中考数学试题分类
四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题(提升题)知识点分类①
四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类①一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）1．（2023•甘孜州）“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据29.47万用科学记数法表示为（ ）A．0.2947×106B．2.947×104C．2.947×105D．29.47×104二．科学记数法—表示较小的数（共1小题）2．（2023•攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）A．0.23×10﹣7B．2.3×10﹣8C．2.3×10﹣9D．23×10﹣9三．列代数式（共1小题）3．（2023•攀枝花）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价10%进行销售．“六•一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价10%销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）A．160元B．162元C．172元D．180元四．整式的加减（共1小题）4．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n五．同底数幂的除法（共1小题）5．（2023•雅安）下列运算正确的是（ ）A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2六．整式的混合运算（共1小题）6．（2023•广元）下列计算正确的是（ ）A．2ab﹣2a＝b B．a2•a3＝a6C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2七．因式分解-十字相乘法等（共1小题）7．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）A．ax2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）八．根的判别式（共1小题）8．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定九．解一元一次不等式组（共1小题）9．（2023•雅安）不等式组的解集是（ ）A．﹣1＜x＜1B．﹣1≤x＜1C．﹣1＜x≤3D．﹣1≤x＜3一十．一次函数图象与几何变换（共1小题）10．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1一十一．平行线的性质（共2小题）11．（2023•德阳）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（ ）A．70°B．110°C．120°D．140°12．（2023•雅安）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．65°B．25°C．35°D．45°一十二．菱形的判定与性质（共1小题）13．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）A．1B．C．D．3一十三．圆周角定理（共1小题）14．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°一十四．扇形面积的计算（共1小题）15．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．一十五．比例线段（共1小题）16．（2023•德阳）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）A．4B．6C．7D．8一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）17．（2023•德阳）如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是；④DF＝．A．1B．2C．3D．4一十七．折线统计图（共1小题）18．（2023•雅安）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）A．9.7，9.5B．9.7，9.8C．9.8，9.5D．9.8，9.8一十八．众数（共1小题）19．（2023•广元）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341下列说法错误的是（ ）A．众数是1B．平均数是4.8C．样本容量是10D．中位数是5四川省各地市2023-中考数学真题分类汇编-01选择题（提升题）知识点分类①参考答案与试题解析一．科学记数法—表示较大的数（共1小题）1．（2023•甘孜州）“绿水青山就是金山银山”，多年来，某湿地保护区针对过度放牧问题，投入资金实施湿地生态效益补偿，完成季节性限牧还湿29.47万亩，使得湿地生态环境状况持续向好．其中数据29.47万用科学记数法表示为（ ）A．0.2947×106B．2.947×104C．2.947×105D．29.47×104【答案】C【解答】解：29.47万＝294700＝2.947×105，故选：C．二．科学记数法—表示较小的数（共1小题）2．（2023•攀枝花）将数据0.000000023用科学记数法表示正确的是（ ）A．0.23×10﹣7B．2.3×10﹣8C．2.3×10﹣9D．23×10﹣9【答案】B【解答】解：0.000000023＝2.3×10﹣8．故选：B．三．列代数式（共1小题）3．（2023•攀枝花）为了回馈客户，商场将定价为200元的某种儿童玩具降价10%进行销售．“六•一”儿童节当天，又将该种玩具按新定价再次降价10%销售，那么该种玩具在儿童节当天的销售价格为（ ）A．160元B．162元C．172元D．180元【答案】B【解答】解：200×（1﹣0.1）2＝162（元），故选：B．四．整式的加减（共1小题）4．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）A．m+n B．m C．n﹣m D．2n【答案】D【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；……第2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；归纳可得，以上整式串每六次一循环．每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，∵2025÷6＝337…3，∴第2023次操作后得到的整式中，求最后三项之和即可．∴这个和为m+n+（n﹣m）＝2n．故选：D．五．同底数幂的除法（共1小题）5．（2023•雅安）下列运算正确的是（ ）A．2a+3b＝5ab B．（a2）3＝a5C．a2•a4＝a8D．a3÷a＝a2【答案】D【解答】解：A、2a与3b不是同类项，没法合并，故选项A不符合题意；B、（a2）3＝a6，故选项B不符合题意；C、a2•a4＝a6，故选项C不符合题意；D、a3÷a＝a2，故选项D符合题意．故选：D．六．整式的混合运算（共1小题）6．（2023•广元）下列计算正确的是（ ）A．2ab﹣2a＝b B．a2•a3＝a6C．3a2b÷a＝3a D．（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2【答案】D【解答】解：2ab与2a不是同类项，不能进行加减计算，故A错误；根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可知：a2•a3＝a5，故B错误；3a2b÷a＝3ab，故C错误；根据平方差公式可得：（a+2）（2﹣a）＝4﹣a2，故D正确．故选：D．七．因式分解-十字相乘法等（共1小题）7．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）A．ax2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）【答案】B【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；故A不正确，不符合题意．（B）m3+m＝m（m2+1）；故B正确，符合题意．（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；故CD不正确，不符合题意．故选：B．八．根的判别式（共1小题）8．（2023•广元）关于x的一元二次方程2x2﹣3x+＝0根的情况，下列说法中正确的是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【答案】C【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝，∴b2﹣4ac＝9﹣12＝﹣3＜0，∴方程没有实数根．故选：C．九．解一元一次不等式组（共1小题）9．（2023•雅安）不等式组的解集是（ ）A．﹣1＜x＜1B．﹣1≤x＜1C．﹣1＜x≤3D．﹣1≤x＜3【答案】D【解答】解：由题意，，∴由①得，x≥﹣1；由②得，x＜3．∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．故选：D．一十．一次函数图象与几何变换（共1小题）10．（2023•雅安）在平面直角坐标系中，将函数y＝x的图象绕坐标原点逆时针旋转90°，再向上平移1个单位长度，所得直线的函数表达式为（ ）A．y＝﹣x+1B．y＝x+1C．y＝﹣x﹣1D．y＝x﹣1【答案】A【解答】解：在函数y＝x的图象上取点A（1，1），绕原点逆时针方向旋转90°后得到对应的点的坐标A′（﹣1，1），则旋转后的直线的解析式为y＝﹣x，再向上平移1个单位长度，得到y＝﹣x+1．故选：A．一十一．平行线的性质（共2小题）11．（2023•德阳）如图，直线AB∥CD，直线l分别交AB，CD于点M，N，∠BMN的平分线MF交CD于点F，∠MNF＝40°，则∠DFM＝（ ）A．70°B．110°C．120°D．140°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BMN+∠MNF＝180°，∠BMF+∠DFM＝180°，∵∠MNF＝40°，∴∠BMN＝140°，∵MF平分∠BMN，∴∠BMF＝70°，∴∠DFM＝110°．故选：B．12．（2023•雅安）如图，AB∥CD，AC⊥BC于点C，∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）A．65°B．25°C．35°D．45°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠3＝65°，∵AC⊥BC于点C，∴∠ACB＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∴∠2＝90°﹣65°＝25°，故选：B．一十二．菱形的判定与性质（共1小题）13．（2023•德阳）如图，▱ABCD的面积为12，AC＝BD＝6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是（ ）A．1B．C．D．3【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，∴OD＝OC，∵DF∥AC，OD∥CF，∴四边形OCFD为菱形，∵点G是CD的中点，点P是四边形OCFD边上的动点，∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时，PG有最小值．过D点作DM⊥AC于M，过G点作GP⊥AC与P，则GP∥MD，∵矩形ABCD的面积为12，AC＝6，∴2×AC•DM＝12，即2××6•DM＝12，解得DM＝2，∵G为CD的中点，∴GP为△DMC的中位线，∴GP＝DM＝1，故PG的最小值为1．一十三．圆周角定理（共1小题）14．（2023•甘孜州）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝30°，则∠ABO的度数为（ ）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C【解答】解：∵∠C＝30°，∴∠AOB＝2∠C＝60°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝×（180°﹣∠AOB）＝60°，故选：C．一十四．扇形面积的计算（共1小题）15．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：连接OC，如图所示，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，∴四边形OECD是矩形，∴四边形OECD是正方形，∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE＝S△OCE+S半弓形BCE＝S扇形COB＝＝，故选：B．一十五．比例线段（共1小题）16．（2023•德阳）已知一个正多边形的边心距与边长之比为，则这个正多边形的边数是（ ）A．4B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示：∵正多边形的边心距与边长之比为，∴设正多边形的边长为2a，则其边心距为a，∵OD⊥AB，∴AD＝AB＝×2a＝a，∴tan∠OAD＝＝＝，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴n＝＝6，∴此正多边形是正六边形．故选：B．一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）17．（2023•德阳）如图，⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延长线与CB的延长线相交于点F，DB的延长线与OE的延长线相交于点G，连接CG．下列结论中正确的个数是（ ）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切线；③B，E两点间的距离是；④DF＝．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①连接AE，BE，如图，∵⊙O的直径AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，∴，∵＝，∴，∴，∴∠CAE＝∠EAB＝∠BAD，∴∠CAD＝3∠DAB．∵∠DBF为圆内接四边形ADBC的外角，∴∠DBF＝∠CAD＝3∠DAB．∴①的结论正确；②连接OC，∵，∴OE垂直平分BC，∴GC＝GB．在△OCG和△OBG中，，∴△OCG≌△OBG（SSS），∴∠OCG＝∠OBG．由题意GB与⊙O相交，∴∠OBG为钝角，∴∠OCG为钝角，∴OC与GC不垂直，∴CG不是⊙O的切线．∴②的结论不正确；③∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．设DE交BO于点H，∵OE⊥BC，AC⊥BC，∴OE∥AC，∴∠EOB＝∠CAB，∴sin∠EOB＝sin∠BAC＝，∴，∴EH＝3，∴OH＝＝4，∴BH＝OB﹣OH＝1，∴BE＝＝．∴③的结论正确；④∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵sin∠BAC＝，sin∠BAC＝，∴BC＝AB＝6．∴AC＝＝8．∵，∴BD＝BE＝．∴AD＝＝＝3．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDF＝∠ACB＝90°，∵∠F＝∠F，∴△FBD∽△FAC，∴，∴，解得：．∴FD＝．∴④的结论不正确．∴结论正确的有：①③．故选：B．一十七．折线统计图（共1小题）18．（2023•雅安）某位运动员在一次射击训练中，10次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（ ）A．9.7，9.5B．9.7，9.8C．9.8，9.5D．9.8，9.8【答案】B【解答】解：平均数：（9.5+9.3+9.5+9.5+9.8+9.8+10+9.8+9.8+10）÷10＝9.7，将10个数据从小到大排列为：9.3，9.5，9.5，9.5，9.8，9.8，9.8，9.8，10，10共十个数，第五个与第六个数分别为9.8，9.8，所以中位数是（9.8+9.8）÷2＝9.8，故答案选：B．一十八．众数（共1小题）19．（2023•广元）某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）2468学生数（人）2341下列说法错误的是（ ）A．众数是1B．平均数是4.8C．样本容量是10D．中位数是5【答案】A【解答】解：A．这组数据的众数为6，所以A选项符合题意；B．这组数据的平均数为（2×2+4×3+6×4+8×1）＝4.8，所以B选项不符合题意；C．样本容量为10，所以C选项不符合题意；D．这组数据的中位数为5，所以D选项不符合题意．故选：A．。
中考数学试题分类汇编 整式与分式
中考数学试题分类汇编：整式与分式一、选择题1、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式||a +b –a 的结果是（ ） A ．2a +b B ．2a C ．a D ．b2、计算)3(623m m -÷的结果是（ ）（A ）m 3- （B ）m 2- （C ）m 2m 3 3、下列计算中，正确的是（ ）A ．33x x x =∙B ．3x x x -=C ．32x x x ÷=D ．336x x x += 4、下列运算正确的是（ ） Ａ．321x x -= Ｂ．22122xx--=-Ｃ．236()a a a -=· Ｄ．236()a a -=-4、化简：(a ＋1)2－(a －1)2＝（ ）（A ）2 （B ）4 （C ）4a （D ）2a 2＋25、下列计算中，正确的是（ ）A ．325a b ab +=B ．44a a a =∙ C ．623a a a ÷= D ．3262()a b a b = 6．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ）A ．923)(m m =；B ．623m m m =⋅；C ．532m m m =+；D ．426m m m =÷。
7．下列因式分解正确的是（ ）A ．x x x x x 3)2)(2(342++-=+-；B ．)1)(4(432-+-=++-x x x x ；C ．22)21(41x x x -=+-；D ．)(232y x y xy x y x xy y x +-=+-。
8、下列计算正确的是（ ）A 、623a a a =∙B 、4442b b b =∙C 、1055x x x =+ D 、87y y y =∙ 9、代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ）A ．7 B ．18 C ．12D ．9 10、下列各式中，与2(1)a -相等的是（ ）A ．21a -B ．221a a -+ C ．221a a -- D ．21a + 二、填空题1、当x=2，代数式21x -的值为_______．2、因式分解：xy 2–2xy +x = .3、分解因式：2218x -= ．4、分解因式：2x －9＝ 。
历年中考真题分类汇编(数学)
第一篇基础知识梳理第一章数与式§1.1 实数A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，1，3分)－5的绝对值是( )A．－5 B．5 C．－15D.15解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B.答案 B2．(2015·，1，4分)计算2－3的结果为( ) A．－1 B．－2 C．1 D．2解析2－3＝－1，故选A.答案 A3．(2015·，1，4分)计算(－1)×3的结果是( ) A．－3 B．－2 C．2 D．3解析(－1)×3＝－3，故选A.答案 A4．(2015·，3，3分)4的算术平方根是( ) A．±2 B．2 C．－2 D. 2解析∵4的算术平方根是2，故选B.答案 B5．(2015·，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为( )A．0.6×1013元B．60×1011元C．6×1012元D．6×1013元解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C6．(2015·，5，2分)估计5－12介于( )A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236，∴5－12≈0.618，∴5－12介于0.6与0.7之间．答案 C7．(2015·，2，3分)下列计算正确的是( ) A．23＋26＝29B．23－26＝2－3C．26×23＝29D．26÷23＝22解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C.答案 C8．★(2015·，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝( ) A．6 B．7 C．8 D．9解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9.答案 D9．(2015·，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是( )A．点A B．点B C．点C D．点D解析∵－3＝－1.732，∴表示－3的点与表示－2的点最接近．答案 B二、填空题10．(2015·，13，4分)实数8的立方根是________．解析 ∵23＝8，∴8的立方根是2. 答案 211．(2015·，11，4分)计算：23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝________．答案 212．(2015·，20，3分)定义：a 是不为1的有理数，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数是11－（－1）＝12.已知a 1＝－12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，……，以此类推，则a 2 015＝________．解析 根据“差倒数”的规定进行计算得：a 1＝－12，a 2＝23，a 3＝3，a 4＝－12，……，三个数一循环，又2 015÷3＝671……2，∴a 2 015＝23. 答案23三、解答题13．(2015·，17(1)，4分)计算：|－5|＋4×2－1. 解 原式＝5＋2×12＝5＋1＝6.14．(2015·，17，6分)计算：|－4|＋(－2)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.解 原式＝4＋1－2＝3.15．(2015·，17(1)，5分)计算：2 0150＋12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.解 原式＝1＋23－1＝2 3.16．(2015·，17，6分)计算：12－|－2|＋(1－2)0－4sin 60° 解 原式＝23－2＋1－23＝－1.B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·，1，3分)－2的相反数是 ( )A ．2B ．－2C.12D ．－12解析 －2的相反数是2，故选A. 答案 A2．(2014·，1，3分)⎪⎪⎪⎪⎪⎪－17＝( )A ．－17B.17C ．－7D ．7解析 由绝对值的意义可知：⎪⎪⎪⎪⎪⎪－17＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝17.故选B.答案 B3．★(2013·，1，4分)－2的倒数是 ( )A ．－12B.12C ．2D ．－2解析 ∵－2×(－12)＝1，∴－2的倒数是－12.答案 A4．(2013·，1，4分)计算：(－2)×3的结果是 ( )A ．－6B ．1C ．1D ．6解析 根据有理数的乘法运算法则进行计算，(－2)×3＝－2×3＝－6.故选A. 答案 A5．(2014·，1，4分)比较－3，1，－2的大小，正确的是( )A ．－3＜－2＜1B ．－2＜－3＜1C ．1＜－2＜－3D ．1＜－3＜－2解析 ∵||－3>||－2，∴－3＜－2.∴－3＜－2＜1.故选A. 答案 A6．(2013·，1，3分)在数0，2，－3，－1.2中，属于负整数的是( ) A ．0B ．2C ．－3D ．－1.2解析 根据负整数的定义，属于负整数的是－3. 答案 C7．(2014·，2，4分)轨道交通1号线、2号线建设总投资253.7亿元．其中253.7亿用科学记数法表示为( )A ．253.7×108B ．25.37×109C ．2.537 ×1010D ．2.537 ×1011解析 253.7亿＝253.7×108＝2.537 ×1010，故选C. 答案 C8．(2014·，1，3分)在数23，1，－3，0中，最大的数是( )A.23B ．1C ．－3D ．0解析 在数23，1，－3，0中，按从大到小的顺序排列为1>23>0>－3，故选B.答案 B9．★(2013·，1，3分)下列计算正确的是 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9B.（－2）2＝－2 C ．(－2)0＝－1D ．|－5－3|＝2解析 A 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝119＝9；B 中，（－2）2＝4＝2；C 中，(－2)0＝1；D 中，|－5－3|＝|－8|＝8.故选A. 答案 A10．(2014·，4，3分)下列整数中，与30最接近的是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析 由25<30<36，可知25<30<36，即5<30<6.又∵30.25＝5.5，30<30.25，可知30更接近5.故选B. 答案 B 二、填空题11．(2013·，13，3分)实数－8的立方根是________． 解析 ∵(－2)3＝－8，∴－8的立方根是－2. 答案 －212．(2013·永州，9，3分)钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛，面积约为0.000 8平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为________平方公里．解析 在0.000 8中，8前面有4个0，则0.000 8＝8×10－4. 答案 8×10－413．(2014·，18，3分)若实数m，n满足||m－2＋(n－2 014)2＝0，则m－1＋n0＝________．解析∵||m－2＋(n－2 014)2＝0，∴m－2＝0，n－2 014＝0，即m＝2，n＝2 014.∴m－1＋n0＝2－1＋2 0140＝12＋1＝32.故答案为32.答案3 2三、解答题14．(2014·，17，6分)计算：8－4cos 45°＋(12)－1＋||－2.解8－4cos 45°＋(12)－1＋||－2＝22－4×22＋2＋2＝22－22＋4＝4.15．(2014·，17，6分)计算：(－3)2＋||－4×2－1－(2－1)0.解原式＝3＋4×12－1＝3＋2－1＝4.16．★(2013·滨州，20，7分)(计算时不能使用计算器)计算：33－(3)2＋(π＋3)0－27＋|3－2|.解原式＝3－3＋1－33＋2－3＝－3 3.§1.2 整式及其运算A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，3，3分)下列运算正确的是( )A．a3＋a3＝2a6B．(x2)3＝x5C．2a4÷a3＝2a2D．x3·x2＝x5解析A．a3＋a3＝2a3；B.(x2)3＝x6；C.2a4÷a3＝2a，故选D.答案 D2．(2015·，2，3分)化简－16(x－0.5)的结果是( ) A．－16x－0.5 B．16x＋0.5C．16x－8 D．－16x＋8解析计算－16(x－0.5)＝－16x＋8.所以D项正确．答案 D3．(2015·，4，3分)若单项式2x2y a＋b与－13x a－b y4是同类项，则a，b的值分别为( )A．a＝3，b＝1 B．a＝－3，b＝1C ．a ＝3，b ＝－1D ．a ＝－3，b ＝－1解析 由同类项的定义可得⎩⎨⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝1，故选A.答案 A4．(2015·，2，3分)计算(a 2)3结果正确的是 ( )A ．3a 2B ．a 6C ．a 5D ．6a解析 本题属于积的乘方，底数不变指数相乘，故B 正确． 答案 B5．(2015·，5，3分)计算3x 3·2x 2的结果为 ( ) A ．5x 5B ．6x 5C ．6x 6D ．6x 9解析 属于单项式乘单项式，结果为：6x 5，故B 项正确． 答案 B6．(2015·，6，3分)计算a ·a －1的结果为 ( ) A ．－1B ．0C ．0D ．－a解析 a ·a －1＝1，故A 正确． 答案 A 二、填空题7．(2015·，12，4分)计算(x －1)(x ＋2)的结果是________． 解析 由多项式乘以多项式的法则可知：(x －1)(x ＋2)＝x 2＋x －2. 答案 x 2＋x －28．(2015·，9，3分)计算：3a 3·a 2－2a 7÷a 2＝________．解析 本题属于同底数幂的乘除，和合并同类项，3a 3·a 2－2a 7÷a 2＝3a 5－2a 5＝a5. 答案a59．(2015·，10，3分)一组按规律排列的式子：a2，a34，a56，a78，…，则第n个式子是________(n为正整数)．解析a，a3，a5，a7，…，分子可表示为：a2n－1，2，4，6，8，…，分母可表示为2n，则第n个式子为：a2n－1 2n.答案a2n－1 2n三、解答题10．(2015·，17(2)，5分)化简：(2a＋1)(2a－1)－4a(a－1)．解原式＝4a2－1－4a2＋4a＝4a－1.11．(2015·随州，19，5分)先化简，再求值：(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2 .解原式＝4－a2＋a2－5ab＋3ab＝4－2ab，当ab＝－12时，原式＝4＋1＝5.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·，13，3分)若－2a m b4与5a n＋2b2m＋n可以合并成一项，则m n的值是( )A．2 B．0C ．－1D ．1解析 由同类项的定义可得⎩⎨⎧m ＝n ＋2，4＝2m ＋n ，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝0.∴m n ＝20＝1.故选D.答案 D2．(2014·，3，3分)下列式子运算正确的是 ( )A ．a 8÷a 2＝a 6B ．a 2＋a 3＝a 5C ．(a ＋1)2＝a 2＋1D ．3a 2－2a 2＝1解析 选项A 是同底数幂的除法，根据同底数幂除法运算的性质可知a 8÷a 2＝a 6，所以选项A 是正确的；选项B 是整式的加法，因为a 2，a 3不是同类项，所以无法合并，所以选项B 是错误的；选项C 是整式的乘法，根据完全平方公式可知(a ＋1)2＝a 2＋2a ＋1，所以选项C 是错误的；选项D 是整式的加法，根据合并同类项法则可知3a 2－2a 2＝a 2，所以选项D 是错误的．故选A. 答案 A3．(2014·，8，3分)若a ＋b ＝22，ab ＝2，则a 2＋b 2的值为 ( )A ．6B ．4C ．3 2D ．2 3解析 ∵a ＋b ＝22，∴(a ＋b )2＝(22)2，即a 2＋b 2＋2ab ＝8.又∵ab ＝2，∴a 2＋b 2＝8－2ab ＝8－4＝4.故选B. 答案 B4．(2013·，2，3分)下列计算正确的是 ( ) A ．a 2＋a 2＝a 4 B ．2a －a ＝2 C ．(ab )2＝a 2b 2D ．(a 2)3＝a 5解析 A ．a 2＋a 2＝2a 2，故本选项错误；B.2a －a ＝a ，故本选项错误；C.(ab )2＝a2b2，故本选项正确；D.(a2)3＝a6，故本选项错误．故选C.答案 C5．★(2013·湘西，7，3分)下列运算正确的是( ) A．a2·a4＝a8B．(x－2)(x＋3)＝x2－6C．(x－2)2＝x2－4 D．2a＋3a＝5a解析A中，a2·a4＝a6，∴A错误；B中，(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，∴B错误；C中，(x－2)2＝x2－4x＋4，∴C错误；D中，2a＋3a＝(2＋3)a＝5a，∴D正确．故选D.答案 D二、填空题6．(2013·，11，5分)计算：x5÷x3＝________．解析根据同底数幂除法法则，∴x5÷x3＝x5－3＝x2.答案x27．(2013·义乌，12，4分)计算：3a·a2＋a3＝________．解析3a·a2＋a3＝3a3＋a3＝4a3.答案4a38．(2013·，14，4分)已知实数a、b满足：a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a －b)3的值是________．解析法一∵a＋b＝2，a－b＝5，∴原式＝23×53＝103＝1 000.法二原式＝[(a＋b)(a－b)]3＝103＝1 000.答案 1 000三、解答题9．(2013·，18，6分)如图，在长和宽分别是a ，b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．(1)用含a ，b ，x 的代数式表示纸片剩余部分的面积；(2)当a ＝6，b ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．解 (1)面积＝ab －4x 2.(2)根据题意可得：ab －4x 2＝4x 2(或4x 2＝12ab ＝12)．整理得：8x 2＝24， 解得x ＝± 3.∵x ＞0，∴正方形边长为 3.10．(2014·，17，6分)计算：(3＋a )(3－a )＋a 2. 解 原式＝9－a 2＋a 2＝9.11．(2014·，17，4分)先化简，再求值：a (a －3b )＋(a ＋b )2－a (a －b )，其中a ＝1，b ＝－12.解 a (a －3b )＋(a ＋b )2－a (a －b )＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2. 当a ＝1，b ＝－12时，原式＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝54.12．(2014·，18，6分)先化简，再求值：(x ＋5)(x －1)＋(x －2)2，其中x ＝－2.解(x＋5)(x－1)＋(x－2)2＝x2＋4x－5＋x2－4x＋4＝2x2－1.当x＝－2时，原式＝2×(－2)2－1＝8－1＝7.§1.3 因式分解A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，5，3分)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式，结果正确的是( )A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2解析先提公因式3x再用公式法分解：3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x－2)2，故D正确．答案 D2．(2015·，5，3分)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是( ) A．x－1 B．x＋1C．x2－1 D．(x－1)2解析mx2－m＝m(x－1)(x＋1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1的公因式是(x－1)．答案 A3．(2015·华师一附中自主招生，7，3分)已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，则△ABC是( ) A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2，∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0，∴(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0，∴2a2－c2＝0，2b2－c2＝0，∴c＝2a，c＝2b，∴a＝b，且a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰直角三角形．答案 B二、填空题4．(2015·，11，5分)分解因式：a2－2a＋1＝________．解析利用完全平方公式进行分解．答案(a－1)25．(2015·，12，4分)分解因式：m3n－4mn＝________．解析m3n－4mn＝mn(m2－4)＝mn(m＋2)(m－2)．答案mn(m＋2)(m－2)6．(2015·，12，3分)分解因式：12x2－3y2＝________．解析12x2－3y2＝3(2x＋y)(2x－y)．答案3(2x＋y)(2x－y)7．(2015·，12，3分)分解因式：(a－b)2－4b2＝________.解析(a－b)2－4b2＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b)．答案(a＋b)(a－3b)8．(2015·，13，3分)分解因式：2m2－2＝________．