福州一中2007年高中招生数学试卷
2007年高中阶段学校招生考试数学试卷
2007年高中阶段学校招生考试数学试卷（考试时间：120分钟全卷满分120分）题号基础卷拓展卷总分总分人-一--二二三合计四五1~89~121314151617~2021222324得分注意事项：1. 答题前，必须把考号和姓名写在密封线内；2. 直接在试卷上作答，不得将答案写到密封线内I基础卷（全体考生必做，共3个大题，共72分）一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分）以下每个小题均给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号直接填在题后的括号中•1.25的算术平方根是（）A. 5B. 5 C .-5 D .土512.在函数y = x~2中，自变量x的取值范围是（）A. x 工0B. x > 2C. x 工2D. x < -23 .某市在今年4月份突遇大风、冰雹灾害性天气，造成直接经济损失5000万元.5000万元用科学记数法表示为（）A. 5000万元B . 5 102万元C. 5 103万元 D . 5 104万元4•实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式|a+b|-a的结果是（）_____ I I Ia 0bA. 2a+bB. 2a（第4题图）C. aD. b5.已知：如图，四边形ABCD是O O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则/ BPC的P 度数是（）A. 45 °B. 60 °6•下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中既是轴称图形又是中心对称图形的是（）若设该班男生人数为x,女生人数为y,则下列方程组中，能正确计算出C. 75D. 90°7.某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假, 当天的男生人数恰为女生人数的一半A.x -y= 49y=2(x+i)x+y= 49y=2(x+1)C.x -y= 49y=2(x-)lx+y= 49y=2(x-1)& 2006年的夏天，某地旱情严重.该地10号、15号的人日均用水量的变化情况如图所示•若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降当人日均用水量低于10千克时，政府将向当地居民送水•那么政府应开始送水的号数为（）A. 23B. 24C. 25D. 26二、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）在每小题中，请将答案直接填在题中的横线上•9 .因式分解：10.如图，在△（第10题图）以确定△ ABC是等腰三角形•你添加的条件是____________ . ________11. 一组数据1 , 6, x , 5, 9的平均数是5,那么这组数据的中位数是___________ .12.不等式组七第的解是_______________________x、y的是（）三、解答题：（本大题4个小题，共36分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理步骤•13.（本题共3个小题，每小题x——1，其中x =5x5分，共15分）(2)计算:-2+ ,8+( 37 -2007)0 -4sin45（3）甲、乙两同学设计了这样一个游戏：把三个完全一样的小球分别标上数字1、2、3后, 放在一个不透明的口袋里，甲同学先随意摸出一个球，记住球上标注的数字，然后让乙同学抛掷一个质地均匀的、各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体骰子，又得到另一个数字，再把两个数字相加•若两人的数字之和小于7,则甲获胜；否则，乙获胜•①请你用画树状图或列表法把两人所得的数字之和的所有结果都列举出来；②这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请你加以改进，使游戏变得今年4月18日，是全国铁路第六次大提速的第一天，小明的爸爸因要出 差，于是去火车站查询列车的开行时间 •下面是小明的爸爸从火车站带回始发点 发车时间 终点站 到站时间 A 站上午8 : 20B 站次日12 : 20小明的爸爸找出以前同一车次的时刻表如下:公平.14.（本小题满分7分）如图，将△ BOD 绕点0旋转180°后得到△ AOC ，再过点0任意画一条与 AC 、BD 都相交的直线 MN ，交点分别为 M 和N.试问：线段 OM = ON 成 立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由C（第14题图）15 .本小题满分7分） 家的最新时刻表:始发点发车时间终点站到站时间A站下午14 : 30B站第三日8 : 30比较了两张时刻表后，小明的爸爸提出了如下两个问题，请你帮小明解答：（1 ）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？（2）若该次列车提速后的平均时速为每小时200千米，那么，该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）H 拓展卷（升学考生必做，共2个大题，共48分）四、填空题：（本大题4个小题，每小题3分，共12分）在每小题中，请将答案直接填在题中的横线上•17.数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a, b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1.例如把（3,- 2）放入其中，就会得到32+（乞）+仁8.现将实数对（2 3）放入其中得到实数m,再将实数对（m, 1）放入其中后，得到的实数是____________ .16.（本小题满分7分）18•如图，是几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图， 则搭成这个几何体的小正方体19.已知：如图，△ ABC 中，过 AB 的中点F 作DE 丄BC , 垂足为E ,交CA 的延长线于点 D.若EF =3, BE =4,/ C = 45 ° 贝U DF : FE 的值为 _________________ . 20•如图，二次函数 y=ax 2+bx+c （aM ））.图象的顶点为 D , 其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为 -、3，与y 轴负半轴交于点 C.下面四个结论：①2a+b=0;1②a+b+c>0 :③只有当a= 3时，△ ABD 是等腰直角三角形；④使△ ACB 为等腰三角形的a 的值可以有三个. 那么，其中正确的结论是 （只填你认为正确结论的序号）2（注：二次函数 y=ax +bx+c （a 和）图象的顶点坐 24ac_b_4a ))五、解答题：（本大题4个小题，共36分）解答时每小题都必须给出必要的演算过程或推理21 .（本小题满分8分）某商场将某种商品的售价从原来的每件 40元经两次调价后调至每件 元.（1 ）若该商店两次两次调价的降价率相同，求这个降价率;（2）经调查，该商品每降价 0.2元，即可多销售10件.若该商品原来每月可销售 500件,那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？\0 /\ r的个数是标为（-暑， 32.4主视图（第20题图）22. （本小题满分8分）已知；如图，在△ ABC中，AB =AC,/ ABC=90°.F为AB延长线上一点,点E在BC上，BE = CF，连接AE、EF和CF.（1）求证：AE=CF ;（2）若/ CAE=30，求/ EFC 的度数.23. （本小题满分8分）已知：如图，在半径为4的O O中，圆心角/ AOB=90°，以半径0A、OB的中点C、F为顶点作矩形CDEF，顶点D、E在O 0的劣弧A B上，0M丄DE于点M.试求图中阴影部分的面积.（结果保留n ）（第22题图）（第23题图）24. (本小题满分12分)已知：如图，二次函数y=/+(2k-)x+k+1的图象与x轴相交于0、A两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角厶A0B的面积等于3.求点B的坐标；(3)对于⑵中的点B，在抛物线上是否存在点P,使/ POB=90°若存在，求出点P的坐标，并求出厶P0B的面积；若不存在，请说明理由.(第24题图)。
2007年福建福州初中会考、中考数学试卷
数学试卷一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．3-的相反数是（ ） A ．3B ．3-C ．3±D ．13-2．第九届海峡交易会5月18日在榕城开幕，推出的重点招商项目总投资约450亿元人民币．将450亿元用科学记数法表示为（ ） A ．110.4510⨯元B ．94.5010⨯元C ．104.5010⨯元D ．845010⨯元3．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（ ） A ．1B ．12C ．13D ．144．解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（ ）A ．32x x >-⎧⎨⎩≥B ．32x x <-⎧⎨⎩≤C ．32x x <-⎧⎨⎩≥D ．32x x >-⎧⎨⎩≤5．如图2，O 中，弦AB 的长为6cm ，圆心O 到AB 的距离为4cm ，则O 的半径长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 6．只用下列一种正多边形不能镶嵌成平面图案的是（ ）A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形 7．下列运算中，结果正确的是（ ） A ．444a a a += B ．325a a a = C ．824a a a ÷=D ．236(2)6a a -=-8．下列命题中，错误的是（ ）A ．矩形的对角线互相平分且相等B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．等腰梯形的两条对角线相等D ．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等9．已知一次函数(1)y a x b =-+的图象如图3所示，那么a 的取值范围是（ ） A ．1a >B ．1a <C ．0a >D ．0a <10．如图4所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论： ①420a b c -+<； ②20a b -<； ③1a <-； ④284b a ac +>． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个提示：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是2bx a =-，顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分．请将答案填入答题卡的相应位置） 11．分解因式：269x x -+= ．12．当x 时，二次根式3x -在实数范围内有意义．13．如图5，点D E ，分别在线段AB AC ，上，BE CD ，相交于点O AE AD =，，要使ABE ACD △≌△，需添加一个条件 是 （只要写一个条件）．14．已知一个圆锥体的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面展开图面积是 ．（结果保留π） 15．如图6，45AOB ∠=，过OA 上到点O 的距离分别为1357911 ，，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出 一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，． 观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积10S = ． 三、解答题（满分100分．请将答案填入答题卡的相应位置）16．（每小题8分，满分16分） （1）计算：026(13)(3)---+- （2）先化简再求值：23331111x x x x x -÷--+-，其中2x =． 17．（每小题8分，满分16分）23-图1OB A 图 2图3Oxy0 1 1-2- 2xy图4O CEAD B 图50 1 3 5 7 9 11 13 S 1ABS 2S 3S 4图61）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．（2）如图7，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC △的顶点均在格点上，点C 的坐标为(41)-，． ①把ABC △向上平移5个单位后得到对应的111A B C △，画出111A B C △，并写出1C 的坐标； ②以原点O 为对称中心，再画出与111A B C △关于原点O 对称的222A B C △，并写出点2C 的坐标．18．（本题满分10分）为了进一步了解八年级学生的身体素质情况，体育老师对八年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图．如下表所示： 组别 次数x频数（人数）第1组 80100x <≤6 第2组 100120x <≤ 8 第3组 120140x <≤ a 第4组 140160x <≤ 18 第5组160180x <≤ 6请结合图表完成下列问题：（1）表中的a = ； （2）请把频数分布直方图补充完整；（3）这个样本数据的中位数落在第 组；（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x ）达标要求是：120x <不合格；120140x <≤为合格；140160x <≤为良；160x ≥为优．根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建议： ． 19．（本题满分10分）如图8，已知：ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30D ∠=． （1）求证：AD 是O 的切线； （2）若6AC =，求AD 的长． 20．（本题满分10分）李晖到“宇泉牌”服装专卖店做社会调查．了解到商店为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资＋计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员 小俐小花月销售件数（件） 200150 月总收入（元）14001250假设月销售件数为x 件，月总收入为y 元，销售每件奖励a 元，营业员月基本工资为b 元． （1）求a b ，的值；（2）若营业员小俐某月总收入不低于1800元，那么小俐当月至少要卖服装多少件？ 21．（本题满分12分）如图9，直线AC BD ∥，连结AB ，直线AC BD ，及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P 落在某个部分时，连结PA PB ，，构成① ② ③ ④ ⑤ C B A O x y图7 18 15 12 9 630 50 100 120 140 160 180跳绳次数 频数（人数）ACD BO图8∠，APB ∠，PBD ∠三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角．）（1）当动点P 落在第①部分时，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在第②部分时，APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立（直接回答成立或不成立）？（3）当动点P 在第③部分时，全面探究PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．22．（本题满分12分）如图10，以矩形ABCD 的顶点A 为原点， AD 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线 为y 轴，建立平面直角坐标系．点D 的坐标为(80)，，点B 的坐标为(06)，，点F 在 对角线AC 上运动（点F 不与点A C ， 重合），过点F 分别作x 轴、y 轴的垂线， 垂足为G E ，．设四边形BCFE 的面 积为1S ，四边形CDGF 的面积为2S ，AFG △的面积为3S ．（1）试判断1S ，2S 的关系，并加以证明； （2）当32:1:3S S =时，求点F 的坐标； （3）如图11，在（2）的条件下，把 AEF △沿对角线AC 所在直线平移， 得到A E F '''△，且A F ''，两点始终 在直线AC 上，是否存在这样的点E '，使点E '到x 轴的距离与到y 轴的距离比是5:4．若存在，请求出点E '的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分14分） 如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．图12OxA yBA BC D①②③A B C D P ① ② ③ ④ A BC D①②③ ④ 图9④y ()AO GDCBEF2S1S3Sx图10y ()AO GCEFx图11二○○七年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数 学 试 卷 答 案一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACDDCCBBAD二、填空题：（共5小题，每题4分，满分20分.）11. （x - 3）2 12. ≥ 3 13. ∠B = ∠C 、 ∠AEB = ∠ADC 、 ∠CEO = ∠BDO 、AB = AC 、BD = CE (任选一个即可) 14. 