2009年全国高考理科数学试题及答案-山东
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
绝密★启用前 试卷类型：B2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学解析版注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.（1） 已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=（A ）{x|-1<x<3} (B){x|-1≤x ≤3} (C){x|x<-1或x>3} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x 3≤≤,全集U =R ，所以U C M={}x|x<-1x>3或,故选C.【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知2(,)a i b i a b i +=+2a ib i i+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B 【解析】由a+2i=b+i i得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
(3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅱ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=05．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．257．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C的面积等于，则球O的表面积等于．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）=（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．2+4i D．2﹣4i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行乘法运算，整理成最简形式，得到结果．【解答】解：原式=，故选：A．【点评】本题考查复数的乘除运算，是一个基础题，在近几年的高考题目中，复数的简单的运算题目是一个必考的问题，通常出现在试卷的前几个题目中．2．（5分）设集合A={x||x|＞3}，B={x |＜0}，则A∩B=（）A．φB．（3，4）C．（﹣2，1）D．（4，+∞）【考点】1E：交集及其运算．【分析】先化简集合A和B，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：A={x||x|＞3}⇒{x|x＞3或x＜﹣3}，B={x |＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故选：B．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（5分）已知△ABC中，cotA=﹣，则cosA=（）A ．B ．C ．D ．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】利用同角三角函数的基本关系cosA转化成正弦和余弦，求得sinA和cosA的关系式，进而与sin2A+cos2A=1联立方程求得cosA的值．【解答】解：∵cotA=∴A为钝角，cosA＜0排除A和B，再由cotA==，和sin2A+cos2A=1求得cosA=，故选：D．【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用．主要是利用了同角三角函数中的平方关系和商数关系．4．（5分）函数在点（1，1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣2=0B．x+y﹣2=0C．x+4y﹣5=0D．x﹣4y+3=0【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题．【分析】欲求切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：依题意得y′=，因此曲线在点（1，1）处的切线的斜率等于﹣1，相应的切线方程是y﹣1=﹣1×（x﹣1），即x+y﹣2=0，故选：B．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5G：空间角．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A ．B ．C．5D．25【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．【解答】解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选：C．【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．7．（5分）设a=log3π，b=log 2，c=log 3，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．【解答】解：∵∵，故选A【点评】本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．8．（5分）若将函数y=tan（ωx +）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，则ω的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx +）的图象重合，比较系数，求出ω=6k +（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx +），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x ﹣）+]=tan（ωx +）∴﹣ω+kπ=∴ω=k +（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin =．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，待定系数法的应用，考查计算能力，是常考题．9．（5分）已知直线y=k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2=8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A ．B ．C ．D ．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB ，进而可知，进而推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2直线y=k（x+2）（k＞0）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，故点B 的坐标为，故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了对抛物线的基础知识的灵活运用．10．（5分）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）A．6种B．12种C．24种D．30种【考点】D5：组合及组合数公式．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分两步，①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42=36，②两人所选两门都相同的有为C42=6种，都不同的种数为C42=6，故选：C．【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过F 且斜率为的直线交C于A、B 两点，若=4，则C的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】I3：直线的斜率；KA：双曲线的定义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设双曲线的有准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB的斜率可知直线AB的倾斜角，进而推，由双曲线的第二定义|AM|﹣|BN|=|AD|，进而根据，求得离心率．【解答】解：设双曲线的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，由直线AB 的斜率为，知直线AB的倾斜角为60°∴∠BAD=60°，由双曲线的第二定义有：=∴，∴故选：A．【点评】本题主要考查了双曲线的定义．解题的关键是利用了双曲线的第二定义，找到了已知条件与离心率之间的联系．12．（5分）纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位（）A．南B．北C．西D．下【考点】LC：空间几何体的直观图．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查多面体展开图；正方体的展开图有多种形式，结合题目，首先满足上和东所在正方体的方位，“△”的面就好确定．【解答】解：如图所示．故选B【点评】本题主要考查多面体的展开图的复原，属于基本知识基本能力的考查．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）4的展开式中x3y3的系数为6．【考点】DA：二项式定理．【分析】先化简代数式，再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x，y的指数都为1求出x3y3的系数【解答】解：，只需求展开式中的含xy项的系数．∵的展开式的通项为令得r=2∴展开式中x3y3的系数为C42=6故答案为6．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5=5a3，则=9．【考点】83：等差数列的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据等差数列的等差中项的性质可知S9=9a5，S5=5a3，根据a5=5a3，进而可得则的值．【解答】解：∵{a n}为等差数列，S9=a1+a2+…+a9=9a5，S5=a1+a2+…+a5=5a3，∴故答案为9【点评】本题主要考查了等差数列中等差中项的性质．属基础题．15．（5分）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C．若圆C 的面积等于，则球O 的表面积等于8π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】本题可以设出球和圆的半径，利用题目的关系，求解出具体的值，即可得到答案．【解答】解：设球半径为R，圆C的半径为r，．因为．由得R2=2故球O的表面积等于8π故答案为：8π，【点评】本题考查学生对空间想象能力，以及球的面积体积公式的利用，是基础题．16．（5分）求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．【解答】已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴OM=ON=OP=OQ=AB，∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．【点评】本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，cos（A﹣C）+cosB=，b2=ac，求B．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】本题考查三角函数化简及解三角形的能力，关键是注意角的范围对角的三角函数值的制约，并利用正弦定理得到sinB=（负值舍掉），从而求出答案．【解答】解：由cos（A﹣C）+cosB=及B=π﹣（A +C）得cos （A﹣C）﹣cos（A+C）=，∴cosAcosC+sinAsinC﹣（cosAcosC﹣sinAsinC）=，∴sinAsinC=．又由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC，故，∴或（舍去），于是B=或B=．又由b2=ac知b≤a或b≤c所以B=．【点评】三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，D、E分别为AA1、B1C的中点，DE⊥平面BCC1．（Ⅰ）证明：AB=AC；（Ⅱ）设二面角A﹣BD﹣C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小．【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）连接BE，可根据射影相等的两条斜线段相等证得BD=DC，再根据相等的斜线段的射影相等得到AB=AC；（2）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可，作AG⊥BD于G，连GC，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，在三角形AGC中求出GC即可．【解答】解：如图（I）连接BE，∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴∠B1BC=90°，∵E为B1C的中点，∴BE=EC．又DE⊥平面BCC1，∴BD=DC（射影相等的两条斜线段相等）而DA⊥平面ABC，∴AB=AC（相等的斜线段的射影相等）．（II）求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可．作AG⊥BD于G，连GC，∵AB⊥AC，∴GC⊥BD，∠AGC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，∠AGC=60°不妨设，则AG=2，GC=4在RT△ABD中，由AD•AB=BD•AG ，易得设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为α．利用，可求得h=，又可求得，∴α=30°．即B1C与平面BCD所成的角为30°．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．19．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1=4a n+2（n∈N*）．（1）设b n=a n+1﹣2a n，证明数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．【考点】87：等比数列的性质；8H：数列递推式．【专题】15：综合题．【分析】（1）由题设条件知b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2和S n=4a n﹣1+2相减得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，即a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），所以b n=2b n﹣1，由此可知{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（2）由题设知．所以数列是首项为，公差为的等差数列．由此能求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由a1=1，及S n+1=4a n+2，得a1+a2=4a1+2，a2=3a1+2=5，所以b1=a2﹣2a1=3．由S n+1=4a n+2，①则当n≥2时，有S n=4a n﹣1+2，②①﹣②得a n+1=4a n﹣4a n﹣1，所以a n+1﹣2a n=2（a n﹣2a n﹣1），又b n=a n+1﹣2a n，所以b n=2b n﹣1（b n≠0），所以{b n}是以b1=3为首项、以2为公比的等比数列．（6分）（2）由（I）可得b n=a n+1﹣2a n=3•2n﹣1，等式两边同时除以2n+1，得．所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以，即a n=（3n﹣1）•2n﹣2（n∈N*）．（13分）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要掌握等比数列的证明方法，会求数列的通项公式．20．（12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．（Ⅰ）求从甲、乙两组各抽取的人数；（Ⅱ）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（Ⅲ）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】B3：分层抽样方法；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；48：分析法．【分析】（Ⅰ）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可．另外要注意此分层抽样与性别无关．（Ⅱ）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难．直接在男工里面抽取一人，在女工里面抽取一人，除以在总的里面抽取2人的种数即可得到答案．（Ⅲ）求ξ的数学期望．因为ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出每个取值的概率，然后根据期望公式求得结果即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）因为甲组有10名工人，乙组有5名工人，从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，根据分层抽样的原理可直接得到，在甲中抽取2名，乙中抽取1名．（Ⅱ）因为由上问求得；在甲中抽取2名工人，故从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，，，ξ01 2 3P故Eξ==．【点评】本题较常规，比08年的概率统计题要容易．在计算P（ξ=2）时，采用求反面的方法，用直接法也可，但较繁琐．考生应增强灵活变通的能力．21．（12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F 转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（I）设F（c，0），则直线l的方程为x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l的距离求得c，进而根据离心率求得a和b．