺序关系,所以是一个排列问题,信号分一面、二面、三面三种情况(三类),各类之间是互斥的,所以用加法原理:①升一面旗:共有3种信号;②升二面旗:要分两步,连续完成每一步,信号方告完成,而每步又是独立的事件,故用乘法原理,因同色旗子可重复使用,故共有3×3种信号;③升三面旗:有N =3×3×3种信号,所以共有39种信号.(2)解 计算币值与顺序无关,所以是一个组合问题,有取一张、二张、三张、四张四种情况,它们彼此互斥的,用加法原理,因此,不同币值有N =14C +24C +34C +44C =15(种). 例4: (1)5本不同的书放在3个不同的书包中,有多少种不同的方法？(2)3个旅客在5家旅店住宿,有多少种不同的方法？(1)解 每本书有3种不同方法,共有35=243种.(2)解 每个人有5种选择,共有53=125种.四、归纳小结:两个基本原理的共同点是,都是研究“完成一件事,共有多少种不同的方法”,它们的区别在于一个与“分类”有关,一个与“分步”有关.如果完成一件事有n 类办法,这n 类办法彼此之间是相互独立的,无论哪一种办法中的哪一种都能单独的完成这件事,求完成这件事的方法种数,就用分类计数原理;如果完成一件事,需要分成n 个步骤,各个步骤都不可缺少,需要完成所有的步骤才能完成这件事,而完成每一个步骤又各有若干方法,求完成这件事方法的种数,就用分步计数原理.五、基础知识训练:(一)选择题:1.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( )A.35种B.53种C.3种D.15种2.将4个不同的小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有( )A.43种B.34种C.18种D.36种3.已知集合M={1,-1,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是( )A.18B.10C.16D.144.用1,2,3,4四个数字在任取数（不重复取）作和,则取出这些数的不同的和共有( )A.8个B.9个C.10个D.5个(二)填空题:5.由数字2，3，4，5可组成________个三位数,_________个四位数,________个五位数.6.用1，2，3…，9九个数字,可组成__________个四位数,_________个六位数.7.从2，3，5，7这四个数中,取出两数来作假分数,这样的假分数有_____ _个.8.全国移动电话号码从1999年7月22日零时开始升到10位,前四位号码为1390,剩下的位数码从0，1，2，…，9中任取6个数字组成(可以重复),该方案的移动电话用户最多能容纳户.9.商店里有15种上衣,18种裤子,某人要买一件上衣或一条裤子,共有_______种不同的选法.要买上衣、裤子各一件,共有_________种不同的选法.10.现有甲组3人,乙组3人,两组进行乒乓球单打对抗(甲组每人必须和乙组每人赛一场),一共有比赛的场数是 .(三)解答题:11.有不同的数学书11本,不同的物理书8本,不同的化学书5本,从中取出不同学科的书2本,有多少种不同的取法？12.用0，1，2，3，4这5个数字,(1)组成比1000小的正整数有多少种不同的方法?(2)组成无重复数字的三位偶数有多少种不同的方法?13.五封不同的信投入四个邮筒,(1)随便投完五封信,有多少种不同投法?(2)每个邮筒中至少要有一封信,有多少种不同投法?排列一、高考要求:理解排列的意义,掌握排列数的计算公式,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.如果m ＜n,这样的排列叫做选排列,如果m=n,这样的排列叫做全排列.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数,用符号m n P (或m n A )表示.3.排列数公式:(1)(2)(1)m n P n n n n m =⋅-⋅-⋅⋅-+,其中+∈N n m ,,且m≤n.全排列的排列数等于自然数1到n 的连乘积,这个连乘积叫做n 的阶乘,用n!表示,即!(1)(2)321n n P n n n n ==⋅-⋅-⋅⨯⨯⨯. 排列数公式还可以写成!()!m n n P n m =-.规定0!=1. 三、典型例题: 例: ⑴ 7位同学站成一排,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:7个元素的全排列——77A ＝5040⑵ 7位同学站成两排(前3后4),共有多少种不同的排法？解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040⑶ 7位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法？解:问题可以看作:余下的6个元素的全排列——66A =720⑷ 7位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有22A 种;第二步 余下的5名同学进行全排列有55A 种,则共有22A 55A =240种排列方法 ⑸ 7位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一(直接法):第一步 从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有25A 种方法;第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有55A 种方法 所以一共有25A 55A ＝2400种排列方法.解法二:(排除法)若甲站在排头有66A 种方法;若乙站在排尾有66A 种方法;若甲站在排头且乙站在排尾则有55A 种方法.所以甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有77A -662A ＋55A =2400种.小结一:对于“在”与“不在”的问题,常使用“直接法”或“排除法”,对某些特殊元素可以优先考虑.(6)7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有66A 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有66A 22A ＝1440种.(7) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解:方法同上,一共有55A 33A ＝720种. (8) 7位同学站成一排,甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾,有25A 种方法;将剩下的4个元素进行全排列有44A 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有22A 种方法.所以这样的排法一共有25A 44A 22A ＝960种方法.解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,若丙站在排头或排尾有255A 种方法,所以丙不能站在排头和排尾的排法有960)2(225566=⋅-A A A 种方法.解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有6个元素,因丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有14A 种方法,再将其余的5个元素进行全排列共有55A 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑”,所以这样的排法一共有14A 55A 22A ＝960种方法.