8π 15. 76三、解答题：(满分100分)16.（每小题8分，满分16分）（1）解：原式 = 6 – 1 + 9 = 14 （2）解：原式 =3(1)11(1)(1)31x x x x x x -+⋅-+-- = 111x x -- = 1(1)x x -- 当 x = 2 时，原式 = 12(21)-- = 12-17.（每小题8分，满分16分）(1) 以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一. （满分8分）(2) 画图答案如图所示： ① C 1 ( 4 ,4 ) ；② C 2 ( - 4 , - 4 ) （满分8分）.18.（本题满分10分）(1) a = 12 ; (2) 画图答案如图所示： (3) 中位数落在第 3 组 ; (4) 只要是合理建议.19.（本题满分10分）(1) 证明：如图8，连结0A.∵ , ∴ ∠B = 30°. ∵ ∠AOC = 2 ∠B , ∴ ∠AOC = 60°.∵ ∠D = 30°, ∴ ∠OAD = 180°- ∠D - ∠AOD = 90°.∴ AD 是⊙O 的切线. (2) 解：∵ OA = OC ，∠AOC = 60°,∴ △AOC 是等边三角形 . ∴ OA = AC = 6 . ∵ ∠OAD = 90°主题:，∠D = 30°, ∴ AD = 3AO = 63.20. （本题满分10分）解：①依题意,得 y ax b =+， 1400200,1250150.a b a b =+⎧⎨=+⎩解得 3a =, 800b =.②依题意,得y ≥ 1800, 即3x + 800 ≥ 1800, 解得x ≥ 13333. 答：小俐当月至少要卖服装334件. 21. （本题满分12分） （1）解法一：如图9-1延长BP 交直线AC 于点E ∵ AC ∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .21sin =B∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA , ∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .解法二：如图9-2过点P 作FP ∥AC , ∴ ∠PAC = ∠APF . ∵ AC ∥BD , ∴FP ∥BD . ∴ ∠FPB =∠PBD . ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD . 解法三：如图9-3，∵ AC ∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180° 即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. 又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°, ∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . （2）不成立. （3）(a )当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB .(b )当动点P 在射线BA 上， 结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°， ∠PAC =∠PBD （任写一个即可）. (c ) 当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠PAC =∠APB +∠PBD . 选择(a ) 证明：如图9-4，连接PA ，连接PB 交AC 于M ∵ AC ∥BD ,∴ ∠PMC =∠PBD .又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB . 选择(b ) 证明：如图9-5∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB = 0°. ∵ AC ∥BD , ∴∠PBD =∠PAC . ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD+∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD . 选择(c ) 证明：如图9-6，连接PA ，连接PB 交AC 于F ∵ AC ∥BD , ∴∠PFA =∠PBD . ∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA , ∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD . 22. （本题满分12分）（1）S 1 = S 2证明：如图10，∵ FE ⊥y 轴，FG ⊥x 轴，∠BAD = 90°,∴ 四边形AEFG 是矩形 .∴ AE = GF ，EF = AG . ∴ S △AEF = S △AFG ,同理S △ABC = S △ACD .∴ S △ABC -S △AEF = S △ACD -S △AFG . 即S 1 = S 2 .（2）∵FG ∥CD , ∴ △AFG ∽ △ACD . ∴2233211()()134S FG AG S S CD AD ====++ .∴ FG =12CD ， AG =12AD . ∵ CD = BA = 6， AD = BC = 8 , ∴ FG = 3，AG = 4 . ∴ F （3，4）。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)试卷参考答案
2007 年一般高等学校招生全国一致考试（福建卷）数学（理科）试卷参照答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1． D2．B 3． C 4．B 5． A 6． A 7． C8．D9． D10．B11．B12． D二、填空题：此题共4 小题，每题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应地点。
2 13． [-5， 7]14．2 115．316．答案不独一，如“图形的全等” 、“图形的相像” 、“非零向量的共线” 、“命题的充要条件”等等。
三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵ C=π -（ A+B ） ,1 3 ∴ tanC=-tan （ A+B ）=-4 5 11 1 34 5又∵ 0<C< π ,∴C=3。
43 （Ⅱ）∵ C=,4∴ AB 边最大，即 AB= 17 . 又∵ tanA<tanB, A 、 B (0, )2∴角 A 最小， BC 边为最小边。
tan A sin A 1(0, ),cos A 4 , 且 A 由sin 2 Acos 2 A 1,2得 sin A1717由ABBC 得：sin C sin ABC ABsin A2 ,sin C因此，最小边 BC2 .18．（本小题满分 12 分）本小题主要考察直线与平面的地点关系， 查空间想象能力、逻辑思想能力和运算能力。
满分二面角的大小， 点到平面的距离等知识，12 分。
考解法一：（Ⅰ）取 BC 中点 O ，连接 AO∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．∵正三棱柱 ABC-A 1BC 1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC 1B 1， ∴ AO ⊥平面 BCC 1 B 1连接 B1O ，在正方形 BB 1C 1C 中， O 、 D 分别为 BC 、 CC 1 的中点，∴ B 1 O ⊥ BD,∴ AB 1⊥BD ．在正方形 ABB 1A 1 中， AB 1⊥A 1B ， ∴ AB 1⊥平面 A 1BD ．（Ⅱ）设 AB 1 与 A 1B 交于点 G 1 在平面 A 1BD 中，作 GF ⊥ A 1D 于 F ，连接 AF ，由（Ⅰ）得 AB 1⊥平面 A 1BD ，∴ AF ⊥A 1D ，∴∠ AFG 为二面角 A-A 1D-B 的平面角 .在△ AA 1D 中，由等面积法可求得AF4 5 ,5又∵ AG1AB 12 ,2∴sin AFGAG 2 10AF45,45（Ⅲ）△ A 1BD 中， BD A 1D5, A 1B 22, S A 1BD 6.S △BCD =1在正三棱柱中， A 1 到平面 BCC 1B 1 的距离为 3 .设点 C 到平面 A 1BD 的距离为 D ．由VA BCDVC A 1BD 得 1 S BCD31 S A 1 BD d ,1333SBCD2∴ d.SA 1BD2∴点 C 到平面 A 1BD 的距离为2 ，2解法二：（Ⅰ）取 BC 中点 O ，连接 AO.∵△ ABC 为正三角形，∴ AO ⊥ BC ．∵在正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，平面 ABC ⊥平面 BCC 1B 1，∴ AO ⊥平面 BCC 1 B 1.取 B 1C 1 中点 O 1，以 O 为原点， OB, OO 1 ,OA 的方向为 x 、y 、z 轴的正方面成立空间 直角坐标系，则 B （ 1， 0）， D （-1， 1， 0），A 1（ 0，2，3 ）， B 1（ 1， 2，0）， ∴ AB 1 (1,2, 3) ， BD ( 2,1,0) ， BA 1 ( 1,2,3) .∵ AB 1 BD2 2 0 0，AB 1BA 1 1430，∴AB 1BD, AB 1BA 1,∴ AB 1⊥平面 A 1BD ．（Ⅱ）设平面 A 1BD 的法向量为 n=（x,y,z ） .AD ( 1,1,3) ， AA 1 (0,2,0) . ∵ nAD, nAA 1n AD0,∴n AA 1 0,∴x y3z 0,y 0,2y0,∴3x.x令 z=1 得 n (3,0,1) 为平面 A 1AD 的一个法向量 .由（Ⅰ）知 AB 1⊥平面 A 1BD,∴ AB 1 为平面 A 1BD 的法向量 .cos n, AB 1n AB 1 3 3 6 .n AB 1 2 2 24∴二面角 A-A 1D-B 的大小为 arccos6.4（Ⅲ）由（Ⅱ） ， AB 为平面 A1BD 法向量 .1∵ BC( 2,0,0), AB (1,2, 3) ,1∴点 C 到平面 A 1BD 的距离 dBC AB 12 2.AB 1 2 2219．（本小题满分 12 分）本小题考察函数、 导数及其应用等知识， 考察运用数学知识剖析和解决实质问题的能力。
福州一中2007年高中招生(面向福州以外)综合素质测试数学试卷(含答案)
福州一中2007年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）注意：请将选择题、填空题的答案填写在答题卷的相应位置上。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
） 1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考”在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是A ．祝B ．你C ．成D ．功 2.给出下列关系式：（1）235()a a -=-；（2）2124--=； （3）2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）20072008(0.5)22⨯=。
其中一定成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，直线l 交圆O 于B A 、两点，且将圆O 分成31∶两段。
若圆O 半径为2cm ，则OAB △的面积为A ．12cmB ．32cmC ．22cmD ．42cm4．已知3x =,0x =是关于x 的不等式342a x ax -<+的两个解，则a 的取值范围为A ．12a -≤≤B ．1a <-C ．12a -<<D ．2a >5．如图，在直角三角形ABC △中，090=∠C ，030BAC ∠=，1BC cm =。
将ABC△祝 你考 试成 功第1题 图第3题 图沿直线l从左向右翻转3次，则点B 经过的路程等于 A ．136πcm B ．72πcm C ．43+cm D ．33+cm6.今年是福州一中建校190周年，现将正整数1，2，3，4，5，…按右表所示规律填入表格,则190在表格中的位置是A ．第1行，第19列B ．第20行，第1列C ．第19行，第1列D ．第1行，第20列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）7．如图，在等腰ABC △中，AB AC =， AB 的垂直平分线DE 交AB 于 点D ， 交另一腰AC 于点E ，若15EBC ∠=，则A ∠= ★★★★ 。
2007年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)试卷参考答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）试卷参考答案一、选择题：CCDAAB DBDBBC二、填空题：13．1514．[-5,7]15．1216．不唯一：“图形的全等”“图形的相似”“命题的充要条件”三、解答题17．解：(1)(2)C ∵∵18．解：设“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，则：123123(1):()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ==××=(2)“甲、乙在第1次试跳中至少有一人成功”的事件为：C ，则：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =−=−×=设“甲在2次试跳中成功i 次”为事件i M ，“乙在2次试跳中成功i 次”为事件i N ，则：12211021102122()()()()()0.70.30.40.70.60.40.3024P M N M N P M P N P M P N C C +=+=×××+×××=19．（2）arccos4或arcsin 420．解：（1）23()()1f x t x t t t =+−+−∵，∴当x t =−时，()f x 取最小值3()1f t t t −=−+−，即：3()1h t t t =−+−（2）令3()()(2)31,g t h t t m t t m =−−+=−+−−由2'()330g t t =−+=得1,1t t ==−（舍去负）∴()g t 在（0，2）内有最大值(1)1g m=−()2h t t m <−+在（0，2）内恒成立等价于()0g t <在（0，2）内恒成立。
即等价于10m −<，所以1m >21．解：（1）111112,2,31n n n n n nS a S S S S a S +++=∴=∴===∵∵数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列：13(*)n n S n N −=∈当2n ≥时，2121,1223(2),{23,2n n n n n n a S n a n −−−===⋅≥∴=⋅≥（2）12323,n n T a a a na =++++∵当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323,n n T n −=+⋅+⋅++⋅12133436323,n n T n −=+⋅+⋅++122112242(333)231(12)3n n n n T n n −−−∴−=−+++++−⋅=−+−111()3(2)22n n T n n −∴=+−≥，又当1n =时，上式也成立。
2007年高考理科数学试题及参考答案(福建卷)