（II）由（I）可得椭圆的方程，设A（x1，y1）、B（x2，y2），l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得方程△＞0．由韦达定理可求得y1+y2和y1y2的表达式，假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），代入椭圆方程；把A，B两点代入椭圆方程，最后联立方程求得c，进而求得P点坐标，求出m的值得出直线l的方程．【解答】解：（I）设F（c，0），直线l：x﹣y﹣c=0，由坐标原点O到l 的距离为则，解得c=1又，∴（II）由（I ）知椭圆的方程为设A（x1，y1）、B（x2，y2）由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设l：x=my+1代入椭圆的方程中整理得（2m2+3）y2+4my﹣4=0，显然△＞0．由韦达定理有：，，①假设存在点P ，使成立，则其充要条件为：点P的坐标为（x1+x2，y1+y2），点P 在椭圆上，即．整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6．又A、B在椭圆上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6、故2x1x2+3y1y2+3=0②将x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1及①代入②解得∴，x1+x2=，即当；当【点评】本题主要考查了椭圆的性质．处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够．所谓“算”，主要讲的是算理和算法．算法是解决问题采用的计算的方法，而算理是采用这种算法的依据和原因，一个是表，一个是里，一个是现象，一个是本质．有时候算理和算法并不是截然区分的．例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点．22．（12分）设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，（Ⅰ）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：f（x2）＞．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），令g（x）=2x2+2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可证得不等式．【解答】解：（I ）令g（x）=2x2+2x+a ，其对称轴为．由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，其充要条件为，得（1）当x∈（﹣1，x1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，x1）内为增函数；（2）当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（x1，x2）内为减函数；（3）当x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（x2，+∞）内为增函数；（II）由（I）g（0）=a＞0，∴，a=﹣（2x22+2x2）∴f（x2）=x22+aln（1+x2）=x22﹣（2x22+2x2）ln（1+x2）设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x），（﹣＜x＜0）则h'（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x）当时，h'（x）＞0，∴h（x ）在单调递增，故．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．。
2009-2011年高考数学(理)试题及答案(山东卷)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B). 事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)kkn kn n P k C p p k n -=-= .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）集合{}0,2,A a =,{}21,B a=,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4 （2）复数31ii--等于 （A ）i 21+ B ）12i - C ）2i + D ）2i -（3）将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A ）cos 2y x = （B ）22cos y x = （C ）)42sin(1π++=x y （D ）22sin y x =（4） 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）2π+ （B ）4π+（C ）2π （D ）4π+（5） 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（6） 函数x x x xe e y e e--+=-的图像大致为(7）设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则 (A ）0PA PB += (B ）0PC PA += (C ）0PB PC += (D ）0PA PB PC ++=D侧(左)视图正(主)视图 ABC P第7题图(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A ）90 (B ）75 (C ） 60 (D ）45(9） 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 (A ）45(B ） 5 (C ） 25 (D ）5(10） 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为(A ）-1 (B ） 0 (C ）1 (D ） 2 （11）在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2（C ）21 （D ）32 （12） 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23a b+的最小值为( ). （A ）625 （B ）38 （C ） 311（D ） 4第8题图第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠（2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）设|a n|是等左数列，若a2=3,a1=13,则数列{a n}前8项的和为A.128B.80C.64D.56（4）函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R)，若f(a)=2,则f(-a)的值为A.3B.0C.-1D.-2(5)某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A. B.C. D.(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A. B. C. D.（7）函数y=cos x(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为A.-sin xB.sin xC.-cos xD.cos x(8)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b2ac,则角B 的值为A. B. C.或 D.或(9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24C.28D.48(10)若实数x、y满足则的取值范围是A.（0，2）B.（0，2）C.(2,+∞)D.[2，+∞)（11）如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数y=f(x)的图象可能是（12）双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，则双曲线离心率的取值范围为A.（1，3）B.（1，3）C.（3，+∞）D. [3，+∞]第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）（x+）9展开式中x2的系数是 .（用数字作答）（14）若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .（15）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、∈P（除数b≠0）则称P是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM,则数集M必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量,且(Ⅰ)求tan A的值；(Ⅱ)求函数R)的值域.（18）（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码.已知三人各自破译出密码的概率分别为且他们是否破译出密码互不影响.(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.（20）（本小题满分12分）已知｛a n｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（n N*）在函数y=x2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n｝满足b1=1,b n+1=b n+，求证：b n ·b n+2＜b2n+1.(21)（本小题满分12分）已知函数的图象过点（-1，-6），且函数的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值.(22)（本小题满分14分）如图，椭圆（a＞b＞0）的一个焦点为F(1,0)，且过点（2，0）.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于点N， 直线AF与BN交于点M.(ⅰ)求证：点M恒在椭圆C上；(ⅱ)求△AMN面积的最大值.数学试题（文史类）参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分.（1）A （2）C (3)C (4)B (5)C (6)D （7）A （8）A (9)A (10)D (11)A (12)B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分.（13）84 （14） （15）9 （16）①④三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）由题意得m·n=sin A-2cos A=0,因为cos A≠0,所以tan A=2.（Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A=2得因为x R,所以.当时，f(x)有最大值，当sin x=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是（18）本小题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力.满分12分.解：记“第i个人破译出密码”为事件A1(i=1,2,3)，依题意有且A1，A2，A3相互独立.（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B＝A1·A2··A1··A3+·A2·A3且A1·A2·，A1··A3，·A2·A3彼此互斥于是P(B)=P(A1·A2·)+P（A1··A3）+P（·A2·A3） ＝ ＝.答：恰好二人破译出密码的概率为.（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D.D＝··，且，，互相独立，则有P（D）＝P（）·P（）·P（）＝＝.而P（C）＝1-P（D）＝，故P（C）＞P（D）.答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.（19）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝,cos∠PBO=,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝，在Rt△POC中，PC＝，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=·2=.又S△=设点A到平面PCD的距离h，由V P-ACD=V A-PCD，得S△ACD·OP＝S△PCD·h，即×1×1＝××h，解得h＝.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以＝（-1，1，0），＝（t，-1，-1），∞〈、〉=，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知=（-1，0，1），＝（-1，1，0），则 n·＝0，所以 -x0+ x0=0,n·＝0， -x0+ y0=0， 即x0=y0=x0, 取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝（20）本小题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1-a n=1，又a1=1,所以数列｛a n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故a n=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1-b n=2n.b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝=2n-1.因为b n·b n+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以b n·b n+2＜b,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,b n·b n+2- b=(b n+1-2n)(b n+1+2n+1)- b=2n+1·b n-1-2n·b n+1-2n·2n+1＝2n（b n+1-2n+1）=2n（b n+2n-2n+1）=2n（b n-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以b n-b n+2<b2n+1（21）本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等基础知识，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3, ……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+ ∞)f′(x)+0－0＋f(x)极大值极小值由此可得：当0<a<1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1<a<3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.(22)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等基本知识，考查运算能力和综合解题能力，满分14分,解法一：（Ⅰ）由题设a=2,c=1,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆C前方程为.(Ⅱ)(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),=1. ……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有n(x0-1)-(m-1)y0=0, ……②n(x0-4)+(m-4)y0=0, ……③由②，③得x0=.所以点M恒在椭圆G上.(ⅱ)设AM的方程为x=xy+1,代入＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.设A(x1,y1),M（x2，y2），则有：y1+y2=|y1-y2|=令3t2+4=λ(λ≥4),则|y1-y2|＝因为λ≥4，0<|y1-y2|有最大值3，此时AM过点F.△AMN的面积S△AMN=解法二：（Ⅰ）问解法一：（Ⅱ）（ⅰ）由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0), ……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0, ……②n(x-4)-(m-4)y=0, ……③由②，③得：当≠. ……④由④代入①，得=1（y≠0）.当x=时，由②，③得：解得与a≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为即点M恒在锥圆C上.（Ⅱ）同解法一.。
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
