3.2.3直线的一般式方程导学案
3.2.3直线的一般式方程导学案
§3.2.3直线的一般式方程导学案教师寄语：如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
学习目标：（1）明确直线方程一般式的形式特征.（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距.（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法.学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.预习内容：复习回顾1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .③两点式： . ④截距式： .2.写出下列直线方程，并化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式。
① 过点A(2,-1)、B(0,3)； .② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； .③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； .④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； .⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； .学习探究：直线方程的一般形式：讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？结论： 。
讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？结论： 。
新知：直线的一般式方程的定义：把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。
思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线①平行于x 轴； 。
②平行于y 轴； 。
③与x 轴重合； 。
④与y 轴重合； 。
⑤过原点的直线； 。
例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为34- ，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是12-，经过点(8,2)A -； . ⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3,32-； . ⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
3.2.2直线的两点式方程 3.2.3直线的一般式方程 教案(人教A版必修2)
3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的两点式的形式特点及适用条件．(2)了解直线方程截距式的形式特点及适用条件．(3)明确直线方程一般式的形式特点，会把直线方程的一般式同直线方程的其他形式互化．2．过程与方法(1) 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．(2)通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察、分析、归纳，进而得出直线的一般式方程，培养学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式、一般式．难点：两点式的适用条件及直线方程一般式的形式特征．重难点突破：以具体案例“求过两点的直线方程”为切入点，通过学生解答，发现知识之间的联系，然后通过观察、思考和互相交流，归纳出直线方程的两点式的形式．针对其适用条件，教学时可引导学生从两点式的形式给予突破；从直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的形式出发，采用由特殊到一般的方式，通过学生观察、师生交流，寻其共性，得出直线方程一般式的形式特征，最后通过典例训练，熟练掌握直线方程的各种形式，突出重点的同时化解难点．●教学建议本节知识是上一节知识的拓展和补充，旨在培养学生多角度探求直线方程的求法．鉴于本节知识的特点，对于直线方程的两点式的教学，可引导学生由“点斜式方程”出发，探究“过两点的直线方程”求法，整个过程遵循由浅及深、由特殊到一般的认知规律，使学生在已有的知识基础上获得新结论，达到温故知新的目的．对于直线方程的截距式，教学时只需明确以下两点：(1)它是两点式的特殊情形；(2)讲清截距的几何含义和截距式方程的特征及适用条件．对于直线方程的一般式，教学时，可采取“分析法”“讨论法”“归纳法”与多媒体相结合进行教学，增强动感和直观性．在整个教学过程中，引导学生观察、分析、概括、归纳，使学生思维紧紧围绕“一般式的形式特征与直线点斜式方程的互化”层层展开，体现知识的相互交融性，同时为下一节研究直线的交点坐标及距离公式做好铺垫．●教学流程创设问题情境，引出问题：过两定点的直线方程，如何求解？⇒通过引导学生回忆直线的点斜式方程，探究得出直线的两点式方程，明确其适用条件.⇒通过引导学生回答所提问题理解直线方程的一般式与二元一次方程的关系.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握直线的两点式方程的求法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的截距式方程的求法.⇒1．利用点斜式解答如下问题：(1)已知直线l 经过两点P 1(1,2)，P 2(3,5)，求直线l 的方程；(2)已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 【提示】 (1)y －2＝32(x －1)．(2)y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)．2．过点(3,0)和(0,6)的直线能用x 3＋y6＝1表示吗？【提示】 能．直线方程的两点式和截距式若点12112212的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.我们已经学习了直线的点斜式y －y 0＝k (x－x 0)，直线的斜截式y ＝kx ＋b ，直线的两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1，直线的截距式x a ＋y b ＝1，并且掌握了它们的适用条件．1．上述方程的四种形式都能用Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)来表示吗？ 【提示】 能．2．关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)一定表示直线吗？ 【提示】 一定． 直线的一般式方程(1)定义：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB.当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率.三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．【思路探究】 由两点式直接求出三角形三边所在的直线的方程． 【自主解答】 由两点式，直线AB 所在直线方程为： y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.1．已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．2．利用两点式求直线方程的前提是x 1≠x 2，y 1≠y 2，切忌不注意坐标间的关系盲目套用公式．在题设条件不变的情况下，求AB 中点与点C 连线的方程． 【解】 设AB 边中点为D (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝－1＋32＝1，y ＝0＋(－1)2＝－12，C ，D 两点横坐标相同，所以直线CD 的方程为x ＝1.l 的方程． 【思路探究】 思路一：利用直线的截距式方程求解，需分截距“为零”和“不为零”两类分别求解；思路二：利用直线方程的点斜式求解．【自主解答】 法一 设直线l 在两坐标轴上的截距均为a . ①若a ＝0，则直线l 过原点，此时l 的方程为2x ＋3y ＝0； ②若a ≠0，则l 的方程可设为x a ＋ya ＝1，因为直线l 过点(3，－2)，知3a ＋－2a ＝1，即a ＝1， 所以直线l 的方程为x ＋y ＝1， 即x ＋y －1＝0.综上可知，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.法二 由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设其斜率为k ，则可得直线的方程为y ＋2＝k (x －3)．令x ＝0，得y ＝－2－3k . 令y ＝0，得x ＝2k＋3.由题意－2－3k ＝2k ＋3，解得k ＝－1或k ＝－23.所以直线l 的方程为y ＋2＝－(x －3)或y ＋2＝－23(x －3)，即x ＋y －1＝0或2x ＋3y ＝0.1．如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况．2．应用截距式方程处理截距相等问题的一般思路：已知直线l 过点(1,1)且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 【解】 由条件知直线l 的斜率存在且不为0，可设直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则由条件知1－k ＝2(1－1k)，解得k ＝1或k ＝－2.故l 的方程为y ＝x 或y ＝－2x ＋3.(1)斜率是3，且经过点A (5,3)； (2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴； (3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2； (4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； (5)经过A (－1,5)，B (2，－1)两点；(6)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.【思路探究】 根据条件，选择恰当的直线方程的形式，最后化成一般式方程． 【自主解答】 (1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)， 整理得3x －y ＋3－53＝0. (2)x ＝－3，即x ＋3＝0. (3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0. (4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －(－1)2－(－1)，整理得2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y－1＝1， 整理得x ＋3y ＋3＝0.直线方程的五种形式的比较：若直线Ax ＋By ＋C ＝0(不经过原点)不经过第三象限，则AB ________0，BC ________0. 【解析】 如图所示，若直线l 不经过第三象限，则斜率k <0且在y 轴上的截距大于零，∴B ≠0.由Ax ＋By ＋C ＝0， 得y ＝－A B x －CB .∴k ＝－A B <0，b ＝－CB >0.故AB >0且BC <0. 【答案】><利用坐标法解决实际问题(12分)如图3－2－1所示，某房地产公司要在荒地ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一图3－2－1幢8层的公寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1 m 2) 【思路点拨】 本题考查坐标法的应用和二次函数的最值，关键是确定长方形中在AB 上的顶点的位置，可建立坐标系，运用直线的知识求解．