2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三(上)第一次联考数学试卷2(9月份) (含答案解析)
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.?i(?2?3i)=()A. 3?2iB. 3+2iC. ?3?2iD. ?3+2i2.已知集合A={x|x2+x?6<0}，B=(?2,2)，则?A B=()A. (?3,?2)B. (?3,?2]C. (2,3)D. [2,3)3.下列函数既是奇函数，又在区间[?1,0]上单调递减的是()A. f(x)=?x+1B. f(x)=?x2C. f(x)=?2xD. f(x)=x4.若一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为()A. 4B. 5C. 112D. 65.已知sinα+3cosα2cosα?sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于()A. 115B. 25C. 85D. 756.函数y=sin2x的图象经过变换得到y=sin(2x+π3)的图象，则该变换可以是()A. 所有点向右平移π3个单位 B. 所有点向左平移π3个单位C. 所有点向左平移π6个单位 D. 所有点向右平移π6个单位7.已知直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，则实数a=()A. 2或?1B. 2C. ?1D. 238.已知双曲线C的中心为原点，点F(√2,0)是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为()A. x2?y2=1B. x2?y22=1 C. x22y23=1 D. x23y23=19.设函数f(x)={log12x(x>0)log12(?x)(x<0)，若f(a)>f(a?1)，则实数a的取值范围是()A. (?∞,12) B. (0,1)C. (?∞,0)∪(0,12) D. ?10.在圆x2+y2=4内任取一点A，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为()A. 34B. √32C. 14D. 1211.已知三棱锥P—ABC满足∠APB=APC=∠BPC=60°，PB=PC=12PA=1，则三棱锥P—PBC 的体积等于()A. √62B. √66C. √22D. √2612.当a>0时，函数f(x)=(x2?ax)e x的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______ ．14.设x，y满足约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)最大值为1，则2a+1b的最小值______ ．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=______．16.已知向量a?，b? 的夹角为60°，|a?|=2，|b? |=1，则|a?+2b? |=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N?)，?2S2,S3,4S4成等差数列，且a2+2a3+a4=116(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n<1．(2)若b n=?(n+1)log2|a n|，证明：数列{1b n18.某班主任对全班40名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得到如下列联表：如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.55，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是0.25．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表作的态度有关？并说明理由参考数据：)(参考公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G，H分别为边CD，DA的中点，M是线段BE上的动点．(1)求证：GH⊥DM；(2)当三棱锥D?MGH的体积最大时，求点A到面MGH的距离．20.平面内一动圆P(P在y轴右侧)与圆(x?1)2+y2=1外切，且与y 轴相切．(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)已知动直线l过点M(4,0)，交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM=∠BNM．21.设f(x)=e x?1.当a>ln2?1且x>0时，证明：f(x)>x2?2ax．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求点P的轨迹C的方程及直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x?1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1?a a ?1?bb1?cc≥8．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：?i(?2?3i)=2i+3i2=?3+2i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查集合的补集计算，关键是求出集合A，属于基础题．【解答】解：根据题意，集合A={x|x2+x?6<0}=(?3,2)，又由B=(?2,2)，则?A B=(?3,?2]．故选：B．3.答案：C解析：对于A选项，因为f(?x)=x+1≠?f(x)，不是奇函数，舍去；对于B选项，因为f(?x)=?x2=f(x)，是偶函数，舍去；对于D选项，虽然f(x)=x是奇函数，但是在区间[?1,0]上单调递增，舍去；故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解，由三视图，得到该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可求解．【解答】解：根据三视图分析知，该几何体的直观图如图所示，O为AB的中点，其中该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，∴该几何体的体积V=2×12×1×2×2=4．故选A．5.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα?sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.答案：C解析：解：∵y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，∴函数y=sin2x的图象经过所有点向左平移π6个单位．故选：C．首先，得到y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，然后，根据三角函数图象变换进行求解．本题重点考查了三角函数的图象平移变换等知识，属于中档题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，属于基础题．根据两直线平行的等价条件即可求出a的值．【解答】解：由题意可知两直线的斜率存在，∵直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，∴a?12=1a≠?11，解得a=2，a=?1(舍去)．故选B．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题．熟练掌握相关知识点是解决此类问题的关键．【解答】解：因为焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，根据题意得，c=√2，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，所以|√2ba|√(ba)2+1=1，解得a2=b2，又因为a2+b2=c2=2，解得b2=1,a2=1，所以双曲线方程为?x2?y2=1，故选A．9.答案：B解析：【分析】本题考查分段函数的应用：解不等式，注意运用分类讨论思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．由对数函数的单调性可得x>0，x<0时f(x)递减，结合分段函数和单调性，分类讨论即可求解．【解答】解：当x>0时，f(x)=log12x递减；当x<0时，f(x)=?log12(?x)递减；显然a≠0且a?1≠0，即a≠0且a≠1．当a>1时，a?1>0，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式解集为?；< p="">当0<a<1时，a?1<0，< p="">由f(a)>f(a?1)可得log12a>?log12(1?a)=log1211?a，即有0<a<1< p="">，解得0<a<1；< p="">1?a当a<0，a?1<?1，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式的解集为?．< p="">综上可得，原不等式的解集为(0,1)．故选：B．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查几何概率的应用，熟悉几何概型的特点是解答本题的关键，是常见的题型，属于基础题．【解答】解：过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2，即过点A的直线被圆O截得的最短弦长为2，又因为圆半径为2，此时，圆心O与A的距离d=√22?1=√3，所以过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2时，点A在以O为圆心，以√3为半径的圆及其内部，所以所求概率为两圆面积之比，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为：，故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查了三棱锥的结构特征以及三棱锥体积的求法，属于中档题．根据题意，过A点作AO⊥平面PBC于点O，再结合角度关系以及几何性质求出AO，然后带入体积公式运算即可求解．【解答】解：如图所示，过点A作AO⊥平面PBC于点O，∵∠APB =∠APC =∠BPC =60°，PB =PC =12PA =1，∴点O 为∠BPC 平分线上的点，联结OP ，则∠OPC =30°，过点O 作OD ⊥PC 于点D ，联结AD ，∵AO ⊥平面BPC ，PC ?平面BPC ，∴AO ⊥PC ，又AO ∩OD =O ，∴PC ⊥平面AOD ，又AD ?平面AOD ，∴AD ⊥PC ，∴在Rt △APD 中，易知PD =12PA =1，AD =√32PA =√3，在Rt △POD 中，易知OD =PDtan∠OPD =√33，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2?OD 2=√(√3)2?(√33)2=2√63，∴三棱锥P—ABC 的体积V P?ABC =V A?PBC =13S ΔBPC ·OA =13×12×1×1×√32×2√63=√26．故选D ．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f(x)=0，解得x2?2ax=0，即x=0或x=2a，∵a>0，∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f(x)=(x2?2x)e x，∴f′(x)=(x2?2)e x，由f′(x)=(x2?2)e x>0，解得x>√2或x<?√2．由f′(x)=(x2?2)e x<0，解得，?√2<x<√2，< p="">即x=?√2是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．13.答案：20解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．14.答案：8解析：解：由约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0作出可行域如图，联立，解得A(1,2)．化目标函数z=ax+by为y=?ab x+zb，由图可知，当直线y=?ab x+zb过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1．∴2a +1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+2√4baab=8．当且仅当a=2b时上式“=”成立．∴2a +1b的最小值为8．故答案为：8．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得a+2b=1，再由基本不等式求最值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.答案：π3解析：【分析】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题，根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，∴cosB =12，∵03，故答案为π3．16.答案：2√3解析：【分析】本题主要考查向量的模以及向量的数量积，属于基础题．通过向量的模长公式结合向量的数量积进行求解即可．【解答】解：|a ? +2b ? |=√4+4+4=2√3，故答案为2√3．17.答案：(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列知，2S 3=?2S 2+4S 4，所以2a 4=?a 3，即q =?12．又a 2+2a 3+a 4=116，所以a 1q +2a 1q 2+a 1q 3=116，所以a 1=?12，所以等差数列{a n }的通项公式a n =(?12)n．(2)证明：由(1)知b n =n(n +1) ，所以1b n=1n(n+1)=(1n ?1n+1)，所以数列{1b n}的前n 项和：T n =1?1n+1<1．解析：本题考查等差数列、等比数列的综合应用以及数列求和．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列求出q ，再求出首项即可得到通项公式； (2)由裂项求和求出T n ，即可证明．18.答案：解：(1)积极参加班级工作的学生有40×0.55=22(人)，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有40×0.25=10(人)；可得2×2列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高12820学习积极性一般101020合计221840 (2)计算观测值K2=40×(12×10?10×8)222×18×20×20≈0.404<2.072，所以没有85%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．解析：(1)由题意，填写列联表；(2)计算观测值，对照临界值即可得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：解：(1)证明：连接AC、BD相交于点O．∵BE⊥平面ABCD.而AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE．∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH//AC，则GH⊥平面BDE．而DM?平面BDE，∴GH⊥DM；(2)菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．∵DG=DH=1，∴S△DGH=12DG?DHsin1200=12×1×1×√32=√34，∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，∴V?D?MGH=V M?DGH=13S△DGH?BM=√312BM．显然，当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时(V D?MGH)max=√312×2=√36．且MG=MH=√7，GH=√3，则S?△MGH=12×√3×52=5√34，∵H是AD中点，所有A到平面MGH的距离d1等于到平面MGH的距离d2，又V D?MGH=V M?DGH，∴√36=13×5√34d2，得d2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．解析：本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，等体积法求距离，是中档题．(1)连接AC 、BD 相交于点O.由BE ⊥平面ABCD ，得到BE ⊥AC.再由四边形ABCD 为菱形，可得BD ⊥AC.由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BDE.进一步得到GH ⊥DM ；(2)在菱形ABCD 中，由∠BAD =60°，得∠ADC =120°.求出三角形DGH 的面积，可得V?D?MGH =V M?DGH =13S △DGH ?BM =√312BM.由图可得当点M 与点E 重合时，BM 取最大值2，由此求得三棱锥D ?MGH 的体积的最大值．V D?MGH =V M?DGH ，∴√36=13×5√34d 2，得A 到平面MGH 的距离为25．20.答案：解：(1)设P(x,y)(x >0)，则√(x ?1)2+y 2=x +1，y 2=4x∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：y 2=4x(x >0)．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由于O 为MN 的中点，则N(?4,0) 当直线l 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性知∠ANM =∠BNM ．当直线l 不垂直于x 轴时，设l ：y =k(x ?4)，由{y =k(x ?4)y 2=4x ，得k 2x 2?4(2k 2+1)x +16k 2=0，∴x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1?x 2=16，∵k AN =y 1x1+4=k(x 1?4)x 1+4，k BN =y 2x2+4=k(x 2?4)x 2+4，∴k AN +k BN =k(2x 1x 2?32)(x1+4)(x 2+4)=0，∴∠ANM =∠BNM ，综上，∠ANM =∠BNM ．解析：(1)设圆心P ，根据动圆P 与圆(x ?1)2+y 2=1外切，且与y 轴相切．建立关系可得轨迹C 的方程(2)设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．21.答案：证明：欲证f(x)>x 2?2ax ，即e x ?1>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0．可令u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a ．令?(x)=ex ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2．当x ∈(?∞,ln 2)时，?′(x)<0，函数?(x)在(?∞,ln 2]上单调递减，当x ∈(ln 2，+∞)时，?′(x)>0，函数?(x)在[ln 2，+∞)上单调递增．所以?(x)的最小值为?(ln 2)=e ln2?2ln 2+2a =2?2ln 2+2a ．因为a >ln 2?1，所以?(ln 2)>2?2ln 2+2(ln 2?1)=0，即?(ln 2)>0．所以u′(x)=?(x)>0，即u(x)在R 上为增函数．故u(x)在(0,+∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．而u(0)=0，所以u(x)=e x ?x 2+2ax ?1>0．故当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．解析：欲证f(x)>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0.构造函数u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a.令?(x)=e x ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2.由此利用导数性质能证明当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)，消去参数，得(x ?2)2+y 2=1，即P 点的轨迹C 的方程为(x ?2)2+y 2=1 直线l ：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4?x +y =4，所以直线l 的直角坐标方程为x +y ?4=0．(2)由(1)，可知P 点的轨迹C 是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C 到直线l 的距离为d =√2=√2>r =1．所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x ?1)+f(x +2)=|x ?1|+|x +2| ={2x +1,x >13,?2≤x ≤1?2x ?1,x <4，可得{2x +1<4x >1或?2≤x ≤1或{?2x ?1<4x <?2，所以?52<x<3< p="">2，所以不等式的解集A={x|?52<x<3< p="">2}；(2)由(1)知m=1，则a+b+c=1，又a，b，c均为正实数，1?a a ·1?bb·1?cc=b+ca·a+cb·a+bc≥2√bca ·2√acb·2√abc=8，当且仅当a=b=a=13时等号成立．所以1?aa ?1?bb1?cc≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x?1)+f(x+2)={2x+1,x>13,?2≤x≤12x?1,x<?2，然后由f(x?1)+f(x+2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1?aa ·1?bb·1?cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1?aa ·1?bb·1?cc≥8，注意等号成立的条件．</x<3<></x<3<></x<√2，<></a?1，原不等式的解集为?．<> </a<1；<></a<1<></a<1时，a?1<0，<></a?1，原不等式解集为?；<>。
江西省临川第一中学2019_2020学年高一数学12月月考试题
