常微分方程计算题
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题1一、填空题30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。
2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1,x=±1, (B)y=±1(C)x=±1 (D)y=1,x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A) (B) (C)2(D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)=+y=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一. 解下列方程(80%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
福师《常微分方程》期末试卷解析
福师《常微分方程》期末试卷解析一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 答案：A解析：对常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
2. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
3. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
4. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
5. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
6. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
7. 答案：B解析：常微分方程dy/dx = ky是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = kdx，再进行积分，最后解出y。
8. 答案：D解析：常微分方程dy/dx = -y/x是一个一阶线性齐次微分方程，可以使用分离变量法求解。
将dy/y = -dx/x，再进行积分，最后解出y。
9. 答案：A解析：常微分方程dy/dx = f(x)g(y)的分离变量法，可得：dy/g(y) = f(x)dx，再进行积分即可得到结果。
10. 答案：C解析：对常微分方程dy/dx + p(x)y = q(x)的一阶线性方程，可以使用常数变易法求解。
将y = v(x)exp(-∫p(x)dx)代入方程，再进行积分，最后解出y。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程试题库
常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ；2. 解方程：x y xye 2d d =+； 3. 解方程：；4. 解方程：t e x dtdx23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ；6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy；7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ；8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ；12. 解方程：y y dx dyln =； 13. 解方程：y x e dxdy-=；14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ；15. 解方程：x y dxdycos 2=；16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+；17. 解方程：x xy dx dy42=+；18. 解方程：23=+ρθρd d ；19. 解方程：22x y xe dxdy+=；20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx解： ,2,1,0,2,±±=+==k k x k y πππ是原方程的常数解， （2分）当2,πππ+≠≠k x k y 时，原方程可化为：0cos sin sin cos =-dx xxdy y y ，（2分） 积分得原方程的通解为：C x y =cos sin . （2分）2. 解方程：x y xye 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e y dxx p dxx p （2分）x xx xdxx dx e Cedx e C edx e e C e 31)()(23222+=+=⎰+⎰=---⎰⎰分）（分）（223. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x f C e y dxx p dx x p （2分）=⎰⎰+⎰-)sec (tan tan dx xe C e xdxxdx（2分）⎰+=)sec (cos 2xdx C xx x C sin cos +=. （2分）4. 解方程：t e x dtdx23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-))(()()(dt e t f C e x dtt p dt t p （2分）=⎰⎰+⎰-)(323dt e e C e dtt dt （2分）⎰+=-)(53dt e C e t t t t e Ce 2351+=-. （2分） 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y解：原方程可化为：02=+---y y xde ydy dx e ， （2分） 即 0)(2=--y xe d y ， （2分） 原方程的通解为：C y xe y =--2. （2分）6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx xy解：原方程可化为：0ln )(ln 3=++xdy dy y x yd ， （2分） 即 0)41ln (4=+y x y d ， （2分） 原方程的通解为：C y x y =+441ln . （2分）7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy解：因为xNx x y M ∂∂=+=∂∂62，所以原方程为全微分方程， （2分） 由 02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ， （1分） 得: 0)()(232=+y x d y x d ， （2分） 故原方程的通解为：C y x y x =+232. （1分）8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x 解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ， （1分） 特征根为2=λ为2重根，1=λ. （2分） 所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， （2分） 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=. （1分）9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ， （1分） 特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.