小结二:对于相邻问题,常用“捆绑法”(先捆后松).(9) 7位同学站成一排,甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一:(排除法)3600226677=⋅-A A A解法二:(插空法)先将其余五个同学排好有55A 种方法,此时他们留下六个位置(就称为“空”吧),再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有26A 种方法,所以一共有36002655=A A 种方法.(10) 7位同学站成一排,甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解:先将其余四个同学排好有44A 种方法,此时他们留下五个“空”,再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有35A 种方法,所以一共有44A 35A ＝1440种. 小结三:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑).四、归纳小结:1.全排列所有不同的排法所含有的元素完全一样,只是元素排列的顺序不完全相同.2.对有约束条件的排列问题,应注意如下类型:⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置;⑵某些元素要求连排(即必须相邻);⑶某些元素要求分离(即不能相邻);3.基本的解题方法:⑴有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优限法);⑵某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;⑶某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”;⑷在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基.五、基础知识训练:(一)选择题:1.(96高职-4)12344444P P P P +++等于( )A.421-B.2455P P +C.64D.422.某段铁路共有6个站,共需准备普通客票的种数是( )A.30B.24C.15D.123.有4本不同的书分给4位同学,每人一本,不同的分法有( )A.64种B.24种C.16种D.8种4.5人中选出4人完成4项不同的工作,不同的选法种数为( )A.5B.45C.54D.45A 5.用0,1,2,…,9这十个数字组成的无重复数字的三位数不可能是( )A.299PB.310910P C.33109P P - D.23992P P + 6.从若干个元素中,每次取出2个元素的排列种数为210,则元素的个数是( )A.20B.15C.30D.147.有n(n N +∈)件不同产品排成一排,若其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有48种,则n=( )A.4B.5C.6D.7(二)填空题:8.若2n A =30,则n= .9.已知从n 个不同元素中取出2个元素的排列数等于从n-4个不同元素中取出2个元素的排列数的7倍,则n= .10.从4种蔬菜品种中选出3种,分别种植在不同土质的3块土地上进行试验,共有 种种植方法.11.从6人中选出4人参加4×100米接力赛,甲必须跑第一棒,乙必须跑第四棒,不同的安排方案种数是 .12.某班有3名男同学和4名女同学外出随机站成一排照相,但4名女同学要站在一起,其排法有种 .13.国内某汽车生产厂有六种不同型号的环保型电动汽车参加国际博览会展览,排成一排,其中甲、乙两型号必须相邻的排法总数是(用数字回答) .(三)解答题:14.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法？解法一:(从特殊位置考虑)1360805919=A A 解法二:(从特殊元素考虑)若选:595A ⋅;若不选:69A ,则共有 595A ⋅＋69A ＝136080.解法三:(间接法)=-59610A A 136080 15.⑴八个人排成前后两排,每排四人,其中甲、乙要排在前排,丙要排在后排,则共有多少种不同的排法？略解:甲、乙排在前排24A ;丙排在后排14A ;其余进行全排列55A .所以一共有24A 14A 55A＝5760种方法.⑵不同的五种商品在货架上排成一排,其中a , b 两种商品必须排在一起,而c, d 两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？略解:(“捆绑法”和“插空法”的综合应用)a , b 捆在一起与e 进行排列有22A ;此时留下三个空,将c, d 两种商品排进去一共有23A ;最后将a , b “松绑”有22A .所以一共有22A 23A 22A ＝24种方法.⑶6张同排连号的电影票,分给3名教师与3名学生,若要求师生相间而坐,则不同的坐法有多少种？略解:(分类)若第一个为老师则有33A 33A ;若第一个为学生则有33A 33A ,所以一共有233A 33A ＝72种方法.16.⑴由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的正整数？略解:3255545352515=++++A A A A A⑵由数字1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字,并且比13 000大的正整数？ 解法一:分成两类,一类是首位为1时,十位必须大于等于3有3313A A 种方法;另一类是首位不为1,有4414A A 种方法.所以一共有3313A A 1144414=+A A 个数比13 000大.解法二:(排除法)比13 000小的正整数有33A 个,所以比13 000大的正整数有-55A 33A ＝114个.17.求证:11m m m n n n P mP P -++=.18.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后一个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求跑在第4,8的位置,共有多少种不同的排法?组合一、高考要求:理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和性质,并能用它解决一些简单的问题.二、知识要点:1.一般地,从n 个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.2.一般地,从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数,用符号m n C 表示.3.组合数公式:(1)(2)(1)!m mn nm m P n n n n m C P m ---+==,其中+∈N n m ,,且m≤n. 组合数公式还可以写成:!!()!m n n C m n m =-. 4.组合数的两个性质:m n m n n C C -=;11m m m n n n C C C -+=+.三、典型例题:例1:100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查.⑴ 都不是次品的取法有多少种？⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？