2009年全国高考理科数学试题及答案-山东

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。

参考公式：
柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。

锥体的体积公式V=13
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).
事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概
率:()(1)(0,1,2,
,)k k n k
n n P k C p p k n -=-=.
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、集合{}0,2,A a =,{}
21,B a =,若{}0,1,2,4,16A
B =,则a 的值为( )
A.0
B.1
C.2
D.4
2、复数
31i
i
--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -
3、将函数sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
+
+=x y D.22sin y x =
4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.2π+
B. 4π+
C. 2π+
D. 4π+5、 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6、函数x x
x x
e e y e e --+=-的图像大致为( ).
7、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=
８、某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净 重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 [96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104), [104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大 于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 9、设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个
公共点，则双曲线的离心率为( ). A.
4
5
B. 5
C. 25
D.5
10、 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩
⎨
⎧>---≤-0),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )
A.-1
B. 0
C.1
D. 2 11、在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2
x
π的值介于0到
2
1
之间的概率为( ). A.
31 B.π
2
C.21
D.32 12、设x ，y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，
若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12， 则
23
a b
+的最小值为( ).
第8题图
A B
C P 第7题图
A.625
B.38
C. 3
11 D. 4
第12题图 第∏卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、不等式0212<---x x 的解集为 .
14、若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a
15、执行右边的程序框图，输入的T= .
16、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在 区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间
[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x
x x +++=
17、(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=
31，f(3
C
)=－41，且C 为锐角，求sinA. 18、（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。

（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。

19、(本小题满分12分)
在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
E A B C
F E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D
p 0.03 P 1 P 2 P 3 P 4
（1） 求q 2的值；
（2） 求随机变量ξ的数学期望E ξ;
（3） 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。

20、（本小题满分12分）
等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +
∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r
≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；
（2）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈，证明：对任意的n N +
∈ ，不等式
1212111
·······1n n
b b b n b b b +++>+成立 21、（本小题满分12分）
两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧
上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城
市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.
（1）将y 表示成x 的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧
上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影
响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。

（22）（本小题满分14分）
设椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，
（1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

参考答案
1、A ．∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴216
4a a ⎧=⎨=⎩
∴4a =,故选D.
2、D ．∵{}0,2,A a =,{}2
1,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴216
4
a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.
3. D.将函数sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,
再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为2
1cos 22sin y x x =+=,故选D.
4、C ．该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面 边长为 ，高为 ，所以体积为 所以该几何体的体积为 .
5、B ．由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的
一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.
6、A ．函数有意义,需使0x x
e e
--≠,其定义域为{}0|≠x x ,2排除C,D,又因为22212
111
x x x x x x
x e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.
7、C ．因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。

