菱形的性质和判定
菱形的性质与判定
符号语言
∵在□ABCD中
AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
判定 对角线互相垂直
法二
的平行四边形是 菱形
判定
四边相等的四边 形是菱形
法三
A
D
O
BC
A
D
B
C
∵在□ABCD中
AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
方法总结: 四边形
一组邻边相等
平行四边形
菱形
对角线互相垂直
D
A
O
C
B
4、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分
别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积。
分析： S菱形ABCD 4SAOB
D
4 1 OA • OB A
O
C
2
4 1 1 AC • 1 BD B
22
2
S菱形ABCD
1 2
AC • BD
你有什么发现？
24
D
S菱形ABCD AB • DE
AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形。
命题：有四条边相等的四边形是菱形。
已知：在四边形ABCD
中,AB=BC=CD=DA.
求证证明：：四边形ABCD是菱形 D
C
∵AB=CD,AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AB=AD,
A
B
∴四边形ABCD是菱形
符号语言： ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形。
E是AB上一点，且AE=AC,EF∥BC,
EF交AD于点F.
A
求证：四边形CDEF是菱形。
E
F
B
DC
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
小学数学知识归纳菱形的性质与判定
小学数学知识归纳菱形的性质与判定小学数学知识归纳——菱形的性质与判定Introduction===================数学是小学学习的重要课程之一，其中数学几何是培养学生观察、推理和解决问题能力的重要内容。
而菱形作为几何形状之一，在小学数学中也有着重要的地位。
本文将归纳总结菱形的性质与判定，帮助小学生更好地理解和掌握菱形的相关知识。
一、菱形的定义===================菱形是指四条边长度相等的四边形，它具有以下特征：1. 四条边相等。
即菱形的AB = BC = CD = DA。
2. 两条对角线相等。
即菱形的AC = BD。
3. 对角线互相垂直。
即菱形的∠ACB = 90°。
二、菱形的性质===================了解菱形的性质对于解题和判定菱形非常重要。
以下是菱形的一些常见性质：1. 菱形的对角线平分内角。
对于菱形ABCD，其对角线AC和BD将菱形的内角∠BAD、∠ABC、∠BCD和∠CDA平分为两个相等的角。
2. 菱形的对角线互相垂直。
菱形的对角线AC和BD互相垂直，即∠ACB = 90°。
3. 菱形的对角线相互垂直时为正方形。
如果菱形的两条对角线互相垂直，即∠ACB = 90°，那么这个菱形就是一个正方形。
4. 菱形的内角和为360°。
菱形的四个内角之和等于360°，即∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA = 360°。
5. 菱形的对边平行。
菱形的相对边AB和CD平行，对边BC和DA平行。
三、菱形的判定===================在解题过程中，判定菱形有时很关键。
以下是一些常见的菱形判定条件：1. 判定边长相等。
如果一个四边形的四条边AB、BC、CD、DA长度相等（AB = BC = CD = DA），那么这个四边形就是一个菱形。
2. 判定对角线相等。
如果一个四边形的对角线AC和BD相等（AC = BD），那么这个四边形就是一个菱形。
菱形的性质
菱形的性质
一、菱形的性质
1、菱形具有平行四边形的一切性质；
2、菱形的四条边都相等；
3、菱形的对角线互相垂直平分且平分每一组对角；
4、菱形是轴对称图形，对称轴有2条，即两条对角线所在直线；
5、菱形是中心对称图形。
二、菱形的判定方法
1、在同一平面内，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3、四条边均相等的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直平分的四边形；
5、两条对角线分别平分每组对角的四边形；
6、有一对角线平分一个内角的平行四边形；
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法。
菱形的一条对角线必须与X轴平行，另一条对角线与Y轴平行。
不满足此条件的几何学菱形在计算机图形学上被视作一般四边形。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定菱形是一种具有特殊性质的四边形，它的对角线长度相等，且相交于垂直的交点。
在几何学中，我们可以通过一些准确的判定方法来确定一个四边形是否为菱形。
本文将介绍菱形的性质，并详细探讨判定菱形的几种方法。
一、菱形的性质1. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC=BD。
这是菱形的最基本特征。
2. 对角线相交垂直：菱形的两条对角线相交于一个垂直的交点。
换句话说，∠ACD和∠BCD是两条相交直线上的垂直角。
3. 对边平行：菱形的两对边互相平行，即AB║CD且AD║BC。
4. 具有四个等边角：菱形的四个内角均相等，每个角度为90度。
二、判定菱形的方法1. 利用对角线相等判定：如果一个四边形的两条对角线相等，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AC和BD的长度，如果AC=BD，那么我们可以确定该四边形是一个菱形。
2. 利用对边平行判定：如果一个四边形的两对边互相平行，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量AB、BC、CD、DA的长度，并检查相邻边是否平行。
如果AB║CD且AD║BC，那么可以确认该四边形是一个菱形。
3. 利用角度特征判定：如果一个四边形的四个内角均为90度，那么它就是一个菱形。
例如：已知一个四边形ABCD，我们可以测量∠ABC、∠BCD、∠CDA和∠DAB的度数，如果每个角度都等于90度，那么可以断定该四边形是一个菱形。
以上三种方法可以独立或结合使用，来判定一个四边形是否为菱形。
在实际问题中，根据提供的信息，我们可以选择最适合的方法进行判定。
值得注意的是，只满足菱形的一些性质，比如对角线相等，不一定就能判定一个四边形是菱形。
必须满足菱形的所有性质才能确定。
三、菱形的应用菱形在几何学中有很多应用，以下列举几个常见的应用：1. 菱形判断：在解决几何问题时，判定一个四边形是否为菱形可以帮助我们简化推理过程，节省解题时间。
2. 菱形面积计算：菱形的面积计算公式为S=a×b/2，其中a和b分别表示菱形的对角线长度。
菱形的性质与判定
B
D C
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°，点E、F同时由A、 C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止）， 点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三 角形，t的值为（ ）．
