最新导数专题课件

导数的概念-课件-导数的概念

导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等领域，导数被用于优化设计、控制工程和流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等领域，导数被用于计算图像处理、数据拟合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐点、曲线的形状等方面有重要应用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导，则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。

《高等数学导数》课件

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的最小变化率，即函数在这一点处的切线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论推导出来的，通过这些法则，可以方便地求出复杂函数的导数。

高等数学导数的概念ppt课件.ppt

x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
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定理2. 函数是
在点可导的充分必要条件且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数在点处右 (左) 导数存在
在点必右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
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作业
P49 5 , 7, 9
第二节目录上页下页返回结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动目录上页下页返回结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
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5.2.2导数的运算法则课件(人教版)

导数的四则运算法则
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x ) c，则f ' ( x ) 0;
公式2.若f ( x ) x ，则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公式3.若f ( x ) sin x，则f ' ( x ) cos x;
公式4.若f ( x ) cos x，则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ；（2） = 2 ;

巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)

导数的概念ppt课件

如果自变量x在 x0处有增量x，那么函数 y相应地有
增量y f ( x0 x) f ( x0 );比值 Fra bibliotek 就叫做函数 x
y f ( x)在x0到x0 x之间的
,即
如果当x 0时，
y A x
我们就说函数y f ( x)在点 x0处
, 记为y x x0
由定义求导数（三步法）
步骤:
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数解：
(3)它在作匀加速运动吗？求其瞬时加速度．
探讨若 f x x
判断 f (x) 在 x =0 处是否可导。
如果函数 y=f(x)在点 x=x0 存在导数, 就说函数y=f(x)在点 x0 处可导,如果不存在导数,就说函数 f(x)在点 x0 处不可导.
几个重要结论： 1.尖点处不可导； 2.断点处不可导； 3.无定义处不可导； 4.可导必连续，连续未必可导
即
f (x0)与f (x)之间的关系：当x0∈(a,b)时,函数y=f(x)在点x0处的导数f ’(x0)等于
函数f(x)在开区间(a,b)内的导数f ’(x)在点x0处的函数值
如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点 X0处连续.
例2 .已知 y x , 求y' ,并求出函数在x 2处的切线方程.
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。其实函数在某一点处的瞬时变化率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)

《高等数学》导数PPT课件

察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除，以得物t体这在段时间内的为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平，均速的度极限叫作t0物时体刻在的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内应）的时函，数x0相值处在的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取论什么 y的值值，总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函在x0 数点处的 f(x 导 0)就数
导函 f(x)在数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数由导数的定义可函知数y， f求 (x)的

《导数的概念及应用》课件

以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需满足一定的条件。在极值点处，导数的符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在这一点的一阶导数存在，那么这个点可能是函数的极值点。为了确定这一点是否为极值点，需要检查该点两侧的导数符号是否发生变化。如果导数的符号在这一点从正变为负或从负变为正，则该点为极值点。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示函数在该区间内单调递减。因此，通过分析二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中，导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。

3.1 导数的概念课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt

(2)若极限点处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数在
定理1 函数
在点处可导的充分必要条件是
在点处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在处的连续.
由于
，所以函数
在处不可导．
例2 讨论函数
解:因为连续.
又因为处不可导．
在处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点处可导，则
故函数
在点处一定连续．
随堂练习
1、设解:
，判断在点函数
处的连续性与可导性. 在处连续.
函数在处不可导.
2、若函数
处处可导，求的值.
解: 函数在处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数在点
或，即
函数
在点处的导数就是导函数在点处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三．
例6 求函数解：
的导数．
例7 求函数解：
,所以函数
在处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线线．这也说明函数原点外，处处可导.因连续.
在原点O处具有垂直于轴的切

《导数定义与极限》课件

利用导数求函数的极值
总结词
利用导数等于0的点，确定函数的极值点。
详细描述
如果函数在某点的导数等于0，且该点两侧的导数符号相反，则该点为函数的极值点。
利用导数求曲线的切线方程
要点一
总结词
要点二
详细描述
利用导数求曲线在某点的切线斜率。
函数在某点的导数值即为该点处切线的斜率。再根据点斜式方程，结合切点坐标，即可求出切线方程。
详细描述
在物理学中，导数常用于描述物体的运动状态和变化规律。例如，物体的速度和加速度可以通过对时间求导来获得。导数在物理学的各个领域都有着广泛的应用。
02 导数的计算
导数的四则运算
总结词
掌握导数的四则运算规则，包括加、减、乘、除等运算。
详细描述
导数的四则运算法则是导数计算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。这些运算法则可以帮助我们简化复杂的导数表达式，从而更好地理解和分析函数的单调性、极值等性质。
详细描述
极限是研究函数的重要工具，通过研究函数在不同点处的极限行为，我们可以了解函数的性质，如连续性、可导性、单调性等。例如，利用极限研究函数的连续性和间断点，或者利用极限研究函数的极值和最值等。
谢谢聆听
无穷小与无穷大的关系
无穷小是无穷大的反义词，两者在一定条件下可以相互转化。
06 极限的应用
利用极限证明等式或不等式
总结词
通过极限，我们可以证明一些数学中的等式或不等式。
详细描述
在数学中，有些等式或不等式可能难以直接证明，但通过求极限，我们可以得到一些有用的性质和结论，从而证明这些等式或不等式。例如，利用极限证明一些函数的等价无穷小关系，或者利用极限证明函数的单调性等。

