11-压杆稳定

①p<<u 时： crab cr a bu
②u< 时：
au cru b
0
p 的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。
0 p的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
0 的杆为小柔度杆，以极限应力u作为临界应力。27
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
③临界应力总图
cr cru
F
F
F<F cr
F=F cr
F>F cr
F'
F
F
F
F
F
稳 定 平 衡——压杆 能 恢复到原(直线)状态的平衡 不稳定平衡——压杆不能恢复到原(直线)状态的平衡
11.1 压杆稳定性的概念
从另一个角度来看，此处中心受压杆的临界力又可理解 为：杆能保持微弯状态时的轴向压力。
显然，理想中心压杆是有偶然偏心等因素的实际压杆的 一种抽象。
ymax
Fcr
y0m / F 1
y
1 ） .当 F F cr， ym ax仅 为 y0m 的 若 干 分 之 一 ； 2） .当 F0.5F cr， ym axy0m ；
3） .当 F F cr， ym ax迅 速 增 长 ， 一 旦 FF cr， ym ax
例题
解： 截面惯性矩
临界力
按强度条件,屈服压力
33
稳定计算的一般步骤：
① 分别计算各个弯曲平面内的柔度y 、z ， 从而得到max；
② 计算s 、p ，根据max确定计算压杆临
界压力的公式，小柔度杆cr= s，中柔
度杆cr=
ab，大柔度杆
cr
2E 2
③ 计算Fcr= crA，利用稳定条件
F cr F
n st
进行稳定计算。
11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
作业：9-1，9-2，9-4
23
11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围
在推导细长中心压杆临界力的欧拉公式时，应用了材料 在线弹性范围内工作时的挠曲线近似微分方程，可见欧拉公
式只可应用于压杆横截面上的应力不超过材料的比例极限p
的情况。
细长中心压杆在临界力Pcr作用时可在直线状态下维持
不稳定的平衡，故其时横截面上的应力可按cr＝Pcr /A来计
19
在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：
20
（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：
（b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自 身平面内失稳
失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
21
（c）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
故面外失稳时 最小
=
22
算，亦即
cr P A cr π l2E 2A I π l2 /E i2π 2 2 E
(a)
24
11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围
式中，cr称为临界应力；iI/A为压杆横截面对于失稳
时绕以转动的形心主惯性轴的惯性半径；l /i为压杆的相当
长度与其横截面惯性半径之比，称为压杆的长细比
(slenderness)或柔度，记作，即
6
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
x
Pcr
y
y
mm y
xO y
(a)
本节以两端球形铰支(简称两端铰支) 的细长中心受压杆件(图a)为例，按照对 于理想中心压杆来说临界力就是杆能保 持微弯状态时的轴向压力这一概念，来 导出求临界力的欧拉(L.Euler)公式。
l
7
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
11 压杆稳定
1
11 压杆稳定
11.1 压杆稳定的概念 11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式 11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式 11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围 11.5 超过比例极限时压杆的临界应力
临界应力总图 11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
2
11.1 压杆稳定性的概念
通常把≥p的压杆，亦即能够应用欧拉公式求临界力Fcr 的压杆，称为大柔度压杆或细长压杆，而把<p的压杆，亦
即不能应用欧拉公式的压杆，称为小柔度压杆。
26
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
超过比例极限时压杆临界应力的经验公式
（1）直线型经验公式： c rab
式中：a 和b 是与材料有关的常数，单位与应力相同。
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
此时杆的挠曲线方程可如下导出。前已求得B=0，且取 kl＝，压杆的挠曲线表达式可写成
v Asinπx l
注意到当x= l /2 时 v=d，故有 A=d。从而知，对应于kl＝，
亦即对应于Pcr=2EI/l 2，挠曲线方程为
v d sin π x
l 可见此时的挠曲线为半波正弦曲线。
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
Pcr
失
稳 时
B
B
B
挠
D
曲
线 形
C
C
状
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
临界力Pcr 欧拉公式
Pcr
2 EI l2
Pcr
(0.27El)I2Pcr
约束情况下的相当长度 l。
16
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
运用欧拉公式计算临界力时需要注意： (1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，
欧拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。 (2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用
的I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。
2EI
(0.5l ) 2
Pcr
2 EI (2l ) 2
长度系数μ μ=1 μ0.7 μ=0.5 μ=2
2EI
Pcr l 2
μ=1 15
11.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式
表中列出了几种典型的理想杆端约束条件下，等截面细长
中心受压直杆的欧拉公式。从表中可见，杆端约束越强，压杆
的临界力也就越高。
l
i
根据欧拉公式只可应用于cr≤p的条件，由式(a)知该应
用条件就是
cr
π2E
2
p
亦即
π2E p
或写作 p
25
11.4 临界应力 欧拉公式的应用范围
可见 p
π 2 E 就是可以应用欧拉公式的压杆最小柔度。 p
对于Q235钢，按照 E＝206 GPa，p ＝200 MPa，有
p π 2p E π2 220 0 10 16 60 P 90 Paa100
(2) 折减因数法
[ n s c]tr []s t[] 即 []
式中： [st]—稳定许用应力； []—许用压应力；
<1—折 减系 数 ，与 柔度
和材料有关， 可查规范。
35
11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
580 700 580
l
例1 确定图示连杆的许用压力[P]st。已知连杆横截面面积
u
crab
P
2E
cr
2
0
a
u
b
P 2E
P
L i
28
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
③临界应力总图
cr
cra1b12
u
p
cr
2E 2
O
p
29
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
9-7 如果杆分别由下列材料制成：
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。
30
杆的边界条件：
v
x0
0
代入通解得：
v x l 0
(a)
kl Pcr L n
EI
(b) B 0
(n 1，2
)
A sik n lB co k ls0 sik n l0 临界力为最小压力：
Pcr
n2 2EI
l2
(n 1，2 )
Pcr
2 EI l2
—
欧拉公式
8
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
c 的杆为非细长压杆，以抛物线经验公式计算临界应32力。
11.6 压杆的稳定校核及提高稳定性的措施
1.压杆的稳定校核
（1）安全因数法
N An s ctr []st或 P n P c strP st
三类问题：确定许用载荷、稳定性校核、截面尺寸 设计
确定nst，除考虑确定安全系数的一般原则外，还 应考虑压杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故 nst >n。
10
*初弯曲（初偏心、材质不均匀）对临界力的影响：
初弯曲位移函数：
y0 y0m sin l x
x截面上的弯矩：
M (x)F(y0y)
挠曲线近似微分方程： E IyF (y0y)
边界条件：
x 0 ,y 0 ;x l,y 0
挠曲线方程：
y y0m sinx
y0m
Fcr /F1 l
l
x l 2
时，有最大附加弯矩：
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。压杆的承载能力不仅取决于构件的强度和刚度， 还与其稳定性有关。
不稳定平衡
微小扰动就使小球远 离原来的平衡位置
稳定平衡
微小扰动使小球离开原
来的平衡位置，但扰动撤销
后小球回复到平衡位置