求解圆锥曲线的绝妙法-点差法
圆锥曲线点差法拓展的几个小结论,快速解题
点差法拓展的常考结论点差法拓展的结论有四个，但是推导的方法都是高度一致的。
如下结论1：如下图，直线l 为任意直线，与椭圆22221x y a b+=有两个交点A 、B ，M 为线段AB的中点，则有结论22OM ABb k k a=-推导：根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22OM AB b k k a =- 结论2：如下图，直线l 过原点，交椭圆22221x y a b+=于A 、B 两点，C 为椭圆上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=-推导：因为直线过原点，所以必有点A 和点B 关于原点对称，因为可设()11,A x y 和()11,B x y --，设()22,C x y则2221212122212121CA CBy y y y y y k k x x x x x x -+-==-+- 剩下的就跟结论1的推导一模一样的，如下又因为2211221x y a b +=和2222221x y a b +=，二者做差可得22221212220x x y y a b--+= 整理得2221222212y y b x x a-=--，即22CA CB b k k a =- 结论3：如下图，l 为任意直线，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，M 为AB 的中点，则有结论22OM ABb k k a=推导：与结论1的过程一样。
根据点差法，设()11,A x y 和()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭则2212121222121212OM ABy y y y y y k k x x x x x x +--==+-- 又因为2211221x y a b -=和2222221x y a b -=，二者做差可得22221212220x x y y a b---= 整理得2221222212y y b x x a-=-，即22OM AB b k k a = 结论4：如下图，直线l 过原点，交双曲线22221x y a b-=于A 、B 两点，点C 为双曲线上任意一点，则有结论22CA CBb k k a=推导：推导与结论2一样。
用点差法巧解圆锥曲线问题
用“点差法”巧解圆锥曲线问题江苏省高淳中等专业学校 喻国忠解析几何是高考的重点内容，而圆锥曲线又是解析几何的重点、难点知识。
这里面，直线与圆锥曲线的位置关系问题综合性强，涉及知识面较多，运算量大，题型灵活多变，常常是打击学生们学习兴趣的罪魁祸首。
直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题等，我们称之为圆锥曲线的“中点弦”问题。
解这类中点弦问题的常规做法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助根的判别式及韦达定理中根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算过程复杂，计算量偏大，解题效率低，尤其是对于基础较差、计算能力较弱的学生来说，很容易算错。
而使用“点差法”来进行求解中点弦问题，往往可以使解题过程化繁为简，优化解题过程，出奇制胜。
所谓“点差法”，就是在求解 “中点弦”问题时用到的一种“代点作差”的解题方法，其特点是代点作差后可巧代直线斜率和中点坐标，进而通过“设而不求”以达到减少计算量的目的。
使用“点差法”时，一般分三个步骤进行：设点、作差、检验。
下面试举几例，感受“点差法”在解题过程中的妙用。
例1．求以椭圆22185x y +=内的一点A(2,-1)为中点的弦所在的直线方程。
解法一：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则221(2)185y k x x y +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：222(85)16(21)8[(21)5]0k x k k x k +-+++-=12216(21)85k k x x k +∴+=+ ，A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，即216(21)=485k k k ++，54k ∴=，从而直线方程为54140x y --=。
解法二：当直线斜率不存在时，A 点不可能为弦的中点，故可设直线方程为1(2)y k x +=-，它与椭圆的交点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211222258405840x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (1)(2)，(2)(1)-得222221215()8()0x x y y -+-=， A 2-1又（，）MN 为弦的中点，124x x ∴+=，122y y +=-，2121205=164y y x x -∴=-，即54k =，从而直线方程为54140x y --=。
