活用射影之比巧解圆锥曲线问题
高中数学圆锥曲线解题技巧_解题技巧
高中数学圆锥曲线解题技巧_解题技巧高中数学圆锥曲线解题技巧_解题技巧一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。
从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论(或问题)两个方面。
下面是小编分享给大家的高中数学圆锥曲线解题技巧，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线解题技巧常用的途径有(一)、充分联想回忆基本知识和题型：按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。
(二)、全方位、多角度分析题意：对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。
因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。
(三)恰当构造辅助元素：数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。
因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。
数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。
高中数学解题技巧所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。
简单化是熟悉化的补充和发挥。
一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。
因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。
解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。
1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。
圆锥曲线和射影几何
圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。
在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。
求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线21=x 上。
如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。
但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。
我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。
连BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。
如图1 连BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。
D证明： 对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线所以P ，Q ，M ，N 四点共线。
又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A的极线，即PQ 是A 的极线。
回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ，且FAGH为调与点列。
有了前面的铺垫再证例1就简单了。
证明： 过P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调与点列 因为A (-1,0),B (1,0),C (2,0)所以H （21,0）即P 在直线21=x 上关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。
高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 第一节 平行射影课前导引素材 新人教A版选修41
第一节平行射影
课前导引
情景导入
人的影子早上长,中午短,空中飘着的气球的影子有时是圆,有时是椭圆,引起这种现象的原因是什么呢?
知识预览
1.正射影
(1)点的正射影:给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A′,称A′为点A在平面α上的正射影.
(2)图形的正射影:一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正射影.
2.平行射影
(1)投影方向:设直线l与平面α相交,称直线l的方向为投影方向.
(2)点的平行射影:过A点作平行于l的直线必交α于一点A′,称A′点为A沿l的方向在平面α上的平行射影.
(3)图形的平行射影:一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形,叫做这个图形的平行射影.
3.图形的平行射影,可以抽象为射影平面α与以平行于射影方向l的直线为母线的柱体截面.
如圆柱的斜截面是椭圆,平行截面是圆.
1。
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析
高中数学解圆锥曲线方程的方法和实例分析解圆锥曲线方程是高中数学中的重要内容之一。