⑶ 不都是次品的取法有多少种？解: ⑴ 2555190490=C ;⑵ 13660354101903102902103901104904100=+++=-C C C C C C C C C ;⑶ 39210154901103902102903101904104100=+++=-C C C C C C C C C .例2:从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？解:分为三类:1奇4偶有4516C C ;3奇2偶有2536C C ;5奇1偶有56C所以一共有4516C C +2536C C +23656=C . 例3:现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解:我们可以分为三类:① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2324C C ;② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有1334C C ;③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有2334C C .所以一共有2324C C +1334C C +2334C C ＝42种方法.例4:甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ？解法一:(排除法)422131424152426=+-C C C C C C解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有2414C C ;另一类为甲不值周一,但值周六,有2324C C .所以一共有2414C C +2324C C ＝42种方法.例5:6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有26C 种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有55A 种方法.根据分步计数原理,一共有26C 55A ＝1800种方法.变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 变题3: 5本相．同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 答案:1.1562556=; 2.72056=A ; 3.656=C .例6:身高互不相同的7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？解:(插空法)现将其余4个同学进行全排列一共有44A 种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有35C 种方法.根据分步计数原理,一共有44A 35C ＝240种方法.例7:⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法？⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解: ⑴根据分步计数原理:一共有25644=种方法.⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有24C 种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有34A 种方法.所以一共有24C 34A ＝144种方法.四、归纳小结:如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,它们是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.五、基础知识训练:(一)选择题:1.在下列问题中:(1)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个和?(2)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个没有重复数字的两位数?(3)将3个乒乓球投入5个容器,每个容器只能容纳一个乒乓球,问有多少种投法?(4)将3张编号的电影票给三个同学,每人一张,有多少种分法?属于组合问题的是( )A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)2.从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是( )A.120B.240C.720D.303.(2000-13)凸10边形共有对角线( )A.90条B.70条C.45条D.35条4.某班有50名学生,其中有一名正班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,其中至少有一名班长(正、副均可)参加,共有几种不同的选法,其中错误的一个是( )A.n=12C ·448C +22C ·348CB. n=550C -548CC. n=12C ·449CD.n=12C ·449C -348C5.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打,不同的组队数有( )A.27C ·25CB. 427C ·25CC. 227C ·25CD. A 27C ·25C(二)填空题:6.96979898C C = .7.平面内有12个点,其中任意3点不在同一直线上,以每3点为顶点画三角形,一共可画三角形的个数是 .8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取出2个数,使它们的和是偶数,共有 种选法.9.有13个队参加篮球赛,比赛时先分成二组,第一组7个队,第二组6个队,各组都进行单循环赛(即每队都要与本组其它各队比赛一场),然后由各组的前两名共4个队进行单循环赛决定冠、亚军,共需要比赛的场数是 .10.4个男同学进行乒乓球双打比赛,有 种配组方法. (三)解答题:11.某赈灾区医疗队由4名外科医生和8名内科医生组成,现需从中选派5名医生去执行一项任务.(1)若某内科医生必须参加,而某外科医生因故不能参加,有多少种选派方法？ (2)若选派的5名医生中至少有1名内科和外科医生参加,有多少中选派方法？解: (1)依题意,只须从剩余的10名医生中选出4名医生与内定的一名内科医生组成医疗队.故共有410C =210种选派方法.(2)方法一:5名医生全由内科医生组成,有58C 种方法,故符合题意的方法为512C 58C -=936种; 方法二:我们将内科、外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数,则按题意组队方式可有:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)四种,故共有18C ·44C +28C ·34C +38C ·24C +48C ·14C =736种.12.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问可以组成多少个三位数？解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有)(217171228C C C A +种方法;②若不取6,则有2717A C 种方法.