11第八章压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
第八章 压杆稳定
（2）当 l = 3/4 lmin 时，Fcr=?
3 l lmin 1.2m 4
l
i
4 l 75 1 2 2 D d
a σs 304 240 2 57 b 1.12
用直线公式计算
π 2 Fcr A σcr (a b ) ( D d 2 ) 155.5 kN 4
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 1 π π 100 6 σp 200 10
当 ＜1 时，即cr ≥p，但cr ≤s，此时压杆仍属于稳定性问题， 但不能应用欧拉公式，此时需用经验公式.
Ⅲ. 常用的经验公式 直线公式 或
σcr a b s
问哪个杆先失稳?
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
F
F
F
B
1.6 a
a
A
1.3 a
C
d
解：
杆A 杆B
2
l 2a
1
l 1.3a
杆C
0.7
由柔度的计算公式：
l 0.7 1.6a 1.12a l 可知A杆先失稳.
i
例题 外径 D = 50 mm，内径 d = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为 Q235钢，承受轴向压力 F. 试求 （1）能用欧拉公式时压杆的最小长度； （2）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 时，压杆的临界压力. （已知： E = 200 GPa， p= 200 MPa ， s = 240 MPa ，用直 线公式时，a = 304 MPa， b =1.12 MPa.）
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
最新完美版建筑力学第八章压杆稳定
y
y
d y EI 2 M x Fcr y dx
2
Fcr (b)
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
上两边同除以EI，并令
Fcr k EI
M (x) =Fcry x O
x Fcr
d2 y 2 k y 0 移项后得到 2 dx 解此微分方程，可以得到两端铰 支细长压杆的临界力为
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
§8－2 压杆的临界力与临界应力
8－2－l 细长压杆的临界力 临界力Fcr也是压杆处于微弯形状的平衡状态所需的 最小压力，由此我们得到确定压杆临界力的一个方法：假 定压杆处于微弯形状的平衡状态，求出此时所需的最小压 力即为压杆的临界力。
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
故临界力为：
Fcr π 2 EI y (l )2
2 10 109 Pa 597.3 10-8 m4
(1 3)2 m2
655 102 N 65.5 kN
在临界力Fcr作用下，木柱将在弯曲刚度最小的xz平 面内发生失稳。
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
表8－1 四种典型细长压杆的临界力
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
例8－1 一长l = 4 m，直径d = 100 mm的细长钢压杆， 支承情况如图所示，在xy平面内为两端铰支，在xz平面内 为为一端铰支、一端固定。已知钢的弹性模量E = 200 GPa，试求此压杆的临界力。
目录
第八章 压杆稳定\压杆的临界力与临界应力
将欧拉公式改写为
压杆稳定
表 细长压杆临界力与杆端支承的关系
两端铰支
Fcr
L l 相当（折算）长度
（与支承有关的）长度系数
Fcr
π 2 EI
L 2
l
EI
L 1l
O
一端固定一端自由
Fcr
一端固定一端铰支
Fcr
两端固定
Fcr
L 0.7l
l
EI
l
EI L 0.5l
O
O
EI l
L 2l
O
图示材料相同，直径相同的四根细长圆杆， （ ）杆能承受的压力最大。
Fcr=?