在本文中，我将介绍解圆锥曲线方程的方法和实例分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
圆锥曲线是平面上的一类特殊曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
解圆锥曲线方程的关键是确定曲线的形状和位置，以及找到曲线上的特殊点。
下面我将分别介绍解椭圆、双曲线和抛物线方程的方法，并通过具体题目进行分析。
一、解椭圆方程的方法和实例分析椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示椭圆的半长轴和半短轴。
解椭圆方程的关键是确定椭圆的半长轴和半短轴，以及椭圆的中心坐标。
我们可以通过以下步骤进行解题：1. 比较给定方程与一般方程的形式，确定$a$和$b$的值。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，比较可知$a=2$，$b=3$。
因此，椭圆的半长轴为2，半短轴为3。
2. 确定椭圆的中心坐标。
椭圆的中心坐标为$(h, k)$，其中$h$和$k$分别为椭圆在$x$轴和$y$轴上的坐标。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，可知椭圆的中心坐标为$(0, 0)$。
3. 确定椭圆的形状和位置。
$a>b$时，椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴；当$a<b$时，椭圆的长轴平行于$y$轴，短轴平行于$x$轴。
例如，给定方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$，由于$a=2>b=3$，所以椭圆的长轴平行于$x$轴，短轴平行于$y$轴。
通过以上步骤，我们可以得到椭圆的形状、位置和中心坐标。
进一步地，我们可以通过计算椭圆上的特殊点，如焦点、顶点等，来进一步分析和应用椭圆的性质。
二、解双曲线方程的方法和实例分析双曲线的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$为正实数，表示双曲线的半长轴和半短轴。
人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习解圆锥曲线问题的常见策略举隅
解圆锥曲线问题的常见策略举隅 河北 高志彬 解决圆锥曲线问题的方法很多，但细心归纳一下有如下六种常见策略。
策略一 活用定义法：在解题中若能正确和熟练掌握圆锥曲线的定义，对解决圆锥曲线问题是本分重要的，有时是十分简捷，能收到事半功倍的效果。
例1：已知F 是椭圆459522=+y x 的左焦点，P 是比椭圆上动点A （1，1）是一定点，求PF PA 23+的最小值，并求点P 的坐标。
解：如图，过P 向椭圆左准线作垂线， 垂足为Q ，由圆锥曲线第二定义知： 32==e PQ PF ∴PF PQ 23= 从而PQ PA PF PA +=+23 且当A 、P 、Q 共线时，PQ PA +最小，最小值为211129=+，此时P （)1,656。
策略二 数形结合法：方程与图形的结合应用。
这样可以扩大思维空间，使抽象问题形象性，从而找到一个更优的解题思路。
例2：椭圆14922=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是解 考虑∠F 1PF 2为直线情形，由于直径所对圆周角为直角，故作以F 1F 2为直径的辅助圆，易见当椭圆上的点P 位于此圆上时，∠F 1PF 2为 直角；当椭圆上的点P 位于此圆内时，则∠F 1PF 2为钝角。
由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+51492222y x y x 得，553,55321=-=x x ∴点P 的横坐标的取值范围为)553,553(- 策略三 设而不求法：在解决几何题时，把题目中某些相关的点的坐标先设出来，但在解题中并不求出它的具体性，只把它们作为解题过程中的“桥梁”，使问题快速获解例3：直线l 交椭圆1922=+y x 于M 、N 两点，交直线21-=x 于点P ，当点P 为MN 中点时，求直线的倾斜角a 的范围。
解 设M 、N 、P 的坐标分别为021********,1),,21(),,(),,(y y y x x y y x y x =+-=+- ∵点M 、N 在椭圆1922=+y x 上，∴9x 12+y 12=9 ①, 9x 22+y 22=9 ② x Q F 0 A P由①-②得 0))(())((921212121=-++-+y y y y x x x x 即 .0)(2)(921021=-+--y y y x x∵,0,021≠≠y x x ∴a y x x y y tan 2902121==--. ∵点P 在椭圆1922=+y x 内， ∴19)21(202<+-y ，即3233230<<-y ∴3tan -<a 或3tan >a 故直线l 的倾斜角a 的范围是⋃)2,3(ππ)32,2(ππ 策略四 平几法：根据圆形的特征，借助平几知识（如中位线，角的平分线性质等）进行求解。
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
解答圆锥曲线最值问题的几个“妙招”