根据分类计数原理,一共有)(217171228C C C A ++2717A C ＝602种方法.13.在产品检验时,常从产品中抽出一部分进行检查,现从10件产品中任意抽3件.(1) 一共有多少种不同的抽法?(2) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3) 如果10件产品中有3件次品,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?排列、组合的应用一、高考要求:熟练应用排列、组合知识解排列组合应用题. 二、知识要点:排列问题与组合问题的根本区别在于,取出元素后是否按一定顺序排列.元素需要按一定顺序排列,属排列问题;不需要考虑元素顺序,属组合问题.三、典型例题:例1:完成下列选择题与填空题:(1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种.A.81B.64C.24D.4(2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( )A.81B.64C.24D.4(3)有四位学生参加三项不同的竞赛,①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有;②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有.解析(1)完成一件事是“分步”进行还是“分类”进行,是选用基本原理的关键.将“投四封信”这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案选A.本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)种投法;③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·A33种投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(种).故选A.(2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个“店”,3项冠军看作“客”,每个“客”都可住进4家“店”中的任意一家,即每个“客”有4种住宿法.由分步计数原理得:N=4×4×4=64.故答案选B.(3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1)可得N=34=81(种);②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·A33=24(种).注本题有许多形式,一般地都可以看作下列命题:设集合A={a1,a2,…,a n},集合B={b1,b2,…,b m},则f:A→B的不同映射是m n,f:B→A的不同映射是n m.若n≤m,则f:A→B的单值映射是:A m n.例2:同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有( )A.6种B.9种C.11种D.23种解法一由于共四人(用1,2,3,4代表甲、乙、丙、丁四人),这个数目不大,化为填数问题之后,可用穷举法进行具体的填写:再按照题目要求检验,最终易知有9种分配方法.解法二记四人为甲、乙、丙、丁,则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人之一收到,故有3种分配方式;以乙收到为例,其他人收到卡片的情况可分为两类:第一类:甲收到乙送出的卡片,这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式;第二类:甲收到的不是乙送出的卡片,这时,甲收到卡片的方式有2种(分别是丙和丁送出的).对每一种情况,丙、丁收到卡片的方式只有一种.因此,根据乘法原理,不同的分配方式数为３×(1+2)=9.解法三给四个人编号:1,2,3,4,每个号码代表1个人,人与号码之间的关系为一对一的关系;每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同的数字作为代表,这样,贺年卡的分配问题可抽象为如下“数学问题”:将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的4个方格里,每格填写一个数字,且每个方格的编号与所填数字都不同的填法共有多少种(也可以说成:用数字1,2,3,4组成没有重复数字的4位数,而且每位数字都不等于位数的4位数共有多少个)？这时,可用乘法原理求解答案:首先,在第1号方格里填写数字,可填上2、3、4中的任一个数,有3种填法;其次,当第1号方格填写的数字为i(2≤i≤4)时,则填写第i种方格的数字,有3种填法;最后,将剩下的两个数填写到空着的两个空格里,只有1种填法(因为剩下的两个数中,至少有1个与空着的格子的序号相同).因此,根据乘法原理,得不同填法:3×3×1=9注本题是“乱坐问题”,也称“错排问题”,当元素较大时,必须用容斥原理求解,但元素较小时,应用分步计数原理和分类计数原理便可以求解,或可以穷举.例3:宿舍楼走廊上有有编号的照明灯一排8盏,为节约用电又不影响照明,要求同时熄掉其中3盏,但不能同时熄掉相邻的灯,问熄灯的方法有多少种？解法一我们将8盏灯依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8.在所熄的三盏灯中,若第一盏熄1号灯,第二盏熄3号灯,则第3盏可以熄5,6,7,8号灯中的任意一盏,共有4种熄法.若第一盏熄1号灯,第2盏熄4号灯,则第3盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏.依次类推,得若1号灯熄了,则共有4+3+2+1=10种熄法.若1号灯不熄,第一盏熄的是2号灯,第二盏熄的是4号灯,则第三盏可以熄6,7,8号灯中的任意一盏,共有3种熄法.依次类推得,若第一盏灯熄的是2号灯,则共有3+2+1=6种熄法.同理,若第一盏熄的是3号灯,则共有2+1=3种熄法.同理,若第一盏熄的是4号灯,则有1种熄法.综上所述共有:10+6+3+1=20种熄法.解法二我们可以假定8盏灯还未安装,其中5盏灯是亮着的,3盏灯不亮.这样原问题就等价于:将5盏亮着的灯与3盏不亮的灯排成一排,使3盏不亮的灯不相邻(灯是相同的).5盏亮着的灯之间产生6个间隔(包括两边),从中插入3个作为熄灭的灯——就是我们经常解决的“相邻不相邻”问题,采用“插入法”,得其答案为C63=20种.注解法一是穷举法,将所有可能的情况依次逐一排出.这种方法思路清晰,但有时较繁.。
高二数学排列、组合、二项式定理
二项式定理（公式）
(a+b) n=
0 n n 1 r nr r n n Cn a C1 a b C a b C n n nb
二项式系数 ， 其中 Cr n（r=0,1,2,……,n）叫做
通项是指展开式的第 r+1 项， 展开式共有 n+1 个项.
N
乘法原理
做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法……， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1· m2· m3·…·mn 种不同的方法.
定 义 相同点 不同点
做一件事或完成一项工作的方法数
直接（分类）完成
间接（分步骤）完成
1.排列和组合的区别和联系：
5 C10 ；
7 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 C11 C11 .
