平面向量、数系的扩充与复数的引入 教案
2014届高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入
数系的扩充与复数的引入[知识能否忆起]一、复数的有关概念1.复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数;若b ≠0,则a +b i 为虚数;若a =0,b ≠0,则a +b i 为纯虚数.2.复数相等:a +b i =c +d i ⇔a =c ,b =d (a ,b ,c ,d ∈R ).3.共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭⇔a =c ,b +d =0(a ,b ,c ,d ∈R ).4.复数的模:向量OZ ―→的长度叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2.二、复数的几何意义复数z =a +b i ―→复平面内的点Z (a ,b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则: (1)加法:z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i ; (2)减法:z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i ; (3)乘法:z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ; (4)除法:z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=(ac +bd )+(bc -ad )ic 2+d 2(c +d i ≠0).2.复数加法、乘法的运算律对任意z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3);z 1·z 2=z 2·z 1,(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3),z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.[小题能否全取]1.(教材习题改编)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若(1-2i)(a +i)为纯虚数,则a 的值等于( )A .-6B .-2C .2D .6解析:选B 由(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i 是纯虚数,得⎩⎪⎨⎪⎧a +2=0,1-2a ≠0,由此解得a=-2.2.(2011·湖南高考)若a ,b ∈R ,i 为虚数单位,且(a +i)i =b +i ,则( ) A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =-1,b =-1D .a =1,b =-1解析:选D 由(a +i)i =b +i ,得-1+a i =b +i ,根据两复数相等的充要条件得a =1,b =-1.3.(2012·天津高考)i 是虚数单位,复数5+3i4-i =( )A .1-iB .-1+iC .1+iD .-1-i解析:选C 5+3i 4-i =(5+3i )(4+i )(4-i )(4+i )=20+5i +12i +3i 216-i 2=17+17i17=1+i.4.若复数z 满足z1+i =2i ,则z 对应的点位于第________象限.解析:z =2i(1+i)=-2+2i ,因此z 对应的点为(-2,2),在第二象限内. 答案:二5.若复数z 满足z +i =3+ii ,则|z |=________.解析:因为z =3+ii -i =1-3i -i =1-4i ,则|z |=17.答案:17 1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意 (1)|z |=|z -0|=a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ; (2)|z -z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离. 2.复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略:①z =a +b i ∈R ⇔b =0(a ,b ∈R );②z ∈R ⇔z =z . (2)证明复数是纯虚数的策略:①z =a +b i 为纯虚数⇔a =0,b ≠0(a ,b ∈R ); ②b ≠0时,z -z =2b i 为纯虚数;③z 是纯虚数⇔z +z =0且z ≠0.典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2-b i1+2i (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于( )A .-23B.23C. 2D .2[自主解答] (1)若复数a +bi =a -b i 为纯虚数,则a =0,b ≠0,ab =0;而ab =0时a=0或b =0,a +b i 不一定是纯虚数,故“ab =0”是“复数a +bi 为纯虚数”的必要不充分条件.(2)2-b i 1+2i =(2-b i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(2-2b )-(4+b )i5,依题意有2-2b =4+b ,解得b =-23.[答案] (1)B (2)A由题悟法处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和虚部,从定义出发,把复数问题转化成实数问题来处理.由于复数z =a +b i(a ,b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定,故复数z 与点Z (a ,b )相对应.以题试法1.(2012·东北模拟)已知x1+i =1-y i ,其中x ,y 是实数,i 是虚数单位,则x +y i 的共轭复数为( )A .1+2iB .1-2iC .2+iD .2-i解析:选D 依题意得x =(1+i)(1-y i)=(1+y )+(1-y )i ;又x ,y ∈R ,于是有⎩⎪⎨⎪⎧x =1+y ,1-y =0,解得x =2,y =1. x +y i =2+i ,因此x +y i 的共轭复数是2-i.典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则2-iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[自主解答] 选C 依题意得2-i z =2-i -1+2i =(2-i )(-1-2i )(-1+2i )(-1-2i )=-4-3i5,因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫-45,-35,位于第三象限.由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的,因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解,利用平行四边形法则或三角形法则解决问题.以题试法2.(1)在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A ,B ,若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )A .4+8iB .8+2iC .2+4iD .4+i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,若OC =λOA +μOB,(λ,μ∈R ),则λ+μ的值是________.解析:(1)复数6+5i 对应的点为A (6,5),复数-2+3i 对应的点为B (-2,3).利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4),故点C 对应的复数为2+4i.(2)由条件得OC =(3,-4),OA =(-1,2),OB=(1,-1),根据OC =λOA +μOB 得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),∴⎩⎪⎨⎪⎧ -λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-1,μ=2.∴λ+μ=1. 答案:(1)C (2)1典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( ) A .3+5i B .3-5i C .-3+5iD .-3-5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2+i 3+i 41-i =( )A .-12-12iB .-12+12iC.12-12iD.12+12i [自主解答] (1)z =11+7i 2-i =(11+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=15+25i5=3+5i.(2)i 2+i 3+i 41-i =(-1)+(-i )+11-i =-i1-i=-i (1+i )(1-i )(1+i )=1-i 2=12-12i.[答案] (1)A (2)C由题悟法1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数,注意要把i 的幂写成最简形式.2.记住以下结论,可提高运算速度:①(1±i)2=±2i ;②1+i 1-i =i ;③1-i 1+i =-i ;④a +b i i =b -a i ;⑤i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i(n ∈N ).以题试法3.(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ,若z =1-i(i 为虚数单位),则z z +z 2的值为( )A .-3iB .-2iC .iD .-i(2)i 为虚数单位,⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 4=________. 解析:(1)依题意得zz +z 2=1+i 1-i +(1-i)2=-i 2+i 1-i-2i =i -2i =-i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 4=⎣⎡⎦⎤(1+i )224=i 4=1.答案:(1)D (2)11.(2012·江西高考)若复数z =1+i(i 为虚数单位),z 是z 的共轭复数,则z 2+z 2的虚部为( )A .0B .-1C .1D .-2解析:选A ∵z =1+i ,∴z =1-i ,∴z 2+z 2=(z +z )2-2z z =4-4=0,∴z 2+z2的虚部为0.2.(2012·北京高考)在复平面内,复数10i 3+i 对应的点的坐标为( )A .(1,3)B .(3,1)C .(-1,3)D .(3,-1)解析:选A 由10i3+i =10i (3-i )(3+i )(3-i )=10(1+3i )10=1+3i 得,该复数对应的点为(1,3).3.(2012·长春调研)若复数(a +i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上,则实数a 的值是( )A .1B .-1 C. 2D .- 2解析:选B 因为复数(a +i)2=(a 2-1)+2a i ,所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2-1,2a ),又因为该点在y 轴负半轴上,所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,2a <0,解得a =-1.4.(2013·萍乡模拟)复数(1+2i )(2+i )(1-i )2等于( )A.52 B .-52C.52iD .-52i解析:选B (1+2i )(2+i )(1-i )2=2+4i +i +2i 2-2i =5i -2i =-52. 5.(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位,复数z =2+i 1-2i,则|z |+1z =( )A .iB .1-iC .1+iD .-i解析:选B 由已知得z =2+i 1-2i =-2i 2+i 1-2i =i (1-2i )1-2i=i ,|z |+1z =|i|+1i =1-i.6.(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ,若(2+i)z =3-i ,则z ·z 的值为( ) A .1 B .2 C. 2D .4解析:选B 设z =a +b i(a ,b ∈R ),代入(2+i)z =3-i ,得(2a -b )+(2b +a )i =3-i ,从而可得a =1,b =-1,那么z ·z =(1-i)(1+i)=2.7.(2013·长沙模拟)已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ,i 2,1i ,(1+i )2i ,i 是虚数单位,Z 为整数集,则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A .3个B .2个C .1个D .0个解析:选B 由已知得M ={i ,-1,-i,2},Z 为整数集,∴Z ∩M ={-1,2},即集合Z ∩M 中有2个元素.8.定义:若z 2=a +b i(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),则称复数z 是复数a +b i 的平方根.根据定义,则复数-3+4i 的平方根是( )A .1-2i 或-1+2iB .1+2i 或-1-2iC .-7-24iD .7+24i解析:选B 设(x +y i)2=-3+4i(x ,y ∈R ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 2-y 2=-3,xy =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =2,或⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2.9.在复平面内,复数1+i 与-1+3i 分别对应向量OA 和OB,其中O 为坐标原点,则|AB|=________.解析:由题意知A (1,1),B (-1,3),故|AB|=(-1-1)2+(3-1)2=2 2.答案:2 210.已知复数z =1-i ,则z 2-2zz -1=________.解析:z 2-2z z -1=(z -1)2-1z -1=z -1-1z -1=(-i)-1-i =-i -i -i·i =-2i.答案:-2i11.设复数z 满足|z |=5且(3+4i)z 是纯虚数,则z =________. 解析:设z =a +b i(a ,b ∈R ),则有a 2+b 2=5. 于是(3+4i)z =(3a -4b )+(4a +3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a -4b =04a +3b ≠0得b =34a 代入得a 2+⎝⎛⎭⎫34a 2=25,a =±4,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a =4,b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =-3.∴z =4-3i 或z =-4+3i. 答案:±(4-3i)12.(-1+i )(2+i )i 3=________.解析:(-1+i )(2+i )i 3=-3+i -i =-1-3i.答案:-1-3i13.(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,且z 1·z 2是实数,则z 2=________.解析:(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i. 设z 2=a +2i ,a ∈R . 则z 1·z 2=(2-i)(a +2i) =(2a +2)+(4-a )i.∵z 1·z 2∈R ,∴a =4.∴z 2=4+2i. 答案:4+2i14.若复数z =a 2-1+(a +1)i(a ∈R )是纯虚数,则1z +a的虚部为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1=0,a +1≠0,所以a =1,所以1z +a =11+2i =1-2i (1+2i )(1-2i )=15-25i ,根据虚部的概念,可得1z +a的虚部为-25.答案:-251.(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1+x ,x ∈R ,(1-i )x ,x ∉R ,则f (1+i)等于( )A .2+iB .-2C .0D .2解析:选D ∵1+i ∉R ,∴f (1+i)=(1-i)(1+i)=2.2.已知i 为虚数单位,a 为实数,复数z =(1-2i)(a +i)在复平面内对应的点为M ,则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C z =(1-2i)(a +i)=(a +2)+(1-2a )i ,若其对应的点在第四象限,则a +2>0,且1-2a <0,解得a >12.即“a >12”是“点M 在第四象限”的充要条件.3.已知复数z =x +y i(x ,y ∈R ),且|z -2|=3,则yx 的最大值为________.解析:|z -2|=(x -2)2+y 2=3,∴(x -2)2+y 2=3. 由图可知⎝⎛⎭⎫y x max=31= 3. 答案: 34.复数z =(m 2+5m +6)+(m 2-2m -15)i ,与复数12+16i 互为共轭复数,则实数m =________.解析:根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+5m +6=12,m 2-2m -15=-16.解之得m =1. 答案:15.已知z 是复数,z +2i ,z 2-i 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围.解:设z =x +y i(x ,y ∈R ),则z +2i =x +(y +2)i ,由题意得y =-2. ∵z 2-i =x -2i 2-i =15(x -2i)(2+i)=15(2x +2)+15(x -4)i. 由题意得x =4,∴z =4-2i. ∴(z +a i)2=(12+4a -a 2)+8(a -2)i.由于(z +a i)2在复平面上对应的点在第一象限,∴⎩⎪⎨⎪⎧12+4a -a 2>0,8(a -2)>0,解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6).6.设z 是虚数,ω=z +1z ,且-1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围; (2)设u =1-z1+z ,求证:u 为纯虚数.解:(1)设z =a +b i(a ,b ∈R ,b ≠0),ω=a +b i +1a +b i =⎝⎛⎭⎫a +a a 2+b 2+⎝⎛⎭⎫b -b a 2+b 2i ,∵ω是实数,∴b -ba 2+b2=0.又b ≠0,∴a 2+b 2=1.∴|z |=1,ω=2a . ∵-1<ω<2,∴-12<a <1,即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,1. (2)u =1-z 1+z =1-a -b i 1+a +b i =1-a 2-b 2-2b i (1+a )2+b 2=-ba +1i. ∵-12<a <1,b ≠0,∴u 为纯虚数.1.已知a +2ii =b +i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a +b =( )A .-1B .1C .2D .3解析:选B a +2i i =i (a +2i )i 2=2-a i =b +i ,由复数相等的条件得b =2,a =-1,则a +b =1.2.对任意复数z =x +y i(x ,y ∈R ),i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A .|z -z |=2yB .z 2=x 2+y 2C .|z -z |≥2xD .|z |≤|x |+|y |解析:选D ∵z -z =2y i ,∴|z -z |=2|y |,选项A 、C 错误;而z 2=(x +y i)2=x 2-y 2+2xy i ,选项B 错误;而|z |=x 2+y 2,|z |2=x 2+y 2,(|x |+|y |)2=x 2+y 2+2|xy |≥x 2+y 2,因此|z |≤|x |+|y |.3.已知虚数z ,使得z 1=z 1+z 2和z 2=z 21+z 都为实数,求z .解:设z =x +y i(x ,y ∈R ,且y ≠0),则z 2=x 2-y 2+2xy i ,∴z 1=x (x 2+y 2+1)+y (1-x 2-y 2)i(x 2-y 2+1)2+4x 2y 2,∵z 1∈R ,又y ≠0,∴x 2+y 2=1,同理,由z 2∈R 得x 2+2x +y 2=0,解得⎩⎨⎧x =-12,y =±32.∴z =-12±32i.三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2012·新课标全国卷)复数z =-3+i2+i 的共轭复数是( )A .2+iB .2-iC .-1+iD .-1-i解析:选D z =-3+i 2+i =(-3+i )(2-i )(2+i )(2-i )=-1+i ,所以z =-1-i.2.(2012·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,0,cos x =45,则tan 2x =( ) A.724 B .-724C.247D .-247解析:选D 依题意得sin x =-1-cos 2x =-35,tan x =sin x cos x =-34,所以tan 2x =2tan x1-tan 2x=2×⎝⎛⎭⎫-341-⎝⎛⎭⎫-342=-247. 3.(2012·广州调研)设复数z 1=1-3i ,z 2=3-2i ,则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选D 因为z 1z 2=1-3i 3-2i =(1-3i )(3+2i )(3-2i )(3+2i )=9-7i 13,所以z 1z 2在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫913,-713,在第四象限.4.(2012·邵阳模拟)已知a =(1,sin 2x ),b =(2,sin 2x ),其中x ∈(0,π).若|a ·b |=|a ||b |,则tan x 的值等于( )A .1B .-1 C. 3D.22解析:选A 由|a ·b |=|a ||b |知, a ∥b ,所以sin 2x =2sin 2x ,即2sin x cos x =2sin 2x ,而x ∈(0,π), 所以sin x =cos x ,tan x =1.5.(2012·福州质检查)“cos α=35”是“cos 2α=-725”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A ∵cos α=35,∴cos 2α=2cos 2α-1=2×925-1=-725,∴由cos α=35可推出cos 2α=-725.由cos 2α=-725得cos α=±35,∴由cos 2α=-725不能推出cos α=35.综上,“cos α=35”是“cos 2α=-725”的充分而不必要条件.6.若函数f (x )=sin x +φ3(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( ) A.π2B.2π3C.3π2D.5π3解析:选C ∵f (x )为偶函数,∴φ3=k π+π2(k ∈Z ),∴φ=3k π+32π(k ∈Z ).又∵φ∈[0,2π],∴φ=32π.7.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,若c cos A =b ,则△ABC ( ) A .一定是锐角三角形 B .一定是钝角三角形 C .一定是直角三角形 D .一定是斜三角形解析:选C 在△ABC 中,因为c cos A =b ,根据余弦定理,得c ·b 2+c 2-a 22bc =b ,故c 2=a 2+b 2,因此△ABC 一定是直角三角形.8.设点A (2,0),B (4,2),若点P 在直线AB 上,且|AB |=2|AP|,则点P 的坐标为( )A .(3,1)B .(1,-1)C .(3,1)或(1,-1)D .无数多个解析:选C 设P (x ,y ),则由|AB |=2|AP |,得AB =2AP 或AB =-2AP . AB =(2,2),AP=(x -2,y ),即(2,2)=2(x -2,y ),x =3,y =1,P (3,1),或(2,2)=-2(x -2,y ),x =1,y =-1,P (1,-1).9.(2012·福州质检)将函数f (x )=sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后,所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫-π4,0 B.⎝⎛⎭⎫0,π2 C.⎝⎛⎭⎫π2,3π4D.⎝⎛⎭⎫3π4,π解析:选B 将函数f (x )=sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )=sin2⎝⎛⎭⎫x -π4=-cos 2x 的图象,则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π,k π+π2,k ∈Z ,而满足条件的只有B.10.(2012·西安名校三检)已知tan β=43,sin(α+β)=513,且α,β∈(0,π),则sin α的值为( )A.6365 B.1365 C.3365D.6365或3365解析:选A 依题意得sin β=45,cos β=35;注意到sin(α+β)=513<sin β,因此有α+β>π2(否则,若α+β≤π2,则有0<β<α+β≤π2,0<sin β<sin(α+β),这与“sin(α+β)<sin β”矛盾),cos(α+β)=-1213,sin α=sin[(α+β)-β]=sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=6365.11.(2012·河南三市调研)在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且b 2=a 2-ac +c 2,C -A =90°,则cos A cos C =( )A.14B.24C .