2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做17选修4_5：不等式选讲理含答案

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2019届高考数学二轮复习专题七选修课后综合提升练选修4_5不等式选讲文

选修4-5 不等式选讲(建议用时:30分钟)1.(1)已知函数f(x)=的定义域为R,求实数a的取值范围.(2)若正实数m,n满足m+n=2,求+的取值范围.【解析】(1)由题意知|x-2|+|x+a|-3≥0恒成立.因为|x-2|+|x+a|≥|(x-2)-(x+a)|=|a+2|,所以|a+2|≥3,解得a≤-5或a≥1.(2)因为m+n=2(m>0,n>0),所以+=·=≥(2+3),即+的取值范围为.2.已知函数f(x)=|x-a|+(a≠0).(1)若不等式f(x)-f(x+m)≤1恒成立,求实数m的最大值.(2)当a<时,函数g(x)=f(x)+|2x-1|有零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为f(x)-f(x+m)=|x-a|+-=|x-a|-|x+m-a|≤|(x-a)-(x+m-a)|=|m|,所以|m|≤1,即m的最大值为1.(2)g(x)=f(x)+|2x-1|=|x-a|+|2x-1|+,即g(x)=,所以g(x)在上减函数,在上是增函数,所以g(x)min=g=3×+-a-1=+-a,由题意得+-a≤0,解得-≤a<0,或a≥1,又a<,所以a的取值范围是{a|-≤a<0}3.已知函数f(x)=x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)求不等式g(x)≥3的解集.(2)若∀x2∈[-2,2],∃x1∈[-2,2],使得不等式f(x1)≤g(x2)成立,求实数a的取值范围. 【解析】(1)g(x)≥3,即|x+1|+|x-1|≥3,此不等式等价于或或,解得x≤-或x≥,所以g(x)≥3的解集为.(2)因为∀x2∈[-2,2],∃x1∈[-2,2],使得f(x1)≤g(x2)成立,所以f(x)min≤g(x)min(x∈[-2,2]).又g(x)min=2,所以f(x)min≤2(x∈[-2,2]).当-≤-2,即a≥4时,f(x)min=f(-2)=4-2a+4=8-2a≤2,解得a≥3,所以a≥4;当-≥2,即a≤-4时,f(x)min=f(2)=4+2a+4=8+2a≤2,解得a≤-3,所以a≤-4;当-2<-<2,即-4<a<4时,f(x)min=f=-+4≤2,解得a≥2或a≤-2, 所以-4<a≤-2或2≤a<4.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[2,+∞).4.已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R).(1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值.(2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值.【解析】(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3,解得a≤-3,即a max=-3.(2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|,当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意,当a<-1时,g(x)=,即g(x)=,所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3,解得a=-4,当a>-1时,同法可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2,综上所述,a=2或-4.(建议用时:30分钟)1.已知函数f(x)=|x-1|+|x-2|,若f(x)≤3的解集为C.(1)求解集C.(2)已知非零实数a,b,c满足++=2,求证:a2+4b2+9c2≥.【解析】(1)f(x)=|x-1|+|x-2|≤3,即或或即0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3,即解集C={x|0≤x≤3}.(2)因为++=2,由柯西不等式得a2+4b2+9c2=(a2+4b2+9c2)≥≥,当且仅当==时取等号,即a2=4b2=3c2=时取等号.2.已知函数f(x)=5-|x+1|-|x-2|.(1)在给出的平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象.(2)记函数y=f(x)的最大值为M,是否存在正数a,b,使2a+b=M,且+=3,若存在,求出a,b 的值,若不存在,说明理由.【解析】(1)由于f(x)=5-|x+1|-|x-2|=.作图如下:(2)由图象可知,当-1≤x≤2,f(x)max=2,即得M=2.假设存在正数a,b,使2a+b=2,且+=3,因为+==2+≥2+2≥4,当且仅当⇒时,取等号,所以+的最小值为4,与+=3相矛盾,故不存在正数a,b,使2a+b=2,且+=3成立.3.已知a2+b2+c2=1,且a,b,c∈R+.(1)++的最小值.(2)证明:++≤2.【解析】(1)由柯西不等式,得(a2+b2+c2)≥=9,当且仅当a=b=c=时,取等号.所以++的最小值为9.(2)由xy≤,得·≤=+.同理得·≤+,·≤+.三式相加得(++)≤+=4,所以++≤2,当且仅当a=b=c=时,取等号.4.已知函数f(x)=|x+1|.(1)解关于x的不等式f(x)-x2+1>0.(2)若函数g(x)=f(x-1)+f(x+m),当且仅当0≤x≤1时,g(x)取得最小值,求x∈(-1,2)时,函数g(x)的值域.【解析】(1)|x+1|-x2+1>0⇒|x+1|>x2-1,①⇒-1<x<2,②⇒ ,所以,不等式的解集为.(2)g(x)=|x|+|x+m+1|=|-x|+|x+m+1|≥|-x+x+m+1|=|m+1|,当且仅当(-x)·(x+m+1)≥0时取等号,所以1+m+1=0,得m=-2,所以g(x)=|x|+|x-1|,故当x∈(-1,2)时,g(x)=,所以g(x)在x∈(-1,2)时的值域为[1,3).。