A. 1
B.
1 3
C.
1 2
D.
4 3
➢菱形+60°/120°+60°→全等三角形
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ADC=120°， ∠ EDF=60°，求EF的最小值。
➢将军饮马问题
变式：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，E为AD中点， P为对角线BD上一动点，连接PA和PE，求PA+PE的最小值。
A
D
B
C
E
➢等面积法
如图，已知菱形ABCD中的对角线AC、BD的长分别为
6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（
）．
A. 5 3cm
B. 2 5 cm
C.
48 5
cm
D.
24 5
cm
把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形， 将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正 方形，则图1中菱形的面积为________．
三、判定
思路一：平四→①边：邻边相等 ②线：对角线垂直
思路二：四边形→平四→菱形
思路三：四边形→菱形 ➢边：四条边都相等
➢线：对角线互相垂直平分
A B
D C
补充：中点四边形
对角线相等→菱形
对角线满足什么条件？→矩形、正方形
A
菱形的判定和性质
BCADO菱形的判定和性质一、基础知识一菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.. 二菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分;每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称三菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； 四菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算S=21底×高 2、用对角线计算面积的两对角线的积的一半 S=21ab二、例题讲解BCDE（A ） 一组对边相等;另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有 A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O;M 、N 分别是边AB 、AD 的中点;连接OM 、ON 、MN;则下列叙述正确的是A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图;在三角形ABC 中;AB ＞AC ;D 、E 分别是AB 、AC 上的点;△ADE 沿线段DE 翻折;使点A 落在边BC 上;记为A '．若四边形ADA E '是菱形;则下列说法正确的是A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABDEA '练习4：如图;下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③DBA NM O例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．练习1：如图;AD 是Rt △ABC 斜边上的高;BE 平分∠B 交AD 于G;交AC 于E;过E 作EF ⊥BC 于F;试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图;E 是菱形ABCD 边AD 的中点;EF ⊥AC 于点H;交CB 延长线于点F;交AB 于点G;求证：AB 与EF 互相平分.. ABCDA H GEDA B练习3：如图;在Rt △ABC 中;∠ACB ＝90°;∠BAC ＝60°;DE 垂直平分BC;垂足为D;交AB 于点E;又点F 在DE 的延长线上;且AF ＝CE;求证：四边形ACEF 是菱形..考点二：菱形的性质例1：如图;四边形ABCD 中;∠ADC ＝90°;AC ＝CB;E 、F 分别是AC 、AB 的中点;且∠DEA ＝∠ACB ＝45°;BG ⊥AE 于G;求证：1四边形AFGD 是菱形； 2若AC ＝BC ＝10;求菱形的面积..练习1：如图;在菱形ABCD 中;E 是AB 中点;且DE ⊥AB;AB ＝4; 求：1∠ABC 的度数； 2菱形ABCD 的面积.. FE DCBAED CBAGFED CBA例2 ：如图 5;ABCD 是菱形;对角线AC 与BD 相交于O ;306ACD BD ∠==°，． 1求证：△ABD 是正三角形； 2求 AC 的长结果可保留根号．练习1：若菱形的边长为1cm;其中一内角为60°;则它的面积为 A．2cm 2B2 C ．22cm D．2 练习2：若菱形的周长为16cm;两相邻角的度数之比是1：2;则菱形的面积是（A ） 4错误!cm B8错误!cm C16错误!cm D20错误!cm练习3：已知菱形的周长为96㎝;两个邻角的比是1︰2;这个菱形的较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝例3： 如图;将一个长为10cm;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmA BCDO DB A练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm;则菱形的周长是 A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm练习2：若菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC 于E;AE ＝1cm;则BC 的长是 A1cm B2cm C3cm D4cm练习3:若菱形周长为52cm;一条对角线长为10cm;则其面积为A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm 2例4:如图;菱形ABCD;E;F 分别是BC;CD 上的点;∠B ＝∠EAF ＝60°;∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数..练习1:如图;菱形ABCD 中;∠B ＝60°;AB ＝2;E 、F 分别是B C ．CD 的中点;连接AE 、EF 、AF ;则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3AD F CEBF D CB A EBCADO练习2：如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=°;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是_____________．练习3：如图所示;已知菱形ABCD 中;E 、F 分别在BC 和CD 上;且∠B=∠EAF=60°;∠BAE=15°; 求∠CEF 的度数..例5：如图;菱形ABCD 是边长为13cm;其中对角线AC=10cm; 求1菱形ABCD 的面积；2作BC 边上的高AH;求出AH 的长度BCADO练习1：如图;在菱形ABCD 中;∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2;周长是48cm ． 求：1两条对角线的长度； 2菱形的面积．例6： 已知：如图;在菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且CE=CF..