-14D .-24解析:选C 依题意得a 2+c 2-b 2=ac ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =ac 2ac =12.又0°<B <180°,所以B =60°,C +A =120°.又C -A =90°,所以C =90°+A ,A =15°,cos A cos C =cos A cos(90°+A )=-12sin 2A =-12sin 30°=-14.12.(2012·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ,b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中,则a ∘b =( )A.52B.32 C .1D.12解析:选D a ∘b =a ·b b ·b =|a ||b|cos θ|b |2=|a |cos θ|b |,①b ∘a =b ·a a ·a =|b ||a |cos θ|a |2=|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4,π2,∴0<cos θ<22. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )=cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0,12. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中,设a ∘b =n 12,b ∘a =n 22(n 1,n 2∈Z ),即(a ∘b )·(b ∘a )=cos 2θ=n 1n 24,所以0<n 1n 2<2,所以n 1,n 2的值均为1,故a ∘b =n 12=12.二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知a =2,b =3,则sin Asin (A +C )=________.解析:sin A sin (A +C )=sin A sin B =a b =23.答案:2314.(2012·安徽高考)设向量a =(1,2m ),b =(m +1,1),c =(2,m ).若(a +c )⊥b ,则|a |=________.解析:a +c =(1,2m )+(2,m )=(3,3m ). ∵(a +c )⊥b ,∴(a +c )·b =(3,3m )·(m +1,1)=6m +3=0. ∴m =-12.∴a =(1,-1).∴|a |= 2. 答案: 215.如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN 共面,在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A 、B 的距离为106米,则旗杆的高度为________米.解析:由题可知∠BAN =105°,∠BNA =30°,由正弦定理得AN sin 45°=106sin 30°,解得AN =203(米),在Rt △AMN 中,MN =203sin 60°=30(米).故旗杆的高度为30米.答案:3016.已知函数f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1,x ∈R ,若函数h (x )=f (x +α)的图象关于点⎝⎛⎭⎫-π3,0对称,且α∈(0,π),则α的值为________. 解析:∵f (x )=2sin 2⎝⎛⎭⎫π4+x -3cos 2x -1=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3,∴h (x )=f (x +α)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2α-π3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫-π3,0∴-2π3+2α-π3=k π.∴α=(k +1)π2,k ∈z .又α∈(0,π),∴α=π2.答案:π2三、解答题(本题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)(2012·广州二测)已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π3(A >0,ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12,2,⎝⎛⎭⎫11π12,-2. (1)求A 和ω的值;(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin α=45,求f (α)的值. 解:(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫5π12,2, ∴A =2,得函数f (x )的周期T =2⎝⎛⎭⎫11π12-5π12=π, ∴ω=2πT=2.(2)由(1)知f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin α=45, ∴cos α=1-sin 2α=35,∴sin 2α=2sin αcos α=2425,cos 2α=cos 2α-sin 2α=-725.∴f (α)=2sin ⎝⎛⎭⎫2α-π3=2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3-cos 2αsin π3 =2⎝⎛⎭⎫2425×12+725×32=24+7325.18.(本小题满分12分)(2012·天津高考)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3+sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3+2cos 2x -1,x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期;(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值. 解:(1)f (x )=sin 2x ·cos π3+cos 2x ·sin π3+sin 2x ·cos π3-cos 2x ·sin π3+cos 2x =sin 2x +cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π8上是增函数,在区间⎣⎡⎦⎤π8,π4上是减函数,又f ⎝⎛⎭⎫-π4=-1,f ⎝⎛⎭⎫π8=2,f ⎝⎛⎭⎫π4=1,故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为2,最小值为-1. 19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足(2a -c )cos B =b cos C .(1)求角B 的大小;(2)设m =(sin A ,cos 2A ),n =(4k,1)(k >1),且m ·n 的最大值是5,求k 的值.解:(1)因为(2a -c )cos B =b cos C ,所以在△ABC 中,由正弦定理,得(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ,所以2sin A cos B =sin B cos C +cos B sin C , 即2sin A cos B =sin A .又在△ABC 中,sin A >0,B ∈(0,π),所以cos B =12.所以B =π3.(2)因为m =(sin A ,cos 2A ),n =(4k,1)(k >1), 所以m ·n =4k sin A +cos 2A =-2sin 2A +4k sin A +1, 即m ·n =-2(sin A -k )2+2k 2+1.又B =π3,所以A ∈⎝⎛⎭⎫0,2π3.所以sin A ∈(0,1]. 所以当sin A =1⎝⎛⎭⎫A =π2时,m ·n 的最大值为4k -1. 又m ·n 的最大值是5,所以4k -1=5.所以k =32.20.(本小题满分12分)已知复数z 1=sin 2x +t i ,z 2=m +(m -3cos 2x )i(i 为虚数单位,t ,m ,x ∈R ),且z 1=z 2.(1)若t =0且0<x <π,求x 的值;(2)设t =f (x ),已知当x =α时,t =12,试求cos ⎝⎛⎭⎫4α+π3的值. 解:(1)因为z 1=z 2,所以⎩⎨⎧sin 2x =m ,t =m -3cos 2x ,即t =sin 2x -3cos 2x .若t =0,则sin 2x -3cos 2x =0,得tan 2x = 3. 因为0<x <π,所以0<2x <2π,所以2x =π3或2x =4π3,所以x =π6或x =2π3.(2)因为t =f (x )=sin 2x -3cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 因为当x =α时,t =12,所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α-π3=12, sin ⎝⎛⎭⎫π3-2α=-14, 所以cos ⎝⎛⎭⎫4α+π3=cos 2⎝⎛⎭⎫2α+π6=2cos 2⎝⎛⎭⎫2α+π6-1=2sin 2⎝⎛⎭⎫π3-2α-1=2⎝⎛⎭⎫-142-1=-78.21.(本小题满分12分)(2012·长春调研)如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ,B 两点.(1)如果A ,B 两点的纵坐标分别为45,1213,求cos α和sin β;(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值;(3)已知点C (-1,3),求函数f (α)=OA ·OC的值域.解:(1)根据三角函数的定义,得sin α=45,sin β=1213.又α是锐角,所以cos α=35.(2)由(1)知sin β=1213.因为β是钝角,所以cos β=-513.所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α =⎝⎛⎭⎫-513×35+1213×45=3365. (3)由题意可知,OA =(cos α,sin α),OC=(-1,3).所以f (α)=OA ·OC =3sin α-cos α=2sin ⎝⎛⎭⎫α-π6, 因为0<α<π2,所以-π6<α-π6<π3,所以-12<sin ⎝⎛⎭⎫α-π6<32,从而-1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(-1, 3).22.(本小题满分12分)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是∠A ,∠B ,∠C 的对边长,已知 2sin A =3cos A .(1)若a 2-c 2=b 2-mbc ,求实数m 的值; (2)若a =3,求△ABC 面积的最大值.解:(1)由2sin A =3cos A 两边平方得2sin 2A =3cos A 即(2cos A -1)(cos A +2)=0,解得cos A =12或cos A =-2(舍).而a 2-c 2=b 2-mbc 可以变形为b 2+c 2-a 22bc =m2,即cos A =m 2=12,所以m =1.(2)由(1)知 cos A =12,则sin A =32.又b 2+c 2-a 22bc =12,所以bc =b 2+c 2-a 2≥2bc -a 2,即bc ≤a 2.当且仅当b =c 时等号成立.故S △ABC =bc 2sinA ≤a 22·32=334.。
第三章数系的扩充与复数的引入教材分析
第三章数系的扩充与复数的引入》教材分析广州市黄埔区教育局教研室肖凌戆数系的扩充与复数的引入是选修1-2与选修2-2 的内容,是高中生的共同数学基础之一.数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时了数学产生、发展的客观需求,复数的引入襀了中学阶段数系的又一次扩充.《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化.这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从而形成正确的数学观;有助于发展学生的全新意识和创新能力.复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义;能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本章内容分为2节,教学时间约4 课时.第一节数系的扩充和复数的概念本节的主要教学内容是数系的扩充和复数的概念、复数的几何意义(几何表示和向量表示).•教学目标(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.(3)了解复数的代数表示法及其几何意义.•教学重点(1)数系的扩充过程.(2)复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件.(3)复数的几何意义.•教学难点(1)虚数单位i 的引进.(2)复数的几何意义.•教学时数本节教学,建议用2 课时.第1 课时处理数系的扩充和复数的概念;第 2 课时研究复数的几何意义.•课标对本节内容的处理特点数系的扩充和复数的概念,《课标》与《大纲》教学内容相同,但在处理方式和目标定位上存在差异:(1)《课标》将复数作为数系扩充的结果引入.《大纲》教科书先安排复数的概念,再研究复数的运算,最后介绍数系的扩充.《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的基础上引入复数的概念,力求还原复数的发现与建构过程.(2)《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.从这上点上看,《课标》要求提高了.(3)在复数的代数表示法及其几何意义上,《课标》的教学定位是“了解”,而《大纲》要求“掌握”.从这上点上看,《课标》要求降低了.•教学建议1 •关于“数系的扩充的复数的概念”的教学建议(1)课题的引入•教学时,可从方程在给定范围内是否有解提出问题:①在自然数集N中,方程x= 0有解吗?②在整数集Z中,方程2x =1有解吗?③在有理数集Q中,方程x2= 2有解吗?④在实数集R中,方程•有解吗?(2)回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程•帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征•可让学生思考如下问题:①从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充?②每一次扩充的主要原因是什么?③每一次扩充的共同特征是什么?然后师生共同归纳总结:扩充原因:① 满足实际问题解决的需要;② 满足数学自身完善和发展的需要. 扩充特征:① 引入新的数;② 原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展.(3)提出新的问题:如何对实数集进行扩充,使方程x2T=0在新的数集中的解?(4)引入虚数单位i .(5)学习复数的概念.(6 )规定复数相等的意义.(7)研究复数的分类.(8)告诉学生“两个复数只能说相等或不相等,不能比较大小”的理由:①a,bi=c,di=a=c, b = d ;在a=c b c两式中,只要有一个不成立,则a bi = c di .②如果两个复数都是实数,则可以比较大小;否则,不能比较大小.③“不能比较大小”的确切含义是指:不论怎样定义两个复数之间的一个关系“v”,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质:对于任意实数a , b来说,a ::: b , a = b , b . a这种情况有且只有一种成立;如果a : b, b c,那么a c ;女口果a :: b,那么a c :: b c ;如果a : b, 0 :::c,那么ac ::: bc.2 •关于“复数的几何意义”的教学建议(1 )帮助学生认识复数的几何表示.复数的几何表示就是指用复平面内的点Z ( a,b)来表示复数z = a bi .①明确“复平面”的概念.②建立复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的—对应关系,即J一一对应、复数z=a,bi = "复平面内的点Z ( a,b).(2 )帮助学生认识复数的向量表示•复数的向量表示就是指用复平面内的向量OZ 来表示复数z = a bi •①认识复平面内的点Z ( a,b )与向量OZ 的■对应关系.② 在相互联系中把握复数的向量表示:复数z = a bi——对应戸' .兀、——对应点 Z ( a,b —— 对应 > 向量OZ(3 )用数形结合的思想方法,强化对复数几何意义的认识.在复平面内,实数与实轴上的点一一对应,纯虚数与虚轴上的点(原点除外)一一对应,非纯虚数的 虚数与象限内的点一一对应•可通过一组练习题来强化这一认识.第二节 复数代数形式的四则运算本节的主要教学内容是复数代数形式的加减运算及其几何意义,复数代数形式的乘除运算. •教学目标(1 )掌握复数代数形式的加减运算法则. (2 )了解复数代数形式的加减运算的几何意义. (3 )理解复数代数形式的乘除运算法则. (4)体验复数问题实数化的思想方法. •教学重点(1) 复数代数形式的加减运算及其几何意义. (2) 复数代数形式的乘除运算.(3) 复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用. •教学难点(1) 复数代数形式的加减运算的规定.(2) 复数代数形式的加减运算的几何意义的理解. (3) 复数代数形式的乘除运算法则的运用. •教学时数本节教学,建议用 2课时•第1课时处理复数代数形式的加减运算及其几何意义;第 2课时研究复数代数形式的乘除运算.•课标对本节内容的处理特点复数代数形式的四则运算, 《课标》与《大纲》教学内容与要求基本相同,但在目标定位上存在差异:(1) 《课标》要求了解复数代数形式的加减运算的几何意义,对复数的向量表示提出了要求,强化了 数形结合思想方法; (2) 《课标》明确强调“淡化烦琐的计算和技巧性训练,突出了复数问题实数化的思想方法. •教学建议1 •复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定,要让学生理解其合理性•这种合理性应从数 系扩充的角度来理解:这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的,而且实数加法、乘法的有关运算律在 这里仍然成立.2 •复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算,要让学生按照这种规定自主得出复数 减法和除法的运算法则. 3•复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”,利用i 2二-1,将它们归结为实数的四则运算•在具体运算情境中,弓I 入共轭复的概念,明确公式(a - bi)(a_bi)二a 2 • b 2是复数除法中“分母实数化”的基础,不必让学生专门计忆复数除法法则•从而让学生体验复数问题实数 化的思想方法.4 •要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数代数形式的加 减运算的几何意义.附录一:《数系的扩充与复数的引入》章末复习学案一、本章复习要求:(1)复数的概念:①理解复数的基本概念;②理解复数相等的充要条件;③了解复数的代数表示法及其几何意义•(2)复数的四则运算:①会进行复数代数形式的四则运算;②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义二、基础知识回顾:1 •虚数单位“ i ”的两条规定:①i2=-1, ②i与实数在一起,可以进行通常的四则运算。
数系的扩充和复数的概念教学设计
数系的扩充和复数的概念教学设计1. 引言在数学的世界里,数系就像是一条漫长的河流,我们每个人都是这条河流上的小船。
今天,我们要聊的是这条河流的扩展,尤其是复数的概念。
让我们一起“扬帆起航”,探寻数系的奥秘吧!2. 数系的扩充2.1 从自然数到整数首先,我们来回顾一下,数系的起点是自然数,也就是大家熟悉的1、2、3、4……这就是我们平时用来计数的基本数字。
可是,当我们遇到像1、2这种情况时,自然数就显得有些“力不从心”了。
这时,整数登场啦!整数包括了自然数和它们的负数,比如1、0、1、2、3等等。
这样一来,我们的数系就更加全面了。
2.2 从整数到有理数接下来,我们来看看有理数。
有理数的概念其实不难理解,它就是可以表示成两个整数之比的数。
举个例子,1/2、3/4这些都是有理数。
有理数的出现,让我们不仅可以处理整数量,还可以处理分数。
它就像是为我们的数系加上了一层新色彩。
2.3 从有理数到无理数不过,有时候我们还会遇到一些数,它们不能用两个整数之比来表示,比如√2、π。
这些数叫做无理数。
无理数的出现,就像给我们的数系带来了些许“神秘感”,它们让我们感受到数学的无限与奇妙。
3. 复数的引入3.1 复数的由来现在,我们进入了今天的重头戏:复数。
复数的诞生,是为了应对一些我们无法用实数解决的问题。
比如,方程x² + 1 = 0就没有实数解。
于是,复数的“英雄”——虚数单位i登场啦!i的平方等于1,这个看似“疯狂”的设定,让我们能够解决更多数学难题。
3.2 复数的基本概念复数其实很简单,它由两个部分组成:实数部分和虚数部分。
比如,3 + 4i就是一个复数,它的实数部分是3,虚数部分是4i。
这样一来,我们就可以用复数处理更多复杂的数学问题了。
复数的引入,犹如为数学的“工具箱”增加了新工具,让它变得更加全面。
4. 教学设计建议4.1 形象化教学为了让学生们更好地理解复数,可以使用一些形象化的教学方法。
比如,使用图像将复数表示在平面上,直观地展示复数的实部和虚部。
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容从实数系扩充到复数系的过程与方法,复数的概念.2.内容解析复数的引入是数系的又一次扩充,也是中学阶段数系的最后一次扩充,通过复数的学习,可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识.复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系,也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.在数学中,数系的扩充必须遵循有关的“规则”,即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算,与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充,同样要符合这样的规则.复数概念的引入,从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发,回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程,发现数系扩充中体现出的“规则”;进而在“规则”的引导下,考虑为使方程有解,引入新数i,从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度,将实数集扩充到复数集.这一过程,通过数系扩充“规则”的归纳,提升学生的数学抽象素养;通过实数系向复数系的扩充,让学生体会类比的数学思想,提升学生的逻辑推理素养,并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的,虚数单位、实部、虚部的命名,复数相等的含义,以及虚数、纯虚数等概念的提出,都是在促进对复数实质的理解,即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示,为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此,复数的概念,对本章具有奠基性的作用.基于以上分析,确定本节课的教学重点:从实数系扩充到复数系的过程与方法,复数的概念.二、目标和目标解析1. 目标(1)了解引入复数的必要性;(2)了解数系扩充的一般“规则”,了解从实数系扩充到复数系的过程,感受数系扩充过程中人类理性思维的作用,提升数学抽象、逻辑推理素养;(3)理解复数的代数表示式,理解复数的有关概念,理解复数相等的含义.2. 目标解析达成目标(1)的标志是:能够通过方程的解,感受引入复数的必要性,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用.达成目标(2)的标志是:学生能够从自然数系逐步扩充到实数系的过程中,归纳出数系扩充的一般“规则”,体会扩充的合理性及人类理性思维在数系扩充中的作用.达成目标(3)的标志是:学生能说明虚数i的由来,能够明晰复数代数表示式的基本结构,会对复数进行分类,会用Venn图表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系;知道两个复数相等的含义,能利用复数概念和复数相等的含义解决相关的简单问题.三、教学问题诊断分析学生在学习本节课内容之前,在义务教育阶段已经经历了从自然数到实数的扩充过程,对数系的扩充有了一定的认识,知道数系扩充后,新的数系能够解决在原有数系中无法解决的一些解方程问题(如引入无理数,把有理数系扩充到实数系后,可以解决方程的解这样的问题等),因此当遇到像这样的方程的解的问题时,通过引导启发,学生能够联想到对现有的实数系进行进一步扩充,从而使方程有解.学生在前面的学习中,也已多次利用过类比的方法来研究数学问题,这为本节课类比有理数系扩充到实数系的过程和方法,将实数系扩充到复数系提供了可能.学生在学习时可能出现的障碍为:(1)因为现实生活中没有任何事物支持虚数,学生可能会怀疑引入复数的必要性,在教学中,如果单纯地讲解或介绍复数的概念会显得枯燥无味,学生不易接受.(2)由于知识储备和认知能力的限制,学生对数系扩充的一般规则并不熟悉,对虚数单位的引入,以及虚数单位和实数进行形式化运算的理解会出现一定困难.(3)学生以前学习过的数都是单纯的一个数,而复数的代数形式是两项和的形式,学生比较陌生,因此理解上会存在一定困难.基于以上分析,确定本节课的教学难点是:复数系扩充过程的数学基本思想,复数的代数表示.突破难点的策略:(1)适当介绍数的发展简史,增强学生学习的趣味性和生动性.(2)通过解方程问题引导,借助已有的数系扩充的经验,特别是从有理数系扩充到实数系的经验,从特殊到一般,帮助学生梳理出数系扩充过程中体现的“规则”,进而在“规则”的引导下进行从实数系到复数系的扩充,感受引入复数的必要性和合理性.(3)引导学生按照“规则”自主探究出复数集中可能存在的各种数,并归纳总结出复数的一般表示方法,经历复数形式化的过程.四、教学过程设计(一)创设情境,引出研究内容创设情境:我们知道,对于实系数一元二次方程时没有实数根. 因此,在研究代数方程的过程中,如果限于实数集,有些问题就无法解决. 事实上,数学家在研究解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题,但他们一直在回避. 