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！江西省临川第一中学2019-2020学年高一数学12月月考试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R C A B I =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<< 2．已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<3．已知函数()f x 在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值（ ） A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次4．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<o o D ．5tan 410sin 80log 2>>o o5．函数()y f x =的图象与函数()xg x e =的图象关于直线y x =对称，则函数()243y f x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数图像( ) A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线6x π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线3x π=对称7．已知函数)53(212log )(+-=ax x x f 在),1(+∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）)6,8.(--A ]6,.(--∞B ]6,8.[--C ]6,8.(--D 8．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．2-D 210．将函数()3sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ）]2,2.[-A ]21,21.[-B ),2[}0{]2,.(+∞--∞Y Y C ),21[}0{]21,.(+∞--∞Y Y D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边经过点P (4，y )，且3sin 5θ=-，则()tan πθ-=__________ 14．若1cos 1sin 2αα+=，则cos 2sin αα+=_________15．函数()2lg1y axax =++的值域是R ，则a 的取值范围是_________ _16．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为三、本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{}56A x x =<≤，139x aB x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，其中a 为实数 （1）当152a =时，求A B U ； （2）若()R C B A φ≠I ，求a 的取值范围18. （本小题满分12分） （1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.19．（本小题满分12分）若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求()g x 的值域．20．（本小题满分12分）2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本小题满分12分）下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象，M 、N 是它与x 轴的两个交点，D 、C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME ∆为等腰直角三角形.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 的解析式及单调增区间，对称中心.22．（本小题满分12分）已知函数()2lg ,2xf x m m R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）当1m =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围；（3）任取[]12,,2x x t t ∈+，若不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案CCCDD ACBCD AC13. 34 14. 1 15. 4≥a 16. 1617.（1）当152a =时，151522213339x x B x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=<=<=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭15112,22x x ⎧⎫⎛⎫-<-=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，因为集合{}56A x x =<≤，所以(],6A B =-∞U ； （2）因为{}213339x ax a R C B x x ---⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭[)2,a =-+∞， 又因为()R C B A φ≠I ， 所以26a -≤，即8a ≤， 所以a 的取值范围是(],8-∞. 18.解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-，因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=- 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19.（1）∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ，则62T =， 又2T πω=，∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭；∵()f x 的图像经过点，∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像， 由（1）得，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上，当[1,5]x ∈-时，()g x 的值域为[2]. 20.（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.21.（1）由已知点()0,1E 为线段MD 的中点，则2A =， 又OME ∆为等腰直角三角形，且2MOE π∠=，OM OE ∴=，则点()1,0M -，则()1,2D ，()121124πω∴⋅=--=，解得4πω=，()2sin 4f x x ϕπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 将点D 的坐标代入函数()y f x =的解析式得2sin 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.02πϕ<<Q ，3444πππϕ∴<+<，42ππϕ∴+=，解得4πϕ=， 因此，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()y f x =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数2sin 24x y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向左平移12个单位长度，得到函数()12sin 2cos 2242xg x x πππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()222xk k k Z ππππ-≤≤∈，得()424k x k k Z -≤≤∈.令()22xk k Z πππ=+∈，解得()21x k k Z =+∈.因此，函数()y g x =的单调增区间为[]()42,4k k k Z -∈，对称中心为()()21,0k k Z +∈.22.（1）当1m =-时,()212xf x lg ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使函数()f x 有意义,则需2102x -+＞,即22x <,从而1x < 故函数()f x 的定义域为{}|1x x <（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点, 则22202xlg m xlg ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一个根,即22(2)02x x lg m ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即22(2)12x x m ⎛⎫+=⎪⎝⎭, 即()222210xx m +⋅-=有且仅有一个根令20x t =>,则2210mt t +-=有且仅有一个正根, 当0m =时,210t -=,则12t =,即1x =-,成立； 当0m ≠时,若()2241440m m ∆=-⋅-=+=即1m =-时,1t =,此时0x =成立； 若()2241440m m ∆=-⋅-=+>,需10m-＜,即0m >, 综上，m 的取值范围为[){}0,1+∞-U（3）若任取[]12,,2x x t t ∈+,不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 即()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 因为()22xf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭在定义域上是单调减函数, 所以2()2max t f x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,22()2min t f x lg m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 即222()()122max min tt f x f x lg m lg m +⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2221022t t m m +⎛⎫⎛⎫+≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则392t m ≥-,所以339()24max t m ≥-=-,即112m ≥-, 又()22xf x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有意义,需202x m +＞,即22xm -＞, 所以222t m +-＞,[]1,2t ∈,18m -＞ 所以m 的取值范围为),121[+∞-。
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由，则，故数列为等比数列，首项为，公比为所以 .......6分(2)由，则.......12分18. (1)取的中点，连接，由，，故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，，而面，故平面平面.......6分(2)由，则故，则，由故 .......12分19.由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，.......4分当不是切点时，设直线与曲线相切于点则①又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，综上，或 .......12分20. （1）由题可知，，故，而，则 ......4分（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故......8分（3）由题可知，，，所以，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故......12分21. （1）设，，由点都在椭圆上，故，则故直线的方程为 ......5分（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，则即①联立，则将其代入①得故的值为.......12分22. （1）由，，故又直线：，故......5分(2)由，故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，故......10分23. (1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故......5分(2) 由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，故.....10分。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若点P(−3,4)是角α的终边上一点，则sin2α=A. −2425B. −725C. 1625D. 853.已知cos(α−π4)=−13，则sin(−3π+2α)=()A. 79B. −79C. 35D. −354.函数f(x)=x44x−4−x的大致图象为()A. B.C. D.5.设x，y满足约束条件{x≥0,y≥0x−y≥−1x+y≤3，则z=2x−y的最大值为()A. 0B. 2C. −2D. 66.已知函数f(x)={(12)x−7,x<0log2(x+1),x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A. (−∞ , −3)∪[0 , 1)B. (−3,0)⋃(−1,1)C. (−3,1)D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)7.已知向量a⃗，b⃗ ，其中a⃗=(−1,√3)，且a⃗⊥(a⃗−3b⃗ )，则b⃗ 在a⃗上的投影为()A. 43B. −43C. 23D. −238.将y=3sin4x的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f(x)的图象，若f(m)=a，则f(π3−m)=()A. −aB. −a−3C. −a+3D. −a−69. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)单调递减，设a =−21.2，b =(12)−0.8，c =2log 52，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A. f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)>f(b)>f(a)C. f(c)<f(a)<f(b)D. f(c)>f(a)>f(b) 10. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5=3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5=( )A. 1123B. 112C.12127D. 12111. 已知x >0，y >0，2x +3xy =6，则2x +3y 的最小值是( )A. 3B. 4√3−2C. 92D. 11212. 设函数f(x)={|lnx |,x >0e x (x +1),x ≤0，若函数g(x)=f(x)−b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−1e 2,0)C. (1,+∞)∪{0}D. (0,1]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f (x )={log 2(3−x ),x ≤02x −1,x >0，若f(a −1)=12，则实数a =______．14. 在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=7，则{a n }的前5项和S 5= ______ ． 15. 如下图：在△ABC 中，若AB =AC =3，cos∠BAC =12，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =__________．16. 已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 已知函数f (x )=sinx(sinx −√3cosx)(x ∈R )．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最大值； (Ⅱ)若x ∈[0,π],求f(x)=1的所有根的和．18.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n19.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC的面积的最大值．20.已知y=f(x)为二次函数，且f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求此二次函数的解析式．21.已知函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．(3)若g(x)=f(x)+kx在(1,3)是单调函数，求k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m+1m )lnx+1x−x，(Ⅰ)当m=2时，求f(x)的极大值；(Ⅱ)当m>0时，讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵点P(−3,4)是角α的终边上一点，∴sinα=22=45，cosα=22=−35，则sin2α=2sinαcosα=−2425．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查了二倍角公式，和差公式和诱导公式，属于基础题．将cos(α−π4)=−13展开后平方可得sin2α=−79，由诱导公式可得答案．【解答】解：∵cos(α−π4)=−13，∴√22cosα+√22sinα=−13，两边平方得：12(1+2sinαcosα)=19，∴sin2α=−79，又sin(−3π+2α)=−sin2α，所以sin(−3π+2α)=79，故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题．判断函数的奇偶性排除选项BD，再根据特殊值排除选项C即可．【解答】解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(−x)=(−x)44−x−4x =−x44x−4−x=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f(2)=1616−116>1，对应点在y=1的上方，排除C．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中等题．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．变形目标函数可得y=2x−z，平移直线y=2x可知当直线经过点A(3,0)时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=2x−y的最大值为6，故选D ．6.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了分段函数的应用，解题的关键是熟练掌握分段函数的计算， 根据已知及分段函数的计算，求出f(a)=1，实数a 的取值范围． 【解答】 解：∵函数f(x)={(12)x −7,x <0log 2(x +1),x ≥0，若f(a)<1 ∴{a <−3,0≤a <1,∴实数a 的取值范围是(−∞ , −3)∪[0 , 1)． 故选A ．7.答案：C解析：解：由已知，a ⃗ =(−1,√3)，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，a ⃗ ⋅(a ⃗ −3b ⃗ )=0=a ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =4−3a ⃗ ⋅b ⃗ ，a ⃗ ⋅b ⃗ =43，所以b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=432=23； 故选C ．利用b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为|b ⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，及诱导公式，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式得出结论． 【解答】解：将y =3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度， 得到y =3sin(4x +4×π12)=3sin(4x +π3)的图象， 再向下平移3个单位长度得到y =3sin(4x +π3)−3的图象，∴f(x)=3sin(4x +π3)−3，由f(m)=a ，则3sin(4m +π3)−3=a ，即3sin(4m +π3)=a +3，．故选D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查偶函数的性质，函数单调性，指数、对数函数的性质，以及对数的运算性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)为偶函数， ∴f(−21.2)=f(21.2)，∵21.2∈(2,+∞)，0<2log 52<1，(12)−0.8=245∈(1,2)， 且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(c)>f(b)>f(a). 故选B .10.答案：D解析： 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属于中档题．设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1的值，代入等比数列的求和公式可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2a 5=3a 3，∴a 4=a 1q 3=3， ∵a 4与9a 7的等差中项为2， ∴a 4+2a 7=a 4(1+9q 3)=4， 解得q =13，可得a 1=81，故S5=81(1−135)1−13=121．故选D．11.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式的运用，属于简单题．由条件可得0<x<3，3y=6−2xx ，即有2x+3y=2x+6x−2，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：x>0，y>0，2x+3xy=6，可得3y=6−2xx>0，0<x<3，即有2x+3y=2x+6x−2≥2√2x×6x−2=4√3−2，当且仅当x=√3，y=13(2√3−2)时，上式取得等号，则2x+3y的最小值为4√3−2，故选：B．12.答案：D解析：【分析】本题考查导数求函数的零点问题，属于一般题．将函数的零点转化为y=f(x)与y=b两个函数图象的交点．【解答】解：设ℎ(x)=e x(x+1),x≤0，则ℎ′(x)=e x(x+2)，ℎ(x)在(−∞,−2)上递减，在(−2,0]上递增，ℎ(x)min=g(−2)=−1e2，且0<b≤1与y=b的图象有三个交点，此时，函数g(x)=f(x)−b有三个零点，∴实数b的取值范围是(0,1]．故选D ．13.答案：解析： 【分析】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题． 根据分段函数解析式，分类讨论求解即可． 【解答】 解：函数，∵f(a −1)=12，或{a −1>02a−1−1=12，解得． 故答案为．14.答案：20解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4， ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5×(1+7)2=20．故答案为：20．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：−32解析： 【分析】本题考查向量的数量积，属基础题．由条件可先得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 【解答】 解：根据条件：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×3×3×12−23×9+13×9 =−32． 故答案为：−32．16.答案：−3√32解析： 【分析】本题考查应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 【解答】解：f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)， 所以当cosx <12时函数单调减，当cosx >12时函数单调增， 从而得到函数的减区间为[2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z)，函数的增区间为[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z)，所以当x =2kπ−π3,k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值，此时sinx =−√32,sin2x =−√32，所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32． 17.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=sinx(sinx −√3cosx)=sin 2x −√3sinxcosx =1−cos2x 2−√32sin2x =12−sin(2x +π6)，x ∈R ，则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，当sin(2x+π6)=−1时，f(x)取得最大值为32．