第四讲 线性方程组 0822

第四讲 线性方程组一、主要内容1、线性方程组[三种形式，两种类型] n 元[m ×n]线性方程组为：代数形式：11112211211222221122,,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 矩阵形式：Axb =；向量形式：1212(,,,)n n x x a a a b x ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，或 1ni ii x ab ==∑，其中111211121222221212(,,,),,n n n m m mn n m a a a x b a a a x b A a a a x b a a a x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当0≠b 时，称之为线性非齐次方程组；当0 =b 时，称之为线性齐次方程组；对线性非齐次方程组b x A =，称对应的齐次方程组0=x A 为导出组。

显然，线性非齐次方程组11-↔增广矩阵)|(b A；线性齐次方程组11-↔系数矩阵A 。

2、线性方程组理论[解的性质、判定与结构][主要考点,小题,大题] （1）克莱姆法则——线性方程组解的基石。

若n n ⨯线性方程组Ax b =的系数行列式0||≠=A D ，则该方程组有唯一解，且解为),,2,1(n i DD x ii ==， 其中i D 是将用b替换D 的第i 列所得的行列式。

由此可知：对n n ⨯线性方程组 ①Ax b =无解[非齐次]或有无穷多解[齐次或非齐次]0||=⇒A ;②0=x A 有非零解[无穷多解]0||=⇔A 。

（2）线性齐次方程组定理1[解的性质] 线性齐次方程解的线性组合仍是解。

0Ax=的所有解向量构成向量空间{|0,}nS x Ax x R ==∈，称之为0Ax=的解空间。

当0Ax =有非零解时，解空间{|0,}n S x Ax x R ==∈的基称为0Ax =的基础解系，它含有n-r （A ）个线性无关解向量，即)()(A r n S r -=。

定理2[解的判定]线性齐次方程组0Ax =恒有解，且0Ax =⎩⎨⎧=<=⇔⎩⎨⎧nn A r )(][][唯一解只有零解无穷多解有非零解[A 不一定是方阵] ⇔n m A ⨯的列向量组n a a a ,,21线性⎩⎨⎧无关相关定理3[解的结构]当()r A n <时[无穷多解]，0Ax =存在()n r A -个线性无关解向量所构成的基础解系12(),,,n r A ξξξ-，且通解为1122()()12(,,,)n r A n r A n r x k k k k k k R ξξξ---=+++∈。

〖注意〗①三个数 n —未知量的个数；()r r A =—系数矩阵的秩；n r -—自由未知量的个数（解空间的维数，基础解系所含非零解的个数）；②)()(A r n S r -=是矩阵秩与方程组互相转化的重要结合点。

（3）线性非齐次方程组 定理4[解的性质] （ⅰ）、(1,2)iA bi η==21()0A ηη⇒-=；（ⅱ）、0,()A A b A b ξηξη==⇒+=；（ⅲ）、设(1,2,,)i i k η=是Ax b =的解向量，则11(1)kki ii i i x c c η====∑∑也是Axb =的解向量。

定理5[解的判定] n 元线性非齐次方程组Ax b =无解()(|)r A r A b ⇔<⇔b 不能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示；Ax b =有解⎩⎨⎧无穷多解唯一解⎩⎨⎧<==⇔n nb A r A r )|()( ⇔b可由12,,,n a a a 线性表示式，且表示式⎩⎨⎧不唯一唯一⇔12,,,n a a a 与12,,,n a a a ,b为等价向量组。

定理6[解的结构]当线性非齐次方程组Ax b =有无穷多解时，且通解为),,,(21)()(2211R k k k k k k x r n A r n A r n ∈++++=---ηξξξ其中12,,,n r ξξξ-为导出组的基础解系，η为Ax b =的特解。

3、线性方程组的解法具体系数矩阵[增广矩阵]的线性方程组求解步骤：◆对系数矩阵或增广矩阵作初等行变换，化为行阶梯形，由此判定方程组有解还是无解；◆当方程组有解时，继续行变换化为行最简形，由此确定自由未知量和保留未知量，写出通解或唯一解。

抽象系数矩阵[增广矩阵]的线性方程组求解一般利用解的性质与结构。

系数矩阵或增广矩阵中含参数的，需要仔细讨论，不可遗漏个别情形。

============================================================================= 二、常考知识点1、s m s n n m O B A ⨯⨯⨯= ❶B ⇔的列向量组为0=x A 的解向量组❷n B r A r ≤+⇒)()(；[线性齐次方程组基础解系理论][即),,2,1(0),,,,(21s j b A b b b B j s===]。