直到1545年,数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时,用求根公式、因式分解法两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时,得到了无法理解的结果,于是再也无法回避这个问题.例如,求解时,利用三次方程的求根公式可以得出三个根或;而通过因式分解,得,因此方程的三个根为这个在当时无法理解的等式,数学家们就去尝试研究诸如的问题.在解决这些问题的过程中,他们遇到的最大困扰就是,负实数到底能不能开平方?如何开平方?负实数开平方的意义是什么?师生活动:以教师引导为主,主要介绍历史上,数学家们经过了反复的研究探索,将实数系进一步扩充,引入了一种新的数——复数,从而将实数系扩充到复数系,解决了负数开平方的问题,本章我们就来研究复数. 本节课我们先类比自然数集逐步扩充到实数集的过程和方法,研究如何把实数集扩充到复数集,学习复数的有关概念,后续我们还要继续研究复数的几何意义,复数的四则运算以及复数的三角表示等.设计意图:通过对复数发展历史的简要介绍,特别是三次方程根的问题的介绍,引发学生的认知冲突,激发学生对数系扩充过程的兴趣,并点出本节课的主要内容,进而简要介绍本章的学习内容,使学生对本章的知识脉络有大致认识.(二)归结为方程求解问题,梳理数系扩充的“规则”问题1从方程的角度看,负实数能不能开平方,就是方程是否有解,也就是是否有解的问题.思考一下,能不能把这类问题再进一步简化,最终转化为最简单的方程是否有解的问题呢?追问我们知道,在实数集中无解,联系从自然数集到实数集的扩充过程,是否能引入新数,适当扩充实数集,使这个方程在新数集中有解呢?师生活动:教师进一步引导:下面,我们就类比从自然数集到实数集的扩充过程,尝试引入新数,适当扩充实数集,使这个方程在新数集中有解.引入什么数,如何扩充实数集?这就是我们今天所要研究的问题.设计意图:通过问题1,将历史上的负数能否开平方的问题转化为方程是否有解的问题,为后续从解方程的角度研究数系的扩充做好铺垫,同时也让学生认识到数学中的复杂问题都可以通过转化与化归的方法,转化为基本问题.通过追问,点出本节课的主要任务,以及研究的思路和方法.问题2 我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系. 回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程,每一次数系扩充的主要原因是什么?分别解决了什么实际问题和数学问题?你能借助下面的方程,从解方程的角度加以说明吗?(1)在自然数集中求方程x+1=0的解;(2)在整数集中求方程2x-1=0的解;(3)在有理数集中求方程的解;师生活动:教师提出问题,学生分组讨论,从两个角度思考问题,可让一半学生侧重讨论解决的实际问题,另一半学生侧重讨论解决的数学问题,教师参加到讨论之中,对学生讨论中的不足之处教师补充说明,讨论后,学生交流互动,师生共同归纳总结出结论.预设答案:(1)从社会实践来看,数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要.计数的需要产生了自然数,有了自然数系;自然数系中不能刻画具有相反意义的量,于是引入了负整数,将自然数系扩充到了整数系;整数系中不能解决测量中的一些等分等问题,于是引入了分数,将整数系扩充到了有理数系;有理数系中无法解决正方形对角线长的度量等问题,于是引入了无理数,这样便将有理数系扩充到了实数系.(2)从数学发展本身来看,数系的扩充也是数学本身发展的需要.方程x+1=0在自然数集N内无解,引入负整数后,它在整数集Z 内便有解x=-1;方程2x-1=0在整数集Z内无解,引入分数后,它在有理数集Q内便有解在有理数集Q内无解,引入无理数后,它在实数集R内便有解.教师板书:设计意图:通过数的发展历史,抓住知识的“生长点”和学生的“最近发展区”,使学生了解数的产生以及数系的不断扩充是基于两方面原因:社会生产实践的需要和数学自身发展的需要.问题3可以看出,数集的每一次扩充,都是在原来数集的基础上添加“新数”得到的,引入新数就要引入新运算,如果没有运算,数集中的数只是一个个孤立的符号. 加法和乘法运算是上述数系中最基本的运算(减法、除法运算分别可以转化成加法、乘法运算).梳理从自然数系逐步扩充到实数系的过程,数系的每一次扩充,加法和乘法运算满足的"性质"有一致性吗?由此你能梳理数系扩充遵循的“规则”吗?师生活动:教师引导分析,从自然数集扩充到整数集时,原来在自然数集中规定的加法和乘法运算法则和运算律在整数集中仍然成立;进而学生小组讨论,探求从整数集到有理数集以及从有理数集到实数集的扩充中,加法和乘法满足的“性质”,教师要特别强调从有理数集扩充到实数集满足的“性质”.师生共同总结这些性质的一致性,得出数系扩充的"规则":数集扩充后,在新数集中规定的加法运算和乘法运算,与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致,并且加法和乘法都满足交换律和结合律,乘法对加法满足分配律.教师继续板书:设计意图:梳理数系扩充过程和方法的“一致性”,总结数系扩充的一般“规则”,为后续实数系的进一步扩充提供方法,进而突破本节课的难点.(三)依据规则,扩充实数集,引入复数问题4方程在实数系中无解,类比从自然数系扩充到实数系的扩充过程,特别是从有理数系扩充到实数系的过程,你能设想一种方法,使这个方程有解吗?师生活动:学生思考回答:可以添加新数,对实数集进行扩充,并且添加新数后的新的数集中的加法和乘法运算,与实数集中加法和乘法运算协调一致,并且运算律保持不变.追问:引入一个什么样的数呢?师生活动:教师通过信息技术制作的课件介绍虚数的引入历史,并给出虚数的概念. 我们可以引入一个数“i”,使,这样x=i就是方程的解. 因为历史上,新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的,他用了“imaginary”一词的首字母,本意是这个数是虚幻的.所以,我们把这个数称为“虚数单位”.设计意图:教师介绍与虚数单位i有关的历史,激发学生的学习兴趣,强化对i的认识.问题5把新引进的数i添加到实数集中后,我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”,对实数系进行进一步扩充.那么,实数系经过扩充后,得到的新数系由哪些数组成呢?师生活动:教师引导,可以类比有理数系扩充到实数系的过程与方法,以及实数系新数的形式,如等具体的数.教师引导学生归纳:新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i经过适当“组合”而成的,构成的方法就是将实数和i进行运算,组成新数,这里主要进行的是i和实数之间的加法、乘法运算,因为按照我们前面总结的规则:新数集中规定的加法和乘法运算,与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致,并且运算律仍然成立. 这样我们就可以把实数a与新引入的数i相加,得到a+i;把实数b与i相乘,得到bi;把实数a与实数b和i相乘的结果相加,得到a+bi. 因为我们是要得到新数集中所有数的基本表示形式(即a+bi的形式),所以这里都只进行最基本的形式上的运算即可,至于等形式,它们不是最基本的形式,在后续的复数运算中再去研究,它们也能化为a+bi的形式.追问1你能写出一个形式,把刚才大家所说的数都包含在内,并说明理由吗?师生活动:学生思考回答,所有新数集中的数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,因为.追问2 你能写出新数集的集合吗?师生活动:学生口述,教师板书:C={a+bi|a,b∈R}.设计意图:通过问题5和追问1,2,引导学生类比自然数到实数不断扩充过程中所遵循的规则,根据“运算”和“运算律”,由特殊到一般,抽象概括出复数的代数形式和复数集,让学生体会数系扩充过程中理性思维的作用,以及数学形式化、符号化的过程,突破本节课的难点,提升学生逻辑推理、抽象概括素养.问题6阅读教科书,回答以下问题:(1)复数a+bi(a,b∈R)的虚数单位、实部、虚部分别是指什么?(2)什么是虚数和纯虚数?试举出具体例子.师生活动:教师提出问题,学生独立阅读教科书,阅读之后回答问题.(1)学生口答:a是复数的实部,b是复数的虚部.教师强调应注意限制条件a,b∈R,另外复数a+bi的虚部是b而不是bi.(2)学生口答,当.设计意图:通过问题引导,指导学生阅读教科书,思考并回答问题,明确复数的基本概念,培养阅读教科书的习惯和阅读理解能力.问题7 我们知道复数集是由形如a+bi(a,b∈R)的数组成的,为了保证集合中元素的互异性(确定性),我们需要明确集合中两个元素相等的含义,请阅读教科书,说说两个复数a+bi和c+di(a,b,c,d∈R)相等的含义.师生活动:学生阅读教科书后作答.教师引导:一个复数由实部和虚部唯一确定,所以判断两个复数是否相等,就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等.进而教师给出两个复数相等的定义并板书. 复数a+bi与c+di相等当且仅当a=c 且b=d.追问1 由复数相等的含义知,两个复数相等当且仅当它们的实部和虚部都分别相等,也就是:复数由它的实部和虚部唯一确定.回忆一下,复数的这个特征与你以前遇到过什么数学对象类似?由此,你能进一步刻画复数的特征吗?师生活动:教师引导,学生思考、讨论,得出:复数的这个特征与平面上点的坐标,平面向量的坐标等类似,因此复数a+bi(a,b∈R),可以看成是一个有序实数对(a,b).追问2 复数是实数的充要条件是什么?a+bi的充要条件是什么?师生活动:学生思考回答,教师补充完善. 对于复数a+bi(a,b∈R),易得当且仅当b=0时,它是实数;a+bi=0即a+bi=0+0i,由复数相等的含义,推导可得:当且仅当a=0,b=0时,复数a+bi=0.教师总结:实际上,复数相等的含义,不仅是判断两个复数相等的依据,也是求某些复数值的依据,即利用复数相等的定义,可以得到关于实数的方程(组),通过解方程(组)得到a,b的值. 教师在此处也可以指出:一般来说,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小,只有当两个复数都是实数时才能比较大小.设计意图:从保证集合中元素的互异性(确定性)出发,引出在实数集中引入新对象后,要研究两个新数相等的含义,进而给出两个复数相等的含义,并由复数相等的定义出发,得到复数实质上是一个有序实数对,为研究复数的几何意义以及复数的三角表示奠定基础.问题8 我们已经将实数集扩充到复数集,那么复数集C和实数集R之间有什么关系?你能对复数a+bi(a,b∈R)进行分类,并用Venn图表示吗?师生活动:学生思考并写在练习本上,教师巡视指导,用多媒体等设备交流展示学生作品.教师指出实数集R是复数集C的真子集,也体现了数系扩充的规律之一:新数集包含原来的数集.设计意图:引导学生弄清楚复数集和实数集之间的关系以及复数的分类,深化学生对复数集是实数集的“扩充”以及对复数的理解.(四)精选例题,强化理解应用例1请你说出下列集合之间的关系:N,Z,Q,R,C.例2写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.例3当实数m取什么值时,复数是下列各数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.例4已知(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(2y+1)i,求实数x,y的值.师生活动:教师用PPT展示例题. 例1,例2学生思考、口答,教师点评.例3,例4,学生思考,独立完成后用多媒体交流展示,教师点评并规范解题步骤.设计意图:例1主要让学生巩固数集之间的关系,完善认知结构;例2,例3主要是帮助学生巩固复数的分类标准,加深对复数概念的理解;例4主要是强化复数相等的含义,让学生在解决问题的过程中内化复数有关概念,起到及时反馈、学以致用的功效.(五)反思总结,提炼学习收获问题10通过本节课的学习,你有哪些收获?试着从知识、方法、数学思想、经验等方面谈一谈.师生活动:学生思考回答,教师补充完善.预设答案:知识方面:了解了数系扩充的基本“规则”,复数的基本概念(复数、实部、虚部、虚数、纯虚数等)、两个复数相等的含义、复数的分类等;思想方法方面:实数系扩充到复数系运用了类比的研究方法,解决复数相等问题运用了转化的数学思想等;经验:研究新的数学问题可以类比已学过的问题.设计意图:通过对数系扩充规则、扩充过程以及复数相关概念等知识和方法的总结,使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识,一方面深化对复数知识的理解,另一方面总结研究方法,积累研究数学问题的经验.(六)布置作业教科书习题7.1第1,2,3题.五、目标检测设计1.a=0是复数(a,b∈R)为纯虚数的().(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分条件也非必要条件设计意图:考查学生对复数概念的理解.2.当实数m取什么值时,复数是下列数?(1)实数;(2)纯虚数;(3)0.设计意图:考查学生对复数基本概念和复数相等含义的理解.3.求适合下列方程的实数x与y的值:(1)(x+y-3)+(x-4)i=0;(2)(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i.设计意图:考查学生利用两个复数相等的含义解决简单数学问题的能力.。
高中数学_数系的扩充和复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
《数系的扩充与复数的概念》教学设计【教学目标】1.了解数系的扩充过程,理解复数的有关概念以及符号表示;2.掌握复数的代数形式和几何表示法,理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义掌握复数集C与复平面内所有点成一一对应;【教学重点】复数的有关概念,复数的代数形式和复数的向量表示【教学难点】复数相等的条件,复数向量表示.【教学方法】点拨教学与小组合作【教学过程】一、创设情景问题 1 从你认识自然数到现在,数系都在哪几个阶段经历了哪几次扩充?2 为什么要进行数系的扩充?设计意图:学生已经学习过一些数集,在此基础之上,帮助学生重新建构数集的扩充过程,不仅通过对前几次数系扩充进行了的梳理,也为数系的为何要再一次扩充打下了基础,让学生感受到数系扩充的合理性,并能自我总结出数系扩充的一般原则。
二探究新知(一)数系的扩充问题如何在实数范围内解x2 +1=0这样的方程?设计意图由于有了前面问题的铺垫,这个问题的解决,使新数的引入变得自然了,由教师引导同学们回答1 引入新数i数学家欧拉引入一个新数i,i叫做虚数单位,并规定:(1)i2= -1 ;(2)实数可以与它加法和乘法运算,原有的加、乘运算律仍然成立.这样出现了很多新数,如2+i,-3+4i,2i等,由于满足乘法交换律及加法交换律,从而这些结果可以写成a+bi ,a ,b∈R2形成新数集所有i实数实数形式的都应该在新的数集里面,并+⨯且新的数集里面的数都可以写成这种形式,我们不妨把这种形式写成,,+∈∈,这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有a bi a Rb R的一般形式。
(二)复数的概念1 复数概念形如的数,我们把它们叫做复数.注意(1)复数的代数形式z=a+bi、(a ,b∈R,)a叫实部、b叫虚部.(2)全体复数所形成的集合{}=+∈∈叫做复数集,C a bi a R b R|,一般用字母C表示2 概念运用判断正误(1)z=1-ai (a ∈R)是一个复数(2)z=-2i+0.1实部为-2,虚部为0.1(3)10-2i2>0(4)z=a+3i其中a为实部设计意图这几个题目采取学生口答形式,通过分析题目,使学生对复数概念的认识达到及时巩固的效果(三)复数分类探究(1) z=a+bi(a ,b∈R)中a,b在什么条件下为实数?(2)复数集C和实数集R之间有什么关系?设计意图采用学生先独立思考在小组讨论方式解决,这样由问题1到2的过渡,让学生对复数集C和实数集R关系的理解能较为容易些。
高中数学数系的扩充与复数的引入优秀教案
数系的扩充与复数的引入学习目标:1.理解复数的根本概念,理解复数相等的充要条件;2.了解复数的代数表示法及其几何意义;3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.重点:复数的概念,复数的代数运算及数系的扩充经典例题透析类型一:复数的有关概念例1.复数,试求实数a分别取什么值时,z分别为:〔1〕实数;〔2〕虚数;〔3〕纯虚数.思路点拨:根据复数z为实数、虚数及纯虚数的概念,判断实部与虚部取值情况.利用它们的充要条件可分别求出相应的a值.举一反三:【变式1】设复数z=a+bi〔a、b∈R〕,则z为纯虚数的必要不充分条件是〔〕A.a=0 B.a=0且b≠0 C.a≠0且b=0 D.a≠0且b≠0【变式2】假设复数是纯虚数,则实数的值为〔〕A.1 或2【变式3】如果复数是实数,则实数m=〔〕A.1 B.-1 C.D.【变式4】求当实数取何值时,复数分别是:〔1〕实数;〔2〕虚数;〔3〕纯虚数.类型二:复数的代数形式的四则运算2. 计算:(1) (2); (3)总结升华:熟练运用常见结论:1〕的“周期性〞〔〕 2〕3〕举一反三:【变式1】计算:〔1〕(5―6i)+(―2―i)―(3+4i)〔2〕〔3〕〔4〕;【变式2】复数( )〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【变式3】复数等于( )A. iB. -iC.D.【变式4】复数等于( )A.8B.-8C.8iD.-8i类型三:复数相等的充要条件例3.x是实数,y是纯虚数,且满足(2x―1)+(3―y)i=y―i,求x、y.思路点拨:因x∈R,y是纯虚数,所以可设y=bi〔b∈R且b≠0〕,代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得所求结果.举一反三:【变式1】设x、y为实数,且【变式2】假设z∈C且(3+z)i=1(i为虚数单位),则z=____.【变式3】设复数满足,则〔〕A.B.C.D.类型四:共轭复数例4.求证:复数z为实数的充要条件是思路点拨:需要明确两个复数相等的条件以及共轭复数的概念举一反三:【变式1】,复数与复数的共轭复数相等,求x,y.【变式2】假设复数z同时满足,〔i为虚数单位〕,则z=________.【变式3】复数z=1+i,求实数a、b使.类型五:复数的模的概念例5.数z满足z+|z|=2+8i,求复数z.举一反三:【变式】z=1+i,a,b为实数.〔1〕假设,求;〔2〕假设,求a,b的值.类型六:复数的几何意义例6.复数〔m∈R〕在复平面上对应的点为Z,求实数m取什么值时,点Z〔1〕在实轴上;〔2〕在虚轴上;〔3〕在第一象限.举一反三:【变式1】在复平面内,复数对应的点位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【变式2】复数(),假设所对应的点在第四象限,求的取值范围.【变式3】是复数,和均为实数,且复数对应的点在第一象限,求实数的取值范围.【变式4】复数z对应的点在第一象限的角平分线上,求复数在复平面上对应的点的轨迹方程.。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目:高二数学课题:数系的扩充与复数的引入一.数学分析:(1)复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的,为了帮助学生了解学习复数的必要性,了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用,本章从一个思考问题开始,在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程,这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望,而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础,复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的,虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数,纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解,即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示,把复数在直角坐标系中表示出来,就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数,不仅使抽象的复数得到直观形象的表示,而且也使数和形得到了有机的结合。
(2)复数代数形式的四个运算,及复数代数形式的加法,减法,乘法和除法,重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的,是具有其合理性的;这种规定与实数的加法,乘法的法则是一致的,而且实数的加法,乘法的有关运算仍然成立的。
二.学情分析:1.知识掌握上,高二年级的学生已经学过实数的扩充,已经有一定基础,但是扩充的过程可能会有所遗忘,所以首先应该进行适当的引入复习,同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力,所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力;2.心理上,多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐,而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点,所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪,因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解;3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍:学生学习本节内容可能会遇到一些障碍,如对复数的理解,复数的引入是否具有实际意义,复数的引入是否具有实际应用,复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主,在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
数系的扩充与复数的概念教案
3.1.1数系的扩充与复数的概念教案(总6页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数系的扩充与复数的概念刘经纬教学目标知识与技能:了解引进复数的必要性;理解并掌握虚数的单位i,理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
过程与方法:通过回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程,采用类比的思想方法,把实数系进一步扩充。
情感态度与价值观:体会数系的每一次扩充都与实际需求密切相关,激发数学学习热情。
重点与难点重点:复数的有关概念;难点:虚数单位i的引进及复数的概念。
教学过程一、知识回顾及问题提出数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期,人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展,数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数;为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0与负整数集合并在一起,构成整数集Z,则有Z⊆Q、N⊆Z.如果把整数看作分母为1的分数,那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值,例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.所谓无理数,就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数),无理数都是无限不循环小数,所以实数集实际上就是小数集, 因生产和科学发展的需要而逐步扩充,数集的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾但是,数集扩到实数集R以后,是否就够用了呢?下面来看这样一个问题。
数学(文)一轮教学案:第十四章 数系的扩充与复数的引入 Word版含解析