（2分） 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， （2分） 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321. （1分）10. 解方程：02=-''+'''x x x 解：其特征方程为：0)22)(1(2223=++-=-+λλλλλ， （1分） 特征根为：i ±-==11321，，λλ. （2分） 所以其实基本解组为： t e t e e t t t s i n ,c o s ,--，（2分） 原方程的通解为： t e C t e C e C y t t t sin cos 321--++=. （1分）11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 解：原方程可化为：21,21-='='y x ， （2分）积分得通解为：212,2c t y c t x +-=+=. （4分）12. 解方程：y y dxdyln = 解：原方程可化为：0ln 1=-dx dy yy ， （3分）积分得原方程的通解为：C y x =ln ln . （3分）13. 解方程：y x e dxdy-= 解：原方程可化为： dx e dy e x y =， （3分） 积分得原方程的通解为：c x y +=. （3分）14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：012122=-+dx x xdy y ， （2分）积分得原方程的通解为：c x y +-=-1ln 21. （3分） 15. 解方程：x y dxdycos 2= 解：0=y 是原方程的常数解， （1分） 当0≠y 时，原方程可化为：xdx dy ycos 12=， （2分） 积分得原方程的通解为：x c y sin 1-=-. （3分）16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+解：0=y ，0=x 是原方程的常数解， （1分） 当,0≠x 0≠y 时，原方程可化为：dx xx dy y y )11()11(22+=+，（2分） 积分得原方程的通解为：c x x y y +-=---11ln ln . （3分）17. 解方程：x xy dxdy42=+ 解：分析可知2=y 是其特解. （2分）对应齐方程的02=+xy dxdy通解为：2x ce y -=， （2分） 故原方程的通解为：22+=-x ce y . （2分）18. 解方程：23=+ρθρd d 解：分析可知32=ρ是其特解. （2分）对应齐方程03=+ρθρd d 的通解为：θρ3-=ce ， （2分）故原方程的通解为：323+=-θρce . （2分）19. 解方程：22x y xe dxdy+= 解：原方程可化为： dx xe dy e x y 22=-， （3分） 积分得原方程的通解为：c e e x y =+-22. （3分）20. 解方程：422x y y x =-' 解：分析可知4x y =是其特解. （2分） 又对应齐方程02=-'y y x 的通解为：2cx y =， （2分） 故原方程的通解为：42x cx y +=. （2分）。
常微分方程 (1)精选全文完整版
10002# 常微分方程试题 第1页(共2页)可编辑修改精选全文完整版浙江省2012年4月高等教育自学考试常微分方程试题课程代码：10002一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.微分方程y ″=2x 的通解为______.2.(y －x )d x +y (ln y －ln x )d y =0是______阶微分方程.3.求微分方程满足初始条件的解的问题称为______.4.满足通解为y =ce x （c 为任意常数）的微分方程是______.5.连续可微函数μ(x,y )≠0使得μ(x ,y )M (x ,y )d x +μ(x ,y )N (x ,y )d y =0为全微分方程，则称μ(x ,y )是微分方程M (x ,y )d x +N (x ,y )d y =0的______.6.若ψ(t )是x ′=A (t )x 的基解矩阵，则x ′=A (t )x +f (t )满足x (t 0)=η的解t ϕ（）=______. 7.设λ0是n 阶常系数齐次线性方程特征方程的k 重根，则该方程相应于λ0的k 个线性无关解为______.8.如果方程组的零解x =0稳定,且存在这样的σ>0，使得‖x 0‖<σ时，满足初始条件x (t 0)=x 0的解x (t )均有______时，则称x =0为渐进稳定.9.若()()12,y x y x ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们______(有或无)共同零点.10.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解存在惟一的______条件.二、计算题(本大题共8小题，每小题7分，共56分)11.求方程2d 2d y x x y x y=+的通解. 12.求方程5sin5y y x "'=－的通解.13.求方程2(3)d (4)d 0y x x y x y =－－－的通解.14.已知方程34x y ay y e "+'=－有一个解()1xy x xe =，试求该方程的通解.10002# 常微分方程试题 第2页(共2页) 15.求方程422xy y x '=－的通解. 16.求方程组d d d 4d x x y t y x y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的通解.17.方程22d d y x y x=+定义在矩形域R:－1≤x ≤1,－1≤y ≤1上，试利用存在唯一性定理确定经过点（0，0）的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式.18.用李雅普诺夫函数，确定方程组22d d ,d d x y xy yx t t==－－零解的稳定性. 三、证明题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)19.试验证()221t t t t ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦是方程组20122x x tt ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭－，12x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，在任何不包含原点的区间a ≤t ≤b 上的基解矩阵. 20.假设方程()(),d ,d 0M x y x N x y y +=中函数M(x,y)，N(x,y)满足()()M N Nf x Mg y y y∂∂=∂∂－－,其中f(x),g(y)分别为x,y 的连续函数，试证明：此方程有积分因子()()e f x dx g y dy μ+⎰⎰=.。