6
2 1 2.C C C _____;
1 n 2 n n n
n
2 C C C C C C _____ .
1 11 3 11 5 11 7 11 9 11 11 11
10
3.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数
例题4
写出(x-y)11的展开式中 (1)通项Ｔr+1 (2)二项式系数最大的项 (3)项的系数绝对值最大的项 (4)项的系数最大的项 (5)项的系数最小的项 (6)二项式系数的和 (7)各项系数的和
练习1
1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书， ①从中任取一本，有多少中不同的取法？
6+5=11
②从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？
6×5=30
(十)排列、组合、二项式定理2008.11.26
第十章 排列、组合与概率1． 分类计数原理和分步计数原理 （1） 分类计数原理：做一件事，完成它可以有n 类办法，（是对完成这件事的所有方法的一个分类），在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法．说明：分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的方法，即不重复也不遗漏．只有满足这些条件，才能用分类计数原理． （2）分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，（是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n 个步骤），做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21 种不同的方法．说明：分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n 个步骤后这件事才算完成，只有满足这些条件，才能用分步计数原理．（３）“分类”与“分步”的相同点和不同点分类计数原理和分步计数原理的共同点是它们完成一件事情，共有多少种不同的方法．区别在于完成一件事情的方式不同：分类计数原理是“分类完成”，即任何一种办法中用任何一个方法都能独立完成这件事；分步计数原理是“分步完成”，即这些方法需要分步骤顺次相依，且每一个步骤都完成了，才能完成这件事情．区分分类还是分步的关键．．是看经．过这个过程，有没有完成整个事情．．．．．．．．．．．．．．．． ２．排列（１） 排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个不同元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个排列．说明：○1不同元素；○2排列有序性；○3相同排列：元素相同，顺序相同． （２）排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号mn A 表示．（３）排列数公式：)1()2)(1(+-⋅⋅⋅--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤）．（４）阶乘：!n 表示正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘．规定0!1=． （５）排列数的另一个计算公式：mn A =!()!n n m -．３．组合（１）组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个不同元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．说明：○1不同元素；○2“只取不排”——无序性；○3相同组合：元素相同． 说明：○1不同元素；○2“只取不排”——无序性；○3相同组合：元素相同． （２）组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．．．．用符号mn C 表示． （３）组合数公式：(1)(2)(1)!mmn nm mA n n n n m C Am ---+==；或)!(!!m n m n C m n-=),,(n m N m n ≤∈*且．（４）组合数的性质1：m n n m n C C -=，规定：10=n C ； 组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m n C ．４．排列与组合的区分根据排列与组合的定义，前者是从n 个不同元素中选取m 个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从n 个不同元素中选取m 个不同的元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题．关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关．排列与组合的共同点，就是都要“从n 个不同元素中，任取m 个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是‘“组成一组”，其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异．因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关．．．．．．．．．．．．．有顺序的是排列问题，无顺序的则是组合问题．例如123和321，132是不同的排列，但它们都是相同的组合．再如两人互通一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题．５．解排列、组合应用题的途径与思路解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步．切记：排组分清（有序排列、无序组合），加乘明确（分类为加、分步为乘）． 具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． ②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其地位置．③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数． 排列、组合应用题的解题思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘．６．解排列、组合混合应用题的基本方法排列组合综合题的求解，要合理进行分类、分步．基本方法是：先“组”后“排”，即先分类，再分步．排列组合应用题大致可分为三大类：不带限制条件的排列或组合题；带有约束条件的排列或组合题；排列与组合的综合题．解此类问题常用的方法有： ①相邻元素的排列应用题，一般采用“捆绑法”． ②元素间隔排列应用题，一般采用“插空法”．③含有特殊元素和特殊位置的排列，组合应用题，常采用“特殊元素法”，从元素为主出发，先安排特殊元素；从位置为主出发，先安排好特殊位置上元素，结合排除法解决此类问题．④指标问题采用“隔板法”．⑤有关“分堆”与“到位”应用问题常采用“分组法”与“分配法”．若只分堆，不指定到具体位置，则需注意平均分的情况；所谓“到位”是指分堆后给某人或指定到某些位置． 总之，排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 前两种方法叫直接解法，后一种方法叫间接解法，求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．其中蕴涵有：分类讨论思想，转化思想和对称方法等数学思想方法，具体的解题策略有： ①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分类策略； ③先选后排策略；④正难则反，等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥间隔问题插空处理的策略；⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小团体”排列问题中先整体后局部策略；⑩构造模型的策略． ７．二项式定理（1）二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，特例：1(1)1n r r nn n x C x C x x +=+++++ .（2）二项展开式的通项公式：1r n r rr n T C a b -+=．