【规范解答】 建立如图所示的坐标系，则B (30,0)，A (0,20)，∴由直线的截距式方程得到线段AB 的方程为： x 30＋y20＝1(0≤x ≤30).3分 设长方形中在AB 上的顶点为P ，点P 的坐标为(x ，y )， 则有y ＝20－23x (0≤x ≤30).4分∴公寓的占地面积为： S ＝(100－x )·(80－y ) ＝(100－x )·(80－20＋23x )＝－23x 2＋203x ＋6 000(0≤x ≤30).8分∴当x ＝5，y ＝503时，S 取最大值，最大值为S ＝－23×52＋203×5＋6 000≈6 017(m 2).10分即当点P 的坐标为(5，503)时，公寓占地面积最大，最大面积约为6 017 m 2.12分本题是用坐标法解决生活问题，点P 的位置由两个条件确定，一是A ，P ，B 三点共线，二是矩形的面积最大．借助三点共线寻求x 与y 的关系，然后利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用的方法．1．当直线没有斜率(x 1＝x 2)或斜率为0(y 1＝y 2)时，不能用两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1求它的方程，此时直线的方程分别是x ＝x 1和y ＝y 1，而它们都适合(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)的形式．2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零．3．直线方程的一般式同二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)之间是一一对应关系，因此研究直线的几何性质完全可以应用方程的观点来研究，这实际上也是解析几何的思想所在——用方程的思想来研究几何问题.1．过P 1(2,0)，P 2(0,3)两点的直线方程是( ) A.x 3＋y 2＝0 B.x 2＋y3＝0C.x 2＋y 3＝1D.x 2－y 3＝1 【解析】 由截距式，得所求直线的方程为x 2＋y3＝1.【答案】 C2．下列语句中正确的是( )A ．经过定点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示C ．不经过原点的直线都可以用方程x a ＋yb ＝1表示D ．经过定点的直线都可以用y ＝kx ＋b 表示【解析】 A 不正确，该方程无法表示x ＝x 0这条直线；C 不正确，该方程无法表示与坐标轴平行的直线；D 不正确，该方程无法表示与x 轴垂直的直线，B 正确．【答案】 B3．直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为________；化为截距式为________． 【解析】 直线方程2x ＋3y ＋1＝0化为斜截式为y ＝－23x －13.化为截距式为x －12＋y－13＝1.【答案】 y ＝－23x －13x－12＋y－13＝1 4．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．【解】 (1)设点C (m ，n )，AC 中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，由中点坐标公式得⎩⎨⎧m －12＝0，n ＋32＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－3，∴C 点的坐标为(1，－3)．(2)由(1)知：点M 、N 的坐标分别为M (0，－12)、N (52，0)，由直线方程的截距式得直线MN 的方程是x 52＋y－12＝1，即2x －10y －5＝0.一、选择题1．直线3x ＋y ＋6＝0的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则( ) A ．k ＝3，b ＝6 B ．k ＝－3，b ＝－6 C ．k ＝－3，b ＝6 D ．k ＝3，b ＝－6 【解析】 化为斜截式，得y ＝－3x －6， ∴k ＝－3，b ＝－6，故选B. 【答案】 B2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12【解析】 直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.【答案】 C3．(2013·周口高一检测)已知点A (1,2)，B (3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．4x ＋2y ＝5 B ．4x －2y ＝5 C ．x ＋2y ＝5 D ．x －2y ＝5【解析】 ∵A (1,2)，B (3,1)，∴线段AB 的中点坐标为(2，32)．又k AB ＝1－23－1＝－12，故线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝2(x －2)，即4x －2y ＝5.【答案】 B4．(2013·威海高一检测)若直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、三象限，则( ) A ．ab >0，bc >0 B ．ab >0，bc <0 C ．ab <0，bc >0 D ．ab <0，bc <0【解析】 把直线ax ＋by ＋c ＝0化成斜截式得 y ＝－a b x －c b ，由题意可知⎩⎨⎧－ab >0，－cb >0，即ab <0且bc <0.【答案】 D5．(2013·德化高一检测)过点A (4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A ．x ＋y ＝5 B ．x －y ＝5C ．x ＋y ＝5或x －4y ＝0D ．x －y ＝5或x ＋4y ＝0【解析】 当直线过点(0,0)时，直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0，当直线不过点(0,0)时，可设为x a ＋ya ＝1，把(4,1)代入，可解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y ＝5.综上可知直线方程为x＋y ＝5或x －4y ＝0.【答案】 C 二、填空题6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 【解析】 由点斜式得，所求直线方程为y －3＝2(x －1)， 整理得2x －y ＋1＝0. 【答案】 2x －y ＋1＝07．(2012·绵阳高一检测)直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是________．【解析】 令x ＝0，得y ＝－2；令y ＝0，得x ＝3.故直线y ＝23x －2与两坐标轴围成的三角形的面积是12×3×2＝3.【答案】 38．在下列各种情况下，直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的系数A ，B ，C 之间各有什么关系：(1)直线与x 轴平行时：________； (2)直线与y 轴平行时：________； (3)直线过原点时：________； (4)直线过点(1，－1)时：________.【解析】 ∵A ，B 不同时为零，故当A ＝0且B ≠0时(1)成立；当B ＝0且A ≠0时(2)成立；当C ＝0时(3)成立；当A －B ＋C ＝0时(4)成立．【答案】 (1)A ＝0且B ≠0 (2)B ＝0且A ≠0 (3)C ＝0且A ，B 不同时为0 (4)A －B ＋C ＝0三、解答题9．已知直线与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点且线段AB 的中点为P (4,1)，求直线l 的方程．【解】 由题意可设A (x,0)，B (0，y )，由中点坐标公式可得⎩⎨⎧x ＋02＝4，0＋y2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝2，∴A (8,0)，B (0,2)，由直线方程的截距式得l 方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．设直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0(m ≠－1)，根据下列条件分别确定m 的值：(1)直线l 在x 轴上的截距为－3； (2)直线l 的斜率为1.【解】 (1)令y ＝0得x ＝2m －6m 2－2m －3(m 2－2m －3≠0)，由题知，2m －6m 2－2m －3＝－3，解得m ＝3(舍)，m ＝－53.(2)∵直线l 的斜率为k ＝－m 2－2m －32m 2＋m －1，∴－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43.11．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； (2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【解】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距都为零，则当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意．当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2，得a ＝0，则当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.综上所述，当a ＝2或a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，此时方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.(2)将直线l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，则⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)>0，a －2≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0.解得a ≤－1.故a 的取值范围为(－∞，－1].求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程．【思路探究】 要求直线方程，可结合题中的截距的绝对值相等来求，或求出直线的斜率获得直线方程．【自主解答】 法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝|4k ＋3k |，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0.1．由于直线的截距式方程不能表示过原点的直线，因此法一首先考虑过原点的特殊情况，截距为0的直线很容易被遗忘，应引起重视．2．求直线在坐标轴上的截距的方法是：令x ＝0，所得y 值是在y 轴上的截距，令y ＝0，所得x 值是在x 轴上的截距．求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程．【解】 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0，满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为x －2y ＝0.当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b ＝1，过点A ，∴4a ＋2b ＝1.①∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，所以 |a |＝|b |.②由①②联立方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴所求直线的方程为x 6＋y 6＝1或x 2＋y－2＝1，化简即得直线l 的方程为x ＋y ＝6或x －y ＝2.综上，直线方程为x －2y ＝0或x ＋y －6＝0或x －y －2＝0.。