《常微分方程》题库计算题
故方程的通解为 y Y y1 c1ex c2e-2x e-x
8、解：由方程解出 y，得 y x 2 1 p x ， 代入 dx 1 dy 得 dx dp 即 p cx
2x 2p
p
xp
故通解为 y c (x2 1) 1
2
2c
9、解：方程化为 y 2 y 2x3 x
对应的齐次方程 y 2 y 0 的通解为 y=cx2 (4¹) x
6、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过点(1,0)的第二次近似解。 dx
7、求解方程 y y 2y 2ex 的通解
8、求方程组
dx dt dy dt
2x y 3x 4y
的通解
9、求解微分方程 xy 2y 2x4
10、试用逐次逼近法求方程 dy x y 2 通过(0,0)的第三次近似解. dx
75、利用代换 y u 将方程 ycos x 2ysin x 3y cos x ex 化简，并求出原方程的 cos x
通解。
76、求下列线性微分方程组
dx
dt dy
2x 2x
4y 2y
4e2t
(1) (2)
dt
dy1
dx
2 y1
2 y2
77、解下列微分方程组
dy2 dx
y2
58、 x x sin at, a 0
59、 2y 5y cos2 x
60、 y 4y xsin 2x
61、 y 2y 3 4sin 2x
62、 y 2y 2y 4ex cos x
63、 y 9y 18cos3x 30sin 3x
64、 x x sin t cos 2t
11、求解方程 y y 2y 4ex 的通解
常微分方程答案
《常微分方程》测试题 1 答案一、填空题（每空5分）12、 z=34、5、二、计算题（每题10分）1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。
此外方程还有解y=0.2、解：积分：故通解为：3、解：齐线性方程的特征方程为，，故通解为不是特征根，所以方程有形如把代回原方程于是原方程通解为4、解三、证明题（每题15分）1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一个解。
同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。
因此是解矩阵。
又因为det=-t故是基解矩阵。
2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。
（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)《常微分方程》测试题2 答案一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）1. 2. 3 3.4. 充分条件5. 平面6. 无7. 1 8. 9.10. 解组线性无关二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）1、解：将方程变形为………（2分）令，于是得……（2分）时，，积分得从而…（2分）另外，即也是原方程的解………（2分）2、解：由于……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得…………（2分）故原方程的通解为……（3分）3、解：齐线性方程的特征方程为特征根…（2分）对于方程，因为不是特征根，故有特解…（3分）代入非齐次方程，可得.所以原方程的解为…（3分）4、解：线性方程的特征方程,故特征根…………………（2分）对于，因为是一重特征根，故有特解,代入，可得……（2分）对于，因为不是特征根，故有特解，代入原方程，可得…（2分）所以原方程的解为…（2分）5、解:当时，方程两边乘以，则方程变为…（2分），即于是有，即……（3分）故原方程的通解为另外也是原方程的解. …（3分）三、解：, ，解的存在区间为…（3分）即令……（4分）又误差估计为：（3分）四、解：方程组的特征方程为特征根为，（2分）对应的特征向量应满足可解得类似对应的特征向量分量为…（3分）原方程组的的基解矩阵为…………………（2分）………（3分）五、证明题：(10分)证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为…………………（3分）由已知条件，得…………………（2分）故这两个解是线性相关的．由线性相关定义，存在不全为零的常数，使得，由于，可知．否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾．（3分）故（2分）《常微分方程》测试题3答案1．辨别题（1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2．填空题（1）．（2）．（3）．（4）．3．单选题（1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题（1）．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为（2）．解齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+（3）．解由于，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即（4）. 令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得，即：5. 计算题令，则原方程的参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为5．计算题解方程的特征根为，齐次方程的通解为因为不是特征根。
常微分方程试题及答案