（３）二项展开式的通项公式，反映出展开式在指数、项数、系数等方面的内在联系，因此能运用二项展开式的通项公式求特定项、特定项系数、常数项、有理项及系数最大、绝对值最大的项．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性． （４）二项式系数的性质()na b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，nn C ．rn C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ．二项式系数的性质有：○1对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n mn n C C -=；直线2n r =是图象的对称轴）．○2增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值．○3各二项式系数和：n n n r n n n nC C C C C 2210=+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++ 在1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ 中，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++８．随机事件的概率（1）必然事件、不可能事件、随机事件：必然事件是指在一定条件下必然发生的事件；不可能事件指在一定条件下不可能发生的事件；随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．（2）随机事件概率：指大量重复进行同一试验，随机事件A 发生的频率nm （n 是试验的总次数，m 是事件A 发生的次数）接近的常数．记作P （A ）．它反映的是，这个事件发生可能性的大小．即一个随机事件的发生既有随机性（对单次试验来说）又有规律性（对大量重复试验来说）．规律性体现在nm 的值具有稳定性．当随机试验的次数不断增多，nm 的值总在这个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小．所以，概率可以看作是频率在理论上的期值．由于n m ≤≤0，故10≤≤nm ，于是可得1)(0≤≤A P ．９. 等可能性事件及其概率基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果，即每个结果对应每一个基本事件，如果这次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有这些结果出现的可能性都相等，那么每一个结果所对应的基本事件的概率都是n1．等可能性事件：一次试验中所有可能出的n 个基本结果出现的可能性都相等，这n 个结果对应着n 个基本事件，如果某事件A 包含着这n 个等可能基本事件中的m 个基本事件，称事件A 为等可能随机事件，由于每个等可能基本事件的概率为n1，事件A 中的m 个事件有一个发生则事件A 就发生了，故事件A 发生的概率n m A P =)(．10. 互斥事件（1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件．一般地，如果事件n A A A ,,,21 中的任何两个都是互斥的，那么就说n A A A ,,,21 彼此互斥.从集合的角度看，n 个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交．（2）互斥事件有一个发生的概率设A 、B 是两个互斥事件，那么B A +表示这样一个事件：在同一试验中，A 与B 中有一个发生就表示它发生．事件B A +的概率是)()()(B P A P B A P +=+,这就是说，如果事件B A ,互斥，那么事件B A +发生（即B A ,中有一个发生）的概率，等于事件B A ,分别发生的概率的和.（3）一般地，如果事件n A A A ,,,21 ，彼此互斥，那么事件n A A A +++ 21发生（即n A A A ,,,21 中有一个发生）的概率，等于这n 个事件分别发生的概率的和，即 )()()(),,,(2121n n A P A P A P A A A P ++==（4）对立事件对立事件：两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件叫做对立事件．事件A 的对立事件通常记作:A .说明：在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，只有两个互斥事件在一次试验中必有一个发生时，这样的两个互斥事件才叫做对立事件．也就是说，两个互斥事件不一定是对立事件，而两个对立事件必是互斥事件，即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件．从集合的角度看，由事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．（5）对立事件概率公式:)(1)(A P A P -=说明：这个公式的作用是，当直接求某一事件的概率较为复杂时，可先转而求其对立事件的概率，使概率的计算得到简化. 11.相互独立事件（1）相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都是相互独立的． （2）独立事件同时发生：事件A 、B 同时发生，记作B A ⋅． （3）独立事件同时发生的概率()()()B P A P B A P ⋅=⋅这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积． （4）一般地，如果事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：()()()()n n A P A P A P A A A P 2121⋅=⋅12. 独立重复试验（1）独立重复试验：在相同条件下，重复地各次之间相互独立地进行的一种试验,称为独立重复试验．在独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．（2）n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中，这个事件恰好发生k 次的概率为 ()()kn kkn n P P C k P --=1【考点梳理】1.排列、组合、二项式知识相互关系表2.两个基本原理（1）分类计数原理中的分类。
第11讲 排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学 新东方内部
第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部第一一章排列组合与二项式定理1.排列数公式成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？2.1.(n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①cnmcnn？M1②cnm?cnm?1?cnm??1；kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？r？cnr1.⑤NN（n？1）！？Nn11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果，只有一种方法可以完成这项任务），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序的安排，无序的组合如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐标系中中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的一个顶点总共有10个点。
将这些点作为顶点可以形成三个三角形；（答复：cb90）⑥ 使用六种不同的颜色来分隔右图中的四个区域a、B、C和D，并且允许使用相同的颜色一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有d种不同涂法；（答：480）⑦ 同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡，然后每人拿一张别人寄来的新年贺卡。
排列组合与二项式定理知识点