四级高频词汇1.alter ['ɔ:ltə] v. 改变，改动，变更2.burst [bə:st]vi.,n. 突然发生，爆裂3.dispose [dis'pəuz] vi. 除掉；处置；解决；处理(of)4.blast['baiəu,blæst] n. 爆炸；气流vi. 炸，炸掉5.consume [kən'sju:m]v. 消耗，耗尽6.split[split] v. 劈开；割裂；分裂a.裂开的7.spit[spit] v. 吐（唾液等）；唾弃8.spill [spil] v. 溢出，溅出，倒出9.slip[slip] v. 滑动，滑落；忽略10.slide [slaid]v. 滑动，滑落n. 滑动；滑面；幻灯片11.bacteria [bæk'tiəriə]n. 细菌12.breed[bri:d] n. 种，品种v. 繁殖，产仔13.budget['bʌdʒit] n. 预算v. 编预算，作安排14.candidate['kændideit, -dət] n. 候选人15.campus['kæmpəs] n. 校园16.liberal ['libərəl] a. 慷慨的；丰富的；自由的17.transform[træns'fɔ:m] v. 转变，变革；变换18.transmit [trænz'mit]v. 传播，播送；传递19.transplant [træns'plɑ:nt]v. 移植20.transport[træns'pɔ:t] vt. 运输，运送n. 运输，运输工具21.shift [ʃift]v. 转移；转动；转变22.vary['vεəri] v. 变化，改变；使多样化23.vanish['væniʃ] vi. 消灭，不见24.swallow['swɔləu] v. 吞下，咽下n. 燕子25.suspicion[sə'spiʃən] n. 怀疑，疑心26.suspicious [sə'spiʃəs] a. 怀疑的，可疑的d[maild] a. 温暖的，暖和的；温柔的，味淡的28.tender['tendə] a. 温柔的；脆弱的29.nuisance['nju:səns] n. 损害，妨害，讨厌（的人或事物）30.insignificant[,insig'nifikənt] a. 无意义的，无足轻重的；无价值的31.accelerate[ək'seləreit] vt. 加速，促进32.absolute ['æbsəlju:t, ,æbsə'lju:t] a. 绝对的，无条件的；完全的33.boundary['baundəri] n. 分界线，边界34.brake[breik] n. 刹车，制动器v. 刹住（车）35.catalog['kætəlɔɡ] n. 目录（册）v. 编目36.vague [veiɡ]a. 模糊的，不明确的37.vain[vein] n. 徒劳，白费38.extinct[ik'stiŋkt] a. 绝灭的，熄灭的39.extraordinary[ik'strɔ:dənəri] a. 不平常的，特别的，非凡的40.extreme [ik'stri:m] a. 极度的，极端的n. 极端，过分41.agent ['eidʒənt] n. 代理人，代理商；动因，原因42.alcohol['ælkəhɔl] n. 含酒精的饮料，酒精43.appeal[ə'pi:l] n./vi. 呼吁，恳求44.appreciate[ə'pri:ʃieit] vt. 重视，赏识，欣赏45.approve[ə'pru:v] v. 赞成，同意，批准46.stimulate['stimjuleit] vt. 刺激，激励47.acquire[ə'kwaiə] vt. 取得，获得；学到48.accomplish[ə'kʌmpliʃ] vt .完成，到达；实行work['netwə:k] n. 网状物；广播网，电视网；网络50.tide[taid] n. 潮汐；潮流51.tidy['taidi] a. 整洁的，整齐的52.trace[treis] vt. 追踪，找到n. 痕迹，踪迹53.torture['tɔ:tʃə] n./vt. 拷打，折磨54.wander['wɔndə] vi. 漫游，闲逛55.wax[wæks] n. 蜡56.weave [wi:v] v. 织，编57.preserve[pri'zə:v] v. 保护，保存，保持，维持61. abuse[ə'bju:z, ə'bju:s] v. 滥用，虐待；谩骂62. academic[,ækə'demik] a. 学术的；高等院校的；研究院的63. academy[ə'kædəmi] n. （高等）专科院校；学会64. battery ['bætəri] n. 电池（组）65. barrier ['bæriə] n. 障碍；棚栏66. cargo ['kɑ:ɡəu]n. （船、飞机等装载的）货物67. career[kə'riə] n. 生涯，职业68. vessel['vesəl] n. 船舶；容器，器皿；血管69. vertical['və:tikəl] a. 垂直的70. oblige[ə'blaidʒ] v. 迫使，责成；使感激71. obscure [əb'skjuə]a. 阴暗，模糊72. extent[ik'stent] n. 程度，范围，大小，限度73. exterior[ik'stiəriə] n. 外部，外表a. 外部的，外表的74. external[ik'stə:nəl] a. 外部的，外表的，外面的75. petrol['petrəl] n. 汽油76. petroleum[pi'trəuliəm] n. 石油77. delay[di'lei] vt./n. 推迟，延误，耽搁78. decay [di'kei] vi. 腐烂，腐朽79. decent['di:sənt] a. 像样的，体面的80. route[ru:t, raut] n. 路；路线；航线81. ruin['ruin] v. 毁坏，破坏n. 毁灭，[pl.]废墟82. sake[seik] n. 缘故，理由83. satellite['sætəlait] n. 卫星84. scale[skeil] n. 大小，规模；等级；刻度85. temple['templ] n. 庙宇86. tedious['ti:diəs] a. 乏味道，单调的，87. tend [tend]vi.易于，趋向88. tendency['tendənsi] n.趋向，趋势89. ultimate['ʌltimət] a. 极端的，最大的，最终的n. 极端90. undergo [,ʌndə'ɡəu]v. 经历，遭受91. abundant[ə'bʌndənt] a. 丰富的，充裕的，大量的92. adopt [ə'dɔpt]v. 收养；采用；采纳93. adapt [ə'dæpt] vi. 适应，适合；改编，改写vt. 使适应94. bachelor ['bætʃələ] n. 学士，学士学位；单身汉95. casual['kæʒjuəl] a. 偶然的，碰巧的；临时的；非正式的96. trap [træp] n. 陷阱，圈套v. 设陷阱捕捉97. vacant['veikənt] a. 空的，未占用的98. vacuum ['vækjuəm] n. 真空，真空吸尘器99. oral['ɔ:rəl, 'ɔ-] a. 口头的，口述的，口的100. optics['ɔptiks] n. （单、复数同形）光学101. organ ['ɔ:ɡən]n. 器官，风琴102. excess[ik'ses] n. 过分，过量，过剩103. expel [ik'spel] v. 驱逐，开除，赶出104. expend[ik'spend] v. 消费105. expenditure[iks'penditʃə] n. 支出，消费；经费106. expense [ik'spens]n. 开销，费用107. expensive [ik'spensiv]a. 花钱多的；价格高贵的108. expand[ik'spænd] v. 扩大，扩张；展开，膨胀109. expansion[ik'spænʃən] n. 扩大，扩充；发展，膨胀110. private ['praivit]a. 私人的，个人的111. individual[,indi'vidjuəl] a. 个别的，单独的n. 个人，个体112. personal ['pə:sənl]a. 个人的，私人的；亲自的114. personnel [,pə:sə'nel]n. [总称]人员，员工；人事部门115. the Pacific Ocean 太平洋116. the Atlantic Ocean 大西洋117. the Arctic Ocean 北冰洋118. the Antarctic Ocean 南冰洋119. grant[ɡrænt] vt. 授予，同意，准予119. grand [ɡrænd] a. 宏伟大，壮丽的，重大的120. invade [in'veid]v. 侵入，侵略，侵袭121. acid['æsid] n. 酸，酸性物质a. 酸的；尖刻的122. acknowledge[ək'nɔlidʒ] v. 承认；致谢123. balcony['bælkəni] n. 阳台124. calculate['kælkjuleit] vt. 计算，核算125. calendar['kælində] n. 日历，月历126. optimistic[,ɔpti'mistik] a. 乐观127. optional['ɔpʃənəl] a. 可以任选的，非强制的128. outstanding[,aut'stændiŋ] a. 杰出的，突出的，显著的129. export [ik'spɔ:t,]n. 出口（物）v. 出口，输出130. import [im'pɔ:t]n. 进口（物）v. 进口，输入131. impose[im'pəuz] vt. 把...加强(on)；采用，利用132. religion[ri'lidʒən] n. 宗教，宗教信仰133. religious[ri'lidʒəs] a. 宗教的134. victim['viktim] n. 牺牲品，受害者135. video ['vidiəu]n. 电视，视频a. 电视的，录像的136. videotape['vidiəuteip] n. 录像磁带v. 把...录在录像带上137. offend [ə'fend]v. 冒犯，触犯138. bother['bɔðə] v. 打搅，麻烦139. interfere[,intə'fiə] v. 干涉，干扰，妨碍140. internal [in'tə:nəl] a. 内部的，国内的141. beforehand[bi'fɔ:hænd] ad. 预先，事先142. racial['reiʃəl] a. 人种的种族的143. radiation [,reidi'eiʃən] n. 放射物，辐射144. radical['rædikəl] a.根本的；激进的145. range[reindʒ] n. 幅度，范围v. （在某范围内）变动146. wonder['wʌndə] n. 惊奇，奇迹v. 想知道，对...感到疑惑147. isolate['aisəleit, -lit] vt. 使隔离，使孤立148. issue ['iʃju:, 'isju:]n. 问题，争论点；发行，（报刊）一期149. hollow['hɔləu] a. 空的，中空的，空虚道150. hook [huk]n. 钩vt. 钩住151. adequate['ædikwit] a. 适当地；足够152. adhere[əd'hiə] vi. 粘附，附着；遵守，坚持153. ban vt. 取缔，禁止154. capture vt. 俘虏，捕获155. valid a. 有效的，有根据的；正当的156. valley n. 山谷，峡谷157. consistent a. 坚固定；一致的，始终如一的158. continuous a. 继续的，连续（不断）的159. continual a. 不断地，频繁的160. explode v. 爆炸；爆发；激增161. exploit v. 剥削；利用，开采162. explore v. 勘探163. explosion n. 爆炸；爆发；激增164. explosive a. 爆炸的；极易引起争论的165. remote a. 遥远的，偏僻的166. removal n. 除去，消除167. render vt. 使得，致使167. render ['rendə]n. 打底；交纳；粉刷vt. 致使；提出；实施；着色；以回报vi. 给予补偿168. precaution n. 预防，防备，警惕169. idle a. 懒散的，无所事事的170. identify vt. 认出，鉴定171. identify n. 身份；个性，特性172. poverty n. 贫穷173. resistant a. (to)抵抗的，抗...的，耐...的174. resolve vt. 解决；决定，决意175. barrel n. 桶176. bargain n. 便宜货vi. 讨价还价177. coarse a. 粗的，粗糙的，粗劣的178. coach n. 教练；长途公共汽车179. code n. 准则，法规，密码180. coil n. 线圈v. 卷，盘绕181. adult n. 成年人182. advertise v. 为...做广告183. advertisement n. 广告184. agency n. 代理商，经销商185. focus v. （使）聚集n. 焦点，中心，聚焦186. forbid vt. 不许，禁止187. debate n./v. 辩论，争论188. debt n. 欠债189. decade n. 十年190. enclose vt. 围住；把...装入信封191. encounter vt./n. 遭遇，遭到192. globe n. 地球，世界；地球仪193. global a. 全球的；总的194. scan vt. 细看；扫描；浏览195. scandal n. 丑事，丑闻196. significance n. 意义；重要性197. subsequent a. 随后的，后来的198. virtue n. 美德，优点199. virtual a. 实际上的，事实上的200. orient vt. 使适应，(to,toward)使朝向n. 东方201. portion n. 一部分202. target n. 目标，靶子vt. 瞄准203. portable a. 手提式的204. decline v. 拒绝，谢绝；下降205. illusion n. 错觉206. likelihood n. 可能，可能性207. stripe n. 条纹208. emphasize vt. 强调，着重209. emotion n. 情感，感情210. emotional a. 感情的，情绪（上）的211. awful a. 极坏的，威严的，可怕的212. awkward a. 笨拙的，棘手的213. clue n. 线索，提示214. collision n. 碰撞，冲突215. device n. 装置，设备216. devise vt. 发明，策划，想出217. inevitable a. 不可避免的218. naval a. 海军的219. navigation n. 航行220. necessity n. 必需品；必要性221. previous a. 先，前，以前的222. provision n. [pl.]给养，口粮；准备，设备，装置223. pursue vt. 追逐；追求；从事，进行224. stale a. 不新鲜的，陈腐的225. substitute n. 代用品vt. 代替226. deserve vt. 应受，应得，值得227. discrimination n. 歧视；辨别力228. professional a. 职业的，专门的229. secure a. 安全的，可靠的230. security n. 安全，保障231. scratch v./n. 抓，搔，扒232. talent n. 才能，天资；人才233. insurance n. 保险，保险费234. insure vt. 给...保险，保证，确保235. nevertheless ad. 仍然，然而，不过236. neutral a. 中立的，中性的237. spot n. 地点；斑点vt. 认出，发现；玷污238. spray v. 喷，（使）溅散239. medium a. 中等的，适中的n. 媒介物，新闻媒介240. media n. 新闻传媒241. auxiliary a. 辅助的，备用的242. automatic a. 自动的243. compete vi. 竞争，比赛244. competent a. 有能力的，能胜任的245. competition n. 竞争，比赛246. distribute vt. 分发247. disturb vt. 打搅，妨碍248. infer v. 推论，推断249. integrate v. (into,with)（使）成为一体，（使）合并250. moist a. 潮湿251. moisture n. 潮湿252. promote vt. 促进；提升253. region n. 地区；范围；幅度254. register v./n.登记，注册255. stable a. 稳定的256. sophisticated a. 老于世故的，老练的；很复杂的257. splendid a. 极好的，壮丽的，辉煌的258. cancel vt. 取消，废除259. variable a. 易变的，可变的260. prospect n. 前景，前途；景象261. prosperity n.兴旺，繁荣262. aspect n. 方面；朝向；面貌263. cope vi. (with)（成功地）应付，处理264. core n. 果心，核心265. maintain vt. 维持，保持；坚持，主张266. mainland n. 大陆267. discipline n. 纪律；惩罚；学科268. domestic a. 本国的，国内的；家用的；家庭的269. constant a. 不变的，恒定的n. 常数270. cliff n. 悬崖，峭壁271. authority n. 权威；当局272. audio a. 听觉273. attitude n. 态度274. community n. 社区，社会275. commit vt. 犯（错误，罪行等），干（坏事等）276. comment n./vt. 评论277. distinguish vt. 区分，辨别278. distress n. 痛苦，悲伤vt. 使痛苦279. facility n. [pl.] 设备，设施；便利，方便280. faculty n. 能力，技能；系，学科，学院；全体教员281. mixture n. 混合，混合物282. mood n. 心情，情绪；语气283. moral a. 道德上的，有道德的284. prominent a. 突出的285. substance n. 物质；实质286. substantial a. 可观的；牢固的；实质的287. prompt vt. 促使a. 敏捷的，及时的288. vivid a. 生动的289. vocabulary n. 词汇（量）；词汇表290. venture n. 风险投资，风险项目v. 冒险；取于291. version n. 版本，译本；说法292. waist n. 腰，腰部293. weld v./n. 焊接294. yawn vi. 打哈欠295. yield vi. (to)屈服于；让出，放弃n. 产量296. zone n. 地区，区域297. strategy n. 战略，策略298. strategic a. 战略（上）的，关键的299. tense a. 紧张的v. 拉紧n. 时态300. tension n. 紧张（状态），张力301. avenue n. 林荫道，大街302. available a. 现成可用的；可得到的303. comparable a. (with,to)可比较的，类似的304. comparative a. 比较的，相对的305. dash vi. 猛冲，飞奔306. data n. 数据，资料307. dive vi. 跳水，潜水308. diverse a. 不同的，多种多样的309. entitle vt. 给...权利，给...资格310. regulate vt. 管理，调节311. release vt./n. 释放，排放；解释解脱312. exaggerate v. 夸大，夸张313. evil a. 邪恶的，坏的314. shrink vi. 起皱，收缩；退缩315. subtract v. 减（去）316. suburb n. 市郊317. subway n. 地铁318. survey n./vt. 调查，勘测319. wealthy a. 富裕的320. adjust v. 调整，调节321. attach vt. 系，贴；使附属322. profit n. 利润，益处；v. 有益于，有利于323. profitable a. 有利可图的324. slope n. 斜坡，斜面325. reinforce vt. 增强，加强326. reject vt. 