高中数学 必修二 3.2.3 直线的一般式方程教案 新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程（一）导入新课思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.(1)斜率是1，经过点A （1，8）；(2)在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°.由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77y x +-=1、121696++=--x y 、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.（二）推进新课、新知探究、提出问题①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y 的二元一次方程?②关于x,y 的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A 、B 不同时为零）是否都表示一条直线? ③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A 、B 、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y 轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x 1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x 、y 的二元一次方程，其中y 的系数是零.结论1°：直线的方程都可以写成关于x 、y 的一次方程.②分析：a 当B≠0时，方程可化为y=-B A x-BC ，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA ，在y 轴上的截距为-BC 的直线.b 当B=0时，由于A 、B 不同时为零必有A≠0，方程化为x=-A C ，表示一条与y 轴平行或重合的直线.结论2°：关于x,y 的一次方程都表示一条直线.综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B 不同时为0）叫做直线方程的一般式.注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来. ③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.图1⑤列表说明如下： 0轴上的截距 例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).化成一般式，得4x+3y-12=0.变式训练1.已知直线Ax+By+C=0，（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?（3）系数满足什么条件时,只与x 轴相交?（4）系数满足什么条件时,是x 轴?（5）设P(x 0,y 0)为直线Ax+By+C=0上一点,证明这条直线的方程可以写成A(x-x 0)+B(y-y 0)=0.答案：（1）C=0；（2）A≠0且B≠0；（3）B=0且C≠0；（4）A=C=0且B≠0;（5）证明：∵P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上,∴Ax 0+By 0+C+0,C=-Ax 0-By 0.∴A(x -x 0)+B(y-y 0)=0.2.(2007上海高考,理2)若直线l 1:2x+my+1=0与l 2:y=3x-1平行,则m=____________.答案：-32例2 把直线l 的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形.解：由方程一般式x －2y ＋6=0， ①移项，去系数得斜截式y=2x ＋3. ② 由②知l 在y 轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.即直线在x 轴上的截距是－6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x 轴，y 轴上的截距点)，过这两点作出直线l （图2）.图2点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.变式训练直线l 过点P(-6,3)，且它在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的3倍，求直线l 的方程.答案：x+3y-3=0或x+2y=0.（四）知能训练课本本节练习1、２、３.（五）拓展提升求证：不论m 取何实数，直线(2m －1)x －(m+3)y －(m －11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.解方程组⎩⎨⎧=--=-+,012,0113y x y x ,得⎩⎨⎧==3,2y x .∴直线恒过(2,3)点.（六）课堂小结通过本节学习，要求大家：（1）掌握直线方程的一般式，了解直角坐标系中直线与关于x 和y 的一次方程的对应关系；（2）会将直线方程的特殊形式化成一般式，会将一般式化成斜截式和截距式；（3）通过学习，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意语言表述能力的训练.（七）作业习题3.2 A 组11.。
必修2 3.2.3 直线的一般方程导学案
新课标高一数学导学案 必修2
总第1课时
一、教学内容 3.2.3直线的一般方程0=++C By Ax
二、重点：直线方程的一般特征
难点：对直线一般方程的理解和应用 三、知识链接
1.（1）直线的点斜式 （2）直线的斜截式 （3）直线的两点式 （4）直线的截距式 四、新课探究(本节重、难点) ：
（一）合作探究一：二元一次方程与直线的关系
问题1：二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应关系吗？
问题2：如何描述方程的解与直线的关系？
（二）合作探究二：（请各小组阅读课本P97-98，讨论完成以下填空，时间5分钟）
直线方程的一般形式为 ，其中A,B 满足的条件为
问题3：当B ≠0时，上述方程可变形为 ，它表示过点⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-B C ,0,
斜率为 的直线。
（三）合作探究三：（请各小组分别画出以下四种情况对应的直线，讨论完成以下填空空，时间5分钟）
问题4：在方程0=++C By Ax 中，
①A ，B ，C 为 ，方程表示直线平行于x 轴， ②A ，B ，C 为 ，方程表示直线平行于y 轴， ③A ，B ，C 为 ，方程表示直线与x 轴重合， ④A ，B ，C 为 ，方程表示直线与y 轴重合。
（四）合作探究三：（对比我们前面所学的几种直线的方程，讨论完成以下表格）
五、合作训练巩固习题：
一）.课本P99-P100 练习1，2，3题
二）.课后作业:习题3.2 第6，7，10题 六、自主小结：
集体备课成员：黄佩宝 黄文利 赖志军 蒙小莲 韦运桥 覃胡 廖春年 杨晓明 执笔：杨晓明。
2.2.3 直线的一般式方程 导学案答案
2.2.3 直线的一般式方程【课前预习】知识点一1.Ax+By+C=0 一般式方程诊断分析(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× [解析] (2)当a ≠0且a ≠-1时,直线方程ax+(a+1)y=a (a+1)可化为截距式x a+1+y a =1.(4)y 轴经过原点,其所在直线的方程为x=0,斜率不存在,所以不能写成斜截式.(5)若斜率为0的直线经过点P (x 0,y 0),则其点斜式方程为y-y 0=0·(x-x 0).【课中探究】探究点一例1 解:(1)因为直线经过点A (8,-2),斜率是-12,所以直线的点斜式方程是y-(-2)=-12(x-8),化为一般式,得x+2y-4=0. (2)因为直线平行于x 轴,所以直线的斜率为0,又直线经过点B (4,2),所以直线的点斜式方程是y-2=0(x-4),化为一般式,得y-2=0.(3)直线的截距式方程是x 32+y -3=1,化为一般式,得2x-y-3=0.(4)直线的两点式方程是y -(-2)-4-(-2)=x -35-3,化为一般式,得x+y-1=0.变式 解:(1)因为直线经过点A (3,-1),斜率是√2,所以直线的点斜式方程为y+1=√2(x-3),即√2x-y-1-3√2=0.(2)因为直线经过点B (-√2,2),倾斜角是30°,所以斜率为√33,所以直线的点斜式方程为y-2=√33(x+√2),即√33x-y+2+√63=0.(3)设所求直线的斜率为k ,则依题意得k=-4×13=-43, 又直线经过点C (1,3),所以所求直线的方程为y-3=-43(x-1),即4x+3y-13=0. (4)当直线不过原点时,设所求直线的方程为x 2a +y a =1(a ≠0),将点D (-5,2)的坐标代入,可得-52a +2a =1,解得a=-12,所以直线的方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设所求直线的方程为y=kx ,则-5k=2,解得k=-25,所以直线的方程为y=-25x ,即2x+5y=0.综上,所求直线的方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.(5)当m=2时,直线的方程为x=2,即x-2=0;当m ≠2时,直线的方程为y -13-1=x -2m -2,即2x-(m-2)y+m-6=0.因为当m=2时,方程2x-(m-2)y+m-6=0即为x=2,所以所求直线的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.探究点二例2 解:令m 2-1≠0,解得m ≠±1,所以当m ≠±1时,l 1与l 2相交.当m=0时,l 1与l 2垂直.令m 2-1=0,解得m=±1.当m=1时,l 1的方程为x+y=2,l 2的方程为x+y=2,l 1与l 2重合;当m=-1时,l 1的方程为x-y=0,l 2的方程为x-y=-2,l 1∥l 2.所以当m ≠±1时,l 1与l 2相交,其中当m=0时,l 1与l 2垂直;当m=1时,l 1与l 2重合;当m=-1时,l 1∥l 2.变式 解:(1)设直线的方程为 x-2y+c=0(c ≠3),把点 P (-1,3) 的坐标代入直线的方程,得 -1-6+c=0,所以c=7,所以所求直线的方程为 x-2y+7=0.(2)因为所求直线与直线x-2y+4=0垂直,所以所求直线的斜率为-2,又所求直线经过点M (2,4),所以所求直线的方程为y-4=-2(x-2),即2x+y-8=0.探究点三例3 (1)D [解析] 方法一:直线mx+4y-2=0的斜率为-m 4,直线2x-5y+n=0的斜率为25,由两条直线互相垂直得-m 4·25=-1,解得m=10,故选D .方法二:由两条直线互相垂直得m ·2+4×(-5)=0,解得m=10.故选D .(2)解:①证明:直线l 的方程可化为(x-1)a=2(y-2),令{x -1=0,y -2=0,解得{x =1,y =2,即直线l 过定点A (1,2),而点A (1,2)在第一象限内,故不论a 为何值,直线l 总经过第一象限. ②方法一:设O 为坐标原点,连接OA ,则直线OA 的斜率为2-01-0=2,故要使直线l 不经过第二象限,只需直线l 的斜率k=a 2≥2,解得a ≥4,即a 的取值范围为[4,+∞). 方法二:当a=0时,直线l 的方程为y=2,直线l 经过第二象限,不符合题意,故a ≠0.由题意可知直线l 在x 轴上的截距为a -4a ,在y 轴上的截距为4-a 2,故要使直线l 不经过第二象限,只需{a -4a ≥0,4-a 2≤0,解得a ≥4,故a 的取值范围为[4,+∞). 变式 (1)C (2)D [解析] (1)直线l 的方程可化为k (x-3)-y+1=0,令{x -3=0,-y +1=0,得{x =3,y =1,所以当k 变化时,直线l 恒过定点的坐标为(3,1).故选C .(2)直线l 1的方程是ax-y+b=0,可化为y=ax+b ,l 2的方程是bx+y-a=0,可化为y=-bx+a (ab ≠0).在A 中,若直线l 1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,则l 2的位置不正确,故A 错误;在B 中,若直线l 1的位置正确,则a>0,b<0,所以-b>0,则l 2的位置不正确,故B 错误;在C 中,若直线l 1的位置正确,则a>0,b>0,所以-b<0,则l 2的位置不正确,故C 错误;在D 中,若直线l 1的位置正确,则a<0,b>0,所以-b<0,则l 2的位置正确,故D 正确.故选D .拓展 解:(1)当直线l 的斜率存在且不为0,即A ≠0,B ≠0,且C ∈R 时,直线l 与两坐标轴都相交.(2)当直线l 的斜率不存在,且直线l 不与y 轴重合,即A ≠0,B=0,且C ≠0时,直线l 只与x 轴相交.(3)证明:∵P (x 0,y 0)为直线l :Ax+By+C=0上一点,∴Ax 0+By 0+C=0,即C=-Ax 0-By 0,∴直线l 的方程为Ax+By+(-Ax 0-By 0)=0,整理得A (x-x 0)+B (y-y 0)=0.。