●其它构件的稳定性问题
深梁失稳
薄壁圆管失稳
压杆稳定
Stability of Compressed Columns
2 细长压杆的临界力
2.1 两端铰支细长压杆的临界力——欧拉公式
临界状态： 微弯状态的平衡 杆的任一横截面上的弯矩：
x Fcr
Fcr wM x
Fcr
M x Fcrw
EI
l
cr F
A
cr
1 安全系数法
cr
nst
cr
nst：稳定安全系数
[cr]：稳定许用应力
稳定条件：
F A
cr
例5： 图示结构中，支承柱CD的直径d=20mm，
材料为A3钢，A、C、D三铰均为球铰。已知： P=25kN，l1=1.25m，l2=0.55mm，E=106 GPa，规定 的稳定安全系数nst=2.0，试校核CD杆是否安全。
压杆稳定
1 压杆稳定性的概念 2 细长压杆的临界力 3 压杆的柔度与压杆的非弹性失稳 4 压杆的稳定计算 5 提高压杆稳定性的措施
压杆稳定
静力学11、压杆稳定
Fcr
2 EI l2
μ= 1
2 EI Fcr (0.7l)2
μ= 0.7
2 EI Fcr (0.5 l ) 2
μ= 0.5
2EI Fcr (2l )2
μ= 2
2 EI Fcr l 2
μ= 1
§11.4 欧拉公式的适用范围.经验公式
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.细长压杆的临界应力：临界力除以压杆横截面面积
0
Pcr d EI
k
2d
将边界条件代入统一微分方程的通解得：
式 0
如 图
k 0
1 0 k2
0 1 0
1 0 0
0 0 k
2
C1
C C
2 3
0
sinkL
coskL L 1
k 2 sinkL k 2 coskL 0 0
1 0
Cd4
有非零解的充要条件为：系数行列式值为零；
解得压杆失稳特征方程为：coskL 0
解： (1) 2 E I
Pcr ( l)2
2E d4
64
( l)2
1 16
2E I正
(2)
Pcr 正 Pcr 圆
( l)2 2E I圆
d2 2
a4 4
I正 I圆
12
d4
12
d4
3
( l)2
64
64
例5：五根直径都为 d的细长圆杆铰接构
成平面正方形杆系ABCD，如各杆材料相 同，弹性模量为E。求图 (a)、(b)所示两种 载荷作用下杆系所能承受的最大荷载。
60
2. cr=S时: 强度破坏，采用强度公式。
≤ S—粗短杆(小柔度杆)；
表 1 直线公式的系数 a 和 b
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定承受轴向压力的杆，称为压杆。
如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。
直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。
然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。
杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。
本章研究细长压杆的稳定。
§11.1 稳定的概念物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。
物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。
若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。
如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。
上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。
对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。
如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。
当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。
若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使(a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。
在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。
如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。
第八章：压杆稳定
材料
（强度极限 b/ MPa ） （屈服点 S /MPa ）
a
b
（MPa） （MPa）
P
S
Q235 钢( b 372 , S 235 ) 304 1.12 100
62
优质碳钢( b 471 ,S 306 ) 461 2.568 100
60
硅钢 ( b 510 , S 353 ) 578 3.744 100
二、其他支座条件下细长压杆的临界应力 表8-1 压杆的长度系数
Fcr
2EI ( l)2
杆端约束 情况
一端固定 一端自由
两端铰支
一端固定 一端铰支
两端固定
挠 曲 线 形 状
长度系数
2.0
1.0
0.7
0.5
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-3 图示细长压杆，已知材料的弹性模量 E 210GPa，压杆
第二节：细长压杆的临界荷载