解析2m2－2＝2(m2－1)＝2(m＋1)(m－1)．答案2(m＋1)(m－1)三、解答题9．(2015·宿豫区，19，6分)因式分解：(1)x4－81；(2)6a(1－b)2－2(b－1)2.解(1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9)＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)；(2)6a(1－b)2－2(b－1)2＝2(1－b)2(3a－1)．B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·，7，3分)下列因式分解正确的是( ) A．x2－y2＝(x－y)2B．a2＋a＋1＝(a＋1)2C．xy－x＝x(y－1) D．2x＋y＝2(x＋y)解析A中，由平方差公式可得x2－y2＝(x＋y)(x－y)，故A错误；B中，左边不符合完全平方公式，不能分解；C中，由提公因式法可知C正确；D中，左边两项没有公因式，分解错误．故选C.答案 C2．(2014·，4，3分)下列因式分解正确的是( ) A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)B．x2＋2x－1＝(x－1)2C．x2＋1＝(x＋1)2D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2解析A中，2x2－2＝2(x2－1)＝2(x＋1)(x－1)，故A正确；B中，左边多项式不符合完全平方公式，不能分解；C中，左边多项式为两项，不能用完全平方公式分解，故C错误；D中，右边不是乘积的形式，不是因式分解，故D 错误．故选A.答案 A3．(2014·威海，3，3分)将下列多项式分解因式，结果中不含因式x－1的是( )A．x2－1 B．x(x－2)＋(2－x)C．x2－2x＋1 D．x2＋2x＋1解析A中，x2－1＝(x＋1)(x－1)，不符合题意；B中，x(x－2)＋(2－x)＝x(x－2)－(x－2)＝(x－2)(x－1)，不符合题意；C中，x2－2x＋1＝(x－1)2，不符合题意；D中，x2＋2x＋1＝(x＋1)2，符合题意，故选D.答案 D4．(2012·，5，4分)把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2)C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4解析a2－4a＝a(a－4)．答案 A5．(2011·，3，3分)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( ) A．x2＋1 B．x2＋2x－1C．x2＋x＋1 D．x2＋4x＋4解析根据完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2可得，选项A，B，C都不能用完全平方公式进行分解因式，D.x2＋4x＋4＝(x＋2)2.答案 D二、填空题6．(2014·，13，3分)因式分解a3－4a的结果是________．解析a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)．故答案为a(a＋2)(a－2)．答案a(a＋2)(a－2)7．(2013·，11，5分)分解因式：x2－y2＝________．解析直接利用平方差公式进行因式分解．答案(x＋y)(x－y)8．(2012·，11，5分)分解因式：a3－a＝________．解析a3－a＝a(a2－1)＝a(a＋1)(a－1)．答案a(a＋1)(a－1)9．(2013·，12，3分)分解因式：x2－4(x－1)＝________．解析原式＝x2－4x＋4＝(x－2)2.答案(x－2)210．★(2013·，11，4分)多项式ax2－a与多项式x2－2x＋1的公因式是________．解析∵ax2－a＝a(x2－1)＝a(x＋1)(x－1)，x2－2x＋1＝(x－1)2，∴它们的公因式是(x－1)．答案x－111．(2013·，11，3分)若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．解析法一∵m＝2n＋1，∴m－2n＝1.∴m2－4mn＋4n2＝(m－2n)2＝12＝1.法二把m＝2n＋1代入m2－4mn＋4n2，得m2－4mn＋4n2＝(2n＋1)2－4n(2n＋1)＋4n2＝4n2＋4n＋1－8n2－4n＋4n2＝1.答案 112．(2013·黔西南州，18，3分)因式分解：2x4－2＝________．解析2x4－2＝2(x4－1)＝2(x2＋1)(x2－1)＝2(x2＋1)(x＋1)(x－1)．答案2(x2＋1)(x＋1)(x－1)§1.4 分式A 组 2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，4，3分)分式－11－x可变形为 ( ) A ．－1x －1B.11＋xC ．－11＋xD.1x －1解析 由分式的性质可得：－11－x ＝1x －1. 答案 D2．(2015·，3，3分)化简m 2m －3－9m －3的结果是( )A ．m ＋3B ．m －3C.m －3m ＋3D.m ＋3m －3解析 原式＝m 2－9m －3＝（m ＋3）（m －3）m －3＝m ＋3.答案 A3．(2015·，3，3分)化简a 2＋2ab ＋b 2a 2－b 2－ba －b的结果是 ( )A.a a －bB.b a －bC.a a ＋bD.b a ＋b解析 原式＝ （a ＋b ）2（a ＋b ）（a －b ）－b a －b ＝a ＋b a －b －b a －b ＝a ＋b －b a －b ＝aa －b .答案 A4．(2015·，5，3分)化简 x 2x －1＋11－x 的结果是( )A ．x ＋1B.1x ＋1C ．x －1D.x x －1解析 原式＝x 2x －1－1x －1＝x 2－1x －1＝（x ＋1）（x －1）x －1＝x ＋1. 答案 A 二、填空题5．(2015·，13，4分)计算：1a －1＋a1－a的结果是________． 解析1a －1＋a 1－a ＝1－a a －1＝－1. 答案 －16．(2015·，19，6分)化简：m 2m 2＋2m ＋1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m ＋1＝________．解析 原式＝m 2（m ＋1）2÷m ＋1－1m ＋1＝m 2（m ＋1）2·m ＋1m ＝mm ＋1.答案 m m ＋17．(2015·，16，4分)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋n ÷n 2－1n＝________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋n ÷n 2－1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋n 2n ·n n 2－1＝n 2＋2n ＋1n ·n n 2－1＝（n ＋1）2n ·n（n ＋1）（n －1）＝n ＋1n －1.答案n ＋1n －18．(2015·，18，7分)化简：（a ＋b ）2a 2＋b 2－2aba 2＋b 2＝________．解析 （a ＋b ）2a 2＋b 2－2ab a 2＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2－2ab a 2＋b 2＝a 2＋b 2a 2＋b 2＝1.答案 1 三、解答题9．(2015·，19，5分)先化简：x 2＋x x 2－2x ＋1÷⎝⎛⎭⎪⎫2x －1－1x ，再从－2＜x ＜3的围选取一个你最喜欢的值代入求值．解 原式＝x （x ＋1）（x －1）2÷2x －x ＋1x （x －1）＝x （x ＋1）（x －1）2·x （x －1）x ＋1＝x 2x －1.当x ＝2时，原式＝4.B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·，4，4分)要使分式x ＋1x －2有意义，则x 的取值应满足 ( )A ．x ≠2B ．x ≠－1C ．x ＝2D ．x ＝－1解析 由x －2≠0得x ≠2，故选A. 答案 A2．(2014·，7，3分)若(4a 2－4＋12－a)·w ＝1，则w ＝ ( )A ．a ＋2(a ≠－2)B ．－a ＋2(a ≠2)C ．a －2(a ≠2)D ．－a －2(a ≠±2)解析 原式可以化简如下：4－（a ＋2）（a ＋2）（a －2）·w ＝1，－（a －2）（a ＋2）（a －2）·w ＝1，－1a ＋2·w ＝1，所以w ＝－(a ＋2)＝－a －2.故选D. 答案 D3．(2013·，2，2分)计算a 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2的结果是( ) A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 9解析 a 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＝a 3·1a 2＝a ，故选A.答案 A4．(2013·，6，3分)化简a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)的结果是 ( )A.1a －1B.1a ＋1 C.1a 2－1D.1a 2＋1解析 原式＝a ＋1（a －1）2÷a ＋1a －1＝a ＋1（a －1）2×a －1a ＋1 ＝1a －1，故选A.答案 A5．(2013·，6，3分)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )A．k＞2 B．1＜k＜2C.12＜k＜1 D．0＜k＜12解析甲图中阴影部分面积是：a2－b2，乙图中阴影部分的面积是a2－ab，∴k＝a2－b2a2－ab＝（a＋b）（a－b）a（a－b）＝a＋ba＝1＋ba.∵a＞b＞0，∴0＜ba＜1.∴1＜1＋ba＜2.答案 B 二、填空题6．(2011·，11，4分)当x________时，分式13－x有意义．解析要使分式13－x有意义，必须3－x≠0，即x≠3.答案≠37．(2012·，12，4分)化简m2－163m－12得________；当m＝－1时，原式的值为________．解析m2－163m－12，＝（m ＋4）（m －4）3（m －4）＝m ＋43，当m ＝－1时，原式＝－1＋43＝1. 答案m ＋4318．(2014·，13，4分)计算：1a －1＋a 1－a的结果是________． 解析 1a －1＋a 1－a ＝1a －1－a a －1＝1－a a －1＝－（a －1）a －1＝－1.答案 －19．(2014·东营，15，4分)如果实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2x ＋3y ＝3，那么代数式⎝ ⎛⎭⎪⎫xy x ＋y ＋2÷1x ＋y的值为______． 解析 解方程组可得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫xy x ＋y ＋2÷1x ＋y ＝⎝⎛⎭⎪⎫xy x ＋y ＋2·(x ＋y )＝xy ＋2x ＋2y ＝3×(－1)＋2×3＋2×(－1)＝1. 答案 110．(2014·，16，3分)有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：输入x ――→第1次y 1＝2x x ＋1――→第2次y 2＝2y 1y 1＋1――→第3次y 3＝2y 2y 2＋1――→… 则第n 次的运算结果＝____________(含字母x 和n 的代数式表示)． 解析 将第2、3、4次化简后列表如下：故答案为2n x（2n －1）x ＋1.答案 2n x（2n －1）x ＋1三、解答题11．(2012·，19，6分)计算：a 2－4a ＋2＋a ＋2.解 法一：原式＝（a ＋2）（a －2）a ＋2＋a ＋2＝a －2＋a ＋2＝2a .法二：原式＝a 2－4a ＋2＋（a ＋2）2a ＋2＝a 2－4a ＋2＋a 2＋4a ＋4a ＋2＝2a 2＋4a a ＋2＝2a （a ＋2）a ＋2＝2a .12.(2013·，17，5分)化简：ba 2－b 2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a a ＋b .解 原式＝b（a ＋b ）（a －b ）÷⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋b －a a ＋b＝b（a ＋b ）（a －b ）·a ＋b b ＝1a －b. 13．(2013·，17，6分)先化简，再求值：x 2－4x ＋42x ÷x 2－2x x 2＋1，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值． 解 原式＝（x －2）22x ·x 2x （x －2）＋1＝x －22＋1＝x2.当x＝1时，原式＝1 2 .14．(2014·，21，8分)先化简x－4x2－9÷⎝⎛⎭⎪⎫1－1x－3，再从不等式2x－3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解原式＝x－4（x＋3）（x－3）÷x－3－1x－3＝x－4（x＋3）（x－3）·x－3x－4＝1x＋3.解不等式2x－3<7，得x<5.取x＝0时，原式＝1 3 .(本题最后答案不唯一，x≠±3，x≠4即可)§1.5 二次根式A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，3，3分)化简12的结果是( ) A．4 3 B．2 3 C．3 2 D．2 6解析化简得：23，故B正确．答案 B2．(2015·，3，3分)要使二次根式x－2有意义，x必须满足( ) A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2解析由x－2≥0得：x≥2.故B正确．答案 B3．(2015·，4，3分)下列式子为最简二次根式的是( )A. 3B. 4C.8D.1 2解析4＝2，8＝22，12＝22，4，8，12都不是最简二次根式，故选A.答案 A4．(2015·，9，3分)已知x＝2－3，则代数式(7＋43)x2＋(2＋3)x＋3的值是( ) A．0 B. 3 C．2＋ 3 D．2－ 3解析原式＝(7＋43)(2－3)2＋(2＋3)(2－3)＋3＝49－48＋4－3＋3＝2＋ 3.故选C.答案 C二、填空题5．(2015·，11，4分)27＋3＝________．解析原式＝33＋3＝4 3.答案4 36．(2015·，12，3分)计算5×153的结果是________．解析5×153＝5×5＝5.答案 57．(2015·，12，3分)计算：18－212等于________．解析原式＝32－2＝2 2.答案2 2三、解答题8．(2015·凉山州，19，5分)计算：－32＋3×1tan 60°＋|2－3|.解－32＋3×1tan 60°＋|2－3|＝－9＋3×13＋3－2＝－5－ 2.9. (2015·，21，6分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170～1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数可以用1 5⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n 表示(其中，n ≥1)．这是用无理数表示有理数的一个例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解 第1个数，当n ＝1时， 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52 ＝15×5＝1. 第2个数，当n ＝2时， 15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n ＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋522－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－522＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52＋1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52－1－52 ＝15×1×5＝1. B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·，1，4分)下列式子中，属于最简二次根式的是 ( ) A.9B.7C.20D.13解析 ∵9＝32＝3，20＝22×5＝25，13＝13＝33，∴9，20，13都不是最简二次根式，7是最简二次根式，故选B. 答案 B2．(2013·，5，3分)化简2＋(2－1)的结果是( )A ．22－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 2解析2＋(2－1)＝2＋2－1＝22－1，故选A.答案 A3．★(2013·，2，3分)下列计算正确的是( )A ．43－33＝1 B.2＋3＝ 5 C ．212＝ 2D ．3＋22＝5 2解析 43－33＝3，∴A 错误；∵2与3被开方数不同，不能合并，∴B 错误；212＝2×22＝2，∴C 正确；3和22一个是有理数，一个是无理数，不能合并，∴D 错误．综上所述，选C. 答案 C4．(2013·，5，3分)计算48－913的结果是 ( )A ．－ 3 B. 3 C ．－1133D.1133 解析 48－913＝43－33＝ 3. 答案 B5．(2014·，7，3分)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab，②a b·ba＝1，③ab÷ab＝－b，其中正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．①②③解析∵ab＞0，a＋b＜0，∴a，b同号，且a＜0，b＜0，∴ab＞0，ba＞0.ab＝ab.等号右边被开方数小于零，无意义，∴①不正确；ab·ba＝ab·ba＝1，②正确；ab÷ab＝ab·ba＝b2＝－b，∴③正确．故选B.答案 B二、填空题6．(2013·，11，4分)二次根式x－3中，x的取值围为________．解析由二次根式有意义，得出x－3≥0，解得x≥3.答案x≥37．(2014·，13，4分)计算：(2＋1)(2－1)＝________.解析由平方差公式可得(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝2－1＝1.答案 18．(2013·，22，3分)化简：3(2－3)－24－︱6－3︱＝________．解析原式＝3×2－(3)2－26－3＋6＝6－3－26－3＋6＝－6.答案－69．(2012·，14，4分)已知a (a －3)＜0，若b ＝2－a ，则b 的取值围是________． 解析 由题意知，a >0，∴a >0，∴a －3<0，解得：0<a <3，∴2－3<2－a <2，即：2－3<b <2. 答案 2－3<b <2 三、解答题10．(2013·，17，5分)计算：8＋(2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120.解8＋(2－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝22＋2－1＋1＝3 2.11．(2013·，19，6分)先化简，再求值：1x －y ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1x ，其中x ＝3＋2，y ＝3－ 2.解 1x －y ÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －1x ＝1x －y ·xy x －y ＝xy （x －y ）2，当x ＝3＋2，y ＝3－2时， 原式＝（3＋2）（3－2）（3＋2－3＋2）2＝18.第二章 方程（组）与不等式（组）§2.1 一元一次方程与可化为一元一次方程的分式方程A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，8，3分)解分式方程2x－1＋x＋21－x＝3时，去分母后变形正确的为( )A．2＋(x＋2)＝3(x－1) B．2－x＋2＝3(x－1)C．2－(x＋2)＝3 D．2－(x＋2)＝3(x－1)解析公分母为x－1，结果为： 2－(x＋2)＝3(x－1)，故D正确．答案 D2．(2015·，7，3分)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程( ) A．54－x＝20%×108 B．54－x＝20%(108＋x)C．54＋x＝20%×162 D．108－x＝20%(54＋x)解析∵改造完后的林地为(108＋x)公顷，改造完后的旱地是(54－x)公顷，∴54－x＝20%(108＋x)．故选B.答案 B3．(2015·，5，3分)若代数式4x－5与2x－12的值相等，则x的值是( )A．1 B.32C.23D．2解析根据题意得：4x－5＝2x－12，去分母得：8x－10＝2x－1，解得：x＝32，故选B. 答案 B4．(2015·，5，3分)方程x2－1x＋1＝0的解是( )A．1或－1 B．－1 C．0 D．1解析去分母得：x2－1＝0，即x2＝1，解得：x＝1或x＝－1，经检验x＝－1是增根，分式方程的解为x＝1.答案 D5．(2015·，6，3分)分式方程2x－2＋3x2－x＝1的解为( )A．1 B．2 C.13D．0解析去分母得：2－3x＝x－2，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．答案 A二、填空题6．(2015·，14，3分)分式方程3x＋2＝2x的解x＝________.解析去分母得：3x＝2x＋4，解得：x＝4.经检验x＝4是原分式方程的解．答案 47. (2015·，16，5分)实验室里，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，底面半径之比为1∶2∶1，用两个相同的管子在容器的5 cm高度处连通(即管子底离容器底5 cm)，现三个容器中，只有甲中有水，水位高1 cm，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升56cm，则开始注入________分钟的水量后，甲与乙的水位高度之差是0.5 cm.解析第一种情况，甲比乙高0.5 cm，0.5÷56＝35分钟；第二种情况，乙比甲高0.5 cm且甲的水位不变，时间为3320分钟；第三种情况，乙达到5 cm后，乙比甲高0.5 cm，时间为17140分钟．答案35或3320或171408．(2015·，13，3分)分式方程1x－5－10x2－10x＋25＝0的解是________．解析去分母得：x－5－10＝0，解得：x＝15，经检验x＝15是分式方程的解．答案159．(2015·威海，12，3分)分式方程1－xx－3＝13－x－2的解为________．解析去分母得：1－x＝－1－2x＋6，解得：x＝4，经检验x＝4是分式方程的解．答案x＝4三、解答题10．(2015·，22，7分)下表为市居民每月用水收费标准(单位：元/m3).(1)某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；(2)在(1)的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？解(1)由题意可得：10a＝23，解得：a＝2.3，答：a的值为2.3；(2)设用户用水量为x立方米，∵用水22立方米时，水费为：22×2.3＝50.6＜71，∴x＞22，∴22×2.3＋(x－22)×(2.3＋1.1)＝71，解得：x＝28.答：该用户用水28立方米．11．(2015·，19，4分)解方程：1－xx－2＝x2x－4－1.解化为整式方程得：2－2x＝x－2x＋4，解得：x＝－2.经检验x＝－2是分式方程的解．12．(2015·，18，8分)解方程：x2x－3＋53x－2＝4.解 去分母得：3x 2－2x ＋10x －15＝4(2x －3)(3x －2)，整理得：3x 2－2x ＋10x －15＝24x 2－52x ＋24，即7x 2－20x ＋13＝0，分解因式得：(x －1)(7x －13)＝0，解得：x 1＝1，x 2＝137，经检验x 1＝1与x 2＝137都为分式方程的解．13．(2015·，22，8分)某工厂计划在规定时间生产24 000 个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间可以多生产300个零件． (1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；(2)为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24 000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．解 (1)设原计划每天生产零件x 个，由题意得24 000x＝24 000＋300x ＋30，解得x ＝2 400.经检验，x ＝2 400是原方程的根，且符合题意， ∴规定的天数为24 000÷2 400＝10(天)．答：原计划每天生产零件2 400 个，规定的天数是10天．(2)设原计划安排工人人数为y 人，由题意得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤5×20×（1＋20%）×2 400y ＋2 400×(10－2)＝24 000.解得y ＝480.经检验y ＝480是原方程的根，且符合题意．答：原计划安排工人人数为480人．B 组 2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2014·，2，3分)方程x ＋2＝1的解是 ( ) A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析 x ＋2＝1，移项得：x ＝1－2，x ＝－1.故选D. 答案 D2．(2014·，7，3分)将分式方程1－2x x －1＝3x －1去分母，得到正确的整式方程是( )A ．1－2x ＝3B ．x －1－2x ＝3C ．1＋2x ＝3D ．x －1＋2x ＝3解析 两边同时乘以(x －1)，得x －1－2x ＝3，故选B. 答案 B3．(2014·枣庄，6，3分)某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利20%，则该服装标价是( )A ．350元B ．400元C ．450元D ．500元解析 设这批服装的标价为x 元，得0.6x －200200＝20%，解得x ＝400，故选B.答案 B4．(2013·宿迁，6，3分)方程2x x －1＝1＋1x －1的解是( )A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2解析方程两边都乘以x－1，得2x＝x－1＋1.移项，合并，得x＝0.经检验，x＝0是原方程的解．故选B.答案 B二、填空题5．(2014·，14，4分)方程xx－2＝12－x的根x＝________．解析去分母，两边同乘以x－2，得x＝－1，经检验x＝－1是原方程的根，故答案为－1.答案－16．(2013·，12，4分)分式方程1x－2＝0的解是________．解析去分母得1－2x＝0，解得x＝12.经检验，x＝12是原方程的解．答案x＝1 27．★(2013·，16，3分)若关于x的分式方程xx－1＝3a2x－2－2有非负数解，则a的取值围是________．解析去分母，得2x＝3a－2(2x－2)，解得x＝3a＋4 6.∵有非负数解，∴3a＋4≥0，即a≥－4 3 .又∵x－1≠0，即x≠1，∴3a ＋4≠6，解得a ≠23.∴a ≥－43且a ≠23.答案 a ≥－43且a ≠238．(2013·，15，4分)到的铁路长1 487千米，动车的原平均速度为x 千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由到的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为________．解析 动车从到以平均速度为x 千米/时行完全程所需时间为1 487x小时，提速后行完全程所需时间为1 487x ＋70小时，又行驶时间缩短了3小时，即少用3小时，故所列方程应为1 487x－1 487x ＋70＝3. 答案1 487x－1 487x ＋70＝3 三、解答题9．(2014·，18，8分)解方程：1x －1－3x 2－1＝0.解 方程两边同乘x 2－1，得：x ＋1－3＝0. ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的根．10．(2014·，24，10分)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A 方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有19硬纸板，裁剪时x 用A 方法，其余用B 方法． (1)用x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 解 (1)裁剪出的侧面个数为6x ＋4(19－x )＝(2x ＋76)个， 裁剪出的底面个数为5(19－x )＝(－5x ＋95)个． (2)由题意，得2x ＋763＝－5x ＋952，∴x ＝7.当x ＝7时，2x ＋763＝30. ∴能做30个盒子．§2.2 一元二次方程A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·，5，3分)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是( ) A．4 B．－4 C．3 D．－3解析根据两根之积x1·x2＝ca＝－3.所以D正确．答案 D2．(2015·，6，3分)某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是( ) A．560(1＋x)2＝315 B．560(1－x)2＝315C．560(1－2x)2＝315 D．560(1＋x2)＝315解析由题意可列方程为：560(1－x)2＝315.故B正确．答案 B3．(2015·，5，3分)三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－13x＋36＝0的两根，则该三角形的周长为 ( ) A ．13B ．15C ．18D ．13或18解析 解方程x 2－13x ＋36＝0得，x ＝9或4，即第三边长为9或4.边长为9，3，6不能构成三角形；而4，3，6能构成三角形，所以三角形的周长为3＋4＋6＝13. 答案 A4．(2015·，5，3分)关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋(2m ＋1)x ＋m －2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值围是( )A ．m ＞34B ．m ＞34且m ≠2C ．－12＜m ＜2D.34＜m ＜2 解析 根据题意得m －2≠0且Δ＝(2m ＋1)2－4(m －2)·(m －2)＞0，解得m ＞34且m ≠2，设方程的两根为a 、b ，则a ＋b ＝－2m ＋1m －2＞0，ab ＝m －2m －2＝1＞0，而2m ＋1＞0，∴m －2＜0，即m ＜2，∴m 的取值围为34＜m ＜2.答案 D 二、填空题5．(2015·，22，4分)方程：(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为________． 解析 化简为：2x 2＋7x －72＝0，解得：x 1＝－8，x 2＝4.5. 答案 x 1＝－8，x 2＝4.56．(2015·，14，4分)关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋b ＝0有两个不相等的实数根，则b 的取值围是________．解析有题意得：Δ＝9－4b>0，解得b<9 4 .答案b<9 47．(2015·，15，3分)设x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实数根，则x21＋x22的值为________．解析∵x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实数根，∴x1＋x2＝5，x1x2＝－1，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝25＋2＝27.答案278．(2015·，11，3分)关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值围是________．解析由题意得(－1)2－4×1×m＜0解之即可．答案m＞1 49．(2015·，13，3分)某楼盘2013年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________．解析先根据题意将每个量用代数式表示，然后利用等量关系建立等式即可．答案8 100(1－x)2＝7 600三、解答题10．(2015·，16，8分)关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值围．解∵关于x的一元二次方程2x2＋3x－m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝32－4×2×(－m)＞0，∴m＞－98，即m的取值围是m＞－98.11．(2015·，28，8分)如图，某农场有一块长40 m，宽32 m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1 140 m2，求小路的宽．解设小路的宽为x m．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．∴(40－x)(32－x)＝1 140.解得x1＝2，x2＝70(不合题意，舍去)．∴小路的宽为2 m．答：小路的宽为2 m.12．(2015·，21，8分)(1)解下列方程：①x＋2x＝3根为________；②x＋6x＝5根为________；③x＋12x＝7根为________；(2)根据这类方程特征，写出第n个方程为________，其根为________；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x＋n2＋nx－3＝2n＋4(n为正整数)的根．解(1)①去分母，得：x2＋2＝3x，即x2－3x＋2＝0，(x－1)(x－2)＝0，则x－1＝0，x－2＝0，解得：x1＝1，x2＝2.经检验：x1＝1，x2＝2都是方程的解；②去分母，得：x2＋6＝5x，即x2－5x＋6＝0，(x－2)(x－3)＝0，则x－2＝0，x－3＝0，解得：x1＝2，x2＝3，经检验：x1＝2，x2＝3是方程的解；③去分母，得：x2＋12＝7x，即x2－7x＋12＝0，(x－3)(x－4)＝0，则x1＝3，x2＝4，经检验x1＝3，x2＝4是方程的解；(2)列出第n个方程为x＋n（n＋1）x＝2n＋1，解得：x1＝n，x2＝n＋1；(3)x＋n2＋nx－3＝2n＋4，即x－3＋n（n＋1）x－3＝2n＋1，则x－3＝n或x－3＝n＋1，解得：x1＝n＋3，x2＝n＋4.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2013·，7，3分)一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )A．x－6＝－4 B．x－6＝4C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4解析开方得x＋6＝±4，∴另一个一元一次方程是x＋6＝－4，故选D.答案 D2．(2014·，8，3分)若x＝－2是关于x的一元二次方程x2－52ax＋a2＝0的一个根，则a的值为( ) A．1或4 B．－1或－4C．－1或4 D．1或－4解析把x＝－2代入x2－52ax＋a2＝0得(－2)2－52a×(－2)＋a2＝0，解得a1＝－1，a2＝－4.故选B.答案 B3．(2011·，2，3分)方程x(x－1)＝0的解是( ) A．x＝0 B．x＝1C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，x1＝0或x2＝1.答案 C4．(2013·滨州，10，3分)对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为( ) A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定解析∵b2－4ac＝4(k＋1)2－4×(－k2＋2k－1)＝8k2＋8＞0，∴这个方程有两个不相等的实数根，故选C.答案 C5．(2013·，10，4分)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列的方程中正确的是( ) A．12(1＋a%)2＝5 B．12(1－a%)2＝5C．12(1－2a%)＝5 D．12(1－a2%)＝5解析第一次降价后的价格为12(1－a%)元，第二次降价后的价格为12(1－a %)2元，∴所列方程为12(1－a %)2＝5，故选B. 答案 B6．(2013·黄冈，6，3分)已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析 把x ＝2代入方程，得22－6×2＋c ＝0，解得c ＝8，把c ＝8代入原方程得x 2－6x ＋8＝0，解得x 1＝2，x 2＝4.故选C. 答案 C7．(2013·日照，8，3分)已知一元二次方程x 2－x －3＝0的较小根为x 1，则下面对x 1的估计正确的是 ( )A ．－32＜x 1＜－1B ．－3＜x 1＜－2C ．2＜x 1＜3D ．－1＜x 1＜0解析 在x 2－x －3＝0中，b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×(－3)＝13＞0，∴x ＝1±132×1＝1±132，∴x 1＝1－132.∵3＜13＜4，∴－32＜1－132＜－1.故选A. 答案 A 二、填空题8．(2013·，17，4分)若|b －1|＋a －4＝0，且一元二次方程kx 2＋ax ＋b ＝0有实数根，则k 的取值围是________．解析 ∵|b －1|≥0，a －4≥0，|b －1|＋a －4＝0，∴b －1＝0，a －4＝0，即b ＝1，a ＝4.∴原方程为kx 2＋4x ＋1＝0.∵一元二次方程kx 2＋4x ＋1＝0有实数根，∴42－4k ≥0且k ≠0，即k ≤4且k ≠0.。
浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类
浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A （2，m ）在直线y ＝2x ﹣上，过点A 的直线交y 轴于点B （0，3）．（1）求m 的值和直线AB 的函数表达式；（2）若点P （t ，y 1）在线段AB 上，点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，求y 1﹣y 2的最大值．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，E ，F 分别是AC ，AB 的中点，O 是DF 的中点，EO 的延长线交线段BD 于点G ，连结DE ，EF ，FG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形．（2）当AD ＝5，tan ∠EDC ＝时，求FG 的长．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且∠AEB ＝∠CFD ＝90°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）当AB ＝5，tan ∠ABE ＝，∠CBE ＝∠EAF 时，求BD 的长．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，BE ⊥CD ，交CD 延长线于点E ，交半圆于点F ，已知OA ＝，AC ＝1．如图2，连结AF ，P 为线段AF 上一点，过点P 作BC 的平行线分别交CE ，BE 于点M ，N ，过点P 作PH ⊥AB 于点H ．设PH ＝x ，MN ＝y ．（1）求CE 的长和y 关于x 的函数表达式；（2）当PH ＜PN ，且长度分别等于PH ，PN ，a 的三条线段组成的三角形与△BCE 相似时，求a 的值；（3）延长PN 交半圆O 于点Q ，当NQ ＝x ﹣3时，求MN 的长．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点 和点 ．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．浙江省温州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的加减法（共1小题）1．（2023•温州）计算：（1）|﹣1|++（）﹣2﹣（﹣4）；（2）﹣．【答案】（1）12；（2）a﹣1．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+9+4＝12；（2）原式＝＝＝a﹣1．二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）2．（2023•温州）如图，在直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝2x﹣上，过点A的直线交y轴于点B（0，3）．（1）求m的值和直线AB的函数表达式；（2）若点P（t，y1）在线段AB上，点Q（t﹣1，y2）在直线y＝2x﹣上，求y1﹣y2的最大值．【答案】（1）m＝；直线AB的函数表达式为y＝﹣x+3．（2）当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．【解答】解：（1）把点A （2，m ）代入y ＝2x ﹣中，得m ＝；设直线AB 的函数表达式为：y ＝kx +b ，把A （2，），B （0，3）代入得：，解得，∴直线AB 的函数表达式为y ＝﹣x +3．（2）∵点P （t ，y 1）在线段AB 上，∴y 1＝﹣t +3（0≤t ≤2），∵点Q （t ﹣1，y 2）在直线y ＝2x ﹣上，∴y 2＝2（t ﹣1）﹣＝2t ﹣，∴y 1﹣y 2＝﹣t +3﹣（2t ﹣）＝﹣t +，∵﹣＜0，∴y 1﹣y 2随t 的增大而减小，∴当t ＝0，y 1﹣y 2的最大值为．三．一次函数的应用（共1小题）3．（2021•温州）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．营养品信息表营养成分每千克含铁42毫克原料每千克含铁甲食材50毫克配料表乙食材10毫克规格每包食材含量每包单价A 包装1千克45元B 包装0.25千克12元（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？【答案】（1）甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．【解答】解：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得，解得a＝20，经检验，a＝20是所列方程的根，且符合题意，∴2a＝40（元），答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元；（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，由题意得，解得，答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克；②设A为m包，则B为＝（2000﹣4m）包，∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000﹣4m，∴m≥400，设总利润为W元，根据题意得：W＝45m+12（2000﹣4m）﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000，∵k＝﹣3＜0，∴W随m的增大而减小，∴当m＝400时，W的最大值为2800，答：当A为400包时，总利润最大，最大总利润为2800元．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）4．（2021•温州）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣8；（1，﹣9）．（2）﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．【解答】解：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣8得0＝4a+4a﹣8，解得a＝1，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8，∵y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣9）．（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）2﹣2×（﹣4）﹣8＝16，∴m＝16，把y＝7代入函数解析式得7＝x2﹣2x﹣8，解得x＝5或x＝﹣3，∴n＝5或n＝﹣3，∵n为正数，∴n＝5，∴点A坐标为（﹣4，16），点B坐标为（5，7）．∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，﹣9），∴抛物线顶点在AB下方，∴﹣4＜x P＜5，﹣9≤y P＜16．五．二次函数的应用（共1小题）5．（2022•温州）根据以下素材，探索完成任务．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？素材1图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．素材2为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．【答案】任务1：y＝﹣x2；任务2：﹣1.8m，﹣6≤x≤6；任务3：挂7盏或8盏，横坐标分别为﹣4.8和﹣5.6，方案见解答．【解答】解：任务1：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），设抛物线的解析式为：y＝ax2，把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，∴a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；任务2：∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，∴x＝±6，∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；任务3：方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；方案二：如图3，∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，∵灯笼挂满后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼，∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2022•温州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O 是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形．（2）当AD＝5，tan∠EDC＝时，求FG的长．【答案】（1）证明见解析；（2），【解答】（1）证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，∴∠EFO＝∠GDO，∵O是DF的中点，∴OF＝OD，在△OEF和△OGD中，，∴△OEF≌△OGD（ASA），∴EF＝GD，∴四边形DEFG是平行四边形．（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AC＝CE，∴∠C＝∠EDC，∴tan C＝＝tan∠EDC＝，即＝，∴CD＝2，∴AC＝＝＝，∴DE＝AC＝，由（1）可知，四边形DEFG是平行四边形，∴FG＝DE＝．7．（2021•温州）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠AEB＝∠CFD＝90°．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时，求BD的长．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝，设AE＝3a，则BE＝4a，由勾股定理得：（3a）2+（4a）2＝52，解得：a＝1或a＝﹣1（舍去），∴AE＝3，BE＝4，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝3，∵∠CBE＝∠EAF，∴∠ECF＝∠CBE，∴tan∠CBE＝tan∠ECF，∴＝，∴CF2＝EF×BF，设EF＝x，则BF＝x+4，∴32＝x（x+4），解得：x＝﹣2或x＝﹣﹣2,（舍去），即EF＝﹣2，由（1）得：△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝4，∴BD＝BE+EF+DF＝4+﹣2+4＝6+．七．圆的综合题（共2小题）8．（2022•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知BC＝5，BE＝3，点P，Q分别在线段AB，BE上（不与端点重合），且满足＝．设BQ＝x，CP＝y．（1）求半圆O的半径．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PR⊥CE于点R，连结PQ，RQ．①当△PQR为直角三角形时，求x的值．②作点F关于QR的对称点F′，当点F′落在BC上时，求的值．【答案】（1）；（2）y＝；（3）①或；②．【解答】解：（1）如图1，连接OD，设半径为r，∵CD切半圆于点D，∴OD⊥CD，∵BE⊥CD，∴OD∥BE，∴△COD∽△CBE，∴，∴，解得r＝，∴半圆O的半径为；（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，∵＝，BQ＝x，∴AP＝，∴CP＝AP+AC，∴y＝；（3）①显然∠PRQ＜90°，所以分两种情形，当∠RPQ＝90°时，则四边形RPQE是矩形，∴PR＝QE，∵PR＝PC×sin C＝，∴，∴x＝，当∠PQR＝90°时，过点P作PH⊥BE于点H，如图，则四边形PHER是矩形，∴PH＝RE，EH＝PR，∵CR＝CP•cos C＝，∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，∴∠PQH＝45°＝∠QPH，∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，∴x＝，综上，x的值为或；②如图，连接AF，QF'，由对称可知QF＝QF'，∵CP＝，∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，∵BQ＝x，∴EQ＝3﹣x，∴ER＝EQ，∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，∴∠BQF'＝90°，∴QF＝QF'＝BQ•tan B＝，∵AB是半圆O的直径，∴∠AFB＝90°，∴BF＝AB•cos B＝，∴，∴x＝，∴．9．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，分别交x轴、y轴于点A （2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0），连结AE．（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；（2）求点D，E的坐标；（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∴AB为⊙M的直径，∵点M是AB的中点，则点M（1，4），则圆的半径为AM＝＝，设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线CM的表达式为y＝﹣x+；（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，解得x＝5或﹣3，故点D、E的坐标分别为（﹣3，5）、（5，3）；（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，BH＝8﹣5＝3＝DH，故∠DBO＝45°，由点A、E的坐标，同理可得∠EAP＝45°；由点A、E、B、D的坐标得，AE＝＝3，同理可得：BD＝3，OB＝8，①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，故点P的坐标为（5，0），故OP＝5；②∠AEP＝∠BDO时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△DBO，∴，即＝＝，解得AP＝8，故PO＝10；③∠AEP＝∠BOD时，∵∠EAP＝∠DBO，∴△EAP∽△OBD，∴，即，解得AP＝，则PO＝2+＝，综上所述，OP为5或10或．八．利用平移设计图案（共1小题）10．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2所示，即为所求；（2）如图3所示，即为所求．九．作图-旋转变换（共1小题）11．（2023•温州）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中画一个等腰三角形PEF，使底边长为，点E在BC上，点F在AD上，再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形；（2）在图2中画一个Rt△PQR，使∠P＝45°，点Q在BC上，点R在AD上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形．【答案】（1）（2）作图见解析部分．【解答】解：（1）图形如图1所示（答案不唯一）；（2）图形如图2所示（答案不唯一）．一十．相似形综合题（共1小题）12．（2023•温州）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA＝，AC＝1．如图2，连结AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，过点P 作PH⊥AB于点H．设PH＝x，MN＝y．（1）求CE的长和y关于x的函数表达式；（2）当PH＜PN，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与△BCE相似时，求a的值；（3）延长PN交半圆O于点Q，当NQ＝x﹣3时，求MN的长．【答案】（1）CE＝，y＝﹣x+4；（2）a的值为或或；（3）MN的长为．【解答】解：（1）如图1，连接OD，∵CD切半圆O于点D，∴OD⊥CE，∵OA＝，AC＝1，∴OC＝，BC＝4，∴CD＝＝2，∵BE⊥CE，∴OD∥BE，∴，∴，∴CE＝，如图2，∵∠AFB＝∠E＝90°，∴AF∥CE，∴MN∥CB，∴四边形APMC是平行四边形，∴CM＝PA＝＝＝＝x，∵NM∥BC，∴△BCE∽△NME，∴，∴＝，∴y＝﹣x+4；（2）∵PN＝y﹣1＝﹣x+4﹣1＝﹣x+3，PH＜PN，△BCE的三边之比为3：4：5，∴可分为三种情况，当PH：PN＝3：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝4：5时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，当PH：PN＝3：4时，x＝﹣x+3，解得：x＝，∴a＝x＝，综上所述：a的值为或或；（3）如图3，连接AQ，BQ，过点Q作QG⊥AB于点G，则∠AQB ＝∠AGQ ＝90°，PH ＝QG ＝x ，∴∠QAB ＝∠BQG ，∵NQ ＝x ﹣3，PN ＝y ﹣1＝﹣x +3，∴HG ＝PQ ＝NQ +PN ＝x ，∵AH ＝x ，∴AG ＝AH +HG ＝3x ，∴tan ∠BQG ＝tan ∠QAB ＝＝＝，∴BG ＝QG ＝x ，∴AB ＝AG +BG ＝x ＝3，∴x ＝，∴y ＝﹣x +4＝，∴MN 的长为．一十一．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2023•温州）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN （如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决分析规划选择两个观测位置：点 A 和点 B （答案不唯一） ．任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN ．任务3换算高度楼房实际宽度DE 为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm ．【答案】任务1：A 、B ；tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ，任务2：MN ＝18mm ；任务3：43.2m ．【解答】解：任务1：【分析规划】选择点A 和点B（答案不唯一），故答案为：A 、B （答案不唯一）；【获取数据】tan ∠1＝，tan ∠2＝，tan ∠3＝，测得图上AB ＝4mm ；任务2：如图1，过点A 作AF ⊥MN 于点F ，过点B 作BG ⊥MN 于点G ，则FG ＝AB ＝4mm，设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm，∵tan∠MAF＝＝，tan∠MBG＝＝，∴AF＝4x，BG＝3x+12，∵AF＝BG，即4x＝3x+12，∴x＝12，即MF＝12mm，∴AF＝BG＝4x＝48（mm），∵tan∠FAN＝＝，∴FN＝6mm，∴MN＝MF+FN＝12+6＝18（mm），任务3：测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm，由题意得，＝，解得h＝43.2（m），∴发射塔的实际高度为43.2m．。
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题(基础题)知识点分类①
湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类①一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）1．（2023•十堰）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球，将384000000用科学记数法表示为 ．2．（2023•黄石）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为 ．二．算术平方根（共2小题）3．（2023•荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝ ．4．（2023•鄂州）计算：＝ ．三．实数大小比较（共1小题）5．（2023•武汉）写出一个小于4的正无理数是 ．四．实数的运算（共2小题）6．（2023•湖北）计算4﹣1﹣+（3﹣）0的结果是 ．7．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝ ．五．规律型：数字的变化类（共1小题）8．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．六．因式分解-提公因式法（共1小题）9．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝ ．七．因式分解-运用公式法（共1小题）10．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1八．零指数幂（共1小题）11．（2023•湖北）计算：＝ ．九．二次根式的乘除法（共1小题）12．（2023•恩施州）计算：×＝ ．一十．根与系数的关系（共1小题）13．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 ．一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）14．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 ．一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题）15．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD ＝5，则DE＝ ．一十三．勾股定理的应用（共1小题）16．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 尺．一十四．多边形内角与外角（共1小题）17．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ ．一十五．圆周角定理（共1小题）18．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 ．一十六．圆内接四边形的性质（共1小题）19．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 度．一十七．位似变换（共1小题）20．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 ．一十八．概率公式（共1小题）21．（2023•襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．一十九．列表法与树状图法（共1小题）22．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 ．湖北省各地市2023-中考数学真题分类汇编-02填空题（基础题）知识点分类①参考答案与试题解析一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）1．（2023•十堰）2023年5月30日上午，我国载人航天飞船“神舟十六号”发射圆满成功，与此同时，中国载人航天办公室也宣布计划在2030年前实现中国人首次登陆距地球平均距离为38.4万千米的月球，将384000000用科学记数法表示为 3.84×108 ．【答案】3.84×108．【解答】解：384000000＝3.84×108．故答案为：3.84×108．2．（2023•黄石）据《人民日报》（2023年5月9日）报道，我国海洋经济复苏态势强劲，在建和新开工的海上风电项目建设总规模约为18000000千瓦，比上年同期翻一番．其中18000000用科学记数法表示为 1.8×107 ．【答案】1.8×107．【解答】解：18000000＝1.8×107，故答案为：1.8×107．二．算术平方根（共2小题）3．（2023•荆州）若|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，则＝ 2 ．【答案】2．【解答】解：|a﹣1|+（b﹣3）2＝0，∵|a﹣1|≥0，（b﹣3）2≥0，∴a﹣1＝0，b﹣3＝0，则a＝1，b＝3，那么＝＝2，故答案为：2．4．（2023•鄂州）计算：＝ 4 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．三．实数大小比较（共1小题）5．（2023•武汉）写出一个小于4的正无理数是 （答案不唯一） ．【答案】（答案不唯一）．【解答】解：一个小于4的正无理数是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．四．实数的运算（共2小题）6．（2023•湖北）计算4﹣1﹣+（3﹣）0的结果是 1 ．【答案】1．【解答】解：原式＝﹣+1＝1，故答案为：1．7．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝ 9 ．【答案】9．【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝9+1﹣2×＝9+1﹣1＝9，故答案为：9．五．规律型：数字的变化类（共1小题）8．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 （﹣2）10 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ﹣22024+2024 ．【答案】（﹣2）10，﹣22024+2024．【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10，第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024，∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024．故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024．六．因式分解-提公因式法（共1小题）9．（2023•黄石）因式分解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝ （y﹣1）（x﹣4） ．【答案】（y﹣1）（x﹣4）．【解答】解：x（y﹣1）+4（1﹣y）＝x（y﹣1）﹣4（y﹣1）＝（y﹣1）（x﹣4）．七．因式分解-运用公式法（共1小题）10．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝ （a﹣1）2 ．【答案】（a﹣1）2．【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故答案为：（a﹣1）2．八．零指数幂（共1小题）11．（2023•湖北）计算：＝ 2 ．【答案】2．【解答】解：原式＝1+1＝2．故答案为：2．九．二次根式的乘除法（共1小题）12．（2023•恩施州）计算：×＝ 6 ．【答案】6．【解答】解：×＝＝＝6，故答案为：6．一十．根与系数的关系（共1小题）13．（2023•随州）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 2 ．【答案】2．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，∴x1+x2＝＝3，x1x2＝＝1，∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．故答案为：2．一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）14．（2023•湖北）如图，△BAC，△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DEB＝∠AEF＝90°，点E在△ABC内，BE＞AE，连接DF交AE于点G，DE交AB于点H，连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA＝∠EBC；②∠BHE＝∠EGF；③AB＝DF；④AD＝CF．其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．【答案】①③④．【解答】解：∵△BAC，△DEB都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，∴∠EBC＝∠DBA，故①正确；∵△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，∴BE＝DE，AE＝EF，∠BED＝∠AEF＝90°，∴∠BEA＝∠DEF，∴△BEA≌△DEF（SAS），∴AB＝DF，∠ABE＝∠EDF，∠BAE＝∠DFE．故③正确；∵∠BEH＝∠GEF＝90°，∴∠ABE+∠BHE＝90°，∠EGF+∠DFE＝90°，∵BE＞AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠ABE≠∠DFE，∴∠BHE≠∠EGF；∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠FAC＝45°，又∵∠AFD+∠EFG＝45°，∠BAE＝∠DFE，∴∠DFA＝∠FAC，∴DF∥AC，∵AB＝DF，AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形DFCA为平行四边形，∴DA＝CF．故④正确．故答案为：①③④．一十二．直角三角形斜边上的中线（共1小题）15．（2023•荆州）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，E为AC的中点．若AC＝8，CD ＝5，则DE＝ 3 ．【答案】3．【解答】解：∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵∠ACB＝90°，AC＝8，∴BC＝＝6，∵E为AC的中点，∴AE＝CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故答案为：3．一十三．勾股定理的应用（共1小题）16．（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是 8，6，10 尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．一十四．多边形内角与外角（共1小题）17．（2023•湖北）若正n边形的一个外角为72°，则n＝ 5 ．【答案】5．【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°，∴n＝360÷72＝5，故答案为：5．一十五．圆周角定理（共1小题）18．（2023•随州）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 30° ．【答案】30°．【解答】解：如图，连接OC，∵OA⊥BC，∴＝，∴∠AOC＝∠AOB＝60°，∴∠ADC＝∠AOC＝30°，故答案为：30°．一十六．圆内接四边形的性质（共1小题）19．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝ 140 度．【答案】140．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°，∴∠B＝∠ADE＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°．故答案为：140．一十七．位似变换（共1小题）20．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是 （3，1） ．【答案】（3，1）．【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1位似，且原点O为位似中心，且＝3，点A （9，3），∴×9＝3，×3＝1，即A1点的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．一十八．概率公式（共1小题）21．（2023•襄阳）古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是 ．【答案】．【解答】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池这4处有代表性的旅游景点，被抽到的可能性是均等的，共有4种等可能出现的结果，而选择古隆中的只有1种，所以选择古隆中的概率是，故答案为：．一十九．列表法与树状图法（共1小题）22．（2023•湖北）有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的图形后（不放回），再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为 ．【答案】．【解答】解：设等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆分别为A，B，C，D，根据题意画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的结果有2种，∴抽取的两张卡片上的图形都是中心对称图形的概率为＝，故答案为：．。
中考数学分类一次函数与二次函数试卷(含答案)