拒绝327. fatal a. 致命的；重大的328. fate n. 命运329. humble a. 谦逊的；谦虚的330. illegal a. 不合法的，非法的331. award vt. 授予，判给n. 奖品，奖金332. aware a. 意识到333. column n. 柱，圆柱；栏，专栏334. comedy n. 喜剧335. dumb a. 哑的；沉默的336. dump vt. 倾卸，倾倒337. deaf a. 聋的；不愿听的338. decorate vt. 装饰，装璜339. principal a. 最重要的n. 负责人，校长340. principle n. 原则，原理341. prior a. 优先的，在前的342. priority n. 优先，重点343. prohibit vt. 禁止，不准344. remarkable a. 值得注意的，异常的，非凡的345. remedy n./vt. 补救，医治，治疗346. repetition n. 重复，反复347. vain a. 徒劳的，无效的348. undertake vt. 承担，着手做；同意，答应349. unique a. 唯一的，独特的350. obstacle n. 障碍（物），妨碍351. odd a. 奇特的，古怪的；奇数的352. omit vt. 省略353. opponent n. 敌手，对手354. opportunity n. 机会，时机355. orchestra n. 管弦乐队356. semester n. 学期；半年357. semiconductor n. 半导体358. seminar n. 研讨会359. terminal a. 末端的，极限的n. 终点360. territory n. 领土361. approximate a. 大概的，大约v. 近似362. arbitrary a. 随意的，未断的363. architect n. 建筑师364. architecture n. 建筑学365. biology n. 生物学366. geography n. 地理（学）367. geology n. 地质学368. geometry n. 几何（学）369. arichmetic n. 算术370. algebra n. 代数371. entertainment n. 娱乐；招待，款待372. enthusiasm n. 热情，热心373. entry n. 进入，入口处；参赛的人（或物）374. enviroment n. 环境375. episode n. 插曲，片段376. equation n. 方程（式）377. restrain vt. 阻止，抑制378. restraint n. 抑制，限制379. resume v. （中断后）重新开始380. severe a. 严重的381. sexual a. 性的382. simplicity n. 简单；朴素383. simplify vt. 简化384. sorrow n. 悲哀，悲痛385. stuff n. 原料，材料vt. 填进，塞满386. temporary a. 暂时的，临时的387. temptation n. 诱惑，引诱388. terror n. 恐怖389. thrust v. 挤，推，插390. treaty n. 条约，协定391. arise vi. 产生，出现，发生；起身392. arouse vt. 引起，激起；唤醒393. burden n. 重担，负荷394. bureau n. 局，办事处395. marveous a. 奇迹般的，惊人的396. massive a. 大的，大量的，大块的397. mature a. 成熟的398. maximum a. 最高的，最大的399. minimum a. 最低的，最小的400. nonsense n. 胡说，冒失的行动401. nuclear a. 核子的，核能的402. nucleus n. 核403. retail n./v./ad. 零售404. retain vt. 保留，保持405. restrict vt. 限制，约束406. sponsor n. 发起者，主办者vt. 发起，主办，资助407. spur n./vt. 刺激，激励408. triumph n. 胜利，成功409. tuition n. 学费410. twist vt. 使缠绕；转动；扭歪411. undergraduate n. 大学肄业生412. universal a. 普遍的，通用的；宇宙的413. universe n. 宇宙414. via prep. 经由，经过，通过415. vibrate v. 振动，摇摆416. virus n. 病毒417. voluntary a. 自愿的418. volunteer n. 志愿者v. 自愿（做）419. vote v. 选举n. 选票420. wagon n. 四轮马车，铁路货车421. appoint vt. 任命，委派422. approach v. 靠近，接近n. 途径，方式423. appropriate a. 适当的424. bunch n. 群，伙；束，串425. bundle n. 捆，包，束vt. 收集，归拢426. ceremony n. 典礼，仪式427. chaos n. 混乱，紊乱428. discount n. （价格）折扣429. display n./vt. 陈列，展览430. equivalent a. 相等的a. 相等物431. erect a. 竖直的v. 建造，竖立432. fax n./vt. 传真433. ferfile a. 肥沃的；多产的434. fertilizer n. 肥料435. grateful a. 感激的436. gratitude n. 感激437. horror n. 恐怖438. horrible a. 可怕的439. Internet n. 国际互联网，因特网440. interpret v. 翻译，解释441. interpretation n. 解释，说明442. jungle n. 丛林，密林443. knot n. 结vt. 把...打成结444. leak v. 漏，渗出445. lean vi. 倾斜，倚，靠446. leap vi. 跳跃447. modify vt. 修改448. nylon n. 尼龙449. onion n. 洋葱450. powder n. 粉末451. applicable a. 可应用的，适当的452. applicant n. 申请人453. breadth n. 宽度454. conservation n. 保存，保护455. conservative a. 保守的456. parallel n. 平行线；可相比拟的事物457. passion n. 激情，热情458. passive a. 被动的，消极的459. pat v./n. 轻拍，轻打460. peak n. 山峰，顶点461. phenomenon n. 现象462. reluctant a. 不情愿的，勉强的463. rely vi. (on ,upon)依赖，指望464. relevant a. 有关的，切题的465. reliable a. 可靠的466. relief n. 轻松，宽慰；减轻467. reputation n. 名气，声誉468. rescue vt./n. 营救469. triangle n. 三角（形）470. sequence n. 连续；顺序471. shallow a. 浅的472. shiver vi/n. 发抖473. shrug v./n. 耸肩474. signature n. 签名475. sincere a. 诚挚的，真诚的476. utilify n. 功用，效用477. utilise vt. 利用478. utter vt. 说出a. 完全的，彻底的479. variation n. 变化，变动480. vehicle n. 交通工具，车辆481. applause n. 鼓掌，掌声482. appliance n. 器具，器械483. consent n. 准许，同意vi (to)准许，同意484. conquer vt. 征服485. defect n. 缺点，缺陷486. delicate a. 易碎的；娇弱的；精美的487. evolve v.演变488. evolution n. 演变，进化489. frown v./n. 皱眉490. frustrate vt. 使沮丧491. guarantee vt./n. 保证492. guilty a. 内疚的；有罪的493. jealous a. 妒忌的494. jeans n. 牛仔裤495. liquor n. 酒，烈性酒496.liter/litre n. 升497. modest a. 谦虚道498. molecule n. 分子499. orbit n. 轨道v. （绕...）作轨道运行500. participate v. (in)参与，参加501. particle n. 微粒502. particularly ad. 特别，尤其503. respond vi. 回答，答复；反应504. response n. 回答，答复；反应505. sensible a. 明智的506. sensitive a. 敏感到，灵敏的507. tremble vi. 颤抖508. tremendous a. 巨大的；精彩的509. trend n. 趋向，倾向510. trial n. 审讯；试验511. apparent a. 显然的，明白的512. appetite n. 胃口；欲望513. deposit n. 存款，定金v.存放，储蓄514. deputy n. 副职，代表515. derive vt. 取得，得到；(from)起源于516. descend v. 下来，下降517. missile n. 导弹518. mission n. 使命；代表团519. mist n.薄雾520. noticeable a. 显而易见到521. notify vt. 通知，告知522. notion n. 概念；意图，想法523. resemble vt. 像，类似于524. reveal vt. 揭露525. revenue n. 收入，岁入；税收526. shelter n. 掩蔽处；住所527. shield n. 防护物，盾vt. 保护，防护528. vital a. 重要的；致命的，生命的529. vitally ad. 极度，非常；致命地530. urban a. 城市的531. urge vt. 鼓励，激励532. urgent a. 急迫的，紧急得533. usage n. 使用，用法534. violence n. 强力，暴力535. violent a. 强暴的536. violet a. 紫色的537. weed n. 杂草，野草538. welfare n. 福利539. whatsoever ad. （用于否定句）任何540. whereas conj. 然而，但是，尽管541. essential a. 必不可少的；本质的542. estimate n./vt. 估计，估量543. evaluate vt. 评估，评价544. exceed vt. 超过，越出545. exceedingly ad. 非常，极其546. exclaim v. 呼喊，大声说547. exclude vt. 把...排斥在外，不包括548. exclusive a. 读有的，排他的549. excursion n. 远足550. flash vi. 闪光，闪耀551. flee vi. 逃走552. flexible a. 易弯曲的553. flock n. 羊群，（鸟兽等）一群；一伙人554. hardware n. 五金器具555. harmony n. 和谐，融洽556. haste n. 急速，急忙557. hatred n. 憎恶，憎恨558. incident n. 事件，事变559. index n. 索引，标志560. infant n. 婴儿561. infect v. 传染562. inferior a. 劣等的，次的，下级的563. infinite a. 无限的564. ingredient n. 组成部分565. inhabitant n. 居民566. jail n. 监狱567. jam n. 果酱；拥挤，堵塞568. jewel n. 宝石569. joint a.连接的；共同的570. junior a. 年少的；资历较浅的571. laser n. 激光572. launch vt. 发动，发起573. luxury n. 奢侈；奢侈品574. magnet n. 磁铁，磁体575. male a. 男性的，雄的576. female a. 女性的，雌的577. manual a. 用手的，手工做的n. 手册578. manufacture vt./n. 制造，加工579. marine a. 海的；海产的580. mutual a. 相互的581. naked a. 裸露的582. negative a. 否定的，消极的583. neglect vt. 忽视，忽略584. origin n. 起源，出身585. oval a. 椭圆形的n. 椭圆形586. outset n. 开始，开端587. presumably ad. 大概，可能588. prevail vi. 流行，盛行589. quit v. 停止590. quotation n. 引文，引语591. recreation n. 娱乐活动592. recruit vt. 招募，吸收（新成员）593. rival n. 竞争对手，敌手594. shuttle n. 梭子；航天飞机595. skim vt. 搬（去），掠过；浏览596. sketch n. 草图；梗概597. slender a. 苗条的，修长的598. theme n. 主题599. textile n. 纺织品600. tropical a. 热带的，炎热的601. kneel vi. 跪602. label n. 标签603. merchant n. 商人604. mere a. 仅仅的，只不过的；纯粹的605. nuisance n. 令人讨厌的东西（或人）606. numerrous a. 众多的，许多的607. parade n. 游行v. 列队行进608. pants[pl.] n. 长裤；内裤609. partial a. 部分的610. passport n. 护照611. prescribe vt. 开药，吩咐采用...疗法612. primitive a. 原始的，早期的613. ridge n. 脊，山脊，埂614. ridiculous a. 可笑的，荒漠的615. ridid a. 严格的；僵硬的616. withstand vt. 经受，承受617. witness n. 目击者；证据vt. 注意到；证明618. withdraw v. 收回，撤销619. slippery a. 滑的620. smash vt. 粉碎，打烂621. snap n./vt. 折断，拉断；快照622. software n. 软件623. solar a. 太阳的624. lynar a. 月的，月球的625. submerge vi. 潜入水中626. submit vi.(to)屈服，听从627. timber n. 木材，原木628. tissue n. 组织；薄纱，手巾纸629. title n. 题目，标题630. tone n. 语气，音调631. drift vi. 漂，漂流632. drip n. 滴633. durable a. 耐用的，持久的634. duration n. 持续，持续期间635. dusk n. 黄昏，薄暮636. leather n. 皮革637. legislation n. 法律，法规；立法638. leisure n. 闲暇；悠闲639. loose a. 松的，宽松的640. loosen v. 解开，放松641. tarnest a. 认真的，诚挚的642. earthquake n. 地震643. echo n. 回音，回声644. elaborate a. 精心设计的，复杂的645. elastic n. 橡皮圈（带）a. 有弹性的646. elbow n. 肘647. electron n. 电子648. volcano n. 火山649. volume n. 卷，册；体积，容量650. fatigue n. 疲劳，劳累651. faulty a. 有错误的，有缺点的652. favorable a. 称赞道；有利的，顺利的653. favorite a. 特别受喜欢的n. 喜爱的人或物654. gallery n. 画廊655. gallon n. 加仑656. gap n. 间隔，差距657. garbage n. 垃圾，废物658. gaze v. 凝视，注视659. gear n. 齿轮，传动装置660. gene n. 基因661. lest conj. 唯恐，免得662. liable a. 可能的，大概的；(to)易于...的663. liberal a. 自由得664. liberty n. 自由665. licence/license n. 许可证，执照666. moisture n. 潮湿667. motivate vt. 激励，激发668. motive n. 动机，目的669. generate vt. 生成，产生（光、热、电等）670. genius n. 天才，天赋671. genuine a. 真的，真诚的672. gasoline n. 汽油673. germ n. 微生物，细菌674. gesture n. 姿势，手势675. giant a. 巨大的n. 巨人，巨物676. glimpse n. 一瞥，一看677. glory n. 光荣，荣誉678. glorious['ɡlɔ:riəs] n. 光荣的，极好的679. golf [ɡɔlf]n. 高尔夫球运动680. hydrogen['haidrədʒən] n. 氢681. oxygen ['ɔksidʒən]n. 氧682. hostile['hɔstail] a. 敌对的，敌意大683. household['haushəuld]n. 家庭，户684. hook[huk] n. 钩685. holy['həuli] a. 神圣地，圣洁的686. hint [hint]n. 暗示，示意687. hesitate['heziteit] v. 犹豫688. highlight['hailait] vt. 强调，突出689. hence [hens]ad. 因此，所以；今后，从此690. herd[hə:d] n. 兽群，牧群。
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
【答案】（I）由题意知：.当时， ，由于且，所以当时，{}是以为公比的等比数列，又，，即，解得. （II）当时，， 又当时，，适合上式，， ， 下面有数学归纳法来证明不等式： 证明：（1）当时，左边右边，不等式成立. （2）假设当时，不等式成立，即 ，当时，左边，所以当时,不等式也成立. 由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不等式成 立. 【解题关键点】 【结束】
2009年高考数学山东理科试卷含详细解答
一、选择题（本大题共12小题，共0分） 1．（2009山东理1）集合,,若,则的值为（ ） A.0 B.1 C.2 D.4
【答案】D 【解题关键点】因为.所以,选D. 【结束】
2．（2009山东理2）复数等于（ ） A. B. C. D.
