直线的斜率与方程
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
直线的倾斜角、斜率及方程知识点总结
一、倾斜角：
重点：取值范围：0≤a＜180°
二、斜率k：
1、当a≠90°时，斜率k=tana；
2、当a=90°时，斜率k不存在；（联系正切函数的定义域去理解）
3、两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的斜率公式：
理解：
①两点间斜率要求x1≠x2，因为当x1=x2时，直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率k不存在；
②当x1≠x2且y1=y2时，直线垂直于y轴，倾斜角为0°，斜率k=0
三、各表达式之间的区别与联系：
四、斜率k与截距b对直线位置的影响：
1、k对直线位置的影响：
①当k＞0时，直线向右上方倾斜；
②当k＜0时，直线向右下方倾斜；
③当k=0时，此时倾斜角为0，直线平行与x轴；
④当k不存在时，此时倾斜角为90°，直线与y轴平行。
2、b对直线位置的影响：
①当b＞0时，直线与y轴正半轴相交；
②当b＜0时，直线与y轴负半轴相交；
③当b=0时，直线过原点。
直线的斜率求解方法
直线的斜率求解方法直线是数学中一个基础概念，它在几何学和代数学中都起着重要的作用。
而直线的斜率是描述直线特征的一个重要指标，它能够告诉我们直线的倾斜程度和方向。
在数学学习中，掌握直线的斜率求解方法是非常重要的一项技能。
本文将介绍几种常见的直线斜率求解方法，帮助中学生和家长更好地理解和应用这一概念。
一、斜率的定义斜率是指直线上两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值。
用代数表示，设直线上两点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的斜率k可以表示为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)二、直线斜率的求解方法1. 通过图像法求解斜率图像法是直观理解直线斜率的一种方法。
我们可以通过绘制直线的图像来观察直线的倾斜程度和方向。
在直线上选取两个点，然后计算这两点的坐标差，再根据斜率的定义求解斜率。
例如，我们要求解直线通过点A(1, 2)和点B(3, 4)的斜率。
首先，我们可以在坐标系中绘制出直线AB，然后计算点A和点B的坐标差：Δy = 4 - 2 = 2Δx = 3 - 1 = 2最后，根据斜率的定义求解斜率：k = Δy / Δx = 2 / 2 = 1所以，直线AB的斜率为1。
2. 通过方程法求解斜率方程法是一种代数求解直线斜率的方法。
我们可以通过直线的方程来求解斜率。
例如，已知直线的方程为y = 2x + 1，我们可以观察到方程中的系数2即为直线的斜率。
所以，直线的斜率为2。
3. 通过斜率公式求解斜率斜率公式是一种常用的求解直线斜率的方法。
我们可以通过已知直线上两点的坐标来求解斜率。
例如，已知直线通过点A(1, 2)和点B(3, 4)，我们可以使用斜率公式来求解斜率：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (4 - 2) / (3 - 1)= 2 / 2= 1所以，直线AB的斜率为1。
三、直线斜率的应用直线斜率在数学中有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：1. 判断两条直线是否平行或垂直如果两条直线的斜率相等，则它们是平行线；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直线。
数学高一专题 倾斜角与直线方程
数学高一专系列之 倾斜角与直线方程一、直线的斜率：一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是k = tanα二、直线的斜率公式:三、直线方程：1.点斜式：11()y y k x x -=-，当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =2.斜截式: y kx b =+，其中b 称为直线在y 轴上的截距3.两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- 注意！①当l 的0α=时,l 的方程为1y y = ②当l 的90α=时, l 的方程为1.x x =4.截距式：1x ya b+= 其中,a b 分别是直线在x 轴和y 轴上的横截距和纵截距,简称截距. 注意！①当l 的a 不存在,b 存在时,l 的方程为y b = ②当l 的b 不存在, a 存在时,l 的方程为x a =③当l 的a 、b 都存在, 且都为零时,l 的方程为y kx =其中k 为直线的斜率. 5.直线方程的一般式：0Ax By C ++=22(0)A B +≠ （1）任何一条直线的方程都是关于x 、y 的一次方程（2）任何关于x 、y 的一次方程0Ax By C ++=22(0)A B +≠表示直线四、求直线方程：题型一：基础题型1．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－9[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线， ∴k －1－1－3＝11－18－3. ∴k ＝－7.2．如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] 由A ·C <0及B ·C <0，可知A ≠0，B ≠0， 又直线Ax ＋By ＋C ＝0过(－C A ，0)，(0，－C B )，且－C A >0，－CB >0，∴直线不过第三象限．变式练习1.光线自点M (2,3)射到N (1,0)后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．y ＝3x －3 B ．y ＝－3x ＋3 C ．y ＝－3x －3 D ．y ＝3x ＋3[答案] B[解析] 点M 关于x 轴的对称点M ′(2，－3)，则反射光线即在直线NM ′上，由y －0－3－0＝x －12－1，得y ＝－3x ＋3. 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 [答案] D[解析] 由题意得a ＋2＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.3．一条直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴，y 轴的正半轴于A 、B 两点，O 为原点，则△AOB 的面积最小时直线l 的方程为________．[答案] 4x ＋y －8＝0[解析] 设l ：x a ＋yb ＝1(a ，b >0)．因为点P (1,4)在l 上， 所以1a ＋4b ＝1.由1＝1a ＋4b ≥24ab⇒ab ≥16， 所以S △AOB ＝12ab ≥8.当1a ＝4b ＝12， 即a ＝2，b ＝8时取等号． 故直线l 的方程为4x ＋y －8＝0.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.题型二：能力提升1．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．－13C ．－32D ．23[答案] B[解析] 设P (x P ，y P )，由题意及中点坐标公式，得x P ＋7＝2，解得x P ＝－5， ∴P (－5,1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－5－1＝－13.2．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A ．[0，π) B ．⎣⎡⎭⎫π4，π2C ．⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D ．⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4 [答案] C[解析] 当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4.综上知倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4，故选C ．3.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点．下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 [答案] ①③⑤[解析] 对于①，举例：y ＝2x ＋ 3.