过点C 作CG ∥EA 交AF 于H;交AD 于G;若∠BAE=25°;∠BCD=130°;求∠AHC 的度数..练习1： 如图所示;已知菱形ABCD 中E 在BC 上;且AB=AE;∠BAE=21∠EAD;AE 交BD 于M;试说明BE=AM..HGF EDC B A练习2：如图;菱形ABCD 的边长为2;BD ＝2;E 、F 分别是边AD ;CD 上的两个动点;且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状;并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ;求S 的取值范围．考点三：综合例1：如图;菱形111AB C D 的边长为1;160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ;以2AD 为一边;做第二个菱形222AB C D ;使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ;以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ;使360B ∠=；依此类推;这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．例2：菱形ABCD 的对角线交于O;AO=1;且∠ABC ∶∠BAD=1∶2;∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8;其中正确的有 A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③ 1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1 ABCDO例3：如图所示;在Rt ABC △中;90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上;再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． 1求证：四边形AFCD 是菱形；2连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形 为什么课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍;则它的一个较小内角的度数是 ..2、如图1;在菱形ABCD 中;AB = 5;∠BCD = 120°;则对 角线AC 等于 A ．20 B ．15 C ．10D ．53、菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC ;垂足为E ;AB ＝4cm ．那么;菱形ABCD 的面积是 ;对角线BD 的长是 ．ADFCEGBBACD114、如图;在菱形ABCD 中;∠A =110°;E ;F 分别是边AB 和BC 的中点;EP ⊥CD 于点P ;则∠FPC = A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°5、已知：如图;四边形ABCD 是菱形;过AB 的中点E 作AC 的垂线EF;交AD 于点M;交CD 的延长线于点F. 1求证：AM=DM ；2若DF =2;求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F MBADEP CB F。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定菱形的性质及判定知识点 A 要求 B 要求 Ｃ要求菱形 会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等． ③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．知识点睛 中考要求常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．例题精讲【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【巩固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCB A【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ） A ．35︒ B ．45︒ C ．50︒ D ．55︒图3E DP CFBA【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cm B ．220cm C ．240cm D ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD 于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置 ⑴画出平移后的三角形；⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2. 如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为课后练习EPDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4. 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FE DCBA5. 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6. 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应 的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA7. 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。
菱形的性质及判定
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．菱形的性质及判定图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为E FDBCA【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【例14】 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为DB【例19】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，若AE AF EF AB===，求C∠的度数．FEDCBA【例20】已知，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60B EAF∠=∠=︒，18BAE∠=︒．求：CEF∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．H F DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDC BA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGHGFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR =．SR QPH GOEFDCB A。
