ramberg-osgood 应力应变关系
弹性力学：04 应力和应变的关系
广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材 料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许 多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足 以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律 各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
2024-O铝合金型材Ramberg-Osgood本构模型构建与方法研究
随着铝合金加工技术不断提升ꎬ材料数据库建立
性或者多线段方式ꎬ对线性和非线性段拉伸过程进行
和数字化分析方法ꎬ在产品项目研发中的地位逐步凸
近似替代ꎬ使得在数字化分析弹性变形阶段过程具有
显ꎬ也体现工业化技术底蕴与实力基础ꎮ 常规的典型
较大失真ꎮ 因此ꎬ材料数据处理是否科学及准确ꎬ则
铝合金拉伸数据在计算机实际记录中具有一定波动
本文采用反向挤压 ２０２４ 铝合金型材ꎬ 依照 ＧＪＢ
理炉ꎮ
试样制备及试验过程依照国标要求 [４] 执行ꎮ 试
收稿日期:２０１９－０８－２６
基金项目:辽宁省科技重大专项资助(２０１９ＪＨ１ / １０１０００１２)
作者简介:窦志家(１９８９－) ꎬ男ꎬ工程师ꎬ主要从事铝合金航空型材产品开发工作ꎮ
表征ꎮ
两点法建模是 Ｒａｍｂｅｒｇ － Ｏｓｇｏｏｄ 方程模型的一种
传统方法ꎬ通过选取曲线上两个点的坐标值ꎬ带入式
(１) 中ꎬ通过联立方程求解即可完成模型建立ꎮ 由于
Ｒａｍｂｅｒｇ －Ｏｓｇｏｏｄ 方程模型ꎬ在非线弹性低应力区域与
原始数据ꎮ 由于曲线必通过屈服点ꎬ因此随着应变量
增加强度差异逐渐缩小ꎮ 过屈服之后模型数据值与
式(１) 变为式(２) ꎮ
ｅ ｔｏｔａｌ ＝
ｆ
æ ｆ ö
＋ ０.００２ × ç
÷
Ｅ
è ｆ ０.２ｙｓ ø
ｎ
(２)
通过学者 研 究 发 现 [５] ꎬ 采 用 两 点 法 建 模 形 式 简
单ꎬ两个参考点选取多样ꎮ 但由于参考点取值产品的
２ Ｒａｍｂｅｒｇ － Ｏｓｇｏｏｄ 方程建立与分析
微小波动ꎬ会对 ｎ 取值范围和曲线形状具有一定的影
图 １ 拉伸曲线示意图
第三章应力应变关系复习PPT课件
6dxy2 6xy2d2
6dyz2 6yz2d2
6dzx26zx2d2
∵ d e 3 2 ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2
3
塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合 塑性变化不可逆——无单值一一对应
关系——与加载路径有关 对于应变硬化材料，卸载后的屈服应
力比初始屈服应力高
4
增量理论
又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或 应变速率之间关系的理论。 全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或
d 3 de 2 e
8
d x
x 'd
(
x
m )d
2 [ 3
x
1 2
(
y
z )]d
de e
[
x
1 2
(
y
z )]
d
y
de e
[
y
1 2
(
z
x )]
d z
de e
[
z
1 2
(
x
y )]
d
x
y
3de 2 e
xy
d yz
3de 2 e
yz
d zx
3de 2 e
zx
9
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程
材料符合Mises屈服准则 e = s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合
我所认识的应力应变关系讲解
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
应力与应变概念及实验应变片原理
应力与应变概念及实验应变片原理区分应力与应变的概念应力所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。
如图 1 所示：在圆柱体的项部向其垂直施加外力P 的时候，物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。
该内力被物体（这里是单位圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概括为单位截面积上的内力，单位为 Pa（帕斯卡）或 N/m2 。
例如，圆柱体截面积为 A(m2), 所受外力为 P(N 牛图 1 顿)，由外力 =内力可得，应力：（Pa 或者 N/m2 ）这里的截面积 A 与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应力。
应变当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL，那么圆柱体的长度则变为 L+ΔL。
这里，由伸长量ΔL和原长 L 的比值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。