破解圆锥曲线解答题之定比点差法
破解圆锥曲线解答题之定比点差法
圆锥曲线展现一种对称和谐之美,这种美是杂乱中的秩序,是变化中的规律.圆锥曲线这类题目,是大多数高中生共同的恐惧如何拨云见日,在复杂的题目中找到破解方式,在繁琐的思路中揪出一条逻辑,定比点差是一种很好的解题方法。
设点设线成就了圆锥曲线的通解,极点极线造就了圆锥曲线的速解,定比点差规范了圆锥曲线的优解合理性的间述,规范性的证明，严谨的逻辑思维,简单的计算书写拥有强大的斜率处理方式后,换一种方式打开圆维曲线，一个小小的点竟然蕴蔽了如此大的威力。
在初中数学教学的过程中,教师应当关注学生解题思堆能力的培养使学生真正掌摇基本的解题方法和技巧，减少数学题目解题过程中的错误率,提高学生数学学习的兴趣.以常见的思维教学方式为基础，重点关注学生解题过程中的思维发故，使学生解题能力得到有效提高.。
高考数学点差法在圆锥曲线中的应用(解析版)
点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。
“点差法”解决圆锥曲线的中点弦问题
‘ ‘ 点茬法 ” 禳决圆锥曲线韵中 点弦 问题
韩 晓 刚 （ 山十 六 中 ， 北 唐 河
摘 要 ： 圆 锥 曲 线 的 弦 的 中点 有 关 的 问 题 。 们 称 之 为 与 我 圆锥 曲线 的 中 点 弦 问 题 涉 及 至 解 决 圆锥 曲 线 中 点 弦 的 问 ４ 题 ． 采 用 “ 差 法 ” 求 解 “ 差 法 ” 利 用 直 线 和 圆 锥 曲 常 点 来 点 是 线 的 两个 交 点 。把 交 点 代 入 圆 锥 曲 线 的 方 程 ．得 到 两 个 等 式 ． 式 相 减 ． 以得 到 一 个 与 弦 的 斜 率 及 中 点 相 关 的 式 子 两 可 （ 称 中点 和 斜 率 结 合 公 式 ） 再 结 合 已 知 条 件 ， 用 学 过 的 也 。 运 知 识 使 问题 得 到 解 决 。 当 题 目涉 及 弦 的 中 点 、 率 时 ． 般 斜 一 都 可 以 用 点 差 法 来 解 与 韦 达 定 理 法 纷 繁 冗 长 的 计 算 相 比 。 点 差 法 可 以 大 大 减 少 运 算 量 ． 化 解 题 过 程 ． 到 “ 而 不 优 达 设 求 ” 目的 本 文将 从 求 弦 的 斜 率 与 弦 的 中 点 问 题 、 弦 中 的 求 点 轨 迹 、 弦 的 垂 直 平 分 线 问 题 和 求 曲 线 的 方 程 四 个 方 面 举
ｍ则 肿 ＝ 。 ‘弦 中点 轨 迹 在 已 知 椭 圆 内 ， ｘ ｙ＋ ｙ ｋ ２， ０ ． ‘ 所 求 弦 中 点 的轨 迹 方 程 为 （ 已知 椭 圆 内 ） 在 变 式 １ 直 线 Ｚ似 一 一 ｏ ５ ： ０是 参 数 ） 抛 物 线 ｙ ： ： （＋ ） ０（ 与 ＝ （＋ ） 的 相 交 弦 是 Ａ 则 弦 Ａ 的 中 点 轨 迹 方 程 是 １２ Ｂ． Ｂ 。 过定 点弦 的中点轨迹 方程 ） 分 析 ： 线 Ｚａ － 一 ｎ ５ ＝ 方 程 中带 有 参 数 ０ 即 直 线 直 ：ｘ ｙ （＋ ）０， 。 是 过 定 点 的 直 线 还 要 注 意 弦 中点 轨 迹 在 已知 抛 物 线 内 ． 最 后 要 注 明 所 求 弦 中点 的 轨 迹 方 程 为 ｙ ２ ２７ 在 已 知 抛 物 线 ＝ ｘ— （ 内 ） 。 变 式 ２ 已 知 定 长 为 ０ ０ ） 线 段 ＡＢ 的 两 端 点 在 抛 ： （ ≥１ 的 物线 ｙ 上 移动 ， 动 弦 ＡＢ的 中点 Ⅳ 的轨 迹方程 。 （ 长 求 弦 为定 值的 弦的中点轨 迹方 程 ） 解 ： 两 端 点 坐 标 为 Ａ（ ， 曰（。Ｙ） 设 Ｙ ） ，２ ， 的 中 点 为 （ｏｙ） 则 ｌ ２２０ 因 两 端 点 在 抛 物 线 上 ， 以 ｙ １ Ｙ： Ｘ ｏ ， ＝ ｘ， 所 ｌ ２ ２ ，
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧
高中数学：求解圆锥曲线问题的方法和技巧圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。
熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。
例1. 已知点A（3，2），F（2，0），双曲线，P为双曲线上一点。
求的最小值。
解析：如图所示，双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知即点P到准线距离。
二. 引入参数，简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标系，设点F到准线的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为参数），而再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则消去t，得轨迹方程三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。
熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。