❸[消去律成立的情形]当A 列满秩时，OB =；当B 行满秩时，O A =[转置]。

特别的，当A 可逆时，O B =；当B 可逆时，O A =。

❹若O B≠，则A n A r n m ⇔<⨯)(的列向量组线性相关；若O A ≠，则B n B r s n ⇔<⨯)(的行向量组线性相关。

[线性齐次方程组解的判定]2、s m s n n m C B A ⨯⨯⨯= ❶C ⇔的行向量组可以由B的行向量组线性表示[C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示]0=⇔x B 的解均为0)(=x AB [0=x C ]的解)()(AB r n B r n -≤-⇒[即)()(B r AB r ≤；❷)}(),(min{)(B r A r AB r ≤⇒； ❸当n A r n m =⨯)([列满秩]时，)()(B r AB r =；当n B r s n =⨯)([行满秩]时，)()(A r AB r =。

3、“向量（组）线性表示-线性方程组-矩阵秩”转换的活用：❶列向量b 可由),,,(21n a a a A=的列向量组线性表示b x A =⇔有解)|()(b A r A r =⇔；),,,(21s b b b B =的列向量组可由),,,(21n a a a A=的列向量组线性表示B AX =⇔有解X )|()(B A r A r =⇔；),,,(21s b b b B =的列向量组不可由),,,(21n a a a A=的列向量组线性表示B AX =⇔无解X )|()(B A r A r <⇔；B 的列向量组与A 的列向量组等价B AY A BX ==⇔,均有解)()|()(B r B A r A r ==⇔。

❷n m A ⨯的行向量组可由n l B ⨯的行向量组线性表示⇔矩阵方程XB A =有解[即存在l m X ⨯，使有XB A =]0 =⇔x B 的解均为0=x A 的解⇒①)()(A r n B r n -≤-[即)()(B r A r ≤]；②0 =x B 与0 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x B A 同解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒B A r B r )(。

4、“向量组线性相关性-线性齐次方程组-矩阵秩”转换的活用：),,,(21n a a a A=的列向量组线性无关[相关]0 =⇔x A 只有零解（唯一解）[有无穷多解]][),,(21n n a a a r n <=⇔注意：系数矩阵列满秩的线性齐次方程组只有零解=列满秩矩阵的列向量组线性无关，系数矩阵行满秩的线性非齐次方程组恒有解=任意同维列向量均可由行满秩矩阵的列向量组线性表示。

此外，秩小于向量个数的向量组必线性相关；方程个数小于未知量个数的线性齐次方程组必有非零解；向量个数大于向量维数的向量组必线性相关，等等。

由此可见，向量线性表示、向量组线性相关性与线性方程组、矩阵秩有着深刻联系，要深刻理解和灵活应用这些知识点。

5、线性齐次方程组0=⨯x A n m 基础解系和结构化通解：基础解系{})(1A r n i I -=ξ三要素：（ⅰ）非零解；（ⅱ）线性无关；（ⅲ）)(A r n -个；通解：i A r n i i k x ξ∑-==)(1（r n k k k -,,,21 为任意常数）。

注意：基础解系的等价向量组也是基础解系； 等价向量组、等价矩阵与等价方程组概念不同。

转换：矩阵、向量组、向量空间、解空间的联系与区别矩阵最高阶非零子式 阶数最高阶非零子式所在行[列]就是行[列]向量组的最大无关组向量组 最大无关组秩向量组中任意向量均可由最大无关组线性表示，但最大无关组的线性组合不一定在向量组中；向量空间基维数向量空间中任意向量均可由基线性表示，且基的任意线性组合也一定在向量空间中（结构——求出一个基能确定向量空间）。

0 =x A解空间基础解系{})(1A r n i I -=ξ维数 )(A r n -通解))(,,2,1,()(1A r n i R k k x i A r n i i i -=∈=∑-=ξ二、典型例题与方法1、熟练方程组的理论、解法；2、熟练“线性表示/线性相关性-方程组=矩阵秩”的转换；3、两相关方程组解的关系。

题型1 线性方程组解的理论[通解结构,基础解系,解的性质、判定]要领：确定,n )(A r r =，r n -，求或构造0=x A 的r n -个线性无关的解(基础解系)[三要素]和b x A=的特解，依据解的判定和结构定理写出通解。

〘例1〙[填空题]（4小题）（1）如()1(2)n r A n n =-≥，且代数余子式110A ≠，则*0A x=通解为 。

-----------------------------------------------------------------------------（2）设(3)n n ≥阶方阵111a a a a A aa⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，如果线性齐次方程组0Ax =的基础解系只含一个解向量，则a = 。

-----------------------------------------------------------------------------（3）已知n 阶方阵A 的各行元素之和均为零，且()1r A n =-，则方程组0Ax =的通解为 。

-----------------------------------------------------------------------------（4）设线性方程组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛211111111321x x x a a a 有无穷多解，则=a 。