圆锥曲线最值问题侧重于考查圆锥曲线的定义、几何性质、方程，以及直线与圆锥曲线的位置关系.圆锥曲线问题的命题形式较多，常见的有求某条线段的最值、图形面积的最值、参数的最值、离心率的最值、点到曲线的最小距离等.下面结合几道例题，来谈一谈解答此类问题的“妙招”.一、利用几何图形的性质圆锥曲线中的圆、直线、椭圆、双曲线、抛物线均为平面几何图形.在解答圆锥曲线最值问题时，可根据题意画出几何图形，并添加合适的辅助线，将问题看作平面几何问题，利用平面几何图形的性质，如圆锥曲线的几何性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，以及正余弦定理、勾股定理等来解题.例1.设F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆上存在一点Q ，使∠F 1QF 2=120°，求椭圆离心率e 的最小值.解：设P (x 1,y 1),F 1(-c ,0),F 2(c ,0),由椭圆的焦点弦公式得，|PF 1|=a +ex 1,|PF 2|=a -ex 1，在ΔPF 1F 2中，由余弦定理可得：cos 120°=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2|PF 1|∙|PF 2|=(a +ex 1)2+(a -ex 1)2-4c 22(a +ex 1)∙(a -ex 1)=-12，可得：x 1=4c 2-3a 2e 2，由椭圆的范围可知-a ≤x 1≤a ，可得0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，解得e =c a≥，即椭圆离心率的最小值为.解答本题，关键要抓住椭圆的几何性质：椭圆的范围为-a ≤x ≤a ，-b ≤y ≤b .在根据余弦定理和焦点弦公式求得x 1后，根据椭圆的范围建立关系式0≤4c 2-3a 2e2≤a 2，即可求得椭圆离心率的取值范围.例2.椭圆x 24+y 23=1的左焦点为F ，直线x =m与椭圆相交于A ,B 两点，当ΔFAB 的周长最大时，求ΔFAB 的面积.解：设椭圆的右焦点为E ，连接BE ，AE，如图所示.由椭圆的定义得：AF +AE =BF +BE =2a ，则C ΔFAB =AB +AF +BF =AB +(2a -AE )+(2a -BE )=4a +AB -AE -BE .在ΔAEB 中，AE +BE ≥AB ，所以AB -AE -BE ≤0，当AB 过点E 时取等号.所以AB +BF +AF =4a +AB -BE ≤4a ，即直线x =m 过椭圆的右焦点E 时，ΔFAB 的周长最大.将x =1代入椭圆x 24+y 23=1得y =±32，即AB =3.因此，当ΔFAB 的周长最大时，S ΔFAB =3.我们首先根据题意作图，并添加合适的辅助线，即可根据椭圆的定义建立线段AF 、AE 、BF 、BE 之间的几何关系；然后根据三角形的性质：两边之和大45。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影互动课堂学案
一平行射影互动课堂重难突破一、正射影1.一个图形F上的各点在平面α上的正射影也组成了一个图形F′,则图形F′称作图形F在平面α上的正射影.图3-1-1就是正射影的几个例子图3-1-12.一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关,如一条直线,当它和平面α垂直时,它在平面α上的射影是一个点;当它和平面α斜交时,它在平面α上的射影是一条直线;它和平面α平行时,它在平面α上的射影是一条与原直线平行的直线二、平行射影1.设直线l与平面α相交,把直线l的方向称为投影方向,过点A作平行于l的直线,与平面α交于点A′,那么把点A′称作点A沿直线l的方向在平面α上的平行射影.一个图形F上的各点在平面α上的平行射影也组成了一个图形F′,则图形F′称作图形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分,我们对此已经有了了解,如图3-1-2就是平行射影的具体实例图3-1-22.平行射影的性质(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线(3)平行于投射面的线段,它的射影与这条线段平行且等长(4)与投射面平行的平面图形,它的射影与这个图形全等(5)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比三、椭圆运输油制品的油罐、圆柱形容器倾斜后所盛液体的液面等,都给我们以椭圆的形象四、刨根问底问题1一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影是和原来的圆相同的圆,当圆所在的平面β与平面α不平行时,该圆在平面α上的正射影会是什么图形？如果β与α垂直,该圆在平面α上的正射影又会是什么图形？探究:一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面β与平面α不平行,从生活经验我们知道,正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等,但它也有一个特征,就是它到两个定点的距离相等,下一节还会讲到.如果圆所在的平面β与平面α是互相垂直的,那么该圆在平面α上的射影是一条线段.活学巧用【例1】一个圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是什么图形?当β与α不平行时,圆在α上的正射影是什么图形思路解析:依据正射影的概念,圆所在的平面β与平面α平行时,该圆在α上的正射影是圆,当β与α不平行时,圆在α上的正射影是椭圆答案:圆;椭圆.