导数的概念与计算课件

第4页/共32页
专题五导数及其应用
考点一导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____．解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x，所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2，所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
第10页/共32页
专题五导数及其应用
考点二导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题：求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).
解根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故

导数的几何意义课件(共28张PPT)

y
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的变化趋势是什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x

导数专题讲解PPT课件

2021
10
7．已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且满足 f(x)＝3x2＋ 2xf′(2)，则 f′(5)＝___6_____. 解析因为 f(x)＝3x2＋2xf′(2)，所以 f′(x)＝6x＋2f′(2)，于是 f′(2)＝12＋2f′(2)，解得 f′(2)＝－12，故 f′(x)＝6x－24，因此 f′(5)＝6.
求 f(x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、f(b)
的值和极值的大小．特别提醒若 f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有 f′(x)≥0 恒成立(但不恒等于 0)；若在某区间上单调递减，则在该区间上有 f′(x)≤0 恒成立(但不恒等于 0)．
2021
4
精品回扣练习
1．(2011·广东)函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝____2____处取得极小值．解析由 f(x)＝x3－3x2＋1 得 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，当 x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0， f(x)为增函数，故当 x＝2 时，函数 f(x)取得极小值．
2021
8
(
( (
(
5．(2009·福建)点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点．若在该圆周上随机取一点 B，则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率
2 为____3____．
解析圆周上使弧 AM 的长度为 1 的点 M 有两个，设为 M1，M2，则过 A 的圆弧 M1M2 的长度为 2，B 点落在优弧 M1M2 上就能使劣弧 AB 的长度小于 1，所以劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为23.

《导数概念》课件

《导数概念》PPT课件
欢迎来到《导数概念》PPT课件！本课程将介绍导数的基本概念和应用，帮助你深入理解这一重要数学概念。
什么是导数
导数是描述函数变化率的概念。它表示函数在特定点的切线斜率，是研究曲线变化的关键工具。
导数表示方式
导数可以表示为函数的微分形式或极限形式。微分写作dy/dx，而极限写作 lim[f(x+h)-f(x)]/h。
函数的导数
通过对函数求导数，我们可以得到函数的导函数，即函数的每个点的切线斜率函数。
常见函数的导数
常见函数如多项式、三角函数和指数函数都有特定的导数规律，了解这些规律可以简化求导过程。
导数的几何意义
导数在几何中表示曲线的切线斜率。它可以帮助我们理解曲线的变化率和曲线在特定点的性质。
导数定义的两种方法
导数可以通过函数的微分或极限定义。微分定义使用导数运算符，而极限定义使用导数的极限表达式。
左பைடு நூலகம்数和右导数
在某些函数不连续的情况下，左导数和右导数可以帮助我们确定导数的存在性和特定点的切线斜率。

《数学导数概念》课件

《数学导数概念》PPT课件
欢迎来到《数学导数概念》的PPT课件。让我们一起探索导数的基本概念、计算方法、应用和扩展，以及学习建议。
导数的基本概念
1
几何意义
2
探索导数在几何中的含义和应用。
3
定义
了解导数的数学定义和概念。
物理意义
了解导数在物理问题中的作用和解释。
导数的计算方法
基本公式
掌握导数的基本计算公式和规则。
隐函数求导
2
学习如何对隐函数进行求导。
3
参数方程求导
掌握对参数方程进行求导的技巧。
总结
1 概念回顾
回顾导数的基本概念和定义。
2 重点归纳
总结导数的计算方法和应用。
3 学习建议
给出一些建议，如何更好地学习和理解导数的概念。
四则运算法则
学习导数的四则运算法则。
常见函数的导数公式
了解常用函数的导数计算方式。
导数的应用
极值问题
探索导数在寻找函数最大值和最小值中的应用。
函数图像的绘制方法
了解如何使用导数来绘制函数的图像。
物理问题中的应用
探索导数在物理问题求解中的应用。
导数的扩展
1
高阶导数
深入了ห้องสมุดไป่ตู้高阶导数的概念和计算方法。

导数6(参数迷人眼端点现其形)课件-2025届高三数学一轮复习

,
x
0,
π 2
(1)当a 8 时，讨论 f (x) 的单调性；
(2)若 f (x) sin 2x 恒成立，求 a 的取值范围．
（2020 年全国Ⅰ卷理数 21 题）已知函数 f (x) ex ax2 x .
（1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性；
（2）当
x≥0
时，f（x）≥
1 2
（3）若 f (x) 2 当且仅当1 x 2 ，求b 的取值范围．
第（3）问: 由（2）知 y f x的对称性
f x
因为 f (x) 2 当且仅当1 x 2 ，所以 f (x) 2 当且仅当0 x 1，
又 f x的图象连续 y 2
得 f 1 a 2
所以 f x ln x ln2 x 2x bx 13，x 1,2
近5年全国卷中对于不等式恒成立求参数范围问题的考查
（2024·全国·高考Ⅰ卷 18 题）已知函数 f (x) ln x ax b(x 1)3 2 x
(1)若 b 0，且 f (x) 0 ，求 a 的最小值； (2)证明：曲线 y f (x) 是中心对称图形； (3)若 f (x) 2当且仅当1 x 2 ，求b 的取值范围．
（2021 年全国高考Ⅰ卷理 21 题）已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x， f′（x）为 f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
（2023·全国甲卷理
21
题）已知函数
f
(x)
ax
sin x cos3 x
综上所述，实数
b
的取值范围是
2 ， 3
所以 h' t在 0，1上单调递增， h' t h' (0) 0