【答案】C 【解题关键点】因为，故选C. 【结束】
【答案】（I）椭圆: 过（2，）， (,1)两点， ，解得，所以椭圆的方程为. （II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点， 只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆 的切线方程为，解方程组得 ,即, 则,即 ,要使,需使,即,所以, 所以又,所以,所以,即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以 圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存 在时切线为与椭圆的两个交点为或满足, ， 当时,， 当时， 因为所以,故 当AB的斜率不存在时, . 综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个 交点,且的取值范围是. 【解题关键点】
解法二:（I）因为是棱的中点 所以，为正三角形，因为为 等腰梯形,所以,取的中点,
2009年高考山东卷数学(理科)较难题及参考答案
2009年高考数学山东理科试卷含详细解答 三、解答题（本大题共6小题，共0分） 17．（2009山东理17）设函数xx f 2sin )32cos()(++=ππ.（1）求函数)(x f 的最大值和最小正周期； （2）设A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角，若31cos =B ， 41)2(-=C f ，且C 为锐角，求A sin .【答案】（I ）)2cos 1(212sin 232cos 21sin )32cos()(2x x x x x x f -+-=++=π212sin 23+-=x ，∴当12sin -=x 时，函数)(x f 的最大值为12，最小正周期为π.（II ）)2(C f =122C-=－41，得到sin 2C =，又C 为锐角，故3C π=， 322sin 31cos =⇒=B B故6322322213123)32sin(sin +=⨯+⨯=-=B A π.18．（2009山东理18）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰三角形，AB 平行CD ，AB =4, BC =CD =2, 1AA=2, E ,1E ，F 分别为棱AD ，1AA ，AB 的中点.（1）证明：直线//1EE 平面1FCC ； （2）求二面角C FC B --1的余弦值.解法一：（I ）在在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，取11B A 的中点1F ，连结1FF，11F C 由于 111////CC BB FF ，所以∈1F 平面1FCC ，因此平面1FCC 即为平面11CFF C ，连结D A 1，1CF ，由于CD C //11//11D F CDA ==，所以四边形CD F A 11为平行四边形，因此D A CF 11//，又因为E 、1E 分别是棱AD 、1AA 的中点，所以D A EE 11//，所以11//C EE F ，又因为⊄1EE 平面1FCC ，⊂1CF 平面1FCC ，所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点，所以BDF CF BC BF ∆==,为正三角形，取CF 的中点O ，则CF OB ⊥，又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中，1CC 平面ABC D ，所以BO CC ⊥1，所以F CC OB 1平面⊥，过O 在平面1F CC内作F C OP 1⊥，垂足为P ，连接BP ，则为OPB ∠二面角C FC B --1的一个平面角，在BCF ∆为正三角形中，3=OB ，在F CC Rt 1∆中，OPF∆～F CC 1∆，∵11OP OFCC C F =∴2222222OP =⨯=+，在O P F Rt ∆中，22114322BP OP OB =+=+=，272cos 14OP OPB BP ∠===，所以二面角C -1FC -B 的余弦值为77.解法二:（I ）因为F CD BC AB ,2,4===是棱AB 的中点 所以BDF CF BC BF ∆==,，为正三角形，因为ABCD 为 等腰梯形,所以︒==∠60ABC BAC ,取AF 的中点M ,连接DM ,则AB DM ⊥,所以CD DM ⊥，以DM 为x 轴, DC 为y 轴, 1DD 为z 轴建立空间直 角坐标系如图所示,则D （0,0,0），A ），，（013-，F ），，（013，C ），，（020，1C ），，（220，E），，（02123-，1E ），，（113-，所以11,1)2EE =-,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC =1(,2)FC = 设平面F CC 1的法向量为(,,n x y z = 则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以00y z -==⎪⎩取(1n = ,则1111002n EE ⋅=-⨯= ,所以1n EE ⊥ ,所以直线//1EE 平面1FCC .（II ）(0,2,0)FB =,设平面1B F C的法向量为1111(,,)n x y z = ,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111020y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1n = ，则121002n n ⋅=⨯+= ，||2n ==,1||n == ，所以111cos ,||||n n n n n n ⋅〈〉===,由图可知二面角C -1FC -B 为锐角,所以二面角C -1FC -B的余弦值为.19．（2009山东理19）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处没投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【答案】（I ）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互独立,且25.0)(=A P ,()0.75P A =, 2)(q B P =,2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=,8.02=q .（II ）当ξ=2时, 1P =)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=75.0=，2q ( 21q -)5.12=⨯，2q ( 21q -)24.0=当ξ=3时, 2P =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-01.0=； 当ξ=4时, 3P =22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==48.0=； 当ξ=5时, 4P =()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+24.0= 所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（III ）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=；该同学选择（I ）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在A 处投以后都在B 处投得分超过3分的概率.20．（2009山东理20）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上. （Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当2=b 时，记22(log 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n n b b b b b b +++>成立（I ）由题意知：nn S b r =+.当2n ≥时， 1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，由于0>b 且1≠b ，所以当2n ≥时，{n a }是以b 为公比的等比数列，又11a S b r ==+)1(2-=b b a ba a =12，，即b r b b b =+-)1(，解得1r =-.（II ） 12-=n n S ∴当2n ≥时，1112)12()12(---=---=-=n n n n n n S S a ，又当1n =时，112111=-==S a ，适合上式，∴12-=n n a ，1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=∴121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅ ， 下面有数学归纳法来证明不等式：121211135721·······2462n n b b b n b b b n ++++=⋅⋅> 证明：（1）当1n =时，左边=>==24923右边，不等式成立.（2）假设当*)(N k k n ∈=时，不等式成立，即121211135721·······2462k k b b b k b b b k++++=⋅⋅> ，当1n k =+时，左边11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+，2322k k +==+所以当1n k =+时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当n N +∈时，不等式1321212753+>⨯⨯⨯⋅+⨯⨯⨯⨯n n n n）（恒成立，所以对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立.21．（2009山东理21）两县城A 和B 相聚km 20，现计划在两县城外以A B 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为xkm ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对称A 和城B 的总影响度为0.0065. （1）将y 表示成x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由.（I ）如右图,由题意知BC AC ⊥,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<- 当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到A 、B 的距离都相等，且为km 210，所以有22)210()210(4065.0k +=，解得9=k ，∴2249(020)400y x x x =+<<-（II ）2249400y x x =+-,42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x x y x x x x ⨯---=--=-- 令'0y >，得012800064024>-+x x ，解得1602≥x ，即104≥x ， 又因为200<<x ，所以函数2249400y x x =+-在），（1040∈x 上是减函数，在），（20104∈x 上是增函数，当x =y 取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市A 的距离为km 104，使建在此处的垃圾处理厂对城市A 、B 的总影响度最小.22．（2009山东理22）设椭圆E : 22221x y a b +=)0,(>b a 过M （2，N(,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心的原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.（I ） 椭圆E : 22221x y ab +=)0,(>b a 过M （2N两点， ∴2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得4,822==b a ，所以椭圆E 的方程为22184x y +=.（II ）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为)4(222<=+r r y x ，则当直线AB 的斜率存在时，设该圆的切线方程为y kx m =+，解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则=∆222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=, 所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥或3m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =与椭圆22184x y +=的两个交点为,)或(满足OA OB ⊥ ,||AB ===== 当0k =时,||3AB =，当0k ≠时||AB =因为221448k k ++≥所以221101844k k <≤++,故321289364==≤AB当AB 的斜率不存在时,36431148142=-=-≤m AB . 综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B 且AB 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,364.。
da2009年高考数学(山东)理
13sin 222x =-． 所以当π22π2x k =-+，即ππ4x k =-+（K ∈Z ）时， ()f x 的最大值，[()]f x =最大值132+，因此平面1FCC 即为平面11C CFF ，连结1A D ，1FC ，由于1111A F D C CD ∥∥， 所以四边形11A DCF 为平行四边形， 因此A D FC ∥． 1FCCC C =，平面1FCC D 1C 1所以BGH ∠为所求二面角的平面角． 在Rt BHG △中，3BH =，又1FH =，且1FCC △为等腰直角三角形， 所以2HG =，1143BG =+=， 所以(02FB =，，，(BC =-，(3DB =，DB FC ⊥所以DB 为平面设平面1BFC 的一个法向量为FBBC ⊥⊥得)(020)0)(312)=--，，，，20y z +=2 ⎪⎝⎭所以317cos 7||||373914DB DB DB <>====⨯+⨯+，nn n ． 故所求二面角的余弦值为7．又12(1)a b r a b b =+=-，，21a b a =，即(1)b b b b r -=+，解得1r =-． （Ⅱ）证法一：由（Ⅰ）知12n n a -=， 1412122n n ++>时，左式32=，右式=1412142k k++⨯1412123422(1)k k k k +++>+·时结论成立，只需证2k +1n b b +>··*)N 357212462n n+>235721222224622462n n n ++=2(2244668246222212n n n n n +⨯⨯⨯>=+=+．故对一切*n ∈N ，不等式12121111n nb b b n b b b +++>+···成立． 21．解：（Ⅰ）根据题意290km 400km ACB AC x BC x ∠===-°，，，且建在C 处极小值由表可知，函数在(0410)，内单调递减，在(41020)，内单调递增，y 最小值＝4101|16x y ==， 410x =因为OA OB ⊥， 12120x x y y +=．③将①代入③并整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=．联立②得2m =28(1)3k +．④显然，OA OB ⊥，因此222643||32112334AB t t t⎛⎫⎛⎫=-=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以323≤2||AB≤12，46所以46||233AB ≤≤．。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：． 2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（ ）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C ．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题． 5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）A ．150种B ．180种C ．300种D ．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O ：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C 51•C 31•C 62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C 52•C 61•C 21=120种选法．故共有345种选法．故选：D ．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！ 6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）A ．﹣2B ．﹣2C ．﹣1D ．1﹣【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC 上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题． 11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于 ﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r+1=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为 ﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b ，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz ，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z 1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年山东高考数学理科卷带详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1. 集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为 ( ).A.0B.1C.2D.4 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B = （步骤1）∴2164a a ⎧=⎨=⎩，∴4a =,故选D.（步骤2）2. 复数3i1i--等于 （ ）. A ．12i + B.12i - C.2i + D.2i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实 数，将除法转变为乘法进行运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】223i (3i)(1+i)3+2i i 4+2i====2+i 1i (1i)(1+i)1i 2------.故选C.3.将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析 式是 ( ). A.cos 2y x = B.22cos y x = C.π1sin(2)4y x =++D.22sin y x = 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的函数图象及其变换、诱导公式.【考查方式】考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】将函数sin 2y x =的图象向左平移π4个单位，得到函数πsin 2()4y x =+，即 πsin 2cos22y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=.故选B.4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ).第4题图A.2π+B.4π+C. 2π3+D.4π3+ 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出.几何体的体积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2π,四棱锥的底面边长为2，高为3，∴体积为213⨯=，（步骤1）∴该几何体的体积为2π.（步骤2） 5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】线面垂直的判定、充分、必要条件.【考查方式】考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,mβ⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“mβ⊥”的必要不充分条件.6. 函数e ee ex xx xy--+=-的图象大致为( ).A BC D【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质.难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】函数有意义,需使e e0x x--≠,其定义域为{}0|≠x x ,排除B,D,(步骤1)又222e e e 121e e e 1e 1x x x x x x x y --++===+--- ,∴当0x >时函数为减函数,故选A.（步骤2）7. 设P 是所在ABC △平面内的一点，2BC BA BP +=，则 （ ）. A.PA PB += 0 B. PB PC +=0 C. PC PA += 0 D.PA PB PC ++= 0第7题图【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C.８.某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96106]，，样本数据分组为[9698，）， [98100)，,[100102)，，[102104)，,[104106]， ,已知样本中产品净重小于100克的个数是 36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ( ).第8题图A.90B.75C.60 D.45 【测量目标】系统抽样，频率分布直方图.【考查方式】考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】产品净重小于100克的概率为()0.0500.10020.300+⨯=, （步骤1） 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则300.036=n,（步骤2） 120n ∴=,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为()0.1000.1500.12520.75++⨯=,（步骤3）∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是1200.7590⨯=.故选A.（步骤4）9. 设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ) A.45 B.5 C. 25 D.5 【测量目标】直线与双曲线、抛物线的位置关系，双曲线与抛物线的简单几何性质.【考查方式】考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系, 只有一个公共点,则解方程组有唯一解.较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 【难易程度】较难 【参考答案】D【试题解析】双曲线12222=-by a x 的一条渐近线为x a b y =,（步骤1）由方程组21b y x ay x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y ,得210b x x a -+=有唯一解,2()40b a ∴∆=-=,（步骤2） 2b a ∴=,2c e a ====故选D.（步骤3） 10. 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩…，则(2009)f 的值为( )A.1-B. 0C.1D. 2 【测量目标】归纳推理，函数的周期性，分段函数. 【考查方式】考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算. 【难易程度】较难 【参考答案】C【试题解析】由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,∴函数()f x 的值以6为周期重复性出现.,(2009)(5)1f f ∴==,故选C.11.在区间[11]-，上随机取一个数x ，πcos2x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.2π C.21 D.32 【测量目标】三角函数的性质和几何概型.【考查方式】考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值πcos2x的范围,再由长度型几何概型求得. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】在区间[11]-，上随机取一个数x ,即[1,1]x ∈-时,πππ222x-剟, ∴π0cos12x 剟区间长度为1, 而πcos2x 的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选C. 12. 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩……厖，若目标函数z ax by =+>0>0a b （，）的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( ). A.625 B.38 C. 311 D. 4【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地 画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知236a b +=,求23a b+的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,（步骤1）当直线 ax by z +=00a b >>（，）过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点4,6（）时,（步骤2）目标函数z ax by =+00a b >>（，）取得最大12,即4612a b +=,即236a b +=,（步骤3） 而232323131325()()26666a b b a a b a b a b ++=+=+++=…,故选A.