【例2】下列语句不正确的是(1)正射影是平行射影的特例(2)平行于投射面的线段,它的射影与这条线段平行且相等(3)在同一直线或平行直线上,两条线段平行射影的比等于这两条线段的比(4)两条相交直线的平行射影还是相交直线思路解析:要想澄清本例语句的正确与否,必须弄清正射影、平行射影以及平行射影的性质正射影是平行射影的特例,从而(1)正确;根据平行射影的性质,(2)是正确的;同样(3)也是平行射影的性质,因此也正确而(4)中,两条相交直线的平行射影是否是相交直线需分情况讨论:当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时,此两直线的平行投影仍是两条相交直线.故(4)不正确答案:(4)【例3】两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交,那它的形状是什么样子？同理,两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？答案:两条直线相交,可以确定一个平面,当投射线与两直线所确定的平面平行时,此两直线的平行投影是一条直线;当投射线与两直线确定的平面不平行时,此两直线的平行投影仍是两条相交直线,在考虑时一定要周全,避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理,可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影,当两条平行线与投射线平行时,它们的平行射影是两个点;当两条直线确定的平面与投射线平行时,它们的平行射影是一条直线;当两条直线确定的平面与投射线不平行时,它们的平行射影是两条平行直线.。
高中数学，不会解圆锥曲线怎么办？八个秒杀方法，教你“提分冲刺”
高中数学，不会解圆锥曲线怎么办？八个秒杀方法，教你“提
分冲刺”
高中数学中，圆锥曲线占19个知识点。
试卷中，会考察到一半以上的知识点，侧重对直线、圆、圆锥曲线知识点的考察。
题型相对稳定，一半是选填题2个，解答题一个，分值在22分左右。
难度不大，但会与其他知识点相联系，比如方程、不等式。
然而高中数学知识中，圆锥曲线是一部分比较难以吃透的知识，虽然学起来比较难，但同学们还是要牢牢地掌握住这部分的知识。
如果已经知晓这个结论，常规笨方法按部就班做出来可能需要5-8分钟，秒杀结论可以让你在一分钟之内得出答案，无疑为后面的大题争取更多做答时间，同时也为检查试卷争取了时间。
所以今天学姐就给同学们带来了解圆锥曲线问题常用的八种秒杀方法与七种常规题型。
希望能够帮助高中同学攻克这一章节的难点，直接秒杀所有难题！快速让你提分冲刺！。
圆锥曲线在射影定义下的类型判别
圆锥曲线在射影定义下的类型判别
射影定义是一种用于判断曲线是圆锥曲线还是椭圆曲线的方法。
它利用曲线在射影变换后
的形状来分辨它们。
首先，把曲线投射到不同的平面上，通过观察投射后曲线的形状，从
而决定它是圆锥曲线还是椭圆曲线。
为了定义圆锥曲线，必须将曲线投射到不同的平面上。
这些平面有三种，分别是X-Y平面，Y-Z平面和X-Z平面。
X-Y平面是投射曲线的最常用的一种，它可以看出曲线是一个椭圆，或者是圆锥曲线。
通过将曲线投射到X-Y平面，可以确定曲线的大致形状。
如果投射后的曲线是一个完整的
椭圆，则表明曲线为椭圆曲线；如果投射后的曲线不是一个完整的椭圆，则表明曲线是圆
锥曲线。
再从Y-Z平面上投射曲线，可以看出它的实际形状。
如果投射后的曲线是一个完整的椭圆，则表明曲线是椭圆曲线；如果投射后的曲线不是一个完整的椭圆，则表明曲线是圆锥曲线。
最后，从X-Z平面上投射曲线，可以确定曲线的拐角处的弧度。
如果投射后的曲线是一个
椭圆，则表明曲线是椭圆曲线；如果投射后的曲线是一个圆锥，则表明曲线是圆锥曲线。
因此，射影定义是用于判断曲线是椭圆曲线还是圆锥曲线的有效方法。
它可以通过将曲线
投射到不同的平面上，观察投射后的曲线的形状，从而确定曲线的类型。
射影定义不仅用
于判断曲线的类型，也可以用于研究曲线的几何特征，从而帮助我们更好地理解曲线的形
状和特性。
射影几何在圆锥曲线中的应用
射影几何在圆锥曲线中的应用。
射影几何在圆锥曲线中的应用一、引言射影几何是现代数学中的一个重要分支，它不仅在几何学中具有广泛的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等领域中发挥着重要作用。
而在圆锥曲线的研究中，射影几何更是扮演着关键的角色。
本文将探讨射影几何在圆锥曲线中的应用，深入剖析相关理论，并结合实际例子进行分析，帮助读者更全面地理解这一主题。
二、射影几何的基本概念射影几何是研究几何中不变性质的一门学科，它主要研究图形在投影变换下的性质。
在射影几何中，有一些基本概念需要了解。
首先是射影空间的概念，它是将n维欧氏空间中的点和直线扩充为射影空间中的点和超平面，从而使得无穷远处的点也有了几何意义。
其次是投影变换的概念，它将射影空间中的点投影到一个维数较低的子空间上，保持了射影空间中的同一直线上的点在投影后仍然在一条直线上。
还有射影几何中的几何元素，如点、直线、圆锥曲线等。
三、圆锥曲线的基本性质圆锥曲线是指平面上满足一般二次方程方程的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。
这三种曲线在几何上有着独特的性质，而射影几何恰好能够帮助我们更好地理解这些性质。
椭圆是一个闭曲线，它有两个焦点，而双曲线是一个开曲线，它有两个渐近线，抛物线则是一种特殊的双曲线。
在射影几何中，我们可以通过投影变换将椭圆、双曲线和抛物线转化为标准形式，从而更好地研究它们的性质和特点。
四、射影几何在圆锥曲线的研究中的应用在圆锥曲线的研究中，射影几何发挥着重要作用。
首先是通过射影几何的方法来研究圆锥曲线的渐近线和双曲线的渐近线的性质，可以更清晰地理解曲线的渐近线与离心率的关系。
其次是射影几何可以帮助我们更好地理解曲线的偏心率和焦点之间的关系，从而揭示曲线的几何本质。