中考数学试题分类—次函数与二次函数一．一次函数的图象（共2小题）1．（2020•嘉兴）一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（）A．B．C．D．2．（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．二．一次函数的性质（共1小题）3．（2019•杭州）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（2020•湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y=23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2B．y=√2x+2C．y＝4x+2D．y=2√33x+26．（2019•绍兴）若三点（1，4），（2，7），（a，10）在同一直线上，则a的值等于（）A．﹣1B．0C．3D．4四．一次函数的应用（共10小题）7．（2019•金华）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是．8．（2020•宁波）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？9．（2020•衢州）2020年5月16日，“钱塘江诗路”航道全线开通．一艘游轮从杭州出发前往衢州，线路如图1所示．当游轮到达建德境内的“七里扬帆”景点时，一艘货轮沿着同样的线路从杭州出发前往衢州．已知游轮的速度为20km/h，游轮行驶的时间记为t（h），两艘轮船距离杭州的路程s（km）关于t（h）的图象如图2所示（游轮在停靠前后的行驶速度不变）．（1）写出图2中C点横坐标的实际意义，并求出游轮在“七里扬帆”停靠的时长．（2）若货轮比游轮早36分钟到达衢州．问：①货轮出发后几小时追上游轮？①游轮与货轮何时相距12km？10．（2020•绍兴）我国传统的计重工具﹣﹣秤的应用，方便了人们的生活．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）12471112y（斤）0.75 1.00 1.50 2.75 3.25 3.50（1）在上表x，y的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少？11．（2020•金华）某地区山峰的高度每增加1百米，气温大约降低0.6℃，气温T（℃）和高度h（百米）的函数关系如图所示．请根据图象解决下列问题：（1）求高度为5百米时的气温；（2）求T关于h的函数表达式；（3）测得山顶的气温为6℃，求该山峰的高度．12．（2020•温州）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T 恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．（1）4月份进了这批T恤衫多少件？（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a 件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．①用含a的代数式表示b．①已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．13．（2019•绍兴）如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象．（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量．14．（2019•台州）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h（单位：m）与下行时间x（单位：s）之间具有函数关系h=−310x+6，乙离一楼地面的高度y（单位：m）与下行时间x（单位：s）的函数关系如图2所示．（1）求y关于x的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．15．（2019•宁波）某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）．第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车．小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式．（2）求第一班车从入口处到达塔林所需的时间．（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聪最早能够坐上第几班车？如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟？（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）16．（2019•湖州）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米．甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校又骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校．已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米．设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B ﹣C ﹣D 分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）．根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）五．一次函数综合题（共2小题）17．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线y =−12x +4分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ．动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某一点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．（1）求点B 的坐标和OE 的长．（2）设点Q 2为（m ，n ），当n n =17tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标．（3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合．①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q ＝s ，AP ＝t ，求s 关于t 的函数表达式．①当PQ 与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP 的长．18．（2019•衢州）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =n +n 3，y =n +n 3那么称点T 是点A ，B 的融合点． 例如：A （﹣1，8），B （4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =−1+43=1，y =8+(−2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点． ①试确定y 与x 的关系式．①若直线ET 交x 轴于点H ．当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标．六．反比例函数的性质（共1小题）19．（2020•杭州）设函数y 1=n n ，y 2=−n n （k ＞0）． （1）当2≤x ≤3时，函数y 1的最大值是a ，函数y 2的最小值是a ﹣4，求a 和k 的值．（2）设m ≠0，且m ≠﹣1，当x ＝m 时，y 1＝p ；当x ＝m +1时，y 1＝q ．圆圆说：“p 一定大于q ”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．（2020•温州）点P ，Q ，R 在反比例函数y =n n （常数k ＞0，x ＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1，S 2，S 3．若OE ＝ED ＝DC ，S 1+S 3＝27，则S 2的值为 ．21．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，Rt △OAB 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数y =n n （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ．交AB 于点D ，连结CD ．若△ACD 的面积是2，则k 的值是 ．22．（2019•衢州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，①ABCD 的边AB 在x 轴上，顶点D 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，点B 恰好为OE 的中点，DE 与BC 交于点F ．若y =n n （k ≠0）图象经过点C ，且S △BEF ＝1，则k 的值为 ．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．（2020•金华）已知点（﹣2，a），（2，b），（3，c）在函数y=n n（k＞0）的图象上，则下列判断正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a24．（2020•衢州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块含30°角的三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，三角板的直角边EF交BC于点M，反比例函数y=n n（x ＞0）的图象恰好经过点F，M．若直尺的宽CD＝3，三角板的斜边FG＝8√3，则k＝．25．（2019•绍兴）如图，矩形ABCD的两边分别与坐标轴平行，顶点A，C都在双曲线y=n n（常数k＞0，x＞0）上，若顶点D的坐标为（5，3），则直线BD的函数表达式是．九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．（2019•舟山）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y=n n的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．（2020•宁波）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=n n（a＞0）的图象交于A，D两点（点A在第一象限），点B，C，E在反比例函数y=nn（b＜0）的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD 的面积为32，则a ﹣b 的值为 ，n n 的值为 ． 28．（2019•宁波）如图，过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限．点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D ．AE 为∠BAC 的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE ．若AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，则k 的值为 ．29．（2019•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y =12x ﹣1分别交x 轴，y 轴于点A 和点B ，分别交反比例函数y 1=n n （k ＞0，x ＞0），y 2=2n n （x ＜0）的图象于点C 和点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，连结OC ，OD ．若△COE 的面积与△DOB 的面积相等，则k 的值是 ．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．（2019•温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为（ ）近视眼镜的度数y （度）200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米）0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 A ．y =100n B ．y =n 100 C ．y =400n D ．y =n 40031．（2020•台州）小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练题目难度相当．当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y（单位：秒）与训练次数x（单位：次）之间满足如图所示的反比例函数关系．完成第3次训练所需时间为400秒．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x的值为6，8，10时，对应的函数值分别为y1，y2，y3，比较（y1﹣y2）与（y2﹣y3）的大小：y1﹣y2y2﹣y3．32．（2019•杭州）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．①方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．参考答案与试题解析一．一次函数的图象（共2小题）1．【解答】解：由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．故选：B．2．【解答】解：A、由图可知：直线y1＝ax+b，a＞0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；B、由图可知：直线y1＝ax+b，a＜0，b＞0．∴直线y2＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；C 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＞0．∴直线y 2＝bx +a 经过一、二、四象限，交点不对，故C 错误； D 、由图可知：直线y 1＝ax +b ，a ＜0，b ＜0，∴直线y 2＝bx +a 经过二、三、四象限，故D 错误．故选：A ．二．一次函数的性质（共1小题）3．【解答】解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1， ∴{n +n =0n =1 解得：{n =−1n =1， 所以函数的解析式为y ＝﹣x +1，故答案为：y ＝﹣x +1（答案不唯一）．三．一次函数图象上点的坐标特征（共3小题）4．【解答】解：∵函数y ＝ax +a （a ≠0）的图象过点P （1，2），∴2＝a +a ，解得a ＝1，∴y ＝x +1，∴直线交y 轴的正半轴于点（0，1），且过点（1，2），故选：A ．5．【解答】解：∵直线y ＝2x +2和直线y =23x +2分别交x 轴于点A 和点B ． ∴A （﹣1，0），B （﹣3，0）A 、y ＝x +2与x 轴的交点为（﹣2，0）；故直线y ＝x +2与x 轴的交点在线段AB 上；B 、y =√2x +2与x 轴的交点为（−√2，0）；故直线y =√2x +2与x 轴的交点在线段AB 上；C 、y ＝4x +2与x 轴的交点为（−12，0）；故直线y ＝4x +2与x 轴的交点不在线段AB 上；D 、y =2√33x +2与x 轴的交点为（−√3，0）；故直线y =2√33x +2与x 轴的交点在线段AB 上； 故选：C ．6．【解答】解：设经过（1，4），（2，7）两点的直线解析式为y ＝kx +b ， ∴{4=n +n 7=2n +n ∴{n =3n =1， ∴y ＝3x +1，将点（a ，10）代入解析式，则a ＝3；故选：C ．四．一次函数的应用（共10小题）7．【解答】解：令150t ＝240（t ﹣12），解得，t ＝32，则150t ＝150×32＝4800，∴点P 的坐标为（32，4800），故答案为：（32，4800）．8．【解答】解：（1）设函数表达式为y ＝kx +b （k ≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx +b ，得{0=1.6n +n 80=2.6n +n ， 解得：{n =80n =−128， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128；由图可知200﹣80＝120（千米），120÷80＝1.5（小时），1.6+1.5＝3.1（小时），∴x 的取值范围是1.6≤x ≤3.1．∴货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x ≤3.1）；（2）当y ＝200﹣80＝120时，120＝80x ﹣128，解得x ＝3.1，由图可知，甲的速度为801.6=50（千米/小时），货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时），18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时，∴1.6v ≥120，解得v ≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．9．【解答】解：（1）C 点横坐标的实际意义是游轮从杭州出发前往衢州共用了23h ．∴游轮在“七里扬帆”停靠的时长＝23﹣（420÷20）＝23﹣21＝2（h ）．（2）①280÷20＝14h ，∴点A （14，280），点B （16，280），∵36÷60＝0.6（h ），23﹣0.6＝22.4，∴点E （22.4，420），设BC 的解析式为s ＝20t +b ，把B （16，280）代入s ＝20t +b ，可得b ＝﹣40，∴s ＝20t ﹣40（16≤t ≤23），同理由D （14，0），E （22.4，420）可得DE 的解析式为s ＝50t ﹣700（14≤t ≤22.4），由题意：20t ﹣40＝50t ﹣700，解得t ＝22，∵22﹣14＝8（h ），∴货轮出发后8小时追上游轮．①相遇之前相距12km 时，20t ﹣40﹣（50t ﹣700）＝12，解得t ＝21.6．相遇之后相距12km 时，50t ﹣700﹣（20t ﹣40）＝12，解得t ＝22.4，当游轮在刚离开杭州12km 时，此时根据图象可知货轮就在杭州，游轮距离杭州12km ，所以此时两船应该也是想距12km ，即在0.6h 的时候，两船也相距12km∴0.6h 或21.6h 或22.4h 时游轮与货轮相距12km ．10．【解答】解：（1）观察图象可知：x ＝7，y ＝2.75这组数据错误．（2）设y ＝kx +b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得{n +n =0.752n +n =1， 解得{n =14n =12， ∴y =14x +12， 当x ＝16时，y ＝4.5，答：秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤．11．【解答】解：（1）由题意得，高度增加2百米，则气温降低2×0.6＝1.2（℃），∴13.2﹣1.2＝12（℃），∴高度为5百米时的气温大约是12℃；（2）设T 关于h 的函数表达式为T ＝kh +b ，则：{3n +n =13.25n +n =12， 解得{n =−0.6n =15， ∴T 关于h 的函数表达式为T ＝﹣0.6h +15（h ＞0）；（3）当T ＝6时，6＝﹣0.6h +15，解得h ＝15．∴该山峰的高度大约为15百米，即1500米．12．【解答】解：（1）设3月份购进x 件T 恤衫，18000n +10=390002n ，解得，x ＝150，经检验，x ＝150是原分式方程的解，则2x ＝300，答：4月份进了这批T 恤衫300件；（2）①每件T 恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），（180﹣130）a +（180×0.8﹣130）（150﹣a ）＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）化简，得b =150−n 2； ①设乙店的利润为w 元，w ＝（180﹣130）a +（180×0.9﹣130）b +（180×0.7﹣130）（150﹣a ﹣b ）＝54a +36b ﹣600＝54a +36×150−n 2−600＝36a +2100， ∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量， ∴a ≤b ， 即a ≤150−n 2，解得，a ≤50，∴当a ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝3900，答：乙店利润的最大值是3900元．13．【解答】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米． 1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：15060−35=6千米；（2）设y ＝kx +b （k ≠0），把点（150，35），（200，10）代入，得{150n +n =35200n +n =10， ∴{n =−0.5n =110， ∴y ＝﹣0.5x +110，当x ＝180时，y ＝﹣0.5×180+110＝20，答：当150≤x ≤200时，函数表达式为y ＝﹣0.5x +110，当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余电量为20千瓦时．14．【解答】解：（1）设y 关于x 的函数解析式是y ＝kx +b ，{n =615n +n =3，解得，{n =−15n =6， 即y 关于x 的函数解析式是y =−15x +6；（2）当h ＝0时，0=−310x +6，得x ＝20， 当y ＝0时，0=−15x +6，得x ＝30，∵20＜30，∴甲先到达地面．15．【解答】解：（1）由题意得，可设函数表达式为：y ＝kx +b （k ≠0）， 把（20，0），（38，2700）代入y ＝kx +b ，得{0=20n +n 2700=38n +n ，解得{n =150n =−3000， ∴第一班车离入口处的路程y （米）与时间x （分）的函数表达为y ＝150x ﹣3000（20≤x ≤38）；（2）把y ＝1500代入y ＝150x ﹣3000，解得x ＝30，30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；（3）设小聪坐上了第n 班车，则30﹣25+10（n ﹣1）≥40，解得n ≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1200÷150＝8（分），步行所需时间：1200÷（1500÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了7分钟．16．【解答】解：（1）由图可得，甲步行的速度为：2400÷30＝80（米/分），乙出发时甲离开小区的路程是10×80＝800（米），答：甲步行的速度是80米/分，乙出发时甲离开小区的路程是800米；（2）设直线OA 的解析式为y ＝kx ，30k ＝2400，得k ＝80，∴直线OA 的解析式为y ＝80x ，当x ＝18时，y ＝80×18＝1440，则乙骑自行车的速度为：1440÷（18﹣10）＝180（米/分），∵乙骑自行车的时间为：25﹣10＝15（分钟），∴乙骑自行车的路程为：180×15＝2700（米），当x ＝25时，甲走过的路程为：80×25＝2000（米），∴乙到达还车点时，甲乙两人之间的距离为：2700﹣2000＝700（米），答：乙骑自行车的速度是180米/分，乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离是700米；（3）乙步行的速度为：80﹣5＝75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700﹣2400）÷75＝29（分），当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如右图所示．五．一次函数综合题（共2小题）17．【解答】解：（1）令y ＝0，则−12x +4＝0，∴x ＝8，∴B （8，0），∵C （0，4），∴OC ＝4，OB ＝8，在Rt △BOC 中，BC =√82+42=4√5，又∵E 为BC 中点，∴OE =12BC ＝2√5； （2）如图1，作EM ⊥OC 于M ，则EM ∥CD ，∵E 是BC 的中点∴M 是OC 的中点∴EM =12OB ＝4，OE =12BC ＝2√5∵∠CDN ＝∠NEM ，∠CND ＝∠MNE∴△CDN ∽△MEN ，∴nn nn =nn nn =1，∴CN ＝MN ＝1，∴EN =√12+42=√17，∵S △ONE =12EN •OF =12ON •EM ，∴OF =3×4√17=1217√17，由勾股定理得：EF =√nn 2−nn 2=(2√5)2−(121717)2=1417√17，∴tan ∠EOF =nn nn =14√171712√1717=76， ∴nn =17×76=16， ∵n =−12m +4， ∴m ＝6，n ＝1，∴Q 2（6，1）；（3）①∵动点P 、Q 同时作匀速直线运动，∴s 关于t 成一次函数关系，设s ＝kt +b ，∵当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合，∴t ＝2时，CD ＝4，DQ 3＝2， ∴s ＝Q 3C =√22+42=2√5，∵Q 3（﹣4，6），Q 2（6，1），∴t ＝4时，s =√(6+4)2+(6−1)2=5√5，将{n =2n =2√5和{n =4n =5√5代入得{2n +n =2√54n +n =5√5，解得：{n =32√5n =−√5， ∴s =3√52n −√5，∵s ≥0，t ≥0，且32√5＞0， ∴s 随t 的增大而增大， 当s ≥0时，3√52n −√5≥0，即t ≥23，当t =23时，Q 3与Q 重合，∵点Q 在线段Q 2Q 3上，综上，s 关于t 的函数表达式为：s =3√52n −√5（23≤t ≤4）； ①（i ）当PQ ∥OE 时，如图2，∠QPB ＝∠EOB ＝∠OBE ，作QH ⊥x 轴于点H ，则PH ＝BH =12PB ， Rt △ABQ 3中，AQ 3＝6，AB ＝4+8＝12，∴BQ 3=√62+122=6√5， ∵BQ ＝6√5−s ＝6√5−3√52t +√5=7√5−3√52t ，∵cos ∠QBH =nn nn 3=nn nn =1265=25√5，∴BH ＝14﹣3t ，∴PB ＝28﹣6t ， ∴t +28﹣6t ＝12，t =165；（ii ）当PQ ∥OF 时，如图3，过点Q 作QG ⊥AQ 3于点G ，过点P 作PH ⊥GQ 于点H ，由△Q 3QG ∽△CBO 得：Q 3G ：QG ：Q 3Q ＝1：2：√5，∵Q 3Q ＝s =3√52t −√5，∴Q 3G =32t ﹣1，GQ ＝3t ﹣2， ∴PH ＝AG ＝AQ 3﹣Q 3G ＝6﹣（32t ﹣1）＝7−32t ，∴QH ＝QG ﹣AP ＝3t ﹣2﹣t ＝2t ﹣2，∵∠HPQ ＝∠CDN ，∴tan ∠HPQ ＝tan ∠CDN =14，∴2t ﹣2=14(7−32n )，t =3019， （iii ）由图形可知PQ 不可能与EF 平行，综上，当PQ 与△OEF 的一边平行时，AP 的长为165或3019． 18．【解答】解：（1）x =13（﹣1+7）＝2，y =13（5+7）＝4， 故点C 是点A 、B 的融合点；（2）①由题意得：x =13（t +3），y =13（2t +3），则t ＝3x ﹣3，则y =13（6x ﹣6+3）＝2x ﹣1；①当∠DHT ＝90°时，如图1所示，点E （t ，2t +3），则T （t ，2t ﹣1），则点D （3，0），由点T 是点D ，E 的融合点得：t =n +33，2t ﹣1=2n +33， 解得：t =32，即点E （32，6）；当∠TDH ＝90°时，如图2所示，则点T （3，5），由点T 是点D ，E 的融合点得：点E （6，15）；当∠HTD ＝90°时，如图3所示，过点T 作x 轴的平行线交过点D 与y 轴平行的直线于点M ，交过点E 与y 轴的平行线于点N ，则∠MDT ＝∠NTE ，则tan ∠MDT ＝tan ∠NTE ，D （3，0），点E （t ，2t +3），则点T （n +33，2n +33）则MT ＝3−n +33=6−n 3，MD =2n +33，NE =2n +33−2t ﹣3=−2(2n +3)3，NT =n +33−t =3−2n 3， 由tan ∠MDT ＝tan ∠NTE得：6−n 32n +33=2(2n +3)33−2n 3， 解得：方程无解，故∠HTD 不可能为90°． 故点E （32，6）或（6，15）． 六．反比例函数的性质（共1小题）19．【解答】解：（1）∵k ＞0，2≤x ≤3，∴y 1随x 的增大而减小，y 2随x 的增大而增大，∴当x ＝2时，y 1最大值为n 2=n ，①；当x ＝2时，y 2最小值为−n 2=a ﹣4，①； 由①，①得：a ＝2，k ＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设m ＝m 0，且﹣1＜m 0＜0，则m 0＜0，m 0+1＞0，∴当x ＝m 0时，p ＝y 1=n n 0＜0， 当x ＝m 0+1时，q ＝y 1=n n 0+1＞0， ∴p ＜0＜q ，∴圆圆的说法不正确．七．反比例函数系数k 的几何意义（共3小题）20．【解答】解：∵CD ＝DE ＝OE ，∴可以假设CD ＝DE ＝OE ＝a ，则P （n 3n ，3a ），Q （n 2n ，2a ），R （n n ，a ）， ∴CP =n 3n ，DQ =n 2n ，ER =n n ，∴OG ＝AG ，OF ＝2FG ，OF =23GA ， ∴S 1=23S 3＝2S 2， ∵S 1+S 3＝27，∴S 3=815，S 1=545，S 2=275， 故答案为275．21．【解答】解：连接OD ，过C 作CE ∥AB ，交x 轴于E ， ∵∠ABO ＝90°，反比例函数y =n n （x ＞0）的图象经过OA 的中点C ，∴S △COE ＝S △BOD =12n ，S △ACD ＝S △OCD ＝2，∵CE ∥AB ，∴△OCE ∽△OAB ，∴n △nnnn △nnn=14， ∴4S △OCE ＝S △OAB ，∴4×12k ＝2+2+12k ，∴k =83， 故答案为：83．22．【解答】解：连接OC ，BD ，∵将△AOD 沿y 轴翻折，使点A 落在x 轴上的点E 处，∴OA ＝OE ，∵点B 恰好为OE 的中点，∴OE ＝2OB ，∴OA ＝2OB ，设OB ＝BE ＝x ，则OA ＝2x ，∴AB ＝3x ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝3x ，∵CD ∥AB ，∴△CDF ∽△BEF ，∴nn nn =nn nn =n 3n =13， ∵S △BEF ＝1，∴S △BDF ＝3，S △CDF ＝9，∴S △BCD ＝12，∴S △CDO ＝S △BDC ＝12，∴k 的值＝2S △CDO ＝24．八．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）23．【解答】解：∵k ＞0，∴函数y =n n （k ＞0）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y 随x 的增大而减小， ∵﹣2＜0＜2＜3，∴b ＞c ＞0，a ＜0，∴a ＜c ＜b ．故选：C ．24．【解答】解：过点M 作MN ⊥AD ，垂足为N ，则MN ＝CD ＝3， 在Rt △FMN 中，∠MFN ＝30°，∴FN =√3MN ＝3√3，∴AN ＝MB ＝8√3−3√3=5√3，设OA ＝x ，则OB ＝x +3，∴F （x ，8√3），M （x +3，5√3），又∵点F 、M 都在反比例函数的图象上，∴8√3x ＝（x +3）×5√3，解得，x ＝5，∴F （5，8√3），∴k ＝5×8√3=40√3．故答案为：40√3．25．【解答】解：∵D （5，3），∴A （n 3，3），C （5，n 5），∴B （n 3，n 5），设直线BD 的解析式为y ＝mx +n ，把D （5，3），B （n 3，n 5）代入得{5n +n =3n 3n +n =n 5，解得{n =35n =0， ∴直线BD 的解析式为y =35x ． 故答案为y =35x ．九．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）26．【解答】解：（1）过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵△OAB 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°，OC =12OB ，∵B （4，0），∴OB ＝OA ＝4，∴OC ＝2，AC ＝2√3． 把点A （2，2√3）代入y =n n ，得k ＝4√3．∴反比例函数的解析式为y =4√3n ；（2）分两种情况讨论：①点D 是A ′B ′的中点，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ． 由题意得A ′B ′＝4，∠A ′B ′E ＝60°，在Rt △DEB ′中，B ′D ＝2，DE =√3，B ′E ＝1．∴O ′E ＝3，把y =√3代入y =4√3n ，得x ＝4，∴OE ＝4，∴a ＝OO ′＝1；①如图3，点F 是A ′O ′的中点，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ． 由题意得A ′O ′＝4，∠A ′O ′B ′＝60°，在Rt △FO ′H 中，FH =√3，O ′H ＝1．把y =√3代入y =4√3n ，得x ＝4，∴OH ＝4，∴a ＝OO ′＝3，综上所述，a 的值为1或3．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）27．【解答】解：如图，连接AC ，OE ，OC ，OB ，延长AB 交DC 的延长线于T ，设AB 交x 轴于K ．由题意A ，D 关于原点对称，∴A ，D 的纵坐标的绝对值相等，∵AE ∥CD ，∴E ，C 的纵坐标的绝对值相等，∵E ，C 在反比例函数y =n n 的图象上，∴E ，C 关于原点对称，∴E ，O ，C 共线，∵OE ＝OC ，OA ＝OD ，∴四边形ACDE 是平行四边形，∴S △ADE ＝S △ADC ＝S 五边形ABCDE ﹣S 四边形ABCD ＝56﹣32＝24，∴S △AOE ＝S △DEO ＝12，∴12a −12b ＝12，∴a ﹣b ＝24，∵S △AOC ＝S △AOB ＝12，∴BC ∥AD ，∴nn nn =nn nn ，∵S △ACB ＝32﹣24＝8，∴S △ADC ：S △ABC ＝24：8＝3：1，∴BC ：AD ＝1：3，∴TB ：TA ＝1：3，设BT ＝m ，则AT ＝3m ，AK ＝TK ＝1.5m ，BK ＝0.5m ，∴AK ：BK ＝3：1，∴n △nnn n △nnn =12n −12n =3， ∴n n =−3，即n n =−13， 故答案为24，−13． 28．【解答】解：连接OE ，CE ，过点A 作AF ⊥x 轴，过点D 作DH ⊥x 轴，过点D 作DG ⊥AF ， ∵过原点的直线与反比例函数y =n n （k ＞0）的图象交于A ，B 两点，∴A 与B 关于原点对称，∴O 是AB 的中点，∵BE ⊥AE ，∴OE ＝OA ，∴∠OAE ＝∠AEO ，∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAE ＝∠AEO ，∴AD ∥OE ，∴S △ACE ＝S △AOC ，∵AC ＝3DC ，△ADE 的面积为8，∴S △ACE ＝S △AOC ＝12，设点A （m ，n n ），∵AC ＝3DC ，DH ∥AF ，∴3DH ＝AF ，∴D （3m ，n 3n ），∵CH ∥GD ，AG ∥DH ，∴△DHC ∽△AGD ，∴S △HDC =14S △ADG ，∵S △AOC ＝S △AOF +S梯形AFHD +S △HDC =12k +12×（DH +AF ）×FH +S △HDC =12k +12×4n 3n ×2m +12×14×2n 3n ×2n =12k +4n 3+n 6=12，∴2k ＝12，∴k ＝6；故答案为6；（另解）连结OE ，由题意可知OE ∥AC ，∴S △OAD ＝S △EAD ＝8，易知△OAD 的面积＝梯形AFHD 的面积，设A 的纵坐标为3a ，则D 的纵坐标为a ，∴（3a +a ）（n n −n 3n ）＝16，解得k ＝6．29．【解答】解：令x ＝0，得y =12x ﹣1＝﹣1， ∴B （0，﹣1），∴OB ＝1，把y =12x ﹣1代入y 2=2n n （x ＜0）中得，12x ﹣1=2n n （x ＜0）， 解得，x ＝1−√4n +1，∴n n =1−√4n +1， ∴n △nnn =12nn ⋅|n n |=12√4n +1−12， ∵CE ⊥x 轴， ∴n △nnn =12n ，∵△COE 的面积与△DOB 的面积相等，∴12√4n +1−12=12n ，∴k ＝2，或k ＝0（舍去）．经检验，k ＝2是原方程的解．故答案为：2．一十一．反比例函数的应用（共3小题）30．【解答】解：由表格中数据可得：xy ＝100，故y 关于x 的函数表达式为：y =100n ． 故选：A ．31．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y =n n （k ≠0，x ＞0）， 把（3，400）代入y =n n 得，400=n 3， 解得：k ＝1200， ∴y 与x 之间的函数关系式为y =1200n （x ＞0）； （2）把x ＝6，8，10分别代入y =1200n 得，y 1=12006=200，y 2=12008=150，y 3=120010=120， ∵y 1﹣y 2＝200﹣150＝50，y 2﹣y 3＝150﹣120＝30，∵50＞30，∴y 1﹣y 2＞y 2﹣y 3，故答案为：＞．32．【解答】解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v 关于t 的函数表达式为：v =480n ，（t ≥4）． （2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时 将t ＝6代入v =480n 得v ＝80；将t =245代入v =480n 得v ＝100． ∴小汽车行驶速度v 的范围为：80≤v ≤100．①方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t =72代入v =480n 得v =9607＞120千米/小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B 地．。