例3. 已知，且满足方程，又，求m范围。
解析：的几何意义为，曲线上的点与点（－3，－3）连线的斜率，如图所示四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
例4. 已知圆和直线的交点为P、Q，则的值为________。
解：五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
例5. 已知椭圆：，直线：，P是上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q在OP上且满足，当点P在上移动时，求点Q的轨迹方程。
分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。
解：如图，共线，设，，，则，点R在椭圆上，P点在直线上，即化简整理得点Q的轨迹方程为：（直线上方部分）六. 应用曲线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。
圆锥曲线专题点差法
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等 式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐 标
点差法在圆锥曲线 中的应用
适用范围：点差法适 用于求两条平行直线 间的距离
解题步骤：利用点差法 求出两条平行直线间的 中点坐标，然后利用距 离公式求出距离
注意事项：在应用点差 法求距离时，需要注意 平行直线的斜率相等， 并且中点坐标的求解要 准确
实例解析：通过具体实 例解析点差法在求距离 中的应用，并给出相应 的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
汇报人：XX
目录
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点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线 中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
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点差法的基本原理
点差法是一种通 过将两个相交曲 线的交点坐标代 入方程，然后相 减来消去变量， 简化计算的方法。
点差法适用于解 决与中点、斜率 等有关的圆锥曲 线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在 处理弦的斜率和 中点问题时非常 方便。
点差法的核心思想 是利用点差法公式 将两个交点的坐标 代入方程后相减， 得到一个关于斜率 的等式，从而解决 问题。
_点差法_解决圆锥曲线的中点弦问题
中来。 如我在教学《分数的基本性质》时，是这样导入的：唐僧师 话。 然后又让学生亲自验证，但验证的结果是：想唱歌的学生抽
徒走到半路上，口渴了，孙悟空摘了一个西瓜回来，把它平分成 到了跳舞，想跳舞的学生反而抽到了讲故事。 通过这样一系列
四块，一人一块，八戒大喊道：“猴哥，分给我太少了，我不干！ ” 的活动， 让学生真正体验到在现实生活中存在着不确定的现
第一个音符就准确、悦耳、动听。 ”新课的导入就好比演奏家定 乐！ 师：我想让大家通过抽签表演节目的形式为尚利明同学过
弦，音调定准了，就为整个演奏奠定了基础。 一堂课如果一开头 一次有意义的生日，你愿意吗？ 这时孩子们兴奋极了，个个脸上
就讲得索然无味，如同嚼蜡，学生就难以提高兴趣。 所以一定要 乐开了花。 随后我往讲台桌上放了 4 个签，并向学生介绍：有唱
据 题 意 ，a2=（y1y2）2+（x1x2）2=（x1-x2）2=（x12-x22）2-（x1-x2）2
=（x1-x2）2[（x1+x2）2+1]=[（x1+x2）2-4x1x2]·[（x1+x2）2+1]
=[（2x0）2-4（2x02-y0）][（2x0）2+1]=4（y0+x02）（1+4x02），所 求 动
悟空又切了两刀，把西瓜平均分成八块，拿给八戒两块，八戒笑 象，随后导入新课。 选择学生熟悉的事物组织教学，学生积极性
着说：“这还差不多，能多吃一块。 ”讲完后我问学生：“八戒多吃 高，课堂气氛活跃，效果显而易见。
了吗？ ”有的学生说多吃了，有的说没有。 我便及时导入：“今天，
四、通过动手操作，激发学生兴趣
可迎刃而解了。
二、求弦中点的轨迹方程
点差法计算方法
点差法计算方法解决圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是联立直线和圆锥曲线的方程，利用一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法来求解。
点差法是一种代点作差的方法，可以将直线和圆锥曲线的方程中的点代入并作差，从而得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以减少运算量。
对于以定点为中点的弦所在直线的方程，可以通过点差法来解决。