射影几何还可以应用于圆锥曲线的投影性质和对偶性质的研究中，从而为曲线的相关性质提供更深入的理解。
五、射影几何在圆锥曲线的实际应用除了理论研究，射影几何在圆锥曲线的实际应用中也发挥着重要作用。
高中数学圆锥曲线题解题方法
高中数学圆锥曲线题解题方法圆锥曲线是高中数学中的重要内容，涉及到椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在解题过程中，我们需要掌握各种曲线的特点和性质，并且熟练运用相关的公式和定理。
本文将以具体的题目为例，介绍高中数学圆锥曲线题的解题方法和技巧。
一、椭圆题解题方法椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其特点是离心率小于1，呈现出闭合的形状。
在解椭圆题时，我们需要掌握以下几个关键点。
1. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e的计算公式为e = √(1 - b²/a²)，其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
3. 椭圆的焦点和准线椭圆的焦点是指离心率上的两个点，准线是指离心率上的两条直线。
椭圆的焦点和准线与椭圆的参数有一定的关系，可以通过参数的值来确定。
下面以一个具体的椭圆题目为例，说明解题方法。
【例题】已知椭圆C的标准方程为(x-2)²/9 + (y+1)²/4 = 1，求椭圆C的离心率、焦点和准线方程。
解题思路：1. 根据标准方程，可以得出椭圆C的长半轴为3，短半轴为2。
2. 利用离心率的计算公式，可以得出椭圆C的离心率为e = √(1 - 4/9) = √(5/9)。
3. 根据离心率的定义，可以得出椭圆C的焦点坐标为(F1,F2) = (2±3√5, -1)。
4. 利用焦点和准线的定义，可以得出椭圆C的准线方程为x = 2±3√5。
通过以上步骤，我们成功求解了椭圆C的离心率、焦点和准线方程。
在解题过程中，我们需要熟练掌握椭圆的标准方程和相关公式，以及灵活运用相关的定义和定理。
二、双曲线题解题方法双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其特点是离心率大于1，呈现出两支无限延伸的形状。
高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影课堂探究新人教A版选修4_1
一平行射影
课堂探究
探究一对平行射影的理解
图形的平行射影与两个因素有关：一个是投影方向，一个是投影平面．正确地理解平行射影的有关概念，是解决平行射影问题的关键．
【典型例题1】如图，点E，F分别为正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上)
解析：对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两个端点唯一确定，故考查四边形BFD1E的射影，只需同时考查点B，F，D1，E在各个面上的正射影即可．
四边形BFD1E在平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为图(2)；四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为图(3)．
答案：(2)(3)
点评判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的．
探究二平行射影的应用
对于一个图形在平面上的平行射影，要根据图形与平面的位置来决定平行射影是一个怎样的图形．
【典型例题2】在梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α内，则它在平面α上的平行射影是________．
思路分析：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向，则梯形ABCD在平面α上的平行射影是一条线段．
如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向，则平行线的平行射影仍是平行线，不平行
的线的平行射影仍不平行，则梯形ABCD在平面α上的平行射影仍是梯形．。
解圆锥曲线问题常用方法（2）
解圆锥曲线问题常⽤⽅法（2）解圆锥曲线问题常⽤⽅法（⼆）【学习要点】解圆锥曲线问题常⽤以下⽅法：4、数形结合法解析⼏何是代数与⼏何的⼀种统⼀，常要将代数的运算推理与⼏何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利⽤代数运算的严密性与⼏何论证的直观性，尤其是将某些代数式⼦利⽤其结构特征，想象为某些图形的⼏何意义⽽构图，⽤图形的性质来说明代数性质。
如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表⽰斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表⽰点P（x ，y ）到原点的距离；⼜如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表⽰点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率…… 5、参数法（1）点参数利⽤点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。
如x 轴上⼀动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上⼀动点P 。