菱形的定义和性质
菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。
菱形的判定和性质
菱形的判定和性质
一个菱形是一种四边形，判定一个图形是菱形首先要看它是否是四边形，如果是，再看其形状是否是对称的，即四条边是否是相等，如果都相等，则这个图形就是一个菱形。
菱形性质：菱形的外切圆的半径向内均等地分割菱形，菱形的四个角，每两条边相交形成的两个角都是相等的，所以菱形是一种正三角形；另外，菱形的对角线是一对平行线，并且对角线长度是菱形的四条边长度之和。
菱形所有边都相等，但是菱形是一种非凸多边形（concave polygon），也就是说，菱形边缘凹陷，两个邻接边之间角度大于180度，这是菱形与正多边形、凸多边形最大的区别。
还有一些性质：如果对菱形的对角线进行划分，那么菱形的四边形就会被划分为两个结构一致的三角形；菱形中外切圆的圆心在对角线的中点处，菱形最大内切圆以及最大外接圆的圆心也在对角线的中点处。
菱形具有很多有趣的性质，并且应用在许多方面。
比如，在绘画上，菱形用于定义简洁的对称元素，在棋盘游戏中使用菱形来实现多边形布局，也用于体育项目中的一些比赛线、标识圈范围等。
菱形的性质与判定
菱形的性质与判定讲义一、【知识点拨】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：①四边相等．②对角线性质：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角．③对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．对称轴有2条，是对角线所在的直线。
④菱形的面积等于底乘以高，或等于对角线乘积的一半．有时可建立方程点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．二、【方法技巧】1．当题中告诉我们是菱形时，应立刻反应出①四边相等．②对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角2．当题中要求证它是菱形时，可参考菱形的判定定理，分别在题中寻求条件。
三【典例评析】一、菱形的性质例1、⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则度．⑵如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形的边长是______．例2、如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则（）A． B． C． D．二、菱形的判定例1、如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．例2、如图，在中，，是的中点．分别作于，于，于，于．相交于点．求证：四边形是菱形．四【中考前沿】1．（2011•包头）已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（）A、16B、16C、8D、82．（2010•肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B． C．1 D．3．（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：14．（2010•宜昌）菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B． C．7.5 D．5.（2011山东济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B． C．4 D．6．（2011•铜仁地区）已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________cm2．7．（2011•綦江县）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH=_________．8．（2011•南京）如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．6题图 7题图 8题图 9题图9．（2011•鞍山）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________．10．（2010•嘉兴）如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO=_________度．五【基础运用】1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A、对边平行且相等B、对角线互相平分C、内角和等于外角和D、每一条对角线所在直线都是它的对称轴2. 如图，在菱形中，，，则菱形的边长为（）A． B． C． D．3. 菱形的周长为，两邻角度数之比为，则菱形较短的对角线的长度为______．4. 若菱形ABCD的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC的度数是（）A．120° B．60° C．30° D．150°5. 在菱形ABCD中，若对角线AC=6，BD=8，则CD=_______，此菱形的面积是______．6. 在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，对角线AC=6，则菱形的周长是（）A．4 B．24 C．8 D．24六【能力提升】1. 如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于．图22.已知：如图2，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )A．8 B．6 C．4 D．33.如上图，四边形是菱形，过点作的平行线交的延长线于点，则下列式子不成立的是（）A. B.C. °D.4.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，分别过点A，D作AE∥BD，DE∥AC交于点E，求证：四边形AODE是菱形．七【课堂小测】1、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。
第七讲、菱形的性质和判定
第七讲：菱形的性质和判定1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
几何语言表示为: 口ABCD且AB=AD(任一组邻边相等)口ABCD是菱形2.菱形的性质：（1）四边都相等；（2）两组对角相等；（3）对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，分别为它的两条对角线所在的直线。
例1：在如图菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，E、F分别是AB、BC的中点．求证：OE=OF．例2：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=10（1）求∠ABC的度数；（2）求对角线AC的长；（3）求菱形ABCD的面积．3.菱形的判定方法（1）用定义判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四条边都相等的四边形是菱形。