2019版理科数学一轮复习高考帮试题：选修4-5 不等式选讲(习思用.数学理) Word版含解析

选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(1a +1b+1c)2≥6√3, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=√x-2+√11-x的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-√2|+|x+2√2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:√b +√a≥√a+√b.8.已知a,b∈R,且a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252.9.已知a ,b ,c 均为正实数.求证:(1)(a +b )(ab +c 2)≥4abc ;(2)若a +b +c =3,则√a +1+√b +1+√c +1≤3√2. 考点4柯西不等式10.已知x,y 是两个不相等的正实数,求证:(x 2y +x +y 2)·(xy 2+y +x 2)>9x 2y 2.答案1.解法一因为a ,b ,c 均为正数,所以a 2+b 2+c 2≥3(abc )23 ①, 因为1a +1b +1c ≥3(abc )-13,所以(1a +1b +1c )2≥9(abc )-23 ②.故a 2+b 2+c 2+(1a +1b +1c )2≥3(abc )23+9(abc )-23. 又3(abc )23+9(abc )-23≥2√27=6√3 ③, 所以原不等式成立.当且仅当a=b=c 时,①式和②式等号成立. 当且仅当3(abc )23=9(abc )-23时,③式等号成立,。

2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》附题目详解

2019年高中数学选修4-5《不等式选讲》最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R)．(2)|a －b|≤|a －c|＋|c －b|(a ，b ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b|≤c ，|ax ＋b|≥c ，|x －c|＋|x －b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．知识点总结1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |.问题探究：不等式|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≥0，左侧“＝”成立的条件是ab ≤0且|a |≥|b |；不等式|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab ≥0且|a |≥|b |.3．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、a 2、…、a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．4．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 为实数，则(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立．知识点拓展柯西不等式的各种形式及其证明二维形式在一般形式中，12122,,,,n a a a b b c b d =====令，得二维形式()()()22222bd ac d c b a+≥++等号成立条件：()d c b a bc ad //==扩展：()()()222222222123123112233nn n n a a a a b b b b a b a b a b a b +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+等号成立条件：1122000::::,1,2,3,,i i i i n n i i a b a b a b a b a b a b i n ==⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪=⋅⋅⋅⎝⎭当或时，和都等于，不考虑二维形式的证明：()()()()()()22222222222222222222222,,,220=ab c d a b c d R a c b d a d b c a c abcd b d a d abcd b c ac bd ad bc ac bd ad bc ad bc ++∈=+++=+++-+=++-≥+-=等号在且仅在即时成立三角形式ad bc=等号成立条件：三角形式的证明：()()22222222222222222-2a b c d a b c d ac bd a ac c b bd d a c b d =++++≥+++++≥-+++=-+-≥注：表示绝对值向量形式()()()()123123=,,,,,,,,2=n n a a a a b b b b n N n R αβαβαββαλβλ≥⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∈≥∈，等号成立条件：为零向量，或向量形式的证明：()()1231231122332222212322222222112233123123=,,,,,,,,,cos ,cos ,cos ,1n n n n n n n n n nm a a a a n b b b b m n a b a b a b a b m n m na b b b b m nm n a b a b a b a b a a a a b b b b =⋅=++++==++++++≤∴++++≤++++++++令一般形式211212⎪⎭⎫⎝⎛≥∑∑∑===n k k k nk k n k k b a b a 1122:::n n i i a b a b a b a b ==⋅⋅⋅=等号成立条件：，或、均为零。

高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案

高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案新课程高中数学训练题组》是一套根据最新课程标准编写的资料，参考了内部资料并结合了教学实践和辅导经验。

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目录：数学选修4-5不等式选讲基础训练A组]数学选修4-5不等式选讲综合训练B组]数学选修4-5不等式选讲提高训练C组]以下是数学选修4-5不等式选讲的基础训练A组选择题：1.下列各式中，最小值等于2的是（）A。