例8-1 细长压杆为钢制空心圆管，外径和内径分别为 20mm 和 16mm，杆长 0.8m，钢材的弹性模量为 210GPa，
压杆两端铰支，试求压杆的临界载荷 Fcr。
解：压杆横截面的惯性矩为
I (D4 d 4 ) (0.024 0.0164 ) m4
64
64
4.63109 m4
(2)如果 F k l ，即 F k l ，则杆将继续偏斜，不能回复到原来的竖直平衡位
置，表明其原来的竖直平衡状态是不稳定的；
(3)如果 F k l ，即 F k l ，则杆不仅在竖直位置保持平衡，而且在偏斜状
态也能够保持平衡。
第一节：压杆稳定的概念
临界压力或临界力：当压力逐渐增加到某一极限值时，如果再作用 一个微小的侧向干扰力，使其产生微小的侧向变形，在除去干扰力 后，压杆将不再能够恢复其原来的直线平衡状态，这说明压杆原来 直线形状的平衡是不稳定的，上述压力的极限值称为临界压力或临 界力。一般用Fcr表示，它是判断压杆是否失稳的一个指标。
压杆稳定
11500 173 p 100 30 i 2 3
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
设 杆CD的抗弯刚度为EI2 ，则
P B
当 EI2∞ μ 0.7
当 EI20 μ 1.0
杆AB： μ=0.7~1.0
C
EI
EI2
A
D
例：已知 圆截面直钢杆，长度l=2m,直径d=20mm,
弹性模量E=200GPa, 屈服极限s =230MPa
求 按强度理论计算的最大许用载荷PS 按稳定理论计算的最大许用载荷Pcr 解:1) 按强度理论
当P<Pcr ，稳定平衡
Mr
当 P>Pcr ，失稳
当 P=Pcr ，临界平衡
P Pcr
干扰力F
稳定平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形恢 复。
P Pcr
干扰力F
临界平衡
加干扰力，产生变形 撤去干扰力，变形不 能恢复。
P Pcr
不能平衡
加干扰力，变形将持续 增加。
压杆失稳的内在原因 对于可变形压杆，干扰力 F 起到使压杆脱离 原直线平衡位置的作用，而杆的弯曲变形起 到使压杆恢复原直线平衡位置的作用。压杆 随纵向力P的改变，平衡的稳定性会发生改变 ，由稳定平衡转为不稳定平衡的纵向力临界 值称压杆的临界压力或临界载荷Pcr（critical load)；它是压杆保持稳定平衡状态压力的最 大值。
工程上用“经验公式”代替“欧拉公式”。
如：可用直线经验公式： σ cr= a - b λ
a、b为材料常数，见表9-2。
A3钢：a=304MPa，b=1.12MPa
小柔度杆
当直线经验公式σ cr= a - b λ σ s（或σ b）时，
压杆的失效由强度控制。
工程力学11-压杆的稳定性分析与设计解析
压杆的稳定性分析与设计
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
11.1.3 三种类型压杆的临界状态 压杆的分类：
细长杆 ——当F >Fcr时容易发生弹性屈曲 当F≤Fcr时不发生屈曲
中长杆 ——当F >Fcr时发生屈曲，但不再是弹性的
粗短杆 ——不会发生屈曲，失效属于强度破坏
《工程力学》
11.2
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长细比概念三类不同压杆判断
11.3.2 三类不同压杆的区分
ห้องสมุดไป่ตู้
因，屈曲在弹性范围内导出
故有：
scr =
Fcr A
≤[sp]
在比例极限内有效
稳定平衡构形到屈曲（不稳定平衡构形）是一个 过程。
介于这个过程之间的平衡构形——临界平衡构形
或称：“临界状态” 临界载荷
处于临界状态时，杆件所受的施压载荷
称：“临界载荷”，或临界力，Fcr
《工程力学》
11.1
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令：当材料达到比例极限时的长细比为“lp” 当材料屈服极限时的长细比为“ls”
细长杆 中长杆 粗短杆
—— l ≥ lp —— lp >l ≥ ls —— l < ls
细长压杆的临界载荷
压杆的稳定ppt
定义
01
边界条件是指压杆在支撑条件下的限制条件，如固定、自由、
简支等。
描述
02
不同的边界条件对压杆的稳定性产生不同的影响。例如，固定
边界条件下的压杆比自由边界条件下的压杆更稳定。
影响因素
03
边界条件对压杆稳定性的影响主要表现在支撑反力的分布和大
小上，从而影响压杆的临界载荷和屈曲载荷。
03
压杆稳定性问题的解决策略
合理选择材料和截面形状
选择高强度材料
如合金钢、不锈钢等，能够提高压杆的屈服强度和抗拉强度 ，增加压杆的稳定性。
选择合适的截面形状
如圆形、方形、工字形等，能够改变压杆的截面面积和惯性 矩，进而改变压杆的稳定性。
对压杆进行合理支撑和固定
增加支撑点
通过在压杆的适当位置增加支撑点，能够提高压杆的稳定性，防止其发生屈 曲变形。
船舶设计
在船舶设计中，压杆被用于船体结构的支撑和固定。特 别是在海洋环境中，压杆的稳定性对于抵御海浪冲击和 保证船舶的安全至关重要。
地下工程
在隧道、地铁等地下工程中，压杆被用于支撑和固定土 石方及结构物。其稳定性对于保障地下工程的稳定性和 安全性至关重要。
06
总结与展望
总结
压杆稳定的定义
压杆稳定的重要性
05
压杆稳定性问Leabharlann 的工程应用建筑结构中的压杆稳定性问题
建筑物的支撑结构
在建筑设计中，压杆常被用于支撑和固定建筑结构，如桥梁、高层建筑等。其稳定性直接 影响到建筑物的安全性和使用寿命。
抗风和抗震设计
在地震或强风天气中，建筑物的压杆稳定性显得尤为重要。压杆能够提供必要的支撑力， 帮助建筑物抵御自然灾害。
定义
第 11 章 压杆的稳定性问题