常微分方程试题及答案(共4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线．2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．4．一个不可延展解的存在在区间一定是 区间．5．方程21d d y xy -=的常数解是 ． 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．方程y x xy +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）． （A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C ）下半平面 （D ）除y 轴外的全平面7. 方程1d d +=y xy （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有两个 （C ）无 （D ）有无数个8．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy =解存在且唯一的（ ）条件． （A ）必要 （B ）充分 （C ）充分必要 （D ）必要非充分9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间10．方程323d d y xy =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y xy ln d d = 12. xy x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y xy += 14．0)d (d 222=-+y y x x xy15．3)(2y y x y '+'=四、计算题（每小题10分，本题共20分）16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x ty t y t x d d sin 1d d 五、证明题（每小题10分，本题共20分）18．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程 )(d d x f y xy =+ 的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ． 19．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．常微分方程模拟试题参考答案一、填空题（每小题3分，本题共15分）1．2 2．线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3．x x x e ,e 4．开 5．1±=y二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）6．D 7．C 8．B 9．C 10．A三、计算题（每小题６分，本题共30分）11．解： 1y =为常数解 （1分）当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得 C x yy y +=⎰⎰d ln d （3分） 通积分为x C y e ln = （6分）注：1y =包含在常数解中，当0c =时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。
(整理)常微分方程计算题(3)
常微分方程习题集（3）（三）、计算题1. 解方程：0)(22=-++xydy dx x y x ；2. 解方程：024=++xy xy dxdy； 3. 解方程：0)(22=+++xydy dx x y x ； 4. 解方程：y x '=y y x +-22； 5. 解方程：；6. 解方程： xy x y y x tan =-'； 7. 解方程：；8. 解方程：yy x e y '='；9. 解方程：xyx y y x dx dy 3225423++-=；10. 解方程：yx y y xy dx dy 22++-=；11. 解方程：0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x ； 12. 解方程：243y x y x +='；13. 解方程：0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y ； 14. 解方程：xx x y x y x x dx dy cos sin cos sin +-= ； 15. 解方程：3432842yxy x yy x x dx dy ++++-= ； 16. 解方程：02=+'-'y y x y ； 17. 解方程：；18. 解方程：04)4(=+x x ；19. 解方程：y e y y '-'=)1(； 20. 解方程：122='+y x ； 21. 解方程：；22. 解方程：6244x y y x =+' ；23. 解方程：033=-'+''-'''y y y y ；24. 解方程： ；25. 解方程：0212122=++'x y y ； 26. 解方程：04)3()5(=-x x ；27. 解方程：0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y ； 28. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 29. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.（三）、计算题参考答案1、0)(22=-++xydy dx x y x 解：原方程可化为：yx y y x dx dy 1++= 令ux y =整理得：dx xxudu )11(2+=， 积分：C xx u +-=1ln 212， 将ux y =代入，原方程的通解为： x Cx x x y 22ln 2222-+=，,0=x 是原方程的常数解.2、024=++xy xy dxdy解：0=y 是方程的特解，0≠y 时，令3-=y z 得x xz dxdz36=-， 解之得2123-=x Ce z ，故原方程的通解为：21233-=-x Ce y .3、0)(22=+++xydy dx x y x解：因为y x Ny y M =∂∂=∂∂,2 ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02223=+++ydy x dx x xdx y dx x ，所以 0)312141(3224=++x x y x d ， 故原方程的通解为：C y x x x =++2234643.4、y x '=y y x +-22 解：原方程可化为：x yxy y +-='221，令ux y =整理得：xdxu du =-21， 积分得：Cx u ln arcsin =，将ux y =代入，原方程的通解为：)sin(ln Cx x y =.5. 解方程：解一：令ux y =，则xdu udx dy +=，原方程可化为：xdxu du =+1， 积分得：cx u =+1.将ux y =代回得原方程的通解为：x cx y -=2.解二：因为1,2-=∂∂=∂∂x Ny M ，xN x Ny M 3-=∂∂-∂∂， 所以3-=x μ为积分因子，两边乘以3-x 得：02232=-+---dy x dx yx dx x ，所以 0)(21=+---yx x d ， 故原方程的通解为：x Cx y -=2.6. xy x y y x tan =-' 解：原方程可化为：xy xyy +='tan ，令ux y =整理得：xdxu du =tan ， 积分得：Cx u =sin ，将ux y =代入，原方程的通解为：.7.