学案4：3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程
3.2.2 直线的两点式方程~3.2.3 直线的一般式方程1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．(重点)2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式．(重点、难点) 3．能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化．(难点、易混点) 基础·初探教材整理1 直线方程的两点式和截距式，1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( ) A ．可以写成两点式或截距式 B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式 C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式 教材整理2 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.预习自测2.已知A (1,2)及AB 的中点(2,3)，则B 点的坐标是________． 教材整理3 直线的一般式方程1．定义：关于x ，y 的二元一次方程 (其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．2．斜率：直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)，当B ≠0时，其斜率是－AB ，在y 轴上的截距是－CB .当B ＝0时，这条直线垂直于x 轴，不存在斜率．预习自测3.直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 合作学习类型1 直线的两点式方程例1 在△ABC 中，A (－3,2)，B (5，－4)，C (0，－2)， (1)求BC 所在直线的方程；(2)求BC 边上的中线所在直线的方程． 名师指导求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系． 跟踪训练1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________； (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 类型2 直线的截距式方程例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 的方程. 名师指导用截距式方程解决问题的优点及注意事项1．由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．2．在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．3．但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．跟踪训练2．求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程．探究共研型探究点直线一般式方程的应用探究1已知直线l过点(2,0)，(0,3)，能否写出直线l的方程的五种形式？探究2直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？探究3当A＝0，或B＝0，或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？例3(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？名师指导1.利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2∶A2x＋B2y＋C2＝0，①若l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).②若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2.与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C).②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0.)跟踪训练3．已知两直线方程l1：mx＋2y＋8＝0和l2：x＋my＋3＝0，当m为何值时：(1)两直线互相平行？(2)两直线互相垂直？课堂检测1．过点A(3,0)和B(2,1)的直线方程为()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝02．经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是()A．x4＋y3＝1 B．x3＋y4＝1C．x4－y3＝1 D．x3－y4＝13．过点A(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为________.4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为__________．5．求过点A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l的方程．参考答案预习自测1.【答案】B【解析】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式，故选B. 预习自测2. 【答案】 (3,4)【解析】 设B (x ，y )，则⎩⎨⎧1＋x2＝2，2＋y2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即B (3,4)． 教材整理3 直线的一般式方程 1． Ax ＋By ＋C ＝0 预习自测 3. 【答案】 D【解析】 将3x －2y ＝4化为x 43＋y－2＝1即得．合作学习类型1 直线的两点式方程例1 【解析】 (1)由两点式直接求BC 所在直线的方程； (2)先求出BC 的中点，再由两点式求直线方程．解：(1)∵BC 边过两点B (5，－4)，C (0，－2)，∴由两点式得y －(－4)(－2)－(－4)＝x －50－5，即2x ＋5y ＋10＝0.故BC 所在直线的方程为2x ＋5y ＋10＝0. (2)设BC 的中点为M (x 0，y 0)， 则x 0＝5＋02＝52，y 0＝(－4)＋(－2)2＝－3.∴M ⎝⎛⎭⎫52，－3， 又BC 边上的中线经过点A (－3,2)． ∴由两点式得y －2－3－2＝x －(－3)52－(－3)，即10x ＋11y ＋8＝0.故BC 边上的中线所在直线的方程为10x ＋11y ＋8＝0. 跟踪训练1．【答案】 (1)x ＝2 (2)－2【解析】 (1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2. 类型2 直线的截距式方程例2 【解析】 解此题可以利用两种方法，法一：利用截距式，分三种情况，截距相等不为零，截距互为相反数不为零，截距均为零，法二：利用点斜式，然后利用截距的绝对值相等求斜率．解：法一 设直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b . ①当a ≠0，b ≠0时，设l 的方程为x a ＋yb ＝1.∵点(4，－3)在直线上，∴4a ＋－3b ＝1，若a ＝b ，则a ＝b ＝1，直线方程为x ＋y ＝1.若a ＝－b ，则a ＝7，b ＝－7，此时直线的方程为x －y ＝7. ②当a ＝b ＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)， ∴直线的方程为3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或3x ＋4y ＝0. 法二 设直线l 的方程为y ＋3＝k (x －4)， 令x ＝0，得y ＝－4k －3；令y ＝0，得x ＝4k ＋3k .又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等， ∴|－4k －3|＝⎪⎪⎪⎪4k ＋3k ，解得k ＝1或k ＝－1或k ＝－34.∴所求的直线方程为x －y －7＝0或x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. 跟踪训练2．解：设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴l ：3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a ，把P (2,3)代入得a ＝5，∴l ：x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.探究共研型探究点 直线一般式方程的应用探究1 【答案】 能．直线l 的斜率k ＝3－00－2＝－32，点斜式方程y －0＝－32(x －2)；斜截式方程y ＝－32x ＋3；两点式方程y －03－0＝x －20－2；截距式方程x 2＋y3＝1，一般式方程3x ＋2y －6＝0.探究2 【答案】 坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性．探究3 【答案】 (1)若A ＝0，则y ＝－CB ，表示与y 轴垂直的一条直线．(2)若B ＝0，则x ＝－CA ，表示与x 轴垂直的一条直线．(3)若C ＝0，则Ax ＋By ＝0，表示过原点的一条直线．例3 【解析】 解答本题可以从两直线的位置关系与斜率的对应关系入手，也可以根据斜率关系求出参数值后，代入验证． 解：(1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0， l 2：mx ＋3y －2＝0知：①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3，∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)， 解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意知，直线l 1⊥l 2.①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5y －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由题意知直线l 1⊥l 2. ∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1，将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 跟踪训练3． 解：(1)当m ＝0时，l 1与l 2显然不平行． 当m ≠0时，l 1的斜率k 1＝－m2，在y 轴上的截距b 1＝－4，l 2的斜率k 2＝－1m ，在y 轴上的截距b 2＝－3m .∵l 1∥l 2，∴k 1＝k 2，且b 1≠b 2. 课堂检测 1．【答案】 A【解析】 由两点式方程得y －01－0＝x －32－3，整理得x ＋y －3＝0. 2．【答案】 C【解析】 因为由点坐标知直线在x 轴，y 轴上截距分别为4，－3， 所以直线方程为x 4＋y－3＝1.3．【答案】 x －2y ＋7＝0【解析】 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0， 将点A (－1,3)代入，可得m ＝7， 所以所求直线的方程为x －2y ＋7＝0. 4．【答案】 4【解析】 由于l 1∥l 2，所以1×(－a )－(－2)×2＝0且－2×(－a )－(－a )×(－1)≠0，得a ＝4. 5．解：设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )， ∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4.∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.。