(Ⅱ)x∈[0,π],则2x+π6∈[π6,13π6]，令f(x)=1，得sin(2x+π6)=−12，所以2x1+π6+2x2+π6=3π，x1+x2=4π3因此，所有根的和为4π3.解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查两角和差公式与二倍角公式的应用，注意正弦函数图象和性质的灵活运用．(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，求出f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)根据x∈[0,π]时f(x)=1，结合三角函数的对称性求得f(x)=1时所有根的和．18.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．19.答案：解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，∴b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc2bc =12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3; (2)∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ∴9=b 2+c 2−bc ， 又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴9≥bc ，即bc ≤9， ∴三角形ABC 的面积， ∴三角形ABC 的面积的最大值是9√34．解析：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，是基础题． (1)将所给式子展开整理化简，结合余弦定理即可求得∠A ；(2)由a =3，A =π3，利用余弦定理，可得关于b ，c 的等式，结合基本不等式可得bc 的最大值，利用三角形面积公式即可求得面积的最大值．20.答案：解：y =f(x)为二次函数，设f(x)=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵f(0)=−5，∴c =−5由f(−1)=−4，f(2)=−5，可得：{−4=a −b −5−5=4a +2b −5，解得：{a =13b =−23，故得二次函数的解析式为f(x)=13x2−23x−5．解析：由题意，设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求解a，b，c的值可得答案．本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法，属于基础题．21.答案：解：(1)因为f(1)=(a+b)ln1−b+3=2，所以b=1；又f′(x)=bx +alnx+a−b=1x+alnx+a−1，而函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以f′(1)=1+a−1=0，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=lnx−x+3，f′(x)=1x−1，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．故f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)，g′(x)=1x+k−1，又由g(x)在x∈(1,3)上是单调函数若g(x)为增函数时，有g(x)≥0所以有g,(x)=1x +k−1≥0,即k≥1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≥23若g(x)为减函数时，有g(x)≤0所以有g,(x)=1x +k−1≤0,即k≤1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≤0故综上k∈(−∞,0]∪[23,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程，函数的极值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用切线方程求出b=1，求出导函数，转化求解f′(1)=1+a−1=0，推出a=0．(2)求出f(x)=lnx−x+3的导函数f′(x)=1x−1，通过当0<x<1时，当x>1时，导函数的符号，判断函数的单调性求出极值．(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)求出导函数，利用g(x)在x∈(1,3)上是单调函数求出函数的最值然后推出k的范围．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．当m=2时，f(x)=52lnx+1x−x，f′(x)=52x −1x−1=−(2x−1)(x−2)2x．当0<x<12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当12<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=2时f(x)取得极大值f(2)=52ln2−32．(Ⅱ)f′(x)=m2+1mx −1x−1=−(mx−1)(x−m)mx=−(x−1m)(x−m)x．①若0<m<1，则0<m<1<1m.当0<x<m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②若m=1，f′(x)=−(x−1)2x2<0，f(x)在(0,1)上单调递减；③若m>1，则0<1m <1<m，当0<x<1m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当1m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上，当0<m<1时，f(x)在(0,m)上是减函数，在(m,1)上是增函数；当m=1时，f(x)在(0,1)上是减函数；当m>1时，f(x)在(0,1m )上是减函数，在(1m,1)上是增函数．解析：(Ⅰ)m=2时，求出f′(x)，f(x)的单调区间，根据极值定义可求得极值；(Ⅱ)求出f′(x)，然后解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0，注意讨论m的范围．本题考查利用导数研究函数单调性、极值以及含参数的不等式的求解，本题渗透了分类讨论思想．。
江西省抚州市临川第一中学等2020届高三上学期第一次联考数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若21iz i-=+，则z z ⋅=（ ） A. -2 B. 2C.52D. 52-【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的性质可知2||z z z ⋅=，直接利用复数模的性质即可求解. 【详解】因为21iz i-=+， 所以|2|510|||1|22i z i -===+ 2105||42z z z ⋅===，故选C. 【点睛】本题主要考查了复数模的性质，共轭复数的性质，属于中档题.2.设集合{}2A x x a =>，{}32B x x a =<-，若A B =∅I，则a 的取值范围为（ ）A. ()1,2B. ()(),12,-∞⋃+∞C. []1,2D. (][),12,-∞+∞U【答案】D 【解析】 【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，A B =∅I 说明集合,A B 没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为A B φ⋂=，所以232a a ≥-，解得1a ≤或2a ≥. 【点睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件的定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
4.若函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()2,-+∞ B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. ()2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线,即()2f x '=有解，转化为12,0a x x=+>有解即可求出. 【详解】因为函数()ln f x ax x =-的图象上存在与直线240x y +-=垂直的切线， 所以函数()ln f x ax x =-的图象上存在斜率为2的切线， 故()12k f x a x'==-=有解， 所以12,0a x x =+>有解， 因为12,0y x x=+>的值域为(2,)+∞所以(2,)a ∈+∞.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，方程有根的问题，转化思想，属于中档题.5.若0x >，0y <，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 222xyx -> B.()1222log 1x y x ->+ C. 221x y x ->+ D. 221x y x ->-【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合特殊值可得正确答案. 【详解】A 选项，取2,1x y ==-，不等式不成立； B 选项，0,0x y ><Q22,220x y x y ∴>->0,x >Q∴()12log 10x +<∴()1222log 1x yx ->+故B 正确；C 选项，取1,1x y ==-，不等式不成立，D 选项，当0x →， 21x →，11x -→，当0y <且0y →，21y →，所以220x y -→，而11x -→，所以不等式不成立.【点睛】本题主要考查了指数、对数函数性质，以及与不等式的交汇，属于中档题.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A.154- B. 358+-C. 514-D.45+ 【答案】C 【解析】 【分析】要求sin 234︒的值，需将角234︒用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题．已知角有36︒，正五边形内角108︒，72ACB ∠=︒，已知三角函数值有1512cos72BCAC -︒==，所以234=272+90=144+90︒⨯︒︒︒︒，从而sin 234=cos144︒︒．【详解】由题可知72ACB ∠=︒，且1512cos724BCAC ︒==，251cos1442cos 721+︒=︒-=， 则()51sin 234sin 14490cos144+︒=︒+︒=︒=. 【点睛】本题考查三角恒等变换，考查解读信息与应用信息的能力.7.若函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]1,17B. (]1,9C. []1,17D. []1,9【答案】C 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可.【详解】因为函数()()222,1log 1,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，(,1]x ∈-∞时，函数为增函数，(1,)x ∈+∞时，函数为增函数，且(1)4,(17)4f f == 所以[1,17]a ∈.【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值求法，属于中档题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100【答案】A 【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是：36240C = 种.本题选择A 选项.9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是（ ）A. (3042]，B. (30,42)C. (42,56]D. (42,56)【答案】A 【解析】依次运行程序框图中的程序可得：第一次，0212,2S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第二次，2226,3S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第三次，62312,4S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第四次，122420,5S k =+⨯==，满足条件，继续运行； 第五次，202530,6S k =+⨯==，满足条件，继续运行；第六次，302642,7S k =+⨯==，不满足条件，停止运行，输出7． 故判断框内m 的取值范围为3042m <≤．选A ．10.已知1F ，2F 为椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. 1(0,]2B. 2(0,2C. 3(0,]3D. 1(,1)2【答案】C【解析】 【分析】用,,a b c 表示出21212,BF BF F F ⋅uuu r uuu r uuu u r ，解出不等式得出e 的范围. 【详解】由椭圆定义可知：12BF BF a ==，12OF OF c ==，则1sin cOBF e a∠==， 所以22121cos 12sin 12F BF OBF e ∠=-∠=-，因为2121214BF BF F F ⋅≥uuu r uuu r uuu u r ，即222(12)e a c -≥，22(12)e e -≥，即213e ≤.303e ∴<≤. 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，平面向量的数量积运算，属于中档题.11.设曲线cos y x =与x 轴、y 轴、直线6x π=围成的封闭图形的面积为b ，若()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. ()0,∞+C. [)1,+∞ D. ()1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】由定积分可以求出b , ()22ln 2g x x bx kx =--在[]1,+∞上单调递减可转化为()0g x '≤在[]1,+∞上恒成立即可求解.【详解】由题意，6601cos sin 2|b xdx x ππ===⎰， 所以()22ln g x x x kx =--，因为()22ln g x x x kx =--在[]1,+∞上的单调递减，所以222()0x kx g x x--+'=≤在[]1,+∞上恒成立，即2()220h x x kx =--+≤在[]1,+∞上恒成立，只需14(1)0k h ⎧-≤⎪⎨⎪≤⎩，解得0k ≥.【点睛】本题主要考查了利用定积分求面积，函数的单调性与导数的关系，不等式的恒成立问题，属于中档题.12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122a a +=，123n n a S +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，设[]n n b a =，数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则使22000n T >成立的最小正整数n 是（） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 通项公式以及前n 项和n S ，利用二项式展开式化简[]n n b a =，求得2212211n n n n b b a a --+=+-，利用分组求和法求得数列{}n b 的前2n 项和2n T ，由此求得使22000n T >成立的最小正整数n 的值. 【详解】令1n =，得2123a a =+，又122a a +=，解得123a =，243a =，又123n n a S +=+，123n n a S -=+，所以12(2)n n a a n +=…，又212a a =，可求得23nn a =，()2213n n S =-.所以01111333(1)(1)2(31)333n n n n n n n n n n n C C C b ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅-⋅++⋅⋅-+--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 即011211(1)C 3C 3C (1)3n n n n n n nnnb ----⎡⎤-=⋅-⋅++-+⎢⎥⎣⎦L ，所以2(1)(1)33n n n n b ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦，即22,321,3n n n n b n ⎧-⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，所以2212211n n n n b b a a --+=+-，因此()2222213nn n T S n n =-=--，当5n =时，1067T =；当6n =时，1227242000T =>.使22000n T >成立的最小正整数n 是6.故选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式及前n 项和公式，考查分组求和法，考查推理论证能力和创新意识，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.912x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为______.【答案】212- 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求出. 【详解】因为993rr 22+19911=()()22r rr r r r T C x x C x----=-， 令9302r-=，解得3r =， 所以展开式中常数项为3349121=()22T C -=-. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，属于中档题.14.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则1197S Sa =+______.【答案】32【解析】 【分析】由712a a =-可得12a d =-，利用前n 项和公式及通项公式即可求解. 【详解】因为712a a =-， 所以120a d =-≠，111111011332S a d d ⨯=+=，91989182S a d d ⨯=+=，7164a a d d =+=， 所以11973331842S d S a d d ==++.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式与前n 项和公式，属于中档题.15.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是______.2 【解析】 【分析】根据三视图画出空间图形的直观图，取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，求出其正切值即可.【详解】作出直观图如图：取AD 中点E ，连接BE ，PE ，CE ， 因为CD //BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角， 由条件知，1,2,PE BE PE BE ==⊥，2tan 22PBE ∴∠==. 【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，空间图形的三视图，考查了空间想象能力、运算能力，属于中档题.16.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线by x a=平行且12AF F ∆的周长为9a ，则双曲线的离心率为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及三角形的周长可求出2111272||,||22a c a cAF AF --==，利用直线1AF 与直线by x a =平行知12cos a AF F c∠=，结合余弦定理即可求解. 【详解】由双曲线定义知21||||2AF AF a -=，又21||||92AF AF a c +=-解得2111272||,||22a c a cAF AF --==， 因为直线1AF 与直线by x a=平行， 所以12tan b AF F a ∠=，故12cos a AF F c∠=， 由余弦定理得：12cos a AF F c∠=222121||4||2||2AF c AF AF c +-=⋅即2211844144e e e e e-++=-，化简得2280e e +-=， 解得2e =或4e =-（舍去）.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，余弦定理，双曲线的离心率，属于难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-. （1）求cos A 的值；（2）若4b =，点M 在线段BC 上，2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，AM =uuu r ABC ∆的面积.【答案】（1）1cos 4A =；（2）【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件统一为三角函数，化简即可求解（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r，两边平方可转化为关于c 的方程，求解代入三角形面积公式即可. 【详解】（1）∵()cos 4cos a B c b A =-，由正弦定理得：()sin cos 4sin sin cos A B C B A =-，即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A +=，即sin 4cos sin C A C =， 在ABC ∆中，sin 0C ≠，所以1cos 4A =.（2）2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，两边平方得：22224AB AC AB AC AM ++⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，由4b =，10AM =uuu r ，1cos 4A =，15sin A =得22124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯，可得216240c c ++=， 解得：4c =或6c =-（舍）， 所以ABC ∆的面积1sin 2152S bc A ==. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，向量数量积的性质，三角形面积公式，属于中档题.18.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，6AB =，23BC =，26AC =，,D E 分别为线段,AB BC 上的点，且2AD DB =，2CE EB =，PD AC ⊥.（1）求证：PD ⊥平面ABC ；（2）若PA 与平面ABC 所成的角为4π，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角.【答案】(1)证明见解析；(2)30°. 【解析】 试题分析：（1）由条件可得ABC ∆为直角三角形，且3cos ABC ∠=故由余弦定理可得22CD =所以222CD AD AC +=，从而CD AB ⊥，又由条件可得CD PD ⊥，故PD ⊥平面ABC ．（2）由,,PD CD AB 两两互相垂直可建立空间直角坐标系，结合条件可求得平面PAC 的法向量和平面DEP 的法向量，根据两法向量夹角的余弦值可得锐二面角的大小． 试题解析：（1）证明：连DE ，由题意知4,2AD BD ==． 222,AC BC AB +=Q90.ACB ∴∠=o∴cos 63BC ABC AB ∠=== 在BCD ∆中，由余弦定理得2222?· cos CD BC BD BC BD DBC ∴=+-∠412228.3=+-⨯⨯=CD ∴=222CD AD AC ∴+=,∴90CDA ∠=o , ∴CD AB ⊥,又因为PAB ABC ⊥平面平面， ∴,CD PAB ⊥平面 又PD ⊂PAB 平面，,CD PD ∴⊥又PD AC ⊥，=AC CD C ⋂， ∴PD ⊥平面ABC ．