解：令1-=y z ，原方程可化为：x x z dxdzcos sin -=-， 由一阶线性方程的通解公式⎰⎰+⎰=-),)(()()(dx e x f C e z dxx p dx x p 得： ⎰⎰-+⎰=---))cos (sin (11dx e x x C e z dxdx)cos sin (⎰⎰---+=xdx e xdx e C e x x xx Ce x +-=sin ， 原方程的通解为：8. yy x e y '='解：原方程可化为：1)(ln -''=y y x y ，令p y ='得1)(ln -=p xp y ，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)ln )(ln 1(=--p p dxdpxp . 从0ln 1=-p 得e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的一个特解：ex y =，从0ln =-p p dxdpx解的Cx e p =，代如1)(ln -=p xp y 可得原方程的通解： Cx e Cy 1=.9. xyx y y x dx dy 3225423++-= 解：原方程可化为：0)32()25(423=+++dy xy x dx y y x因为y x xNy x y M 38,4533+=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M 1=-∂∂-∂∂，所以xy =μ为积分因子，两边乘以xy 得：03225225324=+++dy y x ydy x dx xy dx y x ，从而有:0)(3225=+y x y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+3225 .10. yx y y xy dx dy 22++-= 解：原方程可化为：0)2()(2=++--dy y x dx y xy y因为1,21=∂∂--=∂∂x Ny x y M ，1-=∂∂-∂∂Nx Ny M ， 所以x e -=μ为积分因子，两边乘以x e -得：022=++-------dy ye dy xe dx e y dx xye ydx e x x x x x ，所以:0)()(2=+++----dy xe xde dx e y e y d x x x x ，0)(2=+--x x xye e y d ,故原方程的通解为：x Ce xy y =+2.11. 0)1()(=+++--dy e dx e e y y y x解：因为0,1=∂∂+=∂∂x N e y M y ，1=∂∂-∂∂NxNy M ， 所以x e =μ为积分因子，两边乘以x e 得：0=+++-dy e e dy e dx e e dx ydx e x y x x y x ，所以:0)(=++-y x x y x de e de e dx ye d ，0)(=+-+y x x e x ye d ,故原方程的通解为：C e x e y y x x =+-+.12. 243y x y x +='解：由分析可知 2x y =是该方程的一个解，作变换z x y +=2，原方程可化为322xz z x dx dz +=， 解之得； )ln (21x C x z -=--， 故原方程的通解为：)ln 11(2xC x y -+=. 13. 0)()13(22=-++-dy x xy dx xy y解：因为x y x Nx y y M 2,32-=∂∂-=∂∂ ，xN x Ny M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：033222=-++-dy x ydy x xdx ydx x dx xy ，所以:0)()21()21(3222=-+y x d x d y x d ，0)2121(2322=+-x y x y x d , 故原方程的通解为：C x y x y x =+-23222121. 14.xx x y xy x x dx dy cos sin cos sin +-= 解：原方程可化为：0)cos sin ()cos sin (=+++-dy x x x y dx x y x x因为x x x x y x Nx y M sin cos cos ,cos -+=∂∂=∂∂，1-=-∂∂-∂∂Mx Ny M ， 所以y e -=μ为积分因子，两边乘以y e -得：0)cos sin ()cos sin (=+++---dy x x x y e dx x y x x e y y ，取000==y x 有:dx x x x y e y x U xy ⎰-=-0)sin cos (),(，)sin cos sin (x x x x y e y -+=-,故原方程的通解为：C x x x x y e y =-+-)sin cos sin (.15. 3432842yxy x y y x x dx dy ++++-= 解：原方程可化为：0)84()2(3432=+++++dy y xy x dx y y x x因为4341,1y xNx y M +=∂∂+=∂∂ ，xy Mx Ny x Ny M +=-∂∂-∂∂21，所以xy +=2μ为积分因子，两边乘以xy +2得：0)84)(2()2)(2(3432=+++++++dy y xy x xy dx y y x x xy ， 取000==y x 有:⎰⎰+++++=yxdy y dx y xy y x y x x y x U 0302243216)244(),(，422254342215134y xy y x y x y x x +++++=, 故原方程的通解为：C y xy y x y x y x x =+++++422254342215134. 16. 02=+'-'y y x y 解：原方程可化为：2y y x y '-'=，令p y ='得2p xp y -=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)2(=-dxdpp x .从02=-p x 得x p 21=，代入2p xp y -=可得原方程的一个特解：241x y =，从0=dxdp解的C p =，代如2p xp y -=可得原方程的通解： 2C Cx y -=.17.解：原方程可化为：3278y y '=， 令p y ='得3278p y =， 两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得01982=-dxdp p . 解之得：)(23C x p +=，代如3278p y =可得原方程的通解： 3)(C x y +=.18. 04)4(=+x x . 解：其特征方程为：044=+λ，特征根为： .1.1,1,1i i i i --+--+ 所以其实基本解组为：,cos t e t ,sin t e t ,cos t e t -,sin t e t - 原方程的通解为：21cos C t e C x t +=3sin C t e t +4cos C t e t +-t e t sin -.19. y e y y '-'=)1(解： 令p y ='得p e p y )1(-=，两边对x 求导，并以p 代替y '，整理得0)1(=-dxdpe p p. 可得：0=p ，与 01=-dxdpe p 解之得:0=p ,与 c x p +=ln代入p e p y )1(-=得: 1-=y 为常数解,与通解：)1(ln -++=c x c x y . 20. 