国家课程校本化：3.3.1-3.3.2两条直线的交点坐标与两点间的距离公式(导学案)
3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1．知识与技能（1）理解直线和直线的交点与二元一次方程组的解的关系；（2）掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2．过程与方法(1) 学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、自学导引1．两直线2x －y ＋k ＝0和4x －2y ＋1＝0的位置关系为( )A ．垂直B ．平行C ．重合D ．平行或重合2．过直线2x －y ＋4＝0与x －y ＋5＝0的交点，且垂直于直线x －2y ＝0的直线的方程是（ )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y －8＝0C ．2x ＋y ＋8＝0D ．2x －y ＋8＝03．直线ax ＋2y ＋8＝0,4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－24. 已知点A (－3,4)和B (0，b )，且|AB |＝5，则b 等于( )A ．0或8B ．0或－8C ．0或6D ．0或－65． 已知点A (x,5)关于点C (1，y )的对称点是B (－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是_______．答案：1．D 2．A 3.B 4.A 5．17三、典例精析例1判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0；(2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0；(3)l 1：x －y ＋1＝0，l 2：2x －2y ＋2＝0.解：(1)21≠1－2，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)12＝12≠23，所以方程组没有解，两直线平行．(3)12＝－1－2＝12，方程组有无数个解，两直线重合．例2 已知直线l 过直线l 1：3x －5y －10＝0和l 2：x ＋y ＋1＝0的交点，且平行于l 3：x ＋2y －5＝0，则直线l 的方程是______________．解 8x ＋16y ＋21＝0例3 已知直线l ：y ＝－2x ＋6和点A (1，－1)，过点A 作直线l 1与直线l 相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 1的方程．解 由于B 在l 上，可设B 点坐标为(x 0，－2x 0＋6)．由|AB |2＝(x 0－1)2＋(－2x 0＋7)2＝25，化简得x 20－6x 0＋5＝0，解得x 0＝1或5.当x 0＝1时，AB 方程为x ＝1，当x 0＝5时，AB 方程为3x ＋4y ＋1＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.四、自主反馈1．设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是P (2，－1)，则|AB |等于( )A ．5B ．42C ．2 5D ．2102．已知A (－3,8)，B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA |＋|MB |最短，则点M 的坐标是( )A ．(－1,0)B ．(1,0) C. ⎝⎛⎭⎫225，0 D. ⎝⎛⎭⎫0，225 3．当a 取不同实数时，直线(2＋a )x ＋(a －1)y ＋3a ＝0恒过一个定点，这个定点的坐标为________．答案：1．C 2．B 3．(－1，－2)。
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A版必修2
2019-2020年高中数学《3.2.3直线的一般式方程》学案 新人教A 版必修2一．学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.二．重点、难点：重点：难点：三．知识要点：1. 一般式（general form ）：，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y 轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l 的直线方程是；经过点，且垂直于直线l 的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）与重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交.四．自主探究例题精讲：【例1】已知直线：，：，问m 为何值时：（1）； （2）.解：（1）时，，则，解得m ＝0.（2）时，, 解得m ＝1.【例2】（1）求经过点且与直线平行的直线方程；（2）求经过点且与直线垂直的直线方程.解：（1）由题意得所求平行直线方程，化为一般式.（2） 由题意得所求垂直直线方程，化为一般式.【例3】已知直线l 的方程为3x+4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为，再由点斜式求出所求直线的方程.解：直线l:3x+4y －12=0的斜率为，∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为，又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：，即.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式而直接写出方程，即，再化简而得.【例4】直线方程的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征.解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交.（2）当A ≠0，B=0时，直线只与x 轴相交.（3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线.（5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.五．目标检测（一）基础达标1．如果直线的倾斜角为，则有关系式（）.A. B. C. D. 以上均不可能2．若，则直线必经过一个定点是（）.A. B. C. D.3．直线与两坐标轴围成的面积是（）.A． B． C． D．4．（xx京皖春）直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合5．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－36．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为；若点（，12）在此直线上，则＝．（二）能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－，经过点A（8，－2）；（2）经过点B(4，2)，平行于轴；（3）在轴和轴上的截距分别是,－3；（4）经过两点（3，－2）、（5，－4）.9．已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），且. 求证.（三）探究创新10．已知直线，，求m的值，使得：（1）l1和l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1//l2；（4）l1和l2重合.2019-2020年高中数学《3.2.4互斥事件》教案新人教版必修3【教学目标】1、用集合的观点理解互斥与对立事件；2、注意一题多解，和方法的灵活性。
21-22版：3.2.3 直线的一般式方程(创新设计)
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
2.直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x，y的二元一次方程. (2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列. (3)x的系数一般不为分数和负数. (4)虽然一般式直线方程有三个系数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程. 特别提醒 在利用直线方程的四种特殊式时，一定要注意其适用的前提条件.
规律方法 已知含参数的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
@《创新设计》
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
【训练2】 已知方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1表示直线.当m＝____________ 时，直线的倾斜角为45°；当m＝____________时，直线在x轴上的截距为1.
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课前预习
课堂互动
@《创新设计》 课堂反馈
@《创新设计》
课堂达标
1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A.A≠0
B.B≠0
C.A·B≠0
D.A2＋B2≠0
解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0. 答案 D
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
@《创新设计》
法二 (1)由 l′与 l 平行，可设 l′的方程为 3x＋4y＋m＝0(m≠－12).将点(－1，3) 代入上式得 m＝－9. ∴所求直线的方程为 3x＋4y－9＝0. (2)由 l′与 l 垂直，可设 l′的方程为 4x－3y＋n＝0. 将(－1，3)代入上式得 n＝13. ∴所求直线的方程为 4x－3y＋13＝0.