故①正确；对于②，举例：y ＝2x －2，过整点(1,0)，故②不正确； 对于③，不妨设两整点(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，(b 1≠b 2)，则直线为：y ＝b 2－b 1a 2－a 1(x －a 1)＋b 1，只需x －a 1为a 2－a 1的整数倍．即x －a 1＝k (a 2－a 1)，(k ∈Z )就可得另外整点．故③正确．对于④，举例：y ＝x ＋12，k 与b 均为有理数，但是直线不过任何整点．故④不正确． 变式练习1.设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵l 在两坐标轴上的截距相等， ∴直线l 的斜率存在，a ≠－1. 令x ＝0，得y ＝a －2. 令y ＝0，得x ＝a －2a ＋1.由a －2＝a －2a ＋1，解得a ＝2，或a ＝0.∴所求直线l 的方程为3x ＋y ＝0，或x ＋y ＋2＝0. (2)直线l 的方程可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2.∵l 不经过第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)≥0，a －2≤0.∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1]． 2.已知直线l: kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．[解析] (1)直线l 的方程是：k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝01－y ＝0解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk (k ≠0)，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <－21＋2k ≥1或k ＝0，解之得k ≥0. (3)由l 的方程得，A (－1＋2k k ，0)，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <01＋2k >0，，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·|1＋2kk|·|1＋2k |＝12·(1＋2k )2k ＝12(4k ＋1k＋4) ≥12(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时l ：x －2y ＋4＝0.[点评] 本题证明直线系过定点问题所使用的“分离参数法”是证明曲线系过定点的一般方法课后练习1．过点A (0,2)且倾斜角的正弦值是35的直线方程为( )A ．3x －5y ＋10＝0B ．3x －4y ＋8＝0C ．3x ＋4y ＋10＝0D ．3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0 [答案] D[解析] 设所求直线的倾斜角为α， 则sin α＝35，∴tan α＝±34，∴所求直线方程为y ＝±34x ＋2，即为3x －4y ＋8＝0或3x ＋4y －8＝0.2．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．x ＋y －5＝0B ．2x －y －1＝0C ．2x －y －4＝0D ．2x ＋y －7＝0[答案] A[解析] 易知A (－1,0)． ∵|P A |＝|PB |，∴P 在AB 的中垂线即x ＝2上． ∴B (5,0)．∵P A ，PB 关于直线x ＝2对称， ∴k PB ＝－1.∴l PB ：y －0＝－(x －5)，即x ＋y －5＝0.3.已知点M 是直线l ：2x －y －4＝0与x 轴的交点，把直线l 绕点M 按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＋6＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －3y －2＝0 [答案] A[解析] 由题意知M (2,0)，设已知直线和所求直线的倾斜角分别为α，β，则β＝α＋45°且tan α＝2,45°<α<90°，tan β＝tan(α＋45°)＝tan α＋tan45°1－tan αtan45°＝－3，所以所求直线方程为y －0＝－3(x －2)， 即3x ＋y －6＝0.4.经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________． [答案] 2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0[解析] 设所求直线方程为x a ＋yb＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率是( ) A ．0 B ．33C ． 3D ．－ 3[答案] C[解析] k PQ ＝－3得直线PQ 的倾斜角为120°，将直线PQ 绕点P 顺时针旋转60°所得直线的倾斜角为60°，∴所得直线的斜率k ＝tan60°＝ 3.6.点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，1 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．⎣⎡⎦⎤14，1 D ．⎝⎛⎭⎫14，1 [答案] D[解析] 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和点P (x ，y )的直线斜率，显然k DA 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈⎝⎛⎭⎫14，1.7.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－2,1)[解析] ∵直线的斜率k ＝a －1a ＋2，且直线的倾斜角为钝角，∴a －1a ＋2<0，解得－2<a <1. 8.直线ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角α为________．[答案] 135°[解析] ∵ax ＋my －2a ＝0(m ≠0)过点(1,1)， ∴a ＋m －2a ＝0. ∴m ＝A ．直线方程为ax ＋ay －2a ＝0， 又m ＝a ≠0，∴直线方程即为x ＋y －2＝0. ∴斜率k ＝－1，∴倾斜角α＝135°.9.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.[解析] (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4， 它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ， 则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.。
直线的倾斜角与斜率、直线的方程
[变式探究 2] 若将本例(2)的条件改为“经过 P(0，－1)作直线 l，若直线 l 与连 接 A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点”，求直线 l 的倾斜角 α 的取 值范围．
解析：如图所示，
kPA＝－21－－0－1＝－1，kPB＝1－2－－01＝1， 由图可得，直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是0，π4∪34π，π.
答案：2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0 解析：点 A、B 的中点为(3,2)，当直线过原点时，方程为 y＝23x， 即 2x－3y＝0. 当直线不过原点时，设直线的方程为 x＋y＝k，把中点(3,2)代入得 k＝5， 故直线方程为 x＋y－5＝0. 综上，所求直线的方程为 2x－3y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：由题意知直线 l1，l2 恒过定点 P(2,2)，直线 l1 在 y 轴上的截 距为 2－a>0，直线 l2 在 x 轴上的截距为 a2＋2，所以四边形的面积 S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋145，当 a＝12时， 四边形的面积最小．
5．已知两点
A(－1,2)，B(m,3)，且
m∈－
33－1，
3－1，则直
线 AB 的倾斜角 α 的取值范围是( )
A.π6，π2 B.π2，23π C.π6，π2∪π2，23π D.π6，23π
答案：D 解析：
①当 m＝－1 时，α＝π2； ②当 m≠－1 时，
∵k＝m＋1 1∈(－∞，－
3)∪
y2－y1
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上且 x1≠x2，则 l 的斜率 k＝ x2－x1 .