（步骤4）第12题图第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.不等式0212<---x x 的解集为 .【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】考查了含有多个绝对值号的不等式的解法,需要根据绝对值的定义分段去掉绝 对值号,最后把各种情况综合得出答案.本题涉及到分类讨论的数学思想. 【难易程度】中等【参考答案】{|11}x x -<<【试题解析】原不等式等价于不等式组①()22120x x x ⎧⎪⎨---<⎪⎩…或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或③12(21)(2)0x x x ⎧⎪⎨⎪--+-<⎩…，（步骤1） 不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<…,（步骤2） 综上得11x -<<,∴原不等式的解集为{|11}x x -<<.（步骤3）14. 若函数()xf x a x a =--(0a >且1)a ≠有两个零点，则实数a 的取值范围是 .【测量目标】指数函数的图象与性质，函数零点的应用.【考查方式】考查了指数函数的图象与直线的位置关系，隐含着对指数函数的性质的考查， 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答. 【难易程度】较难 【参考答案】{}1a|a >【试题解析】设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠有两个零点,就是函数(0,x y a a =>且1}a ≠与函 数y x a =+有两个交点,（步骤1）由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,（步骤2）当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点()0,a 一定在 点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.（步骤3） 所以实数a 的取值范围是}1|{>a a .（步骤4） 15. 执行下边的程序框图，输出的T = .第15题图【测量方式】循环结构的程序框图.【考查方式】主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结 束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况. 【难易程度】中等 【参考答案】30【试题解析】按照程序框图依次执行为5,2,2;S n T ===（步骤1）10,4,246;S n T ===+=（步骤2） 15,6,6612;S n T ===+=（步骤3） 20,8,12820;S n T ===+=（步骤4）25,10,201030>S n T S ===+=，输出30.T =（步骤5）16.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[]0,2上是增函数, 若方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234x x x x +++= .【测量目标】函数单调性的判断，函数奇偶性的判断，函数的周期性.【考查方式】综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问 题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 【难易程度】较难 【参考答案】8-【试题解析】 定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,(4)()f x f x ∴-=-,（步骤1）()f x ∴为奇函数,∴函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,（步骤2）由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,∴函数是以8为周期的周期函数,（步骤3） 又()f x 在区间[]0,2上是增函数,()f x ∴在区间[]2,0-上也是增函数.（步骤4） 如图所示,那么方程()()0f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x , （步骤5）不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=，（步骤6）12341248x x x x ∴+++=-+=-.（步骤7）第16题图三、解答题：本大题共6分，共74分.17.(本小题满分12分)设函数()2πcos(2)sin 3f x x x =++.(1) 求函数()f x 的最大值和最小正周期.(2) 设A ，B ，C 为ABC △的三个内角，若1cos 3B =，1()34C f =-，且C 为锐角，求sin A . 【测量目标】三角函数的最值、周期性，同角三角函数的基本关系，两角和与差的余弦，二倍角.【考查方式】主要考查三角函数中两角和与差的余弦函数公式、二倍角公式、三角函数的性 质以及三角形中的三角关系. 【难易程度】容易【试题解析】（1）()2ππ1cos 21cos 2cos sin πcos(2)si 2sin n 233223x x x f x x x x --+==++=∴函数()f x 最小正周期π.（步骤1）（2）1213234C C f ⎛⎫==-⎪⎝⎭,2sin 3C ∴=,（步骤2） C 为锐角,2π33C ∴=,π2C ∴=,（步骤3） 1sin cos 3A B ∴==.（步骤4）18.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，4AB =, 2BC CD ==,12AA = ,1E E 、分别是棱1AD AA 、的中点.(1) 设F 是AB 棱的中点,证明：直线1EE //平面1FCC ； (2) 证明:求二面角1B FC C --的余弦值.第18题图【测量目标】空间直角坐标系，空间向量及其运算、线面平行的判定、面面垂直的判定. 【考查方式】主要考查直棱柱的概念、线面位置关系的判定和二面角的计算.考查空间想象 能力和推理运算能力,以及应用向量知识解答问题的能力. 【难易程度】较难【试题解析】解法一：（1）在直四棱柱1111ABCD A BC D -中， 取11A B 的中点1F ，连接1111,,AD C F CF ，(步骤1) 4AB = ,2CD = ,且AB //CD ，CD ∴=//11A F ，11A FCD 为平行四边形，1CF ∴//1A D ，（步骤2） 又1E E 、分别是棱1AD AA 、的中点,11EE A D ∴∥，所以11CF EE ∥，（步骤3） 又1EE ⊄ 平面1FCC ，1CF ⊂平面1FCC ，∴直线1EE //平面1FCC .（步骤4）第18题图1（2）4AB = , 2BC CD ==,F 是棱AB 的中点, BF BC CF ∴==,BCF △为正三角形,（步骤5） 取CF 的中点O ,则OB CF ⊥,（步骤6）又 直四棱柱ABCD -1111A B C D 中,1CC ⊥平面ABCD ,1CC BO ∴⊥,OB ∴⊥平面1CC F ,（步骤7）过O 在平面1CC F 内作1OP C F ⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角B -1FC -C 的一个平面角,（步骤8）在BCF △为正三角形中,OB =在1Rt CC F △中,OPF △∽1CC F △, ∵11OP OF CC C F =∴22OP ==,（步骤9） 在Rt OPF △中,2BP ===cos 2OP OPB BP ∠===∴二面角B -1FC -C. （步骤10） 解法二:（1）4AB = , 2BC CD ==,F 是棱AB 的中点, BF BC CF ∴==,BCF △为正三角形,（步骤1）ABCD 为等腰梯形,60BAC ABC ∴∠=∠=,（步骤2） 取AF 的中点M ,连接DM ,则DM AB ⊥,DM CD ∴⊥,（步骤3） 以DM 为x 轴,DC 为y 轴,1DD 为z 轴建立空间直角坐标系,则0,0,0D （）,)1,0A -,)F,0,2,0C （）, 10,2,2C （）,,012E ⎫⎪-⎪⎝⎭,)11,1E -,（步骤4）11,12EE ⎫∴=-⎪⎪⎝⎭,)1,0CF =-,1(0,0,2)CC =()12FC = .（步骤5）设平面1CC F 的法向量为(,,)x y z =n ，则100CF CC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n00y z -=∴=⎪⎩，（步骤6）取()=n ,则1111002EE =-⨯=n ,1EE ∴⊥n ,（步骤7）∴直线1EE //平面1FCC .（步骤8）第18题图2（2）(0,2,0)FB = ,设平面1BFC 的法向量为1111(,,)x y z =n ,则11100FB FC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n，1111020y y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩,（步骤9）取(1=n ,则121002=⨯+=n n,||2==n,1||==n （步骤10）111cos ,||∴〈〉===n n n n n n （步骤11） 由图可知二面角B -1FC -C 为锐角,∴二面角B -1FC -C.（步骤12） 19.(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分， 在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同 学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为:(1)求2q 的值；(2)求随机变量ξ的数学期望E ξ;(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.【测量目标】互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】主要考查了互斥事件的概率，相互独立事件的概率和数学期望，以及运用概率知识解决问题的能力. 【难易程度】中等【试题解析】（1）设该同学在A 处投中为事件A ,在B 处投中为事件B ,则事件A ,B 相互 独立,且()0.25P A =,()0.75P A =,()2 P B q = ,2()1P B q =-.（步骤1） 根据分布列知: 0ξ=时,22()()()()0.75(103).0P ABB P A P B P B q ==-=,210.2q ∴-=，20.8q =.（步骤2）（2）当2ξ=时, 1()()()P P ABB ABB P ABB P ABB =+=+()()2222()()()()()()0.7512 1.510.24P A P B P B P A P B P B q q q q =+=-⨯=-=（步骤3）当3ξ=时, 222()()()()0.25(1)0.01P ABB P A P B P B q P ====-,（步骤4） 当4ξ=时, 232()()()()0.750.48P P ABB P A P B P B q ====,（步骤5）当5ξ=时, 4()()()P P ABB AB P ABB P AB =+=+222()()()()()0.25(1)0.250.24P A P B P B P A P B q q q =+=-+=（步骤6） ∴随机变量ξ的分布列为:随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤8）（3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;（步骤9）该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.480.240.72+=.（步骤10） 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.(步骤11)20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n *∈N ，点(,)n n S 在函数x y b r =+(0b >且1b ≠，b ，r 均为常数)的图象上.（1）求r 的值；（2）当2b =时，记22(log 1)n n b a =+()n +∈N ， 证明：对任意的n +∈N，不等式1212111···n nb b b b b b +++> . 【测量目标】等比数列的通项公式，数学归纳法.【考查方式】主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知n S 求n a 的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 【难易程度】较难【试题解析】（1） 对任意的n +∈N ,点(,)n n S 在函数xy b r =+(0b >且1b ≠，b ，r 均为常数)的图象上.n n S b r ∴=+,（步骤1）当1n =时，11a S b r ==+，当2n …时，1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-，（步骤2） 又{}n a 为等比数列,1r ∴=-,公比为b ,1(1)n n a b b -∴=-.（步骤3） （2）当2b =时，11(1)2n n n a b b --=-=,1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n++=,121211135721···2462n n b b b n b b b n ++++∴=⨯⨯ .（步骤4）下面用数学归纳法证明不等式121211135721···2462n n b b b n b b b n++++=⨯⨯> . ① 当1n =时,左边=32,右边32> ∴不等式成立. （步骤5） ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721···2462k k b b b k b b b k++++=⨯⨯> 成立.则当1n k =+时,左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++=⨯⨯⨯+ …2322k k +>===>+ ∴当1n k =+时,不等式也成立.（步骤6）由①、②可得不等式恒成立.（步骤7）21.（本小题满分12分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响 度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为 km x ，建在C 处的垃圾处理厂对 城A 和城B 的总影响度为y ,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂 对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由. 【测量目标】求函数解析式，函数图象的应用，二次函数模型，基本不等式求最值. 【考查方式】主要考查了函数在实际问题中的应用，运用待定系数法求解函数解析式的能力 和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. 【难易程度】较难【试题解析】（1）如图,由题意知AC BC ⊥,22400BC x =-,224(020)400ky x x x =+<<-，（步骤1）其中当x =时，0.065y =,9k ∴=，（步骤2）y ∴表示成x 的函数为2249(020)400y x x x =+<<-.（步骤3）第21题图（2）设2m x =，2400n x =-,则400m n +=,49y m n=+, 494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +∴=+=+=+++=…，（步骤4）当且仅当49n mm n =，即240160n m =⎧⎨=⎩时取“=”.（步骤5） 下面证明函数49400y m m=+-在()0,160上为减函数, 在()160,400上为增函数. 设120160m m <<<,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+-- 12124499()()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249()[](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, （步骤6）120160m m <<< ,124(400)(400)4240240m m ∴-->⨯⨯，129 <9160160m m ⨯⨯，121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---∴>--, （步骤7）12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---∴->--，即12y y >，函数49400y m m=+-在()0,160上为减函数.（步骤8） 同理,函数49400y m m=+-在()160,400上为增函数,设12160400m m <<<,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, （步骤9）12160400m m <<< ,124(400)(400)4240240m m ∴--<⨯⨯,12 9 9160160m m >⨯⨯，121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---∴<--,（步骤10）12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---∴-<--，即12y y <，函数49400y m m=+-在()160,400上为增函数.（步骤11） ∴当160m =，即x =时取“=”,函数y 有最小值,（步骤12）所以弧 AB 上存在一点，当x =时使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小.（步骤13）22.（本小题满分14分）设椭圆E : 22221x y a b+=,0a b >（）过(2M，)N 两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在说明理由.【测量目标】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的探索性问题.【考查方式】主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置 关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系 数关系.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ） 椭圆E : 22221x y a b+=,0a b >（）过(2M，)N 两点,2222421611a b a b +=+⎧⎪∴⎨=⎪⎪⎪⎩，解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（步骤1）2284a b ⎧=∴⎨=⎩，椭圆E 的方程为22184x y +=.（步骤2） （Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ,B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+，（步骤3）解方程组22184x y y kx m +==+⎧⎪⎨⎪⎩，得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,（步骤4）则∆=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>，（步骤5）12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,（步骤6） 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++（步骤7）要使OA OB ⊥ ,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k--+=++,（步骤8） 223880m k ∴--=,223808m k -∴=…，（步骤9）又22840k m -+> ,22238m m ⎧>∴⎨⎩…,283m ∴…,即m或m …,（步骤10）直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,∴圆的半径为r =,（步骤11）222228381318m m r m k ===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,（步骤12） 此时圆的切线y kx m =+都满足3m …或3m -…,（步骤13）而当切线的斜率不存在时切线为x =（步骤14） 与椭圆22184x y +=的两个交点为或(，满足OA OB ⊥ , （步骤15）综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ,且OA OB ⊥.（步骤16）。
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
数 学本试卷分选择题和非选择题两部分..共4页，满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡试卷类型（B ）涂黑。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、函数23()lg(31)1x f x x x=++-的定义域是A.1(,)3-+∞B. 1(,1)3-C. 11(,)33-D. 1(,)3-∞- 2、若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.22±B. 22-C. 22i -D. 22i ± 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A.3 ,y x x R =-∈B. sin ,y x x R =∈C. ,y x x R =∈D. x 1() ,2y x R =∈4、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD =A.12BC BA -+B. 12BC BA --C. 12BC BA -D. 12BC BA +5、给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B. 3C. 2D. 16、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为A.5B.4C. 3D. 2AD CB图17、函数()y f x =的反函数1()y f x -=的图像与y 轴交于点(0,2)P （如图2所示），则方程()0f x =在[1,4]上的根是x = A.4 B.3 C. 2 D.18、已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 A.2 B.223C. 2D. 4 9、在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35x ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8] 10、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =， 当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,pq R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=A.(4,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,4)-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分. 11、2241lim()42x x x →--=-+________. 12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______. 13、在112()x x-的展开式中，5x 的系数为________.14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 的乒乓球堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆用n 表总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案示）.三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题14分)已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(I)求()f x 的最小正周期；(II)求()f x 的的最大值和最小值；xy 1- 24 31()y f x -=O图2图4 …x yx y s +=24y x +=图3 O(III)若3()4f α=，求sin 2α的值.16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：X06 7 8 9 10 P0 0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (I)求该运动员两次都命中7环的概率 (II)求ξ的分布列(III) 求ξ的数学期望E ξ.1O 的直径，AD17、(本题14分)如图5所示，AF 、DE 分别世O 、直径，与两圆所在的平面均垂直，8AD =.BC 是O 的6AB AC ==,//OE AD . (I)求二面角B AD F --的大小； (II)求直线BD 与EF 所成的角.18、(本题14分)设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小11()x f x （,）、值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为22()x f x （,），该平面上动点P 满足•4PA PB =,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点.