3.2.3 直线的一般式方程(教案)
3.2.3直线的一般式方程教学目标1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.【教学重点】直线方程的一般式及各种形式的互化.【教学难点】在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系，关键是直线方程【教学方法】启发式、讲练结合【教学过程】㈠复习提问：①直线方程有几种形式？③每一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0）都表示一条直线吗？㈡新课探讨：①任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程；②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的图象是一条直线；定义：我们把x，y的一元二次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.注：一般式适用于任何一条直线.对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x 项，含y 项、常数项顺序排列.探究： 在方程Ax+By+C=0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线为：①平行于x 轴； ②平行于y 轴； ③与x 轴重合 ； ④与y 轴重合.（三）例题讲解：例1：已知直线经过点A （6，- 4），斜率为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。
巩固训练1：若直线l 在x 轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值是-3/5，则直线l 的点斜式方程线l 的斜截式方程是；直线l 的一般式方程是__4x+3y+16=0_________例2：把直线L 的方程x –2y+6= 0化成斜截式，求出直线L 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画图。
巩固训练2：设直线l 的方程为Ax+By+c=0（A ，B 不同时为零），根据下列各位置特征，写出A ，B ，C 应满足的关系：直线l 过原点:___C=0_________；直线l 过点(1,1):____A+B+C=0 _______；直线l 平行于 轴:_A=0,B=0,C=0___；直线l 平行于轴:__A=0,B=0,C=0_______巩固训练31、若直线（2m2-5m -3)x -(m2-9)y+4=0的倾斜角为450，则m 的值是 （ ）（A ）3 （B ） 2 （C ）-2 （D ）2与32、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m 在x 轴上的截距为3，则m 的值是__________例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
3、2、3 直线的一般式方程导学案
高中数学(必修2)第三章3、2、3 直线的一般式方程导学案三江中学数学组【课前练习】由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.①斜率是1 ，经过点A （1，8）（点斜式）；②在x 轴和y 轴上的截距分别是-7，7（截距式）；③经过两点P 1（－1，6）、P 2（2，9）（两点式）；(4)y 轴上的截距是7，倾斜角是45°（斜截式）.思考：由课前练习，你能得到什么启发？一、【学习目标】1、理解直线方程的一般式方程的推导过程及其应用；2、会用一般式方程与其它形式方程之间的关系解决相关的题目.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材第97—98页内容，然后回答问题（一般式方程）<1>平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？请你说出你的见解.<2>每一个关于y x ,的二元一次方程都表示直线吗？ 结论：<1>任意一条直线l ，在其上任取一点),(000y x P ，当直线l 的斜率为k 时（此时直线的倾斜角090≠α），其方程为 ，这是关于y x ,的 方程.当直线l 的斜率不存在时，即直线的倾斜角 时，直线l 的方程为 ，此时可以认为这个方程是关于y x ,的二元一次方程，此时方程中y 的系数是 ；<2>对于任意一个二元一次方程B A C By Ax ,(0=++不同时为0），判断它是否表示一条直线，就是看能否把它化成直线方程的某一种形式.当0≠B 时，方程可变形为 .它表示过点 ,斜率为 的直线.当0=B 时，直线方程可化为 ,表示一条和y 轴垂直或者平行的直线.由上可知，关于y x ,的二元一次方程，它都表示一条直线.我们把关于y x ,的二元一次方程： 叫做直线的一般式，简称一般式.思考：在方程0=++C By Ax 中，C B A 、、为何值时，方程表示的直线：①平行于x 轴；②平行于y 轴；③与x 轴重合；④与y 轴重合.三、【综合练习与思考探索】 练习一：①请同学们自学教材例5、例6，体会例题的解题技巧；②完成教材99页练习1、2、3. 练习二：①直线05)4()252(22=+--+-m m x m m 的倾斜角为045，则m 的值为 ；②直线012=-+ay x 与01)1(=++-ay x a 平行，则a 的值为 ；③已知A （0，1），点B 在直线x+y=0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为 ；④无论t 取何值时，直线l ：（2t-3)x+2y+t=0总经过定点 . 练习三：①设直线l 的方程在y 轴上的截距是2，且与直线1l ：x+3y-2=0垂直，求l 的方程；②设直线l 的方程为（a+1)x+y+2-a=0,<1>若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程.<2>若l 不过第二象限，求实数a 的取值范围.四、【作业】1、必做题：习题3.2B 组2、3、4、5；2、选做题：当a 为何值时，集合A={（x,y)|ax+2y+3a=0}与集合B={（x,y)|3x+(a-1)y-a+7=0}满足Φ=⋃B A .。
《直线的一般式方程》教案与导学案和同步练习
《2.2.3直线的一般式方程》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的一般式方程直线的一般式方程是直线的点斜式，斜截式，两点式，截距式方程的综合表示形式，与前面学习的其他形式的直线方程的一个不同点是：直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与x轴垂直的直线.通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方，可以写成关于x，y的一元二次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础.本节内容是本章的基础内容，也是本章的重点内容，对前面学习两直线位置关系的判定提供了必要的基础支持，也是后面要学习的两直线的交点、点到直线的距离、两平行线间的距离等知识的必需形式.大纲把教学目标定位在“掌握直线的一般方程”，属于较高层次的要求.本节课注重综合分析归纳，是高中数学教学的重要方面.【教学目标与核心素养】【教学重点】：了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线的一般形式【教学难点】：能根据所给条件求直线方程，并能在几种形式间相互转化【教学过程】1.在方程Ax+By+C=0(A,B 不同时为零)中,A,B,C 为何值时,方程表示的直线(1)平行于x 轴;(2)平行于y 轴;(3)与x 轴重合;(4)与y 轴重合. 答案:当A=0时,方程变为y=-CB ,当C≠0时表示的直线平行于x 轴,当C=0时与x 轴重合;当B=0时,方程变为x=-CA ,当C≠0时表示的直线平行于y 轴,当C=0时与y 轴重合.2.直线方程2x+3y+1=0化为斜截式为 ; 化为截距式为 . 解析:方程化为3y=-2x-1,则y=-23x-13;方程化为2x+3y=-1,得-2x-3y=1,即x -12+y-13=1.答案:y=-23x-13; x -12+y-13=13.两条直线的位置关系3.判断下列两组直线是否平行或垂直:三、达标检测1．思考辨析(1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．( )(2)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示的直线过原点．( )(3)当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的直线与y轴平行．( )(4)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．( ) 答案(1)√(2)√(3)×当C＝0时，直线与y轴重合．(4)×当直线与坐标轴平行或重合时，不能转化为截距式或斜截式．2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个( )解析:当a<0,b>0时,直线ax-by=1在x轴上的截距1a<0,在y轴上的截距-1b <0;bx-ay=1在x轴上的截距1b>0,在y轴上的截距-1a>0.只有B满足.故选B.答案:B3．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0四、小结五、课时练【教学反思】通过复习回顾已经学习过的四种直线方程的表示形式，找出其其局限性，思考是否存在一种更为完美的代数形式可以表示平面中的所有直线？学生探究“平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示吗？”引导学生分类讨论，使学生对直线方程的一般式有了更深入的理解。
2020-2021学年高中数学人教A版必修二第三章3.2.3《直线的一般式方程》同步教学设计
教 学 设 计3.2.3 直线的一般式方程一、教学目标:1、知识与技能：⑴掌握直线方程的一般式Ax+By+C=0的特征（A 、B 不同时为0）；⑵能将直线方程的五种形式进行转化，并明确各种形式中的一些几何量（斜率、截距等）。
2、过程与方法：⑴主动参与探究直线和二元一次方程关系的数学活动，通过观察、推理、探究获得直线方程的一般式；⑵学会应用分类讨论的数学思想讨论问题。
3、情感、态度与价值观：体验数学发现和探索的历程，发展创新意识。