第十四章 数系的扩充与复数的引入考纲展示 命题探究1 复数的定义形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中实部是a ,虚部是b . 2 复数的分类 3 复数相等的充要条件a +b i =c +d i ⇔a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). 4 复平面建立直角坐标系来表示复数的平面,叫做复平面.x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数;除原点外,虚轴上的点表示纯虚数.5 复数的几何意义6 复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z =a +b i 的模,记作|z |或|a +b i|,则|z |=|a +b i|=r =a 2+b 2(r ≥0,r ∈R ),即复数a +b i 的模表示点Z (a ,b )与原点O 的距离.特别地,b =0时,z =a +b i 是实数a ,则|z |=|a |. 注意点 复数概念的理解的注意事项 (1)两个不全是实数的复数不能比较大小. (2)复平面内虚轴上的单位长度是1,而不是i.(3)复数与向量的关系:复数是数的集合,而向量是有大小和方向的量,二者是不同的概念.为了令复数更好地发挥解决实际问题的作用,所以用向量来表示复数.1.思维辨析(1)复数z =a +b i(a ,b ,∈R )中,虚部为b i.( )(2)在实数范围内的两个数能比较大小,因而在复数范围内的两个数也能比较大小.( )(3)一个复数的实部为0,则此复数必为纯虚数.( ) (4)复数的模就是复数在复平面内对应向量的模.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限答案 B解析 实部为-2,虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限.3.在复平面内,已知6+5i 对应的向量为OA →,AB →=(4,5)则OB →对应的复数为________.答案 10+10i解析 由AB →=OB →-OA →得:OB →=OA →+AB →又∵AB →=(4,5) ∴AB →对应的复数为4+5i. ∴OB →对应的复数为:4+5i +6+5i =10+10i.[考法综述] 复数的分类、实部、虚部、复数相等的条件、共轭复数、复数的模都会结合复数的运算一起考查.难度一般不大.命题法1 复数的概念与分类典例1 设i 是虚数单位,复数1+a i2-i 为纯虚数,则实数a 为( )A .2B .-2C .-12D .12 [解析] 解法一:设1+a i2-i =b i(b ∈R 且b ≠0),则1+a i =b i(2-i)=b +2b i ,所以b =1,a =2b =2.解法二:1+a i 2-i =(1+a i )(2+i )(2-i )(2+i )=2-a 5+1+2a 5i ,令2-a 5=0且1+2a5≠0,得a =2.[答案] A【解题法】 与复数概念及分类题型的解题步骤第一步,先把题目中的复数z 的代数形式设出,即设复数z =a +b i(a ,b ∈R ).第二步,把非标准代数形式的复数通过复数的运算法则化为代数形式的标准形式,即化为a +b i(a ,b ∈R )的形式.第三步,紧扣复数的分类: 复数z =a +b i(a ,b ∈R )根据分类列出相应的方程,如:若题目要求该复数是实数,则根据虚部b =0列出相关方程(组).第四步,解方程(组),求得结果. 命题法2 复数相等典例2 若复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( )A .3+5iB .3-5iC .-3+5iD .-3-5i[解析] 解法一:令z =a +b i(a ,b ∈R ),则(a +b i)(2-i)=(2a +b )+(2b -a )i =11+7i ,⎩⎪⎨⎪⎧2a +b =11,2b -a =7,解得a =3,b =5,故选A.解法二:z =11+7i 2-i =(11+7i )(2+i )5 =22-7+(14+11)i 5=3+5i. [答案] A【解题法】 复数相等问题的解题策略两复数相等的充要条件,即a +b i =c +d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a =c ,b =d ,(a ,b ,c ,d ∈R ).解决此类问题的本质就是分离出实部与虚部,使之分别相等,得到方程组,从而解决问题.命题法3 复数的模及几何意义典例3 (1)若复数z 满足i z =2+4i ,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A .(2,4)B .(2,-4)C .(4,-2)D .(4,2)(2)a 为正实数,i 为虚数单位,⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =2,则a =( ) A .2 B . 3 C. 2D .1[解析] (1)由i z =2+4i ,得z =2+4ii =4-2i ,所以z 对应的点的坐标是(4,-2).(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a +i i =|a +i||i|=a 2+1=2,∴a =±3,又a >0,∴a = 3.故选B.[答案] (1)C (2)B【解题法】 与复数几何意义、模有关的解题技巧(1)只要把复数z =a +b i(a ,b ∈R )与向量OZ →对应起来,就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题.(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质. 1.若复数z =i(3-2i)(i 是虚数单位),则z =( ) A .2-3i B .2+3i C .3+2i D .3-2i答案 A解析 因为z =i(3-2i)=2+3i ,所以z =2-3i.2.设i 是虚数单位,则复数2i1-i 在复平面内所对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 答案 B解析2i1-i=2i(1+i)(1-i)(1+i)=-1+i,其在复平面内所对应的点位于第二象限.3.设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.-5 B.5C.-4+i D.-4-i答案 A解析由题意知:z2=-2+i.又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.4.设z=10i3+i,则z的共轭复数为() A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i 答案 D解析z=10i3+i=10i(3-i)(3+i)(3-i)=30i+1032+12=1+3i,z=1-3i,选D.5.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+b i互为共轭复数,则(a+b i)2=()A.5-4i B.5+4iC.3-4i D.3+4i答案 D解析由a-i与2+b i互为共轭复数,可得a=2,b=1.所以(a+b i)2=(2+i)2=4+4i-1=3+4i.6. i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为________.答案-2解析由题意知,复数(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i是纯虚数,则实部a+2=0,虚部1-2a≠0,解得a=-2.7.设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则z 的模为________. 答案5解析 设复数z =a +b i ,a ,b ∈R ,则z 2=a 2-b 2+2ab i =3+4i ,a ,b ∈R ,则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2-b 2=32ab =4,a ,b ∈R ,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-2b =-1,则z=±(2+i),故|z |= 5.8.已知复数z =(5+2i)2(i 为虚数单位),则z 的实部为________. 答案 21解析 由题意,得z =(5+2i)2=25+20i -4=21+20i ,其实部为21.1 复数的加法(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R )是任意两复数,那么z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i.(2)运算律:交换律、结合律.(3)几何意义:复数z 1+z 2是以OZ 1→,OZ 2→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数,其中OZ 1→,OZ 2→分别为z 1,z 2所对应的向量.2 复数的减法(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i.(2)几何意义:复数z 1-z 2是从向量OZ 2→的终点指向向量OZ 1→的终点的向量Z 2Z 1→所对应的复数.3 复数的乘法(1)运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i.(2)运算律:交换律、结合律、分配律. 4 共轭复数(1)定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.用z 表示z 的共轭复数,若z =a +b i ,则z =a -b i.特别地,实数的共轭复数还是它本身.(2)几何意义:互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合,且在实轴上.(3)性质:z ·z =(a +b i)·(a -b i)=a 2+b 2=|z |2(a ,b ∈R ). 5 复数的除法运算法则:设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则z 1z 2=a +b ic +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=ac +bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i(c +d i ≠0),即分子、分母同乘以分母的共轭复数,使分母实数化,以简化运算.注意点 虚数单位i 的周期性计算得i 0=1,i 1=i ,i 2=-1,i 3=-i ,继续计算可知i 具有周期性,且最小正周期为4,故有如下性质(n ∈N ):(1)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ; (2)i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0. 1.思维辨析(1)若a ∈C ,则a 2≥0.( ) (2)方程x 2+x +1=0没有解.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (4)z =z ⇔z ∈R .( )(5)若z ≠0且z +z =0,则z 为纯虚数.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2.复数z 满足(z +2)(1+i 3)=2(i 为虚数单位),则z =( ) A .1-i B .1+i C .-1-i D .-1+i答案 D解析 由题意得:(z +2)(1+i 3)=2,(z +2)(1-i)=2,z =21-i-2=1+i -2=-1+i ,故选D.3.已知实数m 是方程x 2+(2+i)x +n +2i =0,n ∈R 的一个根,则m +n =________.答案 -2解析 由题意知:m 2+(2+i)m +n +2i =0, 即m 2+2m +n +(m +2)i =0,由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2+2m +n =0m +2=0,解得:⎩⎪⎨⎪⎧m =-2n =0,即m +n =-2[考法综述] 复数的四则运算法则及其加减法的几何意义(平行四边形法则、三角形法则),尤其除法运算及i 的运算规律为命题热点.命题法 复数的四则运算典例 (1)下面是关于复数z =2-1+i 的四个命题:p 1:|z |=2,p 2:z 2=2i ,p 3:z 的共轭复数为1+i ,p 4:z 的虚部为-1, 其中的真命题为( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 2,p 4D .p 3,p 4(2)已知复数z =3+i (1-3i )2,z -是z 的共轭复数,则z ·z -=________. [解析] (1)z =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-1-i ,故|z |=2,p 1错误;z 2=(-1-i)2=(1+i)2=2i ,p 2正确;z 的共轭复数为-1+i ,p 3错误;p 4正确.(2)∵z =3+i (1-3i )2=3+i -2-23i =3+i-2(1+3i )=(3+i )(1-3i )-2(1+3i )(1-3i )=23-2i -8=-34+14i ,∴z ·z =⎝⎛⎭⎪⎫-34+14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫-34-14i =316+116=14.故填14.[答案] (1)C (2)14【解题法】 复数四则运算中常用技巧 (1)巧用“分母实数化”,求解复数除法运算.复数的除法一般是将分母实数化,即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.其原理是(a +b i)(a -b i)=a 2+b 2(a 、b ∈R ).(2)巧用“结论”,求解复数的乘方运算.记忆结论(1±i)2=±2i ,1+i 1-i =i ,1-i1+i =-i ,在化简复数的过程中构造出结论的形式,便可直接代入进行计算.1.设复数z 满足1+z1-z =i ,则|z |=( )A .1B . 2 C. 3 D .2答案 A解析 由题意知1+z =i -z i ,所以z =i -1i +1=(i -1)2(i +1)(i -1)=i ,所以|z |=1.2.若a 为实数,且(2+a i)(a -2i)=-4i ,则a =( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 答案 B解析 由于(2+a i)(a -2i)=4a +(a 2-4)i =-4i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧4a =0a 2-4=-4,解得a =0.故选B. 3.若复数z 满足z1-i=i ,其中i 为虚数单位,则z =( )A .1-iB .1+iC .-1-iD .-1+i答案 A解析 由已知z =i(1-i)=i -i 2=i +1,所以z =1-i.故选A. 4.设i 是虚数单位,则复数i 3-2i =( )A .-iB .-3iC .iD .3i答案 C解析 i 3-2i =-i -2ii 2=-i +2i =i ,选C.5.已知(1-i )2z =1+i(i 为虚数单位),则复数z =( ) A .1+i B .1-i C .-1+i D .-1-i答案 D解析 z =(1-i )21+i =-2i 1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-1-i.6.(1+i )3(1-i )2=( ) A .1+i B .1-i C .-1+i D .-1-i 答案 D解析 (1+i )3(1-i )2=(1+i )2(1+i )(1-i )2=2i (1+i )-2i =-1-i.故选D.7.设i 是虚数单位,z 表示复数z 的共轭复数.若z =1+i ,则z i+i·z =( )A .-2B .-2iC .2D .2i答案 C解析 原式=1+ii +i(1-i)=-(i +i 2)+i(1-i)=1-i +i +1=2. 8.设复数a +b i(a ,b ∈R )的模为3,则(a +b i)(a -b i)=________. 答案 3解析 复数a +b i(a ,b ∈R )的模为a 2+b 2=3,则a 2+b 2=3,则(a +b i)(a -b i)=a 2-(b i)2=a 2-b 2·i 2=a 2+b 2=3.9.若复数z =1+2i ,其中i 是虚数单位,则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z +1z ·z =________. 答案 6解析 ∵z =1+2i ,∴z =1-2i. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫z +1z ·z =z ·z +1=5+1=6. 10.复数2-2i 1+i =________.答案 -2i解析 2-2i 1+i =(2-2i )(1-i )(1+i )(1-i )=2-2-4i 2=-2i. 已知复数z 满足z =2i 1+3i (i 为虚数单位),则z 的共轭复数的虚部是( )A.32 B .-32 C .-12 D .-12i [错解][错因分析] 对虚部的概念理解不清,将复数z =a +b i(a ,b ∈R )的虚部错误地认为是b i.[正解] z =2i 1+3i =2i (1-3i )(1+3i )(1-3i )=23+2i 4=32+12iz 的共轭复数为32-12i ,∴z 的共轭复数的虚部为-12,故选C. [答案] C [心得体会]………………………………………………………………………………………………时间:45分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]设z =1+i(i 是虚数单位),则2z =( ) A .i B .2-i C .1-i D .0答案 C解析 因为2z =21+i =2(1-i )(1+i )(1-i )=1-i ,故选C.2.[2016·衡水中学周测]i 为虚数单位,若a1-i =1+i i ,则a 的值为( )A .iB .-iC .-2iD .2i 答案 C解析 由已知a 1-i =1+i i 得,a i =(1-i)(1+i),a i =2,a =2i =-2i ,故选C.3.[2016·冀州中学月考]设复数z =2-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为z ,则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A .(1,1)B .(-1,1)C .(1,-1)D .(-1,-1)答案 C解析 ∵z =2-1-i =-1+i ,∴i z =i(-1-i)=1-i ,其在复平面内对应的点的坐标为(1,-1).4.[2016·武邑中学周测]在复平面内,复数z 和2i2-i 表示的点关于虚轴对称,则复数z =( )A.25+45i B .25-45i C .-25+45i D .-25-45i答案 A解析 由2i 2-i =-25+45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫-25,45,其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25,45,故复数z =25+45i ,故选A.5.[2016·衡水中学月考]已知i 是虚数单位,则2+i3-i =( )A.12-12i B .72-12i C.12+12i D .72+12i答案 C解析 2+i 3-i =(2+i )(3+i )(3-i )(3+i )=5+5i 10=12+12i.6.[2016·枣强中学猜题]若复数z =(2-i)i(其中i 为虚数单位),则z =( )A .2-iB .1+2iC .-1+2iD .1-2i答案 D解析 z =(2-i)i =1+2i ,∴z =1-2i ,选D.7.[2016·衡水中学期中]已知复数z =3+4i ,z 表示复数z 的共轭复数,则|zi |=( )A. 5 B .5 C. 6 D .6答案 B解析 由z =3+4i ,得z =3-4i ,所以|z i |=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3-4i i =|(3-4i)(-i)|=|-4-3i|=(-4)2+(-3)2=5.8. [2016·武邑中学期中]复数z =2i 20141-2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限答案 C解析 ∵i 2014=(i 2)1007=(-1)1007=-1,∴z =2i 20141-2i =-21-2i =-2(1+2i )(1-2i )(1+2i )=-2+2i 3,∴z 在复平面内的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫-23,-23,故选C.9.[2016·衡水中学期末]若(1+2a i)i =1-b i ,其中a ,b ∈R ,则|a +b i|=( )A.12+i B . 5 C.52 D .54答案 C解析 因为(1+2a i)i =1-b i ,所以-2a +i =1-b i ,a =-12,b=-1,所以|a +b i|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪-12-i =52,选C.10.[2016·衡水二中期中]复数z =1-i ,则1z +z =( ) A.12+32i B .12-32i C.32-32i D .32-12i答案 D解析 ∵z =1-i ,∴1z +z =11-i +1-i =1+i (1-i )(1+i )+1-i =1+i 2+1-i =32-12i ,故选D.11. [2016·枣强中学模拟]设复数z =-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为z ,则|(1-z )·z |=( )A.10 B .2 C. 2 D .1 答案 A解析 解法一:|(1-z )·z |=|1-z ||z |=|2+i||-1+i|=22+12·(-1)2+(1)2=10.解法二:|(1-z )·z |=|z -z ·z |=|-1+i -2|=|-3+i|=(-3)2+12=10.12.[2016·衡水二中期末]若a 为实数,i 为虚数单位,2+a i 1+2i =-2i ,则a 等于________.答案 - 2解析 由已知2+a i1+2i =-2i ,得2+a i =-2i(1+2i),即2+a i =-2i +2,∴a =- 2.能力组13.[2016·武邑中学猜题]复数z 1,z 2满足z 1=m +(4-m 2)i ,z 2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m ,λ,θ∈R ),并且z 1=z 2,则λ的取值范围是( )A .[-1,1]B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916,1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916,7 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤916,7答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m =2cos θ4-m 2=λ+3sin θ,化简得4-4cos 2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos 2θ-3sin θ+4=-4(1-sin 2θ)-3sin θ+4=4sin 2θ-3sin θ,因为sin θ∈[-1,1],所以4sin 2θ-3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-916,7.14. [2016·冀州中学仿真]已知复数z =1+2i1-i,则1+z +z 2+…+z 2014为( )A .1+iB .1-iC .iD .1答案 C解析 z =1+2i1-i=1+2i (1+i )2=i ,∴1+z +z 2+…+z 2014=1×(1-z 2015)1-z =1-i 20151-i =1-i4×503+31-i=1+i 1-i =(1+i )2(1-i )(1+i )=2i2=i. 15.[2016·武邑中学预测]已知x 1=1-i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax +b =0的一个根,则实数a =________,b =________.答案 -2 2解析 由题意,知x 2=1+i 是方程的另一根,因此-a =x 1+x 2=2,a =-2,b =x 1x 2=(1-i)(1+i)=2.16.[2016·衡水二中模拟]已知复数 z =4+2i(1+i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x -2y +m =0上,则m =________.答案 -5解析 z =4+2i (1+i )2=4+2i 2i =(4+2i )i2i 2=1-2i ,复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),将其代入x -2y +m =0,得m =-5.。
数系的扩充和复数的概念教案
数系的扩充和复数的概念教案一、教学目标1. 了解数系的扩充,掌握实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念;2. 掌握复数的定义和表示方法;3. 理解复数加法和乘法的几何意义;4. 能够计算复数的模、共轭和商。
二、教学重难点1. 数系的扩充,包括实数集、有理数集、无理数集和复数集的概念;2. 复数的定义和表示方法;3. 复数加法和乘法的几何意义。
三、教学内容1. 数系的扩充(1)实数集:包括有理数和无理数两部分,用符号“R”表示。
(2)有理数集:可以表示为两个整数之比(分母不为0),用符号“Q”表示。
(3)无理数集:不能表示为两个整数之比,用符号“Q'”表示。
(4)复数集:由实部和虚部构成,形如a+bi,其中a和b均为实数,i是虚单位,用符号“C”表示。
2. 复数的定义与表示方法(1)定义:由一个实部a和一个虚部b构成的有序数组(a,b)称为一个复数z,即z=a+bi。
其中a称为z的实部,b称为z的虚部。
(2)表示方法:用复平面上的点表示。
3. 复数加法和乘法的几何意义(1)复数加法:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i。
即把两个复数看作向量,在复平面上用平行四边形法则相加。
(2)复数乘法:设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,则z1×z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i。
即把两个复数看作向量,在复平面上用角度叠加原理相乘。
4. 计算方法(1)模:|a+bi|=√(a²+b²)。
(2)共轭:若z=a+bi,则其共轭为z*=a-bi。
(3)商:设z1=a+bi,z2=c+di,则它们的商为(z1/z2)=(ac+bd)/(c²+d²)+((bc-ad)/(c²+d²))i。
四、教学过程Step 1 引入新知识介绍实数集、有理数集和无理数集,并引入复数集的概念。
高三数学复习第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入
提 升 学 科 素 养
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 [自测· 牛刀小试]
回 扣 主 干 知 识
1.下列说法中正确的是
A.只有方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量的长度为零 C.长度相等的两个向量是相等向量
(
)
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相
同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行, 则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反 向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命 题的个数是3. 答案:D
数学(6省专版)
演 练 知 能 检 测
第一节
平面向量的概念及其线性运算 向量的线性运算
D.共线向量是在一条直线上的向量
解析:由于零向量与任意向量平行,故选项A错误;
长度相等且方向相同的两个向量是相等向量,故C错 误;方向相同或相反的两个非零向量是共线向量,故 D错误.
演 练 知 能 检 测
答案:B
数学(6省专版)
第一节
平面向量的概念及其线性运算
2.(教材习题改编)D 是△ABC 的边 AB 上的中点, 则向量 CD
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突 破 热 点 题 型
位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度;
零向量的核心是方向没有限制,长度是0;规定零向量与任 意向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向 量概念有关的问题.