例如，在过椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分的问题中，设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，利用中点坐标公式可得到$x_1+x_2=4$和$y_1+y_2=2$。
由于A、B两点在椭圆上，因此$x_1+4y_1=16$和$x_2+4y_2=16$。
将这两个式子相减得到$(x_1-x_2)^2+4(y_1-y_2)^2=4$，因此$k_{AB}=-\frac{1}{2}$，所求直线的方程为$y-1=-(x-2)$，即$x+2y-4=0$。
对于探索性问题，如已知双曲线$x^2-y^2=1$，点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点，可以假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。
由于这是一道中点弦问题，可以考虑点差法或韦达定理。
假设存在被点M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)，则$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，$y_2=\frac{x_1-1}{x_2}$，$y_2=\frac{x_2+2}{x_1}$。
将这两个式子相减得到$2x^2-4x+3=0$，根据双曲线的方程$x^2-y^2=1$可知，直线AB与双曲线不相交，因此被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x,y)，则有：x = (x1 + x2)/2.y = (y1 + y2)/2又根据椭圆的性质可知，有：x1 - x2)^2/a^2 + (y1 - y2)^2/b^2 = 1又因为直线y = 3x - 2过点M，所以有：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x1 - x2)^2/a^2 + (9x1 - 9x2 + 4)^2/b^2 = 1将x带入直线方程，得到：y = 3x - 2将y带入椭圆方程，得到：x^2/25 + (3x - 2)^2/75 = 1化简得到：4x^2 - 12x + 7 = 0解得x = 1/2或x = 7/4当x = 1/2时，y = 3x - 2 = -3/2，此时P在椭圆上，Q不在椭圆上，不符合题意。
运用点差法解答圆锥曲线中点弦问题的步骤
思路探寻中点弦问题是指与圆锥曲线的弦的中点有关的问题.这类问题通常要求我们求弦的中点的坐标、弦所在直线的方程、圆锥曲线的方程，侧重于考查一元二次方程的根与系数的关系、线段中点的坐标公式、直线的斜率公式的应用，以及直线与圆锥曲线的位置关系.解答圆锥曲线中点弦问题，通常运用点差法.若直线与椭圆x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0）相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，且AB 的中点M (x 0,y 0)，运用点差法解答中点弦问题的步骤为：1.把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②；2.将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即()x1-x 2()x 1+x 2a 2+()y1-y 2()y 1+y 2b 2=1，可得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2(x 1+x 2y 1+y 2)=()-b 2a 2æèççççöø÷÷÷÷x 1+x 22y 1+y 22=()-b 2a2(x 0y 0)③；3.根据线段中点的坐标公式可得x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，将其代入③得y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a 2()x 0y 0，即为直线AB 的斜率.类似地，对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b2=1（a >b >0），运用点差法可得直线AB 的斜率k AB =()-a 2b 2()x 0y 0；对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()b 2a 2()x 0y 0；焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x2b2=1（a >0,b >0），由点差法可得直线AB 的斜率k AB =()a 2b 2()x 0y 0.利用点差法，由弦AB 所在直线的斜率和圆锥曲线的方程，可以得到弦AB 中点的横坐标x 0与纵坐标y 0之间的关系式.例1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为ìíîx =2cos θ,y =4sin θ,其中θ为参数，直线l 的参数方程为ìíîx =1+t cos θ,y =2+t sin θ,其中t 为参数.