排列与组合一、两个根本计数原理：〔排列与组合的根底〕1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有类方法，在第一类方法中有种不同的方法，在第二类方法中有种不同的方法，……，在第类方法中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法.2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.二、排列与组合〔1〕排列定义:一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定顺序排成一列。
排列数公式：我们把正整数由1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，即，并规定。
全排列数公式可写成.〔主要用于化简、证明等〕（二）组合定义:一般地，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；组合数用符号表示组合数公式：变式：组合数的两个性质：1、三、二项式定理1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开.2、二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.3、二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2n n C 最大； II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C 最大.③系数和： 1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n nn n C C C C C C C C。
排列组合与二项式定理
B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法， 共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共 有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项 公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式 积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
拍卖预展 龙威
1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同 选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式 定理、概率与统计
1．计数原理 分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办 法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同 的方法， ，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么 完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法． 分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．
排列组合二项式
0 2 4 C n + C n + C n + L = 2 n−1
11、a + b ) n 展开式偶数项二项式系 数之和： ( 数之和：
1 3 5 C n + C n + C n + L = 2 n −1
12、二项式展开式系数问 题常用赋值法
Tr + 1 ≥ Tr + 2 13、二项式展开式系数最 大值： 大值： Tr + 1 ≥ Tr
10
(4)(1 + x ) + (1 + x ) 2 + (1 + x ) 3 + L + (1 + x ) 6 展开式中含 x 2 项 的系数 ___ 1 24 的展开式中， (5)在（ x + 3 ) 的展开式中，常数项有 __ 项，整式项有 x __ 项，有理项有 __ 项 (6)( x 2 + x − 1)9 ( 2 x + 1) 4 的展开式中所有 x的奇次项系数之和 为 _______ （7 ( x + 1) 2 ( x − 1) 5 展开式中 x 4的系数是 ____ ）
6、二项式展开式： 二项式展开式：
0 1 2 n ( a + b ) n = C n a n b 0 + C n a n −1b 1 + C n a n − 2b 2 + L + C n a 0 b n
专题六第1讲排列、组合、二项式定理
解 题 规 范 流 程
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
[自主解答]
(1)若甲同学分配到 B 宿舍，且单独住一
室，则有 24－2 种方案；若甲同学分配到 B 宿舍，且不单 独住一室，则有 C2 A3 4· 3种方案；故甲同学分配到 B 宿舍共 有(24－2)＋C2 A3 4· 3＝50 种方案，同理，甲同学分配到 C 宿 舍也有 50 种方案，则甲同学不能分配到 A 宿舍的分配方
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
(4)二项式系数的性质：
n－r r r－1 r ①Cr ＝ C ， C ＋ C ＝ C n n n n n＋1.
n ＋1 2 当 n 为偶数时，中间一项即第______项的二项式系 n n＋1 n＋3 2 C 2 ， 2 数 n 最大；当 n 为奇数时，中间两项即第____________
基础要点整合
一、构建知识网络
考 点 核 心 突 破
训 练 高 效 提 能
菜
单
高考专题辅导与训练· 数学(理科)
第一部分 法
基 础 要 点 整 合
专题六
概率与统计、推理与证明、复数、算
解 题 规 范 流 程
二、梳理基础知识
1．掌握排列数与组合数两个公式 (1)排列数公式： n！ n(n－1)…(n－m＋1) n－m！ Am n ＝___________________＝_________. (2)组合数公式：
排列组合二项式定理
3 C 3 C 3 C 3C 1024
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10
⑶求证： 3 2
n
n 1
(n 2)(n N , n 2)
例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每 校至少有1人,这样有几种选法?
分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒 子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处 5 理. C29 4095 解:采用“隔板法” 得:
混合问题，先“组”后“排”
例：对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品, 一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法 有种可能？ 解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5 次测试是次品。故有： 3C 1 A4 576 种可能。 C
1.3：二项式定理
奇数项二项式系数和 偶数项二项式系数和： C C C C C C 2
0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n n 1
赋值法
x 2 5 1.求： ( ) 的有理项 2 x
4 3 2 ( 2.化简：x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1
A 6(种)
3 3
涂色问题
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域 分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种 颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有多少种？
若用2色、4色、5色 等,结果又怎样呢？
1.3：二项式定理
1、二项定理: 一般地，对于n N*有
高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理
高中高三数学教案：排列、组合、二项式定理-基本原理教学目标：1. 理解排列、组合和二项式定理的基本概念和原理。