（2）由（1）知,,PD CD AB 两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，由PA 与平面ABC 所成的角为4π，知4PD =， 则()()()()0,4,0,22,0,0,0,2,0,0,0,4A C B P -∴()()()22,2,0,22,4,0,0,4,4CB AC PA =-==--u u u v u u u v u u u v因为2,2,AD DB CE EB ==//,DE AC ∴由（1）知,AC BC ⊥ PD ⊥平面ABC ， ∴ CB ⊥平面DEP∴()22,2,0CB =-u u u v为平面DEP 的一个法向量.设平面PAC 的法向量为(),,n x y z v=，则,,n AC n PA ⎧⊥⎨⊥⎩u u u u v v u u u v v ∴2240440x y y z ⎧+=⎪⎨--=⎪⎩，令1z =，则2,1x y ==-，∴)2,1,1n =-v为平面PAC 的一个法向量.∴3cos ,2412||n CB n CB n CB ⋅===-⋅u u u v v u u u v vu u v u u u u v 故平面PAC 与平面PDE 3所以平面PAC 与平面PDE 的锐二面角为30o ． 点睛：（1）在建立空间直角坐标系后求平面的法向量时，首先要判断一下条件中是否有垂直于面的直线．若有，则可将直线的方向向量直接作为平面的法向量，以减少运算量．（2）求二面角的余弦值时，在求得两平面法向量夹角的余弦值后，要根据图形判断出二面角是锐角还是钝角，然后再求出二面角的余弦值．19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率2，一个长轴顶点在直线2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及长轴即可写出椭圆标准方程（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，求PQ ，点O 到直线y kx m =+的距离21md k =+，写出三角形面积，化简即可求证.【详解】由c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上，可得：2a =，c =，1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+， 则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x=-=，又点O到直线y kx m=+的距离d=，122OPQS d PQ m∆=⋅⋅=，由于2121212121214y y x x mk kx x x x++⋅===-，可得：22421k m=-，故2212OPQS mm∆=⋅=，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS∆=，故OPQ∆的面积为定值1.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积公式，考查了学生的运算能力及推理能力，属于难题.20.抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点.每年来抚州参观旅游的人数不胜数.其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查.若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分.每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.【答案】（1）详见解析；（2）364729；（3）1213n nB B-=-+；322553nnB⎛⎫=+⋅-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）根据n 次独立重复试验模型可求解（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求前6项和即可（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，可得递推关系1213n n B B -=-+，构造等比数列求解即可. 【详解】（1）X 可能取值为3，4，5，6()3113327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()21321643327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211253327P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3286327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， 故其分布列为()5E X =.（2）总分恰为m 的概率13mm A ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故6611(1)36433172913S -==-.（3）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得不到n 分的情况只有先得1n -分，再得2分，概率为123n B -，而113B =， 故1213n n B B --=，即1213n n B B -=-+，可得1323535n n B B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，134515B -=-， 所以13425153n n B -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭可得322553nn B ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了n 次独立重复试验，分布列、期望，等比数列求和，由递推关系式求通项公式，属于难题.21.已知函数()()()22112ln 1ln 242f x x x ax x x =----. （1）讨论()f x 的单调性.（2）试问是否存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2) 存在；a 的取值范围为(]2,e . 【解析】 【分析】（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞，所以()0f x '=得12,x a x e ==，所以通过对a 与0,e 的大小关系进行分类讨论得()f x 的单调性；(2)假设存在满足题意的a 的值，由题意需()min 13sin 44a f x π>+，所以由(1)的单调性求()min f x 即可；又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，所以可以考虑从区间[)1,+∞内任取一个x 值代入，解出a 的取值范围，从而将(],a e ∈-∞的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()ln ln ln 1f x x x a x a x x a x =-+-=--'，()0,x ∈+∞. 当a e =时，()()()ln 10f x x e x '=--≥，()f x 在()0,∞+上单调递增当0a ≤时，0x a ->，()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增 当0a e <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在()0,a ，(),e +∞上单调递增； 当a e >时，()f x 在(),e a 上单调递减，在()0,e ，(),a +∞上单调递增.（2）假设存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立. 则()31123sin 444a f a π=->+，即8sin1504a a π-->， 设()8sin 154xg x x π=--，则存在(],x e ∈-∞，使得()0g x >， 因为()8cos044xg x ππ='->，所以()g x 在(],x e ∈-∞上单调递增， 因为()20g =，所以()0g x >时2x >即2a >. 又因为()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立时，需()min 13sin 44a f x π>+， 所以由（1）得：当a e =时，()f x 在[)1,+∞上单调递增，所以()()min 331=2=244f x f a e =--， 且3123sin 444e e π->+成立，从而a e =满足题意. 当2e a <<时，()f x 在(),a e 上单调递减，在[)1,a ，(),e +∞上单调递增，所以()()2113sin ,4413sin ,444a f e a f e ea ππ⎧>+⎪⎪⎨⎪=->+⎪⎩所以22,4sin 1204a a ea e π>⎧⎪⎨--->⎪⎩（*） 设()()24sin 1242xh x ex e x e π=---<<，()4cos044xh x e ππ=-'>，则()h x 在()2,e 上单调递增，因为()228130h e e =-->，所以()h x 的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+∞， 所以2x e <<即2e a <<.综上，存在(],a e ∈-∞，使得()13sin 44a f x π>+对[)1,x ∈+∞恒成立，且a 的取值范围为(]2,e .【点睛】求可导函数()f x 的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()f x '；（3）讨论()f x '的零点是否存在；若()f x '的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f x '在每个区间内的正负号，得()f x 的单调区间.当()f x a >在区间D 上恒成立时，需()min f x a >.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2,'x x y y=⎧⎨=⎩得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线1C 交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线1C 交于点B ，求2211OAOB +的值． 【答案】（Ⅰ）224x y +=，2222416cos sin ρθρθ+=；（Ⅱ）516. 【解析】【分析】 （Ⅰ）消去参数，求得曲线C 的直角方程为224x y +=，再根据图象的变换公式，即可求解曲线1C 的方程，进而得到其极坐标方程；（Ⅱ）将()0θβρ=>代入2222416cos sin ρθρθ+=，根据极坐标中极经的几何意义，即可求解。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一(上)第一次月考数学试卷
当 ＝ 时， ，合题意，∴ ＝ ；
∴ ＝ ，
∵ ， ＝ ，
∴ ＝ 或 ， ， ， ，
或 ， ， ， ， ， ，
或 ， ， ， ，
或 ．
故满足条件的 有 个，
6.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据 的定义域即可得出，要使得函数 有意义，则需满足 ，解出 的范围即可．
当 ＝ ，即 时， ，满足 成立；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ；
当 ，即 时，集合 ＝ ，则 ，解得 ，∴ ，
综上实数 的取值范围为 ．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1） ＝ 时，可以求出集合 ，然后进行交集、补集的运算即可；
（2）根据 ＝ 即可得出 ，并且得出 ＝ ，然后可讨论 与 的关系，从而求出集合 ，再根据 即可得出 的取值范围．
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、选择题.（每一题只有一个答案符合，每小题5分，共12小题，共60分）
1.已知全集 ＝ ，集合 ＝ ，集合 ＝ ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
进行交集、补集的运算即可．
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
【解答】
二次函数的对称轴为 ＝ ，
①当 时， 在 上单调递减， ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
两式作差得 ＝ ，
∵ ，∴ ＝ ，代入 ＝ ，
江西省抚州市2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
江西省抚州市2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在刚过去的2017年，我国整体经济实力跃上了一个新台阶，城镇新增就业1351万人，数据“1351万”用科学记数法表示为（ ） A ．13.51×106B ．1.351×107C ．1.351×106D ．0.1531×1082．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．﹣1与（﹣1）2B ．（﹣1）2与1C ．2与12D ．2与|﹣2|3．下列计算正确的是（ ） A ．（a+2）（a ﹣2）＝a 2﹣2 B ．（a+1）（a ﹣2）＝a 2+a ﹣2 C ．（a+b ）2＝a 2+b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab+b 24．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，1），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②a ﹣b+c ＜1；③当x ＜1时，y 随x 增大而增大； ④抛物线的顶点坐标为（2，b ）；⑤若ax 2+bx+c=b ，则b 2﹣4ac=1． 其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①④⑤C ．①②④D ．③④⑤5．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为»AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ） A 7或2B 7或3C ．6或2D ．6或36．下列运算正确的是( ) A ．235x x x +=B ．236x x x +=C ．325x x =（）D ．326x x =（）7．若代数式22x x -有意义，则实数x 的取值范围是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝2C ．x≠0D ．x≠28．如图，取一张长为a 、宽为b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边,a b 应满足的条件是（ ）A ．2a b =B ．2a b =C ．2a b =D ．2a b =9．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠1)的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c ＜1；②a ﹣b+c ＜1；③b+2a ＜1；④abc ＞1．其中所有正确结论的序号是( )A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②③10．下列图形中，线段MN 的长度表示点M 到直线l 的距离的是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图是某商品的标志图案，AC 与BD 是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A ，B ，C ，D ，得到四边形ABCD ．若AC=10cm ，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25πcmB ．210πcmC ．215πcmD ．220πcm12．一元二次方程x 2﹣2x ＝0的根是（ ） A ．x ＝2B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝﹣2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知△ABC ，AB=6，AC=5，D 是边AB 的中点，E 是边AC 上一点，∠ADE=∠C ，∠BAC 的平分线分别交DE 、BC 于点F 、G ，那么AFAG的值为__________．14．一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有________个红球．15．如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若四边形EFGH 为菱形，则对角线AC 、BD 应满足条件_____．16．一个多项式与3212x y -的积为5243343x y x y x y z --，那么这个多项式为 . 17．在平面直角坐标系中，点A （2，3）绕原点O 逆时针旋转90°的对应点的坐标为_____． 18．将一副三角板如图放置，若20AOD ∠=o ，则BOC ∠的大小为______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D ，F 分别是AC ，AB 的中点，CE ∥DB ，BE ∥DC ． (1)求证：四边形DBEC 是菱形；(2)若AD ＝3， DF ＝1，求四边形DBEC 面积．20．（6分）如图，己知AB 是的直径，C 为圆上一点，D 是的中点，于H ，垂足为H ，连交弦于E ，交于F ，联结.(1)求证：.(2)若，求的长.21．（6分）如图，抛物线y=ax2+ax﹣12a（a＜0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是第二象限内抛物线上一点，BM交y轴于N．（1）求点A、B的坐标；（2）若BN=MN，且S△MBC=274，求a的值；（3）若∠BMC=2∠ABM，求MNNB的值．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．23．（8分）计算：31|+（﹣1）2018﹣tan60°24．（10分）解不等式组：426113x xxx>-⎧⎪+⎨-≤⎪⎩，并写出它的所有整数解．25．（10分）（问题发现）（1）如图（1）四边形ABCD中，若AB=AD，CB=CD，则线段BD，AC的位置关系为；（拓展探究）（2）如图（2）在Rt△ABC中，点F为斜边BC的中点，分别以AB，AC为底边，在Rt△ABC外部作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，连接FD，FE，分别交AB，AC于点M，N．试猜想四边形FMAN 的形状，并说明理由；（解决问题）（3）如图（3）在正方形ABCD中，2，以点A为旋转中心将正方形ABCD旋转60°，得到正方形AB'C'D'，请直接写出BD'平方的值．26．（12分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．下面是小林的探究过程，请补充完整：（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF=60°，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为xcm，E，F两点间的距离为ycm．（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm 0 1 2 3 4 5 6y/cm 6.9 5.3 4.0 3.3 4.5 6（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为cm．27．（12分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4 的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是_____；先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是 4 的倍数的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据科学记数法进行解答.【详解】1315万即13510000，用科学记数法表示为1.351×107.故选择B.【点睛】本题主要考查科学记数法，科学记数法表示数的标准形式是a×10n（1≤│a│＜10且n为整数）.2．A【解析】【分析】根据相反数的定义，对每个选项进行判断即可.【详解】解：A、（﹣1）2＝1，1与﹣1 互为相反数，正确；B、（﹣1）2＝1，故错误；C、2与12互为倒数，故错误；D、2＝|﹣2|，故错误；故选：A．【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义. 3．D【解析】A、原式=a2﹣4，不符合题意；B、原式=a2﹣a﹣2，不符合题意；C、原式=a2+b2+2ab，不符合题意；D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，故选D 4．B 【解析】 【分析】由抛物线的对称轴结合抛物线与x 轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；当x=﹣1时，y ＞1，得到a ﹣b+c ＞1，结论②错误；根据抛物线的对称性得到结论③错误；将x=2代入二次函数解析式中结合4a+b+c=1，即可求出抛物线的顶点坐标，结论④正确；根据抛物线的顶点坐标为（2，b ），判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，与x 轴的一个交点坐标为（4，1）， ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标为（1，1）， ∴抛物线过原点，结论①正确； ②∵当x=﹣1时，y ＞1， ∴a ﹣b+c ＞1，结论②错误；③当x ＜1时，y 随x 增大而减小，③错误；④抛物线y=ax 2+bx+c （a≠1）的对称轴为直线x=2，且抛物线过原点， ∴22ba-=，c=1， ∴b=﹣4a ，c=1， ∴4a+b+c=1，当x=2时，y=ax 2+bx+c=4a+2b+c=（4a+b+c ）+b=b ， ∴抛物线的顶点坐标为（2，b ），结论④正确； ⑤∵抛物线的顶点坐标为（2，b ）， ∴ax 2+bx+c=b 时，b 2﹣4ac=1，⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①④⑤． 故选B ． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定． 5．C 【解析】 【分析】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD 、OE 、DE 的长，连接OD ，根据勾股定理得到结论． 【详解】过B作直径，连接AC交AO于E，∵点B为»AC的中点，∴BD⊥AC，如图①，∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，∴BD=12×4=2，∴OD=OB-BD=2，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--2222=3(15)=26DE CE++.故选C ． 【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 6．D 【解析】 【分析】根据幂的乘方：底数不变，指数相乘．合并同类项即可解答. 【详解】解：A 、B 两项不是同类项，所以不能合并，故A 、B 错误，C 、D 考查幂的乘方运算，底数不变，指数相乘．326x x （）= ,故D 正确； 【点睛】本题考查幂的乘方和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键. 7．D 【解析】 【分析】根据分式的分母不等于0即可解题. 【详解】解：∵代数式22x x -有意义，∴x-2≠0,即x≠2, 故选D. 【点睛】本题考查了分式有意义的条件,属于简单题,熟悉分式有意义的条件是解题关键. 8．B 【解析】 【分析】由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ，然后根据相似多边形的定义，列出比例式即可求出结论． 【详解】解：由题图可知：得对折两次后得到的小长方形纸片的长为b ，宽为14a ， ∵小长方形与原长方形相似，,14a b b a ∴=2a b ∴=故选B ． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质，根据相似三角形的定义列比例式是解决此题的关键． 