与外力同方向的伸长 (或压缩 )方向上的应变称为“轴向应变”。
应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。
由于量值很小(1 ×10-6 百万分之一 )，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE表示。
而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。
直径为 d0 的棒产生Δd的变形时，直径方向的应变如下式所示：这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。
轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。
每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在 0.3 左右。
应力与应变的关系各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。
图 2 所示为一种普通钢材（软铁）的应力与应变关系图。
根据胡克定律，在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。
对应的最大应力称为比例极限。
或者图 2应力与应变的比例常数E被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应变片的构造及原理应变片的构造应变片有很多种类。
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。
则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。
一 应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。
图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。
如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。
此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。
若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。
从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。
（整理）弹性力学第四章应力和应变关系
（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。
由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。
应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。
对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。
对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。
分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。
⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。
§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。
借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。
本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。
根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/2/4
1
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
ji,j+ fi = 0
2019/2/4
ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章 应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与 应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
2019/2/4 3
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量 外力功增量 ：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/2/4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A
V
V
f udV F udS
C11 C12 C 22 C 对 称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪 应力。
2019/2/4 27
§4-2 线弹性体的本构关系
30
§4-2 线弹性体的本构关系
rambergosgood滞回曲线方程
```知识文章格式标题：深入解读Ramberg-Osgood滞回曲线方程正文：在工程力学和材料力学领域，Ramberg-Osgood滞回曲线方程是一个非常重要的方程。
它被广泛应用于描述材料的非线性应力-应变关系，尤其是弹塑性材料。
在本文中，我们将深入解读Ramberg-Osgood滞回曲线方程，探讨其物理意义、参数含义以及应用范围。
一、Ramberg-Osgood滞回曲线方程的推导与定义Ramberg-Osgood滞回曲线方程可以用来描述材料在弹性和塑性阶段的应力-应变曲线。
具体表达式如下：σ = Kε^n + αKε^{m}在公式中，σ代表应力，ε代表应变，K是材料的弹性模量，n和m是材料的流变指数，α是材料的非线性参数。
这个方程可以比较准确地描述材料的应力-应变关系，尤其是在高塑性变形区域。
二、Ramberg-Osgood滞回曲线方程的物理意义Ramberg-Osgood滞回曲线方程的物理意义在于描述材料在塑性变形阶段的非线性行为。
通过调整参数n、m和α，可以很好地拟合实际材料的应力-应变曲线，为工程设计和材料选型提供重要参考。
三、Ramberg-Osgood滞回曲线方程的应用范围Ramberg-Osgood滞回曲线方程适用于描述高塑性材料的应力-应变关系，特别是在大应变和多次加载循环下的材料行为。
它在航空航天、汽车制造、结构工程等领域有着广泛的应用。
结论与展望通过本文的讨论，我们对Ramberg-Osgood滞回曲线方程有了更深入的了解。
它不仅可以帮助工程师和科研人员更准确地描述材料的力学性能，还可以为材料设计和工程应用提供重要参考。
然而，对于不同类型材料的Ramberg-Osgood滞回曲线方程参数的确定仍然需要更多的研究和实验数据支持。
个人观点作为一名材料工程师，我深知Ramberg-Osgood滞回曲线方程在工程设计和材料选型中的重要性。
在实际工程应用中，我们需要结合实际情况和大量试验数据来确定材料的Ramberg-Osgood滞回曲线参数，以确保设计的可靠性和安全性。
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
应力应变关系
第四章 应力应变关系前一章引进了应力和应变的概念以及应力分析和应变分析的公式。
应力分析仅用到力的平衡概念，应变分析仅用到几何关系和位移的连续性。
这些都没有涉及到所研究物体的材料性质。
本章开始将研究材料的性质。
这些性质决定了各种材料特殊的应力－应变关系，显示出材料的力学性能。
下面将着重描述低碳钢的力学性能，介绍各向同性材料的广义胡克定律。
作为选读材料，将介绍各向异性的复合材料单层板的应力－应变关系。
§4-1 低碳钢的拉伸试验在分别考虑了应力和应变后，从直觉上知道这两个量是互相关联的。
事实上，在第一章的绪论里已经提到过应力应变之间的胡克定律。
它描述了很大一类材料在小变形范围，在简单拉伸（压缩）条件下所具有的线性弹性的力学性能。
低碳钢Q235是工程上常用的金属材料。
这一节着重介绍低碳钢的力学性能，然后简单介绍其他一些材料的性能。
有关材料性能的知识来自于宏观的材料试验，以及从这些试验得出的宏观的、唯象的理论。
固体物理学家一直在从原子和分子量级上研究这些力学性能的微观基础。
力学家也已开始从细观尺度来分析材料的力学性能，并已经取得了很大进展。
材料力学作为固体力学的入门课程，将只限于材料的宏观力学性能的描述。
为了确定应力与应变关系，最常用的办法是用单向拉伸（压缩）试验来测定材料的力学性质。
这种试验通常是在常温（室温）下对试件进行缓慢而平稳加载的静载试验。
5l d =一、低碳钢拉伸试验按照我国的国家标准 “金属拉伸试验试样” （GB6397－86），将试件按规定做成标准的尺寸。
图4－1所示是一根中间直径为d 的圆杆型试件，两端的直径比中间部分大，以便于在试验机夹头上夹持。
试件中间取一段长度为l 的等直部分作为标距。
对圆截面标准试件，规定标距l 与直径d 的关系为 ，或，分别称为10倍试件和5倍试件。
试件也可制成截面为矩形的平板型，平板试件的10倍与5倍试件的标距分别为10l d==l和l =，其中A 为试件的横截面面积。
海底管道弯矩-曲率形式的Ramberg-Osgood方程参数计算
０ 前 言
在海 底管 道铺 设过 程 中 ， 常使 用非 线性 有 限元分 析 软 件来 完 成 管线 的应 力应 变 分 析 工作 。进 行 应 力 通
应 变 分析 工作 ， 先需 要确 定 的是管 道材 料 的本 构关 系 。随着铺 管 作业 日益 向深 水发 展 ， 首 受材 料和作 业 条件 的 限制 ， 设 中 的海底 管道 不 可避免 地会 发生 塑 性变形 ， 了更 精 确地 描述 管道 材料 在发 生塑 性变形 状 态下 铺 为 的本 构关 系 ， 就需 要使 用非 线性 本构 方程 。Ｒａ ｅｇ Ｏ ｇ ｏ ｍｂ ｒ — ｓ ｏ ｄ方程 形 式 简单 ， 也能 够 较好 地 模 拟材 料 的塑 性
关 蕾 词 ：Ｒ ｍｂ ｒ ｇｏ ａ ｅ－ ｏ ｄ方 程 ｝ 构 关 系 ； 小二 乘 法 Ｏｓ 本 最
中 圈 分 类 号 ：Ｔ ５ Ｅ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ
ห้องสมุดไป่ตู้