例3：如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，CG⊥AB于 G，交AD 于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形。
例4：已知：如图，过平行四边形ABCD的对角线交点O作互相垂直的两条直线EG、FH与平行四边形ABCD各边分别相交于点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是菱形例5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E．又点F在DE的延长线上，且AF=CE．求证：四边形ACEF是菱形．例6：如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．例7（真题2014-2015期中）：如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120∘,点E. F同时由A. C两点出发,分别沿AB、CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，求t的值例8（真题2014-2015期中）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点。
第1讲 菱形的性质与判定(解析版)
第1讲 菱形的性质与判定 1.理解掌握菱形的概念性质及判定定理2.会用菱形的有关知识进行证明，会计算菱形的面积 知识点01 菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积12ab ．（a 、b 是两条对角线的长度） 【知识拓展1】菱形的两条对角线长的比是32，面积是cm 12，则它的对角线的长分别是 cm ， cm ． (★)解答方法：∵ 设菱形的两条对角线的长分别为厘米厘米x x 3,2，∴ 122132=⋅⋅=x x S 菱形，∴ 解得舍去）(2,221-==x x ， ∴ 对角线的长分别为cm cm 6,4。
答案：cm cm 6,4。
【总结方法】菱形的面积等于对角线乘积的一半。
【即学即练】两对角线分别是6cm 和8cm 的菱形面积是 _________ cm 2，周长是 _________ cm ． (★) 解答方法：菱形面积是224286cm =÷⨯；∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得，边长为5cm ，则周长是20cm ． 知识精讲目标导航故答案为24，20．解答：24,20【知识拓展2】菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★) A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选 C．答案：C【总结方法】本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．【即学即练1】菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（）(★★) A．60°B．15°C．30°D．90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°．解答：A【即学即练2】如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★)解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°．解答：60【知识拓展3】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ BCD CA CD CB ∠=平分,．∴ CE CE DCE BCE =∠=∠又.,∴ △BCE ≌△COB （SAS ）．∴ ∠CBE=∠CDE ．∵ 在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC∴ ∠AFD=∠CBE ．【总结方法】通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。
菱形的所有性质
菱形的所有性质
菱形的所有性质如下：
1、对角线互相垂直且平分,并且每条对角线平分一组对角。
2、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形。
3、菱形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的一切性质。
4、四条边都相等。
5、对角相等，邻角互补。
6、在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号三倍。
7、菱形的判定判定
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
②四条边都相等的四边形是菱形;
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
④有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
⑤对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
8、菱形的面积
①对角线乘积的一半(只要是对角线互相垂直的四边形都可用);
②设菱形的边长为a,一个夹角为x°，则面积公式是:S=a^2·sinx
9、菱形的周长
菱形周长=边长×4 用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则C=4a。
菱形是特殊的平行四边形，而菱形中又有特殊的一类就是正方形。
菱形的性质和判定1
菱形的性质和判定1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，还有自身的特殊性质： （1）菱形四条边相等。
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（3）菱形是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线为对称轴）。
3、菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积计算：（1）平行四边形面积求法：21=S 底×高（2）特殊求法：21=S 对角线的乘积1下列命题不正确的是（ ）A ．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;B ．组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;C ．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;D ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形. 2．菱形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线互相平分C ．两组对边分别相等D ．一组邻边相等 3．一个菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则这个菱形的面积等于（ ） A ．48cm 2B ．24cm 2C ．12cm 2D ．18cm24．已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ）A ．AB=CDB ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．AC=BD D ．当∠ABC=90°时，它是矩形例1、如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在CD 、BC 上，且CE=CF ，求证：AE=AF 。