9．C 【解析】试题分析：由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：①当x=1时，y=a+b+c=1，故本选项错误；②当x=﹣1时，图象与x 轴交点负半轴明显大于﹣1，∴y=a ﹣b+c ＜1，故本选项正确； ③由抛物线的开口向下知a ＜1， ∵对称轴为1＞x=﹣＞1，∴2a+b ＜1， 故本选项正确； ④对称轴为x=﹣＞1， ∴a 、b 异号，即b ＞1， ∴abc ＜1， 故本选项错误；∴正确结论的序号为②③． 故选B ．点评：二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞1；否则a ＜1； （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=﹣b2a 判断符号；（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞1；否则c ＜1； （4）当x=1时，可以确定y=a+b+C 的值；当x=﹣1时，可以确定y=a ﹣b+c 的值． 10．A 【解析】解：图B 、C 、D 中，线段MN 不与直线l 垂直，故线段MN 的长度不能表示点M 到直线l 的距离； 图A 中，线段MN 与直线l 垂直，垂足为点N ，故线段MN 的长度能表示点M 到直线l 的距离．故选A ． 11．B 【解析】试题解析：∵AC=10，∴AO=BO=5，∵∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∵矩形的对角线把矩形分成了四个面积相等的三角形，∴阴影部分的面积=扇形AOD的面积+扇形BOC的面积=2扇形BOC的面积=27252360π⨯⨯=10π ．故选B．12．C【解析】【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【详解】方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x1＝1．故选C．【点睛】考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．3 5【解析】【分析】由题中所给条件证明△ADF~△ACG，可求出AFAG的值.【详解】解：在△ADF和△ACG中，AB=6，AC=5，D是边AB的中点AG是∠BAC的平分线，∴∠DAF=∠CAG∠ADE＝∠C∴△ADF~△ACG∴35 AF ADAG AC==.故答案为3 5 .【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，难度适中，需熟练掌握. 14．1【解析】【详解】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有x 个红球，列出方程30x =20%， 求得x=1. 故答案为1．点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．15．AC=BD ．【解析】试题分析：添加的条件应为：AC=BD ，把AC=BD 作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG 平行且等于AC 的一半，EF 平行且等于AC 的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG 和EF 平行且相等，所以EFGH 为平行四边形，又EH 等于BD 的一半且AC=BD ，所以得到所证四边形的邻边EH 与HG 相等，所以四边形EFGH 为菱形．试题解析：添加的条件应为：AC=BD ．证明：∵E ，F ，G ，H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴在△ADC 中，HG 为△ADC 的中位线，所以HG ∥AC 且HG=12AC ；同理EF ∥AC 且EF=12AC ，同理可得EH=12BD ， 则HG ∥EF 且HG=EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形，又AC=BD ，所以EF=EH ，∴四边形EFGH 为菱形．考点：1．菱形的性质；2．三角形中位线定理．16．22262x xy y z -++【解析】试题分析：依题意知()()524334325243343212332x y x y x y x y z x y x y x y x y z ⎛⎫-⎛⎫--÷-=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =22262x xy y z -++考点：整式运算点评：本题难度较低，主要考查学生对整式运算中多项式计算知识点的掌握。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2019年9月临川一中文科数学试卷 (1)
2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答．1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则A B =I （ ）A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D. {}6x x >2.设,a b R ∈，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3．若2312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c << 4．若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（ ）A.9B. 81C.7D.495．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ，若()544k k S a k N *+-=∈，则k 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 7或8 6．已知实数x y 、满足121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为-1，则实数m =（ ）A. 6B. 5C. 4D. 37．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是（其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%）A. 14%B. 25%C. 56%D. 67%8．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则PB PD PA →→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭有（ ）A. 最大值为12，没有最小值 B. 最小值为12-，没有最大值 C. 最小值为12-，最大值为4 D. 最小值为4-，最大值为129．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（ ） A. 230x y -+= B. 210x y +-= C. 210x y -+= D. 20x y ++=10．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A.1B.2C.22D.1211．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为 坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=u u u u r u u u r ，则OM u u u u r 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. (0,22⎤⎦C. ()0,3D. ()0,22 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答．13.函数()()()23ln 2x f x x =-⋅-的零点个数为_______． 14．若1tan 4tan x x+=，则66sin cos x x +=_______． 15.当(],1x ∈-∞-时，不等式()2420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围为 _______．16．在三棱锥P ABC -中，3,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112n n a a +=，且112a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .18．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是边长为1的正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =. (1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若点E 为BD 的中点，求点B 到平面ACE 的距离.19．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线3232y x x x =-+和2y x a =+都相切，求a 的值. .20．抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，)35,30[，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[之间的参加者有4人．（1）求N 和)35,30[之间的参加者人数1N ；（2）组织者从[)40,55之间的参加者（其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率.（3）已知)35,30[和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?21．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. A D B C E(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；(2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值.23. （本小题满分10分）已知函数2()4f x x =-，()2g x a x =-.(1)若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2019-2020学年江西省抚州市临川第一中学度高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江西省抚州市临川第一中学度高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,3,4}A =，集合{1,3,5}B =，则()U C A B =（ ） A ．{5} B ．{1,3}C ．{1,3,4,5}D ．∅【答案】A【解析】先求集合A 的补集,再与B 求交集即可. 【详解】因为{1,2,3,4,5,6},U ={1,3,4}A =,{2,5,6}U C A ∴=,(){5}U C A B ∴⋂=,故选A . 【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算,属基础题.2．已知函数222,1(),22,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩则1()(2)f f 的值为（ ） A ．7136B ．6C ．74D ．119【答案】A【解析】先求(2)f 16=,再求1()6f 即可.【详解】2(2)22226f =+⨯-=,21171()2()6636f ∴=-=,故选A . 【点睛】满足分段函数的哪一段的范围,就用哪一段的解析式求值. 3．设集合15{|,},{|,}266k A x x k Z B x x k k Z ==+∈==-∈，则集合A 和集合B 的关系为（ ）A ．AB = B ．B A ⊆C ．A B ⊆D ．A B Ø【答案】B【解析】通过对集合A 和集合B 中的元素的公共属性变形,找出相同和不同点即可得到. 【详解】131266k k x +=+=,31{|,}6k A x x k Z +∴==∈,5653(22)1666k k x k --+=-==3(22)1{|,}6k B x x k Z -+∴==∈,B A ⊆.故选B. 【点睛】解题关键是对两个集合中元素的公共属性进行变形. 4．已知函数()f x 满足112()()f x xf x x=+，则(3)f =（ ） A ．3 B ．299 C ．239D ．13【答案】B【解析】在已知恒等式中分别3x =和13x =得到两个方程,再联立方程组消元可解得. 【详解】在112()()f x xf xx =+中, 分别令3x =和13x =得:112(3)3()33f f =+ ①,112()(3)333f f =+ ②,联立①②消去1()3f , 解得:29(3)9f =. 故选B . 【点睛】通过对已知恒等式中的变量赋值,是解题的关键. 5．已知集合{}12{|},3,42A a N NB a =∈∈=-，集合C 满足B C A ⊆⊆，则所有满足条件的集合C 的个数为（ ） A ．8 B ．16C ．15D ．32【答案】B【解析】先求出集合A ,再根据集合C 满足B C A ⊆⊆,可知集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 【详解】12,2a N N a ∈∈-, 21a ∴-= 或22a -=或23a -=或24a -=或26a -=或212a -=,即3a =或4a =或5a =或6a =或8a =或14a =,{3,4,5,6,8,14}A ∴=,又因为{3,4}B =且集合C 满足B C A ⊆⊆,所以集合C 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14, 因此所有满足条件的集合C 的个数为4216=. 故选B . 【点睛】本题考查了集合的包含关系.属基础题.6．已知函数()f x 的定义域为[2,3]-，则函数2()g x = ）A ．(,1)(2,)-∞-+∞ B ．[6,1)(2,3]--⋃C ．[1)-⋃D ．[2,1)(2,3]--⋃【答案】C【解析】利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】因为函数()f x 的定义域为[2,3]-,所以要使2()g x =,只需2223320x x x ⎧-≤-≤⎨-->⎩,解得:1x ≤<-或2x <≤所以函数()g x 的定义域为[1)-⋃. 故选C. 【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.7．已知函数()f x =，则(2)f x -的单调递增区间为（ ）A ．1(,)2+∞B ．1(,2)2C ．1(1,)2-D ．3(,3)2【答案】D【解析】由()y f x =的解析式求出(2)y f x =-的解析式,再通过解析式求定义域,然后在定义域范围内求出分母中二次函数的单调递减区间即可. 【详解】 因为()f x =,所以(2)f x -=由230x x -+>得03x <<,所以(2)y f x =-的定义域为(0,3).又22393()24y x x x =-+=--+在3(0,)2上递增,在3(,3)2上递减, 所以(2)y f x =-的单调递增区间为3(,3)2.故选D . 【点睛】本题容易忽视函数的定义域,只能在定义域范围内求函数的单调区间. 8．已知函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数，且21()()21f xg x x x +=--+，则(2)f =（ ） A ．23-B ．73C ．-3D ．113【答案】A【解析】利用两个函数的奇偶性和已知恒等式构造另一个等式,再联立消元,解得()f x 即可解得(2)f . 【详解】因为21()()21f xg x x x +=--+ ①, 用x - 替换恒等式中的x 得:2211()()()2211f xg x x x x x -+-=---=---+-+ 又因为函数()f x 与()g x 分别是定义域上的奇函数与偶函数, 所以()()f x f x -=- ,()()g x g x -= , 所以21()()21f xg x x x -+=---+ ②,联立①②消去,()g x ,解得11()2222f x x x =-++-+ , 所以11(2)222222f =-+⨯+-⨯+ =23-. 故选A . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性构造等式求函数解析式. 9．已知函数22+3()(21)mm f x n x -+=-，其中m N ∈，若函数()f x 为幂函数且其在(0,)+∞上是单调递增的，并且在其定义域上是偶函数，则m n +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】根据幂函数的概念和性质列式可解得. 【详解】因为函数()f x 为幂函数,所以211n -=,所以1n =,又因为函数()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数,所以2230m m -++>, 所以13m -<<,因为m N ∈,所以0,1,2m =.当0,2m = 时,函数()f x 为奇函数,不合题意,舍去.当1m = 时.4()f x x =为偶函数,符合题意.所以112m n +=+=. 故选A . 【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.10．已知关于x 的方程22(28)160x m x m --+-=的两个实根为12,x x 满足123,2x x <<则实数m 的取值范围为（ ） A ．4m < B ．142m -<< C ．742m <<D ．1722m -<< 【答案】D【解析】利用二次方程实根分布列式可解得. 【详解】设22()(28)16f x x m x m =--+-,根据二次方程实根分布可列式:3()02f <,即2233()(28)16022m m --⨯+-<, 即241270m m --<,解得:1722m -<<. 故选D. 【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.11．已知函数25(2),1(),2(72)1,1a x x f x x a x x ⎧-+≥⎪=⎨⎪-+-+<⎩对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．522a <≤ B ．13562a ≤≤ C ．2a < D ．136a < 【答案】B【解析】先根据对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-得到函数()f x 单调递增,再根据分段函数的两段都递增且1x <时的最大值小于等于1x ≥时的最小值列不等式组解得即可. 【详解】因为对任意12,x x R ∈且12x x ≠时，有1212()()0f x f x x x ->-,所以()f x 为R 上的单调递增函数,所以2072125172122a a a a ⎧⎪->⎪-⎪-≥⎨-⎪⎪-+-+≤-+⎪⎩,解得:13562a ≤≤. 故选B . 【点睛】分段函数的单调性除了要各段都单调外,还要考虑各段的最值关系. 12．设函数2()(),[,](),1xf x x R M a b a b x=-∈=<+集合{|(),},N y y f x x M ==∈则使得M N =成立的实数对(,)a b 有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个【答案】A【解析】先得到函数()f x 为R 上为奇函数,在R 上为递减函数,再根据定义域和值域都是[,]()a b a b <,列方程组无解可得.【详解】2()1||xf x x =-+,22()()1||1||x xf x f x x x -∴-=-==-+-+,()f x ∴是R 上的奇函数.当0x ≥时,22(1)2()11x x f x x x +-=-=-++221x=-++是单调递减函数, 所以()f x 是R 上的单调递减函数,[,]x a b ∈ ,∴ 值域是[(),()]f a f b ,即(),()a f b b f a == ,21b a b ∴=-+ ,21a b a=-+ , 解得:a b = ,这与已知a b < 相矛盾. 即使得M N =成立的实数对(,)a b 不存在. 故选A . 【点睛】解题关键是利用奇偶性,单调性求函数值域,再与已知值域相等,从而可列方程组来解.二、填空题13．已知映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-，则在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为_______.【答案】18(,)55-【解析】本题是已知像,求原像.而(,)x y 是原像,(2,2)x y x y +-是像, 所以由(2,2)(3,2)x y x y +-=- ,列方程组解得,x y 的值可得原像. 【详解】依题意:由2322x y x y +=⎧⎨-=-⎩ ,解得:1585x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 即在映射f 的作用下元素(3,2)-的原像为18(,)55-. 故答案为:18(,)55-. 【点睛】本题考查了映射的概念,属基础题..14．已知函数()f x 是定义域为R ，且函数(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的，则不等式1(21)()3f x f ->的解集为_________. 【答案】12(,)33【解析】根据已知条件和平移变换可得函数()f x 的奇偶性和单调性,再根据奇偶性和单调性解函数不等式可得. 【详解】因为(1)f x +的图像关于1x =-对称且在(,1)-∞-上是单调递增的,所以()f x 的图象关于0x =(即y 轴)对称, 且在(,0)-∞上是单调递增的,所以()f x 为R 上的偶函数,在(0,)+∞上是单调递减的.所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以原不等式等价于1(|21|)()3f x f ->,所以1|21|3x -<,解得:1233x <<. 故答案为:12(,)33.【点睛】本题考查了平移变换,函数的奇偶性和单调性.属中档题.15．已知函数2()410f x x x =-+（[,]x m n ∈）的值域为[3,3]m n ，则2____.m n +=【答案】9【解析】根据函数()f x 在R 上的最小值为6,可得36m ≥ ,从而可得函数()f x 在[,]m n 上的单调性,再利用单调性求得函数()f x 在[,]m n 上的值域.从而可解得,m n 的值. 【详解】22()410(2)6f x x x x =-+=-+6≥,36m ≥,2m ∴≥ ,又函数()f x 的对称轴为2x =, 所以函数()f x 在[,]m n 上单调递增. 所以()3,()3f m m f n n ==,即24103m m m -+= ,24103n n n -+= , 解得:2m = 或5m = ;2n = 或5n = , 又m n < ,所以2,5m n == , 所以2459m n +=+= , 故答案为:9. 【点睛】关键是利用函数()f x 在[,]m n 上的值域是函数()f x 在R 上的值域的子集可得m 的范围,这样避免了对m 进行分类讨论.16．设函数222,(),20x x f x xx ⎧≥=⎨-<⎩不等式(3)3)f x f x -≥的解集为_________. 【答案】3(,]2-∞【解析】按照①03x ≤≤ ;②3x > ;③0x < 分三种情况讨论,代入解析式可解得. 【详解】当03x ≤≤时,不等式(3)3)f x f x -≥可化为:222(3)3)x x -≥⨯ , 即69x ≤,解得:302x ≤≤.当3x >时,(3)0f x -<,3)0f x >,原不等式无解;当0x <时,(3)0,3()03f x f x -><,原不等式恒成立; 故原不等式的解集为:3(,]2-∞ . 【点睛】解题关键是讨论3x - 和x 的符号.三、解答题17．已知集合2{|3100}A x x x =-++≥，集合23{|0}1x B x x -=≥+，则 （1）求AB（2）求()R C B A【答案】（1）3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃;（2）()[2,5]R C B A ⋃=- 【解析】化简集合,A B 后,利用集合的交并补进行运算可得. 【详解】(1)2{|3100}A x x x =-++≥{|25}x x =-≤≤;{|1B x x =<-或3}2x ≥,3[2,1)[,5]2A B ⋂=--⋃.(2)3{|1}2R C B x x =-≤<,所以()[2,5]R C B A ⋃=- . 【点睛】本题考查了集合的交并补运算,属基础题.18．已知函数12)32f x x=++，函数()12g x x =-（1）求函数()f x 的解析式，并写出其定义域. （2）求函数()g x 的值域. 【答案】(1) 221()3(2)2(2)f x x x =-++-，其定义域为(2,)+∞；(2) 41(,]8-∞【解析】(1)换元,2,2t t =>;(2)换元0t t =≥,化为关于t 的二次函数求值域. 【详解】解：（1）令2,2t t =>，则2(2)x t =-221()3(2)2(2)f t t t ∴=-++-221()3(2)2(2)f x x x ∴=-++-，其定义域为(2,)+∞（2）令0t t =≥，则22x t =-212(2)y t t ∴=--+225,0t t t =-++≥ 当14t =时，y 的最大值为418，所以原函数的值域为41(,]8-∞ 【点睛】利用换元法时,一定要注意新元的取值范围.19．已知集合{|13}A x x =-<<，集合22{|(1)620,}B x x a x a a a R =++--≤∈，则（1）若1a =时，求()()R R C A C B ⋃（2）若,A B B ⋂=求实数a 的取值范围。