1xyx2+5B。

x-x+2C。

tanθ+x2+4yD。

2+2tanθ2.若x,y∈R且满足x+3y=2，则3+27+1的最小值是（）A。

339B。

1+22C。

6D。

73.设x>0,y>0,A=xy/(x+y)+1/(1+x)+1/(1+y)，B=1+x+y/(1+x)(1+y)，则A,B的大小关系是（）A。

A=BB。

A<BC。

A≤BD。

A>B4.若x,y,a∈R+，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（）A。

1/2B。

2C。

1D。

2/2以上选择题没有明显的格式错误和问题段落，因此不需要修改。

）一、选择题5.函数y=x-4+x^-6的最小值为（）。

A。

2B。

2C。

4D。

66.不等式3≤5-2x<9的解集为（）。

A。

[-2,1)∪[4,7)B。

(-2,1](4,7]C。

(-2,-1][4,7)D。

(-2,1][4,7)解析：此题考查对不等式解集的理解和求解能力。

二、填空题1.若a>b>0，则a+1/b(a-b)的最小值是__________。

2017年高三数学复习：选修4-5不等式选讲(试题版)【典型例题+高考真题=汇总】

【例2】(2014课标Ⅰ)若a＞0,b＞0,且＋＝ .
(I)求a3＋b3的最小值；
(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？请说明理由．
【例3】已知a,b,c∈(0,＋∞),且a＋b＋c＝1,
求证:(1)( －1)·( －1)·( －1)≥8；
(2) ＋＋ ≤ .
【变式训练】
1.设a,b,c>0,且ab＋bc＋ca＝1.求证:a＋b＋c≥ ；
【例1】►(1)(2014·上海)若实数x,y满足xy＝1,则x2＋2y2的最小值为________.
►(2)已知 ,且 ,则的最小值为.
►(3)(2011重最小值()
A. B.4 C. D.5
►(4)(2014江苏)已知x>0,y>0,证明:(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy.
【例3】(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m.
(I)当m＝5时,求f(x)>0的解集；
(II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围．
►(2)已知函数f(x)＝|x－a|.
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5},求实数a的值；
(II)在(I)的条件下,若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围．
(I)当a＝－3时,求不等式f(x)≥3的解集；
(II)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2],求a的取值范围．
►(2)(2013课标Ⅰ)函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(I)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集；
(II)设a>-1,且当时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.

高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案

第一节不等式和绝对值不等式第一课时不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的．在数轴上，右边的数总比左边的数．（2）如果a －b ＞0，则；如果a －b ＝0，则；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：（1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)．（8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得不等式；②c ＝0时得；③c <0时得不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为时，可以相乘，但不可以．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由．（1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ；（2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11 C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域．（2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；（3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完（1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)．（1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的不小于它们的．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是：，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．二、考点例题考点一用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结（1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结（1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结（1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为，再由不等式的性质求出原不等式的解集．不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为或，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式：（1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解；（2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节证明不等式的基本方法第一课时比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论．其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若，则a >b ；若则a b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定；⑤得出结论．二、考点例题考点一作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结（1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？方法规律小结应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或法，是由和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推出所要证明的结论成立．（2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止．（2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。

人教版数学选修4-5《不等式选讲》基础训练及答案

数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（）A ． 2233B ．3323 C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c b c d c d a d a b =+++++++++++，则下列判断中正确的是（）A ．01S <，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况4．设0b a >>，且P =211Q a b =+，M = 2a b N +=，R =，则它们的大小关系是（）A ．P Q M N R <<<，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。

三、解答题1．设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d ++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。

高考数学三轮冲刺大题提分大题精做17选修4_5：不等式选讲理0318232

大题精做17 选修4-5：不等式选讲[2019·长郡中学]已知函数()2f x x =+．（1）解不等式()41f x x >-+；（2）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b --≤+．【答案】（1）解集为{}3.50.5x x x <->或；（2）见解析．【解析】（1）()41f x x >-+，即为214x x +++>，该不等式等价于如下不等式组：1）2214x x x <----->⎧⎨⎩3.5x ⇒<-， 2）21214x x x -≤<+-->⎧⎨⎩x ⇒∈∅， 3）10.5214x x x x ≥-⇒>+++>⎧⎨⎩，所以原不等式的解集为{}3.50.5x x x <->或．（2）()2.5 2.52 2.52 4.5x f x x x x x --=--+≤---=，()(41141141415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()412.5x f x a b--≤+．1．[2019·驻马店期末]已知函数()()21f x x a x a =++-∈R ．（1）1a =-时，求不等式()2f x ≥解集；（2）若()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．2．[2019·宜昌调研]设函数()13f x x x a =++-．（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，求实数a 的取值范围．3．[2019·福建联考]已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ．（1）求a b +的值；（2）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证9x y xy +≥．1．【答案】（1）(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当1a =-时，不等式()2f x ≥可化为1212x x -+-≥，①当12x ≤时，不等式为1122x x -+-≥，解得0x ≤； ②当112x <<时，不等式为1212x x -+-≥，无解； ③当1x ≥时，不等式为1212x x -+-≥，解得43x ≥，综上，原不等式的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为212x a x x ++-≤，即1x a +≤．解得11a x a --≤≤-+，由题意知314112a a -+≥⎧⎪--⎨≤⎪⎪⎪⎩，解得3124a -≤≤，所以实数a 的取值范围是31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 2．【答案】（1）15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()5,3-．【解析】（1）()1323f x x x a x =++-≤+，可转化为14223x x x ≥-≤+⎧⎨⎩或114223x x x -<<-≤+⎧⎨⎩或12423x x x ≤--≤+⎧⎨⎩，解得512x ≤≤或114x ≤<或无解，所以不等式的解集为15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）依题意，问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解，即()min 14x x a ++-<，又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号．所以14a +<，解得53a -<<，所以实数a 的取值范围是()5,3-．3．【答案】（1）0；（2）见解析．【解析】（1）原不等式等价于13415x x <--+≤⎧⎪⎨⎪⎩或123325x x -≤≤+≤⎧⎪⎨⎪⎩或2415x x >-≤⎧⎨⎩，解得113x -≤<-或113x -≤≤，即11x -≤≤，∴1a =-，1b =，∴0a b +=．（2）由（1）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()1111441459x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当16x =，13y =时取“=”，∴9x y xy +≥．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