若曲线C 截直线l 所得线段的中点为（1，2），求直线l 的斜率.解：由ìíîïïïïx2=cos θ,y 4=sin θ,可得曲线C 的直角坐标方程是y 216+x 24=1，当直线l 的倾斜角θ≠π2时，由ìíîx -1=t cos θ,y -2=t sin θ,得y -2x -1=tan θ，则直线l 的直角坐标方程是y =x tan θ+2-tan θ.当直线l 的倾斜角θ=π2时，直线l 的斜率不存在，其方程是x =1，设直线l 与曲线C 相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，2），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=4，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得x 1216+y 124=1①，x 2216+y 224=1②，将①②两式作差得x 12-x 2216+y 12-y 224=1，可得直线l 的斜率k AB=()-164()x 1+x 2y 1+y 2=()-164×()12=-2.运用点差法，由弦的中点坐标和曲线的方程，可以直接通过整体代换，快速求得弦所在直线的斜率，这样可以大大减少运算量.例2.已知双曲线x 2-y 22=1，那么过点P (1，1)能否45思路探寻作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB的中点.解：设直线l 与双曲线相交于点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，因为AB 的中点的坐标为（1，1），所以x 1+x 22=2，y 1+y 22=2，把A 、B 两点的坐标代入双曲线的方程，得x 12+y 122=1①，x 22+y 222=1②，将①②两式作差得()x 12-x 22+y 12-y 222=1，可得k AB =2()x 1+x 2y 1+y 2=2.得直线l 的方程为y -1=2(x -1)，即y =2x -1.联立直线与双曲线的方程，得ìíîïïy =2x -1,x 2-y 22=1,消去y ，得2x 2-4x +3=0，所以△=16-24=-8<0，则方程无解.所以直线l ：y =2x -1与双曲线x 2-y 22=1相离，故不存在直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.本题涉及了双曲线的弦、中点，属于中点弦问题，需运用点差法求解.将直线与双曲线的两个交点的坐标分别代入双曲线的方程中，并作差，从而求得弦所在直线的斜率和方程.最后还需构造出一元二次方程，根据方程的判别式来判断直线与双曲线是否有两个交点，检验所求的直线方程是否满足题意.例3.已知椭圆x 22+y 2=1上的两点A 、B 关于直线y =mx +12对称，求实数m 的取值范围.解：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程，得x 122+y 12=1①，x 222+y 22=1②，将①②两式作差得()x12-x 222+()y 12-y 22=1，可得-1m =()-12()x 1+x 2y 1+y 2.设弦AB 的中点M (x 0,y 0)，则y 0=mx 0+12③，可得-1m =(-12)(x 0y 0)④，由③④可得ìíîïïïïx 0=-1m,y 0=-12,即M (-1m ,-12)，因为弦AB 的中点M 必在椭圆内部，所以()-1m22+()-122<1,解得mm <由于A 、B 两点关于直线对称，所以A 、B 两点的中点在直线上.本题实质上是中点弦问题，需运用点差法求解.先将两点的坐标代入椭圆的方程中，并作差，即可求出直线的斜率；然后建立关于AB 中点坐标的方程组，求得中点的坐标；再将其代入椭圆的方程中，根据椭圆与点的位置关系，求得参数m 的取值范围.例4.已知直线AB 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1交于A 、B 两点，B 与B '关于原点O 对称，证明：直线AB 与直线AB '的斜率之积为定值.证明：设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，把A 、B 两点的坐标代入椭圆的方程中，得：x 12a 2+y 12b 2=1①，x 22a 2+y 22b2=1②，将①②两式作差，得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=1，即y 1-y 2x 1-x 2=()-b 2a2(x 1+x 2y 1+y 2)，变形得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2，而直线AB 的斜率为k AB =y 1-y 2x 1-x 2，直线AB '的斜率为k AB '=y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)，所以k AB ⋅k AB '=y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1-(-y 2)x 1-(-x 2)=-b 2a2.解答本题，需灵活运用点差法和直线的斜率公式，建立关于直线AB 和直线AB '的斜率的关系式，从而证明结论.运用点差法解题，只需通过简单的整体代换，即可求得直线的斜率、弦中点的坐标，这样可以有效地提升解题的效率.但是点差法的适用范围较窄，只适用于求解中点弦问题，且其中的x 1、x 2、y 1、y 2不一定是实数，有可能是虚数，因此在运用点差法解题时，还需检验所得的结果是否满足题意.（作者单位：陕西省宝鸡市岐山县蔡家坡高级中学）46。