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文(扫描版)
江西省临川2020届高三数学上学期第一次联考试题文（扫描版）2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置）13、 14、 15、 16、三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由，则，故数列为等比数列，首项为，公比为所以 .......6分(2)由，则.......12分18. (1)取的中点，连接，由，，故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，，而面，故平面平面.......6分(2)由，则故，则，由故 .......12分19.由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，.......4分当不是切点时，设直线与曲线相切于点则①又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，综上，或 .......12分20. （1）由题可知，，故，而，则 ......4分（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故......8分（3）由题可知，，，所以，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故......12分21. （1）设，，由点都在椭圆上，故，则故直线的方程为 ......5分（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，则即①联立，则将其代入①得故的值为.......12分22. （1）由，，故又直线：，故......5分(2)由，故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，故......10分23. (1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故......5分(2) 由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，故.....10分。
江西省临川一中、临川一中实验学校2020届高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年度上学期期中考试高三数学（理科）试卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{|40}A x x x=->，2{|40}B x x=-≤，则A B=（）A．[2,0]-B．(,0)-∞C．[2,0)-D．[4,4]-【解析】由题得{|0A x x=<或4}x>，{|22}B x x=-≤≤，则{|20}A B x x=-≤<，故选C．2．已知角α终边上一点M的坐标为，则sin2α=（）A．12-B．12C．D【解析】由角α终边上一点M的坐标为)，得s i nα，1cos2α=，故s i n22s i n c oααα==，故选D.3．已知1(,),sin(2)22ααπ∈-0π-=-，则sin cosαα-=（）A B．C D．【解析】因为1sin(2)2απ-=-，所以1sin22α=-，12sin cos2αα=-，所以2(sin cos)1αα-=-32sin cos2αα=，又(,0),2απ∈-所以sin cosαα<，sin cosαα-=.故选D．4．函数2()(1)sin21xf x x=-+在[2,2]-上的图象大致是（）【解析】因为2222()(1)sin()(1)sin(1)sin()211221xx x xf x x x x f x-⋅-=--=--=-=+++，所以函数()f x是偶函数，排除C，D，又当x=1时，1(1)sin103f=-<，排除B，故选A.临川一中临川一中实验学校5．已知x ，y 满足约束条件1400y x y x y ≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．-8B ．-6C ．-3D ．3【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得(1,1),(2,2),(5,1)A B C ---，2z x y =+，则1122y x z =-+，当直线1122y x z =-+过点(2,2)B --时z 取到最小值，所以2z x y =+的最小值是22(2)6-+⨯-=-，故选B ．6．已知函数22ln ,1()1,1x x f x x ax a x ≥⎧=⎨-+-+<⎩在R 上为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞ 【解析】若函数()f x 在R 上为增函数，则需满足2120aa a ⎧≥⎪⎨⎪-≤⎩，解得2a ≥，故选D.7．已知非零向量a 与b 的夹角为θ，tan θ(2)()-⊥+a b a b ，则||||=b a （ ）A ．13B ．3 CD【解析】根据tan θ=，0θ≤≤π，得c o s θ，由(2)()-⊥+a b a b ，得(2)()0-⋅+=a b a b ，得22||2||0-⋅-=a a b b ，又||||c o s||||θ⋅=⋅=a b ab ，所以22|||||2||0-⋅-=a a b b ，设||||x =b a ，则2630x -=，即(20x x +=，因为0x >，所以x =，即||||=b a ，故选D ．8．设0ω>，将函数sin()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后与函数cos()3y x ωπ=+的图象重合，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】将函数s i n()3y x ωπ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到函数sin()63y x ωωππ=++的图象，又5cos()sin()36y x x ωωππ=+=+，所以52,636k ωπππ+=+π 123()k k ω=+∈Z ，又0ω>，所以ω的最小值为3 ，故选C ．9．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 4.1)a g =，0.2(2)b g =-，()c g =π，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解析】因为奇函数()f x 在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >.对任意的12(0+)x x ∈∞，，且12x x <，有120()()f x f x <<，故12()()g x g x <，所以()g x 在(0+)∞，上也是增函数，因为()()()g x xf x xf x -=--=，所以()g x 为偶函数.又2log 4.1(2,3)∈，0.22(1,2)∈，所以0.2212log 4.1<<<π，而0.20.2(2)(2)b g g =-=，所以b a c <<，故选C ．10．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（ ） A ．78B ．85C ．1D ．95【解析】设{}n a 的公比为(0q q ≠且1)q ≠，根据1a ，3a ，2a 成等差数列，得3122a a a =+，即21112a q a a q =+，因为10a ≠，所以2210q q --=，即(1)(21)0q q -+=.因为1q ≠，所以12q =-，则2112(1)3141a q a S q q -==⋅--，3113(1)9181a q a S q q -==⋅--，414(1)1a q S q -==-115161a q ⋅-.因为2mS ，3S ，4S 成等比数列，所以2324S mS S =⋅，即21119315()8141161a a a m q q q ⋅=⋅⋅⋅⋅---，得95m =.故选D ． 11．若0,1x y >>-且满足21x y +=，则22211x y x y +++的最小值是（ ）A ．3B ．32C ．D ．12+【解析】2221111121111x y x y x y x y x y ++=+++-=++++，因为212x y ++=，所以111x y +=+1111121(21)()(3)2221212y x x y x y x y ++++=++≥+++，当且仅当12=1y x x y ++，21x y +=时取等号，即23x y =-=时取得最小值32.故选B.12．已知函数321,()3,x x x mf x x m x m⎧-+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，使得函数()()g x f x a =-恰好有4个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(0,3)D ．(3,)+∞【解析】()()g x f x a =-的零点个数等价于直线y a =与函数()f x 图象的交点个数.令3221,23y x x y'x x =-+=-+，当0x <时，0y'<，当02x <<时，0y'>，当2x >时，0y'<，所以函数3213y x x =-+在(,0)-∞上单调递减，(0,2)上单调递增，(2,)+∞上单调递减，画出函数()f x 的大致图象如图所示，由图可知当2m >时，存在直线y a =与函数()f x 图象的交点为4个； 当02m <≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为3个； 当0m ≤时，直线y a =与函数()f x 图象的交点至多为2个； 所以m 的取值范围为(2,)+∞.故选B.13．已知函数2,4()(1),4x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则2(5log 6)f +的值为________．【解析】因为22log 63<<，所以222(5log 6)(4log 6)(1log 6)f f f +=+==+21log 622612+==⨯=.故填12.14．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若253924,a a S S +==，则n S 的最大值为________．【解析】法一：由39S S =，得4590,a a a +++=则670a a +=.又2524a a +=，设数列{}n a 的公差为d ，可得1111560424a d a d a d a d +++=⎧⎨+++=⎩，解得1224a d =⎧⎨=-⎩，所以2224,n S n n =-+故当6n =时，n S 有最大值，为72，故填72；法二：由39S S =，得4590,a a a +++=则670,a a +=又25240a a +=>，所以数列{}n a 的前6项为正，所以当6n =时，n S 有最大值，且616253()3()72S a a a a =+=+=.故填72.15．已知ABC △中，2,3,60,2,2AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=________．【解析】∵221,333AD BC BA BE BC BA =-=+，∴22214()()||3339AD BE BC BA BC BA BC ⋅=-⋅+=-214414444||9432cos60439939333BA BC BA -⋅=⨯-⨯-⨯⨯⨯︒=--=.故填43. 16．函数1()sin sin 22f x x x =+的最大值为________．【解析】2()cos cos2=2cos cos 1(2cos 1)(cos 1)f x x x x x x x '=++-=-+，∵cos 10x +≥， ∴当1cos 2x >时，()0f x '>，当11c o s 2x -<<时，()0f x '<，即当22,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z时，()f x 单调递增，当52+2,33k x k k πππ<<π+∈Z 时，()f x 单调递减，故()f x 在23x k k π=π+∈Z ，处取得极大值即最大值，且m a x1333()s i n s ()3224f x ππ=+⨯=.. 17．已知函数2π()2sin()cos()23f x a x x π=--，且π()13f =.（1）求a 的值及()f x 的最小正周期；（2）若1()3f α=-，(0,)2απ∈，求sin 2α．【解析】（1）由已知π()13f =，得112122a ⨯⨯=，解得2a =.所以1()4cos cos )2f x x x x =-2cos 2cos x x x =-2cos21x x =--π2sin(2)16x =--.所以π()2sin(2)16f x x =--的最小正周期为π.（2）1()3f α=-，π1π12sin(2)1,sin(2)6363αα--=--=，因为(0,)2απ∈，所以π52(,)666αππ-∈-，又π11sin(2)632α-=<，所以π2(0,)66απ-∈.所以πcos(2)6α-=则ππππππsin 2=sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 666666αααα-+=-+-11332=+=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,n S n n =+数列{}n b 满足122212121nn n b b ba =++++++．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若,4n nn a b c n =-求数列{}n c 的前n 项和n T . 【解析】（1）因为2n S n n =+，所以当1n =时，112a S ==， 当2n ≥时221,(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=， 又12a =也满足上式，所以2()n a n n *=∈N . 又1222212121nn n b b ba n +++==+++， 所以1122122(2,)212121n n b b bn n n *--+++=-≥∈+++N ，两式作差得，221nnb =+，所以122(2,)n n b n n +*=+≥∈N ， 当1n =时11,2,63b b ==，又16b =满足上式，所以122()n n b n +*=+∈N . （2）因为2,4n n nn a b c n n =-=⋅所以231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅，23121222(1)22n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⋅，两式相减，得23122222n n n T n +-=++++-⋅，即11222n n n T n ++-=--⋅，所以1(1)22n n T n +=-⋅+.19．如图，在ABC △中，,BAC ∠,B C ∠∠的对边分别是,,a b c ，60BAC ∠=︒，AD 为BAC∠的平分线，AD （1）若2DC BD =，求c ； （2）求ABC △面积的最小值.【解析】（1）因为2DC BD =，BAD CAD ∠=∠，所以1sin 21sin 2ABD ADCAB AD BADS BD AB S DC ACAC AD CAD ⋅⋅∠===⋅⋅∠△△， 所以2AC AB =. 在,ABD ACD △△中，由余弦定理，得2222cos30cos30︒==︒== 解得32c =. （2）设BD x =，则由（1）可知BD AB DC AC =，所以bDC x c=， 在,ABD ACD △△22223()bx b +-== 所以2233x c c =+-，222233b x b b c=+-，消去x ，得2222(33)(33)b c c c b b +-=+-，化简，得()()0b c bc b c ---=.当b c =时，ABC △为等边三角形，此时2,ABC b c S ===△ 当bc b c =+时，由基本不等式可得4bc b c bc =+≥≥， 当2b c ==时取等号，此时1sin 602ABC S bc =︒=≥△综上可得，ABC △20．已知函数()(0,x f x a b a =+>且1)a ≠，满足(1)3f =，且(1)4()+3f n f n +=，其中n *∈N .（1）求函数()f x 的解析式； （2）求证：11114(1)(2)(3)()9f f f f n ++++<. 【解析】（1）解法一：由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得(2)4(1)315f f =+=，即2315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得41a b =⎧⎨=-⎩或36a b =-⎧⎨=⎩(舍去)，所以()=41x f x -. 解法二：由(1)4()+3()f n f n n *+=∈N 得(1)+14()+4f n f n +=，即(1)+14()+1f n f n +=，所以数列{()1}f n +是以4为公比，4为首项的等比数列， 则()1=4n f n +，所以()=41n f n -，所以()=41x f x -. （2）由（1）得()41().n f n n *=-∈N由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯， 即1()4134n n f n -=-≥⨯，111()34n f n -≤⨯， 所以1111(1)(2)(3)()f f f f n ++++ 21111()1()11111141444(1)(1)13344433949144n nn n ---≤⨯++++=⨯=⨯=⨯-<-．21．已知函数ln +()x af x x x=+()a ∈R ． （1）当0a =时，求曲线()f x 在=1x 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）当0a =时，ln ()x f x x x =+，21ln ()1xf x x-'=+， 则(1)1f =，(1)2f '=，故曲线()f x 在=1x 处的切线方程为：12(1)y x -=-，即210x y --=. （2）ln ()(1)x a f x x x x +=+>，22221ln ln 1()1x a x x a f 'x x x x ---+=+-=， 令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增， 又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0f 'x >，()f x 在(1,)+∞上单调递增，无极值； ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->，所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立， 所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()f x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，此时函数()f x 存在极小值． 综上，若函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >． 故实数a 的取值范围为(2,)+∞. 22．已知函数21()ln 2(0).2f x x x mx m =+-> （1）判断函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有极大值点x t =，求证：2ln 1t t mt >-.【解析】（1）由题意，知221()(0)x mx f 'x x x-+=>，对于方程221=0x mx -+，24(1)m ∆=-， ①当01m <≤时，24(1)0m ∆=-≤，()0f 'x ≥，()f x 在(0,)+∞上单调递增.②当1m >时，令()0f 'x =，则1x m =-，2x m =+当0x m <<()0f 'x >，函数()f x 单调递增；当m x m <<+()0f 'x <，函数()f x 单调递减，当x m >()0f 'x >，函数()f x 单调递增.综上所述，当01m <≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1m >时，()f x 在(0,m ，()m +∞上单调递增，在(m m -+上单调递减.（2）由（1）可知当1m >时，在x m =处时，函数()f x 取得极大值，所以函数()f x 的极大值点为x m =-，则(0,1)t m =．由221()0,t mt f 't t -+==得212t m t+=， 要证2ln 1t t mt >-，只需证2ln 10t t mt -+>，只需证221ln 102t t t t t+-⋅+>，即32ln 20,(0,1)t t t t t --+>∈， 令3()2ln 2h x x x x x =--+，0x >， 则2()2ln 31h'x x x =-+，令2()2ln 31x x x ϕ=-+，0x >，则2226()6x 'x x x xϕ-=-=，当0x <<()0'x ϕ>，()h'x 单调递增；当x >时，()0'x ϕ<，()h'x 单调递减，max ()0h'x h'==<，所以()0h'x <，()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)0h =， 故(0,1)x ∈时，32ln 20x x x x --+>，又(0,1)t ∈，则32ln 20t t t t --+>，即2ln 1t t mt >-.。
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一上学期第一次月考试题 数学【含解析】
故选D.
【点睛】本题考查了二次方程实根的分布.属基础题.
11.已知函数 对任意 且 时，有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据对任意 且 时，有 得到函数 单调递增,再根据分段函数的两段都递增且 时的最大值小于等于 时的最小值列不等式组解得即可.
5.已知集合 ，集合 满足 ，则所有满足条件的集合 的个数为（ ）
A. 8B. 16C. 15D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 ,再根据集合 满足 ,可知集合 中一定含有元素3和4,可能含有5,6,8,14,因此所有满足条件的集合 的个数为 .
【详解】 ,
或 或 或 或 或 ,
即 或 或 或 或 或 ,
当 时,函数 为奇函数,不合题意,舍去.
当 时. 为偶函数,符合题意.
所以 .
故选 .
【点睛】本题考查了幂函数的概念和性质.属基础题.
10.已知关于 的方程 的两个实根为 满足 则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用二次方程实根分布列式可解得.
详解】设 ,
根据二次方程实根分布可列式: ,即 ,
【详解】因为函数 的定义域为 ,
所以要使 有意义,
只需 ,解得: 或 ,
所以函数 的定义域为 .
故选C.
【点睛】本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题.
7.已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 的解析式求出 的解析式,再通过解析式求定义域,然后在定义域范围内求出分母中二次函数的单调递减区间即可.