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类一．有理数（共1小题）1．（2023•江西）下列各数中，正整数是（ ）A．3B．2.1C．0D．﹣2二．相反数（共1小题）2．（2022•淮安）﹣2的相反数是（ ）A．2B．﹣2C．D．三．实数（共1小题）3．（2022•江西）下列各数中，负数是（ ）A．﹣1B．0C．2D．四．实数与数轴（共1小题）4．（2022•江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b五．规律型：图形的变化类（共1小题）5．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）A．9B．10C．11D．12六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）6．（2023•江西）计算（2m2）3的结果为（ ）A．8m6B．6m6C．2m6D．2m5七．整式的混合运算（共1小题）7．（2022•江西）下列计算正确的是（ ）A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+nC．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2八．分式的加减法（共1小题）8．（2021•江西）计算的结果为（ ）A．1B．﹣1C．D．九．二次根式有意义的条件（共1小题）9．（2023•江西）若有意义，则a的值可以是（ ）A．﹣1B．0C．2D．6一十．函数的图象（共1小题）10．（2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20gD．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等一十一．二次函数的图象（共1小题）11．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）A．B．C．D．一十二．垂线（共1小题）12．（2023•江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD 的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°一十三．确定圆的条件（共1小题）13．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个一十四．利用轴对称设计图案（共1小题）14．（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5一十五．中心对称图形（共1小题）15．（2023•江西）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．一十六．简单组合体的三视图（共2小题）16．（2022•江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）A．B．C．D．17．（2021•江西）如图，几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．一十七．扇形统计图（共1小题）18．（2021•江西）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（ ）A．一线城市购买新能源汽车的用户最多B．二线城市购买新能源汽车用户达37%C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少江西省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类参考答案与试题解析一．有理数（共1小题）1．（2023•江西）下列各数中，正整数是（ ）A．3B．2.1C．0D．﹣2【答案】A【解答】解：A．3是正整数，则A符合题意；B．2.1是有限小数，即为分数，则B不符合题意；C．0既不是正数，也不是负数，则C不符合题意；D．﹣2是负整数，则D不符合题意；故选：A．二．相反数（共1小题）2．（2022•淮安）﹣2的相反数是（ ）A．2B．﹣2C．D．【答案】A【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，故选：A．三．实数（共1小题）3．（2022•江西）下列各数中，负数是（ ）A．﹣1B．0C．2D．【答案】A【解答】解：﹣1是负数，2，是正数，0既不是正数也不是负数，四．实数与数轴（共1小题）4．（2022•江西）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）A．a＞b B．a＝b C．a＜b D．a＝﹣b【答案】C【解答】解：根据数轴得：a＜b，|a|＞|b|，故C选项符合题意，A，B，D选项不符合题意；故选：C．五．规律型：图形的变化类（共1小题）5．（2022•江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解答】解：第1个图中H的个数为4，第2个图中H的个数为4+2，第3个图中H的个数为4+2×2，第4个图中H的个数为4+2×3＝10，故选：B．六．幂的乘方与积的乘方（共1小题）6．（2023•江西）计算（2m2）3的结果为（ ）A．8m6B．6m6C．2m6D．2m5【解答】解：（2m2）3＝8m6．故选：A．七．整式的混合运算（共1小题）7．（2022•江西）下列计算正确的是（ ）A．m2•m3＝m6B．﹣（m﹣n）＝﹣m+n C．m（m+n）＝m2+n D．（m+n）2＝m2+n2【答案】B【解答】解：A选项，原式＝m5，故该选项不符合题意；B选项，原式＝﹣m+n，故该选项符合题意；C选项，原式＝m2+mn，故该选项不符合题意；D选项，原式＝m2+2mn+n2，故该选项不符合题意；故选：B．八．分式的加减法（共1小题）8．（2021•江西）计算的结果为（ ）A．1B．﹣1C．D．【答案】A【解答】解：原式＝＝＝1，故选：A．九．二次根式有意义的条件（共1小题）9．（2023•江西）若有意义，则a的值可以是（ ）A．﹣1B．0C．2D．6【答案】D【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．一十．函数的图象（共1小题）10．（2022•江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20gD．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等【答案】D【解答】解：由图象可知，A、B、C都正确，当温度为t1℃时，甲、乙的溶解度都为30g，故D错误，故选：D．一十一．二次函数的图象（共1小题）11．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．一十二．垂线（共1小题）12．（2023•江西）如图，平面镜MN放置在水平地面CD上，墙面PD⊥CD于点D，一束光线AO照射到镜面MN上，反射光线为OB，点B在PD上，若∠AOC＝35°，则∠OBD 的度数为（ ）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C【解答】解：∵∠AOC＝35°，∴∠BOD＝∠AOC＝35°，∵PD⊥CD，∴∠ODB＝90°，∴∠OBD＝180°﹣90°﹣35°＝55°．故选：C．一十三．确定圆的条件（共1小题）13．（2023•江西）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，故选：D．一十四．利用轴对称设计图案（共1小题）14．（2021•江西）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线），小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左、下、右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．故选：B．一十五．中心对称图形（共1小题）15．（2023•江西）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：选项A、C、D中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A、C、D不符合题意；选项B中的图形是中心对称图形，故D符合题意．故选：B．一十六．简单组合体的三视图（共2小题）16．（2022•江西）如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图，它的俯视图为：故选：A．17．（2021•江西）如图，几何体的主视图是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：从正面看该组合体，长方体的主视图为长方形，圆柱体的主视图是长方形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C．一十七．扇形统计图（共1小题）18．（2021•江西）如图是2020年中国新能源汽车购买用户地区分布图，由图可知下列说法错误的是（ ）A．一线城市购买新能源汽车的用户最多B．二线城市购买新能源汽车用户达37%C．三四线城市购买新能源汽车用户达到11万D．四线城市以下购买新能源汽车用户最少【答案】C【解答】解：A、一线城市购买新能源汽车的用户最多，故本选项正确，不符合题意；B、二线城市购买新能源汽车用户达37%，故本选项正确，不符合题意；C、由扇形统计图中的数据不能得出三四线城市购买新能源汽车用户达到11万，故本选项错误，符合题意；D、四线城市以下购买新能源汽车用户最少，故本选项正确，不符合题意；故选：C．。
中考数学应用题分类及参考答案(精编)
中考数学应用题分类及参考答案(精编)一、方程应用1.为加快新旧动能转换,促进企业创新发展．某企业一月份的营业额是1000万元,月平均增长率相同,第一季度的总营业额是3990万元．求月平均增长率.2.一带一路给沿线地区带来很大的经济效益,某企业的产品对沿线地区实行优惠,决定在原定价基础上每件降价40元,这样按原定价需花费5000元购买的产品,现在只花费了4000元,求每件产品的实际定价是多少元？3.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,甲志愿者计划完成此项工作的天数？二、一次函数应用4.低碳生活绿色出行的理念已深入人心,现在越来越多的人选择骑自行车上下班或外出旅游．周末,小红相约到郊外游玩,她从家出发0.5小时后到达甲地,玩一段时间后按原速前往乙地,刚到达乙地,接到妈妈电话,快速返回家中．小红从家出发到返回家中,行进路程y(km)随时间x(h)变化的函数图象大致如图所示．(1)小红从甲地到乙地骑车的速度为_________；(2)当1.5≤x≤2.5时,求出路程y(km)关于时间x(h)的函数解析式；并求乙地离小红家多少千米？三、二次函数应用5.如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计)．(1)若四块矩形花圃的面积相等,求证:AE＝3BE；(2)在(1)的条件下,设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围．四、解直角三角形应用6.灯塔是港口城市的标志性建筑之一,如图所示,在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD=45°,再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD=60°,BC=15.3m,求灯塔的高度AD(结果精确到1m,参考数据:√ 2≈1.41,√ 3≈1.73)7.如图,在一次数学实践活动中,小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度,他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处,然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处,在点D处测得塔顶A的仰角为30°,已知斜坡的斜面坡度i＝1:√ 3,且点A,B,C,D,E 在同一平面内,求小明同学测得古塔AB的高度.8.如图,甲乙两楼相距30米,乙楼高度为36米,自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B处仰角为30°,求甲楼的高度.五、方程与不等式应用9.某市为创建文明城市,开展美化绿化城市活动,计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后,实际每年绿化面积是原计划的1.6倍,这样可提前4年完成任务．(1)问实际每年绿化面积多少万平方米？(2)为加大创城力度,市政府决定从2016年起加快绿化速度,要求不超过2年完成,那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？六、方程与函数应用10.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价35元,原计划以每桶55元的价格销售,为更好地助力疫情防控,现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y(桶)与每桶降价x(元)(0＜x＜20)之间满足一次函数关系,其图象如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式；(2)在这次助力疫情防控活动中,该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？七、一次函数与二次函数应用11.某汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数y(辆)有如下关系:(1)观察表格,辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的关系式．(2)已知租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x(x≥3000)的代数式填表:请求出公司的最大月收益是多少元．八、解直角三角形与方程应用12.如图是某滑雪场的横截面示意图,雪道分为AB,BC两部分,小明同学在C点测得雪道BC 的坡度i＝1:2.4,在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m,雪道BC长为260m．(1)求该滑雪场的高度h；(2)据了解,该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求,其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3,且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．九、解直角三角形与圆应用13.如图1,Rt△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠C＝90°,其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义:sinA=ac ,sinB=bc,可得asinA=bsinB=csinC=2R,即asinA=bsinB=csinC=2R(规定sin90°=1)．(1)探究活动:如图2,在锐角△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,其外接圆半径为R,那么:asinA ( )bsinB( )csinC(用＞、＝或＜连接),并说明理由．事实上,以上结论适用于任意三角形．(2)初步应用:在△ABC中,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,∠A＝60°,∠B＝45°,a＝8,求b．(3)综合应用:如图3,在某次数学活动中,小玲同学测量一古塔CD的高度,在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°,又沿古塔的方向前行了100m到达B处,此时A,B,D三点在一条直线上,在B处测得塔顶C的仰角为45°,求古塔CD的高度.(结果保留小数点后一位,参考数据:√3≈1.732,sin15°=√6−√24)十、方程、不等式与函数应用14.要制作200个A,B两种规格的顶部无盖木盒,A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒,B种规格是长、宽、高各为20cm,20cm,10cm的长方体无盖木盒,如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材,对该种木板材有甲，乙两种切割方式,如图2．切割,拼接等板材损耗忽略不计．(1)设制作A种木盒x个,则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y 张,则使用乙种方式切割的木板材__________张；(2)该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒,请分别求出A,B木盒的个数和使用甲,乙两种方式切割的木板材张数；(3)包括材质等成本在内,用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研,A种木盒的销售单价定为a元,B种木盒的销售单价定为(20-12a)元,两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元．在(2)的条件下,两种木盒的销售单价分别定为多少元时,这批木盒的销售利润最大,并求出最大利润．参考答案1.解:设月平均增长的百分率是x,则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元,三月份的营业额为100(1+x)2万元,依题意,得1000+1000(1+x)+1000(1+x)2＝3990． 2.解:设每件产品的实际定价是x 元,则原定价为(x+40)元.5000x+40=4000x,解得x ＝160 ，经检验x ＝160是原方程的解．3.解:设甲志愿者计划完成此项工作需x 天,故甲的工效都为:1x ,由于甲、乙两人工效相同,则乙的工效为1x ,甲前两个工作日完成了1x ×2,剩余的工作量甲完成了1x (x −2−3),乙在甲工作两个工作日后完成了1x (x −2−3),则2x +2(x−2−3)x=1,解得x=8,经检验,x=8是原方程的解．4.解析:(1)在OA 段,速度=100.5 =20km/h(2)当1.5≤x ≤2.5时,设y=20x+b,把(1.5,10)代入得到,10=20×1.5+b,解得b=﹣20,y=20x ﹣20,当x=2.5时,解得y=30,乙地离小红家30千米.5(1)证明:∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等 ∴ME ＝BE,AM ＝GH∵四块矩形花圃的面积相等,即S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ∴AM ＝2ME ∴AE ＝3BE (2)∵篱笆总长为100m∴2AB+GH+3BC ＝100即2AB+12AB+3BC=100 ∴AB=40-65 BC 设BC 的长度为xm,矩形区域ABCD 的面积为ym 2则y=BC ·AB=x(40- 65x)=−65x 2+40x ∵x>0,40- 65x>0 ∴0<x<1003∴ y=−65x 2+40x(0<x<1003)6.36m7.(20+10√ 3)m 8.(36﹣10√ 3)m9(1)设原计划每年绿化面积为x 万平方米,则实际每年绿化面积为1.6x 万平方米,根据题意,得360x−3601.6x =4解得x=33.75,经检验x=33.75是原分式方程的解,1.6x=1.6×33.75=54(2)设平均每年绿化面积增加a 万平方米,根据题意得54×2+2(54+a)≥360,解得a ≥72，则至少每年平均增加72万平方米． 10(1)y ＝10x+100(2)由题意得(10x+100)×(55﹣x ﹣35)＝1760,整理得x 2﹣10x ﹣24＝0,x 1＝12,x 2＝﹣2(舍去),55﹣x ＝43,这种消毒液每桶实际售价43元．11(1)设解析式y=kx+b,由题意得{3000k +b =1003200k +b =96,解得{k =−150b =160 ∴y 与x 间的函数关系是y =−150x +160(2)填表如下:(3)W =(−50x +160)(x −150)−(x −3000) =(−150x 2+163x −24000)−(x −3000) =−150x 2+162x −21000=−150(x −4050)2+307050当x=4050时,W 最大=307050，所以,当每辆车的月租金为4050元时,公司获得最大月收益307050元．12(1)过B 作BF ∥AD,过D 过AF ⊥AD,两直线交于F,过B 作BE 垂直地面交地面于E,如图:根据题知∠ABF ＝∠DAB ＝30°,AF ＝12AB ＝135m,BE:CE ＝1:2.4 设BE 长t 米,则CE 长2.4t 米. ∵BE 2+CE 2＝BC2∴t 2+(2.4t)2＝2602,解得t ＝100m(负值舍去),h ＝AF+BE ＝235m(2)设甲种设备每小时的造雪量是xm 3,则乙种设备每小时的造雪量是(x+35)m 3,根据题意得150x=500x+35,解得x ＝15,经检验,x ＝15是原方程的解,也符合题意,x+35＝50.答:甲种设备每小时的造雪量是15m 3,则乙种设备每小时的造雪量是50m 3． 13(1)探究活动:a sinA = b sinB = csinC理由:如图2,过点C 作直径CD 交⊙O 于点D,连接BD. ∴∠A=∠D,∠DBC=90°∴sinA=sinD,sinD=a 2R ∴asinA = aa 2R=2R同理可证:b sinB =2R,c sinC =2R ∴a sinA = b sinB = csinC =2R (2)初步应用:∵asinA = bsinB =2R ∴8sin60° = bsin45° ∴b=8sin45°sin60°=8√63(3)综合应用:由题意得:∠D ＝90°,∠A ＝15°,∠DBC ＝45°,AB ＝100 ∴∠ACB ＝30°设古塔高DC=x,则BC=√2x ，AB sin∠ACB =BCsinA ，100sin30°=√2xsin15°,x=50(√3-1=36.6，古塔CD=36.6m.14(1)要制作200个A,B 两种规格的顶部无盖木盒,制作A 种木盒x 个,故制作B 种木盒(200-x)个；有200张规格为40cm ×40cm 的木板材,使用甲种方式切割的木板材y 张, 故使用乙种方式切割的木板材(200-y)张．(2)使用甲种方式切割的木板材y 张,则可切割出4y 个长、宽均为20cm 的木板,使用乙种方式切割的木板材(200-y)张,则可切割出8(200-y)个长为10cm,宽为20cm 的木板； 设制作A 种木盒x 个,则需要长、宽均为20cm 的木板5x 个,制作B 种木盒(200-x)个,则需要长、宽均为20cm 的木板(200-x)个,需要长为10cm 、宽为20cm 的木板4(200-x)个； 故{4y =5x +(200−x)8(200−y)=4(200−x),解得{x =100y =150 故制作A 种木盒100个,制作B 种木盒100个,使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张.(3)用甲种切割方式的木板材每张成本5元,用乙种切割方式的木板材每张成本8元,且使用甲种方式切割的木板150张,使用乙种方式切割的木板材50张,总成本为150×5+8×50=1150(元)两种木盒的销售单价均不能低于7元,不超过18元,所以{7≤a ≤187≤20−12a ≤18，解得{7≤a ≤184≤a ≤26，a 的取值范围为7≤a ≤18. 设利润为W,则W=100a+100(20-12a)-1150整理得W=850+50a,当a=18时,W 有最大值,最大值为850+50×18=1750，此时B 种木盒的销售单价定为20-12×18=11(元)即A 种木盒的销售单价定为18元,B 种木盒的销售单价定为11元时,这批木盒的销售利润最大,最大利润为1750元．。
2022年中考数学真题分类汇编：一次函数
2022年中考数学真题分类汇编：一次函数一、单选题(共15题；共45分)1．（3分）（2022·北部湾）已知反比例函数y=b x(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【解答】解：∵反比例函数y=bx(b≠0)的图象在第一和第三象限内，∴b>0，若a<0，则- b2a>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A，B，C，D选项全不符合；当a>0，则- b2a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，又∵a>0，则-a<0，当c<0，a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，故只有D选项符合题意.故答案为：D.【分析】根据反比例函数图象所在的象限可得b>0，若a>0，则-b 2a <0时，二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，据此排除A 、B ；若a>0，c<0，一次函数图象经过二、三、四象限，据此判断C 、D.2．（3分）（2022·鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y ＝kx+b （k 、b 为常数，且k ＜0）的图象与直线y ＝13x 都经过点A （3，1），当kx+b ＜13x 时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＞3B ．x ＜3C ．x ＜1D ．x ＞1【答案】A【解析】【解答】解：由函数图象可知不等式kx+b ＜13x 的解集即为一次函数图象在正比例函数图象下方的自变量的取值范围，∴当kx+b ＜13x 时，x 的取值范围是x >3.故答案为：A.【分析】根据图象，找出一次函数y=kx+b 的图象在直线 y ＝13x 的图象下方部分所对应的x 的范围即可.3．（3分）（2022·绥化）小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）A ．2.7分钟B ．2.8分钟C ．3分钟D ．3.2分钟【答案】C【解析】【解答】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D （12，a ），E （4，0），F （12，0）设AE 的解析式为y=kx+b ，则{0=4k +b a =8k +b ，解得{k =a 4b =−a ∴直线AE 的解析式为y=a4x-3a同理：直线AF 的解析式为：y=-a 4x+3a ，直线OD 的解析式为：y=a12x 联立{y =a 12x y =a 4x −a ，解得{x =6y =a 2联立{y =a12xy =−a 4x +3a，解得{x =9y =3a 4 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．故答案为C ．【分析】先求出直线AE 和直线OD 的解析式，再联立方程组{y =a12x y =a 4x −a 求出{x =6y =a 2和{y =a12xy =−a 4x +3a 求出{x =9y =3a 4，最后作差即可得到答案。
中考数学试卷题目分类汇总
一、选择题1. 数与代数- 实数的运算- 代数式的化简- 分式的运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组- 函数的性质与应用2. 几何与图形- 直线、射线、线段的概念及性质- 角的概念及性质- 平行线、相交线、垂直线的判定- 四边形、多边形的概念及性质- 圆的概念及性质- 三角形的概念及性质，如三角形全等、相似3. 统计与概率- 数据的收集、整理、描述- 平均数、中位数、众数的计算- 概率的基本概念及计算- 事件的相互关系及概率的运算二、填空题1. 数与代数- 实数的性质及运算- 代数式的化简及求值 - 分式的化简及运算- 根据方程求未知数- 解不等式及不等式组2. 几何与图形- 几何图形的性质及判定 - 几何图形的变换- 几何问题的解决方法 - 圆的相关计算3. 统计与概率- 数据的描述及分析- 概率的计算与应用三、解答题1. 数与代数- 复杂方程的求解- 函数问题及实际应用 - 代数问题的综合应用 - 函数与几何的结合问题2. 几何与图形- 几何图形的证明- 几何问题的解决方法 - 几何图形的应用- 几何问题的综合应用3. 统计与概率- 统计数据的分析及处理- 概率的计算与应用- 统计与概率的实际问题四、实验题1. 数与代数- 使用计算器进行计算- 利用计算机软件进行数据处理2. 几何与图形- 利用计算机软件绘制几何图形- 利用计算机软件进行几何问题的探究3. 统计与概率- 利用计算机软件进行数据分析- 利用计算机软件进行概率问题的探究五、应用题1. 数与代数- 生活、生产、科技等领域的实际问题 - 经济、金融、物理等领域的实际问题2. 几何与图形- 建筑设计、城市规划等领域的实际问题 - 物理实验、天文观测等领域的实际问题3. 统计与概率- 社会调查、市场分析等领域的实际问题- 医学研究、生物统计等领域的实际问题总结：中考数学试卷题目分类汇总涵盖了数与代数、几何与图形、统计与概率三个主要模块，旨在考查学生对数学知识的掌握程度、应用能力及创新思维。
中考数学试题分类汇编
中考数学试题分类汇编
中考数学试题可以分为以下几个分类：
1. 四则运算：包括整数的加减乘除、分数的加减乘除、小数的加减乘除等。
2. 代数与方程：包括代数式的化简、方程的解法、一次方程和二次方程的求解等。
3. 几何图形：包括平面图形的性质、计算面积和周长、相似三角形、圆的性质等。
4. 概率与统计：包括概率的计算、统计图表的解读、抽样调查等。
5. 函数与图像：包括函数的定义、函数图像的绘制、函数的性质等。
6. 空间与立体几何：包括体积的计算、棱柱、棱锥、球等立体图形的性质。
7. 数据分析与运算：包括平均数、中位数、范围、百分比、比例等。
这些是常见的中考数学试题分类，不同地区和学校可能会有略微的差异。
在备考过程中，建议系统地学习和复习各个分类的试题，以全面提高自己的数学水平。
福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类(含答案)
福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•福建）计算：﹣20+|﹣1|．2．（2021•福建）计算：．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2023•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．4．（2022•福建）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．三．零指数幂（共1小题）5．（2022•福建）计算：+|﹣1|﹣20220．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．五．解一元一次不等式组（共2小题）7．（2023•福建）解不等式组：．8．（2021•福建）解不等式组：．六．一次函数的应用（共1小题）9．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？七．全等三角形的判定与性质（共3小题）10．（2022•福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．11．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．12．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．八．切线的性质（共1小题）13．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．九．弧长的计算（共1小题）14．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．一十．作图—复杂作图（共1小题）15．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．一十一．解直角三角形（共1小题）16．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A 相切于点G，求tan∠ADB的值．一十二．列表法与树状图法（共1小题）17．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A 马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．福建省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•福建）计算：﹣20+|﹣1|．【答案】3．【解答】解：原式＝3﹣1+1＝2+1＝3．2．（2021•福建）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝2+3﹣﹣3＝．二．分式的化简求值（共2小题）3．（2023•福建）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．【答案】．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣，当时，原式＝＝．4．（2022•福建）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．三．零指数幂（共1小题）5．（2022•福建）计算：+|﹣1|﹣20220．【答案】．【解答】解：原式＝2+﹣1﹣1＝．四．二元一次方程组的应用（共1小题）6．（2022•福建）在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，八年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护．同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿萝和吊兰两种绿植共46盆，且绿萝盆数不少于吊兰盆数的2倍．已知绿萝每盆9元，吊兰每盆6元．（1）采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿萝和吊兰，问可购买绿萝和吊兰各多少盆？（2）规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设购买绿萝x盆，吊兰y盆，依题意得：，解得：．∵8×2＝16，16＜38，∴符合题意．答：购买绿萝38盆，吊兰8盆．（2）设购买绿萝m盆，则购买吊兰（46﹣m）盆，依题意得：m≥2（46﹣m），解得：m≥．设购买两种绿植的总费用为w元，则w＝9m+6（46﹣m）＝3m+276，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，又∵m≥，且m为整数，∴当m＝31时，w取得最小值，最小值＝3×31+276＝369．答：购买两种绿植总费用的最小值为369元．五．解一元一次不等式组（共2小题）7．（2023•福建）解不等式组：．【答案】﹣3≤x＜1．【解答】解：解不等式①，得x＜1．解不等式②，得x≥﹣3．所以原不等式组的解集为﹣3≤x＜1．8．（2021•福建）解不等式组：．【答案】1≤x＜3．【解答】解：解不等式①，得：x≥1，解不等式②，得：x＜3，则不等式组的解集为1≤x＜3．六．一次函数的应用（共1小题）9．（2021•福建）某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？【答案】（1）该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．【解答】解：（1）设该公司当月零售这种农产品x箱，则批发这种农产品（100﹣x）箱，依题意得70x+40（100﹣x）＝4600，解得：x＝20，100﹣20＝80（箱），答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发这种农产品80箱；（2）设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品（1000﹣m）箱，依题意得0＜m≤1000×30%，解得0＜m≤300，设该公司获得利润为y元，依题意得y＝70m+40（1000﹣m），即y＝30m+40000，∵30＞0，y随着m的增大而增大，∴当m＝300时，y取最大值，此时y＝30×300+40000＝49000（元），∴批发这种农产品的数量为1000﹣m＝700（箱），答：该公司零售、批发这种农产品的箱数分别是300箱，700箱时，获得最大利润为49000元．七．全等三角形的判定与性质（共3小题）10．（2022•福建）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF＝EC，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：∠A＝∠D．【答案】证明见解答过程．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．11．（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．12．（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．【答案】见解析．【解答】证明：∵∠AOD＝∠COB，∴∠AOD﹣∠BOD＝∠COB﹣∠BOD，即∠AOB＝∠COD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB＝CD．八．切线的性质（共1小题）13．（2023•福建）如图，已知△ABC内接于⊙O，CO的延长线交AB于点D，交⊙O于点E，交⊙O的切线AF于点F，且AF∥BC．（1）求证：AO∥BE；（2）求证：AO平分∠BAC．