【圆锥曲线】--点差法
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
(特点：“设而不求”)一、 以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
四、 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、 注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
点差法巧解圆锥曲线
y y 2点差法巧解圆锥曲线高中部 周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差， 求出直线的斜率， 然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。
点差法在解决特定问题时， 可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。
例 1：过点P 4,1 作抛物线 y 28x 的弦 AB ，恰被点 P 平分， 求 AB 所在直线的方程 .解：法一、设AB 所在直线的方程为 y k x 4 1 k 0 ，y k x 4 12由2，消去 x 并整理，得 kyy8x8 y 32k 8 0 .8 设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 ，由根与系数的关系，得y 1 y 2，k又 P 是 AB 的中点，所以y 1 y 228 1 . 所以2kk 4 ，所以直线AB 的方程为 y 1 4 x 4 ，即 4 x y 15 0 .法二、设 A x 1 , y 1 ， B x 2 , y 2 2，则有 18 x 1 ， 2 8x 2 ， 两式相减，得y 1 y 2 y 1y 2 8 x 1x 2 ， 又 y 1 y 22 ，则 ky 2 y 1 x 2x 184 ， y 1y 2所以直线 AB 的方程为 y 1 4 x 4 ，即 4 x y 15 0 .通过例 1 可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最 终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。
例 1 比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。
例 2 ：已知椭圆C 的两个焦点分别为 F 1 1,0 ， F 2 1,0 ， M 是此椭圆上的一点，且xxyxyxxx y MF 1MF 2 ， MF 1 MF 28 .（1） ）求椭圆 C 的方程；（2） ）点 B 是椭圆 C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、 N 是椭圆 C 上不同于点 B的两点 .若MBN 的重心是椭圆 C 的右焦点，求直线 MN 的方程 .x2y2y解：（ 1 ）解答过程略，椭圆C 的方程为15 4B（ 2 ）设 M x 1 , y 1 ， N x 2 , y 2 ，由（ 1 ）知B 0,2 ，xNM因为 F 2 1,0 是MBN 的重心，故各点坐标满足x 1 x 2 0 1 3y 1y 2 23x 1 x 2 y 1y 23，故 M 、 N 中点坐标为23, 1 ， 22M 、 N 在椭圆上应满足152 2 11 ，2452 21 ，两式相减得4x 1 x 2 x 1x 2 5y 1 y 2 y 1y 240 ky 1 y 2 x 1x 24 x 1 x 2 6 ，5 y 1y 2 5所以直线 MN 的方程为 y16 x53 ，即 6x 25 y 14 0 .例 2 第二问的重点在于对重心的理解以及重心坐标公式的应用， 利用重心求出弦MN 的中点坐标，再利用点差法即可求出直线方程，简化了大量的计算。
圆锥曲线技巧--点差法
x12 4 x22
4
y12 2 y22 2
1 1
两式相减得
x12
x22 4
＝
y2
2
y2
，即
y1 y2 x1 x2
1
＝
2
×
x1 y1
x2 y2
.
又线段
AB
的中点坐标是
1 2
,
1
，因此
x1＋x2＝1，y1＋y2＝（－1）×2＝－2，
所以
y1 x1
y2 x2
＝－
1 4
，即直线
AB
技巧 1 点差法在椭圆在的应用
【例 1】（1）（2020·全国高三专题练习）直线 y kx 1与椭圆 x2 y2 1相交于 A, B 两点，若 AB 中 4
点的横坐标为1，则 k =（ ）
A． 2
B． 1
C． 1 2
D．1
(2)2．（2020·高密市教育科学研究院高三其他模拟）已知椭圆
G
则 x1 x2 2x0 ， y1 y2 2 y0 .