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回 扣 主 干 知 识
高中数学教案选修2-2《第3章 数系的扩充与复数的引入》
目标定位:数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,也体现了数学发生、发展的客观需要.复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化.《标准》在选修1-2与选修2-2中设计了数系的扩充与复数的引入的内容,突出数系的扩充过程,实现了基础教育数学课程中数系从实数到复数的又一次扩充.《标准》强调复数的代数表示法及代数形式的加减运算的几何意义,淡化烦琐的计算和技巧性训练,从而体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及人类理性思维在数学发展中的作用,有助于发展学生的创新意识.引进虚数,把实数集扩充到复数集,这是中学课程里数的概念的最后一次扩充.虚数的引入,虽然最先是由于数学本身的需要,但也只有当复数表示平面上的点这一几何解释出现之后,在解决实际问题中才得到广泛的应用,复数才被人们承认并且巩固了下来.复数与平面向量有着密切的联系.复数的向量形式是它的几何意义之一;借助向量,我们可以得到复数的加法法则,并赋予其几何意义;复数减法的几何意义与向量减法也是一致的.这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段.同时,复数作为一种新的“数学语言”也为我们今后用代数方法解决几何问题提供了可能.数系的扩充与复数的引入与2002年颁布的《全日制普通高级中学数学教学大纲》相比,删去了复数的三角形式以及复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等内容,突出了数系的扩充过程、复数的代数表示法、代数形式的四则运算以及加减运算的几何意义.教材解读:复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《标准》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义;能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.注重提高学生的数学思维能力是高中数学课程的基本理念之一,也是高中数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时,不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.它们是数学思维能力的具体体现.数系的扩充与复数的引入具体地综合体现了上述数学思维过程.这些使得学生可以在以往具体经历各种数学思维方式的基础上,在更高层次上加以理解.本章教学内容虽然不多,但中学阶段重要的数学思想方法都有所体现.时,常用到待定系数法建立相应的方程组来解决.这充分体现了转化化归思想和方程思想.复数包括实数和虚数两部分,虚数还分纯虚数和非纯虚数.解决与复数概念有关的问题时,对虚部b的讨论十分关键.要合理地加以分类讨论,要注意不重复且不遗漏.复数的四则运算可类比实数运算来学习,但它不是实数运算合情推理的结果,而是一种“规定”,是新的定义.复数的四则运算本身也是一个建构的过程,其前提是对虚数单位i的两个规定,从而形成了一个具有公理化结构特点的小系统.公理化思想的有机渗透,对学生体会数学精神,感悟数学本质很有教育价值.对本章的教学提出以下建议:1.数的概念的发展与数系扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,也体现了数学发生、发展的客观需求.教学中,应突出数系的扩充过程,让学生通过回忆以往的学习历程,了解数集的每一次扩充,既是客观实际的需要,又是数学内部发展的需要.从数的运算和解方程的角度感悟“实数不够用了”,从而理解引入虚数的必要性.2.复数的运算是一种新的规定,它是数学体系建构过程中的重要组成部分.学生通过类比归纳、运算求解,进一步体会在新的数集中,原有的运算及其性质仍然适用,同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾,有利于形成对数学较为完整的认识.3.在复数运算的教学中,可以类比多项式的运算法则来理解和记忆.应注意避免烦琐的计算与技巧训练.对于有兴趣的学生,可以安排一些引申的内容,如求x3=1的根,介绍代数学基本定理等.4.复数的几何意义和复数加减法的几何意义,可结合平面解析几何和平面向量中的有关知识来学习,这种数形结合的思想丰富了我们研究问题和解决问题的范围和手段.。
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充与复数的概念》名师教案
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念一、教学目标1.核心素养:通过学习数系的扩充和复数的概念,初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.2.学习目标:(1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.(2)理解复数的基本概念,复代数形式及复数相等的充要条件.(3)复数的向量表示.3.学习重点:复数的概念,复数的代数形式,复数的向量表示.4.学习难点:复数相等的条件,复数的向量表示.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务x+=在实数集中无解.联系从自然数系任务1、阅读教材P102,思考:方程210到实数系的扩充过程,你能设想一种方法,使这个方程有解吗?任务2、阅读教材P103,思考:复数集C和实数集R有什么关系?任务3、阅读教材P104-P105,思考:实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?2.预习自测1.下列复数中,满足方程x2+2=0的是( )A.±1B.±iC.±2iD.±2i答案:C解析:略2.已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是( )A.2,1B.2,5C.±2,5D.±2,1答案:C解析:略3、如果z=m(m+1)+(m2-1)i为纯虚数,则实数m的值为( )A.1B.0C.-1D.-1或1答案:B解析:略(二)课堂设计1.知识回顾(1)对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数2.问题探究问题探究一:数系的扩充x+=,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,对于实系数一元二次方程210使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?●活动一:回顾旧知,回顾数集的扩充过程对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数(教师引导)●活动二:类比旧知,探究数系的扩充.对于实系数一元二次方程210x +=,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢?我们说,实系数一元二次方程210x +=没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢?最根本的问题是要解决-1的开平方问题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1.我们引入一个新数i ,它的平方等于-1 ●活动三:类比探究,研究新数i 的运算性质把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算,并希望运算时有关的运算律仍成立,你得到什么样的数?根据前面讨论结果,我们引入一个新数i ,i 叫做虚数单位,并规定: ①虚数单位i 的平方等于-1,即21i =-②i 的周期性:41n ii +=,421n i +=-43n +4n ③实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论,引入新数i ,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决前面提出的问题(1-可以开平方,而且1-的平方根是i ±).问题探究二:复数的概念 ●活动一:理解概念,复数的代数形式 怎样表示一个复数?根据虚数单位i 的第③条性质,i 可以与实数b 相乘,再与实数a 相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成a bi +这样,数的范围又扩充了,出现了形如(,)a bi a b R +∈的数,我们把它们叫做复数.复数通常用字母z 表示,即z =a +bi ,(其中a ,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式,其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部.复数的实部、虚部满足什么条件表示实数? 对于复数a +bi (a,b ∈R ),当且仅当b =0时,它是实数; 当且仅当a =0且b =0时,它是实数0; 当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时,叫做纯虚数; ●活动二:剖析概念复数m +ni 的实部、虚部一定是m 、n 吗?不一定,只有当m ∈R ,n ∈R ,则m 、n 才是该复数的实部、虚部. 对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R ),你认为满足什么条件时,这两个复数相等?(a =c 且b =d ,即实部与虚部分别相等时,这两个复数相等.) 任意两个实数可以比较大小,复数呢?如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小. ●活动三:完善知识体系复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系是怎样的?复数z =(,)a bi a b R +∈包括:0,0)0)0,0)a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b●活动四:复数基本概念、复数的代数形式、复数充要条件的应用 例1、实数m 为什么值时()11z m m i=++-是(1)实数(2)虚数(3)纯虚数答案:见解析解析:(1)当10m -=,即1m =时,复数z 是实数; (2)当10m -≠即1m ≠时,复数z 是虚数;(3)当10,10m m +=-≠即m 1=-时,复数z 是纯虚数.点拨:本题是对实数、虚数、纯虚数概念的考察.因为m R ∈,所以()()1,1m R m R +∈-∈.由z a bi =+是实数、虚数、纯虚数的条件可以确定m 的值.例2、已知x 2-x -6x +1=(x 2-2x -3)i (x ∈R ),求x 的值.答案:见解析解析:由复数相等的定义得⎩⎨⎧x 2-x -6x +1=0.x 2-2x -3=0.解得:x =3,所以x =3为所求.点拨:本题考察复数相等的充要条件.对于复数a +bi 和c +di (a,b,c,d ∈R )当且仅当a =c 且b =d ,即实部与虚部分别相等时,这两个复数相等例3、设z 1=m 2+1+(m 2+m -2)i ,z 2=4m +2+(m 2-5m +4)i ,若z 1<z 2,求实数m 的取值范围. 答案:见解析解析:由于z 1<z 2,m ∈R ,∴z 1∈R 且z 2∈R ,当z 1∈R 时,m 2+m -2=0, m =1或m =-2.当z 2∈R 时,m 2-5m +4=0, m =1或m =4,∴当m =1时,z 1=2,z 2=6,满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时,实数m 的取值为m =1.点拨:本题考察对复数概念的理解.如果两个复数不全是实数,那么它们不能比较大小.●活动一 类比实数的几何意义,探究复数的几何意义若把a,b 看成有序实数对(a,b ),则(a,b )与复数a +bi 是怎样的对应关系?有序实数对(a,b )与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系?(一一对应关系) 实数可以用数轴上的点来表示实数 一一对应实数轴上的点(几何模型)任何一个复数z =a +bi,都可以由一个有序实数对(a,b )唯一确定.因为有序实数对(a,b )与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应.复数z =a +bi (a ,b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ,b );如图:复数z =a +bi 可以用点Z (a,b )(复数的几何形式)来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴. 显然,实轴上的点都表示实数,虚轴上的点(除了原点)都表示纯虚数例4、实数m 取什么值时,复平面内表示复数()()22815514m m m m i -++--的点(1)位于第四象限;(2)位于y =x 上. 答案:见解析解析:(1)由()22815,514m m m m -+--位于第四象限,得2281505140m m m m ⎧-+>⎨--<⎩,解得,2357m m -<<<<或(2)由()22815,514m m m m -+--位于直线y =x 上,得22815=514m m m m -+--即293m =点拨:本题考察复数的几何意义即复数z =a +bi,与点Z (a,b )一一对应.复数z a bi =+表示的点坐标为(),a b ,分别由条件,点()22815,514m m m m -+--位于第四象限、y =x 上可得●活动二:类比探究复数的另外一个几何意义除了用平面里的点表示复数,还可以用什么表示复数?还可以用向量! 设复平面内的点Z (相对于原点来说)也可以由向量OZ 唯一确定.反之,也成立.因此,复数z =a +bi 与OZ 也是一一对应的(实数0与零向量对应),这是复数的另一种几何意义.复数z ,点Z (a,b ),OZ 三者关系如下:复数z a bi =+复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ . 复数的向量形式.以原点O 为始点的向量,规定:相等的向量表示同一个复数. ●活动三:探究复数的模的几何意义向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +. 由模的定义知:22||||(0,)z a bi r a b r r R =+==+≥∈例5、已知复数z =3+ai ,且|z |<4,求实数a 的取值范围.答案:见解析解析:方法一:∵z =3+ai (a ∈R ),∴|z |=32+a 2, 由已知得32+a 2<42,∴a 2<7,∴a ∈(-7,7).方法二:利用复数的几何意义,由|z |<4知,z 在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),由z =3+ai 知z 对应的点在直线x =3上, 所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合. 由图可知:-7<a <7点拨:本题考察复数的几何意义即复数的模及考察数形结合思想.例6、设z ∈C ,在复平面内对应点Z ,试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形.(1)|z |=2;(2)1≤|z |≤2. 答案:见解析解析:(1)方法一:|z |=2说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2, 这样的点Z 的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆.方法二:设z =a +bi ,由|z |=2,得a 2+b 2=4.故点Z 对应的集合是以原点O 为圆心,2为半径的圆.(2)不等式|z |≤2的解集是圆|z |=2及该圆内部所有点的集合.不等式|z |≥1的解集是圆|z |=1及该圆外部所有点的集合.这两个集合的交集,就是满足条件1≤|z |≤2的点的集合.如图中的阴影部分,所求点的集合是以O 为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界.点拨:解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是|z |表示点Z 到原点的距离,可依据|z |满足的条件判断点Z 的集合表示的图形; 二是利用复数的模的概念,把模的问题转化为几何问题来解决 3.课堂总结 【知识梳理】(1)复数的分类:复数(z =a +bi ,a ,b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数b =0虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a =0非纯虚数a ≠0(2)复数相等的充要条件设a ,b ,c ,d 都是实数,那么a +bi =c +di ⇔ a =c 且b =d . (3)复数与点、向量间的对应①复数z =a +bi (a ,b ∈R )一一对应,复平面内的点Z (a ,b ); ②复数z =a +bi (a ,b ∈R )一一对应,平面向量OZ →=(a ,b ).(4)复数的模复数z =a +bi (a ,b ∈R )对应的向量为OZ →,则OZ →的模叫做复数z 的模,记作|z |,且|z |=a 2+b 2. 【重难点突破】(1)对于复数概念,首先要在变化中认识复数代数形式的结构,正确判断复数的实部、虚部,然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件,用列方程(或不等式)的方法求出相应参数的取值(或取值范围)(2)对于复数相等的问题.必须保证实部和虚部都分别相等.(3)对于复数的向量表示,一定先准确找出复数所表示的向量是关键. 4.随堂检测1.若复数(a 2-a -2)+(|a -1|-1)i (a ∈R )不是纯虚数,则( ) A.a =-1 B.a ≠-1且a ≠2 C.a ≠-1 D.a ≠2 答案:C.解析:若一个复数不是纯虚数,则该复数是一个虚数或是一个实数.当a 2-a -2≠0时,已知的复数一定不是纯虚数,解得a ≠-1且a ≠2;当a 2-a -2=0且|a -1|-1=0时,已知的复数也不是一个纯虚数,解得a =2.综上所述,当a ≠-1时,已知的复数不是一个纯虚数.点拨:纯虚数的概念、复数的代数形式2.如果z =m (m +1)+(m 2-1)i 为纯虚数,则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D.-1或1 答案:B解析:由题意知⎩⎨⎧m (m +1)=0m 2-1≠0∴m =0.点拨:复数的概念、复数的代数形式3.在复平面内,复数z =i +2i 2对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 答案:B解析:∵z =i +2i 2=-2+i ,∴实部小于0,虚部大于0,故复数z 对应的点位于第二象限点拨:复数几何意义4.在复平面内,O 为原点,向量OA→对应的复数为-1+2i ,若点A 关于直线y =-x 的对称点为B ,则向量OB →对应的复数为( )A.-2-iB.-2+iC.1+2iD.-1+2i 答案:B解析:∵A (-1,2)关于直线y =-x 的对称点B (-2,1),∴向量OB →对应的复数为-2+i点拨:复数几何意义 (三)课后作业 基础型自主突破1.说出复数i i 31,5,32--+的实部和虚部.答案:见解析解析: 复数2+3i 的实部是2,虚部是3;-5的实部是-5,虚部是0;i 31-的实部是0,虚部是31-点拨:复数的概念、复数的代数形式2.指出下列各数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?72+,618.0,i 72,0,i ,2i ,85+i ,i 293-实数: 虚数: 纯虚数: 答案:实数有:72+,618.0,0,2i虚数有:i 72,i ,85+i ,i 293-纯虚数有:i 72,i 解析:略点拨:复数的概念、复数的代数形式3.设O 是原点,向量,OA OB →→对应的复数分别为23,32i i --+,那么向量BA →对应的复数是( ).55A i -+.55B i --.55C i +.55D i -答案:B解析:BA OA OB →→→=-(23)(32)i i =---+55i =-点拨:复数的概念、复数的几何意义4.下列n 的取值中,使n i =1(i 是虚数单位)的是( )A.n =2B .n =3C .n =4D .n =5答案:C.解析:因为41i =,点拨:复数的概念、复数的代数形式5.设z 是复数,()a z 表示满足1n z =的最小正整数n ,则对虚数单位i ,()a i =()A.8B.6C.4D.2答案:C解析:()a i =1=n i ,则最小正整数n 为4,点拨:复数的概念、复数的代数形式6.若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数,试求实数m 的值.答案:见解析解析:若复数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数,则⎪⎩⎪⎨⎧≠-=+-0306522m m m m ∴2=m 点拨:复数的概念、复数的代数形式能力型师生共研7.若θ∈(3π4,5π4),则复数(cos θ+sin θ)+(sin θ-cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B.解析:∵θ∈(3π4,5π4),∴cos θ+sin θ<0,sin θ-cos θ>0.点拨:复数的几何意义8.复数2(2)(11)()a a a i a R --+--∈不是纯虚数,则有( ).0A a ≠.2B a ≠.02C a a ≠≠且.1D a =-答案:C 解析:需要110a --≠,即02a a ≠≠且.点拨:复数的概念、复数的代数形式9.集合{Z ︱Z =Z n i i n n ∈+-,},用列举法表示该集合,这个集合是( )A.{0,2,-2}B.{0,2}C.{0,2,-2,2i}D.{0,2,-2,2i,-2i}答案:A解析:略点拨:根据n i成周期性变化可知.10.设A、B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos B-tan A)+tan Bi对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:略点拨:复数的几何意义探究型多维突破11、复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A、B、C,若∠BAC是钝角,求实数c的取值范围.答案:见解析解析:在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),由∠BAC是钝角得AB AC<0,且B、A、C不共线,由(-3,-4)·(c-3,2c-10)<0解得c>49,11其中当c=9时,(6,8)2AC AB==-,三点共线,故c≠9.∴c的取值范围是c>4911且c≠9.点拨:复数的几何意义,代数形式12、在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么?(1)|z-1-i|=|z+2+i|(2)|z+i|+|z-i|=4(3)|z+2|-|z-2|=1(4)若将(2)中的等于改为小于呢?答案:(1)直线;(2)椭圆;(3)双曲线延伸:(4)椭圆及其内部解析:略点拨;复数四则运算及复数几何意义自助餐1.已知i是虚数单位,则复数z=i2015的虚部是()A.0B.﹣1C.1D.﹣i答案:D解析:略点拨:复数的乘法运算2.设i是虚数单位,则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于()A.﹣2﹣6iB.﹣2+2iC.4+2iD.4﹣6i答案:B解析:略点拨:复数的乘法运算3.实数x,y满足(1+i)x+(1﹣i)y=2,则xy的值是()A.2B.1C.﹣1D.﹣2答案:B解析:略点拨:复数的运算、复数相等的概念4.设复数z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数的虚部为()A.B.C.±1D.答案:D解析:略点拨:复数的概念、复数的代数形式、复数的模5.2+7,27i,0,8+5i,(1-3)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案:C.解析:27i,(1-3)i是纯虚数,2+7,0,0.618是实数,8+5i是虚数.点拨:复数的概念、复数的代数形式6.已知复数z=1a-1+(a2-1)i是实数,则实数a的值为( )A.1或-1B.1C.-1D.0或-1 答案:C.解析:因为复数z=1a-1+(a2-1)i是实数,且a为实数,则⎩⎨⎧a2-1=0,a-1≠0,解得a =-1点拨:复数的概念、复数的代数形式7.复数z =i cos θ,θ∈[0,2π)的几何表示是( )A.虚轴B.虚轴除去原点C.线段PQ ,点P ,Q 的坐标分别为(0,1),(0,-1)D.C 中线段PQ ,但应除去原点答案:C解析:略点拨:复数的几何意义8.已知(2m -5n )+3i =3n -(m +5)i ,m ,n ∈R ,则m +n =________.答案:-10解析:根据复数相等的充要条件可知:⎩⎨⎧ 2m -5n =3n ,3=-(m +5),解得⎩⎨⎧m =-8,n =-2.所以m +n =-10.点拨:复数的概念、复数的代数形式9.若复数(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i 是虚数,则实数m 满足________.答案:m ≠-1且m ≠6解析:m ≠-1且m ≠6. 因为m 2-3m -4+(m 2-5m -6)i 是虚数,所以m 2-5m -6≠0,所以m ≠-1且m ≠6.点拨:复数的概念、复数的代数形式10、如果12log (m +n )-(m 2-3m )i >-1,如何求自然数m ,n 的值?答案:m =0,n =1 解析:因为12log (m +n )-(m 2-3m )i >-1,所以12log (m +n )-(m 2-3m )i 是实数, 从而有21230log (m n)1m m ⎧-=⎪⎨+>-⎪⎩ 由①得m =0或m =3,当m =0时,代入②得n <2,又m +n >0,所以n =1;当m =3时,代入②得n <-1,与n 是自然数矛盾,综上可得m =0,n =1.点拨:复数的概念、复数的代数形式11.设复数z =lg(m 2-2m -3)+(m 2+3m +2)i ,(1)当实数m 为何值时,z 是纯虚数?(2)当实数m 为何值时,z 是实数?答案:见解析解析:(1)因为复数z =lg(m 2-2m -3)+(m 2+3m +2)i 是纯虚数,所以⎩⎨⎧ m 2-2m -3>0,lg(m 2-2m -3)=0,m 2+3m +2≠0.解得m =1±5,所以当m =1±5时,z 是纯虚数.(2)因为复数z =lg(m 2-2m -3)+(m 2+3m +2)i 是实数,所以⎩⎨⎧m 2-2m -3>0,m 2+3m +2=0,解得m =-2,所以当m =-2时,z 是实数.点拨:复数的概念、复数的代数形式12.已知复数|z |=1,求复数3+4i +z 的模的最大值及最小值.答案:见解析解析:令ω=3+4i +z ,则z =ω-(3+4i ).∵|z |=1,∴|ω-(3+4i )|=1,∴复数ω在复平面内对应的点的轨迹是以(3,4)为圆心,1为半径的圆, 如图,容易看出,圆上的点A 所对应的复数ωA 的模最大,为+1=6;圆上的点B 所对应的复数ωB 的模最小,为-1=4,∴复数3+4i +z 的模的最大值和最小值分别为6和4.点拨:复数的几何意义数学视野自然数的产生,起源于人类在生产和生活中计数的需要.开始只有很少几个自然数,后来随着生产力的发展和记数方法的改进,逐步认识越来越多的自然数..从某种意义上说,幼儿认识自然数的过程,就是人类祖先认识自然数的过程的再现.随着生产的发展,在土地测量、天文观测、土木建筑、水利工程等活动中,都需要进行测量.在测量过程中,常常会发生度量不尽的情况,如果要更精确地度量下去,就必然产生自然数不够用的矛盾.这样,分数就应运而生.据数学史书记载,三千多年前埃及纸草书中已经记有关于分数的问题.引进分数,这是数的概念的第一次扩展.最初人们在记数时,没有“零” 的概念.后来,在生产实践中,需要记录和计算的东西越来越多,逐渐产生了位值制记数法.有了这种记数法,零的产生就不可避免的了.我国古代筹算中,利用“空位”表示零.公元6世纪,印度数学家开始用符号“0”表示零. 但是,把“0”作为一个数是很迟的事.引进数0,这是数的概念的第二次扩充.以后,为了表示具有相反意义的量,负数概念就出现了.我国是认识正、负数最早的国家,《九章算术》中就有了正、负数的记载.在欧洲,直到17世纪才对负数有一个完整的认识.引进负数,这是数的概念的第三次扩充.数的概念的又一次扩充渊源于古希腊.公元前5世纪,古希腊毕达哥拉斯(Pythagqras,约公元前580~前500)学派发现了单位正方形的边长与对角线是不可公度的,为了得到不可公度线段比的精确数值,导致了无理数的产生.当时只是用几何的形象来说明无理数的存在,至于严格的实数理论,直到19世纪70年代才建立起来.引进无理数,形成实数系,这是数的概念的第四次扩充.数的概念的再一次扩充,是为了解决数学自身的矛盾.16世纪前半叶,意大利数学家塔尔塔利亚发现了三次方程的求根公式,胆地引用了负数开平方的运算,得到了正确答案.由此,虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进,并在进一步的发展中加以运用,成功地经受了理论和实践的检验,最后于18世纪末至19世纪初确立了虚数在数学中的地位.引进虚数,形成复数系,这是数的概念的第五次扩充.上面,我们简要地回顾了数的发展过程.必须指出,数的概念的产生,实际上是交错进行的.例如,在人们还没有完全认识负数之前,早就知道了无理数的存在;在实数理论还未完全建立之前,经运用虚数解三次方程了.直到19世纪初,从自然数到复数的理论基础,并未被认真考虑过.后来,由于数学严密性的需要以及公理化倾向的影响,促使人们开始认真研究整个数系的逻辑结构.从19世纪中叶起,经过皮亚诺(G.Peano,1855~1939)、康托尔(G.Cantor,1845~1918)、戴德金(R.Dedekind,1831~1916)、外尔斯特拉斯(K.Weierstrass,1815~1897)等数学家的努力,完成了建立整个数系的逻辑工作.近代数学关于数的理论,是在总结数的历史发展的基础上,用代数结构的观点和比较严格的公理系统加以整理而建立起来的.作为数的理论系统的基础,首先要建立自然数系,然后逐步加以扩展.一般采用的扩展过程是N--------→Z--------→Q--------→R--------→C(自然数集) (整数集) (有理数集) (实数集) (复数集)科学的数集扩充,通常采用两种方法:一是添加元素法,即把新元素添加到已建立的数集中去;二是构造法,即从理论上构造一个集合,然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的.中、小学数学教学中,为了适应学生的年龄特征和接受能力,关于数系的扩充,主要是渗透近代数学观点,采用添加元素并强调运算的方法来进行的.其扩充过程是:自然数集(添零)→扩大的自然数集(添正分数)→算术数集(添负有理数) →有理数集(添无理数)→实数集(添虚数)→复数集数系的每一次扩充,都解决了一定的矛盾,从而扩大了数的应用范围.但是,数系的每一次扩充也会失去某些性质.例如,从自然数系N扩充到整数系Z后,Z 对减法具有封闭性,但失去N的良序性质,即N中任何非空子集都有最小元素.又如,由实数系R扩充到复数系C后,C是代数闭域,即任何代数方程必有根,但失去了R的顺序性,C中元素已无大小可言.数系扩充到复数系后,能否继续扩充?这个问题的答案是有条件的.如果要求完全满足复数系的全部运算性质,那么任何扩充都是难以成功的.如果放弃某些要求,那么进一步的扩充是可能的.比如,放弃乘法交换律,复数系C可以扩充为四元数系H,如果再适当改变对乘法结合律的要求,四元数系H又可扩充为八元数系Ca等等.当然,在现代数学中,通常总是把“数”理解为复数或实数,只有在个别情况,经特别指出,才用到四元数.至于八元数的使用就更罕见了.。
