数据结构第08章

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2.图的邻接表存储结构
当图的边数少于顶点个数且顶点个数值较大时，图的 邻接n×n矩阵的存储问题就变成了稀疏矩阵的存储问题， 此时，邻接表就是一种较邻接矩阵更为有效的存储结构。
B A C (a) E D
0 1 2 3 4
dat a A B C D E
sorce 0 1 2 3 4 (b )
adj
7
2 10 6
5
B
9
12
60
40 80 75 D 45 E
1
15
3
7
6
8 3
7
A 6
30
C
35
4
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施工进度图
交通网络图
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（8）路径长度：对于不带权的图，一条路径的路径长度 是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条路径的路 径长度是指该路径上各个边权值的总和。 （ 9 ） 子 图 ： 设 有 图 G1={V1,E1} 和 图 G2={V2,E2}， 若 V2V1且E2E1，则称图G2是图G1的子图。
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由此可见，对于用邻接表方式存储的有向图，求顶 点的入度并不方便，因此需要有一种解决的方法－ 逆邻接表法。 对图中的每一顶点vi建立一个递邻接表，即对每个顶 点vi建立一个所有以顶点vi为弧头的弧的表，这样求 顶点vi的入度即是计算逆邻接表中第i个顶点的边链 表中结点个数。
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8.3 邻接矩阵图类
由于矩阵A中的元素aij表示了顶点vi和顶点vj之间边的关系， 或者说，A中的元素aij表示了顶点vi和顶点vj（0≤j≤n-1）的 邻接关系，所以矩阵A称作邻接矩阵。
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无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵
2 1 3 (a) 5 4
1 2 V = 3 4 5
(b)
20 30 0 40 0 50 40 50 0 70 70 0 80
80 0
(a)
其中V表示了图的顶点集合，A表示了图的邻接矩阵。对于 带权图，邻接矩阵第i行中所有0<aij<∞的元素个数等于第i个 顶点的出度，邻接矩阵第j列中所有0<aij<∞的元素个数等于 第j个顶点的入度。
本章导读
图是又一种非线性数据结构。在图结 构中，数据元素之间的关系是多对多的， 即如果任选一个顶点作为初始顶点，则 图中任意一个顶点有多个前驱顶点和多 个后记顶点。本章主要讨论图的一些基 本概念和基本操作，图的存储结构及图 基本操作的算法实现，最后讨论图的最 小生成树问题和最短路径问题。
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第8章 图
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8.2 图的存储结构
图的存储结构主要有邻接矩阵和邻接表两种。
1.图的邻接矩阵存储结构
假设图G=(V,E)有n个顶点，即V={v0,v1,…,vn-1}，E可用如下 形式的矩阵A描述，对于A中的每一个元素aij，满足：
1 aij = 0 若(vi , v j ) E或 < vi , v j > E 否则
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（10）连通图和强连通图：在无向图中，若从顶点vi到顶点vj 有路径，则称顶点vi和顶点vj是连通的。如果图中任意一对顶 点都是连通的，则称该图是连通图。图中的无向图a和b都是 连通图。
在有向图中，若对于任意一对顶点vi和顶点vj（vi≠vj）都存在 路径，则称图G是强连通图。图中的有向图d是强连通图。 （11）生成树：一个连通图的最小连通子图称作该图的生成 树。有n个顶点的连通图的生成树有n个顶点和n-1条边。 （12）简单路径和回路：若路径上各顶点v1,v2,…,vm,互不重复 ，则称这样的路径为简单路径；若路径上第一个顶点v1与最 后一个顶点vm重合，则称这样的路径为回路或环 。
(b)
0 1 A = 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0
有向图的邻接矩阵一般是非对称矩阵
B A C (a) E D
A B V = C D E
(b)
0 0 A = 0 0 0
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（5）顶点的度：顶点v的度是与它相关联的边的条数， 记作TD(v)。 （6）路径：在图G=(V,E)中，若从顶点vi出发有一组 边使可到达顶点vj，则称顶点vi到顶点vj的顶点序列为 从顶点vi到顶点vj的路径。
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（7）权：有些图的边附带有数据信息，这些附带的 数据信息称为权。带权的图也称作网络或网。
void InsertVertex(const VerT &vertex); //插入顶点 void InsertEdge(const int v1, const int v2, int weight);//插入边 void DeleteVertex(const int v); //删除顶点 void DeleteEdge(const int v1, const int v2); //删除边