因为 A ， B 两点在椭圆上，所以 x12
y12 4
1， x22
y22 4
1.
两式相减得：
x12
x22
1 4
y12 y22
0，
x1
x2
x1
x2
1 4
y1
y2
y1
y2
0
，
2 x0
x1
x2
1 2
y0
y1
y2
0，2
1 2
y0 y1 x0 x1
（3）．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））已知斜率为 k1
k1 0
圆锥曲线的常用解法：点差法、联立消元法
圆锥曲线的常用解法：点差法、联立消元法
圆锥曲线的常用解法：点差法、联立消元法
运用点差法解决中点弦问题，利用韦达定理、设而不求方法和整体思想设计合理的计算程序，化简计算，准确求解，运算是解析几何学习中的难点，平时必须认真训练、仔细体会算理和初步掌握一些运算技巧，提高运算的速度和准备读，有很多讲技巧秒杀的内容，大家不要过于依赖，掌握问题本质，把握思想，让解题变得富有灵魂、更有魅力。
三种方法各有特色，所以做题时注意灵活运用，点差法在弦的
斜率问题中普遍应用；其次运用类比思想，得到参数间的关系，抓住关键点，找几何关系也是尤其重要，更要重视数学思想、方法进行归纳提炼，以达到优化解题思路，简化解题过程
的目的。
解析几何题不少以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线和圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就能简化运算。
高考数学圆锥曲线解题方法之点差法
高考数学圆锥曲线解题方法之点差法点差法概念 若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点,A B ，一般地，首先设出1122(,),(,)A x y B x y ，代入曲线方程，通过作差，构造出12121212,,,x x y y x x y y ++--，从而建立中点坐标和斜率的关系。
这是涉及圆锥曲线中弦的中点和弦的斜率的相关问题中常用到的一种方法。
举例强化已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b+=>>内有一定点()1,1P ，过点P 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆Γ交 于A 、C 和B 、D 两点，且满足AP PC λ=u u u r u u u r ，BP PD λ=u u u r u u u r ，若λ变化时，直线CD 的斜率总为14-。
（1）设AB 的中点为M ，CD 的中点为N ，求证：MN 过P 点，且MN 过O 点；（2）求椭圆Γ的离心率。
证明：延长MP 交CD 于1N 点。
由AP PC λ=u u u r u u u r ，BP PD λ=u u u r u u u r 知，//AB CD ，ABP CDP V :V ，AP AB AM PC CD CN== 另外1AMP CN P V :V ，1AP AM PC CN =，所以1N 与N 重合，即MN 过P 点。
由2211222222212121212121222222222210()()()()1x y x x y y a a b x x x x y y y y a b b x y a b ⎧+=⎪--⎪⇒+=⇒+-=-+-⎨⎪+=⎪⎩ 设00(,)M x y ，20121200201212212x x x y y a t y x y y y b x x t +-==-⋅=⇒=+- 即M 点在直线1y x t =上，同理N 点也在直线1y x t=上，所以直线MN 过原点O 。
因为本题已知直线AB 的斜率是14-，,,,M O P N 四点共线， 所以2212221211(),14PO y y a a t k b x x b t-=-⋅=-⋅-==-，得22222334,1,4a b e e b a ==-==。
点差法公式.