高考数学专题平面向量、数系的扩充与复数的引入
第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算平行四边形法则3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa .1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点; 2.在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个;3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系. [试一试]1.若向量a 与b 不相等,则a 与b 一定( ) A .有不相等的模 B .不共线C .不可能都是零向量D .不可能都是单位向量答案:C2.若菱形ABCD 的边长为2,则|AB -CB+CD |=________.解析:|AB -CB +CD |=|AB +BC +CD |=|AD|=2. 答案:21.向量的中线公式若P 为线段AB 的中点,O 为平面内一点,则OP OP =12(OA +OB). 2.三点共线等价关系A ,P ,B 三点共线⇔AP =λAB(λ≠0)⇔OP =(1-t )·OA +t OB (O 为平面内异于A ,P ,B 的任一点,t ∈R )⇔OP =x OA +y OB(O 为平面内异于A ,P ,B 的任一点,x ∈R ,y ∈R ,x +y =1).[练一练]1.D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量CD等于( )A .-BC +12BAB .-BC -12BAC .BC -12BAD .BC +12BA答案:A2.已知a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与-(b -3a )共线,则λ=________.解析:由题意知a +λb =k [-(b -3a )], 所以⎩⎨⎧λ=-k ,1=3k ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =13,λ=-13.答案:-131.给出下列命题: ①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB =DC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; ⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中正确命题的序号是( )A .②③B .①②C .③④D .④⑤解析:选A ①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.②正确.∵AB =DC ,∴|AB |=|DC |且AB ∥DC, 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ∴四边形ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形ABCD 为平行四边形,则AB ∥DC 且|AB |=|DC |,因此,AB =DC. ③正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同, 又b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同, ∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .④不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.⑤不正确.考虑b =0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.2.设a 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.上述命题中,假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a =-|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈.(3)a |a |是与a 同向的单位向量,a -|a |是与a 反向的单位向量.[典例] (1)如图,在正六边形ABCDEF 中,BA+CD +EF=( )A .0B . BEC .ADD . CF(2)(2013·江苏高考)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.[解析] (1)如图,∵在正六边形ABCDEF 中,CD =AF,BF =CE,∴BA +CD +EF =BA +AF +EF =BF +EF =CE+EF =CF.(2)由题意DE =CE +BE =12AB +23BC =12AB +23(BA +AC )=-16AB+23AC ,所以λ1=-16,λ2=23,即λ1+λ2=12. [答案] (1)D (2)12解析:∵CD =CA +AD ,CD =CB +BD ,∴2CD =CA +CB +AD +BD .又∵AD=2CE , ∴2CD =CA +CB +13AB =CA +CB +13(CB -CA ) =23CA+43CB .∴CD =13CA +23CB ,即λ=23. 答案:23 [类题通法]在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.[针对训练]若A ,B ,C ,D 是平面内任意四点,给出下列式子:①AB +CD =BC +DA ;②AC +BD =BC+AD ; ③AC -BD =DC +AB.其中正确的有( ) A .0个B .1个C .2个D .3个解析:选C ①式的等价式是AB -BC =DA -CD ,左边=AB +CB,右边=DA +DC ,不一定相等;②式的等价式是AC -BC =AD -BD ,AC+CB=AD +CE =AB 成立;③式的等价式是AC -DC =AB +BD ,AD =AD成立.[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB=a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ), 求证:A ,B ,D 三点共线.(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.[解] (1)证明:∵AB=a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ),∴BD =BC +CD =2a +8b +3(a -b )=2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5AB. ∴AB ,BD共线, 又∵它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. (2)∵k a +b 与a +k b 共线,∴存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b . ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a ,b 是不共线的两个非零向量, ∴k -λ=λk -1=0, ∴k 2-1=0.∴k =±1.[类题通法]1.共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若a ,b 不共线,则λa +μb =0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法若AB=λAC ,则A 、B 、C 三点共线. [针对训练]已知a ,b 不共线,OA =a ,OB =b , OC =c , OD =d , OE=e ,设t ∈R ,如果3a =c,2b =d ,e =t (a +b ),是否存在实数t 使C ,D ,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数t 的值,若不存在,请说明理由.解:由题设知,CD =d -c =2b -3a ,CE=e -c =(t -3)a +t b ,C ,D ,E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ,使得CE =k CD,即(t -3)a +t b =-3k a +2k b ,整理得(t -3+3k )a =(2k -t )b .因为a ,b 不共线,所以有⎩⎨⎧t -3+3k =0,t -2k =0,解之得t =65.故存在实数t =65使C ,D ,E 三点在一条直线上.第二节平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |(2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB|3.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.1.若a 、b 为非零向量,当a ∥b 时,a ,b 的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0,应表示为x 1y 2-x 2y 1=0.[试一试]1.若向量BA=(2,3),CA =(4,7),则BC =( ) A .(-2,-4) B .(2,4) C .(6,10)D .(-6,-10)答案:A2.(2013·石家庄模拟)已知向量a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,则实数x 的值是________.解析:∵u =(1+2x,4),v =(2-x,3),u ∥v ,∴8-4x =3+6x ,∴x =12.答案:12用基向量表示所求向量时,注意方程思想的运用. [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则向量e 1+e 2可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即e 1+e 2=________a +________b .解析:由题意,设e 1+e 2=m a +n b . 因为a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,所以e 1+e 2=m (e 1+2e 2)+n (-e 1+e 2)=(m -n )e 1+(2m +n )·e 2. 由平面向量基本定理,得⎩⎨⎧m -n =1,2m +n =1,所以⎩⎪⎨⎪⎧m =23,n =-13.答案:23 -131.(2014·昆明一中摸底)已知点M (5,-6)和向量a =(1,-2),若MN=-3a ,则点N 的坐标为( )A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)解析:选A MN =-3a =-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则MN=(x -5,y -(-6))=(-3,6),所以⎩⎨⎧ x -5=-3,y +6=6,即⎩⎨⎧x =2,y =0,选A.2.(2013·北京高考)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa+μb (λ,μ∈R ),则λμ=________.解析:设i ,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a =-i +j ,b =6i +2j ,c =-i -3j ,所以-i -3j =λ(-i +j )+μ(6i +2j ),根据平面向量基本定理得λ=-2,μ=-12,所以λμ=4.答案:43.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB=a ,BC =b ,CA =c . (1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n .解:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24) =(6,-42).(2)∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n ), ∴⎩⎨⎧ -6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎨⎧m =-1,n =-1. [类题通法]1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化为数量运算.2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.[典例] 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD =13BC ,E ,F 分别为线段AD 与BC 的中点.设BA=a ,BC =b ,试用a ,b 为基底表示向量EF , DF ,CD.[解] EF =EA +AB +BF =-16b -a +12b =13b -a ,DF =DE +EF =-16b +⎝ ⎛⎭⎪⎫13b -a =16b -a , CD =CF +FD =-12b -⎝ ⎛⎭⎪⎫16b -a =a -23b . [类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.[针对训练](2014·济南调研)如图,在△ABC 中,AN =13NC,P 是BN上的一点,若AP =m AB +211AC ,则实数m 的值为________.解析:因为AP =AB +BP =AB +k BN =AB+k (AN -AB )=AB +k ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 AC-AB=(1-k )AB +k 4AC,且AP =m AB +211AC, 所以1-k =m ,k 4=211, 解得k =811,m =311. 答案:311[典例] 平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k ;[解] (1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), 所以⎩⎨⎧-m +4n =3,2m +n =2,得⎩⎪⎨⎪⎧m =59,n =89.(2)a +k c =(3+4k,2+k ),2b -a =(-5,2), 由题意得2×(3+4k )-(-5)×(2+k )=0. ∴k =-1613.解:设由题意得⎩⎨⎧4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5, 得⎩⎨⎧ x =3,y =-1或⎩⎨⎧x =5,y =3. ∴d =(3,-1)或(5,3). [类题通法]1.向量共线的两种表示形式设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),①a ∥b ⇒a =λb (b ≠0);②a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.2.两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.[针对训练]已知A (1,1),B (3,-1),C (a ,b ).(1)若A ,B ,C 三点共线,求a ,b 的关系式; (2)若AC =2AB,求点C 的坐标.解:(1)由已知得AB=(2,-2),AC =(a -1,b -1),∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ∥AC.∴2(b -1)+2(a -1)=0,即a +b =2.(2)∵AC =2AB ,∴(a -1,b -1)=2(2,-2). ∴⎩⎨⎧ a -1=4,b -1=-4,解得⎩⎨⎧a =5,b =-3. ∴点C 的坐标为(5,-3).第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b .即a·b =|a||b|cos θ,规定0·a =0.2.向量数量积的运算律 (1)a·b =b·a .(2)(λa )·b =λ(a·b )=a·(λb ). (3)(a +b )·c =a·c +b·c .3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)1.若a ,b ,c 是实数,则ab =ac ⇒b =c (a ≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a ,b ,c ,若满足a ·b =a ·c (a ≠0),则不一定有b =c ,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.2.数量积运算不适合结合律,即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c ),这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等.[试一试]1.(2013·广州调研)已知向量a ,b 都是单位向量,且a ·b =12,则|2a -b |的值为________.解析:|2a -b |=(2a -b )2=4a 2-4a ·b +b 2=4-2+1= 3. 答案: 32.(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中,已知OA =(-1,t ),OB =(2,2).若∠ABO =90°,则实数t 的值为________.解析:AB =OB -OA =(3,2-t ),由题意知OB ·AB=0,所以2×3+2(2-t )=0,t =5.答案:51.明确两个结论:(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角,则有a ·b >0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角,则有a ·b <0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.[练一练]1.已知向量a ,b 均为非零向量,(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a ,b 的夹角为( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析:选B (a -2b )·a =|a |2-2a ·b =0,(b -2a )·b =|b |2-2a ·b =0,所以|a |2=|b |2,即|a |=|b |,故|a |2-2a ·b =|a |2-2|a |2cos a ,b =0,可得cos a ,b =12,又因为0≤ a ,b ≤π,所以 a ,b =π3.2.(2013·福建高考)在四边形ABCD 中,AC =(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. 5B .2 5C .5D .10解析:选C 依题意得,AC ·BD=1×(-4)+2×2=0, ∴AC ⊥BD ,∴四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD |=12×5×20=5.1.(2014·11=(x 2,y 2),若|=2,|b |=3,a ·b =-6.则x 1+y 1x 2+y 2的值为( ) A.23 B .-23 C.56D .-56解析:选B 由已知得,向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)反向,3a +2b =0,即3(x 1,y 1)+2(x 2,y 2)=(0,0),得x 1=-23x 2,y 1=-23y 2,故x 1+y 1x 2+y 2=-23.2.(2014·温州适应性测试)在△ABC 中,若∠A =120°,AB ·AC=-1,则|BC |的最小值是( )A. 2 B .2C. 6D .6 解析:选C ∵AB ·AC =-1,∴|AB |·|AC |cos 120°=-1,即|AB |·|AC|=2,∴|BC |2=|AC -AB |2=AC 2-2AB ·AC +AB 2≥2|AB |·|AC |-2AB ·AC =6,∴|BC|min = 6.3.(2013·南昌模拟)已知向量e 1=⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4,sin π6,e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π4,4cos π3,则e 1·e 2=________.解析:由向量数量积公式得e 1·e 2=cos π4×2sin π4+sin π6×4cos π3=22×2+12×2=2.答案:24.(2013·全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE ·BD=________.解析:因为AE =AD +12AB ,BD =AD -AB ,所以AE ·BD =(AD +12AB )·(AD -AB )=AD 2-12AD ·AB -12AB 2=2. 答案:2 [类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a ·b =|a ||b |cos a ,b .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点.归纳起来常见的命题角度有: (1)平面向量的模; (2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直.角度一 平面向量的模1.(2013·天津高考)在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60° , E 为CD的中点.若AC ·BE=1 , 则AB 的长为________. 解析:由已知得AC =AD +AB ,BE =AD -12AB,∴AC ·BE =AD 2-12AB ·AD +AB ·AD -12AB 2=1+12AB·AD -12|AB |2=1+12|AB |·|AD |cos 60°-12|AB|2=1,∴|AB |=12.答案:12角度二 平面向量的夹角2.(1)已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=3,且|2a +b |=7,则向量a 与a +b 的夹角为( )A.π2 B.π3 C.π6D .π解析:选B ∵|2a +b |2=4|a |2+4a ·b +|b |2=7,|a |=1,|b |=3,∴4+4a ·b +3=7,∴a ·b =0,∴a ⊥b .如图所示,a 与a +b 的夹角为∠COA .∵tan ∠COA =|CA ||OA |=|b ||a |=3,∴∠COA =π3,即a 与a +b 的夹角为π3. (2)(2014·云南第一次检测)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π3,|a |=2,|b |=3,则2a -b 与a +2b 的夹角的余弦值等于( )A.126 B .-126 C.112D .-112解析:选B 记向量2a -b 与a +2b 的夹角为θ,又(2a -b )2=4×22+32-4×2×3×cos π3=13,(a +2b )2=22+4×32+4×2×3×cos π3=52,(2a -b )·(a +2b )=2a 2-2b 2+3a ·b =8-18+9=-1,故cos θ=(2a -b )·(a +2b )|2a -b |·|a +2b |=-126,即向量2a-b 与a +2b 的夹角的余弦值是-126,因此选B.角度三 平面向量的垂直3.(1)(2013·荆州高中毕业班质量检查Ⅰ)已知向量a 与b 的夹角是2π3,且|a |=1,|b |=4,若(2a +λb )⊥a ,则实数λ=________.解析:若a ⊥(2a +λb ),则a ·(2a +λb )=0,即2|a |2+λ·|a ||b |·cos 2π3=0,∴2+λ×1×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0.∴λ=1.答案:1(2)在直角三角形ABC 中,已知AB=(2,3),AC =(1,k ),则k 的值为________. 解析:①当A =90°时,∵AB ⊥AC ,∴AB ·AC=0.∴2×1+3k =0,解得k =-23.②当B =90°时,∵AB ⊥BC, 又BC =AC -AB=(1,k )-(2,3)=(-1,k -3),∴AB ·BC=2×(-1)+3×(k -3)=0, 解得k =113.③当C =90°时, ∵AC ⊥BC,∴1×(-1)+k (k -3)=0,即k 2-3k -1=0.∴k =3±132.答案:-23或113或3±132. [类题通法]1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律;(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.2.利用数量积求解长度问题的处理方法 (1)a 2=a ·a =|a |2或|a |=a ·a . (2)|a ±b |=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2. (3)若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2.[典例),b =(cos β,,0<β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值. [解] (1)证明:由题意得|a -b |2=2, 即(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=2. 又因为a 2=b 2=|a |2=|b |2=1, 所以2-2a ·b =2,即a ·b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), 所以⎩⎨⎧cos α+cos β=0,sin α+sin β=1.由此得,cos α=cos (π-β),由0<β<π,得0<π-β<π. 