3．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式
两点式
直线的斜率与方程
直线的斜率与方程直线是解析几何中的基本图形之一，而直线的斜率与方程是描述直线性质的重要元素。
本文将介绍直线的斜率的概念及计算方法，并详细阐述直线的方程的几种常见形式。
一、直线的斜率直线的斜率是指直线与水平方向的夹角的正切值，也可以理解为直线在x轴上的增量与在y轴上的增量之比。
斜率的计算公式如下：斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
斜率的性质是：1. 平行于x轴的直线的斜率为0；2. 平行于y轴的直线斜率不存在（无穷大）；3. 两条直线互相垂直时，它们的斜率之积为-1。
二、直线的方程直线的方程是用来表示直线的数学表达式。
直线的方程有多种不同的形式，下面将一一介绍。
1. 斜截式方程斜截式方程是直线方程中最常见的形式，它用直线的斜率和截距来表示。
方程的形式如下：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与y轴的交点的纵坐标。
2. 一般式方程一般式方程是直线方程中的另一种常见形式，它的一般形式如下：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是常数，A和B不同时为0。
3. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种特殊形式，它利用直线上的一个点和直线的斜率来表示。
方程的形式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，(x1, y1)为直线上的一个点，m为直线的斜率。
4. 两点式方程两点式方程是通过直线上两个已知点来表示直线的方程，方程的形式如下：(y - y1) / (x - x1) = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个已知点。
以上是直线方程的几种常见形式，根据不同的题目要求，我们可以选择合适的方程形式来进行求解和应用。
总结：本文介绍了直线的斜率与方程的相关概念和计算方法，并详细介绍了直线方程的几种常见形式。
了解直线的斜率和方程对于解析几何的学习和问题的求解具有重要意义。
直线方程式的斜率怎么求
直线方程式的斜率怎么求直线方程是数学中的重要概念，它描述了平面上两点之间的直线关系。
直线的斜率是指直线在平面上的倾斜程度，是直线方程中的一个重要参数。
本文将介绍如何求直线方程的斜率。
直线方程的一般形式直线方程的一般形式可以表示为：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
通过斜率和截距，我们可以确定一条直线的方程。
求直线方程的斜率方法1. 已知两点求斜率求解直线方程的常用方法是通过已知两点的坐标来计算斜率。
假设已知直线上的两点为(x1, y1)和(x2, y2)。
直线的斜率可以通过以下公式求解：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)通过计算上式，我们可以得到直线的斜率。
2. 已知直线方程形式求斜率另一种方式是已知直线的方程形式，通过方程中的系数来确定斜率。
例如，若已知直线方程为y = mx + b，则其中的m为直线的斜率。
3. 平行于坐标轴的直线如果直线平行于 x 轴或 y 轴，那么它的斜率不存在。
如果直线平行于 x 轴，它的斜率为 0；如果直线平行于 y 轴，它的斜率是无穷大。
注意事项在计算斜率时，需要注意以下几点：•当两个点的 x 坐标相等时，分母为 0，因此无法计算斜率。
此时，直线与 x 轴平行。
•当存在垂直线时，斜率不存在。
示例为了更好地理解直线方程的斜率求解方法，我们来看一个具体的示例。
已知直线上的两点为 A(2, 4) 和 B(6, 8)。
我们可以使用下列公式求解斜率：m = (8 - 4) / (6 - 2)计算得到斜率 m = 1。
因此，直线方程为y = x + b，接下来我们可以通过已知的某一点(例如 A 点)来求解截距 b：4 = 2 + bb = 2因此，我们得到直线方程为y = x + 2。
总结通过已知两点或已知直线方程的形式，我们可以轻松计算直线的斜率。
斜率是直线方程中的一个重要参数，能够描述直线在平面上的倾斜程度。
理解和掌握求解直线斜率的方法对于解决与直线相关的各种数学问题都非常重要。
直线的斜率
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( ) (2)过点M (a ，b )，N (b ，a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°.( ) (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．若直线x ＝2的倾斜角为α，则α为( ) A ．0 B.π4C.π2 D ．不存在答案：C3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．1或3D ．1或4 解析：选A 由k ＝4－mm ＋2＝1，得m ＝1.4．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝05．直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析：令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3，则有k 4－k3＝2，所以k ＝－24.答案：－24考点一 直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透)[考什么·怎么考]直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查.1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎝⎛⎭⎫π4，π2C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4解析：选C 根据题意，当cos θ＝0时，直线l 的方程化为x ＋3＝0，此时直线l 的倾斜角α＝π2.当cos θ≠0时，直线l 的斜率k ＝－1cos θ，则tan α＝－1cos θ.又cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，∴tan α＝－1cos θ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．又∵α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴结合正切函数的单调性，可得α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4. 综上所述，直线l 的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，3π4.2．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：43．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________．解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当m ≠0时，k QA ＝32，k PA ＝－2，k l ＝－1m .结合图象知，若直线l 与PQ 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0<m ≤12或－23≤m <0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段PQ 有交点． ∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [怎样快解·准解]1．掌握直线倾斜角与斜率问题的3种类型(1)在已知斜率表达式的情况下，研究倾斜角的范围，应首先求出斜率的取值范围，然后借助正切函数的图象求解．(如第1题)(2)解决三点共线问题，若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．(如第2题)(3)在解决与含参数的直线有关的直线相交问题时，首先要考虑该直线是否过定点．(如第3题，发现直线过定点(0，－1)是解决问题的关键一步)2．避免2类失误(1)考虑直线的斜率不存在的情况．(如第2题)(2)由直线的斜率k 求倾斜角α的范围时，要对应正切函数的图象来确定，要注意图象的不连续性．(如第1题)3．记牢倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．考点二 直线的方程 (重点保分型考点——师生共研)1．求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程．解：设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.2．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程： (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线在x 轴，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7. ∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[解题师说]1．求解直线方程的2种方法(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(如典题领悟第2题(1))(3)应用一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定直线的斜率时注意讨论B 是否为0.[冲关演练]1．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 由题设知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋(－1)2＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0.2．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程． 解：(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点， 由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )， 则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点， 由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0.考点三 直线方程的综合应用 (重点保分型考点——师生共研)[典题领悟]过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，❶O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程.❷(2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程.❸[思维路径]①由于A ，B 两点分别在x 轴，y 轴的正半轴上，因此可考虑设截距式方程x a ＋yb ＝1，且a ＞0，b ＞0，可得4a ＋1b ＝1；②S △AOB 最小，即12ab 最小，考虑到4a ＋1b ＝1，可采用“1”的代换及基本不等式求解；③|OA |＋|OB |最小，即a ＋b 最小，思路同第(1)问． 解：设直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b ＝1. (1)4a ＋1b ＝1≥24a ·1b ＝4ab，所以ab ≥16， 当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)因为4a ＋1b ＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.[解题师说]1．迁移要准(1)看到直线与两坐标轴的交点(不过坐标原点)，求直线方程时想到直线的截距式． (2)看到直线与两坐标轴相交且同时出现与坐标原点O 有关的三角形面积或周长等问题时想到利用直线的截距式方程求解．2．方法要熟(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．3．易错要明直线在坐标轴上的截距可以是正值、负值、零，注意与距离的区别．[冲关演练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示． 因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)． 则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154≥154. 所以S min ＝154，此时a ＝12. 答案：12(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．5．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D 由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2.当y ＝0时，x ＝a ＋2a .故a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1.6．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A 由于直线ax ＋by ＋c ＝0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率存在，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.7．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝08．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞9．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝010．