11第八章压杆稳定

Fcr
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k2=Fcr / EI
w = Asinkx +Bcoskx
两个边界条件:
（1）x = 0，w =0 得： B=0 : w = Asinkx
（2）x = l， w=0 得：A sinkl=0
kl n n 0，1，2，
k Fcr n
EI l
n 0，1，2，
F＜FF
干扰力
F＜ห้องสมุดไป่ตู้cr
（1）当F＜Fcr
时，撤去横向干扰力 后，压杆仍能恢复原 有的直线平衡状态。
(a)
(b)
原有的直线平衡状态是 稳定的。 (c)
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F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
干扰力
(a)
(b)
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时， 在干扰力除去后，杆
件不能恢复到原直线
位置，在曲线状态下
Fcr
w Asin kx B cos kx F0 l x
Fcr
x
F0
Me Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0;
A F0 , B F0l
kFcr
Fcr
w

F0 Fcr

1 k
sin kx l cos kx l

x

F
z y
h b
与杆发生弯曲关 与截面形状有关，(如果Iy=Iz, 且I 越大，承载力就不同了）
F
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与杆的长度有关
F
F F1
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实际压杆与弯曲有关的因素还有：
荷载不可避免地有一定的偏心； 杆轴线有一定初曲率； 材料本身的不均匀性。
什么是压杆的稳定性呢？
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F＜Fcr
§8-1 压杆稳定性的概念
压杆
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压杆
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桁架中的压杆
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高压输电线路保持相间距离的受压构件
在第二章中的受压杆件，其破坏是由于强 度不足引起的。——短粗杆
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某杆,材料σb=130MPa;截面A=2×30mm2, 长 l=300mm,按强度条件，Fb=130×2×30=7.8kN。 但实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？
（3）当杆端两个方向受到的约 束情况相同时，则失稳一定发 生在最小刚度平面，即I 最小 的纵向平面。
z
y
h b
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F
（4）若杆端约束在不同方向不相同时，要分别取μl 和 I ，计算Fcr，选Fcrmin进行稳定分析。
y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的。
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2l
问题的提出：
9l
5l
7l
几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:
能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？
每根压杆是不是都会发生失稳？
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Me x Fcr
EIw M e Fcr w
l
w
xx
w kw k 2 M e Fcr
w Asin kx B cos kx M e Fcr
x 0, w 0, w 0; x l, w 0, w 0
Me
Fcr
A 0, B M e , w M e 1 cos kx
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§8-2 细长中心受压直杆的临 界力——Euler公式
一、两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a） E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw 令 k2=Fcr / EI 得 w″+ k2 w= 0 （c）
x Fcr
lw
x
O
y
M(x) Fcr=F
w
w = Asinkx +Bcoskx （d）

tan kl kl , kl 4.49,
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Fcr

2EI
0.7l 2
结 论：
（1）Fcr与EI成正比，与l2 成反比，且与杆端约束有关。 Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；
（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过长度系数μ来F 实 现的。要根据实际情况选择适当的μ 。
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k Fcr n
EI l n = 1 时：
n 0，1，2，
2EI
Fcr l 2
----欧拉公式
w =A sinπx / l
δ = w│x=l/2 = A
F B′
A
B
w = δsinπx / l
Fcr
O
δ
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二、不同杆端约束下压杆的临界 压力 （类比法）
Fcr
w = δsinπx / l －－正弦曲线 l x = 0，x=l : w =0 , M=0, w″=0
x = l/2: w=wmax, 且w′=0
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Fcr
Fcr
l
l
2l
Fcr
l/4
l/2
l/4
Fcr
0.7l 0.3l
μ=1
μ=2
μ=0.5
μ=0.7
Fcr 统一形式：
Fcr

Fcr
Fcr
2EI
cos kl 1 , kl n , n 2, 4,..... Fcr 0.5l 2
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3、一端固定，另一端铰支：
x
M x Fcrw F0 l x
Fcr
F0
w
l
EIw Fcrw F0 l x w kw k2 F0 l x
2 EI (l)2
----欧拉公式
μ——长度系数， μl——相当长度
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1、一端固定，另一端自由：
x
Fcr
w0
w
l
x
o
M x Fcr w0 w
EIw Fcr w0 w
w kw k 2w0
w Asin kx B cos kx w0
x 0, w 0; x 0, w 0 :
A 0, B w0, w w0 1 cos kx
x l, w w0,
cos kl 0, kl n
2
,
n 1, 2,... Fcr

2EI
2l 2
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2、两端固定： M x Me Fcrw
保持平衡。
原有的直线平衡状态是 (c) 不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
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Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。
压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
稳定性 丧失原有平衡形式的现象称为失稳
失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力