又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1, 得sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6. [类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.[针对训练]已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2). (1)若a ∥b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值.解:(1)因为a ∥b ,所以2sin θ=cos θ-2sin θ, 于是4sin θ=cos θ,故tan θ=14.(2)由|a |=|b |,知sin 2θ+(cos θ-2sin θ)2=5, 所以1-2sin 2θ+4sin 2θ=5.从而-2sin 2θ+2(1-cos 2θ)=4,即sin 2θ+cos 2θ=-1, 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ+π4=-22.又由0<θ<π,知π4<2θ+π4<9π4, 所以2θ+π4=5π4或2θ+π4=7π4. 因此θ=π2或θ=3π4.第四节数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如a +b i(a ,b ∈R )的数叫复数,其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若b =0,则a +b i 为实数;若b ≠0,则a +b i 为虚数;若a =0且b ≠0,则a +b i 为纯虚数.(2)复数相等:a +b i =c +d i ⇔a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ). (3)共轭复数:a +b i 与c +d i 共轭⇔a =c ,b =-d (a ,b ,c ,d ∈R ). (4)复数的模:向量OZ ―→的模r 叫做复数z =a +b i(a ,b ∈R )的模,记作|z |或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2.2.复数的几何意义 (1)复数z =a +b i复平面内的点Z (a ,b )(a ,b ∈R ).(2)复数z =a +b i(a ,b ∈R ) 平面向量OZ.3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1=a +b i ,z 2=c +d i(a ,b ,c ,d ∈R ),则 ①加法:z 1+z 2=(a +b i)+(c +d i)=(a +c )+(b +d )i ; ②减法:z 1-z 2=(a +b i)-(c +d i)=(a -c )+(b -d )i ; ③乘法:z 1·z 2=(a +b i)·(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ; ④除法:z 1z 2=a +b i c +d i =(a +b i )(c -d i )(c +d i )(c -d i )=ac +bd c 2+d 2+bc -ad c 2+d 2i(c +d i ≠0). (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C ,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).1.判定复数是实数,仅注重虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义.2.利用复数相等a +b i =c +d i 列方程时,注意a ,b ,c ,d ∈R 的前提条件. 3.z 2<0在复数范围内有可能成立,例如:当z =3i 时z 2=-9<0.[试一试]1.(2014·惠州调研)i 是虚数单位,若z (i +1)=i ,则|z |等于( ) A .1 B.32 C.22D.12解析:选C 由题意知z =i i +1=i (1-i )(i +1)(1-i )=1+i 2,|z |=22,故选C. 2.(2013·天津高考)已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位.若(a +i)·(1+i)=b i ,则a +b i =________.解析:因为(a +i)(1+i)=a -1+(a +1)i =b i ,a ,b ∈R ,所以⎩⎨⎧a -1=0,a +1=b ,解得⎩⎨⎧a =1,b =2,所以a +b i =1+2i. 答案:1+2i1.把握复数的运算技巧(1)设z =a +b i(a ,b ∈R ),利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.(2)在复数代数形式的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.2.掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度. (1)(1±i)2=±2i ;1+i 1-i =i ;1-i1+i=-i ; (2)-b +a i =i(a +b i);(3)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ,i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0,n ∈N *. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位,则⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 2 2 013在复平面内对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限解析:选C ∵⎝⎛⎭⎪⎫1+i 22=2i2=i , ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 2 2 013=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 2 2 0121+i 2=i 1 006·1+i 2=i 2·1+i 2=-22-22i.∴其对应点位于第三象限,故选C.1.(2014·湖北八校联考)设x ∈R ,则“x =1”是“复数z =(x 2-1)+(x +1)i 为纯虚数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选C 由纯虚数的定义知:⎩⎨⎧x 2-1=0,x +1≠0,⇒x =1,选C.2.(2014·安徽“江南十校”联考)若a +b i =51+2i(i 是虚数单位,a ,b ∈R ),则ab =( )A .-2B .-1C .1D .2解析:选A a +b i =51+2i =1-2i ,所以a =1,b =-2,ab =-2.3.(2013·安徽高考)设i 是虚数单位,若复数a -103-i(a ∈R )是纯虚数,则a 的值为( )A .-3B .-1C .1D .3解析:选D 复数a -103-i =a -10(3+i )(3-i )(3+i )=(a -3)-i 为纯虚数,则a -3=0,即a =3.4.(2013·洛阳统考)设复数z =-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为z ,则|(1-z )·z -|=( )A.10 B .2 C. 2D .1解析:选A 依题意得(1-z )·z -=(2+i)(-1+i)=-3+i ,|(1-z )·z -|=|-3+i|=(-3)2+12=10.选A.[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a +bi (a ,b ∈R )的形式,以确定实部和虚部.[典例] (1)(2013·四川高考)如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A .AB .BC .CD .D(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1=3+i ,z 2=1-i ,则z =z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限[解析] (1)设z =a +b i(a ,b ∈R ),且a <0,b >0,则z 的共轭复数为a -b i ,其中a <0,-b <0,故应为B 点.(2)依题意得,z =3+i 1-i =(3+i )(1+i )(1-i )(1+i )=2+4i 2=1+2i ,因此复数z =z 1z 2的共轭复数1-2i 在复平面内的对应点的坐标是(1,-2),该点位于第四象限,选D.[答案] (1)B (2)D [类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ相互联系,即z =a +b i(a ,b ∈R )⇔Z (a ,b )⇔ OZ(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.[针对训练]1.(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位,z =1+i ,z -为z 的共轭复数,则复数z 2z-在复平面上对应的点的坐标为________.解析:z =1+i ,则z 2z -=(1+i )21-i =2i 1-i =2i (1+i )(1-i )(1+i )=-1+i ,则复数z 2z-在复平面上对应的点的坐标为(-1,1).答案:(-1,1)2.已知复数z 1=-1+2i ,z 2=1-i ,z 3=3-4i ,它们在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,若OC =λOA +μOB,(λ,μ∈R ),则λ+μ的值是________.解析:由条件得OC =(3,-4),OA=(-1,2), OB=(1,-1),根据OC =λOA +μOB 得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ), ∴⎩⎨⎧ -λ+μ=3,2λ-μ=-4,解得⎩⎨⎧λ=-1,μ=2. ∴λ+μ=1. 答案:1[典例] (1)若复数z 满足z (2-i)=11+7i(i 为虚数单位),则z 为( ) A .3+5i B .3-5i C .-3+5iD .-3-5i(2)(2013·长春调研)已知复数z =1+a i(a ∈R ,i 是虚数单位),z -z =-35+45i ,则a =( )A .2B .-2C .±2D .-12[解析] (1)z =11+7i 2-i =(11+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=15+25i5=3+5i. (2)由题意可知:1-a i 1+a i =(1-a i )2(1+a i )(1-a i )=1-2a i -a 21+a 2=1-a 21+a 2-2a 1+a 2i =-35+45i ,因此1-a 21+a 2=-35,化简得5a 2-5=3a 2+3,a 2=4,则a =±2,由-2a 1+a 2=45可知a <0,仅有a =-2满足,故选B.[答案] (1)A (2)B解:∵z =3+5i ,∴z -=3-5i∴(1+z )·z -=(4+5i)(3-5i)=12-20i +15i +25=37-5i. [类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算,除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i 的幂写成最简形式.[针对训练]1.(2013·山东高考)复数z 满足(z -3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数z 为( )A .2+iB .2-iC.5+i D.5-i解析:选D由(z-3)(2-i)=5,得z=3+52-i=3+5(2+i)(2-i)(2+i)=3+2+i=5+i,所以z=5-i.2.设复数z的共轭复数为z,若z=1-i(i为虚数单位),则zz+z2的值为()A.-3i B.-2i C.i D.-i解析:选D依题意得zz+z2=1+i1-i+(1-i)2=-i2+i1-i-2i=i-2i=-i.。
数系的扩充与复数引入
《数系的扩充与复数的引入》当堂检测
班级______________姓名____________________分数_________________
1、下面四个命题中正确的命题个数是 ( )
①0比i -大;②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数;③1x yi i +=+的充要条件为1x y ==;④如果让实数a 与ai 对应,那么实数集与纯虚数集一一对应
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3 2、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,其中为全集,那么有( ) A 、C R I = B 、{0}R I = C 、
R C C I = D 、R I =∅ 3、已知复数z 满足2230z z --=,则复数z 对应点的轨迹是( )
A 、1个圆
B 、线段
C 、2个点
D 、2个圆
4、若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数,则实数a 的值为( )
A 、1
B 、2
C 、1或2
D 、-1
5、设m R ∈,复数2(2)3(1)2(1)z i m i m i =+-+--,若z 为实数,则m =____________;若z 为纯虚数,则m =____________。
6、复数35i -,1i -和2ai -+在复平面上对应的点在同一条直线上,
则实数a 的值为______。
7、复数2(
33)(
3)22log log x x x z i ---=+,设z 在复平面内对应点Z .
(1)若点Z 在第三象限内,求x 的取值范围;
(2)若点Z 在直线210x y -+=上,求x 的值。
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一、必备知识1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量.规定:0与任一向量共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa.二、必记结论1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即特别地,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.3.若A、B、C是平面内不共线的三点,则⇔P为△ABC的重心.一、思考辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“³”)(1)0的模为0,没有方向.( )(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.( )(3) ( )(4)a与λa共线,方向相同.( )(5)0²0=0.( )提示:(1)错误.0的方向是任意的.(2)错误.当b=0时,不一定有a∥c.(3)正确..(4)错误.当λ>0时,方向相同.(5)错误.0²0=0.答案:(1)³(2)³(3)√(4)³(5)³二、牛刀小试1.若向量a与b不相等,则a与b一定( )A.有不相等的模B.不共线C.不可能都是零向量D.不可能都是单位向量解析:选C若a与b都是零向量,则a=b,故选项C正确.2.如图,已知D,E,F分别是△ABC的边BC,AB,AC的中点,则下列说法正确的是( )解析:选C∵E、F分别为AB、AC的中点,4.已知a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与-(b -3a )共线,则λ=________. 解析:由题意知a +λb =k [-(b -3a )],所以⎩⎪⎨⎪⎧λ=-k ,1=3k ,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =13,λ=-13.答案:-13[例1] (1)给出下列命题: ①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; 其中正确命题的序号是( ) A .②③ B .①② C .③④ D .①④(2)设a 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1C.2 D.3[听前试做](1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.③正确.∵a=b,∴a,b的长度相等且方向相同,又b=c,∴b,c的长度相等且方向相同,∴a,c的长度相等且方向相同,故a=c.④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b 不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是②③.故选A.(2)向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.答案:(1)A (2)D给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量.②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.③λa=0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误的命题的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:选C①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0.④错误,当λ=μ=0时,λa=μb=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.平面向量的线性运算是每年高考的重点,题型多为选择题和填空题,难度较小,属中低档题,且主要有以下几个命题角度:角度一:考查向量加法或减法的几何意义[例2] (2012²辽宁高考)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( )A.a∥b B.a⊥bC.|a|=|b| D.a+b=a-b[听前试做]由|a+b|=|a-b|,两边平方并化简得a²b=0,又a,b都是非零向量,所以a⊥b.答案:B角度二:向量的线性运算答案:C角度三:与三角形相联系求参数答案:12角度四:与平行四边形相联系,研究向量的关系[例5] (2013²四川高考) 如图,在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,则 λ=________.答案:21.(2015²深圳调研)在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则( )A .⎝⎛⎭⎪⎫0,12 B .⎝⎛⎭⎪⎫0,13C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,0 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,0[例6] 设两个非零向量a 和b 不共线.(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.(2)因为k a +b 与a +k b 共线,所以存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b ),即⎩⎪⎨⎪⎧k =λ,1=λk ,解得k =±1.即k =±1时,k a +b 与a +k b 共线.即4a +(m -3)b =λ(a +b ),∴⎩⎪⎨⎪⎧4=λ,m -3=λ,解得m =7. 故当m =7时,A 、B 、D 三点共线.[探究2] 若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k 为何值? 解:因为k a +b 与a +k b 反向共线,所以存在实数λ,使k a +b =λ(a +k b )(λ<0),所以⎩⎪⎨⎪⎧k =λ,k λ=1,所以k =±1.又λ<0,k =λ, 所以k =-1.故当k =-1时两向量反向共线.A .1B .2C .-1D .-2∴e 1-k e 2=λ(e 1-2e 2),∵e 1、e 2是平面内不共线的两向量,∴⎩⎪⎨⎪⎧1=λ,-k =-2λ,解得k =2.故选B.2.已知a ,b 是两个不共线的非零向量,且a 与b 起点相同.若a ,t b ,13(a +b )三向量的终点在同一直线上,则t =________.解析:∵a ,t b ,13(a +b )三向量的终点在同一条直线上,且a 与b 起点相同.∴a -t b与a -13(a +b )共线,即a -t b 与23a -13b 共线,∴存在实数λ,使a -t b =λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a -13b ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1=23λ,t =13λ,解得λ=32,t =12,即t =12时,a ,t b ,13(a +b )三向量的终点在同一条直线上.答案:123个等价转化——与三点共线有关的等价转化4个注意点——向量线性运算应注意的问题(1)作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点.(2)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个.(3)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(4)利用向量平行证明直线平行,必须说明这两条直线不重合.[全盘巩固]一、选择题A.13b+23c B.53c-23bC.23b-13c D.23b+13c3.下列说法正确的是( ) A .若a ,b 都是单位向量,则a =bB .若a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线C .若a 与b 共线,则|a +b |=|a|+|b|D .若a 与b 不共线,则|a +b |<|a |+|b |解析:选D 单位向量的方向可以不同,故A 错误;当b 为零向量时,a 与c 可以是任意方向的向量,故B 错误;当a 与b 反向共线时,等式|a +b |=|a |+|b |不成立,故C 错误;当a 与b 不共线,利用向量加法的三角形法则可知,|a +b |<|a |+|b |,故D 正确.4.设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b|b |成立的充分条件可以是( )A .|a |=|b |且a ∥bB .a =-bC .a ∥bD .a =2b解析:选D ∵a |a |表示与a 同向的单位向量,b|b |表示与b 同向的单位向量,∴a 与b必须方向相同才能满足a |a |=b|b |. 5.已知向量a ,b 不共线,c =k a +b (k ∈R ),d =a -b ,如果c ∥d ,那么( ) A .k =1且c 与d 同向 B .k =1且c 与d 反向 C .k =-1且c 与d 同向 D .k =-1且c 与d 反向解析:选D 由题意可设c =λd ,即k a +b =λ(a -b ). 故(λ-k )a =(λ+1)b . ∵a ,b 不共线,∴⎩⎨⎧λ-k =0,λ+1=0.∴k =λ=-1. ∴c 与d 反向.6.如图,在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 为线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若则 ( )A.112a +16bB.29a +19bC.16a +112bD.19a +29b 解析:选C 如图所示,由题意知,DE ∶BE =DF ∶BA =FE ∶AE =1∶3,12a +12b +13(12a -12b )=23a +13b ,7.已知a 、b 是不共线的向量,=a +μb (λ、μ∈R ),当A 、B 、C 三点共线时,λ的取值不可能为( )A .1B .0C .-1D .2A .2B .3C .4D .5二、填空题答案:b -12a答案:[3,13]其中正确命题的序号为________.答案:②③④解析:∵O是BC的中点,∵M、O、N三点共线,∴m2+n2=1.∴m+n=2.答案:2三、解答题解:∵E、F分别是AC、AB的中点,∴G是△ABC的重心.[冲击名校]答案:27a +47b.∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.一、必备知识1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|(2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.二、必记结论1.若a与b不共线且λa+μb=0,则λ=μ=0.2.已知 (λ,μ为常数),则A,B,C三点共线的充要条件是λ+μ=1.3.平面向量的基底中一定不含零向量.一、思考辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“³”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) (2)在△ABC 中,向量的夹角为∠ABC.( )(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的.( )(4)设a ,b 是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a +μ1b =λ2a +μ2b ,则λ1=λ2,μ1=μ2.( )(5)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2=y 1y 2.( ) 提示:(1)错误.当两个向量不共线时才可作为一组基底. (2)错误.的夹角应为∠ABC 的补角.(3)错误.同一向量在不同基底下的表示是不同的. (4)正确.由平面向量基本定理可知. (5)错误.如a =(0,1),b =(0,2). 答案:(1)³ (2)³ (3)³ (4)√ (5)³ 二、牛刀小试1.已知A (x ,1),B (2,y ),=(3,4),则x +y =( )A .3B .-3C .4D .-4解析:选C ∵=(2-x ,y -1)=(3,4),∴⎩⎪⎨⎪⎧2-x =3,y -1=4,即⎩⎨⎧x =-1,y =5.∴x +y =4. 2.(2015²西宁模拟)若向量a =(1,1),b =(-1,1),c =(4,2),则c =( ) A .3a +b B .3a -bC .-a +3bD .a +3b解析:选B 设c =x a +y b ,则(4,2)=x (1,1)+y (-1,1),即⎩⎪⎨⎪⎧4=x -y ,2=x +y ,解得⎩⎨⎧x =3,y =-1.即c =3a -b .3.下列各组向量:①e 1=(-1,2),e 2=(5,7);②e 1=(3,5),e 2=(6,10);③e 1=(2,-3),e 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,34,能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是( )A .①B .①③C .②③D .①②③解析 :选B ②中,e 1=12e 2,即e 1与e 2共线,所以不能作为基底.4.已知向量a =(2,-1),b =(-1,m ),c =(-1,2),若(a +b )∥c ,则m =________. 解析:∵a +b =(1,m -1),c =(-1,2),且(a +b )∥c , ∴1³2=-(m -1),即2=-m +1,∴m =-1. 答案:-1[例1] 在平行四边形ABCD 中,E 和F 分别是边CD 和BC 的中点.若其中λ,μ∈R ,则λ+μ=________.于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ+μ=1,λ+12μ=1,即⎩⎪⎨⎪⎧λ=23,μ=23,故λ+μ=43.答案:43∵T ,M ,N 三点共线, ∴54λ+54μ=1. ∴λ+μ=45.答案:45[例2] (1)已知点M(5,-6)和向量a =(1,-2),若=-3a ,则点N 的坐标为( )A .(2,0)B .(-3,6)C .(6,2)D .(-2,0)(2)已知平面向量a =(1,1),b =(1,-1),则向量12a -32b =( )A .(-2,-1)B .(-2,1)C .(-1,0)D .(-1,2)(3)在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若=(2,4),=(1,3),则=( )A .(-2,-4)B .(-3,-5)C .(3,5)D .