福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B 11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．13．[57]-，141 15．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC << ，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π ，AB ∴边最大，即AB =．又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边．由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin 17A =．由sin sin AB BC CA=得：sin sin ABC AB C==．所以，最小边BC =18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为 1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ． 1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得5A F =又112AG AB ==sin 45A G A F G A F∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小为arcsin 4．（Ⅲ）1A BD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△．在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B． 设点C 到平面1A BD 的距离为d ．ABC D1A 1C1BOF由11A BC D C A BD V V --=得11133BC D A BD S S d = △△，12BC D A BDd S ∴==△△．∴点C 到平面1A BD的距离为2．解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，O B ，1OO，O A 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，，(00A ，，1(120)B ，，，1(12AB ∴=-，，，(210)B D =-，，，1(12BA =- ，．12200AB BD =-++= ，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴ ⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ ，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ， 1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，1114AB AB AB >===-n n ．∴二面角1A A D B --的大小为arccos4（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=-，，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离112BC AB d AB ===． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2m ax (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时，23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由Q P Q F=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =（Ⅱ）设直线AB 的方程为： 1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x m y ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1M A AF λ= ，2M B BF λ=得： 1112y y mλ+=-，2222y y mλ+=-，整理得：1121m y λ=--，2221m y λ=--，12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由Q P Q F FP FQ = 得：()0FQ PQ PF +=， ()()0PQ PF PQ PF ∴-+=， 220PQ PF ∴-= ，PQ PF ∴= ．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）由已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=，得120λλ< ．则：12M A AF M B BFλλ=-．…………① 过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ，则有：11M A AA AFM B BB BF== ．…………②由①②得：12AF AFBF BFλλ-= ，即120λλ+=．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分 解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-+=+．（Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S b n n ==+假设数列{}n b 中存在三项p q r b b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =．即2((q p r +=++．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e xf x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e xxF x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e eee ee2e2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+，1(1)()e2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e2)n nF F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)nn F F F n n +*>+∈N ，．。
2007年高考文科数学试题及参考答案(福建卷)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题卷（文史类）本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A B ，相互独立，那么 ()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-= ，，， 以R 为半径的球体积：34π3V R = 一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,}U =，且{2,3,4}A =，{1,2}B =，则()U A C B 等于………（ ）A ．{2}B ．{5}C ．{3，4}D ．{2，3，4，5} 2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于………（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．323．0sin15cos75cos15sin105+等于…………（ ）A ．0B ．12 CD ．14．“2x <”是“260x x --<”的什么条件……（ ）A ．充分而不必要B ．必要而不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 5．函数sin(2)3y x π=+的图像………（ ）ABC1BD 1A1C1D EGHA ．关于点(,0)3π对称 B ．关于直线4x π=对称 C ．关于点(,0)4π对称 D ．关于直线3x π=对称6．如图在正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别是1111...AA AB BB BC 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1207．已知()f x 是R 上的减函数，则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞ C ．(,0)(0,1)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞8．对于向量..a b c和实数λ，下列命题中真命题是…（ ）A ．若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =B ．若0a λ= ，则0λ=或0a =C ．若22a b = ，则a b = 或a b =- D ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c =9．已知m 、n 是两条不同的直线，.αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确命题是（ ） A ．,,m n m αββαβ⊂⊂⇒ B ．,,m n m n αβαβ⊂⊂⇒ C ．,m n n αβα⊥⊥⇒ D ．,m n n m αα⊥⇒⊥10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且以其右准线相切的圆的方程是…（ ） A ．22430x y x +--= B ．22430x y x +-+= C ．22450x y x ++-= D ．22450x y x +++=11．已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=，且x>0时'()0,'()0f x g x >>，则x<0时（）A ．'()0,'()0f x g x >>B ．'()0,'()0f x g x ><C ．'()0,'()0f x g x <>D ．'()0,'()0f x g x <<12．某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前7位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码，公司规定：凡卡号的后4位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320 二、填空题 13．261()x x+的展开式中常数项是_________（用数字作答）14．已知实数x,y 满足2203x y x y x +≥⎧⎫⎪⎪-≤⎨⎬⎪⎪≤≤⎩⎭，则2z x y =-的取值范围是_________15．已知长方形ABCD ，AB=4，BC=3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为_____16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：（1）自反性：对于任意，都有a~a ；（2）对称性：对于，若a~b ，则有b~a ；（3）传递性：对于，若a~b,b~c ，则有a~c 。
2007年高考真题试卷福建卷数学理科参考答案
福建数学试题（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．D 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A 7．C 8．D 9．D 10．B11．B 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分． 13．[57]-，14115．2316．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力，满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--⨯．又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）34C =π，AB ∴边最大，即AB =又tan tan 0A B A B π⎛⎫<∈ ⎪2⎝⎭，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =得：sin 2sin A BC AB C == 所以，最小边BC ．18．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点，1B O BD ∴⊥， 1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11ABA B ⊥， 1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF AD ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得5AF =，又112AG AB ==sin AG AFG AF ∴===∠ 所以二面角1A A D B--的大小为． （Ⅲ）1ABD △中，111A BD BD A D A B S ===∴=△1BCD S =△． 在正三棱柱中，1A 到平面11BCC B设点C 到平面1A BD 的距离为d ． ABCD1A 1C1BOF由11A BCD C A BD V V --=得111333BCDA BD S S d=△△，1A BD d ∴==△．∴点C 到平面1A BD 的距离为2． 解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，1(020)AA =，，． AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，．令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，1113222AB AB AB ->===n n ．∴二面角1A A D B --的大小为arccos4（Ⅲ）由（Ⅱ），1AB 为平面1A BD 法向量，1(200)(12BC AB =-=，，，，．∴点C 到平面1A BD的距离1122BC AB d AB -===． 19．本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力，满分12分． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823x a x =-+-． 令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF=(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =（Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫--⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，故121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-，整理得： 1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =． （Ⅱ）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<．则：12MA AF MBBFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MBBB BF ==．…………②由①②得：12AF AF BFBFλλ-=，即120λλ+=．21．本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n 项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．满分12分解：（Ⅰ）由已知得111339a a d ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩，2d ∴=，故21(n n a n S n n =-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得nn S b n n==．假设数列{}n b 中存在三项p q rb b b ，，（p q r ，，互不相等）成等比数列，则2q p r b bb =．即2((q p r =．2()(20q pr q p r ∴-+--=p q r *∈N ，，，2020q pr q p r ⎧-=∴⎨--=⎩，， 22()02p r pr p r p r +⎛⎫∴=-=∴= ⎪⎝⎭，，． 与p r ≠矛盾．所以数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成等比数列．22．本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e xf x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<．（Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+故12(1)(2)()(e2)n n F F F n n +*>+∈N ，．。
2007福州中考数学试卷(扫描版含答案)
