总体均数的区间估计和假设检验

第二节 t 分布
一、t 分布的概念
t分布于1908年由英国统计学家 W.S.Gosset以“Student”笔名发表， 故又称“Student t”分布
正态变量X采用u＝(X－μ)/σ变换，则一般的
正态分布N (μ,σ)即变换为标准正态分布N
(0,1)。
又因从正态总体抽取的样本均数服从正态分布
统计推断(statistical inference) ：根据样本信息 来推论总体特征。
均数的抽样误差 ：由抽样引起的样本均数与总体 均数的差异称为均数的抽样误差。
标准误(standard error)：反映均数抽样误差大 小的指标。
Population
μ
sample1 sample2 sample3 sample4
99%的可信区间为 143.07±2.58×0.52, 即 （141.73，144.41）。
注意点
➢ 标准误愈小，估计总体均数可信区间的范围也愈 窄，说明样本均数与总体均数愈接近，对总体均 数的估计也愈精确；
➢ 反之，标准误愈大，估计总体均数可信区间的范 围也愈宽，说明样本均数距总体均数愈远，对总 体均数的估计也愈差。
➢ 1-α（如95％）可信区间的含义是：总体均数 被包含在该区间内的可能性是1-α，即（95 ％），没有被包含的可能性为α，即（5％）。
总体均数的可信区间的计算
1.未知σ且n较小(n<100) 按t分布的原理
2.已知σ或σ 未知但n较 大(n≥100) 按u分布的
原理
X t , S X X u S X
标 准 差（S）
标 准 误( S ) X
1.表示个体变量值的变异度大小，即原始变量值的
1.表示样本均数抽样误差的大小，即样本均数的离散程
离散程度。公式为： S (X X )2 n 1
第3章 总体均数的区间估计 和假设检验
目录
第一节 均数的抽样误差与标准误 第二节 t 分布 第三节 总体均数的区间估计 第四节 假设检验的意义和基本步骤
第五节 均数的 u 检验 第六节 均数的 t 检验 第七节 两总体方差的齐性检验和t＇检验 第八节 Ⅰ型错误和Ⅱ型错误 第九节 应用假设检验应注意的问题
❖ t分布曲线随自由度υ而变化，当样本含量越小
（严格地说是自由度υ =n-1越小），t分布与u分
布差别越大；当逐渐增大时，t分布逐渐逼近于u
分布，当υ =∞时，t分布就完全成正态分布。
❖ t分布曲线是一簇曲线，而不是一条曲线。 ❖ T界值表。
t 分布示意图
t分布曲线下双侧或单侧尾部合计面积
我们常把自由度为υ的t分布曲线下
学习要求
掌握：抽样误差的概念和计算方法 掌握：总体均数区间的概念，意义和计算方法 掌握：假设检验的基本步骤及思路 掌握：u检验和t检验的概念，意义，应用条件和计
算方法 熟悉：第一类错误和第二类错误的概念和意义 熟悉：假设检验的注意问题
第一节 均数的抽样误差与标准误
一、标准误的意义及其计算
N(μ, ),同样可作正态变量的u变换,即
X X
u
X
n
❖ 实际工作中由于理论的标准误往往未
知，而用样本的标准误作为的估计值，
此时就不是u变换而是t变换了，即下式：
t X X
t分布曲线是单峰分布，以0为中心，左右两侧对
称，
❖ 曲线的中间比标准正态曲线（u分布曲线）低，两 侧翘得比标准正态曲线略高。
成正比，与标准误成反比。
❖ 在t分布中│t│值越大，其两侧或单
侧以外的面积所占曲线下总面积的比重就
越小 ，说明在抽样中获得此│t│值以及 更大│t│值的机会就越小，这种机会的 大小是用概率P来表示的。
❖ │t│值越大，则P值越小；反之， │t│值越小，P值越大。根据上述的意义， 在同一自由度下，│t│≥ tα ，则P≤ α ； 反之，│t│＜tα，则P＞α。
sample5
标准误计算公式
σ已知： σ未知：
X
n
S S
X
n
实例：如某年某市120名12岁健康男孩，
已求得均数为143.07cm，标准差为5.70cm，按
公式计算，则标准误为：
S 5.70 0.52 X 120
二、标准误的应用
1.表示抽样误差的大小 ； 2.进行总体均数的区间估计； 3.进行均数的假设检验等。
双侧尾部合计面积或单侧尾部面积为指
定值α时，则横轴上相应的t界值记为
tα,υ。
如当υ=20， α=0.05时，记为t0.05, 20；当υ
=据2α2，和υα值=，0.查01附时表，，记t为界t值0.0表1, 。22。对于tα, υ值，可根
❖ t分布是t检验的理论基础。由公式可 知，│t│值与样本均数和总体均数之差
例3.1 为了了解某地1岁婴儿的血红蛋白浓度，从 该地随机抽取了1岁婴儿25人，测得其血红蛋白的
平均数为123.7g/L，标准差为11.9g/L。试求该地1
岁婴儿的血红蛋白平均值95％的可信区间。
95%的可信区间为123.7±2.064×2.38，
即（118.79, 128.61）。故该地1岁婴儿血红
此法计算简便，但由于存在抽样误差，通 过样本均数不可能准确地估计出总体均数大小， 也无法确知总体均数的可靠程度。
二、区间估计
➢ 区间估计是按一定的概率（1-α）估计 包含总体均数可能的范围，该范围亦称 总体均数的可信区间（confidence interval，缩写为CI）。
➢1-α称为可信度，常取1-α为0.95和 0.99，即总体均数的95%可信区间和99% 可信区间。
第三节 总体均数的区间估计
参数估计:用样本指标（统计量）估 计总体指标（参数）称为参数估计。
估计总体均数的方法有两种，即： 点值估计（point estimation ） 区间估计（interval estimation）。
一、点值估计
点值估计：是直接用样本均数作 为总体均数的估计值。
蛋白平均值95％的可信区间为118.7～128.61
（g/L）。
例3.2 上述某市120名12岁健康男孩身高
均数为143.07cm，标准误为0.52cm，试估
计该市12岁康男孩身高均数95%和99%的可 信区间。
95%的可信区间为 143.07±1.96×0.52，即 （142.05，144.09）。