2009年安徽高考理科数学

2009年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）
数学（理科）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页。

第II 卷3 至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名，座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮檫干净后，在选涂其他答案标号。

3.答第II 卷时，必须用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨色签字笔清楚。

必须在标号所指示的答题区域作答，超出答题卡区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：
S 表示底面积，h 表示底面的高
如果事件A 、B 互斥，那么 棱柱体积 V S h =
P(A+B)=P(A)+P (B) 棱锥体积 13V S h =
第I 卷 (选择题 共50分)
一.选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，若17(,)2i a bi a b R i
+=+∈-，则乘积ab 的值是（ ） （A ）-15 （B ）-3 （C ）3 （D ）15
（2）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭
则A ∩B 是（ ）
（A ） 11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 (B) {}
23x x << (C) 122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭
(D) 112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩
⎭
（3（ ）
（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410
x y -=
(4)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是（ ）
（A ）p:a c +＞b+d , q:a ＞b 且c ＞d
（B ）p:a ＞1,b>1， q:()(10)x f x a b a =-≠>的图像不过第二象限
（C ）p: x=1, q:2
x x =
（D ）p:a ＞1, q: ()log (10)a f x x a =≠>在(0,)+∞上为增函数
（5）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）
（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18
（6）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（ ）
（7）若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是（ ） （A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34
（8
）已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的单调区间是（ ）
（A ）5[,],1212
k k k Z ππππ-+∈ （B ）511[,],1212k k k Z ππππ++∈ （C ）[,],36k k k Z ππππ-+∈ （D ）2[,],63
k k k Z ππππ++∈ （9）已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线
方程是（ ）
（A ）21y x =- （B ）y x = （C ）32y x =- （D ）23y x =-+
（10）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
（A ）175 （B ） 275 （C ）375 （D ）475
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应
位置。

(11）若随机变量X ～2(,)μσ，则()P X μ≤=________.
(12)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同
的长度单位。

已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα
=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则|AB|=_______.
(13) 程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是
_______.
（14）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o
. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆
弧上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是=________. （15）对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编
号）。

○
1相对棱AB 与CD 所在的直线异面； ○
2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点； ○
3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在的直线异面； ○
4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱。

三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

解答写在答题卡的指定区域内。

（16）（本小题满分12分）
在∆ABC 中，sin(C-A)=1, sinB=
13。

（I ）求sinA 的值；
(II)设∆ABC 的面积。

（17）（本小题满分12分）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A 感染的。

对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12。

同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13。

在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量。

写出X 的分布列(不要求写出计算过程),并求X 的均值（即数学期望）.
（18）（本小题满分13分）如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC=2，
AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，AE=1，CF=2。

（I ）求二面角B-AF-D 的大小；
（II ）求四棱锥E-ABCD 与四棱锥F-ABCD 公共部分的体积。

（19）（本小题满分12分） 已知函数2()(2ln ),0f x x a x a x
=-+->，讨论()f x 的单调性.
（20）（本小题满分13分） 点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上，00cos ,sin ,0.2x a y b πβββ==<<直线2l 与直线00122:1x y l x y a b
+=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ. （I ）证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点； （II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

（21）（本小题满分13分）
首项为正数的数列{}n a 满足211(3),.4n n a a n N ++=+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围。