数学试卷答案11. （x - 3）2 12. ≥ 3 13. ∠B = ∠C、∠AEB= ∠ADC、∠CEO =∠BDO、AB = AC、BD = CE (任选一个即可) 14. 8π 15. 76三、解答题：(满分100分)16.（每小题8分，满分16分）18.（本题满分10分）(1) a = 12 ; (2) 画图答案如图所示： (3) 中位数落在第 3 组 ; (4) 只要是合理建议.19.（本题满分10分）= 6 .∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .解法二：如图9-2过点P 作FP ∥AC , ∴ ∠PAC = ∠APF . ∵ AC ∥BD , ∴FP ∥BD .∴ ∠FPB =∠PBD . ∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD . 解法三：如图9-3，∵ AC ∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180° 即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°. 又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°, ∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD . （2）不成立. （3）(a )当动点P 在射线BA 的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB .(b )当动点P 在射线BA 上， 结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°， ∠PAC =∠PBD （任写一个即可）. (c ) 当动点P 在射线BA 的左侧时， 结论是∠PAC =∠APB +∠PBD . 选择(a ) 证明：如图9-4，连接PA ，连接PB 交AC 于M ∵ AC ∥BD ,∴ ∠PMC =∠PBD .又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB . 选择(b ) 证明：如图9-5∵ 点P 在射线BA 上，∴∠APB = 0°. ∵ AC ∥BD , ∴∠PBD =∠PAC . ∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB或∠PAC =∠PBD+∠APB或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD . 选择(c ) 证明：如图9-6，连接PA ，连接PB 交AC 于F ∵ AC ∥BD , ∴∠PFA =∠PBD . ∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA , ∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD . 22. （本题满分12分）（1）S 1 = S 2证明：如图10，∵ FE ⊥y 轴，FG ⊥x 轴，∠BAD = 90°,∴ 四边形AEFG 是矩形 .∴ AE = GF ，EF = AG . ∴ S △AEF = S △AFG ,同理S △ABC = S △ACD .∴ S △ABC -S △AEF = S △ACD -S △AFG . 即S 1 = S 2 .（2）∵FG ∥CD , ∴ △AFG ∽ △ACD . ∴2233211()()134S FG AG S S C DAD ====++ .. 828③ 如图11-3∵ 点E ′到x 轴的距离与到y 轴的距离比是5∶4 , 若点E ′在第三象限，∴设E ′（ -4a ,- 5a ）且a > 0. 延长E ′F ′交y 轴于点P ，得AP = 5a , P F ′= 4 a - 4 . 同理得△A ′E ′F ′∽△A P F ′ ，得A E A P E F P F ''='''，图11－135444a a =-.∴ a = 32-（不合舍去）.∴ 在第三象限不存在点E ′. ④ 点E ′不可能在第四象限 . ∴ 存在满足条件的E ′坐标分别是( 6,152) 、(32-, 158) .解法二：如图11-4，∵△A ′E ′F ′是由△AEF 沿直线AC 平移得到的,且A ′、F ′两点始终在直线AC 上,..② 当x 、y 为异号时，得5,43 3.4y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得3,215.8x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴ E ′（32-, 158 ）.∴存在满足条件的E′坐标分别是( 6,152) 、(32-,158) .23.（本题满分14分）解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当x= 4时，y= 2 .∴点A的坐标为（ 4，2 ）. ∵点A是直线与双曲线（k>0）的交点 ,（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 , ∴OP=OQ，OA=OB .∴四边形APBQ是平行四边形 .∴ S△POA = S平行四边形APBQ= ×24 = 6 .xy21xy8=4141设点P 的横坐标为m （m > 0且4m ≠）, 得P ( m , ) .过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ，∵ 点P 、A 在双曲线上，∴S △POE = S △AOF = 4 .m 8。
2007年高考数学卷(福建.文)含答案
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}12345U =，，，，，且{}234A =，，，{}12B =，，则()U A B 等于（ ）Ａ．{}2Ｂ．{}5Ｃ．{}34，Ｄ．{}2345，，，2．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a 等于（ ） Ａ．4Ｂ．8Ｃ．16Ｄ．323．sin15cos75cos15sin105+等于（ ） Ａ．0Ｂ．12Ｃ．2Ｄ．14．“2x <”是“260x x --<”的（ ） Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数πsin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） Ａ．关于点π03⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｂ．关于直线π4x =对称 Ｃ．关于点π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称Ｄ．关于直线π3x =对称 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（ ） Ａ．45Ｂ．60Ｃ．90Ｄ．1207．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫>⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） Ａ．(1)-∞， Ｂ．(1)+∞， Ｃ．(0)(01)-∞，， Ｄ．(0)(1)-∞+∞，，8．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A FDBGE 1BH1C1D1AＡ．若0=a b ，则0=a 或0=b Ｂ．若0λ=a ，则0λ=或0=a Ｃ．若22=a b ，则=a b 或=-a bＤ．若=a b a c ，则=b c9．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．m α⊂，n α⊂，m β∥，n βαβ⇒∥∥ Ｂ．αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥ Ｃ．m α⊥，m n n α⇒⊥∥ Ｄ．n m ∥，n m αα⇒⊥⊥10．以双曲线222x y -=的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（ ） Ａ．22430x y x +--= Ｂ．22430x y x +-+= Ｃ．22450x y x ++-=Ｄ．22450x y x +++=11．已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则0x <时（ ）Ａ．()0f x '>，()0g x '> Ｂ．()0f x '>，()0g x '< Ｃ．()0f x '<，()0g x '>Ｄ．()0f x '<，()0g x '<12．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”到“9999⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ） Ａ．2000 Ｂ．4096 Ｃ．5904 Ｄ．8320第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13．621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是_____．（用数字作答）14．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．15．已知长方形ABCD ，4AB =，3BC =，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a ～a ；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a ～b ，则有b ～a ；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a ～b ，b ～c ，则有a ～c ． 则称“～”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出两个等价关系：______．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若AB，求BC 边的长． 18．（本小题满分12分）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（Ⅲ）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率． 19．（本小题满分12分） 如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B--的大小． 20．（本小题满分12分）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 22．（本小题满分14分）如图，已知(10)F ，，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；A BD1A1C1BC（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ． （1）已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值； （2）求MA MB 的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建文）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分． 1．Ｃ 2．Ｃ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ａ 6．Ｂ 7．Ｄ 8．Ｂ 9．Ｄ 10．Ｂ 11．Ｂ 12．Ｃ二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．1514．[]57-，15．1216．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．本小题主要考查两角和差公式，用同角三角函数关系等解斜三角形的基本知识以及推理和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）π()C A B =-+，1345tan tan()113145C A B +∴=-+=-=--． 又0πC <<，3π4C ∴=．（Ⅱ）由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ⎧==⎪⎨⎪+=⎩，，且π02A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，得sin A =sin sin AB BC C A =，sin 2sin ABC AB C∴==18．本小题主要考查概率的基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．满分12分．解：记“甲第i 次试跳成功”为事件i A ，“乙第i 次试跳成功”为事件i B ，依题意得()0.7i P A =，()0.6i P B =，且i A ，i B （123i =，，）相互独立．（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件123A A A ，且三次试跳相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063P A A A P A P A P A ∴==⨯⨯=．答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063． （Ⅱ）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C ． 解法一：111111C A B A B A B =++，且11A B ，11A B ，11A B 彼此互斥，111111()()()()P C P A B P A B P A B ∴=++ 111111()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ 0.70.40.30.60.70.6=⨯+⨯+⨯ 0.88=．解法二：11()1()()10.30.40.88P C P A P B =-=-⨯=． 答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88．（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i M i =，，， “乙在两次试跳中成功i 次”为事件(012)i N i =，，， 事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021M N M N +，且10M N ，21M N 为互斥事件，∴所求的概率为10211021()()()P M N M N P M N P M N +=+1021()()()()P M P N P M P N =+1221220.70.30.40.70.60.4C C =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯0.06720.2352=+ 0.3024=答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．19．本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．满分12分． 解法一：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ． 连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥，AC1A FG1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D △中，由等面积法可求得AF =又112AG AB ==sin 4AG AFG AF ∴===∠． 所以二面角1A A DB --的大小为arcsin 4解法二：（Ⅰ）取BC 中点O ，连结AO ． ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中， 平面ABC ⊥平面11BCC B ，AO ∴⊥平面11BCC B ．取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(02A ，(00A ，1(120)B ，，， 1(12AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(12BA =-．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(11AD =-，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，nn 020x y y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩，． 令1z =得(1)=，n 为平面1A AD 的一个法向量． 由（Ⅰ）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n，11133222AB AB AB -->===n n ．∴二面角1A A D B --的大小为arccos420．本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--， 由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．21．本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力．满分12分． 解：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=． 又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥． （Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++，…………①12133436323n n T n -=++++，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-．1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥． 又111T a ==也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N ．22．本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分． 解法一：（Ⅰ）设点()P x y ，，则(1)Q y -，，由QP QF FP FQ =得：(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=--，，，，，化简得2:4C y x =．（Ⅱ）（1）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，，，消去x 得：2440y my --=，2(4)120m ∆=-+>，121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，．由1MA AF λ=，2MB BF λ=得：1112y y m λ+=-，2222y y mλ+=-1121my λ=--，2221my λ=--， 12122112m y y λλ⎛⎫∴+=--+ ⎪⎝⎭121222y y m y y +=--2424mm =---0=．解法二：（Ⅰ）由QP QF FP FQ =得：()0FQ PQ PF +=，()()0PQ PF PQ PF ∴-+=，220PQ PF ∴-=，PQ PF ∴=．所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：24y x =．（Ⅱ）（1）由已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，得120λλ<． 则：12MA AF MBBFλλ=-．…………①过点A B ，分别作准线l 的垂线，垂足分别为1A ，1B ， 则有：11MA AA AF MBBB BF==．…………②由①②得：12AF AF BF BFλλ-=，即120λλ+=． （Ⅱ）（2）解：由解法一，(2121M M MA MB y y y y =--221212(1)()M Mm y y y y y y =+-++ 2224(1)44m m m m=+-+⨯+ 224(1)4m m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22214(2)4216m m m ⎛=+++= ⎪ ⎪⎝⎭≥． 当且仅当221m m =，即1m =±时等号成立，所以MA MB 最小值为16．。