求(I)求点A B 、的坐标； (II)求动点Q 的轨迹方程.19、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2n a 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和； (III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）20、(本题12分)A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.图 5ABCFDEO1O(I)设3(2)1,[2,4]x x x ϕ=+∈ ，证明：()x A ϕ∈(II)设()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；(III) 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n x x ϕ-=，1,2,n = ，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，成立不等式121||||1k k p k L x x x x L-+-≤--2006年高考广东卷(B) 第一部分 选择题（50分）1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是A.),31(+∞- B. )1,31(- C. )31,31(- D. )31,(--∞1、解：由1311301<<-⇒⎩⎨⎧>+>-x x x ，故选B.2、若复数z 满足方程022=+z ，则=3zA.22±B. 22-C. i 22-D. i 22± 2、由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D. 3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21( 3、B 在其定义域内是奇函数但不是减函数;C 在其定义域内既是奇函数又是增函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.4、如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CDA. BA BC 21+- B. BA BC 21-- C. BA BC 21- D. BA BC 21+4、BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.5、给出以下四个命题①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是A.4B.3C.2D.1 5、①②④正确，故选B.6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5B.4C. 3D.2 6、3302551520511=⇒⎩⎨⎧=+=+d d a d a ，故选C.7、函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，则方程0)(=x f 的根是=xA. 4B. 3C. 2D.1 7、0)(=x f 的根是=x 2，故选C8、已知双曲线9322=-y x ,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于A.2 B.332 C. 2 D.4 8、依题意可知 3293,322=+=+==b a c a ，2332===a c e ，故选C. 9、在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下，当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是A. ]15,6[B. ]15,7[C. ]8,6[D. ]8,7[9、由⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+42442s y sx x y s y x 交点为)4,0(),,0(),42,4(),2,0(C s C s s B A '--， （1） 当43<≤s 时可行域是四边形OABC ，此时，87≤≤z （2） 当54≤≤s 时可行域是△OA C '此时，8max =z故选D.10、对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若 )0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q pA. )0,4(B. )0,2(C.)2,0(D.)4,0(- 10、由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-210252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.第二部分 非选择题（100分）二、填空题 11、=+---→)2144(lim 22x xx11、4121lim )2144(lim 222=-=+---→-→x x xx x 12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 12、ππ274233332==⇒=⇒=R S R d 13、在112⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，5x 的系数为13、85112)2()2(1121111111111111=⇒=-⇒-=-=-----+r r x C xx C T r r r rrrr所以5x 的系数为1320)2()2(3113111111-=-=---C C r r14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示） .14、=)3(f 10，6)2)(1()(++=n n n n f三、解答题 15、（本小题满分14分） 已知函数R x x x x f ∈++=),2sin(sin )(π（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅲ）若43)(=αf ，求α2sin 的值. 15解：)4sin(2cos sin )2sin(sin )(ππ+=+=++=x x x x x x f（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ; （Ⅱ）)(x f 的最大值为2和最小值2-；（Ⅲ）因为43)(=αf ，即167cos sin 2①43cos sin -=⇒⋅⋅⋅=+αααα,即 1672sin -=α16、（本小题满分12分）某运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：X 0-6 7 8910Y 00.2 0.3 0.3 0.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ. (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率； (Ⅱ)求ξ分布列； (Ⅲ) 求ξ的数学希望.16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、1004.0)7(==ξP 21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξPξ分布列为 ξ78910P0.04 0.21 0.39 0.36(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . 17、（本小题满分14分）如图5所示，AF 、DE 分别是⊙O 、⊙O 1的直径.AD 与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8,BC 是⊙O 的直径，AB ＝AC ＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B —AD —F 的大小； (Ⅱ)求直线BD 与EF 所成的角.17、解：(Ⅰ)∵AD 与两圆所在的平面均垂直,∴AD ⊥AB, AD ⊥AF,故∠BAD 是二面角B —AD —F 的平面角， 依题意可知，ABCD 是正方形，所以∠BAD ＝450. 即二面角B —AD —F 的大小为450；(Ⅱ)以O 为原点，BC 、AF 、OE 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O （0，0，0），A （0，23-，0），B （23，0，0）,D （0，23-，8），E （0，0，8），F （0，23，0）所以，)8,23,0(),8,23,23(-=--=FE BD10828210064180||||,cos =⨯++=∙>=<FE BD FE BD EF BD 设异面直线BD与EF所成角为α，则1082|,cos |cos =><=EF BD α 直线BD 与EF 所成的角为1082arccos 18、（本小题满分14分）设函数23)(3++-=x x x f 分别在1x 、2x 处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A 、B 的坐标分别为))(,(11x f x 、))(,(22x f x ,该平面上动点P 满足4=∙PB PA ,点Q 是点P 关于直线)4(2-=x y 的对称点.求(Ⅰ)点A 、B 的坐标 ； (Ⅱ)动点Q 的轨迹方程18解: (Ⅰ)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或 当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f 所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(Ⅱ) 设),(n m p ，),(y x Q ，()()4414,1,122=-+-=--∙---=∙n n m n m n m PB PA21-=PQ k ，所以21-=--m x n y ，又PQ 的中点在)4(2-=x y 上，所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222n x m y消去n m ,得()()92822=++-y x19、（本小题满分14分）已知公比为)10(<<q q 的无穷等比数列}{n a 各项的和为9，无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (Ⅰ)求数列}{n a 的首项1a 和公比q ；(Ⅱ)对给定的),,3,2,1(n k k ⋅⋅⋅=,设)(k T 是首项为k a ，公差为12-k a 的等差数列.求数列)(k T的前10项之和；(Ⅲ)设i b 为数列)(i T的第i 项，n n b b b S +⋅⋅⋅++=21，求n S ，并求正整数)1(>m m ，使得m S nn ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当∞→n 时该无穷数列前n 项和的极限)19解: (Ⅰ)依题意可知,⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-32358119112121q a q a q a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1323-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=n n a ,所以数列)2(T的的首项为221==a t ,公差3122=-=a d ,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231--⎪⎭⎫⎝⎛--i i i ，()()2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n S nn ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m nm m n n n n n n 2132271845--⎪⎭⎫ ⎝⎛+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim=－21，当m>2时，m n n n S ∞→lim =0，所以m=220、（本小题满分12分）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ（Ⅰ）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的;(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121x x LL x x k k lk --≤-++解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ35≤,253133<<<,所以)2,1()2(∈x ϕ 对任意的]2,1[,21∈x x ，()()()()23232132121211121212|||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，<3()()()()32321321112121x x x x ++++++，所以0<()()()()2323213211121212x x x x ++++++32<,令()()()()2323213211121212x x x x ++++++=L ，10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ 所以A x ∈)(ϕ反证法:设存在两个0000),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ则 由|||)2()2(|/00/00x x L x x -≤-ϕϕ，得||||/00/00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。
2009年高考数学试题及答案(山东理)
2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B = ,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.4 2.复数31i i--等于（ ）.A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -3.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x =C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =4. 一空间几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 23π+D. 43π+5. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 函数xx x xe e y e e--+=-的图象大致为( ).侧(左)视图正(主)视图俯视图D7.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=８.某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品 净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且 小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 9. 设双曲线12222=-by ax 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45 B. 5 C.25 D.510. 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 211.在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到21之间的概率为( ).A.31 B.π2C.21 D.3212. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12，则23ab+的最小值为( ).A.625 B.38 C.311 D. 4第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)(附详细答案)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= ．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴?U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：?U（A∩B）=（?U A）∪（?U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51?C31?C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52?C61?C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则?的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）?+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ＝∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ＝=．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++Cn n a0b n，各项的通项公式为：Tr+1=C nr a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8= 27 ．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πＲ2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8 ．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4）=0.52P（ξ=3）=1﹣P（ξ=2）=1﹣0.52=0.48∴Eξ=2×0.52+3×0.48=2.48．【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=?（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解
2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第错误！未找到引用源。
卷（选择题）和第错误！未找到引用源。
卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。
卷1至2页，第错误！未找到引用源。
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R = n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u AB I 中的元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。
也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =（2）已知????i 则复数z ??（B ??）w w w k s ??u c o m ?????????????? （A ）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+⋅+=+∴=- 故选B 。
2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)(含解析版)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣210．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．411．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．2．（5分）已知=2+i，则复数z=（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i【考点】A1：虚数单位i、复数．【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．【解答】解：，∴z=1﹣3i故选：B．【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（）A．﹣2B．﹣2C．﹣1D．1﹣【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】16：压轴题．【分析】由题意可得=，故要求的式子即﹣（）•+=1﹣cos=1﹣cos，再由余弦函数的值域求出它的最小值．【解答】解：∵、、是单位向量，，∴，=．∴•=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣cos=1﹣cos≥．故选：D．【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵∴x0+a=1∴y0=0，x0=﹣1∴a=2．故选：B．【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是奇函数C．f（x）=f（x+2）D．f（x+3）是奇函数【考点】3I：奇函数、偶函数．【专题】16：压轴题．【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），f（﹣x+3）=﹣f（x+3），f（x+3）是奇函数．故选：D．【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9=81，则a2+a5+a8=27．【考点】83：等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由s9解得a5即可．【解答】解：∵∴a5=9∴a2+a5+a8=3a5=27故答案是27【点评】本题考查前n项和公式和等差数列的性质．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于20π．【考点】LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2=20π故答案为：20π【点评】本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16．（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为﹣8．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决．【解答】解：令tanx=t，∵，∴故填：﹣8．【点评】本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面．以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题．【分析】（1）由题意知前2局中，甲、乙各胜1局，甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，根据各局比赛结果相互独立，根据相互独立事件的概率公式得到结果．（2）由题意知ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3，由于各局相互独立，得到变量的分布列，求出期望．【解答】解：记A i表示事件：第i局甲获胜，（i=3、4、5）B i表示第j局乙获胜，j=3、4（1）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利，∵前2局中，甲、乙各胜1局，∴甲要获得这次比赛的胜利需在后面的比赛中先胜两局，∴B=A3A4+B3A4A5+A3B4A5由于各局比赛结果相互独立，∴P（B）=P（A3A4）+P（B3A4A5）+P（A3B4A5）×+××+××（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由上一问可知ξ的可能取值是2、3由于各局相互独立，得到ξ的分布列P（ξ=2）=P（A3A4+B3B4∴Eξ=2×+3×【点评】认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题．另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节．20．（12分）在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；15：综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n=b n+，由此能够推导出所求的通+1项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n=b n+，从而b2=b1+，+1b3=b2+，b n=b n﹣1+（n≥2）．于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．21．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．22．（12分）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]．（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；（2）证明：．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；7B：二元一次不等式（组）与平面区域；R6：不等式的证明．【专题】11：计算题；14：证明题；16：压轴题．【分析】（1）根据极值的意义可知，极值点x1、x2是导函数等于零的两个根，根据根的分布建立不等关系，画出满足条件的区域即可；（2）先用消元法消去参数b，利用参数c表示出f（x2）的值域，再利用参数c 的范围求出f（x2）的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3x2+6bx+3c，（2分）依题意知，方程f'（x）=0有两个根x1、x2，且x1∈[﹣1，0]，x2∈[1，2]等价于f'（﹣1）≥0，f'（0）≤0，f'（1）≤0，f'（2）≥0．由此得b，c满足的约束条件为（4分）满足这些条件的点（b，c）的区域为图中阴影部分．（6分）（Ⅱ）由题设知f'（x2）=3x22+6bx2+3c=0，则，故．（8分）由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，故．又由（Ⅰ）知﹣2≤c≤0，（10分）所以．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及二元一次不等式（组）与平面区域和不等式的证明，属于基础题．。
2009年全国高考数学试题——山东卷(理科)含答案-推荐下载
6.