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]B 级——中档题目练通抓牢1．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 是不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同正，同负，故选B.2．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( ) A ．8 B ．22 C.2D ．16解析：选A ∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.3．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．4．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：x 2＋y 2＝2(x ≥0)上一点，直线OA 的倾斜角为45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是____________________．解析：∵直线OA 的方程为y ＝x ，代入半圆方程得A (1,1)， ∴H (1,0)，直线HB 的方程为y ＝x －1，代入半圆方程得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，－1＋32.所以直线AB 的方程为y －1－1＋32－1＝x －11＋32－1，即3x ＋y －3－1＝0. 答案：3x ＋y －3－1＝05．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：56．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.7.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.C 级——重难题目自主选做1．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b 21－2b>0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示． 设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22.又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1.∴t ＝mn m ＋n，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m .而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322，即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12.∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b.∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B.2．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________．解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) (二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析：选B 由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1＜0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 3．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞) C.()－∞，－1∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选D 设直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.4．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.5．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.6．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43，所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝07．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.答案：3x ＋2y ＝0或x －y －5＝08．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.B 级——拔高题目稳做准做1．(2018·南昌一模)已知A (1,2)，B (2,11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0,6]C ．[－2，－1]∪[3,6]D ．[－2,0)∪(0,6]解析：选C 由题意得，A (1,2)，B (2,11)两点分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，∴⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.2．若a ，b ，p (a ≠0，b ≠0，p >0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的距离，则下列关系式成立的是( )A.1a 2＋1b 2＝1p 2 B.1a 2－1b 2＝1p 2C.1a 2＋1p 2＝1b2 D.1a 2p 2＝1b2解析：选A 由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1，则p 2＝11a 2＋1b 2，∴1a 2＋1b 2＝1p 2，故选A.3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1－22，12 C.⎝⎛⎦⎤1－22，13 D.⎣⎡⎭⎫13，12解析：选B 法一：(1)当直线y ＝ax ＋b 与AB ，BC 相交时，如图①所示．易求得：x M ＝－b a ，y N ＝a ＋b a ＋1.由已知条件得：⎝⎛⎭⎫1＋b a ·a ＋b a ＋1＝1，∴a ＝b 21－2b.∵点M 在线段OA 上，∴－1<－ba <0，∴0<b <a .∵点N 在线段BC 上，∴0<a ＋ba ＋1<1，∴b <1.由⎩⎪⎨⎪⎧b 21－2b>b ，b 21－2b>0，b >0，解得13<b <12.(2)当直线y ＝ax ＋b 与AC ，BC 相交时，如图②所示．设|MC |＝m ，|NC |＝n ，则S △MCN ＝12mn ＝12，∴mn ＝1.显然，0<n <2，∴m ＝1n >22. 又0<m ≤2且m ≠n .∴22<m ≤2且m ≠1. 设D 到AC ，BC 的距离为t ， 则t m ＝|DN ||MN |，t n ＝|DM ||MN |， ∴t m ＋t n ＝|DN ||MN |＋|DM ||MN |＝1. ∴t ＝mn m ＋n ，∴1t ＝1m ＋1n ＝1m ＋m . 而f (m )＝m ＋1m 22<m ≤2且m ≠1的值域为⎝⎛⎦⎤2，322， 即2<1t ≤322，∴23≤t ＜12. ∵b ＝1－CD ＝1－2t ，∴1－22＜b ≤13. 综合(1)(2)可得b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－22，12. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋b a ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为B. 4．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0<x 0＋2，则y 0x 0的取值范围是________． 解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0<x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM >0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM <－13. 所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞) 5.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为xa ＋yb ＝1.因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1.因为1＝3a ＋2b ≥2 6ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0，可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋(－9k )＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.6．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞. (3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2k k <0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
直线的斜率与直线的方程
直线的斜率与直线的方程一、温故⒈倾斜角：当直线和x 轴相交时，如果把x 轴绕着按方向旋转到和直线时所转的叫这条直线的倾斜角记为．倾斜角的范围是．⒉斜率：倾斜角为，90时，斜率k=，90时，斜率k 。
⒊斜率公式：若),(11y x A ),(22y x B 为直线上两点，则AB k =)(21x x ⒋直线方程的三种形式；①点斜式；，表示经过点且斜率为的直线，特例；y=kx+b 表示经过点且斜率为的直线，其中b 表示直线在y 轴上的，该方程叫直线方程的。
②两点式；．表示经过两点，的直线。
特例：)0(1ab b y ax该方程叫直线方程的，a ，b 叫。
③一般式；；，（其中A 、B 不同时为0）提醒：⒈在设直线方程形式前应进行斜率存在与不存在的讨论，⒉要注意截距不是长度。
二、基础训练⒈直线l 的倾斜角为120°，则直线l 的斜率是，若直线l 的方向向量是)1,3(a ，则直线l 的倾斜角是，经过两点)2,3(、)3,2(的直线l 的斜率是，倾斜角是. ⒉直线025tany x 的倾斜角是. ⑵直线023cos y x 的倾斜角范围是. ⑶直线l 的倾斜角α范围是0013545，则斜率k 的范围是.⑷将直线l 向右平移2个单位,再向下平移3个单位后与l 重合，则l 的斜率为.3.直线l ；02y ax ，与连接)1,3(A ，)4,1(B 两点的线段相交，则a 的取值范围是.4.若三点(2,2)A ，(,0)B a ，(0,)(0)C b ab共线，则11a b 的值等于___________. 5.如图所示，点集{(,)||||1|||2}x y x y 构成的图形是一条封闭的折线，这条封闭折线所围成的区域的面积是______________ 三、典型例题xy O 1 1 3 2例⒈根据下列条件求直线方程：⑴经过P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等⑵经过A(-1,-3)，倾斜角为直线y=3x 的倾斜角的2倍⑶直线03y x 绕着点)3,0(D 逆时针方向旋转15⑷如果原点在直线l 上的射影为点),(b a )0(22b a 例⒉经过点)0,3(P 作直线l ，使它被两直线l 1：2x-y-2=0和l 2：x+y+3=0所截得线段AB 以P 为中点，求此直线l 的方程．例3.已知ABC 的顶点)1,3(A ，AB 边上的中线所在的直线的方程为059106y x ，B 的平分线所在直线的方程为：0104y x ，求BC 边所在直线的方程。
斜率与直线方程
斜率与直线方程一、斜率的概念在数学中，斜率是指直线与横轴的夹角的正切值，也可以理解为直线上两个不同点的纵坐标差与横坐标差的比值。
斜率的计算公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
二、斜率的意义斜率可以用于描述直线的特征和性质，通过斜率可以得到直线的方向、陡峭程度以及与其他直线的关系。
1. 正斜率和负斜率：当斜率为正数时，直线上的点随着自变量的增大而增大，这表示直线向上倾斜；当斜率为负数时，直线上的点随着自变量的增大而减小，这表示直线向下倾斜。
2. 零斜率和无定义斜率：当斜率为零时，直线平行于横轴；当斜率不存在（除数为零）时，直线垂直于横轴。
3. 相等斜率和平行斜率：如果两条直线的斜率相等，它们的斜率是平行的。
反之，如果两条直线平行，它们的斜率相等。
三、直线方程的表示形式直线的一般方程可以表示为 Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
直线的斜率可以通过方程中的系数来获得。
1. 斜截式方程：当已知直线的斜率m和截距b时，可以使用斜截式方程 y = mx + b 来表示直线方程。
2. 点斜式方程：当已知直线上的一个点P(x1, y1)和直线的斜率m时，可以使用点斜式方程 y - y1 = m(x - x1) 来表示直线方程。
3. 两点式方程：当已知直线上两个点P1(x1, y1)和P2(x2, y2)时，可以使用两点式方程 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) 来表示直线方程。
四、直线方程的应用直线方程在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
1. 几何学：直线方程可以描述平面上的直线位置和方向，用于计算和判断直线之间的关系，如相交、平行等。
2. 物理学：直线方程可用于描述物体的运动轨迹，在研究物理问题时可以通过直线方程求解物体的位置、速度、加速度等。
3. 经济学：直线方程可用于描述市场供需的关系，通过斜率可以分析价格变化的速度以及市场的供给和需求弹性。
直线的斜率与直线方程
截距的 2 倍的直线方程.