Ｐａ ａ ｅ ｅ ｓ Ｃａ ｃ ｌ ｔｏ ｆ Ｒａ ｂ ｒ － ｇ ｏ ｒ ｍ ｔ ｒ ｌ ｕ ａ ｉ ｎ ｏ ｍ ｅ ｇ Ｏｓ ｏ ｄ Ｅｑｕ ｔｏ ｎ ａ ｉｎ ｉ
Ｍ ｏ ｅ － ｕ ｖ ｔ ｒ ｏ ｍ ｏ ｆ ｈ ｒ ｐｅ ｉ ｅ ｍ ｎｔｃ ｒ ａ ｕ ｅ Ｆ ｒ ｆ ｒ Ｏｆ ｓ ｏ ｅ Ｐｉ ｌｎ
ＢＡＩ Ｎｉ ｇ ＇一． ｎ ＺＨ ＡＯ ｎｇ ｙ ｎ Ｄｏ — ａ
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ｉｉＥ ｇｎ ｅｉｇ Ｔｉ ｊ ｉｅｓ ｙ Ｔｉ ｊ ０ ０ ２ Ｃ ｉａ ．Ｏｆ ｈ ｒ ｉ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ １ ｃ ｏ ｌ ｖｌ ｎ ｉｅｒ ， ａ ｉ Ｕｎｖ ｒｉ ， ａ ｉ ３ ０ ７ ， ｈｎ ；２ ｏ Ｃ ｎ ｎｎ ｔ ｎｎ ｆ ｏｅＯ ｌ ｎ ｉｅ ｒ ｓ ｎ
§2 应力应变分析及应力应变关系23
2 sin 2 x cos 2 0
主方向公式
2 x tan2 P x y
P 2 P1 90 - ~内，得两个值 P1 和 P 2 ，且
即这两个主平面相互垂直
13
主平面上的正应力称为主应力
将P1，P2代入（2.12）得出主平面上的主应力为：
例如外力作用在板平面内的薄板内任意点 取出的单元体
9
1.平面应力状态的工程表示方法 应力分量的正负号规定： y 正应力 x ， y 以拉为正 y 切应力 x ， y 以使单元体顺
y
x
x
时针转动为正
x
y
x
y
x
故切应力互等定理为：
x y
2. 斜截面应力公式——解析法
y
x
y x
x
y
x
y
2
x
上两式两边平方后相加
x y
2
2
2
x y 2
,
2
x y
2
R
2
2
圆的方程：圆心 ( 圆的半径： R
(
x y
§2 应力应变分析及应力应变关系
§2.1 应力的概念 一点处的应力状态
1. 应力的概念
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的 内力分量：FN , FS , T , M ——截面分布内力系向截 面形心简化后的等效力系 y x F
R
FN
T
FS
z
MC
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描 述内力的状况。
x y x y 2 主应力公式 （2.15) x 2 2 x y x y cos2 x sin 2 由斜面应力公式 2 2 x y d 2 sin 2 2 x cos 2 0 令 d 2
我所认识的应力应变关系
我所认识的应⼒应变关系我所认识的应⼒应变关系应⼒应变都是物体受到外界载荷产⽣的响应。
物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产⽣互相之间的⼒的作⽤，由于受到⼒的作⽤就会产⽣相应的变形；或者由于变形引起相应的⼒的作⽤。
则⼀定材料的物体其产⽣的应⼒和应变也必然存在⼀定的关系。
在⼒学上由于平衡⽅程仅建⽴了⼒学参数（应⼒分量与外⼒分量）之间的关系，⽽⼏何⽅程也仅建⽴了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的连系。
所以平衡⽅程与⼏何⽅程是两类完全相互独⽴的⽅程，它们之间还缺乏必要的联系，这种联系即应⼒和应变之间的关系。
有了可变形材料应⼒和应变之间关系和⼒学参数及运动学参数即可分析具体的⼒学问题。
由平衡⽅程和⼏何⽅程加上⼀组反映材料应⼒和应变之间关系的⽅程就可求解具体的⼒学问题。
这样的⼀组⽅程即所谓的本构⽅程。
讨论应⼒和应变之间的关系即可变为⼀定的材料建⽴合适的本构⽅程。
⼀．典型应⼒-应变关系图1-1 典型应⼒-应变曲线1）弹性阶段（OC 段）该弹性阶段为初始弹性阶段OC （严格讲应该为CA ’）,包括：线性弹性分阶段OA 段，⾮线性弹性阶段AB 段和初始屈服阶段BC 段。
该阶段应⼒和应变满⾜线性关系，⽐例常数即弹性模量或杨⽒模量，记作：εσE =，即在应⼒-应变曲线的初始部分（⼩应变阶段），许多材料都服从全量型胡克定律。
2）塑性阶段（CDEF 段）CDE 段为强化阶段，在此阶段如图1中所⽰，应⼒超过屈服极限，应变超过⽐例极限后，要使应变再增加，所需的应⼒必须在超出⽐例极限后继续增加，这⼀现象称为应变硬化。
CDE 段的强化阶段在E 点达到应⼒的最⾼点，荷载达到最⼤值，相应的应⼒值称为材料的强度极限（ultimate strength ），并⽤σb 表⽰。
超过强度极限后应变变⼤应⼒却下降，直到最后试件断裂。
这⼀阶段试件截⾯积的减⼩不是在整个试件长度范围发⽣，⽽是试件的⼀个局部区域截⾯积急剧减⼩。
这⼀现象称为“颈缩”（necking ）。
应力和应变关系
第四章应力和应变关系一. 内容介绍前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。
由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。
应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。
对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。
这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。