除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1）（2）斜率为参数当直线过某⼀定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。
（3）⾓参数当研究有关转动的问题时，常设某⼀个⾓为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。
6、代⼊法这⾥所讲的“代⼊法”，主要是指条件的不同顺序的代⼊⽅法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）⽬标Q ”，⽅法1是将条件P 1代⼊条件P 2，⽅法2可将条件P 2代⼊条件P 1，⽅法3可将⽬标Q 以待定的形式进⾏假设，代⼊P 1,P 2,这就是待定法。
不同的代⼊⽅法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代⼊法。
【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任⼀点，求S=136422+-++b a b a 的最⼩值。
分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最⼩值即Q 到此直线的距离∴S min5535|1322|=-?+- 点评：此题也可⽤代⼊消元的⽅法转化为⼆次函数的最⼩值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是⼀个⼀元⼆次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上⼀动点，求xy的最值。
圆锥曲线与射影几何
圆锥曲线与射影几何------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx圆锥曲线与射影几何射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。
在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。
例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。
求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线21=x 上。
如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。
但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。
我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。
我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成：有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。
连BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。
如图1连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ是A点的极线。
D证明：对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得：DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线 所以P ，Q ，M ，N 四点共线。
又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即PQ 是A 的极线。
回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ，且FAGH 为调和点列。
射影几何在高中圆锥曲线问题中的应用
射影几何在高中圆锥曲线问题中的应用
射影几何是一种用来描述平面与立体图形的关系的几何学分支，在高中数学课程中，常常用来解决圆锥曲线问题。
在解决圆锥曲线问题时，可以利用射影几何的方法来求解。
具体来说，可以将圆锥曲线的模型投影到平面上，利用平面几何的知识来求解问题。
例如，在求解圆锥截面积的问题时，可以将圆锥投影到平面上，然后利用平面图形的面积公式来求解。
在求解圆锥曲线的对称轴方向的截面积时，可以将圆锥投影到平面上，然后利用平面图形的对称性来求解。
总的来说，射影几何在解决圆锥曲线问题时，可以将复杂的立体图形投影到平面上，利用平面几何的知识来求解问题，具有较高的效率。
球的点射影与圆锥曲线
问题 38 该问题收稿 32 篇. 来稿指
出该题是一道错题的作者是 :湖北房县一中 宁永明 、四川沪州高中税洪 、浙江绍兴柯桥中 学单文海 、四川达县县委党校王善鑫 、陕西城 因师范学校刘长林 、湖南慈利县一呜实验中 学朱立新 、广西玉林第三中学陈富烈 、山东莱 阳第六中学接铭伟 、江苏盐城师院附中曹大 方 、宁波李惠利中学郑吉安 、江苏灌云县杨集 中学黄彩仁 、江苏张家港市暨阳高级中学罗 建宇 、吉林市第一中学魏泽夫 、江苏扬州市公 道中学许兴震 、何长林 、连云港市东方中学王 家年 、浙江上塘中学陈重阳 、湖北沙市第七中 学郭松 、湖北十堰郧阳中学邹本俭 、湖北竹溪 一中甘志国 、湖南永州市教科中学唐昌德 、湖 北宜昌市兴山一中高昌胜 、潘秀功. 该题错因 是满足题设的 f 是一多值函数. 这与中学函 数的定义不相符.
收稿日期 :2003 - 07 - 08 作者简介 :上官博文 (1969 —) ,男 ,陕西乾县人 ,陕西乾县一中一级教师 ,学士.