解: ①当横截距、纵截距均为零时,
设所求的直线方程为 y=kx,
将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=- ,
此时,直线方程为 y=- x.即 2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不是零时,
设所求直线方程为
=1,将(-5,2)代
入所设方程,解得 a=- ,
此时,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x +5y=0.
A. 23 5
B. 23 10
C.7 D. 7 2
11 24 ＝7 36 64 2
()
6.(必修2P109A组T3改编)若直线mx-3y-2=0与直线(2-m)x-3y+5=0互相平行,则实
数m的值为 ( )
A.2
B.-1
C.1
D.0
【解析】选C.两直线平行,其系数满足关系式-3m=-3(2-m),解得m=1.
(2)设点P(x0,y0)关于直线l :y=kx+b(k≠0)的对称点为P′(x′,y′),则有
y x
y0 x0
gk
1
y y0 2
kgx x0 2
b
,可求出x′,y′.
【常用结论】
1.直线倾斜角和斜率的关系
(1)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率.
(2)不是倾斜角越大，斜率k就越大，因为k=tan α，当α∈ [0，) 时，α越大，
a2 1
a2 1
解得a 1 或a 4. 2
答案: 1或-4
2
10.如果直线 l 过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,
那么直线 l 的倾斜角α的取值范围是
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳
直线的倾斜角、斜率与直线的方程考点和题型归纳一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上， 且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式名称 方程 适用范围 点斜式 y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含直线x ＝x 1(x 1≠x 2)和直线y ＝y 1(y 1≠y 2)截距式 x a ＋y b＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0，A 2＋B 2≠0平面内所有直线都适用二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B.3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎨⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.。
直线的斜率与方程
直线的倾斜角、斜率和直线方程1．直线的倾斜角：一条与x 轴相交的直线，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫 做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0°．直线的倾斜角的范围为[)π,0．2、直线的斜率：当直线的倾斜角α≠90°时，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即该直线的斜率k ＝tan α；注意：当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．3．斜率公式：过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为：()212121x x x x y y k ≠--= ． 若x 1＝x 2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°． 注意：直线的斜率k ＝tan α（α≠90°）关于倾斜角α的函数的图像4、直线方程直线方程的五种形式注：设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+（斜率k 存在时）；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)； （3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。
注意：经过任意两个不同点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)来表示x5、直线与直线的位置关系：平面内两条直线的位置关系有三种 、 和 （1）．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定（2）、当直线平行于坐标轴时，可结合图形判定其位置关系．6、点到直线的距离、直线与直线的距离（1）、点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =；（2）、两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为d =（3）、两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离公式是 。
直线的一般方程怎么求斜率
直线的一般方程怎么求斜率直线是几何学中最基本的概念之一，而直线的一般方程是描述直线特性的重要工具。
在数学中，求直线的斜率是研究直线性质的重要一环。
本文将介绍如何根据给定的直线方程求解其斜率。
一般方程的形式直线的一般方程可以写成如下形式：Ax + By = C其中，A、B、C是任意给定的实数，A和B不能同时为0。
直线上的每个点（x，y）都满足这个方程。
斜率的定义斜率是直线的重要属性，它描述了直线在平面坐标系中上升或下降的程度。
数学上，直线的斜率表示为m。
直线的斜率可以通过直线上两点的坐标来计算。
设直线上两点为（x1，y1）和（x2，y2），则直线的斜率m可以使用下式计算：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)求解斜率的步骤给定直线的一般方程Ax + By = C，我们可以通过以下步骤找出直线的斜率：步骤一：将一般方程转换为斜截式方程。
斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过将一般方程转换为斜截式方程，我们可以得到y的表达式：y = (-A/B)x + C/B步骤二：从斜截式方程中读取斜率。
根据斜截式方程y = mx + b，m即为直线的斜率。
从上一步得到的斜截式方程中，我们可以读取斜率m的值。
示例假设我们有一条直线，其一般方程为2x + 3y = 6。
我们来求解该直线的斜率。
步骤一：将一般方程转换为斜截式方程。
将方程2x + 3y = 6转换为斜截式方程，得到表达式：y = (-2/3)x + 2步骤二：从斜截式方程中读取斜率。
根据斜截式方程y = (-2/3)x + 2，我们可以读取斜率为-2/3。
因此，给定直线2x + 3y = 6，其斜率为-2/3。
总结直线的斜率是描述直线特性的重要属性，它可以通过直线上两点的坐标来计算。
我们可以根据直线的一般方程求解其斜率，通过将一般方程转换为斜截式方程，然后读取斜截式方程中的斜率值。
通过本文的介绍，希望读者能够理解直线斜率的概念以及如何求解直线的斜率。
第一节 直线的斜率与直线的方程
是 1 y0. 1
2 x0
5
变式1－1 已知两点A(－2，－3)，B(3,0) ，过点
P(－1,2)的直线l与线段AB始终有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是________．
解析：如图所示，直线PA的斜率k1
＝ 2 2 ，直线PB的
1 2 5
斜率k2＝
正解2 (1)显然直线3x－2y＝0符合题意． (2)设所求直线方程为7x＋8y－38＋λ(3x－2y)＝ 0，解法同错解2，求得方程为x＋y－5＝0，故 所求方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
链接高考
(2010·安徽改编)过点(1,0)且与直线x－ 2y－2＝0平行的直线方程是________．
4
围是
,
3.