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥OA，即∠OAF＝90°，∵CE是⊙O的直径，∴∠CBE＝90°，∴∠OAF＝∠CBE，∵AF∥BC，∴∠BAF＝∠ABC，∴∠OAF﹣∠BAF＝∠CBE﹣∠ABC，即∠OAB＝∠ABE，∴AO∥BE；（2）∵∠ABE与∠ACE都是所对的圆周角，∴∠ABE＝∠ACE，∵OA＝OC，∴∠ACE＝∠OAC，∴∠ABE＝∠OAC，由（1）知，∠OAB＝∠ABE，∴∠OAB＝∠OAC，∴AO平分∠BAC．九．弧长的计算（共1小题）14．（2022•福建）如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．（1）求证：AC＝AF；（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．【答案】（1）证明过程见解析；（2）．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴∠B＝∠D，∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．（2）连接AO，CO，如图，由（1）得∠AFC＝∠ACF，∵∠AFC＝＝75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的长l＝＝．一十．作图—复杂作图（共1小题）15．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．【答案】见解答．【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴＝，∵DC∥AB，∴＝，∵P，Q分别为边AB，CD的中点，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴＝＝＝，∴＝，∴点G与点G′重合，∴直线AD，BC，PQ相交于同一点．一十一．解直角三角形（共1小题）16．（2022•福建）如图，BD是矩形ABCD的对角线．（1）求作⊙A，使得⊙A与BD相切（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，设BD与⊙A相切于点E，CF⊥BD，垂足为F．若直线CF与⊙A 相切于点G，求tan∠ADB的值．【答案】（1）作图见解答过程；（2）．【解答】解：（1）根据题意作图如下：（2）设∠ADB＝α，⊙A的半径为r，∵BD与⊙A相切于点E，CF与⊙A相切于点G，∴AE⊥BD，AG⊥CG，即∠AEF＝∠AGF＝90°，∵CF⊥BD，∴∠EFG＝90°，∴四边形AEFG是矩形，又AE＝AG＝r，∴四边形AEFG是正方形，∴EF＝AE＝r，在Rt△AEB和Rt△DAB中，∠BAE+∠ABD＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB＝α，在Rt△ABE中，tan∠BAE＝，∴BE＝r•tanα，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，又∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝r•tanα，∴DE＝DF+EF＝r•tanα+r，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，即DE•tanα＝AE，∴（r•tanα+r）•tanα＝r，即tan2α+tanα﹣1＝0，∵tanα＞0，∴tanα＝，即tan∠ADB的值为．一十二．列表法与树状图法（共1小题）17．（2021•福建）“田忌赛马”的故事闪烁着我国古代先贤的智慧光芒．该故事的大意是：齐王有上、中、下三匹马A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹马A2，B2，C2，且这六匹马在比赛中的胜负可用不等式表示如下：A1＞A2＞B1＞B2＞C1＞C2（注：A＞B表示A 马与B马比赛，A马获胜）．一天，齐王找田忌赛马，约定：每匹马都出场比赛一局，共赛三局，胜两局者获得整场比赛的胜利．面对劣势，田忌事先了解到齐王三局比赛的“出马”顺序为上马、中马、下马，并采用孙膑的策略：分别用下马、上马、中马与齐王的上马、中马、下马比赛，即借助对阵（C2A1，A2B1，B2C1）获得了整场比赛的胜利，创造了以弱胜强的经典案例．假设齐王事先不打探田忌的“出马”情况，试回答以下问题：（1）如果田忌事先只打探到齐王首局将出“上马”，他首局应出哪种马才可能获得整场比赛的胜利？并求其获胜的概率；（2）如果田忌事先无法打探到齐王各局的“出马”情况，他是否必败无疑？若是，请说明理由；若不是，请列出田忌获得整场比赛胜利的所有对阵情况，并求其获胜的概率．【答案】（1）田忌首局出“下马”才可能获得胜利，概率P＝．（2）见上述解题过程．P＝．【解答】解：（1）田忌首局应出“下马”才可能获胜，此时，比赛所有可能的对阵为：（A1C2，B1A2，C1B2），（A1C2，C1B2，B1A2），（A1C2，B1B2，C1A2），（A1C2，C1A2，B1B2），共四种，其中获胜的有两场，故此田忌获胜的概率为P＝．（2）不是．当齐王的出马顺序为A1，B1，C1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，B1A2，C1B2），当齐王的出马顺序为A1，C1，B1时，田忌获胜的对阵是：（A1C2，C1B2，B1A2），当齐王的出马顺序为B1，A1，C1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，A1C2，C1B2），当齐王的出马顺序为B1，C1，A1时，田忌获胜的对阵是：（B1A2，C1B2，A1C2），当齐王的出马顺序为C1，A1，B1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，A1C2，B1A2），当齐王的出马顺序为C1，B1，A1时，田忌获胜的对阵是：（C1B2，B1A2，A1C2），综上所述，田忌获胜的对阵有6种，不论齐王的出马顺序如何，也都有相应的6种可能对阵，所以田忌获胜的概率为P＝．。
湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类②
湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②一．二次函数综合题（共6小题）1．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．（1）请求出抛物线Q1的表达式．（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2023•衡阳）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B ′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．3．（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A （﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．4．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．5．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．6．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．二．四边形综合题（共1小题）7．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．三．圆的综合题（共1小题）8．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC ＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．四．几何变换综合题（共1小题）9．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 ，MN与AC的位置关系是 ．特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类②参考答案与试题解析一．二次函数综合题（共6小题）1．（2023•岳阳）已知抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B两点，交y轴于点C（0，3）．（1）请求出抛物线Q1的表达式．（2）如图1，在y轴上有一点D（0，﹣1），点E在抛物线Q1上，点F为坐标平面内一点，是否存在点E，F使得四边形DAEF为正方形？若存在，请求出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，抛物线Q1上是否存在点P，使得∠CPK＝∠CHK？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在，E（﹣2，3），F（1，2）．（3）点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）．【解答】解：（1）∵抛物线Q1：y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴抛物线Q1的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在点E，F使得四边形DAEF为正方形．理由：如图1，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠AGE＝90°＝∠AOD，∵A（﹣3，0），D（0，﹣1），∴OA＝3，OD＝1，∵四边形DAEF是正方形，∴AE＝AD＝DF，∠DAE＝∠ADF＝90°，∵∠EAG+∠DAO＝90°，∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠EAG＝∠ADO，∴△EAG≌△ADO（AAS），∴AG＝OD＝1，EG＝OA＝3，∴E（﹣2，3），当x＝﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴点E在抛物线上，过点F作FL⊥y轴于点L，同理，△DFL≌△ADO（AAS），∴FL＝OD＝1，DL＝OA＝3，∴OL＝DL﹣OD＝3﹣1＝2，F（1，2）．（3）抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线Q1的顶点坐标为（﹣1，4），∵将抛物线Q1向右平移2个单位，得到抛物线Q2，∴抛物线Q2的解析式为y＝﹣（x+1﹣2）2+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵抛物线Q2的顶点为K，与x轴正半轴交于点H，∴K（1，4），H（3，0），过点K作KT⊥y轴于点T，连接BC，如图2，过点C作PS⊥y轴交BK于点S，交抛物线Q1于点P，连接PK，则T（0，4），∴KT＝TC＝1，∠KTC＝90°，∴△CKT是等腰直角三角形，∴∠KCT＝45°，CK＝KT＝，∵OH＝OC＝3，∠COH＝90°，∴△COH是等腰直角三角形，∴∠HCO＝45°，CH＝OC＝3，∴∠KCH＝180°﹣∠KCT﹣∠HCO＝90°，∴tan∠CHK＝＝＝，∵∠CPK＝∠CHK，∴tan∠CPK＝tan∠CHK＝，∵tan∠BCO＝＝，∴∠BCO＝∠CHK，∵BK∥OC，∴∠CBK＝∠BCO，∴∠CBK＝∠CHK，即点P与点B重合时，∠CPK＝∠CHK，∴P1（1，0）；∵SK＝1，PS＝3，∴tan∠CPK＝＝，∴∠CPK＝∠CHK，∵点P与点C关于直线x＝﹣1对称，∴P（﹣2，3）；综上所述，抛物线Q1上存在点P，使得∠CPK＝∠CHK，点P的坐标为（1，0）或（﹣2，3）．2．（2023•衡阳）如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y 轴交于点C，连接AC，过B、C两点作直线．（1）求a的值．（2）将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点．在直线B ′C′上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）a＝﹣1．（2）存在，D（，）．（3）抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直线BP的解析式为y＝﹣x+1或y ＝﹣3x+9．．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴交于点A（﹣1，0），∴a+2a+3＝0，∴a＝﹣1．（2）存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线B′C′的距离最大．∵y＝﹣x2+2x+3，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵将直线BC向下平移m（m＞0）个单位长度，交抛物线于B′、C′两点，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣x+3﹣m，设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DE∥y轴，交B′C′于点E，作DF⊥B′C′于点F，设直线B′C′交y轴于点G，如图，∴E（t，﹣t+3﹣m），∴DE＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3﹣m）＝﹣t2+3t+m，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵B′C′∥BC，∴∠B′GO＝∠BCO＝45°，∵DE∥y轴，∴∠DEF＝∠B′GO＝45°，∵∠DFE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DF＝DE＝（﹣t2+3t+m）＝﹣（t﹣）2+（+m），∵﹣＜0，∴当t＝时，DF取得最大值（+m），此时点D的坐标为（，）．（3）存在．当∠PBC在BC的下方时，在y轴正半轴上取点M（0，1），连接BM交抛物线于点P，如图，∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），M（0，1），∴OB＝OC＝3，OM＝OA＝1，∠BOM＝∠COA＝90°，∴△BOM≌△COA（SAS），∴∠MBO＝∠ACO，∵∠CBO＝45°，∴∠CBP+∠MBO＝45°，∴∠CBP+∠ACO＝45°，设直线BM的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，∴直线BM的解析式为y＝﹣x+1，联立，得，解得：（舍去），，∴P（﹣，）；当∠PBC在BC的上方时，作点M关于直线BC的对称点M′，如图，连接MM′，CM ′，直线BM′交抛物线于P，由对称得：MM′⊥BC，CM′＝CM＝2，∠BCM′＝∠BCM＝45°，∴∠MCM′＝90°，∴M′（2，3），则直线BM′的解析式为y＝﹣3x+9，联立，得：，解得：（舍去），，综上所述，抛物线上存在点P，使∠PBC+∠ACO＝45°，直线BP的解析式为y＝﹣x+1或y＝﹣3x+9．3．（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A （﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）S△PAC的最大值为8，点P（﹣2，﹣8）；（3）证明见解答．【解答】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣8，∵y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣9）；（2）解：∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8，设P（t，t2+2t﹣8），过点P作PF∥y轴，交AC于点F，如图，则F（t，﹣2t﹣8），∴PF＝﹣2t﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝﹣t2﹣4t，∴S△PAC＝S△PAF+S△PCF＝PF•（t+4）+PF•（﹣t）＝2PF＝2（﹣t2﹣4t）＝﹣2（t+2）2+8，∵﹣2＜0，∴当t＝﹣2时，S△PAC的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣8）；（3）证明：∵直线l1：y＝kx+k﹣交抛物线于点M、N，∴x2+2x﹣8＝kx+k﹣，整理得：x2+（2﹣k）x+﹣k＝0，∴x M+x N＝k﹣2，x M x N＝﹣k，∵y M＝kx M+k﹣，y N＝kx N+k﹣，∴y M﹣y N＝k（x M﹣x N），∴MN2＝（x M﹣x N）2+（y M﹣y N）2＝（1+k2）（x M﹣x N）2＝（1+k2）[（x M+x N）2﹣4x M x N]＝（1+k2）[（k﹣2）2﹣4（﹣k）]＝（1+k2）2，∵设MN的中点为O′，∴O′（，k2﹣），过点O′作O′E⊥直线l2：y＝﹣，垂足为E，如图，∴E（，﹣），∴O′E＝k2﹣﹣（﹣）＝（1+k2），∴O′E＝MN，∴以MN为直径的⊙O′一定经过点E，∴∠MEN＝90°，∴在直线l2：y＝﹣上总存在一点E，使得∠MEN为直角．4．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B （b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．【答案】（1）y＝﹣x2﹣5x﹣4，b＝﹣1；（2）不存在，理由见解析；（3）1．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4），∴，解得：，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，当y＝0时，得：﹣x2﹣5x﹣4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝﹣1，∴B（﹣1，0），∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣5x﹣4，b＝﹣1；（2）不存在．理由如下：如图，设M（m，﹣m2﹣5m﹣4），∵A（﹣4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），∴AB＝﹣1﹣（﹣4）＝3，OB＝1，OC＝4，∵点M在二次函数位于x轴上方的图象上，且，∴，整理得：m2+5m+8＝0，∵Δ＝52﹣4×8＝﹣7＜0，∴方程无实数根，∴不存在符合条件的点M；（3）如图，设CE′交x轴于点M，∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），∴OA＝OC＝4，∵点E与点A关于原点O对称，∴OE＝OA＝OC＝4，∵∠AOC＝∠EOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠OCE＝∠OEC，∴AC＝EC，∵CE为圆的直径，∴∠CE′E＝90°，∵平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，①当点E′与点O不重合时，∴A′E′＝AE，A′E′∥AE，∴四边形AEE′A′是平行四边形，∴A′A∥E′E，A′A＝E′E，∴∠ANE′＝∠CE′E＝90°，∠MAN＝∠MEE′，∴∠ANC＝90°，在Rt△ANM和Rt△COM中，∵∠MAN＝90°﹣∠AMN，∠MCO＝90°﹣∠CMO，∴∠MAN＝∠MCO，∵∠OAC＝∠OCE＝45°，∴∠CAN＝∠ECE′，又∵∠ANC＝∠CE′E＝90°，在△ANC和△CE′E中，，∴△ANC≌△CE′E（AAS），∴CN＝EE′，∴AA′＝CN，∴，②当点E′与点O重合时，此时点N与点O重合，∴AA′＝EE′＝OE＝4，CN＝CO＝4，∴，综上所述，的值为1．5．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）△NED面积的最大值是7；（3）R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+x+c得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）联立，解得或，∴D（2+，﹣3﹣），E（2﹣，﹣3+），∵点M为直线l上的一动点，横坐标为t，∴M（t，﹣t﹣1），∴N（t，﹣t2+t+4），∴MN＝﹣t2+t+4﹣（﹣t﹣1）＝﹣t2+2t+5，∴S△NED＝MN•|x D﹣x E|＝×（﹣t2+2t+5）×2＝﹣（t﹣2）2+7，∵﹣＜0，0＜t＜4，∴当t＝2时，S△NED取最大值7，∴△NED面积的最大值是7；（3）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），设M（t，﹣t﹣1），R（m，n），又B（4，0），①当BC，MR为对角线时，BC，MR的中点重合，且BM＝CM，∴，解得，∴R（，）；②当BM，CR为对角线时，BM，CR的中点重合，且BC＝CM，∴，解得或，∴R（，）或（，）；③当BR，CM为对角线时，BR，CM的中点重合，且BC＝BM，∴，解得或，∴R（，）或（，）；综上所述，R的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）．6．（2023•永州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），点P（x1，y1）为抛物线上的动点，PH⊥x轴于H，且．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，直线OP：交BF于点G，求的最大值；（3）如图2，四边形OBMF为正方形，PA交y轴于点E，BC交FM的延长线于C，且BC⊥BE，PH＝FC，求点P的横坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（2）的最大值为；（3）点P的横坐标为．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点F（0，5），顶点坐标为（2，9），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5；（2）过点G作GT⊥x轴于点T，如图所示，在y＝﹣x2+4x+5中，令y＝0得0＝﹣x2+4x+5，解得x＝5或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（5，0），∵F（0，5），∴BO＝FO＝5，设直线BF的解析式为：y＝kx+5，∴y＝5k+5，解得k＝﹣1，∴直线BF的解析式为y＝﹣x+5，由G在直线BF上，设G（m，﹣m+5），∵G在直线OP上，直线OP为，∴﹣m+5＝m，∴，∴，由P（x1，y1）在抛物线y＝﹣x2+4x+5上，知P（x1，﹣+4x1+5），∴，∵S△BPG＝S△BPO﹣S△BOG，∴＝＝﹣1＝﹣1＝﹣1，∵＝＝，∴＝﹣1＝﹣1＝﹣1＝﹣（x1﹣）2+，∵，，∴当时，取最大值，最大值为；（3）设MF交PH于T，如图：∵OBFM为正方形，F（0，5），∴FM＝BM＝OF＝BO＝5，∠MBO＝90°，FC∥OB，∵PH⊥x，∠MBO＝90°，FC∥OB，∴MTBH为矩形，∴TH＝MB＝FM＝5，∵PH＝FC，∴PT＝MC，∵BC⊥BE，∴∠MBC+∠MBE＝90°，∵∠MBO＝90°，∴∠OBE+∠MBE＝90°，∴∠OBE＝∠MBC，∴∠CMB＝∠EOB＝90°，∴△EOB∽△CMB，∴，∵OB＝MB，∴EO＝MC，∵PH＝FC，∴PT＝MC，∴EO＝MC＝PT，设EO＝MC＝PT＝a，∴PH＝PT+TH＝5+a，E（0，a），∵A（﹣1，0），设直线AP的解析式为y＝kx+b，则，∴，∴直线AP的解析式为y＝ax+a，∵PH＝a+5，P在直线AP上，∴a+5＝ax+a，∴，即P点横坐标为，∴x1＝，y1＝a+5，∴a＝，y1＝+5∴+5＝﹣+4x1+5，∴﹣4+5＝0，∴（x1+1）（﹣5x1+5）＝0，解得x1＝1或x1＝或x1＝，∵x1≥，∴x1＝，∴点P的横坐标为．方法2：设P（m，﹣m2+4m+5），∴OH＝m，PH＝﹣m2+4m+5，∵＝tan∠EAO＝，∴＝，∴EO＝5﹣m，∵BC⊥BE，∴∠CBM＝90°﹣∠MBE＝∠EBO，∵∠CMB＝90°＝∠EOB，BM＝OB，∴△CMB≌△EOB（ASA），∴CM＝EO＝5﹣m，∴CF＝CM+FM＝5﹣m+5＝10﹣m，∵PH＝CF，∴﹣m2+4m+5＝10﹣m，解得m＝或m＝，∵m≥，∴m＝，∴点P的横坐标为．二．四边形综合题（共1小题）7．（2023•湘潭）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转．特例感知：（1）当BG在BC上时，连接DF，AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF中点P，如图②．根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由；规律探究：（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF中点，连接AP，EP，AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）△APE是等腰直角三角形；（3）△APE仍然是等腰直角三角形．【解答】解：（1）如图1，延长FG，交AC于H，∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴BC＝CD，FG＝BG，CD∥AE，FG∥AE，∠CGH＝∠BGF＝90°，∴∠CHG＝45°，CD∥FG，∴∠ACB＝∠CHG，∠CDP＝∠HFP，∠DCP＝∠FHP，∴CG＝GH，∴CG+BG＝GH+FG，∴BC＝FH，∴CD＝FH，∴△CDP≌△HFP（ASA），∴点P是DF的中点；（2）如图2，△APE是等腰直角三角形，理由如下：延长EG，交AD的延长线于点M，设DF和EG交于点Q，∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAD＝90°，∠BEG＝45°，AD＝AB，BE＝EF，AD∥BC∥EF，∠BAC＝45°，∴∠M＝45°，∠M＝∠GEF，∠MDQ＝∠EFQ，∴∠M＝∠BEG，∴AM＝AE，∴AM﹣AD＝AE﹣AB，∴DM＝BE，∴DM＝EF，∴△DQM≌△FQE（ASA），∴DQ＝FQ，∴点Q和点P重合，即：EG与DF的交点恰好也是DF中点P，∵∠BAC＝45°，∠BEG＝45°，∴∠APE＝90°，AP＝EP，∴△APE是等腰直角三角形；（3）如图3，△APE仍然是等腰直角三角形，理由如下：延长EP至Q，是PQ＝PE，连接DQ，延长DA和FE，交于点N，∵DP＝PF，∠DPQ＝∠EPF，∴△PDQ≌△PFE（SAS），∴DQ＝EF，∠PQD＝∠PEF，∴∠N+∠ADQ＝180°，∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAN＝∠DAB＝90°，∠BEN＝∠BEF＝90°，AB＝AD，BE＝EF，∴∠N+∠ABE＝360°﹣∠BAN﹣∠BEN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，DQ＝BE，∴∠ABE＝∠ADQ，∴△ADQ≌△ABE（SAS），∴AE＝AQ，∠DAQ＝∠BAE，∴∠BAE+∠BAQ＝∠DAQ+∠BAQ＝∠BAD＝90°，∴∠QAE＝90°，∴AP⊥EQ，AP＝PE＝，∴△APE是等腰直角三角形．三．圆的综合题（共1小题）8．（2023•永州）如图，以AB为直径的⊙O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC ＝∠BDA，点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若，BD＝5，AC＞CD，求BC的长；（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．【答案】（1）证明见解答过程；（2）BC＝3；（3）证明见解答过程．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切线；（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，∴△ACB∽△DCA，∴，∴，解得BC＝2或BC＝3，当BC＝2时，CD＝BD﹣BC＝3，当BC＝3时，CD＝BD﹣BC＝2，∵AC＞CD，即＞CD，∴BC＝3；（3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴，∴AC•AD＝CD•AB，∵DE•AM＝AC•AD，∴DE．AM＝CD•AB，∴，∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，∴∠BAM＝∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．四．几何变换综合题（共1小题）9．（2023•岳阳）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，连接MN．初步尝试：（1）MN与AC的数量关系是 MN＝AC ，MN与AC的位置关系是 MN∥AC ．特例研讨：（2）如图2，若∠BAC＝90°，BC＝4，先将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，当点A，E，F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．①求∠BCF的度数；②求CD的长．深入探究：（3）若∠BAC＜90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°＜α＜360°，点C，E，F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；MN∥AC；（2）①∠BCF＝30°；②；（3）∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．【解答】解：（1）∵AB＝AC，点M，N分别为边AB，BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴，MN∥AC；故答案为：MN＝AC，MN∥AC；（2）特例研讨：①如图所示，连接EM，MN，NF，∵MN是△BAC的中位线，∴MN∥AC，∴∠BMN＝∠BAC＝90°，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α（α为锐角），得到△BEF，∴BE＝BM，BF＝BN；∠BEF＝∠BMN＝90°，∵点A，E，F在同一直线上，∴∠AEB＝∠BEF＝90°，在Rt△ABE中，M是斜边AB的中点，∴，∴BM＝ME＝BE，∴△BME是等边三角形，∴∠ABE＝60°，即旋转角α＝60°，∴∠NBF＝60°，BN＝BF，∴△BNF是等边三角形，又∵BN＝NC，BN＝NF，∴NF＝NC，∴∠NCF＝∠NFC，∴∠BNF＝∠NCF+∠NFC＝2∠NFC＝60°，∴∠FCB＝30°；（2）如图所示，连接AN，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴，∠ACB＝∠ABC＝45°，∵∠ADN＝∠BDE，∠ANB＝∠BED＝90°，∴△ADN∽△BDE，∴，设DE＝x，则，在Rt△ABE中，，则，在Rt△ADN中，AD2＝DN2+AN2，∴，解得：或（舍去），∴；（3）如图所示，当点C，E，F在同一直线上时，且点E在FC上时，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝180°﹣2θ，∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥AC，∴∠MNB＝∠MBN＝θ，∵将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，∴△EBF≌△MBN，∠MBE＝∠NBF＝α，∴∠EBF＝∠EFB＝θ，∴∠BEF＝180°﹣2θ，∵点C，E，F在同一直线上，∴∠BEC＝2θ，∴∠BEC+∠BAC＝180°，∴A，B，E，C在同一个圆上，∴∠EAC＝∠EBC＝α﹣θ，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝（180°﹣2θ）﹣（α﹣θ）＝180°﹣α﹣θ，∵∠ABF＝α+θ，∴∠BAE+∠ABF＝180°，如图所示，当F在EC上时，∵∠BEF＝∠BAC，BC＝BC，∴A，B，E，C在同一个圆上，设∠ABC＝∠ACB＝θ，则∠BAC＝∠BEF＝180°﹣2θ，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，设∠NBF＝β，则∠EBM＝β，则α+β＝360°，∴∠ABF＝θ﹣β，∵∠BFE＝∠EBF＝θ，∠EFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠ECB＝∠FCB＝∠EFB﹣∠FBC＝θ﹣β，∵，∴∠EAB＝∠ECB＝θ﹣β，∴∠BAE＝∠ABF，综上所述，∠BAE＝∠ABF或∠BAE+∠ABF＝180°．。
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类