直线形状平衡 稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题 2.不稳定性
F F>Fpcr
压杆稳定性的基本概念
直线平衡平衡状态转变为弯曲平 衡状态，扰动除去后，不能够恢 复到直线平衡状态，则称原来的 直线平衡状态是不稳定的。
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线形状平衡 不稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题
第 11 章 压杆的稳定性问题
P
A
(a )
三类不同压杆的判断
h
y
b
h
B
y
P 解：正视图平 面弯曲截面绕 z 轴转。 3 P
x
P
z
l
A bh 1.0
iz Iz A
bh Iz 12
h 2 3
z
l
iz
1 2300 2
60
3
132.8 P 100
σp σe σs
压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
σ
σb
ε
第 11 章 压杆的稳定性问题 欧拉临界力 §11-2 细长压杆的临界载荷---欧拉临界力
一、两端铰支的细长杆
F x F x
F
l M w x w w
压杆
微弯下平衡
内力与变形
第 11 章 压杆的稳定性问题
x
欧拉临界力
M =F w EI w〞= － M =－F w
欧拉临界力
二、其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件 方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于两端铰支的 一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该 段失稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力 即压杆的临界力。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质在外力作用下的形变和破坏规律的学科。
在材料力学中，压杆是一种常见的结构元素，它能够承受压缩力，用来支撑、传递和稳定结构的荷载。
压杆的稳定性是指在外力作用下，压杆不会发生失稳或破坏。
稳定性的分析对于设计和使用压杆结构具有重要意义，可以保证结构的安全可靠性。
本文将从材料的稳定性理论出发，探讨压杆稳定的原理和影响因素。
压杆的稳定性主要受到两种力的影响：压缩力和弯曲力。
压缩力使得杆件在长轴方向上缩短，而弯曲力使得杆件发生侧向的弯曲变形。
这两种力的作用会引起杆件在截面上的应力分布，当这些应力达到一定的极限时，杆件就会发生失稳或破坏。
为了保证压杆的稳定性，需要考虑以下几个因素：1.杆件的形状和尺寸：杆件的形状和尺寸是影响压杆稳定性的重要因素。
一般来说，杆件的截面形状应当是圆形或类圆形，这样能够均匀地分配应力，在承受压力时能够更好地抵抗失稳。
此外，杆件的直径或截面积也应当足够大，以提高材料的稳定性。
2.材料的性质：材料的性质对杆件的稳定性有着重要的影响。
一般来说，杆件所使用的材料应当具有足够的强度和刚度。
强度可以提供杆件抵抗失稳的能力，而刚度可以减小失稳时的弯曲变形。
此外，材料应当具有足够的韧性，以防止杆件发生断裂。
3.杆件的支撑条件：杆件的支撑条件也会对稳定性产生影响。
一般来说，杆件的两端应当进行良好的支撑，以减小弯曲变形和失稳的发生。
支撑条件可以通过适当的连接方式、支撑点的设置和钢结构的设计来实现。
4.外力的作用：外力的作用是导致杆件发生失稳的主要原因。
外力可以包括静力荷载、动力荷载和温度荷载等。
在设计和使用压杆结构时，需要对外力进行充分的分析和计算，确保结构在外力作用下能够稳定运行。
总之，压杆的稳定性是确保结构安全可靠性的重要因素。
在材料力学中，通过对压杆受力和形变规律的分析，可以找到保证压杆稳定的途径和措施。
合理选择杆件的形状和尺寸，使用适当的材料，提供良好的支撑条件，并进行准确的外力分析和计算，可以有效地提高压杆的稳定性，确保结构的安全运行。
第8章 压杆稳定
1 = 16
⎛π d ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎝ 4 ⎠ a 12 = 12 4 = π d4 πd 64 64
2 2
64 ( μl ) 2
π 2E I正
( 2) Fcr 正 Fcr 圆 =
(μ l) 2
π 2E I圆
(μ l) 2
=
I正 I圆
=
π
3
二、压杆的临界应力 1.临界应力 临界力Fcr是压杆保持直线平衡状态所能承受的最大压力,将 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。 临界应力 Fcr π 2 EI = σ cr = (a ) 2 A (μ l ) A 令i=
压杆形状
l
l
长度系数
μ =1
μ=2
μ = 0.7
l
μ = 0.5
l
[例1]
直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪
个临界力最大。(书P146例8-1，8-2同学们练习)
1.7l
（a） 解： (a )
1.3l
l
（b）
（c）
μ la = 2l , (b) μ lb = 1.3l , (c) μ lc = 0.7 ×1.7l = 1.19l , (d ) μ ld = 0.5 × 2l = l ,
F 1500 C 30o 500 B D
3 F = NAB ∴ 8
C 2)计算λ并求临界荷载
A
F
B
NAB
π
i= I = A 64
(D 4 − d 4 ) (D 2 − d 2 )