2019大一轮高考总复习理数课时作业提升：选修4-5 不等

课时作业提升(七十六) 绝对值不等式(对应学生用书P 303)1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤2，2x －7，2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3，所以－3≤f (x )≤3.(2)解：由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 2．已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ≤－a 2.结合a ＞0，解得x ≤－a2，即不等式f (x )≤0的解集为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2. 因为不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，所以－a2＝－1，故a ＝2.3．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．(1)证明：由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2. 当且仅当“a ＝1”时等号成立．所以f (x )≥2. (2)解：f (3)＝⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |. 当a ＞3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)＜5得3＜a ＜5＋212.当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a .由f (3)＜5，得1＋52＜a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 5．已知函数f (x )＝|x ＋m |－|5－x |(m ∈R )． (1)当m ＝3时，求不等式f (x )＞6的解集；(2)若不等式f (x )≤10对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．解：(1)当m ＝3时，f (x )＞6，即|x ＋3|－|5－x |＞6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，x ＋3－(x －5)＞6解得x ≥5；或⎩⎪⎨⎪⎧－3＜x ＜5，x ＋3＋(x －5)＞6解得4＜x ＜5；或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－3，－x －3＋(x －5)＞6解集是∅. 故不等式f (x )＞6的解集为{x |x ＞4}．(2)f (x )＝|x ＋m |－|5－x |≤|(x ＋m )＋(5－x )|＝|m ＋5|，由题意得|m ＋5|≤10，则－10≤m ＋5≤10，解得－15≤m ≤5，故m 的取值范围为[－15,5]．6．(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )＜4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )＜4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|＜4. 当x ＜－23时，即－3x －2－x ＋1＜4，解得－54＜x ＜－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1＜4，解得－23≤x ＜12；当x ＞1时，即3x ＋2＋x －1＜4，无解．综上所述，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－54，12. (2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4. 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a .所以当x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0＜a ≤103.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，103. 7．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1解得x ＞2. 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}． (2)由f (x )≥x 2－x ＋m 得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. 8．(2018·云南统考)已知a 、b 都是实数，a ≠0，f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)若f (x )＞2，求实数x 的取值范围；(2)若|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )对满足条件的所有a 、b 都成立，求实数x 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x ≤1，1，1＜x ≤2，2x －3，x ＞2.由f (x )＞2得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，3－2x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，2x －3＞2，解得x ＜12或x ＞52.所以所求实数x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪⎝⎛⎭⎫52，＋∞. (2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )且a ≠0得 |a ＋b |＋|a －b ||a |≥f (x )．又因为|a ＋b |＋|a －b ||a |≥|a ＋b ＋a －b ||a |＝2，所以f (x )≤2. 因为f (x )＞2的解集为x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜12或x ＞52，所以f (x )≤2的解集为x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤52，所以所求实数x 的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，52.。