4
4. 直线l过点P(4,3)，且在x轴、y轴上的截距之比 为1∶2，则直线l的方程为__2_x_+_y_-_1_1_=_0___．
解析：因为直线l在x轴、y轴上的截距之比
为1∶2，所以设直线l的方程为
x a
+
y 2a
=1，将点P(4,3)代入直线方程得a= 以直线l的方程为2x+y-11=0.
第八单元 直线与圆的方程
知识体系
最新考纲
内容 直线的斜率与倾斜角
2011年考试说明
要求
A
B
√
直线方程
两直线的平行与垂直关系
√
两直线的交点
√
两点间的距离、点到直线的
√
距离
圆的标准方程和一般方程
直线与圆、圆与圆的位置关
√系ຫໍສະໝຸດ C √√第一节 直线的斜率与直线的方程
基础梳理
直线的倾斜角斜率直线的方程
力 提
点
升
突
破
·
规
律
总
结
菜单
高考总复习·数学（理科）
第八章 平面解析几何
要 点
[易错提醒] 在已知条件中不能确定直线的斜率是否
梳
理 存在时，要注意讨论斜率不存在的情况．
·
基 础
(2)已知两直线的一般方程
落
实
两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2
综 合
训
＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关
点
梳
理
· 基
考点一 直线的倾斜角与斜率
础
落
实
例1
(1)(2014·青浦模拟)直线(a2＋1)x－2ay＋1＝0 的
综 合
训
倾斜角的取值范围是
练 ·
能
考 点
A.0，π4
B.π4 ，π2
力 提 升
突
破
· 规 律
C.π4 ，3π4
D.0，π4 ∪3π4 ，π
总
结
菜单
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第八章 平面解析几何
菜单
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第八章 平面解析几何
要
点
梳
理
· 基
(2)(2014·浦东新区二模)已知直线l1：ax－y＋2a＋1
础 落 实
＝0和l2：2x－(a－1)y＋3＝0(a∈R)，若l1⊥l2，则a＝ 综
________．
合 训
练
【解析】 因为 l1⊥l2，所以 2a＋(a－1)＝0，解得
· 能
律
总
结
菜单
直线的方程与斜率
判断投资回报率：直线的斜率可以用来分析投资与回报之间的关系， 从而判断投资项目的可行性和回报率。
感谢观看
汇报人：XX
斜率不存在时， 直线垂直于x轴， 无交点
斜率为无穷大时， 直线与x轴平行， 无交点
05
直线的斜率在实际问题中的应用
斜率在几何图形中的应用
直线的斜率表示直线在坐标轴上的倾斜程度，可以用于解决与倾斜角相关的问题。 在几何图形中，斜率可以用于计算三角形、梯形等图形的面积和周长。 斜率还可以用于解决与圆、椭圆等曲线相关的问题，例如求曲线的切线方程等。 在实际生活中，斜率可以用于解决与速度、加速度、坡度等物理量相关的问题。
斜率是直线方向向量的分量比值， 与向量的模长和夹角有关
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斜率等于直线方向向量的模长与 向量与x轴夹角的正切值
斜率等于直线方向向量的分量之 比，与向量的模长和夹角有关
04
直线斜率的性质
斜率与直线位置关系
斜率与直线垂直关系：当两直线的斜率之积为-1时，两直线垂直 斜率与直线平行关系：当两直线的斜率相等时，两直线平行 斜率与直线重合关系：当两直线的斜率相等且截距相等时，两直线重合 斜率与直线相交关系：当两直线的斜率不相等且截距不相等时，两直线相交
斜率在物理问题中的应用
描述速度与加速度的关系 计算物体下落时的加速度 分析电路中的电流与电压的关系 确定物体运动的轨迹
斜率在经济问题中的应用
描述需求与供给关系：通过直线的斜率，可以分析需求曲线和供给曲 线在价格与数量关系上的变化趋势，进而理解市场均衡的形成。
直线方程斜率公式
直线方程斜率公式
一、直线方程斜率公式
1、以直线y=ax+b的形式表示：斜率a=极坐标ρ中y分量改变量Δy/x 分量改变量Δ x，即a=Δy/Δx；
2、以直线由两点(x1,y1)、(x2,y2)确定时，求斜率公式为a=(y2-y1)/(x2-x1)；
3、斜率指数形式公式：以指数形式表示的直线y=a*x^b由b可计算得一方程，其斜率a=b*x^{b-1},即a=bx^{b-1}；
4、斜率对数形式公式：以对数形式表示的直线y=a*lnx+b，其斜率
a=1/x；
5、斜率幂形式公式：以幂形式表示的直线y=a*x^b，其斜率a=b*x^{b-1}。
二、应用
1、直线斜率的计算解决了传统数学中求得直线斜率的麻烦和复杂性；
2、在物理中，直线斜率表示物体移动的前进方向，也可用来描述一条曲线所表示的实物的变化过程；
3、在理论数学中，斜率可以直观地表示两个函数的变化趋势，可以用来说明两个变量之间的关系；
4、斜率也应用于生活中，可以结合拟合法来判断所探究的事物是否形成极大或极小；
5、几何中，斜率可以对一些几何形状的倾斜程度进行判断。
直线的一般式方程斜率
直线的一般式方程斜率
直线的一般式方程斜率：k=(y2-y1)/(x2-x1)
直线的斜率：斜率，亦称“角系数”，表示一条直线相对于横轴的倾斜程度。
一条直线与某平面直角坐标系横轴正半轴方向的夹角的正切值即该直线相对于该坐标系的斜率。
如果直线与x轴垂直，直角的正切值无穷大，故此直线不存在斜率。
当直线L的斜率存在时，对于一次函数y=kx+b(斜截式)，k即该函数图像(直线)的斜率。
定义为：由一条直线与右边X轴所成的角的正切。
k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)或(y1-y2)/(x1-x2)直线斜率的相关为：
当直线L的斜率不存在时，斜截式y=kx+b当k=0时y=b；当直线L的斜率存在时，点斜式y2-y1=k(X2-X1)；当直线L在两坐标轴上存在非零截距时，有截距式X/a+y/b=1；对于任意函数上任意一点，其斜率等于其切线与x轴正方向的夹角，即tanα
斜率计算:ax+by+c=0中，k=-a/b
直线斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1)
两条垂直相交直线的斜率相乘积为-1:k1*k2=-1
当k>0时，直线与x轴夹角越大，斜率越大；当k<0时，直线与x轴夹角越大，斜率越小。
直线的方程
直线的方程1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°②倾斜角的范围为[0°，180°) (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 12．直线方程的五种形式3.线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．选择题：如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( )A.13 B ．－13 C ．－32 D.23解析 依题意，设点P (a ，1)，Q (7，b )，则有⎩⎨⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l的斜率为－3－17＋5＝－133x －y ＋a ＝0的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°解析 化直线方程为y ＝3x ＋a ，∴k ＝tan α＝3，∵0°≤α<180°，∴α＝60°已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A. 3 B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3 解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴12≤cos α≤32，∴k ＝2cos α∈[1，3]设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]，又θ∈[0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 解析 由x cos α＋3y ＋2＝0得直线斜率k ＝－33cos α，∵－1≤cos α≤1，∴－33≤k ≤33，设直线的倾斜角为θ，则－33≤tan θ≤33， 结合正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的图像可知，0≤θ≤π6或5π6≤θ<π.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( ) A ．m ≠－32 B ．m ≠0 C ．m ≠0且m ≠1 D ．m ≠1解析 由⎩⎨⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线．在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，选项B 符合．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3， 所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0 D ．a －b ＝0 解析 由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又∵tan α＝－a b ，∴－ab ＝－1，即a ＝b ，故应选D.填空题：过点(1，2)且倾斜角α满足sin α＋cos αsin α－2cos α＝－2的直线的方程为__________解析 由sin α＋cos αsin α－2cos α＝－2，得tan α＝1，直线的方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________解析 直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，∴直线l 恒过定点(2，－2)若过点A (m ，4)与点B (1，m )的直线与直线x －2y ＋4＝0平行，则m 的值为________ 解析 4－m m －1＝12，∴m ＝3.