第3章 弹性与塑性应力应变关系(修改)

2011-10-22周书敬ຫໍສະໝຸດ 则有： l0，伸长为 ∆l，则有：
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： ε 名义应变： 这里的
= ∆l /l0
并不是试件截面上的真实应力， σ 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。 拉伸过程中，试件截面是逐渐缩小的。这种现象在应力到达
σs 。
4、塑性流动阶段： DH段 、塑性流动阶段： 段 在这一阶段中， 在这一阶段中 ， 虽然应力没有增 加，应变却在不断增加。 应变却在不断增加。
Hb段：强化阶段
点开始出现强化现象， 由 H点开始出现强化现象 ， 即试 点开始出现强化现象 件上只有应力增加时， 应变才能增加。 件上只有应力增加时 ， 应变才能增加 。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
1、 理想弹性塑性 （ 材料 ） 模 、 理想弹性塑性（ 材料） 见图 ） 型（见图a） 当材料进入塑性状态后， 当材料进入塑性状态后 ， 若不 考虑材料的强化性质， 考虑材料的强化性质， 则可得到理 想弹塑性模型。 想弹塑性模型 。 这里的强化指的是 当材料在经过塑性形变后， 当材料在经过塑性形变后， 于第二 次加载时的弹性极限提高了。 次加载时的弹性极限提高了。
ε 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； 点 是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。 ) 对许多材料来讲， 两点非常接近， 注 ： 对许多材料来讲 ， A ， B 两点非常接近 ， 所以工程 上对弹性极限和比例极限并不严格区分。 上对弹性极限和比例极限并不严格区分。 3、屈服阶段： BD段 、屈服阶段： 段 当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快， 当应力超过弹性极限之后，将出现应变增加很快，而应
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载， 如果在材料的屈服阶段或强化阶段卸载，则卸载线为图 3-1中的 D′O′、 ′ ′′ ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变 中的 HO 可以看出当逐渐卸除拉力， 关系将沿着与OB平行的斜线 关系将沿着与 平行的斜线 D′H′和 H′ ′ 回到 O′ 点和 O′点。 ′ O′ 开始再加载， 如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 高。 5、局部变形阶段： b点以后 、局部变形阶段： 点 点之前， 在 b 点之前 ， 试件处于均匀的应变 状态，到达 b 点之后， 试件出现颈缩现 状态 ， 点之后， 象，如果再继续拉伸，则变形将集中在 如果再继续拉伸， 颈缩区进行，最后试件将被拉断。 颈缩区进行，最后试件将被拉断。
第三章 弹性与塑性应力应变关系
第三章 弹性与塑性应力应变关系
前面两章分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平 衡（微分）方程和几何方程，这些方程均与物体的材料性质 （物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。但仅用这些 方程还不能求解土木工程领域的实际力学（弹塑性）问题。 对土木工程领域的一个实际力学问题（正问题），需要 求解的未知量通常包括应力、内力和位移。由于平衡方程仅 建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几 何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
第一节
拉伸和压缩时的应力应变曲线
一、低碳钢的拉伸实验 为简单拉伸时的应力应变曲线。 图3-1为简单拉伸时的应力应变曲线。 为简单拉伸时的应力应变曲线 1、比例变形阶段 ： OA段 、 段 在此阶段中，应力和应变之 在此阶段中 ， 间的关系是线性的， 间的关系是线性的， 即可用胡克 定律( 定律(Hooke) 表示。 ) 表示。
P P σT = = (1−ε ) A A 0
－ ） ε =1− H / H0 （3－6）
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
第二节 简单应力状态的本构方程
对于不同的材料，不同的应用领域， 对于不同的材料，不同的应用领域，其本构方程是完 全不同的 ，特别是对于塑性力学问题其应力应变关系为非 线性，叠加原理不能应用，而且应力应变关系还和变形的 线性，叠加原理不能应用， 历史有关。 历史有关。 根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的简 根据不同材料简单拉压试验，提出以下几种不同的简 章已给出过， 化力学模型（ 本构方程） 在第0章已给出过 化力学模型 （ 本构方程 ） ， 在第 章已给出过 ， 在此给出 具体分析。 具体分析。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
效应：见图3-3。 三、包辛格 (Baisehinger) 效应：见图 。 继续卸载（ 若自点 O" 继续卸载（即 压缩） 压缩 ） ， 则反向加载时屈服 比初始屈服极限 σs 小，这里
s
′ 极限 σs′不仅比 σs小，而且还 ′
的 σ′ 是自点 O"点拉伸到屈服 时的屈服极限， 时的屈服极限 ， 这种具有强
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O" H ' 线进行， 线进行，