【数学】江西省临川2020届高三上学期第一次联考 理科数学试题(扫描版含答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试数学答案（理）二、填空题13．－221 14．2315．16．2三、解答题17．解（1）∵a cos B ＝(4c －b )cos A ，由正弦定理得：sin A cos B ＝(4sin C －sin B )cos A ，…………2分即sin A cos B ＋cos A sin B ＝4sin C cos A ，即sin C ＝4 cos A sin C ，…………4分在中，，所以cos A ＝41…………………………5分（2）→AB ＋→AC ＝2→AM，两边平方得：……6分由b ＝4，|→AM |＝，cos A ＝41得c 2＋b 2＋2×c ×b ×41＝4×10， (8)分可得c 2＋16＋2c ＝40……………………10分解得：c ＝4或c ＝－6（舍） ………………11分所以△ABC 的面积s ＝21bc sin A ＝2 ………………12分18．解：(1)证明：∵AC ＝2，BC ＝2，AB ＝6，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴∠ACB ＝90°，∴cos ∠ABC ＝63＝33.又易知BD ＝2， ∴CD 2＝22＋(2)2－2×2×2cos ∠ABC ＝8， ∴CD ＝2，又AD ＝4， ∴CD 2＋AD 2＝AC 2， ∴CD ⊥AB .∵平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AB ，CD ⊂平面ABC ， ∴CD ⊥平面PAB ，又PD ⊂平面PAB ，∴CD ⊥PD ，∵PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，∴PD ⊥平面ABC .……………………5分 (2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直， ∴可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，∵直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，即∠PAD ＝45°， ∴PD ＝AD ＝4，则A (0，－4,0)，C (2，0,0)，B (0,2,0)，P (0,0,4)，∴―→CB ＝(－2，2,0)，―→AC ＝(2，4,0)，―→PA＝(0，－4，－4)． ∵AD ＝2DB ，CE ＝2EB ， ∴DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ， ∴DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PD ⊥BC ， ∵PD ∩DE ＝D ， ∴CB ⊥平面PDE ，∴―→CB＝(－2，2,0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面PAC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则―→AC ―→PA ＝0，PA 即－4y －4z ＝0，2x ＋4y ＝0，令z ＝1，得x ＝，y ＝－1， ∴n ＝(，－1,1)为平面PAC 的一个法向量． ∴cos<n ，―→CB >＝12－4－2＝－23，∴平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为23，故平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角为30°.……………………12分19．解：由e ＝a c ＝23，又由于a ＞b ＞0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，可得：a ＝2，c ＝，b ＝1（1）故此椭圆的方程为4x2＋y 2＝1………………5分（2）设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得： (4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0由△＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)( 4m 2－4)＞0，可得m 2＜4k 2＋1则x 1＋x 2＝－4k2＋18km ，x 1·x 2＝4k2＋14m2－4|PQ |＝·|x 1－x 2|＝·＝4·4k2＋14k2－m2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝k2＋1|m|S △OPQ ＝21·d ·|PQ |＝2|m |·4k2＋14k2－m2＋1由于k 1·k 2＝x1x2y1y2＝x1x2x1＋x2＋m2＝－ 41，可得：4k 2＝2m 2－1 故S △OPQ ＝2|m |·2m22m2－1－m2＋1＝1当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1故△OPQ 的面积为定值1……………………12分20．（1）X 可能取值为3，4，5，6P (X ＝3)＝(31)3 ＝271P (X ＝4)＝C 31 (32)(31)2＝276…………1分 P (X ＝5)＝C 32 (32)2(31) ＝2712 P (X ＝6)＝ (32)3 ＝278…………2分E (X )＝5………………4分（2）①总分恰为m 的概率A m ＝(31)m ……………………6分 故S 6＝31＝729364……………………8分②已调查过的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得n －1分，再得2分，概率为32B n －1，而B 1＝31…………9分 故1－B n ＝32B n －1，即B n ＝－32B n －1＋1…………10分 可得B n －53＝－32( B n －1－53)，B 1－53＝－154…………11分可得B n ＝53＋52·(－32)n ……………………12分21．解：（1）f / (x )＝x ln x －a ln x ＋a －x ＝(x －a )(ln x －1)，x ∈(0，＋∞)………………1分 ①当a ＝e 时，f / (x ) ＝(x －e )(ln x －1)≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增…………2分②当a ≤0时，x －a ＞0，f (x )在(0，e ) 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增…………3分 ③当0＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增…………4分 ④当a ＞e 时， f (x )在(e ，a ) 上单调递减，在(0，e )，(e ，＋∞)上单调递增…………6分（2）假设存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x )＞3＋41sin 4aπ对任意x ∈[1，＋∞)恒成立 则f (1)＝2a －43＞3＋41sin 4aπ，即8a －sin 4aπ－15＞0…………7分 设g (x )＝8x －sin 4πx －15，g / (x )＝8－4πcos 4πx＞0，则g (x )单调递增由于g (2)＝0，所以a ＞2①当a ＝e 时，f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝f (1)，所以a ＞2， 从而a ＝e 满足题意…………8分②当2＜a ＜e 时， f (x )在(a ，e ) 上单调递减，在(0，a )，(e ，＋∞)上单调递增所以414aπ414aπ4aπ，可4aπ－e2－12＞0aπ（1）…………9分设h (x )＝4ex －sin 4πx －e 2－12，h /(x )＝4e －4πcos 4πx＞0，则h (x )是单调递增函数…………10分由于h (2)＝8e －e 2－13＞0可得h (x )的零点小于2，从而不等式组（1）的解集为(2，＋∞) 所以2＜a ＜e …………11分综上，存在a ∈(－∞，e ]，使得f (x ) ＞3＋41sin 4aπ对x ∈[1，＋∞]恒成立，且a 的取值范围是(2，e ] …………12分 22．(1)C ：x 2＋y 2＝1，曲线C 1：y/＝sinαx/＝2cosα，得x /2＋4y /2＝4…………2分即ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝4………………5分（2）ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝4θ＝β，有ρ21＝4cos2θ＋sin 2θ…………7分 ∴|OA|21＝4cos2θ＋sin 2θ，…………8分同理|OB|21＝2＋sin 2(θ＋2π)＝4sin2θ＋cos 2θ…………9分故|OA|21＋|OB|21＝45………………10分23．（1）f (x )＝|x －2|＋|x －1|≥5可解得x ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)…………5他（2）由|x －a a2＋1|＋|x －1|≤4－|x ＋1|在[1，2]上恒成立，由于a ＞0，可得a a2＋1≥2…………6分等价于a a2＋1－x ＋x －1≤4－x －1在[1，2]上恒成立…………7分即a a2＋1≤4－x 在[1，2]上恒成立，…………8分 即a a2＋1≤2，可得a ＝1，…………9分故a 的取值集合为{1}…………10分。
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题 数学【含解析】
江西省抚州市临川第一中学2019-2020学年度高一第一学期期中试题数学【含解析】一、选择题1.设全集U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =≤，则A B =（ ）A. {|01}x x ≤<B. {|01}x x <≤C. {|0}x x <D. {|1}x x >【答案】B 【解析】全集U R =，{}0A x x =，{}|1B x x =≤，{|01}A B x x ⋂=<≤.故选B.2.若指数函数(13)x y a =-在R 上递减，则实数a 的取值范围是( ) A. 1(0,)3B. (1,)+∞C. RD. (,0)-∞【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：由题意得：0131a <-< ， 解得：103a <<， 故选：A ．【点睛】本题考查指数函数单调性，是一道基础题．3.已知1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1746f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）． A. 16- B. 16C.56D. 56-【答案】A【解析】1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，则1711111211214646266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=+⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A ．4.下列函数中,在其定义域内与函数5y x =有相同的奇偶性和单调性的是( ) A. 1y x=-B. 3x y =C. ln y x =D. 122xx y =-【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的单调性和奇偶性判断即可． 【详解】解：函数5y x =在R 上递增，是奇函数， 对于A ，在定义域无单调性，是奇函数，不符合题意； 对于B ，是非奇非偶函数，不符合题意； 对于C ，是偶函数，不符合题意；对于D ，在定义域R 上递增，是奇函数，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，是一道基础题．5.在映射:f A B →中，}{(,)|,A B x y x y R ==∈，且:(,)(,)f x y x y x y →-+，则与B 中的元素(2,1)--对应的A 中的元素为( )A. 31(,)22-- B. 31(,)22-C. 31(,)22-D. 31(,)22【答案】C 【解析】 【分析】由题意，令21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，解出即可．【详解】解：由题意，21x y x y -=-⎧⎨+=-⎩解得：31,22x y =-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了映射的定义，属于基础题． 6.已知函数()f x 对任意不相等的实数12,x x 都满1212()()0f x f x x x ->-，若 1.5(2)a f =，0.61[()]2b f -=，(ln 2)c f =，则,,a b c 的大小关系( )A. b a c <<B. b c a <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用1212()()0f x f x x x ->-可得函数的单调性，进而分析0.61.512,,ln 22-⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小，借助()f x 单调性，可得答案． 【详解】解：1212()()0f x f x x x ->-∴当120x x ->时，有12())0(f x f x ->，即对任意12x x >，有12()()f x f x >， 所以函数()f x 在其定义域内为增函数，0.60.6 1.51122,ln 2ln 12e -⎛⎫<=<<= ⎪⎝⎭，1.5(2)f ∴>0.61[()]2f ->(ln 2)f ，∴c b a <<， 故选：D ．【点睛】本题考查函数单调性的判定与应用，关键是应用1212()()0f x f x x x ->-判定函数的单调性，是基础题．7.已知函数23x y a -=+(0a >且1a ≠）的图像恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图像上，则3log (3)f =( )A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的图象与性质，求出定点P 的坐标，再利用待定系数法求出幂函数()f x ，从而求出3log (3)f 的值．【详解】解：函数23x y a -=+中，令20x -=，解得2x =， 此时134y =+=，所以定点(2,4)P ； 设幂函数()a yf x x ，则24a =，解得2a =； 所以2()f x x =， 所以()()2339f ==，()333log l 9og 2f ∴==．故选：D ．【点睛】本题考查用待定系数法求幂函数解析式，以及指数函数的性质，是基础题． 8.根据表中的数据,可以断定方程20x e x --=的一个根所在的区间是( )x1-0 1 2 3x e0.3712.72 7.39 20.09A. (1,0)B. (1,0)-C. (2,3)D. (1,2)【答案】D 【解析】 【分析】令()2x f x e x =--，求出选项中的端点函数值，从而由零点的存在性定理判断根的位置． 【详解】解：令()2x f x e x =--， 由上表可知，则(1)0.37120f -≈+-<，(0)10210f =--=-<，(1) 2.72120f ≈--<， (2)7.39220f ≈-->， (3)20.09320f ≈-->．故(1)(2)0f f <， 故选：D ．【点睛】本题考查零点存在性定理，若连续函数在某区间端点上对应的函数值异号，则在该区间上必有零点，属于基础题．9.函数2()46f x x x =--的定义域为[0,]m ，值域为[10,6]--，则m 的取值范围是 A. [0，4] B. [4，6] C. [2，6] D. [2，4]【答案】D 【解析】 【分析】因为函数()246f x x x =--的图象开口朝上，由 ()()()046,210f f f ==-=-，结合二次函数的图象和性质可得m 的取值范围.【详解】函数()246f x x x =--的图象是开口朝上，且以直线2x =为对称轴的抛物线， 故()()()046,210f f f ==-=-，函数()246f x x x =--的定义域为[]0,m ,值域为[]10,6--，所以24m ≤≤，即m 的取值范围是[]2,4,故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，以及函数的定义域与值域，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力.10.关于x 的不等式92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <- B. 1a ≤-C. 2a ≤-D. 1a <-【答案】B 【解析】 【分析】分离参数a 后，构造函数求出值域可得． 【详解】解：92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立22231112(3)(3)3x x x xa -⋅+∴<=-⋅，令1(0,1)3x t =∈ 所以92310x x a ⋅+⋅-<对任意0x >恒成立等价于22a t t <-对任意(0,1)t ∈恒成立，()221112t t t =--->-，∴1a ≤-． 故选：B ．【点睛】本题考查了函数恒成立问题，可以通过分离参数转化最值问题，而且还可以避免分类讨论，属中档题．11.已知函数()4f x x x =-，若直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点,,A B C ，它们的横坐标分别为12,3,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( )A. (6,622)+B. [8,622)+C. [6,622)+D. (8,622)+【答案】D 【解析】 【分析】将()4f x x x =-去掉绝对值，写为分段函数的形式，做出()y f x =的图像，同时做出直线y a =的图像，当直线y a =与函数()f x 的图象有三个交点的时候，利用()y f x =图像的对称性可得结果．【详解】解：22(2)4,(4)()4(2)4,(4)x x f x x x x x ⎧--≥=-=⎨--+<⎩， 其图像如图：设函数()y f x =的图象与直线y a =的交点对应横坐标分别为12,3,x x x ， 则124x x +=，34222x <<+， 所以1238622x x x <++<+ 故选：D ．【点睛】本题考查了分段函数的图象的作法及函数图象的性质的应用，属中档题． 12.函数()f x 的定义域为D ，若满足如下两个条件：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠是“希望函数”，则t 的取值范围是（）A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据“希望函数”的概念利用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式求解. 【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“希望函数”,所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a naa t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩即22m mn n a t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩20x xa a t ∴--=有2个不等的正实数根，140t ∴∆=+>且两根之积等于0t ->解得104t -<<，故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的值域，单调性，二次方程根的问题，属于难题. 二.填空题13.函数2()ln(1)1xf x x x =++-的定义域为________。
江西省抚州市临川一中2019_2020届高三数学上学期第一次联合考试试题文(含解析)
江西省抚州市临川一中2019-2020届高三数学上学期第一次联合考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则A B =I （） A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D.{}6x x >【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合B ，再利用交集的运算即可求出。
【详解】因为{}{242B x x x x =>=>或}2x <-，{}26A x x =-<<，所以{}26A B x x ⋂=<<，故选A. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算.2.设,a b ∈R ，则“()20a b a ->”是“a b >”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分、必要条件定义即可判断。
【详解】()20a b a ->，因为0a ≠，可推出a b >；a b >时，若0a =，则无法推出()20a b a ->，所以“()20a b a ->”是“a b >”的充分不必要条件，故选A 。
【点睛】本题主要考查分、必要条件的定义的应用。
3.若a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A. a ＜b ＜c B. c ＜a ＜b C. b ＜c ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】根据y ＝23x (x >0)是增函数和y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x是减函数可求得结果. 【详解】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23. ∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c . 故本题答案为D.【点睛】本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.4.若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（） A. 9 B. 81C. 7D. 49【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可知，复数z 对应的点的轨迹是以（-3,4）为圆心，半径为2的圆，z z ⋅表示圆上的点到原点的距离的平方，由几何知识即可求出。
2019-2020江西临川一中上学期第一次联合考试文科数学试题及评分标准
2019-2020江西临川一中上学期第一次联合考试文科数学试题数学（文科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，在答题卷相应题目的答题区域内作答． 1.设集合{}26A x x =-<<，{}24B x x =>，则AB =（ ）A. {}26x x <<B. {}26x x -<<C. {}22x x -<<D. {}6x x > 2.设,a b R ∈，则“()20a b a ->”是“a b >”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 3．若2312a ⎛⎫=⎪⎝⎭，2315b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c <<4．若复数z 满足342z i +-=，则z z ⋅的最大值为（ ）A.9B. 81C.7D.495．已知等差数列{}n a 的首项为4，公差为2，前n 项和为n S ，若()544k k S a k N *+-=∈，则k 的值为（ ）A. 6B. 7C. 8D. 7或86．已知实数满足，如果目标函数的最小值为-1，则实数（ ）A. 6B. 5C. 4D. 37．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在(),x s x s -+内的人数占公司人数的百分比是（其中x 是平均数，s 为标准差，结果精确到1%） A. 14% B. 25% C. 56% D. 67%8．在平行四边形ABCD 中，点P 在对角线AC 上(包含端点)，且2AC =，则PB PD PA→→→⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭有（ ）A. 最大值为12，没有最小值 B. 最小值为12-，没有最大值 C. 最小值为12-，最大值为4 D. 最小值为4-，最大值为12x y 、121y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩z x y =-m =9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（ ） A. 230x y -+=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 20x y ++=10．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A.1 C.2D.1211．关于函数()cos cos 2f x x x =+，有下列三个结论:①π是()f x 的一个周期；②()f x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③()f x 的值域为[]2,2-.则上述结论中，正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312．已知点P 是椭圆221168x y +=上非顶点的动点，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，O 为 坐标原点，若M 为12F PF ∠的平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. (C. ()0,3D. (0,第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷相应题目的答题区域内作答． 13.函数()()()23ln 2x f x x =-⋅-的零点个数为_______． 14．若1tan 4tan x x+=，则66sin cos x x +=_______． 15.当(],1x ∈-∞-时，不等式()2420x x m m -⋅-<恒成立，则实数m 的取值范围为 _______． 16．在三棱锥P ABC -中，3,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足112n n a a +=，且112a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .18．如图，四面体ABCD 中，ABC ∆是边长为1的正三角形，ACD ∆是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，AB BD =.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若点E 为BD 的中点，求点B 到平面ACE 的距离.19．若存在过点()0,0O 的直线l 与曲线3232y x x x =-+和2y x a =+都相切，求a 的值. .20．抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有N 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，，)40,35[，)45,40[，)50,45[，)55,50[等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知)40,35[之间的参加者有4人．（1）求N 和之间的参加者人数1N ；（2）组织者从[)40,55之间的参加者（其中共有4名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取3名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率. （3）已知和)40,35[之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?21．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. )35,30[)35,30[)35,30[A(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.请考生在第22，23题中任选一题作答，若两题都做，按第一题给分，作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑(都没涂黑的视为选做第22题)22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1313x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程； (2)已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于,P Q 两点，求11MP MQ+的值.23. （本小题满分10分）已知函数2()4f x x =-，()2g x a x =-. (1)若关于x 的方程()()f x g x =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； (2)若当x R ∈时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2019—2020届临川一中上学期第一次联合考试数学（文科）试卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填在答题卷相应位置） 13、1 14、1316 15、()1,2- 16、1265π 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. (1)由112n n a a +=，则112n n a a +=，故数列{}n a 为等比数列，首项为12，公比为12所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.......6分(2)由12n nn n a +=+，则 ()()()()223121212222123221222n nn n n n n n S n +-++=+++++++++=+=-+-.......12分18.