2007年福建省高考数学试卷（文科）及解析
2007年福建省⾼考数学试卷（⽂科）及解析2007年福建省⾼考数学试卷（⽂科）⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题5分，满分60分）1．（5分）（2007?福建）已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（?∪B）等于（）A．{2} B．{5} C．{3，4} D．{2，3，4，5}2．（5分）（2007?福建）等⽐数列{a n}中，a4=4，则a2?a6等于（）A．4 B．8 C．16 D．323．（5分）（2007?福建）sin15°cos75°+cos15°sin105°等于（）A．0 B．C．D．14．（5分）（2007?福建）“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A．充分⽽不必要条件 B．必要⽽不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2007?福建）函数y=sin（2x+）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称6．（5分）（2007?福建）如图，在正⽅体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异⾯直线EF与GH所成的⾓等于（）A．45°B．60°C．90°D．120°7．（5分）（2007?福建）已知f（x）为R上的减函数，则满⾜的实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，1）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）8．（5分）（2007?福建）对于向量、、和实数λ，下列命题中真命题是（）A．若?=0，则=0或=0 B．若λ=，则λ=0或=C．若2=2，则=或=﹣D．若?=?，则=9．（5分）（2007?福建）已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平⾯，则下列命题中正确的是（）A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?α，?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．n∥m，n⊥α?m⊥α10．（5分）（2007?福建）以双曲线x2﹣y2=2的右焦点为圆⼼，且与其右准线相切的圆的⽅程是（）A．x2+y2﹣4x﹣3=0 B．x2+y2﹣4x+3=0 C．x2+y2+4x﹣5=0 D．x2+y2+4x+5=0 11．（5分）（2007?福建）已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，则当x＜0时有（）A．f′（x）＞0，g′（x）＞0B．f′（x）＞0，g′（x）＜0 C．f′（x）＜0，g′（x）＞0 D．f′（x）＜0，g′（x）＜012．（5分）（2007?福建）某通讯公司推出⼀组⼿机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码、公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的⼀律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A．2000 B．4096 C．5904 D．8320⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题4分，满分16分）13．（4分）（2007?福建）（x2+）6的展开式中常数项是．（⽤数字作答）14．（4分）（2007?福建）已知实数x、y满⾜，则z=2x﹣y的取值范围是．15．（4分）（2007?福建）已知长⽅形ABCD，AB=4，BC=3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离⼼率为．16．（4分）（2007?福建）中学数学中存在许多关系，⽐如“相等关系”、“平⾏关系”等等、如果集合A中元素之间的⼀个关系“﹣”满⾜以下三个条件：（1）⾃反性：对于任意a∈A，都有a﹣a；（2）对称性：对于a，b∈A，若a﹣b，则有b﹣a；（3）对称性：对于a，b，c∈A，若a﹣b，b﹣c，则有a﹣c、则称“﹣”是集合A的⼀个等价关系、例如：“数的相等”是等价关系，⽽“直线的平⾏”不是等价关系（⾃反性不成⽴）、请你再列出两个等价关系：．三、解答题（共6⼩题，满分74分）17．（12分）（2007?福建）在△ABC中，tanA=，tanB=．（Ⅰ）求⾓C的⼤⼩；（Ⅱ）若AB边的长为，求BC边的长．18．（12分）（2007?福建）甲、⼄两名跳⾼运动员⼀次试跳2⽶⾼度成功的概率分别为0、7、0、6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（Ⅰ）甲试跳三次，第三次才能成功的概率；（Ⅱ）甲、⼄两⼈在第⼀次试跳中⾄少有⼀⼈成功的概率；（Ⅲ）甲、⼄各试跳两次，甲⽐⼄的成功次数恰好多⼀次的概率．19．（12分）（2007?福建）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平⾯A1BD；（Ⅱ）求⼆⾯⾓A﹣A1D﹣B的⼤⼩．20．（12分）（2007?福建）设函数f（x）=tx2+2t2x+t﹣1（x∈R，t＞0）．（Ⅰ）求f （x）的最⼩值h（t）；（Ⅱ）若h（t）＜﹣2t+m对t∈（0，2）恒成⽴，求实数m的取值范围．21．（12分）（2007?福建）数列{a n}的前N项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．22．（14分）（2007?福建）已知点F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平⾯上的动点，过P作l 的垂线，垂⾜为点Q，且?（Ⅰ）求动点P的轨迹C的⽅程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M．（1）已知，求λ1+λ2的值（2）求||?||的最⼩值．2007年福建省⾼考数学试卷（⽂科）参考答案与试题解析⼀、选择题（共12⼩题，每⼩题5分，满分60分）1．（5分）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，根据补集的定义可得C∪B={3，4，5}，再根据交集的定义计算A∩（C∪B）．【解答】解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴C∪B={3，4，5}，∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选C．【点评】此题考查集合间的交、并、补运算是⾼考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．（5分）【考点】等⽐数列．【分析】由a4=4是a2、a6的等⽐中项，求得a2?a6【解答】解：a2?a6=a42=16故选C．【点评】本题主要考查等⽐中项．3．（5分）（【考点】⼆倍⾓的正弦．【分析】⽤诱导公式把题⽬中出现的⾓先化到锐⾓，再⽤诱导公式化到同名的三⾓函数，sin215°+cos215°=1或应⽤两⾓和的正弦公式求解．【解答】解：sin15°cos75°+cos15°sin105°=sin215°+cos215°=1，故选D．【点评】在⼀般的求值或证明三⾓函数的题中，只要熟练的掌握公式，⽤⼀般常⽤的⽅法都能解决问题，但在解决个别三⾓函数题时，⽤⼀般⽅法不易解决，只能⽤特殊的⽅法解决，要根据实际情况确定⽤什么公式．4．（5分）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别解出两不等式，再进⾏判断．【解答】解：由|x|＜2得﹣2＜x＜2，由x2﹣x﹣6＜0得﹣2＜x＜3，“﹣2＜x＜2”?“﹣2＜x＜3”，反之不成⽴．故选A．【点评】本题考查简单的绝对值不等式和⼆次不等式的求解，充要条件的判断，属基本题．5．（5分）【考点】正弦函数的对称性．【分析】根据三⾓函数对称性的求法，令2x+=kπ解出x的值即可得到答案．【解答】解：令2x+=kπ得x=，对称点为（，0）（k∈z），当k=1时为（，0），故选A．【点评】本题主要考查三⾓函数的对称性问题．属基础题．6．（5分）【考点】异⾯直线及其所成的⾓．【分析】先通过平移将两条异⾯直线平移到同⼀个起点B，得到的锐⾓∠A1BC1就是异⾯直线所成的⾓，在三⾓形A1BC1中求出此⾓即可．【解答】解：如图，连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异⾯直线EF与GH所成的⾓等于60°，故选B．【点评】本题主要考查了异⾯直线及其所成的⾓，考查空间想象能⼒、运算能⼒和推理论证能⼒，属于基础题．7．（5分）【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性可直接得到的⼤⼩，转化为解分式不等式，直接求解或特值法均可．【解答】解：由已知得解得x＜0或x＞1，故选D．【点评】本题考查利⽤函数的单调性解不等式，属基本题．8．（5分）【考点】平⾯向量数量积的含义与物理意义．【分析】本题是对⼏个常见的基本概念的考查，第⼀个是数量积为零，我们知道向量垂直时也有数量积为零，第⼆个考的是数乘运算，当⼀个实数和⼀个向量的积是零时，有两种情况，⼀是实数为零，⼀个是向量是零向量，本选项正确．【解答】解：⊥时也有?=0，A不正确；B正确；设，，此时2=2，但=或=﹣不成⽴，C错误；∵?=?得不到=，如为零向量或与、垂直时，D错误；故选B．【点评】在实数中，若a≠0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠0，且×=0，不能推出=0．因为其中cosq有可能为0．在做有关向量问题时，不要凭想当然做事，不然会出错．9．（5分）【考点】空间中直线与平⾯之间的位置关系．【分析】结合题意，由⾯⾯平⾏的判定定理判断A，⾯⾯平⾏的定义判断B，线⾯垂直的定义判断C，利⽤平⾏和垂直的结论【解答】解：A不正确，m、n少相交条件；B不正确，分别在两个平⾏平⾯的两条直线不⼀定平⾏；C不正确，n可以在α内；故选D【点评】本题主要考查了⾯⾯平⾏的判定定理及定义，线⾯垂直的定义及⼀些结论来判断空间线⾯的位置关系，培养逻辑思维能⼒．10．（5分）【考点】双曲线的简单性质；圆的⼀般⽅程．【分析】先根据双曲线⽅程求出右焦点的坐标即可得到圆⼼坐标，再求出右准线⽅程，进⽽可求出半径，从⽽可得到圆的标准⽅程．【解答】解：双曲线x2﹣y2=2的右焦点为（2，0），即圆⼼为（2，0），右准线为x=1，半径为1，圆⽅程为（x﹣2）2+y2=1，即x2+y2﹣4x+3=0，故选B．【点评】本题主要考查双曲线的简单性质﹣﹣焦点坐标和准线⽅程．属基础题．11．（5分）【考点】函数奇偶性的性质；导数的⼏何意义．【分析】由已知对任意x∈R，恒有f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，⼜由当x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，可得在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数，然后结合奇函数、偶函数的性质不难得到答案．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．⼜x＞0时，f′（x）＞0，g′（x）＞0，知在区间（0，+∞）上f（x），g（x）均为增函数由奇、偶函数的性质知，在区间（﹣∞，0）上f（x）为增函数，g（x）为减函数则当x＜0时，f′（x）＞0，g′（x）＜0．故选B【点评】奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，这是函数奇偶性与函数单调性综合问题的⼀个最关键的粘合点，故要熟练掌握．12．（5分）【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】考虑对⽴事件，10000个号码中不含4、7的有84=4096，故这组号码中“优惠卡”的个数为10000﹣4096=5904【解答】解：∵10000个号码中不含4、7的有84=4096，∴“优惠卡”的个数为10000﹣4096=5904，【点评】本题主要考查概率中的对⽴事件问题．注意事件与其对⽴事件的概率和为1．⼆、填空题（共4⼩题，每⼩题4分，满分16分）13．（4分）【考点】⼆项式定理的应⽤．【分析】本题可通过通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来确定常数项，从⽽根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．【点评】本题主要考查⼆项式定理中通项公式的应⽤，属于基础题型．难度系数0.9．⼀般的通项公式的主要应⽤是求常数项，求有理项或者求某⼀项的系数，⼆项式系数等．所以在今后遇到这样的试题时⾸先都可以尝试⽤通项来加以解决．14．（4分）【考点】⼆元⼀次不等式（组）与平⾯区域．【分析】先画出可⾏域，再把⽬标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之．【解答】解：画出可⾏域，如图所⽰解得B（﹣1，3）、C（5，3），把z=2x﹣y变形为y=2x﹣z，则直线经过点B时z取得最⼩值；经过点C时z取得最⼤值．所以z min=2×（﹣1）﹣3=﹣5，z max=2×5﹣3=7．即z的取值范围是[﹣5，7]．故答案为[﹣5，7]．【点评】本题考查利⽤线性规划求函数的最值．15．（4分）【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知c=2，=3?b2=3a?a2﹣4=3a?a=4，由此可以求出该椭圆的离⼼率．【解答】解：∵AB=4，BC=3，A、B为焦点，∴c=2，=3，∴b2=3a，∴a2﹣4=3a∴a=4，∴e=．故答案：．【点评】本题考查椭圆的性质和应⽤，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）【考点】元素与集合关系的判断．【分析】从所给的条件出发，通过观察、分析得出结论，再把各个结论代⼊题⽬中验证，看是否成⽴，由于结论不唯⼀，本类问题⼀般不要求证明，把结论⽤⾃反性、对称性、对称性进⾏验证．【解答】解：如“图形的全等”、“图形的相似”、“⾮零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．故答案为：“图形的全等”、“图形的相似”．【点评】这类问题只给出条件但没有结论，解题⽅向不明，⾃由度⼤，需要解题者⽐较概括后，探索各种情况，并确定结论．在⼀般情况下，我们需要探索出较为深刻的结论三、解答题（共6⼩题，满分74分）17．（12分）【考点】两⾓和与差的正切函数；正弦定理的应⽤．【分析】（Ⅰ）利⽤三⾓形内⾓和可知tanC=﹣tan（A+B）然后利⽤正切的两⾓和公式求得tan（A+B）的值，进⽽求得tanC的值，则C的值可求．（Ⅱ）利⽤tanA的值求得sinA和cosA的关系式，进⽽利⽤⼆者的平⽅关系联⽴求得sinA，最后利⽤正弦定理求得BC的值．【解答】解：（Ⅰ）∵C=π﹣（A+B），∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣，⼜∵0＜C＜π，∴C=（Ⅱ）由且A∈（0，），得sinA=．∵，∴BC=AB?．【点评】本⼩题主要考查两⾓和差公式，⽤同⾓三⾓函数关系等解斜三⾓形的基本知识以及推理知运算能⼒．18．