π
=
D2 + d2 = 16 mm 4
4
l AB =
1500 = 1730 mm 0 cos 30
⎛π d ⎞ ⎜ ⎟ 4 ⎝ 4 ⎠ a 12 = 12 4 = π d4 πd 64 64
2 2
64 ( μl ) 2
π 2E I正
( 2) Fcr 正 Fcr 圆 =
(μ l) 2
π 2E I圆
(μ l) 2
=
I正 I圆
=
π
3
二、压杆的临界应力 1.临界应力 临界力Fcr是压杆保持直线平衡状态所能承受的最大压力,将 临界力除以压杆横截面面积，所得应力称为临界应力。 临界应力 Fcr π 2 EI = σ cr = (a ) 2 A (μ l ) A 令i=
压杆形状
l
l
长度系数
μ =1
μ=2
μ = 0.7
l
μ = 0.5
l
[例1]
直径、材料相同，而约束不同的圆截面细长压杆，哪
个临界力最大。(书P146例8-1，8-2同学们练习)
1.7l
（a） 解： (a )
1.3l
l
（b）
（c）
μ la = 2l , (b) μ lb = 1.3l , (c) μ lc = 0.7 ×1.7l = 1.19l , (d ) μ ld = 0.5 × 2l = l ,
F 1500 C 30o 500 B D
3 F = NAB ∴ 8
C 2)计算λ并求临界荷载
A
F
B
NAB
π
i= I = A 64
(D 4 − d 4 ) (D 2 − d 2 )
π
=
D2 + d2 = 16 mm 4
4
l AB =
1500 = 1730 mm 0 cos 30
11压杆稳定
（2）若在x-z平面内 失稳，μ=0.5，柔度为：
y
L i
L Iz / A L Iy / A
1 700 73.7 6.5104 / 720
0.5 580 39.9 3.8 104 / 720
所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由lz决定。
x
P
x
P
580700
580 L
y
y z
P
zP
(2)确定许用压力：
由表查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa， s=353MPa，计算有关的p和s为：
p
2E
p
2 2.1105
93 240
s
a s
b
578 353 60 3.744
可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：
Pcr A(a b) 218 kN
由此得连杆的许用压力为：
[Pcr
]
Pcr [nw
w
Fyl Fcr
sin kx 4.49
coskx 1
x l
利用此方程还可以进一步求得该
压杆在上列临界力作用下挠曲线
上的拐点在 x = 0.3l 处(图b)。
(b)
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆
的临界力公式。
P
P
M0
x
解：挠曲线近似微分方程为：
EIw'' M (x) Pw M 0
w Asin kx Bcoskx (b)
利用的边界条件：x=0，w=0 和 x=l，w=0。
即:
A A
0 sin
B kl
0 B cosk
l
0
0
1
0
sin kl coskl
11-压杆稳定
EI
x
F
x
w"k 2w k 2 M 0
M
F
w c cos kx d sin kx M0
F
边界条件为:
M0
M0
F
F
x 0, w w' 0;
x L, w w' 0
c M ,d 0 F
coskL 1 ( kL 2n ),sin kL 0 ( kL n )
实际的受压杆件由于: 1. 其轴线并非理想的直线而存在初弯曲， 2. 作用于杆上的轴向压力有“偶然”偏心， 3. 材料性质并非绝对均匀，
因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形，且由此引起的 侧向位移随轴向压力的增大而更快地增大。
5
11.2 两端铰支中心受压直杆的欧拉公式
思路： 假设压杆在某个压力Pcr作用下在曲线状态平衡， 然后设法去求挠曲函数。若： (1)求得的挠曲函数≡0，说明只有直线平衡状态； (2)求得不为零的挠曲函数，说明压杆的确能够 在曲线状态下平衡，即出现失稳现象。
（1）直线型经验公式： cr a b 式中：a 和b 是与材料有关的常数，单位与应力相同。
①p<<u 时： cr ab cr a b u
②u< 时：
cr u
a u
b
0
p 的杆为大柔度杆，其临界应力用欧拉公式求。
0 p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
0 的杆为小柔度杆，以极限应力u作为临界应力。27
11.5 超过比例极限时压杆的临界应力 临界应力
③临界应力总图
cr cr
u
u
cr ab
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F
z y
h b
与杆发生弯曲关 与截面形状有关，(如果Iy=Iz, 且I 越大，承载力就不同了）
F
第5页/共60页
与杆的长度有关
F
F F1
第6页/共60页
实际压杆与弯曲有关的因素还有：
荷载不可避免地有一定的偏心； 杆轴线有一定初曲率； 材料本身的不均匀性。
什么是压杆的稳定性呢？
第7页/共60页
F＜Fcr
x 0, w 0; x 0, w 0 :
A 0, B w0, w w0 1 cos kx
x l, w w0,
cos kl 0, kl n
2
,
n 1, 2,... Fcr
2EI
2l 2
第16页/共60页
2、两端固定： M x Me Fcrw
Fcr
Fcr
2EI