2019届高三数学理一轮复习教师用书：选修4-5 不等式选

选修4－5 ⎪⎪⎪不等式选讲第一节绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解法：(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .1．设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |＜||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：选B ∵ab <0， ∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{}x |1≤x ≤3，则实数k ＝________. 解析：由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{}x |1≤x ≤3，∴k ＝2. 答案：23．函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________．解析：因为|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8，所以所求函数的最小值为8. 答案：84．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2.当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2. 又当x ≥2时，f (x )＝3>1恒成立．所以不等式的解集为{}x |x ≥1. 答案：{}x |x ≥1考点一绝对值不等式的解法 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考](1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集．解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，故y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5.故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}，f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <13或1<x <3或x >5. 2．解下列不等式． (1)|2x ＋1|－2|x －1|>0； (2)|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1.解：(1)法一：原不等式可化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得4x 2＋4x ＋1>4(x 2－2x ＋1)，解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.法二：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤1，(2x ＋1)＋2(x －1)>0或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，(2x ＋1)－2(x －1)>0.解得x >14，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >14.(2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3. ②当－3≤x ≤12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x >12时，原不等式化为(x ＋3)＋(1－2x )<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.[怎样快解·准解]绝对值不等式的常见3解法 (1)零点分段讨论法含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段讨论法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)，一般步骤如下：①令每个绝对值符号里的代数式为零，并求出相应的根； ②将这些根按从小到大排序，它们把实数集分为若干个区间；③在所分的各区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，求所得的各不等式在相应区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集． (2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到与a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |<c (c >0)或|x －a |－|x －b |>c (c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．(3)数形结合法在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解． [易错提醒] 用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时，去绝对值符号的关键点是找零点，将数轴分成若干段，然后从左到右逐段讨论．考点二绝对值三角不等式的应用 (重点保分型考点——师生共研)应用绝对值三角不等式证明不等式或求最值是高考的常考内容，难度适中.[典题领悟]1．若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值．解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)| ≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7，所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.2．若a ≥2，x ∈R ，求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3. 证明：因为|x －1＋a |＋|x －a | ≥|(x －1＋a )－(x －a )|＝|2a －1|，又a ≥2，故|2a －1|≥3，所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3成立．[解题师说]证明绝对值不等式的3种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为一般不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．[冲关演练]已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1成立．考点三绝对值不等式的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎫|x |－322＋54≤54，当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54.故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，54. [解题师说]设函数f (x )中含有绝对值，则 (1)f (x )>a 有解⇔f (x )max >a . (2)f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .(3)f (x )>a 恰在(c ，b )上成立⇔c ，b 是方程f (x )＝a 的解．[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2. 又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1]． 2．已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2，所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞)．1．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R)的最小值为a . (1)求实数a 的值； (2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ≤4，2x －6，x ＞4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤112.2．(2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋m |(x ∈R)． (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若不等式f (x )≤5的解集不是空集，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝1时，f (x )≥6等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－(x －3)－(x ＋1)≥6或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，－(x －3)＋(x ＋1)≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，(x －3)＋(x ＋1)≥6，解得x ≤－2或x ≥4，所以不等式f (x )≥6的解集为{x |x ≤－2或x ≥4}． (2)∵|x －3|＋|x ＋m |≥|(x －3)－(x ＋m )|＝|m ＋3|， ∴f (x )min ＝|3＋m |，∴|m ＋3|≤5，解得－8≤m ≤2，∴实数m 的取值范围为[－8,2]．3．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x |＋a . (1)当a ＝0时，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若存在x ∈R ，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )，得|2x ＋1|≥|x |，两边平方整理得3x 2＋4x ＋1≥0，解得x ≤－1或x ≥－13，故原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫－13，＋∞. (2)由f (x )≤g (x )，得a ≥|2x ＋1|－|x |，令h (x )＝|2x ＋1|－|x |，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，x ≤－12，3x ＋1，－12＜x ＜0，x ＋1，x ≥0，故h (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫－12＝－12，所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 4．已知函数f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a (a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式－2≤f (x )≤4的解集；(2)设函数g (x )＝|x －1|，若对任意的x ∈R ，f (x )－4g (x )≤6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|4x －a |＋a 2－4a ，当a ＝1时，f (x )＝|4x －1|－3.因为－2≤f (x )≤4，所以1≤|4x －1|≤7，即⎩⎪⎨⎪⎧－7≤4x －1≤7，4x －1≥1或4x －1≤－1，解得－32≤x ≤0或12≤x ≤2，因此－2≤f (x )≤4的解集为⎣⎡⎦⎤－32，0∪⎣⎡⎦⎤12，2. (2)因为f (x )－4g (x )＝|4x －a |＋a 2－4a －4|x －1|≤|4x －a ＋4－4x |＋a 2－4a ＝a 2－4a ＋|4－a |，所以a 2－4a ＋|4－a |≤6，当a ≥4时，a 2－4a ＋a －4≤6，得4≤a ≤5，当a <4时，a 2－4a ＋4－a ≤6，得5－332≤a <4，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－332，5.5．设函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|. (1)求不等式f (x )＞1的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )可化为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－2，2x ＋1，－2＜x ＜1，3，x ≥1，当x ≤－2时，f (x )＝－3＜0，不合题意；当－2＜x ＜1时，f (x )＝2x ＋1＞1，得x ＞0，即0＜x ＜1；当x ≥1时，f (x )＝3＞1，即x ≥1.综上，不等式f (x )＞1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x 的不等式f (x )＋4≥|1－2m |有解等价于(f (x )＋4)max ≥|1－2m |，由(1)可知f (x )max ＝3(也可由|f (x )|＝||x ＋2|－|x －1||≤|(x ＋2)－(x －1)|＝3，得f (x )max ＝3)，即|1－2m |≤7，解得－3≤m ≤4. 故实数m 的取值范围为[－3,4]．6．(2018·东北四市模拟)已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |的最小值为1. (1)证明：2a ＋b ＝2；(2)若a ＋2b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．解：(1)证明：因为－a <b2，所以f (x )＝|x ＋a |＋|2x －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a ＋b ，x <－a ，－x ＋a ＋b ，－a ≤x ≤b 2，3x ＋a －b ，x >b 2，显然f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，b 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫b 2，＋∞上单调递增，所以f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫b 2＝a ＋b 2，所以a ＋b2＝1，即2a ＋b ＝2.(2)因为a ＋2b ≥tab 恒成立，所以a ＋2bab ≥t 恒成立， a ＋2b ab ＝1b ＋2a ＝12⎝⎛⎭⎫1b ＋2a (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥12⎝⎛⎭⎫5＋2 2a b ·2b a ＝92. 当且仅当a ＝b ＝23时，a ＋2b ab 取得最小值92，所以t ≤92，即实数t 的最大值为92.7．