2003 年第 23 期 数 学 通 讯
23
令圆 锥 曲 面 顶 点 为 S , 母 线 为 A A′, 轴 为 OO′, A A′与 OO′成角θ0 ,面α与 OO′成角为 θ,面 α不过顶点 S . 用 α面截该圆锥曲面.
<1;
③θ=θ0 时 , PPPM′= 1 ,影子为抛物线 ;
④θ= 0
时,
PM PQ
=
1 co sθ0
> 1 ,影子为双
曲线一支.
同时 ,可得 : M 为焦点之一 ,交线 l 为 M
所对应准线
,离心率为
e
=
co sθ co sθ0
.
图 4 当θ= 0 时 图 5 当θ=θ0 时
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Ｉ Ｄ Ｇ Ｉ ｝ Ｃ Ｇ ｌ ‘
… … … ＝ ．
△Ｂ ｃ Ｇ．
例２ （ ２ ０ １ ５ 年 高考数 学浙 江卷理科 第 ５ 题 ）如 图 ２ ， 设抛物线 Ｙ ＝ ４ ｘ的 焦点 为 ，不 经过 焦 点 的直线 上 有
Ｉ ¨Ｊ
，设 Ａ ， Ｙ ． ） ，瞰 ： ， Ｙ ： ） ， （ 其 中， 为线
１ ０ｌ
则ｌ ａ ｂ ｌ ＝ 廊
一 Ｉ ＝
再 由 同角三 角 函数 基本 关 系式 ，得
ｓ ｉ ｎ
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… ・ 知
删 ｌ ｆ ＝ 南 ・ ，Ｉ ｃ ｏ ｓ ０ ２ １ √ １ ＋ ２ 志ｋ √ １ ＋ ２ ・
Ｉ Ａ Ｂ ｌ — Ｉ ｊ Ｉ Ａ Ｂ Ｉ ，Ｊ Ａ Ｂ Ｊ
一
Ｉ ｃ ｏ Ｉ ｌ Ｃ Ｄ ｌ ’Ｉ ｃ Ｄ Ｉ Ｉ Ｃ Ｄ Ｉ ’
另外 ，利用结论 ２ ，结合 根与系数 的关系 ，可 以 从射 影 的角 度 理 解并 优 化 两 点 间距 离 公 式 的应 用 ．设
二７ 欠 方程 ＋ ＋ ｃ ＝ ０ 的两根为 ． ， ， 借助根与系
推论 １ ：在 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，若 ｌ Ｉ ＝ ｌ ｋ Ｉ ，则 Ｉ ａ ｓ ｌ Ｉ Ａ Ｂ ｌ Ｉ Ｂ ｌ ，Ｉ Ａ Ｂ Ｉ Ｉ ｃ ｏ ｌ ｌ Ｃ Ｄ ｌ ’Ｉ ｃ ｏ １ Ｉ Ｃ Ｄ Ｉ ’
一
一
，
推论 ２ ：在 坐 标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，若 Ｉ ｋ ｌ ｋ ： ｌ ＝ １，则
解 题 研 究》
Ｊ ＿ 。 ｊ 薯 ＝ ｉ ＝ ｊ ． ｊ … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
一
（ Ａ ）
（ Ｂ ） 主 （ ｃ ） ３ （ Ｄ ） ２
Ｐ ｛
～
轴上的射影可视为线段 Ｆ Ｄ和
线段 Ｅ Ｑ．
图１
由
，得
＝
＝ Ｇ
Ｃ
／
ｊ
利用推论１ ， 得Ｉ Ｆ Ｄ Ｉ ＝ ４ １ Ｅ ｅ ｌ ＝ ４ １ Ｆ Ｑ Ｉ ，
所以Ｉ Ｆ Ｑ Ｉ ＝ Ｉ 肋Ｉ ＝ ３ ．
＝
，
收 稿 日期 ：２ ０ １ ６ —０ ７ —０ ９
作者简介 ：张生 （ １ ９ ８ １ － ） ，男，中学一级教 师，主要从 事高 中 数 学教 学研 究