（12分）【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】（Ⅰ）由题意知本题是⼀个相互独⽴事件，甲试跳三次，第三次才能成功的概率，表⽰甲前两次试跳不成功，⽽第三次试跳才成功，记出事件，根据相互独⽴事件同时发⽣的概率，得到结果．（Ⅱ）甲、⼄两⼈在第⼀次试跳中⾄少有⼀⼈成功表⽰甲成功且⼄成功，甲不成功且⼄成功，甲成功且⼄不成功，三种结果，这三种事件之间是互斥关系，根据互斥事件和相互独⽴事件的概率，得到结果．（Ⅲ）甲、⼄各试跳两次，甲⽐⼄的成功次数恰好多⼀次表⽰甲成功两次且⼄成功⼀次，甲成功⼀次且⼄成功0次，两种结果，这两种结果是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．【解答】解：记“甲第i次试跳成功”为事件A1，“⼄第i次试跳成功”为事件B1、依题意得P（A1）=0.7，P（B1）=0.6，且A1，B1（i=1，2，3）相互独⽴、（Ⅰ）“甲第三次试跳才成功”为事件A3，且三次试跳相互独⽴，∴P（A3）=P（）P=0.3×0.3×0.7=0.063即甲第三次试跳才成功的概率为0.063．（Ⅱ）甲、⼄两⽀在第⼀次试跳中⾄少有⼀⼈成功为事件C，解法⼀：C=A1彼此互斥，∴P（C）===0.7×0.4+0.3×0.6+0.7×0.6=0.88解法⼆：P（C）=1﹣=1﹣0.3×0.4=0.88．即甲、⼄两⼈在第⼀次试跳中⾄少有⼀⼈成功的概率为0.88（Ⅲ）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件M i（i=0，1，2），“⼄在两次试跳中成功i次”为事件N i（i=0，1，2），∵事件“甲、⼄各试跳两次，甲⽐⼄的成功次数恰好多⼀次”可表⽰为M1N0+M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件．∴所求的概率为P（M1N0+M2N1）=P（M1N0）+P（M2N1）=P（M1）P（N0）+P（M2）P （N1）=C21×0.7×0.3×0.42+0.72×C21×0.6×0.4=0.0672+0.2352=0.3024．即甲、⼄每⼈试跳两次，甲⽐⼄的成功次数恰好多⼀次的概率为0.3024．【点评】本⼩题主要考查概率的基础知识，运⽤数学知识解决问题的能⼒，以及推理与运算能⼒．相互独⽴事件是指，两事件发⽣的概率互不影响，注意应⽤相互独⽴事件同时发⽣的概率公式．19．（12分）【考点】直线与平⾯垂直的判定；与⼆⾯⾓有关的⽴体⼏何综合题．【分析】法⼀：（Ⅰ）先证明直线AB1垂直平⾯A1BD内的两条相交直线BD、A1B，即可证明AB1⊥平⾯A1BD；（Ⅱ）设AB1与A1B交于点C，在平⾯A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，说明∠AFG为⼆⾯A﹣A1B﹣B的平⾯⾓，然后求⼆⾯⾓A﹣A1D﹣B的⼤⼩．法⼆：取BC中点O，连接AO，以0为原点，的⽅向为x、y、z轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系，求出，即可证明AB1⊥平⾯A1BD．求出平⾯A1AD的法向量为=（x，y，z），为平⾯A1BD的法向量，然后求⼆者的数量积，求⼆⾯⾓A﹣A1D﹣B的⼤⼩．【解答】解：法⼀：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO、∵△ABC为正三⾓形，∴AO⊥BC．∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平⾯ABC⊥平⾯BCC1B1，∴AO⊥平⾯BCC1B1，连接B1O，在正⽅形BB1C1C中，O、D分别为BC、CC1的中点，∴B1O⊥BD，∴AB1⊥BD．在正⽅形ABB1A1中，AB1⊥A1B，∴AB1⊥平⾯A1BD．（Ⅱ）设AB1与A1B交于点G，在平⾯A1BD中，作GF⊥A1D于F，连接AF，由（Ⅰ）得AB1⊥平⾯A1BD，∴∠AFG为⼆⾯A﹣A1D﹣B的平⾯⾓，在△AA1D中，由等⾯积法可求得AF=，⼜∵AG==，∴sin∠AFG=，所以⼆⾯⾓A﹣A1D﹣B的⼤⼩为arcsin．法⼆：（Ⅰ）取BC中点O，连接AO．∵△ABC为正三⾓形，∴AO⊥BC、∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平⾯ABC⊥平⾯BCC1B1，∴AO⊥平⾯BCC1B1，取B1C1中点O1，以0为原点，的⽅向为x、y、z轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系，则B（1，0，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，），A（0，0，），B1（1，2，0），∴∵，∴⊥⊥，∴AB1⊥平⾯A1BD．（Ⅱ）设平⾯A1AD的法向量为=（x，y，z），．∵⊥⊥，∴∵∴令z=1得=（﹣，0，1）为平⾯A1AD的⼀个法向量．由（Ⅰ）知AB1⊥A1BD．∴为平⾯A1BD的法向量．cos＜，＞===﹣．∴⼆⾯⾓A﹣A1D﹣B的⼤⼩为arccos．【点评】本题考查直线与平⾯垂直的判定，⼆⾯⾓的求法，考查空间想象能⼒，逻辑思维能⼒，计算能⼒，是中档题．20．（12分）【考点】函数恒成⽴问题；函数的最值及其⼏何意义．【分析】（Ⅰ）由f（x）=t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），根据配⽅法即可求出最⼩值；（Ⅱ）令g（t）=h（t）﹣（﹣2t+m）=﹣t3+3t﹣1﹣m，对其求导后讨论即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=t（x+t）2﹣t3+t﹣1（x∈R，t＞0），∴当x=﹣t时，f（x）取最⼩值f（﹣t）=﹣t3+t﹣1，即h（t）=﹣t3+t﹣1；（Ⅱ）令g（t）=h（t）﹣（﹣2t+m）=﹣t3+3t﹣1﹣m，由g′（t）=﹣3t2+3=0得t=1，t=﹣1（不合题意，舍去）当t变化时g′（t）、g（t）的变化情况如下表：t （0，1） 1 （1，2）g′（t）+ 0 ﹣g（t）递增极⼤值1﹣m 递减∴g（t）在（0，2）内有最⼤值g（1）=1﹣mh（t）＜﹣2t+m在（0，2）内恒成⽴等价于g（t）＜0在（0，2）内恒成⽴，即等价于1﹣m＜0所以m的取值范围为m＞1．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应⽤，难度⼀般，掌握运⽤数学知识分析问题解决问题的能⼒．21．（12分）【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利⽤递推公式a n+1=2S n把已知转化为S n+1与S n之间的关系，从⽽确定数列a n 的通项；（II）由（I）可知数列a n从第⼆项开始的等⽐数列，设b n=n则数列b n为等差数列，所以对数列n?a n的求和应⽤乘“公⽐”错位相减．【解答】解：（I）∵a n+1=2S n，∴S n+1﹣S n=2S n，∴=3．⼜∵S1=a1=1，∴数列{S n}是⾸项为1、公⽐为3的等⽐数列，S n=3n﹣1（n∈N*）．∴当n≥2时，a n﹣2S n﹣1=2?3n﹣2（n≥2），∴a n=（II）T n=a1+2a2+3a3+…+na n，当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2，①3T n=3+4?31+6?32+…+2n?3n﹣1，②①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n?3n﹣1=2+2?=﹣1+（1﹣2n）?3n﹣1∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n≥2）．⼜∵Tn=a1=1也满⾜上式，∴Tn=+（n﹣）3n﹣1（n∈N*）【点评】本⼩题考查数列的基本知识，考查等⽐数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类讨论及化归的数学思想⽅法，以及推理和运算能⼒．22．（14分）【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）先设点P（x，y），由题中条件：“”得：x，y之间的关系，化简得C：y2=4x．（Ⅱ）（1）设直线AB的⽅程为：x=my+1（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），⼜M（﹣1，﹣）联⽴⽅程组，将直线的⽅程代⼊双曲线的⽅程，消去x得到关于y的⼀元⼆次⽅程，再结合直线l与双曲线相交于两个不同的点得到根的判别式⼤于0，结合根与系数的关系及向量的条件，从⽽解决问题．（2）先将?=（）2|y1﹣y M||y2﹣y M|表⽰成关于m的函数形式，再利⽤基本不等式求此函数式的最⼩值即可．【解答】解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（﹣1，y），由?=?得：（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化简得C：y2=4x．（Ⅱ）（1）设直线AB的⽅程为：x=my+1（m≠0）设A（x1，y1），B（x2，y2），⼜M（﹣1，﹣）联⽴⽅程组，消去x得：y2﹣4my﹣4=0，△=（﹣4m）2+12＞0，由，得：，整理得：，∴==﹣2﹣=0．（2）解：?=（）2|y1﹣y M||y2﹣y M|=（1+m2）|y1y2﹣y M（y1+y2）+y M2|=（1+m2）|﹣4+×4m+|==4（2+m2+）≥4（2+2）=16、当且仅当，即m=±1时等号成⽴，所以?最⼩值为16．【点评】本⼩题考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹⽅程的求法以及研究曲线⼏何特征的基本⽅法，考查运算能⼒和综合解题能⼒．。
2007年福建高考理科数学试卷及答案详解(文字版)
2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷及详解）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21(1i)+等于（ ） A ．12B ．12-C ．1i 2D ．1i 2-解析：=.2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（ ）A ．1B ．56C ．16D ．130解析：=，所以，选B.3．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()A B =R R ð，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤B ．1a <C ．2a ≥D ．2a >解析：或，因为，所以，选C.4．对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ ）A ．若=0a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =bD ．若a b =a c ，则b =c 解析：时也有，故A 不正确；同理C 不正确；由得不到b=c ，如为零向量或与b 、c 垂直时，选B.5．已知函数()sin (0)f x x ωωπ⎛⎫=+> ⎪3⎝⎭的最小正周期为π，则该函数的图象（ ） A ．关于点0π⎛⎫ ⎪3⎝⎭，对称B ．关于直线x π=4对称 C ．关于点0π⎛⎫ ⎪4⎝⎭，对称D ．关于直线x π=3对称由函数的最小正周期为得，由得，对称点为（，0）（），当k=1时为（，0），选A.6．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A ．221090x y x +-+= B ．2210160x y x +-+= C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为，即，，圆方程为，即A ：，选A.7．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x ⎛⎫<⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） A ．(11)-，B ．(01)，C ．(10)(01)- ，， D ．(1)(1)-∞-+∞ ，，由已知得解得或，选C.8．已知m n ，为两条不同的直线，αβ，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．m n m n ααββαβ⊂⊂⇒，，∥，∥∥ B ．m n m n αβαβ⊂⊂⇒∥，，∥C ．m m n n αα⇒⊥，⊥∥D ．n m n m αα⇒∥，⊥⊥A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在内，不正确，选D.9．把21(1)(1)(1)nx x x +++++++ 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为n a ，则21lim1n n na a ∞-+→等于（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2令=1得=1+2+22+……+2n=，，选D.10．顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，1AB AA '==，则A C ，两点间的球面距离为（ ） A ．π4B ．π2CD正四棱柱的对角线为球的直径，由得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为，选B.11．已知对任意实数x ，有()()()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，由已知为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;为偶函数,在对称区间的单调性相反,时,递增,当时,递增,; 递减, ,选B.12．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．37 B ．47C ．114D ．1314从中任取三个数共有种取法，没有同行、同列的取法有，至少有两个数位于同行或同列的概率是，选D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．画出可行域知在（-1，3）取得最小值-5，在（5，3）取得最大值7，范围是[-5，7].14．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．设c=1，则.15．两封信随机投入A BC ，，三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E ξ= ．ξ的取值有0，1，2，，所以E ξ=111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果集合A 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ∈，都有a a -；（2）对称性：对于a b A ∈，，若a b -，则有b a -；（3）传递性：对于a b c A ∈，，，若a b -，b c -，则有a c -． 则称“-”是集合A 的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立）．请你再列出三个等价关系：______．解析：．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5B =． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若ABC △ 解析： (Ⅰ),.又,.(Ⅱ),边最大,即.又,角最小,边为最小边.由且,得.由得:.所以,最小边18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．（Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面1A BD 的距离． 解析： (Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.正三棱柱中,平面平面, 平面.连结,在正方形中,分别为的中点,,.在正方形中,,平面.(Ⅱ)设与交于点,在平面中,作于,连结,由(Ⅰ)得ABCD1A1C1B平面.,为二面角的平面角.在中,由等面积法可求得,又,.所以二面角的大小为.(Ⅲ)中,,.在正三棱柱中,到平面的距离为.设点到平面的距离为.由得,.点到平面的距离为.(Ⅰ)取中点,连结.为正三角形,.在正三棱柱中,平面平面,平面.取中点,以为原点,,,的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,,,,,,,.,,,.平面.(Ⅱ)设平面的法向量为,.,令得为平面的一个法向量.由(Ⅰ)知平面,为平面的法向量.,二面角的大小为.(Ⅲ)由(Ⅱ),为平面法向量,.点到平面的距离19．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（35a ≤≤）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（911x ≤≤）时，一年的销售量为2(12)x -万件．（Ⅰ）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值()Q a ． 解：（Ⅰ）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：2(3)(12)[911]L x a x x =---∈，，．（Ⅱ）2()(12)2(3)(12)L x x x a x '=-----(12)(1823)x a x =-+-．