已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，所以△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n (a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4.当x <－23时，不等式化为－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，不等式化为3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，不等式化为3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54<x <12.(2)1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋m n ≥4，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a .∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，解得0<a ≤103，所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，103. 第二节不等式的证明1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( ) A ．s ≥t B ．s ＞t C ．s ≤tD ．s ＜t解析：选A ∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：选B ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab ＝4，∴1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立)．3．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________．解析：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1c 中得a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．故1a ＋1b ＋1c 的最小值为9. 答案：9考点一比较法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )＜2，得－2x ＜2，解得x ＞－1；当－12＜x ＜12时，f (x )＜2恒成立；当x ≥12时，由f (x )＜2，得2x ＜2，解得x ＜1.所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}．(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2 ＝a 2＋b 2－a 2b 2－1 ＝(a 2－1)(1－b 2)＜0. 因此|a ＋b |＜|1＋ab |.[解题师说]1．作差比较法(1)作差比较法证明不等式的4步骤(2)作差比较法的应用范围当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．2．作商比较法(1)作商比较法证明不等式的一般步骤(2)作商比较法的应用范围当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．[冲关演练]1．求证：当x ∈R 时，1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 证明：法一：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝2x 3(x －1)－(x ＋1)(x －1) ＝(x －1)(2x 3－x －1) ＝(x －1)(2x 3－2x ＋x －1) ＝(x －1)[2x (x 2－1)＋(x －1)] ＝(x －1)2(2x 2＋2x ＋1) ＝(x －1)2⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋122＋12≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2. 法二：(1＋2x 4)－(2x 3＋x 2) ＝x 4－2x 3＋x 2＋x 4－2x 2＋1 ＝(x －1)2·x 2＋(x 2－1)2≥0，所以1＋2x 4≥2x 3＋x 2.2．求证：当a >0，b >0时，a a b b≥(ab )+2a b .证明：∵a ab b(ab )+2a b ＝⎝⎛⎭⎫a b -2a b ，∴当a ＝b 时，⎝⎛⎭⎫a b -2a b ＝1，当a >b >0时，ab >1，a －b 2>0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，当b >a >0时，0<ab <1，a －b 2<0，∴⎝⎛⎭⎫a b -2a b>1，∴a a b b≥(ab )+2a b .考点二综合法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)综合法证明不等式是每年高考的重点，主要涉及基本不等式的应用，难度适中.[典题领悟](2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)∵(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，∴(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.[解题师说]1．综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．2．综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ； a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.(4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有a ＋1a ≥2(a >0)；ab ＋b a ≥2(ab >0)； a b ＋ba ≤－2(ab <0)．(5)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[冲关演练]1．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：(1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4 ≥4b a ·a b ＋4＝8，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 2．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3. 解：(1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．综上，f (x )的最小值m ＝3.(2)证明：因为a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c ) ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎫b 2a·a ＋c 2b·b ＋a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.考点三分析法证明不等式 (重点保分型考点——师生共研)分析法证明不等式是高考考查的重点，常与充要条件等综合考查，难度中等及以上.[典题领悟]已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2，此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[解题师说]1．分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b 2，a >0，b >0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．用分析法证“若A 则B ”这个命题的模式为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真．[冲关演练]已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .证明：要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ，即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，即证|a －c |<c 2－ab ，即证(a －c )2<c 2－ab ，即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ，即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立．1．设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝⎛⎭⎫ac b ＋ab c ＋⎝⎛⎭⎫ab c ＋bc a ＋⎝⎛⎭⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ＋b ⎝⎛⎭⎫a c ＋c a ＋c ⎝⎛⎭⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2.2．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab，得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2. (2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6. 3．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，求证：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d . (2)①必要性：若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)，得a ＋b >c ＋d . ②充分性：若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件． 4．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3. 5．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a .解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2. 所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ，即|ab －1|＞|a －b |.因为|a |＜1，|b |＜1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)＞0，所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．6．(2018·武昌调研)设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M .(1)求M ；(2)当x ∈M 时，证明：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x >2. 当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0；当x >2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立．故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.7．已知a ，b 都是正实数，且a ＋b ＝2，求证：a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 证明：∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1－1＝a 2(b ＋1)＋b 2(a ＋1)－(a ＋1)(b ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝a 2b ＋a 2＋b 2a ＋b 2－ab －a －b －1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋ab (a ＋b )－ab －(a ＋b )－1(a ＋1)(b ＋1)＝a 2＋b 2＋2ab －ab －3(a ＋1)(b ＋1)＝(a ＋b )2－3－ab (a ＋1)(b ＋1)＝1－ab (a ＋1)(b ＋1). ∵a ＋b ＝2≥2ab ，∴ab ≤1.∴1－ab (a ＋1)(b ＋1)≥0. ∴a 2a ＋1＋b 2b ＋1≥1. 8．设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立．(1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立，∴m ＋1m ≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立．令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3，x <－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x >3.∴函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝2，∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2，即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m≥0， ∴m >0，综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞)．(2)证明：由m >0，知m ＋3>m ＋2>m ＋1>1，即lg(m ＋3)>lg(m ＋2)>lg(m ＋1)>lg 1＝0.∴要证log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)．只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)>lg (m ＋3)lg (m ＋2)，即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)<lg 2(m ＋2)，又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)< ⎣⎡⎦⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)2 2 ＝[lg (m ＋1)(m ＋3)]24<[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)>log (m ＋2)(m ＋3)成立．。