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2.图的抽象数据类型
数据集合：由一组顶点集合｛vi ｝和一组边集合{ej}组成。当为 带权图时每条边上权wj构成权集合{wi}。 操作集合： (1)初始化Initiate(G,n) (2)插入顶点InsertVertex(G,vertex) (3)插入边InsertEdge(G,v1,v2,weight) (4)删除边DeleteEdge（G,v1,v2) (5)删除顶点DeleteVertex(G,vertex) (6)第一个邻接结点GetFirstVex(G,v) (7)下一个邻接结点GetNextVex(G,int v1,v2) (8)遍历DepthFirstSearch(G)
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•存储空间：对于有n个顶点，e条边的无向图而言， 若采取邻接表作为存储结构，则需要n个表头结点和 2e个表结点。 •无向图的度：在无向图的邻接表中，顶点vi的度恰 好就是第i个边链表上结点的个数。 •有向图的度：在有向图中，第i个边链表上顶点的 个数是顶点vi的出度。要想求得该顶点的入度，则 必须遍历整个邻接表。在所有单链表中查找邻接点 域的值为i的结点并计数求和。
1.邻接矩阵图类的设计和实现
邻接矩阵图类实现如下： #include "SeqList.h" //包含动态数组结构的顺序表类
class AdjMWGraph { private: SeqList Vertices; //顶点顺序表 int Edge[MaxVertices][MaxVertices]; //边权值数组 int numOfEdges; //边的个数
∧
dest next 4 4 ∧ 1 ∧
3
2
1 ∧
∧
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数组的data域存储图的顶点信息，sorce域存储该顶点在 数组中的下标序号，adj域为该顶点的邻接顶点单链表 的头指针。第i行单链表中的dest域存储所有起始顶点为 vi的邻接顶点vj在数组中的下标序号，next域为单链表 中下一个邻接顶点的指针域。如果是带权图，单链表中 需再增加cost域，用来存储边<vi,vj>的权值wij。
void DepthFirstSearch(const int v, int visited[], void Visit(VerT item)); void BroadFirstSearch(const int v, int visited[], void Visit(VerT item));
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public: AdjMWGraph(const int sz = MaxVertices); ~AdjMWGraph(void){}; int NumOfVertices(void) {return Vertices.Size();} int NumOfEdges(void) {return numOfEdges;} VerT GetValue(const int v); int GetWeight(const int v1, const int v2); //构造函数 //析构函数 //取顶点个数 //取边的个数 //取顶点数值 //取边的权值
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例如：下图G1是有向图，G2是无向图
G1 1 2 1 G2 3 2
3
4
4
5
5
0
0
0
0
1
1
3
1
2
1 2 3
2 (a)无向完全图
3
4
5
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2 (c)有向图
(b)无向图
(d)有向完全图
（4）邻接顶点：在无向图G中，若（u,v）是E(G)中的 一条边，则称u和v互为邻接顶点，并称边（u,v）依附于 顶点u和v；在有向图G中，若＜u,v＞是E(G)中的一条边 ，则称顶点u邻接到顶点v，顶点v邻接自顶点u，并称边 ＜u,v＞和顶点u和顶点v相关联。
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VerT AdjMWGraph::GetValue(const int v) //取顶点v的数值 { if(v < 0 || v > Vertices.Size()) { cout << "参数v越界出错!" << endl; exit(0); } return Vertices.GetData(v); }22
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基本术语：
（1）顶点和边：图中的结点称作顶点，图中的第i个顶点记 做vi。两个顶点vi和vj相关联称作顶点vi和vj之间有一条边，图中 的第k条边记做ek，ek =（vi,vj）或＜vi,vj＞。 （2）有向图和无向图：在有向图中，顶点对＜x ,y＞是有序 的，顶点对＜x,y＞称为从顶点x到顶点y的一条有向边，有向图 中的边也称作弧；在无向图中，顶点对（x,y）是无序的，顶点 对（x,y）称为与顶点x和顶点y相关联的一条边。 （3）完全图：在有n个顶点的无向图中，若有n(n-1)/2条边， 即任意两个顶点之间有且只有一条边，则称此图为无向完全图 ；在有n个顶点的有向图中，若有n(n-1)条边，即任意两个顶点 之间有且只有方向相反的两条边，则称此图为有向完全图。