(1)取AC 的中点O ，连接,DO BO ，由ABD CBD ∠=∠，AB BC =，BD BD =故ABDBCD AD CD ∆≅∆⇒=，又ACD ∆为Rt ∆，故AD CD ⊥，而1AC =，即2AD CD ==，12DO =，又ABC ∆是边长为1的正三角形，则,BO AC BO ⊥=，222BODO BD BO DO +=⇒⊥，而BO ACBO BO DO⊥⎧⇒⊥⎨⊥⎩面ACD ，故平面ACD ⊥平面ABC .......6分(2)由1114ADB +-∠==，则2111122422422AE AE =+-⨯⨯=⇒=故2CE =，则112224ACE S ∆=⨯=，由E ABC B ACE V V --=故1144B B h h ⨯=⇒= .......12分 19.由题可知()0,0O 在曲线3232y x x x =-+上，所以有以下两种情况：01当()0,0O 为切点时，由2362y x x '=-+，得02x y ='=，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为2y x =，由22y xy x a=⎧⎨=+⎩，得220x x a -+=，依题意，4401a a ∆=-=⇒=.......4分 02当()0,0O 不是切点时，设直线l 与曲线3232y x x x =-+相切于点()00,P x y则032200000032362x x y x x x k y x x ='=-+==-+①又2000032y k x x x ==-+②，则联立①②得032x =，所以14k =-，故直线l 的方程为14y x =-，由214y x y x a⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，得2104x x a ++=，依题意得，14016a ∆=-=，得164a =， 综上，1a =或164a =.......12分 20. （1）由题可知，[)35,400.0450.2P =⨯=，故4200.2N ==， 而[)30,3510.050.150.20.150.10.050.3P =------=，则1200.36N =⨯= ......4分 （2）由题可知[)40,55200.36N =⨯=，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A ，B ，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A ）（乙B ）（丙丁）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）（AB ），其中恰有2女教师的有（乙A ）（乙B ）（丙A ）（丙B ）（丁A ）（丁B ）共6种情况，故63105P ==......8分（3）由题可知，[)30,356N =，[)35,404N =，所以[)11224230,352693155C C C P C ⨯+=== [)11222235,402456C C C P C ⨯+==，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故351562P =⨯=......12分 21. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+ 故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= ......5分 （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k kx x k x --+++=⇒=故0x 的值为32.......12分 22. （1）由2222139x m m =++，2222139y m m=-+，故22224331344x y x y -=⇒-= 又直线l：11cos 1122x y ϕθθ⎛⎫=⇒=⎪ ⎪⎝⎭，故20x -=......5分 (2)由1tan cos 2k θθθ==⇒==， 故直线l 的标准参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其代入曲线C 中，得1221218016233t t t t t ⎧+=-⎪++=⇒⎨=⎪⎩，故12121211114t t MP MQ t t t t ++=+==......10分 23. (1)由()2()42220f x g x x a x x x a =⇒-=-⇒-⎡+-⎤=⎣⎦，则2x =必是该方程的根，所以20x a +-=在()(),22,-∞+∞上无解，即y a =与2y x =+在()(),22,-∞+∞上无交点，而20x +≥，故(),0a ∈-∞......5分(2) 由()()f x g x ≥对x R ∀∈恒成立，而min ()4f x =-，故0a <，则在[)2,+∞上()()f x g x ≥恒成立，故只需在(),2-∞上面()()f x g x ≥对x R∀∈恒成立即可，又()()()()()()()2220220f x g x x x a x x x a ≥⇒+-+-≥⇒-++≥，则只需20x a ++≤对(),2x ∀∈-∞恒成立，则()24a x a ≤-+⇒≤-，故(],4a ∈-∞-.....10分。
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2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三（上）第一次联考数学试卷2（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =21+i +2i ，则z −的虚部是( )A. 2B. 1C. −2D. −1 2. 已知集合A ={x|x ≥a}，B ={0,1，2}，若A ∩B =⌀，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)3. 已知a ，b ∈R ，则“ab >0“是“ba +ab >2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 4. 函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. (−∞,2−1e )∪(2−1e ,2) C. [0,+∞) D. (2,+∞)5. 若a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项不一定成立的是( )A. ab >acB. cb 2<ab 2C. bc >acD. ac(a −c)<0 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =2C ，c =2，a 2=4b −4，则a =____.( )A. 1B. 2C.D.7. 已知函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2]B. (−∞,2]C. (0,2]D. [2,+∞)8. 把15个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法( )A. 18B. 28C. 38D. 429. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a =2，则输出的T =( )A. 8B. −8C. −56D. −7210. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √33C. √22D. √6311. 函数f(x)={x +1,(−1⩽x <0)cos x,(0⩽x ⩽π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A. 32 B. 1 C. 2D. 12 12. 在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n =5n+1+a ，则a 的值为 ( )A. −1B. 1C. 5D. −5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2√x −√x4)6的展开式的常数项是______ (用数字作答) 14. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S10S 5=4，则4a 1d=______．15. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2，直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°，则异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为______． 16. 设P 为直线y =b3a x 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，且2bcosB =acosC +ccosA ．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值．18. 如图，已知四边形ABDE 中，AE//BD 且BD =12AE.△ABC 是正三角形，且AB =AE ，M 是AC的中点，AE ⊥平面ABC ．(Ⅰ)求证：BM⊥CE；(Ⅱ)求直线ME与平面CDE所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，且直线y=bax与圆x2+y2−10x+20=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．20.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=alnx −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1,+∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l:y =√3x(x ⩾0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cos αy =2sin α(α为参数)，曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sin θ．(1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程； (2)已知射线l 与C 2交于O,M ，与C 3交于O,N ，求|MN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a|−2．(Ⅰ)若a =1，求不等式f(x)+|2x −3|>0的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：∵A∩B=⌀，且A={x|x≥a}，B={0,1，2}；∴a>2；∴a的取值范围是(2,+∞)．故选：D．根据A={x|x≥a}，B={0,1，2}，并且A∩B=⌀，从而得出a>2，即得出a的取值范围．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义．3.答案：B解析：【分析】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由ba +ab>2，得(a−b)2ab>0，故ab>0且a≠b，故“ab>0“是“ba +ab>2”的必要不充分条件，故选B．4.答案：B解析：解：函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，即f′(x)=2在(0,+∞)上有解， 而f′(x)=1x +a ，即1x +a =2在(0,+∞)上有解，a =2−1x ，因为x >0，所以2−1x <2，当y =2x 为切线时，设切点为(m,n)，可得2=1m +a ，又2m =lnm +am ，解得m =e ，a =2−1e ， 所以a 的取值范围是(−∞,2−1e )∪(2−1e ,2)． 故选B ．问题等价于f′(x)=2在(0,+∞)上有解，分离出参数a ，转化为求函数值域问题即可． 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．5.答案：B解析：解：由c <b <a 且ac <0，可知：c <0，a >0，b 为任意实数， 当b =0时，cb 2<ab 2不成立． 故选：B ．先根据c <a ，且ac <0，得出a ，c 的符号，进而判断出b 为任意实数，利用不等式的基本性质即可得到结果．本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.答案：D解析： 【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形计算中的应用，属于基础题．由A =2C 可得sinA =2sinCcosC ，利用正余弦定理得到关于a ，b 的方程，再结合a 2=4b −4，即可求出a 的值． 【解答】 解：∵A =2C ，∴sinA =sin2C ，即sinA =2sinCcosC ， ∴a =2c ·a 2+b 2−c 22ab，又c =2，∴a 2b =2(a 2+b 2)−8，由{a 2b =2(a 2+b 2)−8a 2=4b −4，解得{a =2b =2，或{a =2√3b =4，∵A =2C ，∴a >c ， ∴a =2√3， 故选D ．7.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法以及函数的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．利用函数的值域范围，结合分段函数求解最值，推出结果即可． 【解答】解：函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1, 当x ≥1时，f(x)=1+log 2x ≥1，当x <1时，f(x)=(a −1)x +4−2a 必须是增函数， 最大值大于等于1，才能满足f(x)的值域为R ， 可得{a −1>0a −1+4−2a ≥1，解得a ∈(1,2]．故选：A ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查组合数公式，属于基础题．根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有C 82=8×72=28种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法． 故选B ．9.答案：D解析： 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的T ，i 值，当i =6时，程序终止即可得到结论． 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 【解答】解：执行程序框图，a =2，T =0，i =1，满足条件i ≤5，执行循环，T =0+2×2=4，a =1，i =2； 满足条件i ≤5，执行循环，T =4+1×4=8，a =0，i =3； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8+0×8=8，a =−1，i =4； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8−1×16=−8，a =−2，i =5； 满足条件i ≤5，执行循环，T =−8−2×32=−72，a =−3，i =6； 此时，不满足条件i ≤5，退出循环.输出T 的值为−72. 故选D ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查椭圆的性质和几何意义，属中档题．利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D 的横坐标，再由点D 在椭圆上建立关于a 、c 的方程，解方程求出ca 的值． 【解答】解：不妨取椭圆焦点为右焦点，如图：，BF =√b 2+c 2=a ， 作DD 1⊥y 轴于点D 1， 易知△BOF∽△BD 1D ， 又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23， 可得D (32c,−b2) 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，将D 点代入可得a 2=3c 2， 解得e =c a=√33． 故选B ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查利用定积分求面积，属于中档题．先根据题意画出直线y =x +1及y =cosx 与x 轴所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式． 【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积．故选A .12.答案：D解析：【分析】本题考查数列的递推关系以及等比数列的性质，根据数列的递推关系，可求出a n =4·5n 则a 2=100，a 3=500.又a 1，a 2，a 3成等比数列，根据等比数列的性质求出a 的值．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=52+a ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(5n+1+a)−(5n +a)=4·5n ， 则a 2=100，a 3=500． 又a 1，a 2，a 3成等比数列，则a 22=a 1a 3，即1002=(25+a)·500，解得a =−5， 故选D ．13.答案：60解析：解：通项公式T r+1=∁6r (2√x)6−r (−1√x 4)r =(−1)r 26−r ∁6r x3−3r4， 令3−3r 4=0，解得r =4．∴常数项是22∁64=60． 故答案为：60． 利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：∵S 10S 5=4，∴10a 1+10×92d =4×(5a 1+5×42d)，化为：2a 1=d ≠0． 则4a 1d=2．故答案为：2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：√105解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2， 直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°， ∴∠C 1DC =45°，∴DC =CC 1=2， ∴A(1,0，0)，D 1(0,0，2)，D(0,0，0)，C 1(0,2，2)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， 设异面直线AD 1与DC 1所成角为θ， 则cosθ=|cos <AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5⋅8=√105． ∴异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为√105．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.答案：3√24解析：设P(x,b3a x)，则由题意，知c =|x |.因为PF 1垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知|b 3ax|=b 2a，即b3ac =b 2a，所以b =c3.又由a 2=c2−b2，得a 2=89c 2，所以e =c a=3√24． 17.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB =acosC +ccosA ，∴可得：2sinBcosB =sinAcosC +sinCcosA =sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosB =12，由B ∈(0,π)，可得：B =π3． (Ⅱ)∵b =2，B =π3，∴由余弦定理可得ac =a 2+c 2−4，∴由基本不等式可得ac =a 2+c 2−4≥2ac −4，可得：ac ≤4，当且仅当a =c 时，“=”成立， ∴从而S △ABC =12acsinB ≤12×4×√32=√3．故△ABC 面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB =sinB ，结合sinB ≠0，可求cos B 的值，进而可求B 的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac ≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC 面积的最大值． 本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：因为AE ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴AE ⊥BM ，又因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点， ∴AC ⊥BM ，又∵AE ∩AC =A ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥平面ACE ， 又∵CE ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥CE ；(Ⅱ)解：取CE 的中点F ，连接MF ， 所以MF 是△ACE 的中位线，所以MF//AE ， 所以MF ⊥平面ABC ，所以MA 、MB 、MF 两两垂直，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则M(0,0，0)，E(1,0，2)，D(0,√3,1)，C(−1,0，，0)， 所以ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1)． 设平面CDE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{2x +2z =0x +√3y +z =0， 令x =1，得n →=(1,0,−1)， 所以|n ⃗ |=√12+0+(−1)2=√2， 设直线ME 与平面CDE 所成角为θ， 则，所以直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值为√1010．解析：本题考查线线垂直的证明，线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．(Ⅰ)推导出AE ⊥BM ，AC ⊥BM ，由此能证明BM ⊥平面ACE ，再由线面垂直的性质可得结论；(Ⅱ)取CE 的中点F ，连接MF ，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)因为抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，则c =√3，所以a 2−b 2=3.(2分)因为直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切， 则22=√5，即a 2=4b 2.(4分) 解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程是x 24+y 2=1.(5分)(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2+4(kx +m)2=4， 即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 则x 1+x 2=−8km 4k +1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1.(7分)由已知，k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2，则k 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 24k 2+1+m 2=0，即(1−4k 2)m 2=0．因为m ≠0，则k 2=14，即k =±12，从而x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2.(10分)所以|OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(kx 1+m)2+x 22+(kx 2+m)2 =(k 2+1)(x 12+x 22)+2km(x 1+x 2)+2m 2=(k 2+1)[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2km(x 1+x 2)+2m 2． =54[4m 2−2(2m 2−2)]−2m 2+2m 2=5为定值．(12分)解析：(1)由抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，得a 2−b 2=3.由直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切，得a 2=4b 2.由此能求出椭圆C 的方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出|OA|2+|OB|2为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两线段的平方和是否为定值的判断与求法，考查椭圆方程、直线方程、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115． (2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X=5)=C21C43A44A55+C43C21A44A55=815．X的分布列为因此，E(X)=2×15+3×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望．(1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).求导函数可得f′(x)=ax −x=−x2+ax．当a<0时，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)．当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a(舍)．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0矛盾．综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1]．解析：(Ⅰ)确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；(Ⅱ)对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．22.答案：解：(1)射线l ：y =√3x(x ≥0)，转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)． 曲线C 1的参数方程为{x =3cosαy =2sinα(α为参数)， 转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1;(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sinθ， 射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ， 设M ，N 的坐标分别为M(ρ1,θ),N(ρ2,θ),所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4sin π3−8sin π3|=2√3．解析：本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)先求出曲线C 2的极坐标方程，再利用极径的定义和射线l 的极坐标方程求出|MN|．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −a|−2.若a =1，不等式f(x)+|2x −3|>0，化为：|x −1|+|2x −3|>2． 当x ≥32时，3x >6.解得x >2，当x ∈(1,32)时，可得−x +2>2，不等式无解； 当x ≤1时，不等式化为：4−3x >2，解得x <23， 不等式的解集为：(−∞,23)∪(2,+∞)； (Ⅱ)关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立， 可得|x −a|−2<|x −3|， 设f(x)=|x −a|−|x −3|， 因为|x −a|−|x −3|≤|a −3|， 所以f(x)max =|a −3|， 即：|a −3|<2，所以a 的取值范围为(1,5)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，求出f(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．。