令0L '=得263x a =+或12x =（不合题意，舍去）． 35a ≤≤，2288633a ∴+≤≤．在263x a =+两侧L '的值由正变负．所以（1）当28693a +<≤即932a <≤时，2max (9)(93)(129)9(6)L L a a ==---=-．（2）当2289633a +≤≤即952a ≤≤时， 23max2221(6)63126433333L L a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以399(6)32()1943532a a Q a a a ⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭⎩， ≤，， ≤≤ 答：若932a <≤，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值()9(6)Q a a =-（万元）；若952a ≤≤，则当每件售价为263a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭元时，分公司一年的利润L 最大，最大值31()433Q a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（万元）．20. （2007年福建理20）如图，已知点F （1，0），直线l ：＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M ，已知，，求的值.解析： (Ⅰ)设点,则,由得: ,化简得.(Ⅱ)设直线的方程为: .设,,又,联立方程组,消去得:,,故由,得:,,整理得:,,.(Ⅰ)由得:,,,.所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:.(Ⅱ)由已知,,得.则:.…………①过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,则有:.…………②由①②得:,即.21．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （Ⅱ）设()nn S b n n*=∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(Ⅰ)由已知得,,故.(Ⅱ)由(Ⅰ)得.假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.即.,.与矛盾.所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.22．（本小题满分14分） 已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ．解析： (Ⅰ)由得,所以.由得,故的单调递增区间是, 由得,故的单调递减区间是.(Ⅱ)由可知是偶函数. 于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,. 此时在上单调递增. 故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表:由此可得,在上,.依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.(Ⅲ),,,由此得,故.。
2007年福州一中高三数学模拟试卷(文科)
2007年福州一中高三数学模拟试卷（二）（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合{}042<-=x x M ，{}Z n n x x N ∈+==，12，则=⋂N M （ ）A ．{}11，- B ．{}101，，- C ．{}10， D ．{}01，- 2．函数312+--=x x y 的反函数的图像关于（ ） A ．直线x y =对称 B ．点)23(，对称 C ．点)23(--，对称 D ．点)32(--，对称 3．椭圆1222=+y x 的准线方程为（ ） A ．2±=x B ．22±=x C ．2±=y D ．22±=y4．在等比数列{}n a 中，若3021=+a a ，6043=+a a ，则=+87a a （ ） A ．90 B ．120 C ．240 D ．4805．下列函数中，值域是)0(∞+，的函数是（ ） A ．12+-=x x y B ．x y -=1)51( C ．1321+=-xy D ．22log x y =6．已知平面α、β和直线m 、n 。
下列命题中正确的是（ ）A ．若βα∥，α⊂m ，β⊂n ，则n m ∥B ．若βα⊥，α⊂m ，β⊂n ，n m ⊥C ．α⊥m ，β⊥n ，n m ∥，则βα∥D ．α∥m ，β∥n ，n m ⊥，则βα⊥7．将函数)(x f y =的图像按向量)34(，π=a 平移后得到的图像的函数解析式为3)4sin(++=πx y ，则=)(x f （ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．3sin +=x yD ．3cos +=x y8．已知直线a y x =+与圆422=+y x 交于A 、B 两点，且OBOA OB OA -=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．6或6-9．已知等比数列{}n a 的前n 和为6131-⋅=-n nx S ，则x 的值为（ ） A ．31 B ．21 C ．21-D ．6110．如图，在一个田字形区域A 、B 、C 、D 中栽种观赏植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻区域中种不同的植物（A 与D 、B 与C 为不相邻）。
2007年全国高考数学-福建理科
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（理工农医类）全解全析第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数2)1(1i +等于 A21 B －21 C 、21i D －21i 解析：2)1(1i +=i i 2121-=，选D （2）数列{}的前n 项和为，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于A 1B 65C 61D 301 解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以656151514141313121211543215=-+-+-+-+-=++++=a a a a a S ，选B （3）已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a 的取值范围是A aB a<1C a 2D a>2解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C（4）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是A 若，则a ＝0或b ＝0 B 若，则λ＝0或a ＝0C 若＝，则a ＝b 或a ＝－bD 若，则b ＝c解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B （5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称解析：由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得2=ω，由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），选A （6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BCD解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45|020|=-=r ，圆方程为16)5(22=+-y x ，即A ，选A（7）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是 A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）（1，＋） 解析：由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C （8）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB.α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC.m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D .n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D（9）把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112lim--∞→nn n a a 等于A41 B 21C 1D 2 解析：令x=1得a n =1+2+22+……+2n =12212111-=--++n n ，222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n n nn a a ，选D（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A’B’C’D’中，AB ＝1，AA’＝，则A 、C 两点间的球面距离为A B CD解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R 2=1+1+2=4得R=1，AC=222R R +=，所以∠AOC=2π（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为2π，选B （11）已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增,当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A73 B 74 C 141 D 1413解析：从中任取三个数共有8439=C 种取法，没有同行、同列的取法有6111213=C C C ，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-，选D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
D_2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学-福建卷
2007年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数等于1(1+i)2 A B － C i D － i12121212（2）数列{}的前n 项和为，若，则等于a n S n a n =1n （n ＋1）S 5A 1 B C D 5616130（3）已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a 的取值范围是A ∪(C R B)A aB a<1C a 2D a>2≤2≥（4）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是λA 若，则a ＝0或b ＝0 B 若，则λ＝0或a ＝0a ∙b ＝0λa ＝0C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若，则b ＝ca 2b 2a ∙b ＝a ∙c （5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象ωx +π3ω>0πA 关于点（，0）对称 B 关于直线x ＝对称π3π4C 关于点（，0）对称 D 关于直线x ＝对称π4π3（6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是x 29‒y 216＝1A B x 2＋y 2‒10x ＋9＝0x 2＋y 2‒10x ＋16＝0C D x 2＋y 2＋10x ＋16＝0x 2＋y 2＋10x ＋9＝0（7）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x 的取值范围是1x A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）∪∞（1，＋）∪∞（8）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是α、βA B m ⊂α，n ⊂，m ∥β，n ∥β⟹α∥βα∥β，m ⊂α，n ⊂β，⟹m ∥nC D m ⊥α，m ⊥n⟹n ∥αn ∥m ，n ⊥α⟹m ⊥α（9）把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则等于lim n⟶∞2a n ‒1a n ＋1AB C 1 D 21412（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A’B’C’D’中，AB ＝1，AA’＝，则A 、C 2两点间的球面距离为A B C D π4π22π42π2（11）已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，a ij 则至少有两个数位于同行或同列的概率是A B C D 37471141314(a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a 31 a 32 a 33)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
2007年福建省福州一中高三数学理科模拟考试卷
2007年福建省福州一中高三数学理科模拟考试卷2007-05-19一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{(,)|1}M x y x y =+=，{(,)|3}M x y x y =-=，则MN =( )A ．{2,1}x y ==-B ．(2,1)-C ．{2,1}-D ．{(2,1)}- 2、复数(2)(1)i i --+在复平面内对应的点所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3、已知等比数列{}(*)n a n N ∈的各项均为正数，54a =，则232425log log log a a a ++ 2627log log a a ++ ＝( )A ．102 B ．10 C ．5 D ．52 4、右图是函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象的一部分，则其函数解析式为 ( ) A ．2sin(2)6y x π=+B ．52sin(2)6y x π=+C. 52sin(2)12y x π=+ D ．2252sin()76y x π=+ 5、将A,B,C,D,E,F 六个字母排成一列，要求A 不排在两端，且B,C 相邻，则不同的排法有( )A ．72种B ．96种C ．120种D ．144种6、要使函数328(0)()()(0)x x f x x a x -<⎧=⎨+≥⎩ ，定义域内连续，则a ＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－27、随机变量ξ服从正态分布2(1,2)N ,则(13)P ξ-<<=( )（(1)0.8413ϕ=） A ．0.8413 B ．0.6826 C ．0.1587 D ．0.31748、若某质点运动的路程()S m 与时间()t s 的函数关系是322()22log 3S t t t a =-+,且质点在t=2s 时的瞬时速度为8m/s ，则实数a 的值是( )A ．12 B ．14C ．2D ．4 9、以下给出四个命题：①若在空间内存在两条异面直线同时都平行平面αβ、，则//αβ； ②若直线a //直线b ，且a ⊥平面α，b ⊥平面β，则//αβ； ③有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ④有两个相对侧面是矩形的棱柱是直棱柱． 其中真命题的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10、设直线l 的倾斜角为060，设3(1,)a =，则a 在l 上的射影的长度等于( ) A ．1 B ．－1 C ．20 D ．1211、已知椭圆221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为圆心的圆经过原点，且被椭圆的右准线分成弧长为2：1的两段弧长，那么该椭圆的离心率等于 ( ) A ．23B ．3C ．49D ．212、2006年1月份开始实施的《个人所得税法》规定：全月总收入不超过1600元的免征个人工资、薪金所得税，超过1600元部分需征税.设全月总收入金额为x 元，前三级税率如右下左表所示：当工资薪金所得不超过3600元，计算个人所得税的一个算法框图如右图，则输出①、输出②分别为( ) A ．0.05x ；0.1x B ．0.05x ；0.1x －185 C ．0.05x －80；0.1x D ．