2. 能够应用排列、组合和二项式定理解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。
教学准备：1. 教学资料：教科书、课件、习题集等。
2. 教学媒体：投影仪、电脑等。
教学过程：Step 1：引入和导入（5分钟）教师通过问题启发学生思考，引导学生认识到排列、组合和二项式定理在日常生活中的应用。
例如，从一副扑克牌中选出5张牌，有多少种不同的组合方式？Step 2：概念讲解（15分钟）2.1 排列的概念教师给出排列的定义，即从n个元素中取出m个元素，按照一定顺序排列的方式的总数。
教师讲解排列的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用排列解决问题。
2.2 组合的概念教师给出组合的定义，即从n个元素中取出m个元素，不考虑顺序的方式的总数。
教师讲解组合的计算公式及推导过程，并通过示例演示如何应用组合解决问题。
2.3 二项式定理的概念教师给出二项式定理的定义，即(a+b)^n的展开公式。
教师讲解二项式定理的公式及推导过程，并通过示例演示如何应用二项式定理解决问题。
Step 3：练习和讨论（20分钟）教师出示一些具体问题，让学生自己尝试解答。
然后让学生分享自己的解题思路，并进行讨论。
教师对学生的解题思路进行指导和引导，帮助学生巩固理解和应用排列、组合和二项式定理的能力。
Step 4：拓展应用（10分钟）教师出示一些与排列、组合和二项式定理有关的实际问题，让学生尝试解答。
教师鼓励学生灵活运用所学知识解决问题，并引导学生思考如何将所学知识应用于其他领域。
Step 5：总结和归纳（5分钟）教师对本课内容进行总结和归纳，强调排列、组合和二项式定理的基本原理和应用。
同时，鼓励学生通过课后练习巩固和提高自己的能力。
Step 6：课堂小结（5分钟）教师向学生总结本节课的重点内容，并预告下节课的内容。
教学反思：本节课通过讲解排列、组合和二项式定理的相关概念和原理，并通过例题和实际问题的训练，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力。
排列组合、二项式定理知识点
排列组合二项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理．排列．排列数公式．组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质．考试要求：（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题．（2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．的排列.．．重复．．元素从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式：注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm nmn-=+--==Λ ⑶两个公式：①;m n n mn CC -= ②m n m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C1-m n，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--. ③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . 注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m m n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m π个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m ！；解法二：（比例分配法）mm n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C Λ)1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有mm mm n mn m n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用na a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，x 1x 2x 3x 4并且都排在某r 个指定位置则有r k r n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
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排列、组合、二项式定理
【特征分析法】
1.由1，2，3，4，5，6这6个数字可以组成多少个数字不重复且是
6的倍数的五位数？
【元素分析法】
2.3封不同的信，4个信箱投递，有几种投信的方法？
3.一天要排语文、数学、英语、生物、体育、班会六节课，上午四
节，下午两节，要求上午第一节不排体育，数学课排在上午，班会课排在下午，有多少种不同的排课方法？
【直接法和间接法】
4.七人并坐一排，要求甲不坐首位，乙不坐末位，共有几种不同的
坐法？
【二分法】
5.从1，3，5，7这四个数字中任取3个，从0，2，4这三个数字中
任取两个，可以组成多少个无重复数字的五位数？
【先组合后排列】
6.四件不同的奖品，全部奖励给三位同学，并要求每人至少有一件，
有几种奖励方法？
【先合后分】
7.5本不同的理科书和3本不同的文科书并排放在书架上，要求3
本文科书并列，有几种不同的放法？
【先排后插】
8.联欢会上要演出4个歌唱节目和3个舞蹈节目，如果舞蹈节目不
能连排，有几种节目编排方式？
【概率法】
9.5名运动员参加100米决赛，如果每人到终点的顺序各不相同，问
甲比乙先到中点的可能有几种？
10.已知集合M={-1，1，2}，且a，b，r∈M，则（x-a）2+（y-b）2=r2
所表示的不同圆有多少个？
11.3张卡片的正反面分别写有数字1和2，3和4，5和6，若将三张
卡片并列，可得到多少个不同的三位数？
12.6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、
丙分别站在甲的两边，则不同的排法种数为多少？
13.记8个同学排成一排的排列数为m，8个同学排成前后两排（前排
3人后排5人）的排列数为n，则m，n的大小关系是？
14.在由数字1、2、3、4、5组成数字不重复的五位数中，小于50000
的偶数有几个？
15.7位同学站成一排，按下列要求各有多少种不同的排法？
（1）甲站某一固定位置
（2）甲站中间，乙与甲相邻
（3）甲乙相邻
（4）甲乙两人不能相邻
（5）甲乙丙三人相邻
（6）甲乙两人不站在排头和排尾
（7）甲乙丙三人中任何两人都不相邻
（8）甲乙两人必须相邻，且丙不站在排头和排尾
16.由数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位数120个，
若把这些数从小到大排成一列数，12345，12354，……54321，问（1）43251是这一列数的第几个数？
（2）这列数中的第93个数是怎样的一个五位数？
（3）求这一列数的各数之和
【组合】
17.平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外无3点共线，
经过其中的每两个点做直线，不同直线的条数是？
18.从集合P={1，2，3}、Q={1，4，5，6}这两个集合中各取一个元素
作为平面直角坐标系中点的坐标，能确定的不同的点的个数是？19.异面直线l1和l2上分别有m个和n个（m，n≥3）不同的点，若
以这些点为顶点，可以构成？个三角形，？个四面体？
20.n个不同的球放入n个不同的盒子中，如果恰好有一个盒子是空盒，
共有几种不同的放法？
21.（1）从集合{51，52，53……，99}中任选两个数，使这两个数的和
为偶数，有多少种不同的选法？
（2）从1-100的自然数中，每次取两个不同的数相加，使他们的和不大于100，有几种不同的取法？（2+3和3+2算相同的取法）（3）从1-18这18个自然数中任选3个，使它们的和是3的倍数，
有几种选法？
（4）有编号为1-7的球和1-7的盒子，将这7个球放入7个盒子中，恰使其中4个球的编号与盒子相同，一共有多少不同的投放方法？
（5）有翻译8人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余3人既会英语又会日语，现从中选6人，安排3人翻译英语，3人安排日语，则不同的安排方法有多少种？。