函数 y
ex ex ex ex
y
1
O1
A
的图像大致为(
x
y
1 O1 x
B
【解析】:函数有意义,需使 ex ex 0 ,其定义域为 x | x 0,排除 C,D,又因为
y
ex ex
ex ex
e2x e2x
1 1
◆ 以鲜明的教育理念启发人 ◆ 以浓厚的学习氛围影响人
D.
答案:D
【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式的基本知识和基本
技能,学会公式的变形.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
A. 2 2 3
B. 4 2 3
C. 2 2 3 3
【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 2 ,四棱锥的底面
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回. 注意事项： 1. 答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷
规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
秉承：以人为本，质量第一，突出特色， 服务家长
俯视图
y
1 O1 x
C
).
D. 4 2 3 3
A.
◆ 以不倦的育人精神感染人
2
2
2 正(主)视图
y
1
2009年高考山东卷数学(理科)试题及参考答案
β
浓度达33.2％时，随后的液体
全部转变成共晶（α +β ）。
Al 5.65 L/S
α+β
Cu→
56
• 已知：
C0 5.65%
1/24/2019
5.63 K0 0.17 33.2
α
L
返回
z K 0 1 • 根据： C L C0 (1 ) l
z 88 % 时， l
求σ 、△G*。
r*
2 Tm Lm T
* Lm T
2Tm
G*
2 3 p 16 Tm 2 3 L2 T m
2.53105 J / cm2
G* 1.0591018
1/24/2019
J
返回
7. 简述纯金属晶体长大机制与S/L界面结构的关系
• 粗糙界面:垂直长大机制
T℃
Ⅰ 1 α 2 L
Ⅱ 1 2 β
室温相： α +β
90 80 W % 11.8% 90 5
A 5 20
50
80 90 B
W % 1 W % 88.2%
室温组织： β先＋(β＋α )共
80 － 50 W 先％＝ ＝ 75 ％ 90 － 50 W( ) % 1 W 先％＝ 25 ％
33.2
CL=33.2%，L余→(α +β )。 α 相起始浓度为K0C0=0.96%
C0=5.65 0.96
5.63
终点浓度为：
z
CS K0CL 0.17 33.2% 5.63%
1/24/2019
返回
5.分析Cu-Zn相图
902℃包晶 L+α →β 温度 转变 组成
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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16AB =,则a 的值为( )A.0B.1C.2D.42、复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -3、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.2π+B. 4π+C. 2π+D. 4π+5、 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的 一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6、函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( ).7、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=８、某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净 重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是 [96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104), [104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大 于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 9、设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A.45B. 5C. 25D.510、 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 11、在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2C.21D.32 12、设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的是最大值为12， 则23a b+的最小值为( ).第8题图A BC P 第7题图A.625B.38C. 311 D. 4第12题图 第∏卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13、不等式0212<---x x 的解集为 .14、若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a15、执行右边的程序框图，输入的T= .16、已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在 区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x xx x +++=17、(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x. (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期. (2) 设A,B,C 为∆ABC 的三个内角，若cosB=31，f(3C)=－41，且C 为锐角，求sinA. 18、（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ，AB=4, BC=CD=2, AA 1=2, E 、E 1、F 分别是棱AD 、AA 1、AB 的中点。
（1）证明：直线EE 1//平面FCC 1； （2）求二面角B-FC 1-C 的余弦值。
19、(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率q 1为0.25，在B 处的命中率为q 2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为E A B CF E 1A 1B 1C 1D 1Dp 0.03 P 1 P 2 P 3 P 4（1） 求q 2的值；（2） 求随机变量ξ的数学期望E ξ;（3） 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
20、（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值；（2）当b=2时，记 22(log 1)()n n b a n N +=+∈，证明：对任意的n N +∈ ，不等式1212111·······1n nb b b n b b b +++>+成立 21、（本小题满分12分）两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由。
（22）（本小题满分14分）设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
参考答案1、A ．∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.2、D ．∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =,故选D.3. D.将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位,得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为21cos 22sin y x x =+=,故选D.4、C ．该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为 ,四棱锥的底面 边长为 ，高为 ，所以体积为 所以该几何体的体积为 .5、B ．由平面与平面垂直的判定定理知如果m 为平面α内的一条直线,m β⊥,则αβ⊥,反过来则不一定.所以“αβ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件.6、A ．函数有意义,需使0x xe e--≠,其定义域为{}0|≠x x ,2排除C,D,又因为22212111x x x x x xx e e e y e e e e --++===+---,所以当0x >时函数为减函数,故选A.7、C ．因为2BC BA BP +=，所以点P 为线段AC 的中点，所以应该选C 。
8、A ．产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为n ,则300.036=n,所以120=n ,净重大于或等于98克并且小于 104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.9、D ．双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40b a -=,所以2b a =,2c e a ====故选D.10、C ．由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 11、C ．在区间[-1，1]上随机取一个数x,即[1,1]x ∈-时,222xπππ-≤≤, ∴0cos12xπ≤≤区间长度为1, 而cos2xπ的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选C 12、A ．不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而23a b +=2323131325()()26666a b b a a b a b ++=++≥+=,故选A. 13、{|11}x x -<<.原不等式等价于不等式组①221(2)0x x x ≥⎧⎨---<⎩或②12221(2)0x x x ⎧<<⎪⎨⎪-+-<⎩或③12(21)(2)0x x x ⎧≤⎪⎨⎪--+-<⎩不等式组①无解,由②得112x <<,由③得112x -<≤,综上得11x -<<,所以原不等式的解集为{|11}x x -<<.14 、1>a .设函数(0,xy a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a =+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)xy a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a 的取值范围是1>a15、30.按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=3016、-8.因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-,所以(4)()f x f x -=-,所以, 由)(x f 为奇函数,所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数,所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-17、解: （1）f(x)=cos(2x+3π)+sin 2x.=1cos 21cos 2cos sin 2sin sin 233222x x x x ππ--+=- 所以函数f(x),最小正周期π. （2）f(3C)=1223C -=－41,所以2sin 3C =,因为C 为锐角,所以233C π=,所以2C π=,所以sinA=cosB=31. 18、解法一：（1）在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点F 1， 连接A 1D ，C 1F 1，CF 1，因为AB=4, CD=2,且AB//CD ， 所以CD=//A 1F 1，A 1F 1CD 为平行四边形，所以CF 1//A 1D ， 又因为E 、E 1分别是棱AD 、AA 1的中点，所以EE 1//A 1D ， 所以CF 1//EE 1，又因为1EE ⊄平面FCC 1，1CF ⊂平面FCC 1， 所以直线EE 1//平面FCC 1.EABCFE 1A 1B 1C 1D 1D F 1O P（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F 是棱AB 的中点,所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形,取CF 的中点O,则OB ⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥平面ABCD,所以CC 1⊥BO,所以OB ⊥平面CC 1F,过O 在平面CC 1F 内作OP ⊥C 1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB 为二面角B-FC 1-C 的一个平面角, 在△BCF 为正三角形中,OB =在Rt △CC 1F 中, △OPF ∽△CC 1F,∵11OP OF CC C F =∴22OP ==, 在Rt △OPF 中,2BP ===,cos 2OP OPB BP ∠===所以二面角B-FC 1-C的余弦值为7.解法二:（1）因为AB=4, BC=CD=2, F 是棱AB 的中点, 所以BF=BC=CF,△BCF 为正三角形, 因为ABCD 为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF 的中点M, 连接DM,则DM ⊥AB,所以DM ⊥CD,以DM 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴建立空间直角坐标系, ,则D （0,0,0）,A）,F）,C （0,2,0）,C 1（0,2,2）,E（2,12-,0）,E 1（,-1,1）,所以131(,1)2EE =-,(3,1,0)CF =-,1(0,0,2)CC =1(,2)FC =-设平面CC 1F 的法向量为(,,)n x y z =则100n CF n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以00y z -==⎪⎩取(1,3,0)n =,则13111002n EE ⋅=⨯-⨯=,所以1n EE ⊥,所以直线EE 1//平面FCC 1.（2）(0,2,0)FB =,设平面BFC 1的法向量为1111(,,)n x y z =,则11100n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以1111020y y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩,取1n =,则121002n n ⋅=⨯+=, ||1(2n=+=,21||2n =+=,所以111cos ,||||2n n n n n n ⋅〈〉===⨯,由图可知二面角B-FC 1-C 为锐角,所以二面角B-FC 1-C 的余弦值为E A7. 19、（1）2()1P B q =-.根据分布列知: ξ=0时22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.03,所以210.2q -=，q 2=0.2. （2）当ξ=2时, P 1=)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +==0.75 q 2( 21q -)×2=1.5 q 2( 21q -)=0.24当ξ=3时, P 2 =22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-=0.01, 当ξ=4时, P 3=22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ===0.48, 当ξ=5时, P 4=()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+=0.24所以随机变量ξ的分布列为随机变量ξ的数学期望00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=;该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大.20、（1）解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0xy b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数的图像上.所以得n n S b r =+,当1n =时,11a S b r ==+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,又因为{n a }为等比数列,所以1r =-,公比为b ,1(1)n n a b b -=-（2）当b=2时，11(1)2n n n a b b --=-=, 1222(log 1)2(log 21)2n n n b a n -=+=+=则1212n n b n b n ++=,所以121211135721 (246)2n n b b b n b b b n++++=⋅⋅ 下面用数学归纳法证明不等式121211135721 (246)2n n b b b n b b b n++++=⋅⋅>.① 当1n =时,左边=32,右边,因为32>,所以不等式成立. ② 假设当n k =时不等式成立,即121211135721 (246)2k k b b b k b b b k++++=⋅⋅>.则当1n k =+时,左边=11212111113572123··· (246)222k k kk b b b b kk b b bb k k ++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅+ 2322k k +===>+所以当1n k =+时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.21解:（1）如图,由题意知AC ⊥BC,22400BC x =-,224(020)400k y x x x =+<<- 其中当x =时，y=0.065,所以k=9 所以y 表示成x 的函数为2249(020)400y x x x=+<<- 设22,400m x n x ==-,则400m n +=,49y m n =+,所以494914911()[13()](1312)40040040016m n n m y m n m n m n +=+=+=++≥+=当且仅当49n m m n=即240160n m =⎧⎨=⎩时取”=”.下面证明函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数. 设0<m 1<m 2<160,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+-- 12124499()()400400m m m m =-+---211212124()9()(400)(400)m m m m m m m m --=+-- 21121249()[](400)(400)m m m m m m =----12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=---, 因为0<m 1<m 2<160,所以412(400)(400)m m -->4×240×240 9 m 1m 2<9×160×160所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m --->--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ---->--即12y y >函数49400y m m=+-在(0,160)上为减函数.同理,函数49400y m m=+-在(160,400)上为增函数,设160<m 1<m 2<400,则1211224949()400400y y m m m m -=+-+--12122112124(400)(400)9()(400)(400)m m m m m m m m m m ---=--- 因为1600<m 1<m 2<400,所以412(400)(400)m m --<4×240×240, 9 m 1m 2>9×160×160 所以121212124(400)(400)90(400)(400)m m m m m m m m ---<--,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)m m m m m m m m m m ----<--即12y y <函数49400y m m=+-在(160,400)上为增函数.所以当m=160即410x =时取”=”,函数y 有最小值, 所以弧上存在一点，当410x =A 和城B 的总影响度最小.解:（1）因为椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （22 ，6,1)两点,所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=,即222(12)4280k x kmx m +++-=,则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即2222228801212m m k k k --+=++,所以223880m k --=,所以223808m k -=≥又22840k m -+>,所以22238m m ⎧>⎨≥⎩,所以283m ≥,即m ≥m ≤,因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r =,222228381318m m r m k ===-++,r =,所求的圆为2283x y +=,此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤,而当切线的斜率不存在时切线为x =22184x y +=的两个交点为±或(满足OA OB ⊥,综上, 存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥.。