0.05x －80；0.1x －185 二、填空题（本大题共4小时，每小题4分，共16分）13、二项式(2)n x y +展开式中的各项系数和为n a ，各项二项式系数和为n b ，则 111limn nx n n b a b a +→∞---+＝.14、从分别写有0，1，2，3，4的5张卡片中第一次取出一张卡片，记下数字后放回，再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 .15、四面体的重心定理：连接四面体各顶点与其对面重心线段（称为中线）共点，这个点成为四面体重心，四面体的重心到顶点的距离与到对面重心的距离的比为3：1，若在四面体ABCD 中，AB,AC,AD 两两互相垂直，且AB=AC=AD=2，则四面体的重心G 到面ABC 的距离是 .16、考察下列一组不等式：551122223322443322252525252525252525+>⋅+⋅+>⋅+⋅+>⋅+⋅将上述不等式加以推广，使以上的不等式成为推广后不等式的特例，则推广后的不等式为 .三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、（本题满分12分）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、且tan )1tan tan A B A B -=+⋅.（Ⅰ）求A-B 的大小； （Ⅱ）已知63B ππ<<，向量(sin ,cos )m A B =，(cos ,sin )n A B =，求32m n -的取值范围.18、（本题满分12分）如图，P 、O 分别是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1 上下底面的中心，E 是AB 的中点，AB ＝k AA 1 （Ⅰ）求证：A 1E//平面PBC（Ⅱ）当kPA 与平面PBC 所成角的大小；（Ⅲ）当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心.19、（本题满分12分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，试求以下问题. （Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？ （Ⅲ）任意抽取该零件4个，设ξ表示其中合格品的数，求E ξ与D ξ.20、（本题满分12分）A 1对于数列{}n a ，定义数列{}n a 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1(*)n n n a a a n N +-∈＝. （Ⅰ）若数列{}n a 的通项公式2513(*)22n a n n n N =-∈，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n a 首项是1，且满足n n a a -n =2.（1）求证：数列{}n a n 2为等差数列；（2）若2(*)n n n a b n N a +=∈2n +，求证：1316ni i b =<∑.21、（本题满分12分）已知双曲线22221x y -=的两个焦点为F 1，F 2，P 为动点，若122PF PF a +=，a 为定值（其中a >1），12cos F PF ∠的最小值为12. （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程； （Ⅱ）设点M （-2，0），过点N （27-，0）作直线l 交轨迹E 于A 、B 两点，判断AMB ∠的大小是否为定值？并证明你的结论.22、（本题满分14分）已知函数ln()()ln (0,)11ax axf x a a R x x =-≠∈++. （Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）当a >0时，若存在x 使得()ln(2)f x a ≥成立，求a 的取值范围.[参考答案] http://一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
2007年普通高等学校招生考试福建理
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学（福建卷）数学（理工农医类）全解全析第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数2)1(1i +等于 A21 B －21 C 、21i D －21i 解析：2)1(1i +=i i 2121-=，选D （2）数列{}的前n 项和为，若)1(1+=n n a n ，则5s 等于A 1B 65C 61D 301 解析：)1(1+=n n a n =111+-n n ，所以656151514141313121211543215=-+-+-+-+-=++++=a a a a a S ，选B （3）已知集合A ＝{x|x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且=R ，则实数a 的取值范围是A aB a<1C a 2D a>2解析：1|{≤=x x B C R 或}2≥x ，因为=R ，所以a 2，选C（4）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是A 若，则a ＝0或b ＝0 B 若，则λ＝0或a ＝0C 若＝，则a ＝b 或a ＝－bD 若，则b ＝c解析：a ⊥b 时也有a ·b ＝0，故A 不正确；同理C 不正确；由a ·b=a ·c 得不到b =c ，如a 为零向量或a 与b 、c 垂直时，选B （5）已知函数f(x)＝sin()()的最小正周期为，则该函数的图象A 关于点（，0）对称B 关于直线x ＝对称C 关于点（，0）对称D 关于直线x ＝对称解析：由函数f(x)＝sin()()的最小正周期为得2=ω，由2x +3π=k π得x=621ππ-k ，对称点为（621ππ-k ，0）（z k ∈），当k=1时为（3π，0），选A （6）以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是A BCD解析：右焦点即圆心为（5，0），一渐近线方程为x y 34=，即034=-y x ，45|020|=-=r ，圆方程为16)5(22=+-y x ，即A ，选A（7）已知f(x)为R 上的减函数，则满足f(|x1|)<f(1)的实数x 的取值范围是 A （－1，1） B （0，1） C （－1，0）（0，1） D （－，－1）（1，＋） 解析：由已知得1||1>x 解得01<<-x 或0<x<1，选C （8）已知m 、n 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是A.m n m ,,α⊂α⊂∥β，n ∥β⇒ α∥βB.α∥β，α⊂α⊂n m ,，⇒m ∥nC.m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥α D .n ∥m,n ⊥α⇒m ⊥α解析：A 中m 、n 少相交条件，不正确；B 中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C 中n 可以在α内，不正确，选D（9）把1＋（1＋x ）＋(1＋x)2＋…＋（1＋x ）n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则112lim--∞→nn n a a 等于A41 B 21C 1D 2 解析：令x=1得a n =1+2+22+……+2n =12212111-=--++n n ，222322lim 112lim 11=--⋅=--++∞→∞→n n n n nn a a ，选D（10）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD －A’B’C’D’中，AB ＝1，AA’＝，则A 、C 两点间的球面距离为A B CD解析：正四棱柱的对角线为球的直径，由4R 2=1+1+2=4得R=1，AC=222R R +=，所以∠AOC=2π（其中O 为球心）A 、C 两点间的球面距离为2π，选B （11）已知对任意实数x 有f(－x)=－f(x)，g(-x)=g(x)，且x>0时，f’(x)>0，g’(x)>0，则x<0时A f’(x)>0，g’(x)>0B f’(x)>0，g’(x)<0C f’(x)<0，g’(x)>0D f’(x)<0，g’(x)<0解析：由已知f(x)为奇函数,图像关于原点对称,在对称区间的单调性相同;g(x)为偶函数,在对称区间的单调性相反, x >0时f ’’(x )>0,g ’ (x ) >0,递增,当x <0时, f(x) 递增, f ’(x )>0; g(x)递减, g ’(x )<0,选B（12）如图，三行三列的方阵有9个数（i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A73 B 74 C 141 D 1413解析：从中任取三个数共有8439=C 种取法，没有同行、同列的取法有6111213=C C C ，至少有两个数位于同行或同列的概率是14138461=-，选D 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。
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福州一中2007年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）注意：请将选择题、填空题的答案填写在答题卷的相应位置上。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
）1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左 面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考” 在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是A ．祝B ．你C ．成D ．功2.给出下列关系式：（1）235()a a -=-；（2）2124--=；（3）2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）20072008(0.5)22⨯=。
其中一定成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，直线l 交圆O 于B A 、两点，且将圆O 分成31∶两段。
若圆O 半径为2cm ，则OAB △的面积为A ．12cm B．2cm C ．22cm D ．42cm4．已知3x =,0x =是关于x 的不等式342a x ax -<+的两个解，则a 的取值范围为A ．12a -≤≤B ．1a <-C ．12a -<<D ．2a >5．如图，在直角三角形ABC △中，090=∠C ，030BAC ∠=，1BC cm =。
将ABC△沿直线l从左向右翻转3次，则点B 经过的路程等于 A ．136πcm B ．72πcmC．4cm第1题 图第3题 图D．3cm6.今年是福州一中建校190周年，现将正整数1，2，3，4，5，…按右表所示规律填入表格,则190在表格中的位置是A ．第1行，第19列B ．第20行，第1列C ．第19行，第1列D ．第1行，第20列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）7．如图，在等腰ABC △中，AB AC =， AB 的垂直平分线DE 交AB 于 点D ， 交另一腰AC 于点E ，若15EBC ∠= ，则A ∠= ★★★★ 。
8. 代数式||1|1|x x x x -+-的一切可能值为 ★★★★ 。
9．若方程2242x m xx x-+=--有增根2x =，则m = ★★★★ 。
10．口袋内装有编号为1、2、3、4、5、6的六个大小、形状完全相同的小球，其中1、2号球为红色，3、4号球为白色，5、6号球为蓝色。
现从中连续两次不放回地各摸出一个球，则摸出的两个球颜色相同的概率为 ★★★★ 。
11．如图，AOB △和BCD △都是等边三角形，点C A 、在函数)0(>=x xky 的图像上，并且边BD OB 、都在x 轴正半轴 上，若4=OA ，则点C 的横坐标．．．为 ★★★★ 。
12. 符号{}max a b ，的含义是：若a b ≥，则{}max a b a =，； 若a b <，则{}m a x a b b =，。
如{}m a x 131--=-，，{}max 355=，。
则{}2max 2x x +，的最小值为 ★★★★ 。
三、解答题（本大题共3小题。
第13题12分，第14题、15题各14分，共40分。
）13．如图，在ABC △中，c b a 、、分别为C B A ∠∠∠、、的对边。
（1）已知6b =，8c =，060A ∠=，求a 的值；第5题 图第7题 图第11题 图（2）一般地，在三角形中，已知两边及其夹角可以利用公式求出第三边的长。
现请你探索已知b 、c 、A ，求a 的计算公式，并就ABC △为锐角三角形这一情况，证明你的结论。
14．如图，OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，9=OA ，15=OC ，将矩形纸片OABC 绕O 点顺时针旋转︒90得到矩形111OA B C 。
将矩形111OA B C 折叠，使得点1B 落在x 轴上，并与x 轴上的点2B 重合，折痕为D A 1。
（1）求点2B 的坐标；（2）求折痕D A 1所在直线的解析式；（3）在x 轴上是否存在点P ，使得1BPB ∠为直角？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
第13题 图第14题 图15．如图，已知A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，8），⊙A与y轴相切，AB 交⊙O于点P，过点P作⊙A的切线交y轴于点C，交x轴于点D。
（1）证明：ABAD ；（2）求经过DA、、三点的抛物线的函数关系式；C（3）若点M在第一象限，且在（2）中的抛物线上，求四边形AMCD面积的最大值及此时点M的坐标。
第15题图福州一中2007年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学参考答案二、填空题7． 50 度 8． -2，0，2 9． -610． 5111． 222+ 12． 1三、解答题13．（1）如图，作D AB CD 于⊥。
∵060,6=∠=A AC∴33,3==CD AD∴1322527,522=+=+==DB CD BC DB ∴132=a（2）A bc c b a cos 222-+=。
如图，作D AB CD 于⊥。
则 222DB CD BC += =22)(AD AB CD -+=22222AD AD AB AB AD AC +⨯-+- =AD AB AB AC ⨯-+222 =A b c c b cos 222⨯-+。
∴ 2a ＝A bc c b cos 222-+，A bc c b a cos 222-+=。
14．(1)由条件知，151112===BA A B A B ，9111===BC C B O A ∴ 在Rt △21OB A 中，12212212=-=OA B A OB∴点2B 坐标为（12，0）。
（2）3121522=-=C Bm DC =1，则m D B -=91。
∵ D B D B 21=， ∴m m -=+992，解得 4=m 。
∴D 点的坐标为(15,4)。
又 1A (0,9)设折痕D A 1所在直线的解析式为0)b(k kx y ≠+=∴ ⎩⎨⎧+==b k b 1549 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=931b k即折痕D A 1所在直线的解析式为931+-=x y 。
（2）假设存在P 点。
∵ 0111180=∠+∠+∠PC B BPB BPA ,01190=∠PB B ，∴ BPA ∠=∠+11PC B 090。
∵ 090=∠BAP ，090=∠+∠BPA ABP ， ∴ 11PC B ABP ∠=∠。
在中和11B PC BAP ∆∆， ⎩⎨⎧=∠=∠∠=∠0111190B PC BAP PC B ABP ∴ BAP ∆∽11B PC ∆。
∴111B C APP C AB =。
∵24,9,15111===AC B C AB ， 设m PC 的长为1，∴92415m m -=，解得91521==m m 或。
经检验91521==m m 或是方程的两根 当时151=PC ，P 点坐标为（0，0）当时91=PC ，P 点坐标为（6，0）综上所述，P 点坐标为（0，0）, （6，0）。
15．（1）∵ DP 切⊙A 于P ∴090APD =∠在ABO ADP ∆∆和中， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠AOB APD AO AP AA∴ ADP ∆≌ABO ∆)(ASA ，∴AB AD =（2）在AOB Rt △中，由86==BO AO ，，得10=AB 。
∵ AB AD =，故10=AD ，∴ 4=-=AO AD OD ，因此D 点坐标为（－4，0） 又∵ 090,=∠=∠∠=∠APD COD ADP CDO ∴ DCO ∆∽DAP ∆∴864==CO DP AP DO CO 即，，3=CO 。
∴ C 点坐标为)30(，经过A （6，0），D （－4，0），C （0，3）的抛物线解析式可设为)4x )(6x (a y +-=，将C （0，3）代入得，81a -=。
所以，所求抛物线的函数关系式为34181)4)(6(812++-=+--=x x x x y（3）设M 点坐标为)(q p ，,34181002++-=>>p p q q p ，，, 过M 作x MN ⊥轴于N ,则MNA MNO C CO D AMCD S S S S △四边形△四边形++=q p p q ⋅-+⋅++⨯⨯=)6(21233421 8147)3(83154983323622+--=++-=++=p p p q p 。
∴ 当3=p 时，四边形AMCD 面积最大，最大值为8147。
此时M 点坐标为)8213(，。