过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_________ 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0，②若直线不过原点，设直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，则a ＝3＋(－4)＝－1， ∴直线的方程为x ＋y ＋1＝0直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角的取值范围为_________ 解析 直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1，若l 的倾斜角为α，则tan α≤1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为_______解析 如图，∵k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，∴k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＝8，当2≤x ≤3时，则yx 的最大值为________；最小值为________． 解析 作出函数y ＝8－2x (2≤x ≤3)的图像，把yx 看成过点(x ，y )和原点的直线的斜率进行求解．设点P (x ，y )，因为x ，y 满足2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，所以点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标分别是(2，4)，(3，2)，∵y x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，∴yx 的最大值为2，最小值为23在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图像只有一个交点，则a 的值为________．解析 ∵|x －a |≥0恒成立，∴要使y ＝2a 与y ＝|x －a |－1只有一个交点，必有2a ＝－1，解得a ＝－12若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π，则k 的取值范围是_________解析 当π6≤α<π4时，33≤tan α<1，∴33≤k <1.当2π3≤α<π时，－3≤tan α<0，∴k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1∪[－3，0)一条直线经过点A (－2，2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为____________ 解析 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1，∵A (－2，2)在此直线上，∴－2a ＋2b ＝1① 又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴12|a |·|b |＝1② 由①②可得(1)⎩⎨⎧ a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎨⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1，即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程若ab >0，且A (a ，0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为_______解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1， ∴－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0，根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.解答题：已知直线l 过点P (3，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解 设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，点P (3，2)代入得3a ＋2b ＝1≥26ab ，得ab ≥24，从而S △AOB ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b 时等号成立时k ＝－b a ＝－23，所求直线方程为2x ＋3y －12＝0设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0， 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1，∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0， 综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0，(2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎨⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0或⎩⎨⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1综上可知a 的取值范围是a ≤－1设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值： (1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.解 (1)∵l 在x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即m ≠3，又m ≠－1，∴m 2－2m －3≠0.令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3，由题意知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝－53.(2)由题意知2m 2＋m －1≠0，且－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.专项能力提升已知直线l 过点(1，0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( ) A ．4x －3y －3＝0 B ．3x －4y －3＝0 C ．3x －4y －4＝0 D ．4x －3y －4＝0 解析 由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，∵直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，∴直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，∴由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8解析 ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立，∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1,0] C ．[0,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2，因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值，∴b 的取值范围是[－2，2]．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________解析 ∵直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，∴A (0，0)，B (1，3)． 当点P 与点A (或B )重合时，|P A |·|PB |为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，∵P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形，∴|AP |2＋|BP |2＝|AB |2＝10，∴|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝102＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时，上式等号成立．。
直线方程的确定
直线方程的确定直线方程是代数学中的一个重要内容，它描述了平面上两点之间的直线关系。
本文将详细介绍直线方程的确定方法。
一、一般形式的直线方程直线方程的一般形式可以表示为 y = mx + c，其中 m 是直线的斜率，c 是直线与 y 轴的截距。
1. 斜率的计算直线通过两点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)。
斜率可以通过以下公式计算得出：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 截距的计算截距表示直线与 y 轴的交点坐标，可以通过直线上已知点 P(x1, y1)的坐标和斜率 m 计算得出：c = y1 - mx1二、点斜式的直线方程点斜式直线方程可以表示为 y - y1 = m(x - x1)，其中 m 是直线的斜率，P(x1, y1) 是直线上的已知点。
1. 斜率的计算斜率可以使用与一般形式相同的公式计算得到。
2. 方程的确定已知斜率 m 和直线上的已知点 P(x1, y1)，可以将它们代入点斜式直线方程中，得到相应的直线方程。
三、截距式的直线方程截距式直线方程可以表示为 x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别表示直线与 x 轴和 y 轴的截距。
1. 斜率的计算斜率可以通过以下公式计算得到：m = -a/b2. 方程的确定已知斜率 m 和直线与 x 轴和 y 轴的截距 a 和 b，可以将它们代入截距式直线方程中，得到相应的直线方程。
