第二章极限与连续共47页

趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当x趋向于 正无穷大时函数f(x) 的极限，记作
limf(x)A或 f (x) A (x ).
x
例如,由函数 f(x)arctaxn的图形可见,
y
2
yarctaxn
x
当 x时,
2
f
(x)
arctaxn无限地趋向于
常数 2
,即 limarctaxn 或记作
x
由极限的定义得 lim n 1. n n1
几何解释
设 ln imxn a, 其几何意义为:
当 n N时,所有的点 xn都落在 (a , a )内
即落在点 a的 邻域 U(a,)内，而在这区间外
面的点只有有限个(至多只有N个).
2 a
a
x 2 x 1 xN1 a xN2n x4 x3 x2 x1
x
单调递增和单调递减数列统称为单调数列.
二、有界性
如果存在M>0,对于任何正整数n ，恒有
xn M
那么称数列 xn 为有界的；否则称为无界的.
如果数列所有的项都不超过某一个常数，即
xnM(n1,2,3,),那么称数列 xn 为有上界的;
如果数列所有的项都不小于某一常数，即
§1 数列的极限 §2 函数的极限 §3 无穷小量与无穷大量 §4 极限的运算法则 §5 极限存在准则和两个重要极限 §6 函数的连续性
基本要求
1、了解数列的概念及性质; 2、了解数列极限与函数极限的概念及几何意义; 2、掌握极限的性质及四则运算法则; 3、掌握极限存在准则，并会利用它们求极限; 4、掌握利用重要极限求极限的方法; 5、理解无穷小量与无穷大量的概念; 6、了解函数的连续性概念,会判别函数的连续性; 7、掌握闭区间上连续函数的性质.
x趋于无穷大，实际上包括三种情形：x取正
值无限增大；x取负值而 x 无限增大; x既可取
正值,也可取负值,而 x 无限增大.
(1) x →∞ 时,函数 f (x) 的极限
例：观察
当 x绝对值 无限增大时，容易看出， f (x) 无限接近于定数 0 .
定义1设函数 f (x) 当 x a (a 0为某个常数)时有定义，
它依次取数轴上的点 x1,x2,xn,
x3 x1 x2 x4 xn x
1.2数列的简单性质 一、单调性
如果数列 xn 满足
x1x2x3 xnxn 1
那么称数列为单调递增数列；
x 1 x 2 x 3x 4
xn x
如果数列 xn 满足
x 1 x 2 x 3 x n x n 1
那么称数列为单调递减数列.
先说明在数学上如何刻划“无限接近”与“无限增大”
我们用 xa 来表示x与a的 接近程度,用
nN 来表示n无限增大 .
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),存在正数N,使得对于nN时的一切xn ,
不等式
xn a
都成立,那末就称常数a是数列 xn 的极限, 或者称数列xn 收敛于a, 记为
lnimxn a. 或 xna (n).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
上述定义称为 N 定义.
例1 用数列极限的定义证明
证记
xn
n, n 1
0,
lim n 1. n n1 要使
xn 1
n 1 1 ,
n1 n1
只要 n 1 1,
从而可取正整数 N 1 1,
则当 nN 时,恒有 xn 1 ,
xn m (n1,2,3,) ,那么称数列xn 为有下界的.
1.3 数列的极限
一、 数列极限的定义
研究一个数列xn ,主要研究当n无限增大时
(用记号n来表示)，对应的 x n 的变化趋势 .
观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化趋 n
n= 1
2
3
4
5
1
4
3
6
xn = 2
2
3
4
5
由观察可知 1(1)n11,(n). n
§1 数列的极限
1.1 数列的概念 定义1 无穷多个按照一定顺序排列的数
x1,x2,xn,, 称为数列,简记为 xn , 数列中的每一个数称为
数列的项,第n项 x n 称为数列的通项或一般项.
几个数列的例子：
通项
xn n3,
xn
1 2n
,
1,8， 27,，n3, (1)
111 1
, , ,, , 2 4 8 2n
(2)
x (1)n1 1 ,
n
n
1,1,1,,(1)n11, (3)
23
n
xn (1)n1
xn
n
1 n
1,1,1,1,(1)n1, (4)
0,1,2,,n1,
(5)
23 n
数列xn 可看作定义域为正整数集 N 上的函数:
xn f(n) n1,2,
在几何上, 数列xn 可看作数轴上的一个动点,
如果当 x的绝对值无限增大时，对应的函数值 f (x)无限地
趋向于某一个常数A，那么我们就称A为当 x函数
f (x) 的极限，记作
limf (x) A或 f (x) A (x ).
x
例如
0.
(2)自变量 x →+∞ 时,函数 f (x) 的极限的描述：
如果当 x 时,对应的函数值f(x) 无限地
2
arctanx
2
(x).
limf(x)A几何意义：
x
对 0,在直线 y A的上、下方各作一
直线 yA与 yA ,则总存在一个正数 X,
使得在区间 (X,) 内,函数 f (x) 的图形完全位于
定义1 描述性: 对数列 xn ，如果当 n时，
x n 无限地趋近于某一个常数a ，就称数列 xn
当 n时收敛于a, 记作 lni mxn a.
如果数列没有极限,就称该数列是发散的.
例如上面的数列有
=1
观察前面所举数列的例子, 不难看出：
lim 1 0, n 2n
lim(1)n1 10,
n
n
n1 lim 1. n n
例如,
xn
n n 1
1(n )
收
敛
xn
n(1)n1 n
1(n )
xn 2n (n ) 发
散 xn(1)n1 趋势不定
例：求下列数列的极限
3
(1)
(2)
(5 + n2 )
解(1)原式 =
=1
(2)原式 = 5.
下面用精确的、定量化的数学语言来给出数列 极限的定义.
1.唯一性
定理1 若数列xn 收敛,则它的极限唯一.
2.有界性
定理2 若数列 xn 收敛，则数列必有界。
由定理2可得无界数列必定发散.
注意有界性是数列收敛的必要条件,非充分条件.
如数列 (1)n 有界，但由定义知它不收敛。
§2 函数的极限
2.1 自变量趋于无穷大时,函数 f (x) 的极限