FEDCA【变式练习】如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边AB、AD上，且AE=AF。
求证：△ACE≌△ACF例2、如图，菱形ABCD中，B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连结AE、EF、AF，则△AEF的周长为多少？【变式练习】如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=6，BD=8，求菱形ABCD的周长和面积。
菱形的性质及判定知识点及典型例题
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．4．三角形的中位线中位线：连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线．也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线． 以上是中位线的两种作法，第一种可以直接用中位线的性质，第二种需要说明理由为什么是中 位线，再用中位线的性质．中点中点中点平行定理：三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半．重点是菱形的性质和判定定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。
菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。
菱形的性质 及判定难点是菱形性质的灵活应用。
由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。
如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。
板块一、菱形的性质【例1】 菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为【例2】 在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例3】 如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA【例4】 如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD的边长是______．【例5】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例6】 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E FDBCA图1HO DC BA【例7】 如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例8】 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．【例9】 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【例10】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【例11】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例12】 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【例13】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AE BC⊥，AF CD⊥，那么EAF∠等于．【例14】已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．【例15】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．210cm B．220cm C．240cm D．280cm图1DCBA【例16】已知菱形ABCD的两条对角线AC BD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例17】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例18】如图，在菱形ABCD中，4AB a E=，在BC上，2120BE a BAD P=∠=︒，，点在BD上，则PE PC+的最小值为EPDCBA【例19】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA【例20】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例21】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例22】 如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【例23】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A【例24】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例25】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例26】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【例27】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例28】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例29】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【例30】 如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA【例31】 如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例32】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE【例33】 问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴ 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；⑵ 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．⑶ 若图1中()2090ABC BEF αα∠=∠=︒<<︒，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，求PGPC的值（用含α的式子表示）． 图2AB CDEFG P四、中位线与平行四边形【例34】 顺次连结面积为20的矩形四边中点得到一个四边形，再顺次连结新四边形四边中点得到一个 ，其面积为 ．