圄崆பைடு நூலகம்
２ 。 期
《解 题 研 究
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …
例 题 给 出这 一 方 法 的 具 体 应 用 ．
即 ＝ 藤
陋 可证 ＝ Ｉ ａ ｓ Ｉ Ｉ ｃ Ｄ Ｉ ～ ’
关键 词 ：射 影之 比 ；圆锥 曲 线 ；数 形 结合
Ｉ Ａ Ｂ ｌ 一匿
Ｉ ｃ Ｄ Ｉ√ １ ＋ ｋ
． Ｉ Ａ ｌ
ｌ Ｃ Ｄ ｌ‘
实 际 上 ，结 论 ２ 是 一 般 化 的 形 式 ，当直 线 的倾 斜 角或斜率满足一定 的条件时 ，由结论 ２ 可以得 到两个 更 为常 用 的推论 ．
√１ ＋ ： ‘ ｌ ｃ Ｄ Ｉ ～ 。
证 明 ：设 直线 ｌ 的倾 斜 角 为 ０ ，直 线 ｌ ： 的倾 斜 角
为０ ２ ，则 有 ｋ ｌ ＝ｔ ａ ｎ ０ ｌ ，ｋ ２ ＝ ｔ ａ ｎ ０ ２ ．
］ ｋ ２ ２ ＂ ￣ ｋ ｌ ２ ｋ ２ ２ ． ．
数的关系可得 ｌ 。 一 ｆ ＝
ｋ
段Ａ Ｂ所在 直 线 的斜 率 ） ，这 种公 式 形式 应 用 于 圆锥 曲 线 与直 线 的综合 问题 中 ，将 会优 化计 算过 程 ．
二、解题应 用
应用以上结论，给出近两年 ５ 道高考题的优化解法 ． 例 １ （ ２ ０ １ ４年 高 考 数 学 全 国 Ｉ卷 理 科 第 ｌ ０题 ） 已知抛 物线 Ｃ： Ｙ ＝８ ｘ 的焦点为 Ｆ，准线为 Ｚ ， Ｐ是 Ｚ 上
… … … …
摘 要 ：将 线段 长度之 比 转化 为 其 在 坐标 轴 上 的射
影 长度 之 比 ，利 用 比值 的 不 变性 ，给 出一类 圆锥 曲 线
问题 的新 的 解题 思路 ，既 能减 少运 算 量 ，又能培 养 学
生 的识 图能 力 与化 归与 转 化 思 想的 灵 活应 用 ，并 通过
ｊ Ｉ ｊ ｜ Ｙ
ｉ
点 ， Ｑ是直线 Ｐ Ｆ与 ｃ的一个 交点 ，若 － ｐ － ｐ＝ ４ ｆ － Ｑ， 点 的考 查 ，利用 定义 易得抛 物线 Ｅ的方程 为 Ｙ Ｌ４ ｘ． 第（ ２ ） 小 题综 合性 较 强 ，需 要充 分理 解 问题 ，再确 则Ｉ Ｑ Ｆ Ｉ 的值为 （ ） ． 定 解 题 过 程 ，想 要 证 明 “ 以 点 Ｆ为 圆心 且 与 直 线 相 切 的 圆 ，必 与 直 线 Ｇ Ｂ相 切 ”这 一 结果 ，则 必 须 证 ｙ 解 析 ：解 析 几何 问题 大部 分 明直 线 Ａ Ｇ和 直 线 Ｂ Ｇ关 于 轴 对 称 （ 这 一 点 需要 充 分 需要数形结合 ，所以要重视培养 识 图 ，也 可借 助解析 法求 出方 程再 ｅ ｅ ， Ｊ 断） ，或证 明点 Ｆ 学生规范作 图和充 分识 图的能力 ． 到两条 线 的距离 相等 （ 这一 点 多考虑解 析 法） ． ＿ ＿ ＿ 如图 ｌ ，因为 ＝ ４ ｆ Ｑ ，即 Ｅ ＿ － ｙ ＼ 如图 ３ ，过 点 Ａ作 准 线 的垂 Ｄ ／ Ｖ Ｐ＝ ， Ｄ Ｄ 线 交 准 线 于 点 Ｄ，过 点 作 准线 的垂线 交准 线 于点 Ｃ， 所 以线 段 和 线 段 Ｐ ｐ在