8、A ．产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则
300.036
=n
,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.
9、D ．双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得2
10b x x a -+=有唯一解,
所以△=2()40b a -=,所以2b a =
,2c e a ====故选D.
10、C ．由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 11、C ．在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,2
2
2
x
π
ππ
-≤
≤
, ∴0cos
12
x
π≤≤
区间长度为1, 而cos
2
x
π的值介于0到
21之间的区间长度为21,所以概率为2
1
.故选C 12、A ．不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而
23a b +=2323131325()()26666
a b b a a b a b ++=++≥+=,故选A. 13、{|11}x x -<<.原不等式等价于不等式组①221(2)0
x x x ≥⎧
⎨---<⎩或②
12221(2)0
x x x ⎧
<<⎪
⎨
⎪-+-<⎩或③
12(21)(2)0x x x ⎧
≤⎪
⎨
⎪--+-<⎩
不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.
14 、1>a .设函数(0,x
y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是
函数(0,x
y a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x
y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a
15、30.按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30
16、-8.因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知
1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-
17、解: （1）f(x)=cos(2x+
3
π)+sin 2
x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+
=- 所以函数f(x)
,最小正周期π. （2）f(3C
)=1
223C -=－41,
所以2sin 3C =,因为C 为锐角,所以233C π=,所以2C π=,所以sinA
=cosB=
3
1
. 18、解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD=//
A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.
E
A
B
C
F
E 1
A 1
B 1
C 1
D 1
D F 1
O P
（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中
,OB =在
Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵
11OP OF CC C F =
∴22OP ==
, 在Rt △OPF 中
,2
BP ===,
cos 2OP OPB BP ∠===所以二面角B-FC 1-C
的余弦值为7
.
解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,
以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A
）,F
）,C （0,2,0）,
C 1（0,2,2）,E
（
2
,12
-
,0）,E 1
（
,-1,1）,所以
131
(
,1)2
EE =-,(3,1,0)CF =
-,1(0,0,2)CC =1(,2)FC =-设平面CC 1F 的法向量为(,,)n x y z =则100
n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩所以0
0y z -==⎪⎩取(1,3,0)n =,
则1
3111002n EE ⋅=⨯-⨯=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1.
（2）(0,2,0)FB =,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z =,则11100
n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111020
y y z =⎧⎪
⎨++=⎪⎩
,
取
1n =,则121002n n ⋅=⨯+=, ||1(2n
=+=,21||
2n =+=,
所以111cos ,||||2n n n n n n ⋅〈〉=
==⨯,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为
E A
7
. 19、（1）2()1P B q =-.
根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=，q 2=0.2. （2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+
)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q 2( 21q -)×2=1.5 q 2( 21q -)=0.24
当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01, 当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48, 当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+
222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24
所以随机变量ξ的分布列为
随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++
()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;
该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.
20、（1）解:因为对任意的n N +
∈,点(,)n n S ，均在函数(0x
y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得
n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b -
---=-=+-+=-=-,
又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-
（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1
222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=
则
1212n n b n b n ++=,所以1
212111
35721
(246)
2n n b b b n b b b n
++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式
1212111
35721
(246)
2n n b b b n b b b n
++++=⋅⋅>.
① 当1n =时,左边=
32,右边
,
因为3
2
>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,
即
1212111
35721
(246)
2k k b b b k b b b k
++++=⋅⋅>.则当1n k =+时,左边=
1121211111
3572123
···
(246)
222
k k k
k b b b b k
k b b b
b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅
⋅+ 2322k k +===>+所以当1n k =+时,不等式也成立
.
由①、②可得不等式恒成立.
21解:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,2
2
400BC x =-,
22
4(020)400k y x x x =
+<<- 其中当x =时，y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x
=
+<<- 设2
2
,400m x n x ==-,则400m n +=,
49y m n =
+,所以494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=当且仅当49n m m n
=即240
160n m =⎧⎨
=⎩
时取”=”.
下面证明函数49
400y m m
=
+
-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0<m 1<m 2<160,则121122
4949()400400y y m m m m -=
+-+-- 12124499
(
)()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)
m m m m m m m m --=+-- 21121249
()[
](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)
m m m m m m m m m m ---=---, 因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240 9 m 1m 2<9×160×160所以
1212
12124(400)(400)90(400)(400)
m m m m m m m m --->--,
所以12122112124(400)(400)9()
0(400)(400)m m m m m m m m m m ---
->--即12y y >函数49
400y m m
=+-在(0,160)上为减函数.
同理,函数
49400y m m
=
+
-在(160,400)上为增函数,设160<m 1<m 2<400,则
1211224949
()400400y y m m m m -=
+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)
m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600<m 1<m 2<400,所以412(400)(400)m m --<4×240×240, 9 m 1m 2>9×160×160 所以
1212
12124(400)(400)90(400)(400)
m m m m m m m m ---<--,
所以12122112124(400)(400)9()
0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数49
400y m m
=+-在(160,400)上为增函数.
所以当m=160即410x =时取”=”,函数y 有最小值, 所以弧上存在一点，当410x =A 和城B 的总影响度最小.
解:（1）因为椭圆E: 22
221x y a b
+=（a,b>0）过M （22 ，6,1)两点,
所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得2211
8
11
4
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆
的切线方程为
y kx m =+解方程组22
18
4x y y kx m
+==+⎧⎪
⎨⎪⎩得222()8
x kx m ++=,即
222(12)4280k x kmx m +++-=,
则△=2
2
2
2
2
2
164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22
840k m -+>
1222
12241228
12km x x k m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
,
2222222
2
212121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++要使
OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即22222
28801212m m k k k --+=++,所以22
3880m k --=,所以223808
m k -=≥
又22
840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,
即m ≥
m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++
,r =,所求的圆为2283
x y +=,此时圆的切线y kx m =+
都满足m ≥
或m ≤,
而当切线的斜率不存在时切线为x =22
184
x y +=
的两个交点为±
或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283
x y +=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.。