二、任务分析：1、重点：直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的理解；2、难点：⑴直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）与二元一次方程关系的深入理解； ⑵直线方程一般式Ax+By+C=0（A 、B 不同时为0）的应用； 3、突破点：直线方程形式的相互转化。
三、教学方法：学案教学，引导探究法、讨论法； 四、教具: 多媒体 五、教学过程:（一）复习创设情境，引入新课： 1、练习： （课堂小测）根据下列条件，写出直线方程。
（1）经过点()2,8-A ，斜率是21-；（2）斜率为2，在y 轴上截距是2-； （3）经过点()2,31-P ，()4,52-P ； （4）在x 轴上，y 轴上的截距分别是23，3-； （5）经过点()2,4B ,平行于x 轴； （6）经过点()1,8C -，且倾斜角为90︒.答案：（1）()8212--=+x y ；（2）2y x =-；（3）2322-=-+x y ；（4）1323=-+yx ；（5）2y =；（6）1x =- 2、提问：上述直线的方程是用的什么形式的方程？为什么用这种形式的方程？（使1、 思考直线和二元一次方程的关系：问题（1）：上述直线方程可否整理成形如0=++C By Ax 的形式？ 学生动手整理问题（2）：平面内任意一条直线是否都可以用形如0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）的二元一次方程来表示？ 分析：在平面直角坐标系中，每一条直线在斜率k 存在和k 不存在两种情况下，直线方程可分别写为b kx y +=和1x x =两种形式，它们又都可以变形为0=++C By Ax （A 、B 不同时为0）的形式。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.3 直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2(2021
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3．2.3 直线的一般式方程学习目标1。
掌握直线的一般式方程；2.理解关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为0）都表示直线；3。
会进行直线方程的五种形式之间的转化．知识点一直线的一般式方程思考1 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式这四种形式都能用Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0）来表示吗？答案能．思考2 关于x,y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线吗？答案一定．思考3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）表示怎样的直线？B＝0呢？答案当B≠0时，由Ax＋By＋C＝0得，y＝－错误!x－错误!，所以该方程表示斜率为－错误!,在y轴上截距为－错误!的直线；当B＝0时,A≠0，由Ax＋By＋C＝0得x＝－错误!,所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．形式Ax＋By＋C＝0条件A，B不同时为0知识点二直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系类型一直线一般式的性质例1 设直线l的方程为（m2－2m－3）x－（2m2＋m－1）y＋6－2m＝0.(1）若直线l在x轴上的截距为－3,则m＝________。
直线的一般式方程教案-数学必修2第三章直线方程3.2.2第一课时人教A版
第三章 直线方程 3.2.3 直线的一般式方程1 教学目标[1] 明确理解直线一般式方程的形式特征 [2] 理解直线方程几种形式之间的内在联系[3] 能在总体把握直线方程的基础上，掌握各种形式之间的相互转化[4] 通过直线方程一般式的学习，培养学生全面、系统、周密地分类讨论问题的能力 培养学生数学结合思想和严谨的科学态度2教学重点/难点教学重点：直线方程一般式的理解和掌握教学难点：直线方程的一般式与各种直线方程间的互化3专家建议直线方程的一般式是由前面所学习的四种直线方程的形式概括形成的，它克服以点斜式、斜截式、两点式、截距式四种方程“特殊式”的局限性，由于直线方程的一般式)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是关于x 、 y 的二元一次方程，因此平面上的直线与二元一次方程)(0不全为零、其中B A c By Ax =++是一一对应的。
直线的各种方程各有各的特点，分别适用于不同条件下的直线，因此教学时要引导同学熟练掌握各自特性，灵活使用。
4 教学方法讲授式、启发式教学5 教学过程5.1 复习引入【师】到目前为止，我们都学习了直线方程的哪几种形式？它们各适用于具有什么条件的求直线方程问题？适用的X 围是什么？ 【板演/PPT 】引导学生回答各种直线方程点斜式：已知直线上一点P 1（x 1，y 1）的坐标，和直线的斜率k ，则直线的方程是斜截式：已知直线的斜率k ，和直线在y 轴上的截距b 则直线方程是两点式：已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）则直线的方程是：截距式：已知直线在X 轴Y 轴上的截距为a ，b ，则直线的方程是【师】他们所适用的X 围是什么？ 【生】点斜式：适用于有斜率的直线问题 斜截式：适合存在斜率且已知纵截距的直线问题 两点式：适合已知两点，且不垂直于x 轴或y 轴直线问题)(11x x k y y -=-bkx y +=121121x x x x y y y y --=--1=+by a x截距式：适合已知截距，且截距不为零的直线问题5.2 探索新知 [1] 直线的一般式方程【师】下面我们看一看屏幕上的问题： 【板书/PPT 】1．过点(2,1)，斜率为2的直线的方程____________ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程_________【师】你能根据实际条件，写出直线方程吗？并思考：你所列出的直线方程能看作是二元一次方程吗？【生】讨论与计算 【板书/PPT 】(1)中方程可化为2x-y-3=0,故直线方程是二元一次方程。
国家课程校本化：3.2.3 直线的一般式方程(导学案)
3.2.3 直线的一般式方程一、课标解读1．知识与技能（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2．过程与方法学会用分类讨论的思想方法解决问题。
3．情态与价值观（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、自学导引1．直线(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5m ＝0的倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．32．直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，若直线l 过原点和二、四象限，则( )A ．C ＝0，B >0 B ．A >0，B >0，C ＝0C ．AB <0，C ＝0D ．AB >0，C ＝03．直线x ＋2ay －1＝0与(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )A.32B.32或0 C ．0 D ．－2或0 4．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( )A ．3x ＋2y －1＝0B ．3x ＋2y ＋7＝0C ．2x －3y ＋5＝0D ．2x －3y ＋8＝05．已知直线(a ＋2)x ＋(a 2－2a －3)y －2a ＝0在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________．6．若直线l 1：x ＋ay －2＝0与直线l 2：2ax ＋(a －1)y ＋3＝0互相垂直，则a 的值为________．答案：1．D 2.D 3.A 4.A 5．－4156．0或－1 三、典例精析例1 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：(1)斜率为3，且经过点A (5,3)；(2)过点B (－3,0)，且垂直于x 轴；(3)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；(4)在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴；(5)经过C (－1,5)，D (2，－1)两点；(6)在x 轴，y 轴上截距分别是－3，－1.解：(1)由点斜式方程得y －3＝3(x －5)，即3x －y ＋3－53＝0.(2)x ＝－3，即x ＋3＝0.(3)y ＝4x －2，即4x －y －2＝0.(4)y ＝3，即y －3＝0.(5)由两点式方程得y －5－1－5＝x －－2－－，即2x ＋y －3＝0. (6)由截距式方程得x －3＋y －1＝1，即x ＋3y ＋3＝0. 例2 已知直线l 1：(m ＋3)x ＋y －3m ＋4＝0，l 2：7x ＋(5－m )y －8＝0，问当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．解 当m ＝5时，l 1：8x ＋y －11＝0，l 2：7x －8＝0.显然l 1与l 2不平行，同理，当m ＝－3时，l 1与l 2也不平行．当m ≠5且m ≠－3时，l 1∥l 2⇔⎩⎨⎧ －(m ＋3)＝7m －53m －4≠85－m ，∴m ＝－2.∴m 为－2时，直线l 1与l 2平行．例3 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a 的取值范围．(1)证明 将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)， ∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)．而点A (15，35)在第一象限，故l 过第一象限． ∴不论a 为何值，直线l 总经过第一象限．(2)解 直线OA 的斜率为k ＝35－015－0＝3.∵l 不经过第二象限，∴a ≥3.四、自主反馈1．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx －y ＋a ＝0(a ≠0，b ≠0，a ≠b )在同一坐标系中的图形大致是()2．直线ax ＋by ＋c ＝0 (ab ≠0)在两坐标轴上的截距相等，则a ，b ，c 满足( )A ．a ＝bB ．|a |＝|b |且c ≠0C ．a ＝b 且c ≠0D ．a ＝b 或c ＝03．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________________．答案：1．C 2．D 3．x －y ＋1＝0。