【例35】 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ≠，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还满足的一个条件是 ，并说明理由．HGFE D CBA【例36】 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q PMNCB D A【例37】 四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是AP 、RP 的中点，当点P 在CD上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论成立的是 （ ） A ．线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长不变D ．线段EF 的长与点P 的位置有关P FREDCBA【例38】 如图，ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，CE AD ⊥于E ，M 为BC 的中点，14cm AB =，10cm AC =，则ME 的长为 ．M EDCBA【例39】 如图，四边形ABCD 中，AB CD =，E F ，分别是BC AD ，的中点，连结EF 并延长，分别交BA CD，的延长线于点G H ，，求证：BGE CHE ∠=∠ABH G FEDCBA【例40】 如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA【例41】 如图，四边形ABCD 中，E F ，分别是边AB CD ，的中点，则AD BC ，和EF 的关系是（ ）A ．2AD BC EF +>B ．2AD BC EF +≥ C ．2AD BC EF +< D ．2AD BC EF +≤ADFEDCBA【例42】 已知如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 的四边的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．HGFEDC BA【例43】 如图，在四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，ADE ∆和BCE ∆都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，证明四边形PQMN 为平行四边形且PQ PN =．QEP NMDCBA【例44】 如图，四边形ABCD 中，AB CD E F G H =，，，，分别是AD BC BD AC ，，，的中点，求证：EF GH，相互垂直平分ABGH GFEDCBA【例45】 ABC ∆的三条中线分别为AD 、BE 、CF ，H 为BC 边外一点，且BHCF 为平行四边形，求证：AD EH ∥．ABCDE FH【例46】 在平行四边形ABCD 的对角线BD 上取一点E ，使13BE DE =，连接AE 并延长与DC 的延长线交于F ，则2CF AB =．图1CAEDBF【例47】 如图，ABC ∆中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 、H 是AC 的三等分点，连结并延长EG 、FH 交于点D ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．HGFEDCBA【例48】 如图，在四边形ABCD 中，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，BD AC =，BD 和AC 相交于点O ，MN 分别与AC 、BD 相交于E 、F ，求证：OE OF =．FE ONM D CBA【例49】 如图，线段AB CD ，相交于点O ，且AB CD =，连结AD BC ，，E F ，分别是AD BC ，的中点，EF分别交AB CD ，于M N ，，求证：OM ON =A CFEO N M DCBA【例50】 如图，梯形ABCD 中，AD BC AB CD =∥，，对角线AC BD ，相交于点O ，60AOD ∠=︒，E F G，，分别是OA OB CD ，，的中点，求证：EFG ∆是等边三角形A BEFO G FE DC BA【例51】 如图，求证：四边形两组对边中点连线与两对角线中点连结这三条线共点．OE FLHNMDCB A【例52】 如图，O 是平行四边形ABCD 内任意一点，E F G H ，，，分别是OA OB OC OD ，，，的中点．若DE ，CF 交于P ，DG ，AF 交于Q ，AH ，BG 交于R ，BE ，CH 交于S ，求证：PQ SR ．SR QPH GOEFDCB A。
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菱形的性质
课堂测评
1、菱形的面积为20cm2，一条对角线长为5cm，则另一条对角线长为
2、如图，菱形ABCD中，A E⊥BC于E,AE=1，BE=EC，求BD的长。
3、如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，于E，BE=CE，AC=2,求菱形的周长及∠CAD的度数
4、如图，菱形ABCD中，∠ADC=1200，求BD：AC
5、如图，菱形ABCD的周长为80cm，两对角线AC：BD=4:3,求菱形的面积
课后作业
1、菱形的两条对角线将他分成两个全等的直角三角形的对数是（）对
2、菱形的周长为28cm，则菱形的边长为
3、已知BD是菱形ABCD的一条对角线，∠ABD=650,则∠A=
4、菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为
5、菱形的一条对角线是另一条对角线的2倍，面积为S，则菱形的边长为
6、菱形的两邻角之比为1:2，周长为96cm，则菱形较短对角线的长为
7、如图四边形ABCD为菱形，F为AB上一点，DF交AC于E，试说明∠AFD=∠CBE
8、如图，P 是边长为2的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，∠BAD=600，点M 为AB 的中点，探索：点P 在什么位置时，PM+PB 有最小值？求出这个最小值。
9、如图示我们熟悉的衣帽架，由三个边长都为20的菱形组成，（1）当衣帽架处于图1形状时，总长为72，这时衣帽架的宽度为多少？（2）、拉开衣帽架是总长度变为96，则它的宽度变成多少？
菱形的性质和判定
1、如图所示，能说明四边形ABCD 是菱形的有
①BD ⊥AC ，②OA=OC,OB=OD,AB=BC,③AC=BD ④AB ∥CD,AB=BC
2、如图，两条笔直的公路L 1和L 2交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公里L 1的距离为4公里，则村庄C 到公路L 2的距离是
3、小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于
2
1AB 的长为半径画弧，两弧交于C 、D ，则直线CD 即为所求，由作图方法可知，四边形ADBC 一定是（ ）
A 、矩形
B 、菱形
C 、正方形
D 、等腰梯形
4、如图，在□ABCD 中，点P 是对角线AC 上的点，P E ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF, □ABCD 是菱形吗？为什么？
5、如图AD 示△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？说明理由。