直到H点后材料才开始屈服， 因此材料的比例极限得到了提 直到 点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 点后材料才开始屈服
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
二、没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（图3-2） 没有明显屈服阶段的材料的拉伸实验（ - ） 如：中碳钢、高碳钢、黄铜，对于没有明显屈服阶段的 中碳钢、高碳钢、黄铜， 材料， 通常以产生0.2%的 材料 ， 通常以产生 的 塑性应变时所对应的应力 作为屈服极限， 并称为名 作为屈服极限 ， 并称为 名 义屈服极限用 σ0.2 表示。 表示。 义屈服极限用
σ σs
o
εs
ε
（a）理想弹塑性模型
在弹性变形阶段， 把应力与应变之间看成是一种线性关 在弹性变形阶段 ， 把应力与应变之间看成是一种 线性关 系。
Eε σ = σ Eεs＝ s
ε ≤ εs ε > εs
（3—9） ）
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
分析式（ ） 分析式（3-9），该式中只包含了材料常数 E 和 σs，故 不能描述应力应变曲线的全部特征； 不能描述应力应变曲线的全部特征；又由于在 析表达式有变化，给具体计算带来一定困难。 析表达式有变化，给具体计算带来一定困难。 韧性材料的主要特征 该力学模型抓住了韧性材料 的主要特征， 该力学模型抓住了 韧性材料 的主要特征 ， 因而与实际 情况符合得较好。 情况符合得较好。 2、(双)线性强化弹塑性模型（图b） 、 线性强化弹塑性模型（ 当考虑材料强化性质时，可采用 考虑材料强化性质时 该模型。 该模型。 其解析表达式为（3-10） 解析表达式为 ）
b点之前，往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。 点之前，往往可以认为对应力应变曲线的精度影响不大。
点之后，试件发生颈缩， 但过了b点之后，试件发生颈缩，截面面积的较大变化对于 应力的计算将有明显的影响。 应力的计算将有明显的影响。 若试件截面上的真实应力用 表示， 为某一瞬间试件 若试件截面上的真实应力用 σT 表示，A为某一瞬间试件 真实应力 的实际截面积，则应有： 的实际截面积，则应有： 真实应力： 真实应力： 由于A < Α0，所以有σT
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σT = P/ A
（3－2） － ）
> σ。
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
根据体积不可压缩假设，应有： 根据体积不可压缩假设，应有：
A l0 = Al 0
（3－3） － ） （3－4） － ）
⇒ A = l0 A / l 0
Pl P l0 + ∆l ∆l － ） ⇒σT = = ( ) =σ(1+ ) =σ(1+ε) （3－5） A l0 A l0 l0 0 0
ε = εs 处解
σ σs
B A
o
εs
ε
Eε σ = σs + E1(ε −εs )
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ε ≤ εs ε > εs
（b）线性强化弹塑性模型
（3-10） ）
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材 具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材 这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。 料。这种近似的力学模型对某些材料是足够精确的。 如果AB的斜率足够小 则作为理想弹塑性体 的斜率足够小， 理想弹塑性体考虑并不致 如果 的斜率足够小，则作为理想弹塑性体考虑并不致 于产生很大的误差,但计算却可大为简化。 于产生很大的误差 但计算却可大为简化。 但计算却可大为简化 如果AB的斜率大到不能忽略时，则应按式（ 如果 的斜率大到不能忽略时，则应按式（3-10）进行 的斜率大到不能忽略时 ） 计算。 计算。 这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大， 这个模型和理想弹塑性模型虽然相差不大，但具体计算 却要复杂的多。 却要复杂的多。 为了避免解析式在 ε 力学模型。 见图 ） 力学模型。（见图c）
σ = E⋅ ε
（3－1） － ）
式中： 弹性模量（ 式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ； 弹性模量 ）
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit） 点对应的应力称为比例极限（ 点对应的应力称为比例极限 ） 2、弹性变形阶段 ： AB段 、 段 这时， 这时， 与 σ
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
力则在很小范围内波动，这种应力变化不大而应变显著增加 力则在很小范围内波动，这种应力变化不大而应变显著增加 的现象称为屈服或流动。 的现象称为屈服或流动。 屈服 C点和 点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈 点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和 点和 点对应的应力分别称为材料的上屈服极限 服极限，但在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的 采用下屈服极限作为 服极限 ， 但在实际应用中一般都 采用下屈服极限 作为 材料的 屈服极限 (yield limit)记作 记作