微积分第二章 极限与连续

极限的产生过程

极限思想的产生和其他科学思想一样，是必须经过历代古
人的思考与实践一步一步渐渐积累起来的，它也是社会实 践的产物。极限的思想可以追溯到古代，刘徽的割圆术是 建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊 人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的 恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证 法—归谬法来完成有关的证明。
如果让正数ε任意小, 则不等 式
充分表达出yn 与a无限接近的意思. (2) 正整数N与ε有关, 随着ε的给定而可选定. (3) 数列极限定义只能验证某一个数是否为数列的极限, 但不能用于求数列的极限.
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例2 用极限定义证明：
证明
对任意给定的 ε > 0,
显然， lim f ( x) lim f ( x).
根据定理 2.1， lim f ( x)不存在 . 练习：P , 6 . 90 x 0
| x| 6.证明： lim 不存在。 x 0 x |x| x 证明： lim lim lim ( 1) 1; x 0 x 0 x 0 x x | x| x lim lim lim 1 1; x 0 x 0 x x0 x
lim x x0 .
x x0
在定义2.2.2中, 极限过程 x →x0包括了x 同时从 x0的左、右 两侧无限的趋于x0 . 但是, 有时我们只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋于 x0 （记为 x →x0- 或 x →x0 +）时, f(x)的变 化趋势. 例如函数
只能从2的右侧趋于2, 从而就必须引进函数左、右极限的概念.
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三．数列极限的性质
定理2.1.1 (极限的唯一性) 如果数列 {yn} 收敛, 则其极限唯一. 定理2.1.2 (有界性) 如果数列 {yn} 收敛, 则 {yn} 一定有界. 注 上述定理的逆不成立. 数列有界是数列收敛的必要条件, 有界数列不一定收敛. 例如
n→ ∞ 等.
一.无穷小
定义2.3.1 如果在自变量 则称函数 f(x)为 的某个变化过程中 , 在该变化过程中的无穷小量, 简称无穷小.
简单地说, 以零为极限的变量称为无穷小量. 例如
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定义2 .2 意给定的
设 { yn} 为一数列, 如果存在常数
对于任
, 总存在正整数N, 当n>N时, 不等式
恒成立, 则称常数 是数列 {yn} 当n趋于无穷大时的极限,
或称{yn}收敛于 记为
如果不存在这样的常数 , 则称数列{yn}没有极限, 或者 称
都小于那个正数.
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小于某个正数 ε 来表示. 若令
要使
则当 n>10 时, xn都能满足与0的距离小于 以后的任一项 y11, y12 , …都能满足 若再取一个更小的正数
即对于第10项
要使 xn 0
1 2, n
则当 n>100时, 即自第100项后的任一项 y101, y102, … 都满足
考察数列
, 不难看出, 当n → ∞ 时, yn 无限地趋近于常
数0, 此时, 我们就说数列 { yn }以 0为极限. 与常数 0的接近程度可用
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由此可见, 对于数列
无论给定多么小的正数, 在 n无限增大的变化过程中, 总有那 么一个时刻N , 在这个时刻以后（即n>N 或 n 充分大以后）,
由 limƒ(x)= A 的定义,
必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有
即
§2.3 无穷小与无穷大
一.无穷小
二.无穷大
三.无穷小的性质
本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量： 无穷小量和无穷大量. 为叙述简便我们用 来表示在
自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程, 包
括x→x0 ， x→x0 +， x→x0 - ， x→ ∞ ， x→+ ∞ , x→ -∞ ，
恒成立, 则称常数A为当 x →x0 时函数ƒ(x)的极限. 记为
注
表示
x →x0 时 ƒ(x) 有没有极限, 与
ƒ(x) 在点 x0 是否有定义并无关系 , 我们关心的是 x →x0 时, ƒ(x) 的变化趋势而不是 ƒ(x) 在点 x0 处是否有意义.
例3 证明 由于当 x=1 时, 要使 , 即 无定义, 则当 x≠1 时,
1, x 0, 例：设f ( x) 研究当x 0时, f ( x)的极限是否存在？ x, x 0.
解：由于
x 0 x 0
1 . lim f ( x ) lim 1
x 0 x 0
lim f ( x) lim x 0.
x 0 x 0
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到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改
进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思
想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展， 生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决， 要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和
要使不等式
成立, 只需
则当n > N时, 恒有
根据数列极限的定义：
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练习：P90， （ 2 3） .
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1 证明： lim 0. n n
证明：对 0,
1 1 | 0 | , 成立. n n 1 1 只需 n 2 . 因此，取 N [ 2 ], 当n N时，有 1 | 0 | 成立 n 1 lim 0. n n
并且都对极限作出过各自的定义。到了19世纪，法国数学家
柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了极限概念及其 理论。
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我国春秋战国时期的哲学名著《庄子》记载着惠施的一句名言
“一尺之锤，日取其半，万事不竭。”也就是说，从一尺长的 竿，每天截取前一天剩下的一半，随着时间的流逝，竿会越来 越短，长度越来越趋近于零，但又永远不会等于零。这更是从 直观上体现了极限思想。 因此，极限是事物发展的一中趋势，只需要无限接近即可， 不必相等。因此，在这一章里, 我们将建立极限的基本概念， 讨论极限的基本性质与计算方法, 在此基础上介绍连续函数的 概念和闭区间上连续函数的性质.