cos kl 1 , kl n , n 2, 4,..... Fcr 0.5l 2
第17页/共60页
3、一端固定，另一端铰支：
x
M x Fcrw F0 l x
Fcr
F0
w
l
EIw Fcrw F0 l x w kw k2 F0 l x
第12页/共60页
k Fcr n
EI l n = 1 时：
n 0，1，2，
2EI
Fcr l 2
----欧拉公式
w =A sinπx / l
δ = w│x=l/2 = A
F B′
A
B
w = δsinπx / l
Fcr
O
δ
第13页/共60页
二、不同杆端约束下压杆的临界 压力 （类比法）
第20页/共60页
2l
问题的提出：
9l
5l
7l
几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:
能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？
每根压杆是不是都会发生失稳？
第21页/共60页
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w
F0 Fcr
1 k
sin kx l cos kx l
x
第10页/共60页
§8-2 细长中心受压直杆的临 界力——Euler公式
一、两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a） E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw 令 k2=Fcr / EI 得 w″+ k2 w= 0 （c）
x Fcr
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）
Fcr
w = δsinπx / l －－正弦曲线 l x = 0，x=l : w =0 , M=0, w″=0
x = l/2: w=wmax, 且w′=0
第14页/共60页
Fcr
Fcr
l
l
2l
Fcr
l/4
l/2
l/4
Fcr
0.7l 0.3l
μ=1
μ=2
μ=0.5
μ=0.7
Fcr 统一形式：
Fcr
tan kl kl , kl 4.49,
第18页/共60页
Fcr
2EI
0.7l 2
结 论：
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过长度系数μ来F 实 现的。要根据实际情况选择适当的μ 。
Me x Fcr
EIw M e Fcr w
l
w
xx
w kw k 2 M e Fcr
w Asin kx B cos kx M e Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0, w 0
Me
Fcr
A 0, B M e , w M e 1 cos kx
保持平衡。
原有的直线平衡状态是 (c) 不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
第9页/共60页
Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。
压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
稳定性 丧失原有平衡形式的现象称为失稳
失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
Fcr
第11页/共60页
k2=Fcr / EI
w = Asinkx +Bcoskx
两个边界条件:
（1）x = 0，w =0 得： B=0 : w = Asinkx
（2）x = l， w=0 得：A sinkl=0
kl n n 0，1，2，
k Fcr n
EI l
n 0，1，2，
§8-1 压杆稳定性的概念
压杆
第1页/共60页
压杆
第2页/共60页
桁架中的压杆
第3页/共60页
高压输电线路保持相间距离的受压构件
在第二章中的受压杆件，其破坏是由于强 度不足引起的。——短粗杆
第4页/共60页
某杆,材料σb=130MPa;截面A=2×30mm2, 长 l=300mm,按强度条件，Fb=130×2×30=7.8kN。 但实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？
（3）当杆端两个方向受到的约 束情况相同时，则失稳一定发 生在最小刚度平面，即I 最小 的纵向平面。
z
y
h b
第19页/共60页
F
（4）若杆端约束在不同方向不相同时，要分别取μl 和 I ，计算Fcr，选Fcrmin进行稳定分析。
y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
2 EI (l)2
----欧拉公式
μ——长度系数， μl——相当长度
第15页/共60页
1、一端固定，另一端自由：xFcr来自w0wlx
o
M x Fcr w0 w
EIw Fcr w0 w
w kw k 2w0
w Asin kx B cos kx w0
F＜FF
干扰力
F＜Fcr
（1）当F＜Fcr
时，撤去横向干扰力 后，压杆仍能恢复原 有的直线平衡状态。
(a)
(b)
原有的直线平衡状态是 稳定的。 (c)
第8页/共60页
F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
干扰力
(a)
(b)
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时， 在干扰力除去后，杆
件不能恢复到原直线
位置，在曲线状态下