四、两点式的直线方程两点式直线方程可以表示为 (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1)，其中 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2) 是直线上的两个已知点。
1. 方程的确定已知直线上的两个点 P(x1, y1) 和 Q(x2, y2)，可以将它们代入两点式直线方程中，得到相应的直线方程。
通过以上的介绍，我们可以看到直线方程的确定方法有一般形式、点斜式、截距式和两点式等多种形式。
根据不同的已知条件和需求，选择合适的直线方程形式可以更方便地描述和计算直线的性质和关系。
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龙文教育教师1对1个性化教案学生姓名黄可教师姓名宋驰俊授课日期授课时段课题直线的斜率与方程教学目标1、理解直线的斜率与直线位置关系的联系；2、掌握直线的五种方程，理解各自的适用情况；3、能灵活运用直线的方程解决相关问题.教学步骤及教学内容教学过程：一、教学衔接（课前环节）1、回收上次课的教案，了解家长的反馈意见；2、检查学生的作业，及时指点3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容二、教学内容知识点1、直线的倾斜角与斜率；知识点2、直线方程的几种形式；知识点3、直线方程几种形式的适用范围.三、教学辅助练习（或探究训练）练习1、直线斜率的考察；练习2、由两个条件求直线方程；练习3、两直线的平行与垂直.四、知识总结1、知识、方法·技能2、目标完成3、学生掌握教导处签字：日期：年月日教学过程中学生易错点归类作业布置学习过程评价一、学生对于本次课的评价O 特别满意 O 满意 O 一般 O 差二、教师评定1、学生上次作业评价O好 O较好 O 一般 O差2、学生本次上课情况评价O 好 O 较好 O 一般 O 差家长意见家长签名：直线与方程知识点1 直线方程1.倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0. 斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即tan ;k =∂当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
2.过两点11122212(,),(,)()p x y p x y x x ≠的直线的斜率公式: 2121tan y y k x x -=∂=-.若12,x x =则直线12p p 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900. 3.直线方程的种形式： 名称 方程适用范围斜截式 y kx b =+ 不含垂直于x 轴的直线 点斜式00()y y k x x -=- 不含直线12x x =两点式 121121x x x x y y y y --=--不含直线112()x x x x =≠、直线112()y y y y =≠.截距式 1=+by ax不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式)0(022≠+=++B A C By Ax平面直角坐标系内的直线都适用题型1：直线斜率的考察：例1：已知三点(3,1)(2,)(8,11)A B K C -共线，则K 的取值是（ ） A 、－6 B 、－7 C 、－8 D 、－9 练习：已知三点(,2),(3,7),(2,9)A a B C a --在一条直线上，求实数a 的值．例2：（1）经过两点(2,3),(1,4)A B 的直线的斜率为 ，倾斜角为 ； 练习：经过两点(4,21),(2,3)A y B +-的直线的倾斜角为120，则y = ． 练习：直线2230x y ++=的倾斜角为 ．知识点2 直线的位置关系（一） 平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交:1.当直线不平行于坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表判定 111222:;:.l y k x b l y k x b =+=+11112222:0;:0.l A x B y C l A x B y C ++=++=平行 1212,k k b b =≠ 212121C C B B A A ≠=重合 1212,k k b b ==212121C C B B A A ==相交 12k k ≠ 2121B B A A ≠垂直121k k ⋅=- 12120A A B B +=2.当直线平行于坐标轴时可结合图形进行考虑其位置关系。
题型2：由两个条件求直线方程：例3：已知一条直线经过点1(2,3)P -，斜率为2，求这条直线的方程．练习：写出下列直线的方程：（1）经过点(0,3)C ，倾斜角是0 ；（2）经过点(4,2)D --，倾斜角是120 ．练习：根据下列条件，求直线的方程：（1）过点(3,4)A 和(3,2)B -；（2）在x 轴上、y 轴上的截距分别是2，3-；题型3：两直线的平行与垂直：例4：两直线02=+-k y x 和0124=+-y x 的位置关系是 ．练习：若直线1l ：013=++y ax 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相平行，则a 的值为 ． 练习：求过点(2,3)A -，且与直线250x y +-=平行的直线方程．练习：直线（23-）x +y =3和直线x +（32-）y =2的位置关系是 （ ）（A ）相交不垂直 （B ）垂直 （C ）平行 （D ）重合知识点3 直线系与对称问题1、点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x=方 程 条 件 关系的对称点的坐标为()b,a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --。
2、点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法： ○1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0a x b y c ++=上。
○2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭。
3、直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：在直线1110a x b y c ++=上任取两个不同的点A 、B ，求出A 、B 两点关于直线0ax by c ++=的对称点''A B 、的坐标；再利用直线方程的两点式即可求出所求直线的方程。
4、点()x,y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,2f a x b y --。
5、直线系方程：过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c ax b y c λ+++++=题型4：点到直线距离公式的应用： 例5：求点)2,1(-P 到下列直线的距离：（1）0102=-+y x ；（2）23=x ．例6：求两条平行线043=-+y x 和0962=-+y x 之间的距离．练习:若直线1l 与直线2l 34200x y --=平行且距离为3，求直线1l 的方程． 题型5 对称问题例7：将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2,0)与点(2,4)-重合，若点(5,8)与点(,)m n 重合，则m n +的值为 （ ） A.4 B.-4 C.13 D.-13例8：一条光线从点(5,3)M 射出，与x 轴的正方向成α角，遇x 轴后反射，若3tan =α，则反射光线所在的直线方程为（ ）A 、123-=x yB.123--=x y C . 123+=x y D .123+-=x y练习：直线2l 是直线1:3260l x y --=关于直线:2310l x y -+=的对称直线，2l 的方程是 .教学练习:1．若直线ax +by+c=0在第一、二、四象限，则有（ ）A ．a c>0,bc>0B ．a c>0,bc<0C ．a c<0,bc>0D ．a c<0,bc<0 2．点P （2，5）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（ ）A ．（－4，－1）B ．（－5，－2）C ．（－6，－3）D ．（－4，－2）3．直线2x －y －4=0绕它与x 轴的交点逆时针旋转4π所得直线方程为（ ）A ．x －3y －2=0B ．3x －y+6=0C ．3x +y －6=0D ．x +y －2=0 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ）A ．32-B ．32C ．23-D ．23错误！未指定书签。
5．直线013=++y x 的倾斜角中（ ） A ．6πB ． 3πC ． 32π D ．65π6．如果直线ax +2y+2=0与直线3x －y －2=0平行，则a =（ ）A ．－3B ．－6C ．23-D ．327．△ABC 的三个顶点是A(0,3),B(3,3),C(2,0),直线l :x=a 将△ABC 分割成面积相等的两部分,则a 的值是（ ）A ．3 B ．221+C ．331+D ．28．过点)1,1(P 作直线l ，与两坐标相交，所得三角形面积为2，则这样的直线l 有 （ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条9．若),(y x M 在直线上012=++y x 移动，则y x 42+的最小值是（ ）A ．22 B ．2C ．22D ．2410．已知ABC ∆的一个顶点为)1,3(-A ，B ∠被y 轴平分，C ∠被直线x y =平分，则直线BC 的方程是 （ ） A ．052=+-y x B ．032=+-y x C ．053=+-y x D ． 052=-+y x11．设A 、B 两点的坐标分别是),(11y x 、),(22y x ，直线AB 的斜率为)0(≠k k ，求证：（1）2121x x k AB -+=； （2）21211y y kAB -+=．12．已知点(3,8),(2,2),A B -点P 是x 轴上的点，求当PBAP +最小时的点P 的坐标．。