(2,4)[听前试做] (1)=-3a =-3(1,-2)=(-3,6),设N (x ,y ),则=(x -5,y -(-6))=(-3,6),所以⎩⎪⎨⎪⎧x -5=-3,y +6=6,即⎩⎨⎧x =2,y =0.(2)12a =⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,32b =⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-32,故12a -32b =(-1,2).答案:(1)A (2)D (3)B(1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (3)求M ,N 的坐标及向量MN ―→的坐标.解:由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8).(1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n )=(5,-5),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5,解得⎩⎨⎧m =-1,n =-1.(3)设O 为坐标原点,平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难度较小,属容易题,且主要有以下几个命题角度:角度一:利用两向量共线求参数[例3] (2014²陕西高考)设0<θ<π2,向量a =(sin 2θ,cos θ),b =(cos θ,1),若a ∥b ,则tan θ=________.[听前试做] ∵a ∥b ,∴sin 2θ=cos 2θ,∴2sin θcos θ=cos 2θ.∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,∴2sin θ=cos θ,∴tan θ=12.答案:12角度二:利用向量共线求点的坐标[例4] 已知梯形ABCD ,其中AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________.∴(4-x ,2-y )=2(1,-1),即(4-x ,2-y )=(2,-2),∴⎩⎪⎨⎪⎧4-x =2,2-y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,故点D 的坐标为(2,4). 答案:(2,4)角度三:解决三点共线问题[例5] 已知点A (4,0),B (4,4),C (2,6),则AC 与OB 的交点P 的坐标为________.所以(x -4)³6-y ³(-2)=0,解得x =y =3,所以点P 的坐标为(3,3). 答案:(3,3)1.(2015²长沙模拟)已知向量a =(1,2),b =(1,0),c =(3,4).若λ为实数,(a +λb )∥c ,则λ等于( )A.14B.12 C .1 D .2解析:选B a +λb =(1,2)+(λ,0)=(1+λ,2).又∵(a +λb )∥c ,∴(1+λ)³4=2³3,即1+λ=32,∴λ=12.A .k =-2B .k =12C .k =1D .k =-1∴所以x +y =cos α+3sin α=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π6,又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,2π3,所以当α=π3时,x +y 取得最大值2.(2013²北京高考)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则λμ=________.解析:设i ,j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量,则a =-i +j ,b =6i +2j ,c =-i -3j ,所以-i -3j =λ(-i +j )+μ(6i +2j ),根据平面向量基本定理得λ=-2,μ=-12,所以λμ=4.答案:41个区别——向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量=a ,点A 的位置被向量a 唯一确定,此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ,y ),但应注意其表示形式的区别,如点A (x ,y ),向量a ==(x ,y ).2种形式——向量共线的充要条件的两种形式 (1)a ∥b ⇔b =λa (a ≠0,λ∈R );(2)a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)). 3个注意点——解决平面向量共线问题应注意的问题 (1)注意0的方向是任意的;(2)若a 、b 为非零向量,当a ∥b 时,a ,b 的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;(3)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0,所以应表示为x 1y 2-x 2y 1=0.[全盘巩固]一、选择题1.(2014²北京高考)已知向量a =(2,4),b =(-1,1),则 2a -b =( ) A .(5,7) B .(5,9) C .(3,7) D .(3,9)解析:选A 因为a =(2,4),b =(-1,1),所以2a -b =(2³2-(-1),2³4-1)=(5,7).2.(2015²南宁模拟)已知平面向量a =(1,2),b =(-2,m ),且a ∥b ,则2a +3b =( ) A .(-5,-10) B .(-2,-4) C .(-3,-6) D .(-4,-8)解析:选D ∵a ∥b ,∴1³m =2³(-2),即m =-4.∴2a +3b =2(1,2)+3(-2,-4)=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8) 3.设向量a =(x ,1),b =(4,x ),且a ,b 方向相反,则x 的值是( ) A .2 B .-2 C .±2 D .0解析:选B 因为a 与b 方向相反,所以b =m a ,m <0,则有(4,x )=m (x ,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧4=mx ,x =m ,解得m =±2.又m <0,∴m =-2,x =m =-2.A.12B.13C.14D .1 解析:选A ∵M 为边BC 上任意一点,∵N 为AM 中点,∴λ+μ=12(x +y )=12.5.若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为( )A .(2,0)B .(0,-2)C .(-2,0)D .(0,2)解析:选D 由题意,a =-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4). 设a 在基底m ,n 下的坐标为(λ,μ),则a =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ)=(2,4).故⎩⎪⎨⎪⎧-λ+μ=2,λ+2μ=4,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=0,μ=2,即坐标为(0,2). 6.已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫8,12x ,b =(x ,1),其中x >0,若(a -2b )∥(2a +b ),则x 的值为( )A .4B .8C .0D .2解析:选A a -2b =⎝ ⎛⎭⎪⎫8-2x ,12x -2,2a +b =(16+x ,x +1),由已知(a -2b )∥(2a +b ),显然2a +b ≠0,故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8-2x ,12x -2=λ(16+x ,x +1),λ∈R ,∴⎩⎨⎧8-2x =λ(16+x ),12x -2=λ(x +1)⇒x =4(x >0)..A.12B.23C.34D.45二、填空题9.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为________.解析:由条件中的四边形ABCD的对边分别平行,可以判断该四边形ABCD是平行四边形.设D(x,y),则有,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2),即D点的坐标为(0,-2).答案:(0,-2).答案:2 211.已知A(-3,0),B(0,3),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°,则实数λ的值为________.(-3λ,3),由∠AOC =30°知,以x 轴的非负半轴为始边,OC 为终边的一个角为150°,则tan 150°=3-3λ,即-33=-33λ,故λ=1.答案:112.(2015²龙岩模拟)设(b ,0),a >0,b >0,O 为坐标原点,若A 、B 、C 三点共线,则1a +1b的最小值为________.⎩⎪⎨⎪⎧-a +2=λ(b +2),-2=-4λ,整理得2a +b =2.所以1a +1b =12(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b =12⎝ ⎛⎭⎪⎫3+2a b +b a ≥12(3+22a b ²b a )=3+222. 答案:3+222三、解答题13.已知O (0,0),A (1,2),B (4,5)及,求:(1)t 为何值时,P 在x 轴上?P 在y 轴上?P 在第二象限?(2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.解:(1)=(1,2)+t (3,3)=(1+3t ,2+3t ).若P 在x 轴上,则2+3t =0,∴t =-23;若P 在y 轴上,则1+3t =0,∴t =-13;若P 在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧1+3t <0,2+3t >0,∴-23<t <-13..∵⎩⎨⎧3-3t =1,3-3t =2无解, ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.[冲击名校]1. 如图所示,点A ,B 是圆O 上的两点,∠AOB =60°,点D 是圆O 上异于A ,B 的任意一点,若,则μ+λ的最大值为________..答案:2332.平面内给定三个向量a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1). (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k;(3)若d 满足(d -c )∥(a +b ),且|d -c |=5,求d 的坐标. 解:(1)由题意得(3,2)=m (-1,2)+n (4,1), ∴⎩⎪⎨⎪⎧-m +4n =3,2m +n =2,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =59,n =89.(2)a +k c =(3+4k ,2+k ),2b -a =(-5,2),由题意得2³(3+4k )-(-5)³(2+k )=0,解得k =-1613.(3)设d =(x ,y ),则d -c =(x -4,y -1), 又a +b =(2,4),|d -c |=5,∴⎩⎪⎨⎪⎧4(x -4)-2(y -1)=0,(x -4)2+(y -1)2=5,解得⎩⎨⎧x =3,y =-1或⎩⎨⎧x =5,y =3.∴d 的坐标为d =(3,-1)或d =(5,3).一、必备知识 1.向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,作则∠AOB 就是向量a 与b的夹角.(2)范围:设θ是向量a 与b 的夹角,则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直:若θ=0°,则a 与b 同向;若θ=180°,则a 与b 反向;若θ=90°,则a 与b 垂直.2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a²b=b²a;(2)(λa)²b=λ(a²b)=a²(λb);(3)(a+b)²c=a²c+b²c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),二、必记结论1.当a与b同向时,a²b=|a||b|.2.当a与b反向时,a²b=-|a||b|.3.a²a=a2=|a|2.4.|a²b|≤|a||b|,当且仅当a与b共线时,等号成立.一、思考辨析判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“³”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ²b =0可得a =0或b =0.( ) (4)(a ²b )c =a (b ²c ).( ) (5)a ²b =a ²c (a ≠0),则b =c .( )(6)若a ²b >0,则a 和b 的夹角为锐角;若a ²b <0,则a 和b 的夹角为钝角.( ) 提示:(1)正确. (2)正确.(3)错误.当a 与b 为非零向量,且a ⊥b 时,a ²b =0.(4)错误.(a ²b )c 表示与c 共线的向量;a (b ²c )表示与a 共线的向量,而a 与c 的关系未知.(5)错误.当a ⊥b 且a ⊥c 时,a ²b =a ²c ,但是b 不一定等于c . (6)错误.当a 与b 同向时,a ²b >0; 当a 与b 反向时,a ²b <0. 答案:(1)√ (2)√ (3)³ (4)³ (5)³ (6)³ 二、牛刀小试1.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=4,且a ²b =2,则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析:选C ∵a ²b =|a ||b |cos θ=2, ∴cos θ=2|a ||b |=21³4=12, 又∵θ∈[0,π],∴θ=π3.2.已知向量a =(1,2),向量b =(x ,-2),且a ⊥(a -b ),则实数x 等于( )A .9B .4C .0D .-4解析:选A ∵a =(1,2),b =(x ,-2),∴a -b =(1-x ,4).又a ⊥(a -b ),∴a ²(a -b )=0,即1³(1-x )+2³4=0,解得x =9.3.已知单位向量a ,b 的夹角是120°,则|a +b |=( ) A.12 B .1 C. 2 D. 3解析:选B |a +b |=(a +b )2=a 2+2a ²b +b 2=1+2³1³1³cos 120°+1=1-1+1=1.4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为________. 解析:a ²b =|a ||b |cos θ,∴|a |cos θ=a ²b |b |=2³(-4)+3³7(-4)2+72=1365=136565=655. 答案:655[例1] (1)如图,平行四边形ABCD 中,AB =2,AD =1,∠A =60°,点M 在AB 边上,且AM =13AB ,则等于( )A .-32 B.32C .-1D .1(2)已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则的值为________;的最大值为________.[听前试做] (答案:(1)D (2)1 11.若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x )满足条件(8a -b )²c =30,则x =( ) A .6 B .5 C .4 D .3解析:选C 8a -b =8(1,1)-(2,5)=(6,3),所以(8a -b )²c =(6,3)²(3,x )=30,即18+3x =30,解得x =4.2.(2015²成都模拟)△ABC 中,点M 在线段AC 上,点P 在线段BM 上,且满足AM MC =MP PB=2,若∠BAC =90°,则的值为( )A .1B .-23C.143 D .-13[例2] (1)(2014²重庆高考)已知向量a =(k ,3),b =(1,4),c =(2,1),且(2a -3b )⊥c ,则实数k =( )A .-92B .0C .3 D.152(2)(2014²四川高考)平面向量a =(1,2),b =(4,2),c =m a +b (m ∈R ),且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,则m =( )A .-2B .-1C .1D .2[听前试做] (1)因为2a -3b =(2k ,6)-(3,12)=(2k -3,-6),(2a -3b )⊥c ,所以(2a -3b )²c =2(2k -3)-6=0,解得k =3,选C.(2)法一:由已知得c =(m +4,2m +2),因为cos 〈c ,a 〉=c ²a |c ||a |,cos 〈c ,b 〉=c ²b |c ||b |,所以c ²a |c ||a |=c ²b|c ||b |,又由已知得|b |=2|a |,所以2c ²a =c ²b ,即2[(m +4)+2(2m +2)]=4(m +4)+2(2m +2),解得m =2.法二:易知c 是以m a ,b 为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b |=2|a |,故m =2.答案:(1)C (2)D[探究1] 在本例(1)的条件下,若a 与c 的夹角的余弦值为55,求k 的值. 解:∵cos 〈a ,c 〉=a ²c |a |²|c |=2k +3k 2+9²5=55,∴2k +3=k 2+9,即4k 2+9+12k =k 2+9, ∴k 2+4k =0,解得k =0或k =-4, 又2k +3>0,∴k =0.[探究2] 在本例(1)的条件下,若2a -3b 与c 的夹角为钝角,求k 的取值范围. 解:∵2a -3b 与c 的夹角为钝角, ∴(2a -3b )²c <0,即(2k -3,-6)²(2,1)<0, ∴4k -6-6<0, ∴k <3.又若(2a -3b )∥c ,则2k -3=-12,即k =-92.当k =-92时,2a -3b =(-12,-6)=-6c ,即2a -3b 与c 反向.综上,k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-92,3.1.已知a ,b 都是非零向量,且|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为________. 解析:由|a |=|b |=|a -b |,得|a |2=|b |2,|b |2=|a |2-2a ²b +|b |2,所以a ²b =12|a |2.而|a +b |2=|a |2+2a ²b +|b |2=2|a |2+2³12|a |2=3|a |2,所以|a +b |=3|a |.设a 与a +b的夹角为θ,则cos θ=a ²(a +b )|a ||a +b |=|a |2+12|a |23|a |2=32,由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.答案:30°2.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =________.解析:不妨设c =(m ,n ),则a +c =(1+m ,2+n ),a +b =(3,-1).因为(c +a )∥b ,所以-3(1+m )=2(2+n ).①又c ⊥(a +b ),所以3m -n =0.②由①②解得m =-79,n =-73,故c =⎝ ⎛⎭⎪⎫-79,-73.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫-79,-73有关平面向量的模的问题离不开平面向量的数量积,涉及平面向量模的问题是近几年高考的热点.常以选择题、填空题的形式出现,考查求模的最值、求模的取值范围等问题,具有一定的综合性,且主要有以下几个命题角度:角度一:求向量的模[例3] (2014²江西高考)已知单位向量e 1,e 2的夹角为α,且cos α=13,若向量a=3e 1-2e 2,则|a |=________.[听前试做] 因为a 2=(3e 1-2e 2)2=9-2³3³2³cos α+4=9,所以|a |=3. 答案:3角度二:求向量模的最值或取值范围[例4] (1)(2014²湖南高考)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足则的取值范围是( ) A.[4,6] B.[19-1,19+1]C.[23,27 ] D.[7-1,7+1](2)(2011²辽宁高考)若a,b,c均为单位向量,且a²b=0,(a-c)²(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为( )A.2-1 B.1C. 2 D.2(2)由向量a,b,c都是单位向量,可知a2=1,b2=1,c2=1;由a²b=0,及(a-c)(b -c)≤0,可以得到,(a+b)²c≥c2=1.因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2a²b-2a²c-2b²c,所以有|a+b-c|2=3-2(a²c+b²c)≤1,故|a+b-c|≤1.答案:(1)D (2)B角度三:由向量的模求夹角[例5] (2013²安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.[听前试做]由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a²b,所以a ²b =-|b |2.又|a |=3|b |,所以cos 〈a ,b 〉=a ²b |a ||b |=-|b |23|b |2=-13.答案:-131.(2015²蚌埠模拟)设非零向量a ,b ,c ,满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,b 与c 的夹角为( )A .60°B .90°C .120°D .150° 解析:选A 由题意得a =c -b , ∴a 2=c 2+b 2-2b ²c , 由于a 2=b 2=c 2,因此得b ²c =12b 2,cos 〈c ,b 〉=c ²b |c ||b |=12b2b 2=12,因此夹角为60°,故答案为A.2.(2013²天津高考)在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若=1,则AB 的长为________.1-12x 2+14x =1,得x =12,即AB 的长为12. 答案:12答案: 61个条件——两个非零向量垂直的充要条件 两个非零向量垂直的充要条件为:a ⊥b ⇔a ²b =0. 2个结论——与向量夹角有关的两个结论 (1)若a ²b >0,则a 与b 的夹角为锐角或0°; (2)若a ²b <0,则a 与b 的夹角为钝角或180°. 4个注意点——向量运算中应注意的四个问题(1)在求△ABC 的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边三角形ABC 中,AB ―→与BC ―→的夹角应为120°而不是60°.(2)在平面向量数量积的运算中,不能从a ²b =0推出a =0或b =0成立.实际上由a ²b=0可推出以下四种结论:①a =0,b =0;②a =0,b ≠0;③a ≠0,b =0;④a ≠0,b ≠0,a ⊥b .(3)实数运算满足消去律:若bc =ca ,c ≠0,则有b =a .在向量数量积的运算中,若a ²b =a ²c (a ≠0),则不一定有b =c .(4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a ²b )²c 不一定等于a ²(b ²c ),这是由于(a ²b )²c 表示一个与c 共线的向量,而a ²(b ²c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线.[全盘巩固]一、选择题1.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为π3,则|a +b |=( )A .1 B. 2 C. 3 D .2解析:选C 由题意可得|a |=|b |=1,又它们的夹角为π3,所以|a +b |2=|a |2+|b |2+2a ²b =1+1+2³1³1³cos π3=3,故|a +b |=3,故选C.2.(2015²汕头模拟)已知向量a =(2,1),b =(-1,3),若存在向量c 使得a ²c =4,b ²c =-9, 则向量c =( )A .(-3,2)B .(4,3)C .(3,-2)D .(2,-5)解析:选C 设c =(x ,y ),∵a =(2,1),b =(-1,3),a ²c =4,b ²c =-9,∴⎩⎪⎨⎪⎧2x +y =4,-x +3y =-9,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =3,y =-2,∴c =(3,-2),故选C. 3.已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( ) A .-4 B .-3 C .-2 D .-1解析:选B m +n =(2λ+3,3),m -n =(-1,-1),因为(m +n )⊥(m -n ),所以(2λ+3)³(-1)+3³(-1)=0,解得λ=-3,故选B.4.(2015²荆州模拟)在△ABC 中,∠C =90°,且CA =CB =3,点M 满足( )A .2B .3C .4D .65.(2015²温州模拟)已知|a |=1,a ²b =12,(a -b )2=1,则a 与b 的夹角等于( )A .30°B .45°C .60°D .120°解析:选C 设a 与b 的夹角为θ,因为a ²b =|a ||b |cos θ=12,且|a |=1,所以|b |cosθ=12.①又|a -b |2=|a |2+|b |2-2a ²b =1,即1+|b |2-1=1,故|b |=1.② 由①②得cos θ=12.又0°≤θ≤180°,所以θ=60°.A .等边三角形B .直角三角形C .等腰非等边三角形D .三边均不相等的三角形7.(2015²淄博模拟)设单位向量e 1,e 2的夹角是60°,a =e 1+e 2,b =e 1+t e 2,若向量a ,b 的夹角为锐角,则实数t 的取值范围是( )A .(-1,1)∪(1,+∞)B .(-1,+∞)C .(-∞,-1)∪(-1,1)D .(-∞,1)解析:选A 由单位向量e 1,e 2的夹角是60°,可得e 1²e 2=1³1³cos 60°=12,若a ,b 的夹角为锐角,则a ²b >0 ①,且a ,b 不共线 ②,由①可得1+1+t2+t >0,解得t >-1.由②可得1³t -1³1≠0,解得t ≠1,综上可得,t 的取值范围是(-1,1)∪(1,+∞).8.(2013²湖南高考)已知a ,b 是单位向量,a ²b =0.若向量c 满足|c -a -b |=1,则|c |的最大值为( )A.2-1B. 2C.2+1D.2+2解析:选C 建立平面直角坐标系,令向量a ,b 的坐标a =(1,0),b =(0,1),令向量c =(x ,y ),则有(x -1)2+(y -1)2=1,|c |的最大值为圆(x -1)2+(y -1)2=1上的动点到原点的距离的最大值,即圆心(1,1)到原点的距离加圆的半径,即2+1.二、填空题9.已知向量a ,b 满足|a |=4,|b |=2,且(a -b )²b =0,则向量a 与b 的夹角为________. 解析:设向量a 与b 的夹角为θ,∵(a -b )²b =a ²b -b 2=0,且|a |=4,|b |=2,∴a ²b =4,cos θ=a ²b |a ||b |=44³2=12.∵0≤θ≤π, ∴θ=π3.答案:π310.已知向量a =(1,0),b =(1,1),则与2a +b 同向的单位向量的坐标表示为________. 解析:∵2a +b =(3,1), ∴|2a +b |=32+12=10. ∴与2a +b 同向的单位向量2a +b |2a +b |=⎝ ⎛⎭⎪⎫31010,1010.答案:⎝⎛⎭⎪⎫31010,1010 11.已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t )b ,若b ²c =0,则t =________. 解析:|a |=|b |=1, a ,b =60°. ∵c =t a +(1-t )b ,∴b ²c =t a ²b +(1-t )b 2=t ³1³1³12+(1-t )³1=t 2+1-t =1-t 2.∵b ²c =0, ∴1-t2=0,∴t =2. 答案:212.已知a 与b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量a +b 与向量k a -b 垂直,则k =________.解析:∵a 与b 是不共线的单位向量,∴|a |=|b |=1.又k a -b 与a +b 垂直,∴(a +b )²(k a -b )=0,即k a 2+k a ²b -a ²b -b 2=0.∴k -1+k a ²b -a ²b =0.因此k -1+k cos θ-cos θ=0(θ为a 与b 的夹角).∴(k -1)(1+cos θ)=0.。