山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 （200﹣x） 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 （200﹣y） 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒（200﹣x）个；∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm 的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；故，解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，∴，解得：7≤a≤18，设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，整理得：w＝850+50a，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP 翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）（6，6）；（3）存在，P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a①，将点A（3，﹣3）代入y＝ax2+bx，∴9a+3b＝﹣3②，联立①②可得，a＝，b＝﹣3，∴函数的解析式为y＝x2﹣3x；（2）设B（m，m2﹣3m），如图1，过A点作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，∴△OAB的面积＝•m（m2﹣3m+3+3）﹣3×3﹣（m﹣3）（m2﹣3m+3）＝18，解得m＝6或m＝﹣3（舍），∴B（6，6）；（3）存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵A（3，﹣3），B（6，6），∴C（，），设直线OB的解析式为y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，设P（t，t），如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P，BC＝A1P，∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，∴AP＝AC，∴＝，解得t＝，∴P点坐标为（，）或（﹣，﹣）；如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC，∴＝，解得t＝+6或t＝﹣+6，∴P（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）；综上所述：P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，﹣4），∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，解得：a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4．∴C（2，﹣4），∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴P（5，﹣2），∴PQ＝OA，∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵点P是抛物线上一动点，∴设P（m，﹣m2+2m+3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n），当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；（2）；（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．【解答】解：（1）在y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵抛物线解析式为y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴D（5，2）；（2）当时，抛物线解析式为，当y＝0时，，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0），如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，，∴3m+n＝12，∴n＝12﹣3m∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，∴m2﹣7m+12＝0，解得m＝3或m＝4（舍去），∴n＝12﹣3m＝3，∴N（3，3），设直线DP的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线DP的解析式为，联立，解得或，∴P（，）；（3）①当a＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），∴EH＝EF＝FG＝4，∴H（1，6），G（5，6），当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，∴抛物线y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；∵抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过（4，6），∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F（5，2）；综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，∴，∴a2+1.5a﹣1＝0，解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，解得或（舍去）；当时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，当时，6.25a+2＞6+a﹣，∴不符合题意；综上所述，a＝0.5．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．【答案】（1）y＝；（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），∴﹣9＝a•3×（﹣6），∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；（2）如图1，抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），当y＝9时，＝9，∴x＝，∴Q2（，9），Q3（，9），综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）设△PED的面积为S，由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．∴BC＝＝3，∵sin∠PBD＝，∴，∴PD＝，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，∴，∴，∴PE＝，∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，∴当m＝时，S最大＝，∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；（2）（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）证明：如图2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 等腰直角三角形 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）探究一：；探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面积＝2×＝；探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，∵H是AE的中点，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四边形MHPD是平行四边形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四边形HNCP是平行四边形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，∴DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．方法二：设AC的中点为T，连接HT，∵HT是△ACE的中位线，∴HT＝CE＝1，∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，∵DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直角三角形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F；（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，∵N是CD的中点，M是AB的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN ∥BC ，PN ＝BC ，PM ∥AD ，PM ＝AD ，∵AD ＝BC∴PM ＝PN ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∵PM ∥AD ，∴∠PMN ＝∠ANM ＝60°，∴∠PNM ＝∠PMN ＝60°，∵PN ∥BC ，∴∠CGN ＝∠PNM ＝60°，又∵∠CNG ＝∠ANM ＝60°，∴△CGN 是等边三角形．∴CN ＝GN ，又∵CN ＝DN ，∴DN ＝GN ，∴∠NDG ＝∠NGD ＝CNG ＝30°，∴∠CGD ＝∠CGN +∠NGD ＝90°，∴△CGD 是直角三角形．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．【答案】（1）证明见解答．（2）BC的长为2．（3）阴影部分的面积为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵点C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．答：BC的长为2．（3）解：如图，连接OD、CD，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，在Rt△BCE中，，∴，∴∠CBE＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠CDO＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CBD，∴．答：阴影部分的面积为．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【解答】（1）证明：由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠AEB+∠ADB＝180°，∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，OD，∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD＝2∠ABC，∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵点M是边BC的中点，∴，AM⊥BC，∴，，在Rt△BGF中，，∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠ABC＝60°，在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，∴圆心P与点M距离的最小值为．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF ⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）MN＝BM+DN，理由见解答．【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是圆O的切线，∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sin E＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．【答案】（1）60°；（2）证明过程详见解答；（3）证明过程详见解答．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，∴EF＝DF＝DE，∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝BE，∴cos∠BED＝，∴∠BED＝60°；（2）证明：由（1）得：∠CFE＝90°，∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG，∴△EFG∽△BFD；（3）证明：如图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q，∴△BGQ∽△CGE，∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，∴，设∠DBF＝DEH＝α，由（1）知：BC是DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF＝α，∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE，∴BE＝EQ，∴＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC 的最小值．【答案】（1）∠BDC＝60°，；（2）；（3）4．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，此时为．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．。
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）1．（2023•徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 ．2．（2022•徐州）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为 亿斤．3．（2021•徐州）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为 人．二．平方根（共1小题）4．（2021•徐州）49的平方根是 ．三．因式分解-运用公式法（共2小题）5．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝ ．6．（2021•徐州）因式分解：x2﹣36＝ ．四．二次根式有意义的条件（共2小题）7．（2023•徐州）若有意义，则x的取值范围是 ．8．（2022•盐城）若有意义，则x的取值范围是 ．五．根的判别式（共2小题）9．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．10．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 ．六．根与系数的关系（共1小题）11．（2021•徐州）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝ ．七．解分式方程（共1小题）12．（2022•徐州）方程＝的解为 ．八．一次函数与一元一次不等式（共1小题）13．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 ．九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）14．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 ．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）15．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 ．一十一．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）16．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．一十二．三角形三边关系（共1小题）17．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 （写出一个即可）．一十三．三角形内角和定理（共1小题）18．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ °．一十四．多边形内角与外角（共2小题）19．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于 °．20．（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为 ．一十五．矩形的性质（共1小题）21．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD 上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．一十六．圆周角定理（共2小题）22．（2022•徐州）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB ＝ ．23．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC＝ °．一十七．切线的性质（共1小题）24．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝ °．一十八．圆锥的计算（共3小题）25．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 cm．26．（2022•徐州）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 ．27．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 cm．一十九．翻折变换（折叠问题）（共2小题）28．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 ．29．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）30．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．江苏省徐州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类参考答案与试题解析一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）1．（2023•徐州）“五一”假期我市共接待游客约4370000人次，将4370000用科学记数法表示为 4.37×106 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：4370000＝4.37×106，故答案为：4.37×106．2．（2022•徐州）我国2021年粮食产量约为13700亿斤，创历史新高，其中13700亿斤用科学记数法表示为 1.37×104 亿斤．【答案】1.37×104．【解答】解：13700＝1.37×104．故答案为：1.37×104．3．（2021•徐州）我市2020年常住人口约9080000人，该人口数用科学记数法可表示为 9.08×106 人．【答案】9.08×106．【解答】解：9080000人用科学记数法可表示为9.08×106人．故答案为：9.08×106．二．平方根（共1小题）4．（2021•徐州）49的平方根是 ±7 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：49的平方根是±7．故答案为：±7．三．因式分解-运用公式法（共2小题）5．（2023•广东）因式分解：x2﹣1＝ （x+1）（x﹣1） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．6．（2021•徐州）因式分解：x2﹣36＝ （x+6）（x﹣6） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：x2﹣36＝（x+6）（x﹣6）．四．二次根式有意义的条件（共2小题）7．（2023•徐州）若有意义，则x的取值范围是 x≥3 ．【答案】x≥3．【解答】解：若有意义，则x﹣3≥0，∴x≥3，即x的取值范围是x≥3，故答案为：x≥3．8．（2022•盐城）若有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．【答案】x≥1．【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．五．根的判别式（共2小题）9．（2023•徐州）若关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 4 ．【答案】4．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4．故答案为：4．10．（2022•徐州）若一元二次方程x2+x﹣c＝0没有实数根，则c的取值范围是 c＜﹣ ．【答案】c＜﹣．【解答】解：根据题意得Δ＝12+4c＜0，解得c＜﹣．故答案为：c＜﹣．六．根与系数的关系（共1小题）11．（2021•徐州）若x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，则x1+x2＝ ﹣3 ．【答案】﹣3．【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x＝0的两个根，a＝1，b＝3，∴x1+x2＝﹣＝﹣3．故答案为：﹣3．七．解分式方程（共1小题）12．（2022•徐州）方程＝的解为 x＝6 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：去分母得：3x﹣6＝2x，解得：x＝6，经检验x＝6是分式方程的解．故答案为：x＝6八．一次函数与一元一次不等式（共1小题）13．（2022•徐州）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b＞0的解集为 x＞3 ．【答案】x＞3．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象过点（2，0），∴2k+b＝0，∴b＝﹣2k，∴关于kx+b＞0∴kx＞﹣×（﹣2k）＝3k，∵k＞0，∴x＞3．故答案为：x＞3．九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）14．（2021•徐州）如图，点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．若四边形ABCD为正方形，点D在第一象限，则点D的坐标是 （2，3） ．【答案】见试题解答内容【解答】解：设A的纵坐标为n，则D的纵坐标为n，∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，∴A（﹣，n），D（，n），∵四边形ABCD为正方形，∴+＝n，解得n＝3（负数舍去），∴D（2，3），故答案为（2，3）．方法二：解：∵点A、D分别在函数y＝、y＝的图象上，点B、C在x轴上．四边形ABCD 为正方形，∴AB⊥x轴，DC⊥x轴，∴S1＝3，S2＝6，∴S正方形＝S1+S2＝9，∴正方形的边长为3，∴D点的纵坐标为3，把y＝3代入y＝，求得x＝2，∴D（2，3），故答案为（2，3）．一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）15．（2023•徐州）如图，点P在反比例函数的图象上，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB．一次函数y＝x+1的图象与PB交于点D，若D为PB的中点，则k的值为 4 ．【答案】4．【解答】解：设一次函数图象与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，则M（﹣1，0），N （0，1），∴OM＝ON＝1，∵PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA＝PB，∴四边形AOBP是正方形，∴PB∥x轴，PB＝OB，∴△DBN∽△MON，∴＝＝1，∴BD＝BN，∵D为PB的中点，∴N为OB的中点，∴OB＝2ON＝2，∴PB＝OB＝2，∴P（2，2），∴点P在反比例函数的图象上，∴k＝2×2＝4，故答案为：4．一十一．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）16．（2022•徐州）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 4 ．【答案】4．【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝1，顶点为（1，﹣4），∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m＝4，故答案为：4．一十二．三角形三边关系（共1小题）17．（2023•徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 3或4或5或6或7（答案不唯一） （写出一个即可）．【答案】3或4或5或6或7（答案不唯一）．【解答】解：设三角形的第三边长为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边的长为整数，∴x＝3或4或5或6或7．故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．一十三．三角形内角和定理（共1小题）18．（2023•徐州）如图，在△ABC中，若DE∥BC，FG∥AC，∠BDE＝120°，∠DFG＝115°，则∠C＝ 55 °．【答案】55．【解答】解：∵DE∥BC，∠BDE＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，∵FG∥AC，∠DFG＝115°，∴∠A＝180°﹣115°＝65°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝55°，故答案为：55．一十四．多边形内角与外角（共2小题）19．（2023•徐州）正五边形的一个外角等于 72 °．【答案】见试题解答内容【解答】解：正五边形的一个外角＝＝72°，故答案为：72．20．（2022•徐州）正十二边形的一个内角的度数为 150° ．【答案】150°．【解答】解：正十二边形的每个外角的度数是：＝30°，则每一个内角的度数是：180°﹣30°＝150°．故答案为：150°．一十五．矩形的性质（共1小题）21．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 24 cm2．【答案】24．【解答】解：∵矩形AEGF的周长为20cm，∴AF+AE＝10cm，∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），故答案为：24．一十六．圆周角定理（共2小题）22．（2022•徐州）如图，A、B、C点在圆O上，若∠ACB＝36°，则∠AOB＝ 72° ．【答案】72°．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝36°，∴∠AOB＝2×∠ACB＝72°．故答案为：72°．23．（2021•徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ADC＝58°，则∠BAC ＝ 32 °．【答案】32．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠ADC＝58°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝32°．故答案为32．一十七．切线的性质（共1小题）24．（2023•徐州）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E．＝2，连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若∠AFB＝68°，则∠DEB＝ 66 °．【答案】66．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴OB⊥BF，∴∠ABF＝90°，∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝22°，∴∠BOD＝2∠BAF＝44°，∵，∴∠COA＝2∠BOD＝88°，∴∠CDA＝，∵∠DEB是△AED的一个外角，∴∠DEB＝∠BAF+∠CDA＝66°，故答案为：66．一十八．圆锥的计算（共3小题）25．（2023•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为6cm，扇形的圆心角θ为120°，则圆锥的底面圆的半径r为 2 cm．【答案】2．【解答】解：由题意得：母线l＝6，θ＝120°，2πr＝，∴r＝2（cm）．故答案为：2．26．（2022•徐州）如图，若圆锥的母线长为6，底面半径为2，则其侧面展开图的圆心角为 120° ．【答案】120°．【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，根据题意得2π×2＝，解得n＝120，所以侧面展开图的圆心角为120°．故答案为：120°．27．（2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长l为8cm，扇形的圆心角θ＝90°，则圆锥的底面圆半径r为 2 cm．【答案】2．【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，母线长为8cm，∴扇形的弧长为＝4π，设圆锥的底面半径为rcm，则2πr＝4π，解得：r＝2，故答案为2．一十九．翻折变换（折叠问题）（共2小题）28．（2023•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 ．【答案】3．【解答】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，∴，由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，∵BC'≥AB﹣AC'，∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，故答案为．29．（2022•徐州）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ．【答案】．【解答】解：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，由翻折变换的性质可知，FC＝BC＝5，EF＝BE，在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝1，设AE＝x，则BE＝EF＝3﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理，得EF2＝AE2+AF2，即（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝，即AE＝，故答案为：．二十．相似三角形的判定与性质（共1小题）30．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比 ．【答案】．【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴＝，＝，∴＝，又∠B＝∠B，∴△DBE∽△ABC．相似比为，面积比＝＝，设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四边形ADEC＝．故答案为：．。
江苏省扬州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类
江苏省扬州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共1小题）1．（2021•扬州）计算或化简：（1）（﹣）0+|﹣3|+tan60°．（2）（a+b）÷（+）．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2022•扬州）计算：（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；（2）（+1）÷．三．分式方程的应用（共1小题）3．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？四．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2023•扬州）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）5．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．7．（2021•扬州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．七．直线与圆的位置关系（共1小题）8．（2023•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．八．扇形面积的计算（共1小题）9．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．九．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）10．（2022•扬州）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．（1）A 调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B 调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 （填“A ”或“B ”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：成绩/个23457131415人数/人11185121这组测试成绩的平均数为 个，中位数为 个；（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．一十．扇形统计图（共1小题）11．（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数A ．非常喜欢50人B ．比较喜欢m 人C．无所谓n人D．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 ；（2）扇形统计图中表示A程度的扇形圆心角为 °，统计表中m＝ ；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．一十一．列表法与树状图法（共2小题）12．（2023•扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为 ；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．13．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是 ；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．江苏省扬州市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共1小题）1．（2021•扬州）计算或化简：（1）（﹣）0+|﹣3|+tan60°．（2）（a+b）÷（+）．【答案】（1）4；（2）ab．【解答】解：（1）原式＝＝4；（2）原式＝＝＝ab．二．分式的化简求值（共1小题）2．（2022•扬州）计算：（1）2cos45°+（π﹣）0﹣；（2）（+1）÷．【答案】（1）1﹣；（2）．【解答】解：（1）原式＝2×+1﹣2＝+1﹣2＝1﹣；（2）原式＝（+）•＝•＝．三．分式方程的应用（共1小题）3．（2022•扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【解答】解：设每个小组有学生x名，由题意得：，解得：x＝10，当x＝10时，12x≠0，∴x＝10是分式方程的根，答：每个小组有学生10名．四．解一元一次不等式组（共1小题）4．（2023•扬州）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x≤2，解集在数轴上表示见解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：五．一元一次不等式组的整数解（共1小题）5．（2022•扬州）解不等式组并求出它的所有整数解的和．【答案】﹣2≤x＜4，3．【解答】解：，解不等式①，得：x≥﹣2，解不等式②，得：x＜4，∴原不等式组的解集是﹣2≤x＜4，∴该不等式组的整数解是﹣2，﹣1，0，1，2，3，∵﹣2+（﹣1）+0+1+2+3＝3，∴该不等式组所有整数解的和是3．六．平行四边形的判定与性质（共2小题）6．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点N．（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；（2）若▱AMCN的面积为4，求▱ABCD的面积．【答案】（1）见解析过程；（2）12．【解答】解：（1）∵点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，∴AH∥CF，AH＝CF，∴四边形AFCH是平行四边形，∴AM∥CN，同理可得，四边形AECG是平行四边形，∴AN∥CM，∴四边形AMCN是平行四边形；（2）如图所示，连接AC，∵H，G分别是AD，CD的中点，∴点N是△ACD的重心，∴CN＝2HN，∴S△ACN＝S△ACH，又∵CH是△ACD的中线，∴S△ACN＝S△ACD，又∵AC是平行四边形AMCN和平行四边形ABCD的对角线，∴S平行四边形AMCN＝S平行四边形ABCD，又∵▱AMCN的面积为4，∴▱ABCD的面积为12．7．（2021•扬州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC．（1）试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；（2）若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）四边形AFDE是菱形，理由是：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD，∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EDA＝∠EAD，∴AE＝DE，∴平行四边形AFDE是菱形；（2）∵∠BAC＝90°，∴四边形AFDE是正方形，∵AD＝，∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2，∴四边形AFDE的面积为2×2＝4．七．直线与圆的位置关系（共1小题）8．（2023•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝∠A，点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin B＝，⊙O的半径为3，求AC的长．【答案】（1）直线AB与⊙O相切，理由见解析；（2）6．【解答】解：（1）直线AB与⊙O相切，理由：连接OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DOB＝∠OCD+∠ODC＝2∠BCD，∴，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠A，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠BOD+∠B＝90°，∴∠BDO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；（2）∵sin B＝＝，OD＝3，∴OB＝5，∴BC＝OB+OC＝8，在Rt△ACB中，sin B＝＝，∴设AC＝3x，AB＝5x，∴BC＝＝4x＝8，∴x＝2，∴AC＝3x＝6．八．扇形面积的计算（共1小题）9．（2021•扬州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB．在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF＝BA，则点F在圆B上，∴CD与⊙B相切；（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD＝60°∵BF⊥CD，∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝BF＝，∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE＝＝．九．总体、个体、样本、样本容量（共1小题）10．（2022•扬州）某校初一年级有600名男生，为增强体质，拟在初一男生中开展引体向上达标测试活动．为制定合格标准，开展如下调查统计活动．（1）A调查组从初一体育社团中随机抽取20名男生进行引体向上测试，B调查组从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，其中 B （填“A”或“B”）调查组收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况；（2）根据合理的调查方式收集到的测试成绩数据记录如下：成绩/个23457131415人数/人11185121这组测试成绩的平均数为 7 个，中位数为 5 个；（3）若以（2）中测试成绩的中位数作为该校初一男生引体向上的合格标准，请估计该校初一有多少名男生不能达到合格标准．【答案】（1）B；（2）7，5；（3）90（人）．【解答】解：（1）从初一所有男生中随机抽取20名男生进行引体向上测试，收集的测试成绩数据能较好地反映该校初一男生引体向上的水平状况，故答案为：B；（2）这组测试成绩的平均数为：（2×1+3×1+4×1+5×8+7×5+13×1+14×2+15×1）＝7（个），中位数为：5（个），故答案为：7，5；（3）600×＝90（人），答：校初一大约有90名男生不能达到合格标准．一十．扇形统计图（共1小题）11．（2021•扬州）为推进扬州市“青少年茁壮成长工程”，某校开展“每日健身操”活动，为了解学生对“每日健身操”活动的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行调查，将调查信息结果绘制成如下尚不完整的统计图表：抽样调查各类喜欢程度人数统计表喜欢程度人数A ．非常喜欢50人B ．比较喜欢m 人C ．无所谓n 人D ．不喜欢16人根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是 200 ；（2）扇形统计图中表示A 程度的扇形圆心角为 90 °，统计表中m ＝ 94 ；（3）根据抽样调查的结果，请你估计该校2000名学生中大约有多少名学生喜欢“每日健身操”活动（包含非常喜欢和比较喜欢）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）16÷8%＝200，则样本容量是200；故答案为：200．（2）×360°＝90°，则表示A 程度的扇形圆心角为90°；200×（1﹣8%﹣20%﹣×100%）＝94，则m ＝94；故答案为：90；94．（3）＝1440（名），∴该校2000名学生中大约有1440名学生喜欢“每日健身操”活动．一十一．列表法与树状图法（共2小题）12．（2023•扬州）扬州是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来扬州旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览．（1）甲选择A景点的概率为 ；（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率．【答案】（1）；（2）甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是．【解答】解：（1）甲选择A景点的概率为，故答案为：；（2）根据题意画树状图如下：∵共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人中至少有一人选择C景点的情况有5种，∴甲、乙两人中至少有一人选择C景点的概率是．13．（2021•扬州）一张圆桌旁设有4个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人等可能地坐到①、②、③中的2个座位上．（1）甲坐在①号座位的概率是 ；（2）用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵丙坐了一张座位，∴甲坐在①号座位的概率是；（2）画树状图如图：共有6种等可能的结果，甲与乙两人恰好相邻而坐的结果有4种，∴甲与乙相邻而坐的概率为．。
黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类(含答案)
黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．实数的运算（共2小题）1．（2023•大庆）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．2．（2021•大庆）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．二．因式分解的应用（共1小题）3．（2021•大庆）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．三．分式的化简求值（共2小题）4．（2022•大庆）先化简，再求值：（﹣a）÷．其中a＝2b，b≠0．5．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．四．零指数幂（共1小题）6．（2022•大庆）计算：|﹣2|×（3﹣π）0+．五．解分式方程（共1小题）7．（2021•大庆）解方程：+＝4．六．分式方程的应用（共2小题）8．（2023•大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？9．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 cm．（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）八．等腰三角形的性质（共1小题）11．（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）12．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．（1）证明：四边形AECF为矩形；（2）求四边形AECG的面积．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD 为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）14．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）一十二．扇形统计图（共1小题）15．（2022•大庆）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：抽取的200名学生成绩统计表组别海选成绩人数A组50≤x＜6010B组60≤x＜7030C组70≤x＜8040D组80≤x＜90aE组90≤x≤10070请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：①a＝ ，②b＝ ，③θ＝ 度；（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为55分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有多少人？黑龙江省大庆市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．实数的运算（共2小题）1．（2023•大庆）计算：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．【答案】1．【解答】解：|1﹣|﹣2cos45°+（）﹣1＝﹣1﹣2×+2＝﹣1﹣+2＝1．2．（2021•大庆）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2﹣+2×﹣1＝2﹣+﹣1＝1．二．因式分解的应用（共1小题）3．（2021•大庆）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）＝2x（x+2）（x﹣2）当x＝3时，原式＝2×3×（3+2）×（3﹣2）＝2×3×5×1＝30．三．分式的化简求值（共2小题）4．（2022•大庆）先化简，再求值：（﹣a）÷．其中a＝2b，b≠0．【答案】，原式＝．【解答】解：（﹣a）÷＝•＝•＝，当a＝2b时，原式＝＝＝．5．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．四．零指数幂（共1小题）6．（2022•大庆）计算：|﹣2|×（3﹣π）0+．【答案】﹣．【解答】解：|﹣2|×（3﹣π）0+＝（2﹣）×1+（﹣2）＝2﹣﹣2＝﹣．五．解分式方程（共1小题）7．（2021•大庆）解方程：+＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：给分式方程两边同时乘以2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），解得x＝1，检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，所以x＝1是原分式方程的解．六．分式方程的应用（共2小题）8．（2023•大庆）为营造良好体育运动氛围，某学校用800元购买了一批足球，又用1560元加购了第二批足球，且所购数量是第一批购买数量的2倍，但单价降了2元，请问该学校两批共购买了多少个足球？【答案】见试题解答内容【解答】解：设第一批足球单价为x元，则第二批足球的单价为（x﹣2）元，由题意得：×2＝，解得：x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，则x﹣2＝78，+＝30，答：该学校两批共购买了30个足球．9．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？【答案】现在平均每天生产80个零件．【解答】解：设现在平均每天生产x个零件，根据题意得：＝，解得x＝80，经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，∴x＝80，答：现在平均每天生产80个零件．七．一次函数的应用（共1小题）10．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：（1）图②中折线EDC表示 乙 槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 甲 槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 16 cm．（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；∵甲槽的水是匀速外倒，∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；故答案为：乙，甲，16；（2）由图象可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，设AB的解析式为y＝kx+b，将点（0，14），（7，0）代入，得解得，，∴y＝﹣2x+14；设ED的解析式为y＝mx+n，将点（0，4），（4，16）代入，得，解得，∴y＝3x+4；联立方程组，∴，∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．八．等腰三角形的性质（共1小题）11．（2023•大庆）某建筑物的窗户如图所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，点G、H、F分别是边AB、AC、BC的中点；下半部分四边形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗户框的材料总长为16米（图中所有黑线的长度和），设BF＝x米，BE＝y米．（1）求y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当x为多少时，窗户透过的光线最多（窗户的面积最大），并计算窗户的最大面积．【答案】（1）；；（2）米时，窗户透过的光线最多，窗户的最大面积为平方米．【解答】解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F是BC的中点，∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，∵BF＝x米，∴CF＝x米，BC＝2BF＝2x米，∵AF：BF＝3：4，∴米，在Rt△AFB中，由勾股定理得米，∴米，∵点G、H分别是边AB、AC的中点，∠AFB＝∠AFC＝90°，∴米，米，∵四边形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝2x米，BE＝CD＝y米，∵BE∥IJ∥MN∥CD，∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y米，∵制造窗户框的材料总长为16米，∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16米，∴，整理得；由题意得，解得；（2）∵，，设窗户的面积为W平方米，则W＝S△ABC+S矩形BCDE＝＝＝，∵，∴W有最大值，当米时，W最大，最大值为平方米．九．翻折变换（折叠问题）（共1小题）12．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC 边与AD边交于点G，且DC＝DG．（1）证明：四边形AECF为矩形；（2）求四边形AECG的面积．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），∴AE＝AB，∵点F为线段CD的三等分点（靠近点C），∴CF＝CD，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE⊥AB，∴四边形AECF为矩形；（2）∵AB＝3，∴AE＝CF＝1，BE＝2，∵将△BCE沿CE对折得到△ECB'，∴B'E＝BE＝2，∴AB'＝1，∵DC＝DG＝3，∴∠DGC＝∠DCG，∵BB'∥CD，∴∠DCG＝∠B'，∴∠B'＝∠B'GA，∴AB'＝AG＝1，∴DA＝BC＝B'C＝4，∵AB'∥CD，∴＝，∴＝，∴B'G＝1，∴△AGB'是等边三角形，在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，∴EC＝2，∴S四边形AECG＝S△EB'C﹣S△AB'G＝﹣＝．一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）13．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD 为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，在Rt△ACD中，CD＝1000m，∴AD＝＝1000（m），在Rt△BCD中，BD＝＝＝1000（m），∴AB＝BD﹣AD＝1000﹣1000≈732（m），∴这条江的宽度AB约为732m．一十一．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）14．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参考数据≈1.732）【答案】2.3km．【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，∴∠NAC＝75°，∴∠CAM＝15°，∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，∴∠MAB＝45°，∴∠MBA＝45°，∵C点在B点的北偏西45°方向，∴∠CBM＝45°，∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，∵C点在D点的北偏东22.5°方向，∴∠PDC＝22.5°，∴∠BDC＝67.5°，∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴BD＝BC，由题可得DB＝2km，∴BC＝2km，在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，∴AC ＝≈2.3km ，∴A ，C 两点之间的距离是2.3km ．一十二．扇形统计图（共1小题）15．（2022•大庆）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：抽取的200名学生成绩统计表组别海选成绩人数A 组50≤x ＜6010B 组60≤x ＜7030C 组70≤x ＜8040D 组80≤x ＜90a E 组90≤x ≤70100请根据所给信息解答下列问题：（1）填空：①a＝ 50 ，②b＝ 15 ，③θ＝ 72 度；（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为55分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有多少人？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）a＝200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50，b%＝×100%＝15%，θ＝360°×＝72°，故答案为：50，15，72；（2）＝82（分），即估计被选取的200名学生成绩的平均数是82分；（3）2000×＝700（人），即估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有700人．。
2024中考数学全国真题分类卷 模型三 一线三等角模型 强化训练(含答案)
2024中考数学全国真题分类卷模型三一线三等角模型强化训练类型一非直角型一线三等角1.如图①，在△ABC中，AB＝AC＝20，tan B＝34，点D为BC边上的动点(点D不与点B，C重合)，以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF.(1)求证：△ABD∽△DCE；(2)当DE∥AB时(如图②)，求AE的长；(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．第1题图类型二直角型一线三等角2.在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上(不与点A 重合)，点F 在边BC 上，且AE ＝2BF ，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH .(1)如图①，若AB ＝4，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积；(2)如图②，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K .①求证：EK ＝2EH ；②设∠AEK ＝α，△FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为S 1，S 2.求证：S 2S 1＝4sin 2α－1.第2题图3．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB＝AC＝2，分别求出线段BD、CE和DE的长；(2)规律探究：(Ⅰ)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0＜α＜45°)，请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(Ⅱ)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°＜α＜90°)，与线段BC相交于点H，请再探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求S△BF C.参考答案与解析1.(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB .∵∠ADE ＋∠CDE ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADE ＝∠B ，∴∠CDE ＝∠BAD ，∴△ABD ∽△DCE ；(2)解：如解图①，过点A 作AM ⊥BC 于点M .第1题解图①在Rt △ABM 中，设BM ＝4k ，则AM ＝BM ·tan B ＝4k ·34＝3k ，由勾股定理，得AB 2＝AM 2＋BM 2，∴202＝(3k )2＋(4k )2，∴k ＝4.∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BC ＝2BM ＝2·4k ＝32.∵DE ∥AB ，∴∠BAD ＝∠ADE .又∵∠ADE ＝∠B ，∠B ＝∠ACB ，∴∠BAD ＝∠ACB .∵∠ABD ＝∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ，∴AB CB ＝DB AB，∴DB ＝AB 2CB ＝20232＝252.∵DE ∥AB ，∴AE AC ＝BD BC，∴AE ＝AC ·BD BC ＝20×25232＝12516；(3)解：存在．如解图②，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，AN ⊥FH 于点N ，则∠NHM ＝∠AMH ＝∠ANH ＝90°，第1题解图②∴四边形AMHN 为矩形，∴∠MAN ＝90°，MH ＝AN .∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM ＝12BC ＝12×32＝16.在Rt △ABM 中，由勾股定理，得AM ＝AB 2－BM 2＝202－162＝12.∵AN ⊥FH ，AM ⊥BC ，∴∠ANF ＝90°＝∠AMD .∵∠DAF ＝90°＝∠MAN ，∴∠NAF ＝∠MAD ，∴△AFN ∽△ADM ，∴AN AM ＝AF AD ＝tan ∠ADF ＝tan B ＝34，∴AN ＝34AM ＝34×12＝9，∴CH ＝CM －MH ＝CM －AN ＝16－9＝7.当DF ＝CF 时，由点D 不与点C 重合，可知△DFC 为等腰三角形，又∵FH ⊥DC ，∴CD ＝2CH ＝14，∴BD ＝BC －CD ＝32－14＝18.∴点D 在BC 边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF ＝CF ，此时BD ＝18.2.(1)解：∵AB ＝4，M 为AB 的中点，∴AE ＝BE ＝12AB ＝2，∵AE ＝2BF ，∴BF ＝1，由勾股定理，得EF 2＝BE 2＋BF 2＝5，∴正方形EFGH 的面积为5；(2)证明：①由题意，知∠KAE ＝∠B ＝90°，∴∠EFB ＋∠FEB ＝90°，∵四边形EFGH 是正方形，∴∠HEF ＝90°，EF ＝EH ＝FG ，∴∠KEA ＋∠FEB ＝90°，∴∠KEA ＝∠EFB ，∴△KEA ∽△EFB ，∴KE EF ＝AE BF＝2.∴EK ＝2EF ＝2EH ；②由①得HK ＝EH ＝GF ，∵∠KHI ＝∠FGJ ＝90°，∠KIH ＝∠FJG ，∴△KHI ≌△FGJ ，∴S △FGJ ＝S △KHI ＝S 1.由题意，知△KHI ∽△KAE ，∴S 1＋S 2S 1＝(KA KH )2＝(KA 12EK )2＝4KA 2KE 2＝4(KA KE )2＝4sin 2α，∴S 2S 1＝4sin 2α－1.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∵DE ∥BC ，∴∠DAB ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠EAC ＝45°，∵BD ⊥DE ，CE ⊥DE ，∴AD ＝BD ＝22AB ＝1，AE ＝CE ＝22AC ＝1，∴DE＝AD＋AE＝2；(2)(I)DE＝BD＋CE.理由如下：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，ADB＝∠CEA，ABD＝∠CAE＝CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；(II)DE＝BD－CE.理由如下：∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，ADB＝∠CEA，ABD＝∠CAE＝CA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AE－AD＝BD－CE；(3)由(2)(II)知，AD＝CE＝3，∴BD＝AE＝DE＋AD＝1＋3＝4，∴AC＝AB＝AD2＋BD2＝5，∵∠ABD ＝∠CAE ，∠ADB ＝∠ADF ＝90°，∴△ABD ∽△FAD ，∴AD FD ＝BD AD ，即3FD ＝43，∴FD ＝94，∴BF ＝BD ＋DF ＝254，∴S △ABF ＝12BF ·AD ＝758，∵S △ABC ＝12AB ·AC ＝252，∴S △BFC ＝S △ABC －S △ABF ＝258.。
万唯中考数学真题分类
万唯中考数学真题分类
近年来，中考数学真题的题型和难度层次逐渐丰富，多样化。
为方便考生备考和复习，我们将中考数学真题进行了分类，具体如下：
一、函数与方程式类：
1. 判断函数的单调性、奇偶性；
2. 真假命题判断；
3. 化简、求解方程式；
4. 图象判断等。
二、几何类：
1. 直角三角形、等腰三角形、全等三角形的相关性质；
2. 平移、旋转、对称的相关概念；
3. 三角函数的概念及应用；
4. 圆的相关概念、定理及应用；
5. 直线、平面、多面体的相关性质等。
三、统计与概率类：
1. 统计图形的绘制及解读；
2. 概率、频率、百分比等的计算；
3. 排列、组合、随机事件等的应用。
四、数学思维类：
1. 定义、证明、分析和解决问题；
2. 推理、演绎、归纳等数学思维方式的应用；
3. 实际问题的建模及解决等。
五、运算类：
1. 分数、整数、小数的四则运算及应用；
2. 百分数、比例、倍数等的运算及应用；
3. 乘方、开方、因式分解、分式分解等的应用。
以上是中考数学常见的题型和考点，同学们可以根据自己的情况有针对性地学习。
同时，要注意多做题，多总结，纠正偏差，力争科学、系统、全面地掌握数学知识，提高数学应用能力。
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中考数学试题分类荟萃之基本图形1•如图1,已知△ ABC的周长为m，分别连接的中点A, B" Ci得厶ABiCi，再连接AiB，B1C1, GA,的中点A2，B2, C2 得厶A Q B2C2，再连接A2B2, B2C2, C2A2 的中点A B3，C3得厶A3B3C3L L，这样延续下去，最后得△ A nB nC n.设^ A1B1C1的周长为11, △ A Q B2C2的周长为12 , △ A3 B3C3的周长为l3 Ll n , B则I n _____________________ . (06广东梅州)2.如图 2，已知直线 AB // CD , / ABE 60o , / CDE 20o ,度.(06广东湛江)②OB = OC ;③/ ABE = Z ACD ; @ BE = CD 。
(1) 请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确 . 命题的条件是 —和—，命题的结论是 —和—(均填序号)。
(2) 证明你写出的命题。
已知： 求证： 证明：(06广东佛山) B9.已知：Rt A OAB 在直角坐标系中的位置如图所示， P(3，4)为OB 的中点，点C为折线OAB 上的动点，线段 PC 把Rt A OAB 分割成两部分。
问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与Rt A OAB 相似？(注：在图3.如图，若△ OAD^A OBC 且/ 0=65。
，/ C=20°， 则/ OAD= . (06 珠海)4.如图 4，已知 AD AE , AB AC . (1)求证：/ B / C ; (2)若/ A 50°，问△ADC 经过怎样的变换能与(06广东肇庆) 5.在△ ABC 中， 1 CF -BC .2 (1) 求证：(2) 求证： AB AC ，点D ，E 分别是 DE BE AB, AC 的中点F 是BC 延长线上的一点，且图5 CF ; EF . (06广东肇庆) AB// CD,若/ 2=135 °，则么/ l 的度数是() (B)45 ° (C)60 ° (D)75 ° 6. 如图1， (A)30 ° 7. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 (A)l ，2，3 (B)2 ，5，8 (C)3 ，4，5 (D)4 ，5，10 .(06 广州).(06广州)8..如图，D 、E 分别为△ ABC 的边AB 、AC 上的点,BE 与CD 相交于O 点。
现有四个条件：①AB = AC ;上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标)。
(06广东佛山)CO 1A(第9题图)X10.如右图，已知 △ ABC 的周长为1，连结△ ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二 ，A 个 三角形三边的中点构成第三个三角形，L L ，依此类推，则第10个三角形的周长为（）■.1 1 1 1A A AA.-B.—C. —D.（06广东韶关）/ Y~y \ 91022/ \7 \ B - C第10题图11.如图，在△ ABC AB 工 AC , / BAC 的外角平分线交直线 BC 于D , 过D 作DE 丄AB ,F ，连结EF DC B Fd\DBA求证 E（06常州） C BD AEHAGc >E G图 12—4丄AD AC ，且 a // b ( : o DE 1，求AD 的长 14.已知 ACB BA 12.如图，直线 / 2的度数为 A . 35 oB . 45 15.已知：如图，点 E 、F 在 BC 上，BE=CF , AB=DC ,/ B= / C ,求证：AF=DE （06福建三明） ADE 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上的一 CF 1，则 _________ BC ，△ ADE-与^ ABC 的周 （06常州） 13.如图，在△ ABC 中, 点，DF 平分CE 于点G 长之比为 ，△ CFG W^ BFD 的面积之比为 第图 C 2 — 1 D:如图，△ ABC 和△ ECD 都是等腰直角三角形 DCE 90 , D 为AB 边上一点， ....:匸BD! ijr ■亠■|> a ■■■H□F - ---16.在如图12— 1至图12— 3中，△ ABC 的面积为 a . （1） 如图12 — 1,延长△ ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连结BDA .若△ ACD 的面积为S 1,贝U S 1= _______ （用含a 的代数式表示）；（2） 如图12— 2,延长△ ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD = BC , AE=CA ，连结。
〔.若厶DEC 的面积为 S 2,贝S 2= _________ （用含a 的代数式表示），并写出理由；("△ ACE^A BCD (2) AD 2 AE 2 DE 2 DF 丄AC 分别交直线 AB , AC 于E（1） 求证：EF（2） 若 DE // （06广东韶关） *点B 在直线b 上，且AB 丄BC , / 1二55 o ，则 )(06安徽) C . 55 o D . 125o C F第7题E图 12-2 （3）在图12-2的基础上延长 AB 到点F ，使BF=AB ，连结FD , FE ，得到△ DEF （如图12-3）.若阴影部分的面积为 S 3, 则S 3= ______________ （用含a 的代数式表示）. 发现 像上面那样，将 △ ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到 △ DEF （如图12 - 3）,此时，我 们称△ ABC 向外扩展了一次•可以发现，扩展一次后得到的 △ DEF 的面积是原来 △ ABC 面积的 ________ 倍.应用 去年在面积为10m 2的厶ABC 空地上栽种了某种花卉.今年准备扩大种植规模，把△ ABC 向外进行两 次扩展，第一次由△ ABC 扩展成△ DEF ，第二次由△ DEF 扩展成△ MGH （如图12-4）.求这两次扩展的 区域（即阴影部分）面积共为多少 m 2? （06河北） 17.如图，在△ ABC 中，AC=BC=2, / ACB=90 o,D 是 BC 边的中点, 动点，贝U EC+ED 的最小值是 _________________ . 18•如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察 图形，在线段AB AC AE ED EC DB 中 ,相互平行的线段有（）• （A ） 4组 （B ） 3组 （C ） 2组 （D ） 1组（06湖北宜昌）19.如图19,在A ABC 中，D E F 分别是 AB AC BC 的中点,则厶DEF 与厶ABC 的周长之比为（）.（06湖北宜昌）（A ） 1: . 2 （B ） 1:2 （C ） 1:3 （ D 1:4F21•如图，在△ABC 中 ,点O 是/ ABC 与/ ACB^分线的交点， 若/ BAC 80：则/ BO G (). (A )130 ° ( B )100o ( 0)50° ( D 65° (06湖北宜昌) 22.如图，/ C = Z E = 90°, AC = 3, BC = 4, AE = 2,贝U AD = D23. 如图，已知/ 1 = Z 2,Z C （06浙江嘉兴） 24. 如图，已知AB // CD 。
则 A . Z 1=Z 2+Z 3 C=Z D ，求证：AC = BD .()(06临沂) B . Z 1 = 2Z 2+Z 3 EC .Z 1 = 2Z 2-Z 3D . Z 1= 180O —Z 2-Z 333.如图,Rt △ ABC,25.如图，D 、E 为AB 、AC 的中点，将△ ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若/ B=50°,则/ BDF= ____________ .（06山东枣庄）给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是）（06苏州）如图, 26. （的点，连结 DN EM 积为 ___________ cm 2。
C32.如图，AB//CD, （06广安） 斜边AC 上有一动点D （不与点A 、C 重合）,过D 点作直线截△37. E 、F 分别是平行四边形 ABCD 的边BA DC 延长线上的点，且 AE=CF EF 交AD 于 G 交BC 于 Ho（1）图中的全等三角形有 _____________ 对，它们分别是 ______________________________ ;（不添加任何辅 助线）（2）请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明。
我选择的是： ____________________ o （06四川乐山） 证明：38. 已知等腰 ABC 的腰AB = AC = 10cm,,底边BC=12cm,则 A 的长是 _______ cm.（06攀枝花）39. 点E 在AB 上, AC=AD ，请你添加一个条件， 使图中存在全等三角 形，并给予证明。
所添条件为 ____________________________ ,你得到的一对全等三角形是 ________ _______ （06攀枝花） 证明：40. AC 和 BD 相交于点 E , AB / CD , BE=DE 。
求证：AB=CD (06武汉)Ji'使截得的三角形与△ ABC 相似,则满足这样条件的直线共有 ____________ 条. （06广安）134.如图，DB // AC ，且DB=—AC,E 是AC 的中点，求证:2黄冈）BC=DE 。
(06 湖北35.如图，直线 AE // CD,/EBF=135 °,Z BFD=60。
，则/ D 等于( )(A)75 °(B)45 :(C)30 : (D)15 ° (06 湖北荆门)36•下列图中能够说明1 2的是（）的平分线A41. 如图，△ ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O.给出下列三个条件:①/ EBO = Z DCO ;②/ BEO = Z CDO :③ BE = CD.⑴上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；⑵ 选择第⑴小题中的一种情形，证明△ ABC是等腰三角形•（06扬州）42. 如图，在钝角厶ABC中，点D、E分别是边AC、BC的中点，且DA = DE,那么下列结论错误的是（）A. / 仁/ 2B. / 仁/ 3C.Z B=Z CD. / B=Z C （06云南）43. 已知：如图，AB// DE,且AB =DE.（I ）请你只添加一个条件，使△ ABC ◎△ DEF，你添加的条件是（2 ）添加条件后，证明△ ABC ◎△ DEF.（06云南）44. 如图，点B 在AE上，/ CAB=/ DAB 要使△ ABC^A ABD可补充的一个条件是：____________________ （写一个即可）（06浙江）。