对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。
分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。
本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。
二. 重点1. 应变能函数和格林公式；2. 广义胡克定律的一般表达式；3. 具有一个和两个弹性对称面的本构关系；4. 各向同性材料的本构关系；3. 材料的弹性常数。
知识点应变能原理应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式广义胡克定理一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。
同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。
借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。
本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。
根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。
探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。
如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。
因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。
ramberg-osgood应力应变曲线
标题：Ramberg-Osgood应力应变曲线摘要：Ramberg-Osgood应力应变曲线是描述材料在非线性弹性阶段行为的重要模型，本文将对Ramberg-Osgood应力应变曲线的定义、特点、公式和应用进行详细介绍。
一、Ramberg-Osgood应力应变曲线的定义Ramberg-Osgood应力应变曲线是用来描述材料在非线性弹性阶段应力与应变之间的关系的曲线。
它是由美国工程师Ramberg和Osgood于1943年提出的一种理想化模型，被广泛应用于工程领域。
二、Ramberg-Osgood应力应变曲线的特点1. 非线性：Ramberg-Osgood应力应变曲线描述的是材料在非线性弹性阶段的应力应变关系，与线弹性材料不同，其应力应变曲线不再是一条直线。
2. 饱和：Ramberg-Osgood应力应变曲线通常在一定应变范围内呈现出饱和状态，即应力不再随着应变的增加而线性增加，而是呈现出逐渐趋于平稳的状态。
3. 曲线拟合：Ramberg-Osgood应力应变曲线采用了一个含有两个参数的方程进行曲线拟合，可以较好地描述材料在非线性弹性阶段的力学性能。
三、Ramberg-Osgood应力应变曲线的公式Ramberg-Osgood应力应变曲线的一般形式可以用下面的方程来表示：σ = K(ε - ε0)^n其中，σ表示应力，ε表示应变，K是材料的弹性模量，ε0是偏移参数，n是材料的硬化指数。
这个方程表达了应力与应变之间的非线性关系，通过调整K、n和ε0这三个参数，可以较好地拟合材料在非线性弹性阶段的力学性能。
四、Ramberg-Osgood应力应变曲线的应用Ramberg-Osgood应力应变曲线在工程领域有着广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 材料本身的力学性能研究：Ramberg-Osgood应力应变曲线能够很好地描述材料在非线性弹性阶段的力学性能，可以为工程师提供重要的参考数据。
2. 工程结构的计算与设计：在工程设计中，很多材料都呈现出非线性弹性的特性，采用Ramberg-Osgood应力应变曲线可以更准确地预测材料的应力应变行为，为工程结构的设计和计算提供帮助。
第四章应力与应变关系
广义虎克定律--应力应变曲线 其中E是与材料有关的弹性常数，通常称为弹性 模量，E的量纲与 相同，一般用GN/m2。 A 则称为 比例极限，上式即为虎克定律的数学表达式。 A点与B点非常接近，工程上弹性极限 B 和比例极限 A并不严格区分。这种情况下，横向应变 ' 与轴向 应变 绝对值之比一般是常数，即
过了屈服阶段以后，材料又恢复了抵抗变形的能力 ，要使它增加变形必须增加拉力，这种现象称为材料的 强化，强化阶段中的最高点D所对应的 D 称为强度极 限。
广义虎克定律--应力应变曲线 (四)局部变形阶段——DG段
过了D点以后，在局部范围内，横截面急剧缩小，
继续伸长需要拉力相应减小，到G点处，试件被拉断。
地球物理场论 I
海洋地球科学学院 地球探测信息与技术系
宋 鹏
第四章 应力与应变关系
4.1 广义虎克定律 4.2 工程弹性常数及相互间关系式 4.3 简单和复杂应力状态下弹性应变能和应变能密度 4.4 能量密度与能通量密度
应力与应变关系
在前几章中，从静力学、动力学和几何学的观点 分别研究了应力和应变。前面知道联结应力分量(6个)
l1 n3 cos180 1 m2 cos 0 1 l2 l3 m1 m3 n1 n2 cos 90 0