课件5：3.2.3 直线的一般式方程
〔跟踪练习 6〕 直线(t＋2)x＋(1－t)y＋3－t＝0 过定点__－__23_，__－__53___．
【解析】 分离参数得：(x－y－1)t＋2x＋y＋3＝0 由2x－x＋y－y＋13＝＝00得xy＝＝－－2353. ∴直线过定点－23，－53．
课堂小结
命题方向2 ⇨直线的一般式方程的应用
典例 2 设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距都为零，当然相等． 则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，∴a＝2，方程即 3x＋y＝0； 若 a≠2，由题设 l 在两轴上的截距相等，∴aa－＋21＝a－2 即 a＋1＝1，∴a＝0，方程即 x＋y＋2＝0． ∴l 的方程为 3x＋y＝0 或 x＋y＋2＝0． (2)将 l 的方程化为 y＝－(a＋1)x＋a－2 ∴欲使 l 不经过第二象限，当且仅当－a－(a2＋≤01)>0或－a－(a2＋≤01)＝0，∴a≤－1． 综上可知 a 的取值范围是 a≤－1．
〔跟踪练习 1〕 已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的一般式方程和截距式方程．
[解] 直线过 A(－5,6)、B(－4,8)两点 由两点式得8y－－66＝－x＋4＋55 整理得 2x－y＋16＝0 ∴2x－y＝－16，两边同除以－16 得，－x8＋1y6＝1． 故所求直线的一般式方程为 2x－y＋16＝0，截距式方程为－x8＋1y6＝1.
3．直线 kx－y＋1－3k＝0，当 k 变化时，所有直线都恒过点
A．(0,0)
B．(0,1)
C．(3,1)
高中数学《直线的两点式方程》导学案
要点二 直线的截距式方程
例2求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程．
解法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为 ＋ ＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴ ＋ ＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝ ，解得k＝1或k＝－1或k＝－ .
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
跟踪演练2求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程．
解由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝ x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为 ＋ ＝1，
将点(5,2)代入方程得 ＋ ＝1，解得a＝ ，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝ x，或x＋2y－9＝0.
要点三 直线的一般式方程
例3根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－ ，经过点A(8，－2)；
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上，所求l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二显然直x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝ .
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
跟踪演练1(2014·绍兴高一检测)已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
2017人教a版数学必修二3.2.3直线的一般式方程导学案
3.2.3《直线的一般式方程》导学案【学习目标】一、知识与技术：（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
二、进程与方式： 学会用分类讨论的思想方式解决问题。
3、情感态度与价值观：（1）熟悉事物之间的普遍联系与彼此转化；（2）用联系的观点看问题。
【重点难点】一、重点：直线方程的一般式。
二、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
【学法指导】注意逐字逐句仔细审题，认真试探、独立规范作答。
牢记直线方程常见的几种形式，比较各类直线方程的形式特点和适用范围,多温习记忆。
平行班完成学案的AB 类题目. 【知识链接】：点斜式方程：)(00x x k y y-=-斜截式方程：b kx y += 两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--【学习进程】B 问题１（1）平面直角坐标系中的每一条直线都能够用一个关于y x ,的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）都表示一条直线吗？咱们把关于关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式B 问题二、直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相较，它有什么长处？C 问题3、在方程0=++C By Ax 中，A ，B ，C 为何值时，方程表示的直线（1）平行于x 轴；（2）平行于y 轴；（3）与x 轴重合；（4）与y 重合。
A 例1已知直线通过点A （6，-4），斜率为34-，求直线的点斜式和一般式方程。
A 例2把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
C 问题４、二元一次方程的每一个解与坐标平面中点的有什么关系？直线与二元一次方程的解之间有什么关系？【基础达标】第９９页A 练习第１，２，３ 习题３.２A 组１，１０.小结（1）请学生写出直线方程常见的几种形式，并说明它们之间的关系。
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饶阳中学高二数学必修二 编制：张丽霞 审核：高二数学组 每一个成功者都有一个开始。
勇于开始，才能找到成功的路。
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§3.2.3直线的一般式方程导学案
学习目标：
（1）明确直线方程一般式的形式特征.
（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距. （3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.
学习重点：直线方程的一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间互化的方法. 学习难点：平面上的直线与x 、y 的一次方程的一一对应关系.
预习内容：
复习回顾
1.几种方程：①点斜式： . ②斜截式： .
③两点式： . ④截距式： .
2.写出下列直线方程，并化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式。
① 过点A(2,-1)、B(0,3)； . ② 在x 、y 轴上截距分别是－4、3； . ③ 过点(－1, )，倾斜角是135°； . ④ 斜率是 ，y 轴上截距是－2； . ⑤ 过点(3,-5)，平行于x 轴； . 学习探究：直线方程的一般形式：
讨论1：是否所有直线都可写成y ＝kx ＋b 的形式？α＝90°时直线方程是怎样的？两种形式与Ax ＋By ＋C ＝0有何联系？
结论： 。
讨论2：Ax ＋By ＋C ＝0能否都化成y ＝kx ＋b 的形式？B ＝0时表示什么图形？
结论： 。
新知：直线的一般式方程的定义：
把关于x ，y 的二元一次方程 （ ）叫做 ，简称 。
思考：在方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ，B ，C 为何值时，方程表示直线
①平行于x 轴； 。
②平行于y 轴； 。
③与x 轴重合； 。
④与y 轴重合； 。
⑤过原点的直线； 。
例1、已知直线L 过点A(-6,4)，斜率为3
4
-
，求直线的点斜式、一般式、截距式方程。
练习1、根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
⑴ 斜率是1
2
-，经过点(8,2)A -； .
⑵ 经过点(4,2)B ，平行于x 轴； .
⑶ 在x 轴和y 轴上的截距分别是3
,32
-； .
⑷ 经过两点12(3,2),(5,4)P P --； .
例2、把直线l 的一般式方程062=+-y x 化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴与y 轴上的截距，并画出图形。
练习2.设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，求直线PB 的方程
当堂检测：
1．若01)34()4(2
2=++-+-y m m x m 表示直线（ ） A ．2±≠m 且1≠m ，3≠m B ．2±≠m C ．1≠m 且3≠m D ．R m ∈
2．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ） A ．063=++y x B ．023=+-y x C ．063=-+y x D ．023=--y x
3．直线l 的方程为0=++C By Ax ，若直线经过原点且位于第二、四象限，则（ ） A ．0,0>=B C B ．0,0,0>>=A B C C ．0,0<=AB C D ．0,0>=AB C
4．斜率为3-，在x 轴上截距为2的直线的一般式方程是____________________ 5．两直线03=--ay x 与032=++y ax 互相垂直，求a 的值.。