2019版高考数学文科课标版一轮复习考点突破训练：选修4-5 不等式选讲含最新模拟题含答案精品

选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则+≤3.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<;当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1, ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-2|≤M的解集为{x|-2≤x≤.6.(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,-或,或,-,解得x≤1或x≥4.故当a=-3时,不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)由题意可得f(x)≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 + -( + )= ) ) ) = )( -≥0,所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以= ) ) ( )= )( )( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0, 即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ = ,当且仅当a+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当b+1=2时,取等号, · ≤ = ,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得 ( )≤=6,所以 + + ≤3 ,当且仅当a=b=c=1时,取等号.。

2019高考数学三轮冲刺大题提分大题精做17选修4_5：不等式选讲(理)

大题精做17 选修4-5：不等式选讲[2019·长郡中学]已知函数．
（1）解不等式；
（2）已知，求证：．
【答案】（1）解集为；（2）见解析．
【解析】（1），即为，
该不等式等价于如下不等式组：
1），
2），
3），
所以原不等式的解集为．
（2），
，
所以．
1．[2019·驻马店期末]已知函数．
（1）时，求不等式解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围．
2．[2019·宜昌调研]设函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
3．[2019·福建联考]已知不等式的解集为．（1）求的值；
（2）若，，，求证．
1．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，不等式可化为，
①当时，不等式为，解得；
②当时，不等式为，无解；
③当时，不等式为，解得，
综上，原不等式的解集为．
（2）因为的解集包含，则不等式可化为，即．解得，
由题意知，解得，
所以实数的取值范围是．
2．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），可转化为或
或，解得或或无解，所以不等式的解集为．（2）依题意，问题等价于关于的不等式有解，即，
又，当时取等号．
所以，解得，所以实数的取值范围是．3．【答案】（1）0；（2）见解析．
【解析】（1）原不等式等价于或或，
解得或，即，∴，，∴．
（2）由（1）知，即，且，，
∴，
当且仅当，时取“”，∴．。

高考数学三轮冲刺大题提分大题精做17 选修4-5：不等式选讲理-人教版高三选修4-5数学试题

大题精做17 选修4-5：不等式选讲[2019·长郡中学]已知函数()2f x x =+．（1）解不等式()41f x x >-+；（2）已知()20,0a b a b +=>>，求证：()412.5x f x a b--≤+．【答案】（1）解集为{}3.50.5x x x <->或；（2）见解析．【解析】（1）()41f x x >-+，即为214x x +++>，该不等式等价于如下不等式组：1）2214x x x <----->⎧⎨⎩3.5x ⇒<-， 2）21214x x x -≤<+-->⎧⎨⎩x ⇒∈∅， 3）10.5214x x x x ≥-⇒>+++>⎧⎨⎩，所以原不等式的解集为{}3.50.5x x x <->或．（2）()2.5 2.52 2.52 4.5x f x x x x x --=--+≤---=， ()(41141141415 4.5222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()412.5x f x a b--≤+．1．[2019·某某期末]已知函数()()21f x x a x a =++-∈R ．（1）1a =-时，求不等式()2f x ≥解集；（2）若()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值X 围．2．[2019·某某调研]设函数()13f x x x a =++-．（1）当1a =时，解不等式()23f x x ≤+；（2）若关于x 的不等式()42f x x a <+-有解，某某数a 的取值X 围．3．[2019·某某联考]已知不等式2315x x -++≤的解集为[],a b ．（1）求a b +的值；（2）若0x >，0y >，40bx y a ++=，求证9x y xy +≥．1．【答案】（1）(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当1a =-时，不等式()2f x ≥可化为1212x x -+-≥， ①当12x ≤时，不等式为1122x x -+-≥，解得0x ≤； ②当112x <<时，不等式为1212x x -+-≥，无解； ③当1x ≥时，不等式为1212x x -+-≥，解得43x ≥，综上，原不等式的解集为(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭．（2）因为()2f x x ≤的解集包含13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为212x a x x ++-≤，即1x a +≤．解得11a x a --≤≤-+，由题意知314112a a -+≥⎧⎪--⎨≤⎪⎪⎪⎩，解得3124a -≤≤，所以实数a 的取值X 围是31,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 2．【答案】（1）15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()5,3-．【解析】（1）()1323f x x x a x =++-≤+，可转化为14223x x x ≥-≤+⎧⎨⎩或114223x x x -<<-≤+⎧⎨⎩或12423x x x ≤--≤+⎧⎨⎩，解得512x ≤≤或114x ≤<或无解，所以不等式的解集为15,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）依题意，问题等价于关于x 的不等式14x x a ++-<有解，即()min 14x x a ++-<，又111x x a x x a a ++-≥+-+=+，当()()10x x a +-≤时取等号．所以14a +<，解得53a -<<，所以实数a 的取值X 围是()5,3-．3．【答案】（1）0；（2）见解析．【解析】（1）原不等式等价于13415x x <--+≤⎧⎪⎨⎪⎩或123325x x -≤≤+≤⎧⎪⎨⎪⎩或2415x x >-≤⎧⎨⎩，解得113x -≤<-或113x -≤≤，即11x -≤≤，∴1a =-，1b =，∴0a b +=．（2）由（1）知410x y +-=，即41x y +=，且0x >，0y >，∴()1111441459x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫+=+=++=+++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当16x =，13y =时取“=”，∴9x y xy +≥．。