各向同性体的广义虎克定律 因此新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该 等于零，且因各向同性时，弹性系数C41，C42和C43应 该不随方向面改变，故取 x, y, z 分别为1′，2′和3′ 轴，同样由式（4-3）第4式得：
2 t 2 2 3 t 2 3
(j)
常数 和 称为拉梅(Lame)弹性常数，简称拉梅 常数。
塑性加工力学__第6章_应力应变关系
3 d e d 2 e
2 1 ' d x x d ( x m )d [ x ( y z )]d 3 2 d e 1 [ x ( y z )] 2 e d e 1 [ y ( z x )] d y e 2 d e 1 [ z ( x y )] d z e 2 3d e 3d e 3d e xy d yz yz d zx zx d xy 2 e 2 e 2 e
2
1 3
2
2 0
中间关系
顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律 其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断
1 2 3
(1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
根据Levy-Mises方程
d 1 d 2 d 3 d ( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )
65应力应变顺序对应规律塑性变形时当主应力顺序不变且应变主轴方向不变时则主应变的顺序与主应力顺序相对应即这种规律称为应力应变顺序对应关系顺序对应关系和中间关系统称为应力应变对应规律其实质是将增量理论的定量描述变为一种定性判断中间关系由于初始应变为零的变形过程可视为几个阶段组成在时间间隔t1中应变增量为由于主轴方向不变各方向的应变全量总应变等于各阶段应变增量之和即所以同理所以顺序对应关系得证又根据体积不变条件由于皆大于零应力应变的中间关系应变属于剪切类变形平面属于压缩类变形应变状态为属于拉伸类变形应变状态为
F ( f , f )
σS
F
'
后继屈服轨迹
τS B O
J
ε, γ
O
65号钢应力应变曲线试验研究
65号钢应力-应变曲线试验研究摘要：使用CMT5105型电子万能试验机对65号钢进行单轴拉伸试验，得到其应力-应变曲线和拉伸时的机械性能，通过理论推导得到其真应力-真应变曲线。
最后采用Ramberg-Osgood 公式，利用最小二乘法获取65号钢试验数据的拟合曲线，以用于有限元等进一步研究中。
关键词：65号钢单轴拉伸试验应力-应变曲线Ramberg-Osgood公式Experimental Study on Stress-Strain Curves of Steel No.65 Abstract: CMT5105 electronic universal testing machine is used for the uniaxial tensile test of steel no.65. The stress-strain curve and the mechanical properties of tensile are obtained. The true stress-true strain curve is obtained through theoretical derivation. Finally, Ramberg-Osgood equation is used and the least squares method is applied to obtain the experimental data curve fitting of steel no.65, which will be used for further studies such as finite element.Key Words: Steel No.65; Uniaxial Tensile Test; Stress-Strain Curves; Ramberg-Osgood equation. 前言目前国内关于65号钢的疲劳寿命研究相对来说比较少，对其性能的了解还不足以应用到实际工程中。
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ramberg-osgood 应力应变关系
应力应变关系是描述材料在外部力作用下发生变形的关系。
在力作用下，材料内部会产生应力，而应变则是材料对应力作用的响应。
应力和应变之间的关系可以通过应力应变曲线来表示。
常见的应力应变关系有线性弹性应力应变关系、塑性应力应变关系和黏弹性应力应变关系等。
线性弹性应力应变关系是指材料在小应变范围内，应力和应变成正比例关系，并且在去除外力后能恢复原始状态。
此关系可以用胡克定律表示，即应力等于弹性模量（Young's modulus）和应变的乘积。
塑性应力应变关系是指材料在大应变范围内，应力和应变不再成正比例关系，并且在去除外力后无法完全恢复到原始状态。
材料会发生塑性变形，导致永久性变形。
黏弹性应力应变关系是指材料既具有弹性特性又具有粘性特性。
在施加外力后，材料会发生弹性变形，而在去除外力后仍然有一部分变形保留下来，称为粘性变形。
黏弹性应力应变关系可以通过弹性模量和黏性模量来描述。
总而言之，应力应变关系描述了材料在力作用下的变形行为，不同材料具有不同的应力应变特性，这对工程设计、材料选择和结构分析等方面具有重要意义。