例1 证明 证明
如果 义中的 同样,
且无限增大 (记作 改为 而 改为 就可得
) 那么只要 把上面定 的定义. ) 那么只要把 的定义.
无限增大 (记作 便得
由定义2.2.1可以证明： 的充要条件是
2.
定义2.4
果存在常数A,
时, 函数 ƒ(x) 的极限
设函数 ƒ(x) 在x0 的某个去心邻域内有定义, 如
显然， lim f ( x) lim f ( x).
x 0 x 0
根据定理 2.1， lim f ( x)不存在 .
x 0
例 4 讨论当 解 当 x < 0 时, 有
时, 函数
的极限.
当 x > 0 时, 有
由于
，所以
不存在.
例5
设函数
, 讨论
是否存在?
解
当 x < 0 时, 有
当 x > 0 时, 有
因此
不存在.
二. 函数极限的性质
由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不 同的形式，下面仅以 这种形式给出关
于函数极限性质的一些定理. 至于其他极限形式的性质, 只 要相应地作一些修改便可得出. 定理2.2.2(唯一性) 若 存在, 则极限值 A 唯一.
注 若极限不唯一, 变化趋势不定. 例如
研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积
分的社会背景。
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起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来
因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人 们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里 埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，
定理2.2.3 (局部有界性) 若 常数M>0和δ>0，使得当 时,
存在, 那么存在
证 当
取ε =1, 因为 时,
则存在
于是, 当
时
取
当
有
定理2.2.4 (局部保号性) 若
则存在 δ>0, 使得当 证 设 A > 0取正数
且 A > 0 (或 A < 0).
时, ƒ(x) > 0 (或ƒ(x) < 0).
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二. 数列极限
对于数列 { yn }, 我们需要研究的问题是:当n无限增大时(记 为n → ∞), 数列的一般项 yn 的变化趋势. 特别地, 当n无限增 大时, 如果 yn 能与某个确定的常数a无限接近, 则称常数a为数 列 { yn } 当 n → ∞时的极限.
定理2.1.3 (保号性) 如果
则存在正整数N, 当 时, 恒有
,且
§2.2 函数的极限
一. 函数极限的概念
二. 函数极限的性质
一. 函数极限的概念
在§2.1中, 我们讨论了特殊函数─数列{f(n)}的极限, 现在我
们来讨论一般函数f(x)的极限. 由于一般函数 f(x)中的自变量x
的变化趋势通常可分为“ x → ∞”和“x → x0”两种, 所以我们将 分两种情况分别予以讨论.
数列{yn}是发散的.
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例1: 用极限定义证明：
证明 对任意给定的
, 要使不等式
成立, 只需
即可. 若取
则对于任意给定的
0, 当n>N时, 恒有
故
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注 (1) 在数列极限定义中,ε 可以任意给定是很重要 的,
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第二章、极限与连续
第一节：数列的极限
一. 数列概念 二. 数列极限
三．数列极限的性质
一.数列概念
定义2.1 是定义在正整数集合上的函数, 当自变 相应排列成的一串 量n 按正整数的顺序取值时, 称函数值 数
为数列, 简记为 {f(n)}, 数列中的每个数叫做数列的项, 第n项 f(n)叫做数列的一般项(或通项). 1 1 1 1 1 ,... yn n , , , , 例1： 2 2 4 8 16 1 1 1 1 例2：yn , 1, 2 , 3 , 4 ,... n 1 (1) n yn , 0 , 1, 0 ,1,... 例3： 2
定义2.5 设函数ƒ(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义,
如果存在常数A, 对于任意给定的ε > 0, 总存在δ > 0, 使得
当x 满足不等式
恒成立, 那么常数A就叫做函数ƒ(x)当 记做
时的右极限,
类似地, 在
的定义中, 把
改为
就可以得到在 x0处的左极限. 记为
左极限和右极限统称为单侧极限. 由极限定义易知以下的 充要条件成立. 定理2.1 函数 y = ƒ(x) 当 x→ x0 时极限存在且为 A 的充 要条件是函数y = ƒ(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即
1. 当 x →∞ 时, 函数ƒ(x)的极限
仿照数列极限的定义, 下面我们给出 x →∞ 时, ƒ(x)的极限 的定义. 定义2.3 设函数 ƒ(x)当 大于某一正数时有定义， 如果存在
常数 A, 对于任意给定的
式 时, 不等式
, 总存在
使得当x 满足不等
恒成立, 则称常数 A为当 x →∞ 时函数ƒ(x) 的极限, 或称当 x →∞ 时ƒ(x) 收敛于A,记作 或 （当 x →∞ ）
只须
故可取
恒有
成立. 即
例：利用定义证明 lim x x0 .
x x0
证明: 设f ( x) x, 对于任意给定的 0, 要使
| f ( x) x0 || x x0 | 成立
只需取 就可以了 . 当0 | x x0 | 时，
| f ( x) x0 | 成立