点差法通用公式为a²ky+b²x=0，该公式可适用于椭圆类题目。
点差法公式是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
点差法不等价性注意事项：
另需注意点差法的不等价性,在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系，只有Δ>0，直线才是存在的，而常见题型有求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题。
点差法公式本质两平行方程的变形，如对椭圆：
x1^2+y1^2=1...1,x2^2+y2^2=1...2,一式减二式，变形得：
(y1-y2)/(x1-x2)=-b^2（x1+x2)/a^2（y1+y2),即斜率
k=-b^2(x1+x2)/a^2(y1+y2）=-b^2x*/a^2y*,（设x*,y*为中点）。
浅析“点差法”在圆锥曲线中的应用
教学篇•方法展示一、点差法在椭圆中的应用例1.已知点P （4，2）是直线l ：x +2y -8=0被焦点在x 轴上的椭圆所截得的线段的中点，求该椭圆的离心率。
解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1（a >b >0），直线x +2y -8=0与椭圆交于A ，B 两点，且A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐。
两式相减，得（x 1-x 2）（x 1+x 2）a 2+（y 1-y 2）（y 1+y 2）b 2=0，即y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2x 1+x 2y 1+y 2。
因为k AB =-12，AB 中点为（x 0，y 0），x 0=4，y 0=2，所以-12=-2b 2a2，即a 2=4b 2。
所以该椭圆的离心率为e =1-b 2a 2√=3√2。
点评：本题在利用“点差法”解决中点弦问题时，运用“设而不求”的方式，降低解题的运算量，优化解题过程，此为本题的亮点一。
亮点二：通过“点差法”建立直线的斜率与弦中点的联系，消去未知量，从而求解。
二、点差法在双曲线中的应用例2.已知双曲线C :2x 2-y 2=2与点P （1，2）。
（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？解：（1）直线l 的方程为y -2=k （x -1），即y =kx +2-k 。
由y =kx +2-k2x 2-y 2=2{，得（k 2-2）x 2-2（k 2-2k ）x +k 2-4k +6=0。
因为直线l 与C 有两个公共点，所以得k 2-2≠0Δ=4（k 2-2k ）2-4（k 2-2）（k 2-4k +6）>0{解之得：k <32且k ≠±2√，∴k 的取值范围是（-∞，-2√）∪（-2√，2√）∪（2√，32）。
高考专题——点差法在圆锥曲线中的应用
高考专题——点差法在圆锥曲线中的应用
圆锥曲线在高考中的地位是不言而喻的,而与椭圆弦的中点相关的问题，即中点弦问题是高考的热点，而点差法在解决中点弦问题的时候往往有不错的效果，这次我们就专门就点差法和大家一起来进行复习。
其他有关圆锥曲线的总结，可查阅我的头条号。
点差法：当一条直线与圆锥曲线相交，会产生两个交点，我们将这两个点的坐标(一般是设而不求)带入圆锥曲线方程，并将两个方程做差，可以得到直线的斜率和弦的中点的斜率关系。
中点弦斜率公式
一、点差法解决中点弦轨迹问题
二、点差法解决相交弦中点轨迹问题
三、点差法求曲线轨迹方程
真题巩固
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圆锥曲线的定点定值、开放问题，必须提醒“点差法”具有不等价性
圆锥曲线的定点定值、开放问题，必须提醒“点差法”具有不等价性【考点聚焦突破】考点一定点问题【规律方法】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.考点二定值问题【规律方法】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)两大解法：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②引起变量法：其解题流程为考点三开放问题【规律方法】此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.【反思与感悟】1.有关弦的三个问题(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；(2)涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；(3)涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.2.求解与弦有关问题的两种方法(1)方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元(x或y)成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.(2)点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数.【易错防范】1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系、特殊位置的应用.3.解决定值、定点问题，不要忘记特值法.。
点差法
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代),(11y x A ),(22y x B 入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以AB 大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线141622=+y x )1,2(M M 的方程。
解：设直线与椭圆的交点为、),(11y x A ),(22y x B 为的中点 Q )1,2(M AB ∴421=+x x 221=+y y 又、两点在椭圆上，则，Q A B 1642121=+y x 1642222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴21244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y 即，故所求直线的方程为，即。
21-=AB k )2(211--=-x y 042=-+y x 例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、1222=-y x )1,1(M l l A ，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说B M AB l 明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设存在被点平分的弦，且、M AB ),(11y x A ),(22y x B 则，221=+x x 221=+y y ，122121=-y x 122222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由 消去，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-12)1(2122y x x y y 03422=+-x x ∴08324)4(2<-=⨯⨯--=∆这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。