2019高考数学(理)冲刺大题提分(讲义+练习)大题精做17选修4-5：不等式选讲(理)

大题精做十选修4-5 :不等式选讲[2019长郡中学]已知函数f x j=x 2 .(1) 解不等式f x ^x 1 ；J4 1 (2) 已知 a b =2 a 0,b 0，求证： x -2.5 - f x 「【答案】（1）解集为fxx ：：:-3.5或x 0.5?；（2）见解析.【解析】（1） f x ］，4「x • 1，即为 x 2 x 1 4 ,该不等式等价于如下不等式组：2) 一2*1= x •一,x 2 —X -1 4A d所以 |x —2.5 ~f x -—'—.1) x ：：:-2 二 x ：：: -3.5 ,4 1.1a b <1^4 a b 2 a b 2 .41 号 f V 5 2 4 “5，1. [2019驻马店期末]已知函数f x =x・a|-|2x—1 a- R .(1) a 时，求不等式f x -2解集;(2)若f x <2x的解集包含I'3，求a的取值范围.2. [2019宜昌调研]设函数f ^x 1，3x-a .(1)当a =1时，解不等式f x <2x 3 ;(2)若关于x的不等式f x <4 2x-a有解，求实数a的取值范围.答案I 与懈析1.【答案】(1) -:：,o U 4, ；；(2) -3,4 .【解析】(1)当a=X 时，不等式f (x )32可化为X —1M 2X —1X 2，1① 当x _丄时，不等式为1 —X • 1 _2x _2，解得x _0 ；21② 当 x ：：:1时，不等式为1 -x • 2x _1 _2，无解；2③当―1时，不等式为x - 2x -2，解得x _4，综上，原不等式的解集为 - ：：,0 亠-(3 )(2)因为f x 乞2x 的解集包含1 , 3 12 4」 (3)4，解得-3兰a 兰1 ,仆1 2 4-a -1 - 2所以实数a 的取值范围是 2【答案】(1)4,|f x ：： 1( 1 * x """ 1 【解析】(1) f x =x 1 3x -^2x 3，可转化为 4x_^2x 3 或,4-2x<2x 3X "：： -1 5 1I 1 5 或j_2】4x <2x +3，解得1 %兰5或4兰x 灯或无解，所以不等式的解集为|-,-(2)依题意，问题等价于关于 x 的不等式x +1“x -a V4有解，即 x vH x -a min 4 ,又x *1鬥x _a 徉x 十1 _x +a 忖a 刿，当(x +1 [x _a )兰0时取等号. 所以|a +l|<4，解得k<aV3，所以实数a 的取值范围是(弋3).3.[答案】(1) 0; (2)见解析.，则不等式可化为|x ■ a ■ 2x _2x ，即x a -1 . -a 1 由题意知—1 _x ：：： —I 或—1 _x _1 , 3 3I 1 当且仅当x = - , y =-时取.x • y _9xy . 6 3【解析】（1）原不等式等价于1 1 X<- 兰x 兰2 \3 或彳3 -4x 1^5 3 2x _5、x 2 或 4x±5，解得 =1 a +b = 0(2) (1)知4x y -1 =0,即4x亠y =1,=丄1 =11 4x y =4x 1 4 丫_2 4x y 5 =9 , xy y x y x y x y x x _ -13)x 2 x 1 厂x 0.5，所以原不等式的解集为、x x ”一3.5或x .0.5』.(2) x -2.5 -f x ]=x-2.5 - x 2 - x -2.5-X-2 =4.5,3. [2019福建联考]已知不等式x-2 3x VS5的解集为b,b 1.(1)求a b的值；(2)若x 0 , y 0 , 4bx y a =0，求证x y -9xy .。

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