122='+y x解： 令t y cos ='，则t x sin =， 利用dx y dy '=得： tdt dy 2cos =， 积分得： C t t y ++=2s i n 4121， 将x t arcsin =代入得原方程的通解：C x x x y +-+=)1(arcsin 212.21.解： 原方程可化为：0))((221=+-'--'x x ye y y ye y y ，由02=--'x ye y y 得：22xe x Ce y +=， 由02=+-'x ye y y 得：22x ex Cey -=， 故原方程的通解为：22xe x Cey ±=.22. 6244x y y x =+'解：由分析可知 3x y =是该方程的一个解， 作变换z x y +=3，原方程可化为422xz z x dx dz --=， 解之得； 35521515)51(xCx x C x z -=-=-， 故原方程的通解为：)1551(53-+=Cx x y . 23. 033=-'+''-'''y y y y 解：其特征方程为：0)1(133323=-=-+-λλλλ，特征根1=λ为3重根， 所以其基本解组为： x x x x e x e x xe e 32,,,， 原方程的通解为： x x x x e x C e x C xe C e C y 342321+++=.24.解： 显然0=y 是方程的解，当0≠y 时，两边乘以21y原方程可化为022='-'-''y yy y y ， 从而有： 0)(=-'y yy dx d ，1C y yy =-'，解之的：11211-=x C e C C C y ，为原方程的通解.25. 0212122=++'xy y 解：由分析可知 1-=x y 是该方程的一个解， 作变换z x y +=-1，原方程可化为21z z xdx dz --=， 解之得； )ln (1x C x z +=-， 故原方程的通解为：)ln (11x C x x y ++=-.26. 04)3()5(=-x x 解：其特征方程为：0)2)(2(4335=+-=-λλλλλ，特征根0=λ为3重根，2,2-==λλ. 所以其基本解组为： 2,1t t ，t t e e 22,-， 原方程的通解为： t t e C e C t C t C C y 25242321-++++=.27. 0)2()32(22=+++dy y x x dx xy y解：因为xy x N xy y M 41,62+=∂∂+=∂∂ ，xN xNy M 1=∂∂-∂∂， 所以x =μ为积分因子，两边乘以x 得：02323222=+++ydy x dy x dx y x xydx ，所以:0)()(232=+y x d y x d ，故原方程的通解为：C y x y x =+232.28. 0485=-'+''-'''x x x x解：其特征方程为：0)2)(1(485223=--=-+-λλλλλ，特征根为2=λ为2重根，1=λ.所以其基本解组为： t t t e te e ,,22， 原方程的通解为： t t t e C te C e C x 32221++=.29. 02)3()5()7(=+-x x x 解：其特征方程为：0)1()1(2223357=+-=+-λλλλλλ，特征根为：0=λ为3重根，1=λ，为2重根，1-=λ为2重根.所以其基本解组为： 2,1t t ，t t t t te e te e --,,,， 原方程的通解为：t t t t te C e C te C e C t C t C C x --++++++=76542321.30. 求方程2y x dxdy+=经过（0，0）的第三次近似解.解：取0)(0=x ϕ，200200121)()(x xdx dx y x y x xx==++=⎰⎰ϕ，dx x x y x x])([)(02102⎰++=ϕϕ5222020121])21([x x dx x x x+=+=⎰，dx x x x y x x])20121([)(252003+++=⎰ϕ = 1185244001160120121x x x x +++.。
常微分计算题及解答
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2xy y y e -''+-=的通解 4、求方程组d x d t y d y d tx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程24y xy x '+=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x'22的通解 8、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解 12、求方程组dxdt x y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程()x x y y e '-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程22x y y y e -'''+-=-的通解 16、求解方程xey y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程习题集
《常微分方程》测试题 1一、填空题 30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为x.y的连续函数。
2、形如 -的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n3、如果存在常数 -对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。
4、形如 -的方程，称为欧拉方程，这里5、设的某一解，则它的任一解- 。
二、计算题40%1、求方程2、求方程的通解。
3、求方程的隐式解。
4、求方程三、证明题30%1.试验证=是方程组x=x,x=，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。
2.设为方程x=Ax（A为n n常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明:(t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%>《常微分方程》测试题 2一、填空题：（30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是 .2、方程的通解中含有任意常数的个数为 .3、方程有积分因子的充要条件为 .4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件．5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们 (有或无)共同零点．7、设是方程的通解，则 .8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解 .9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K重根，则该方程相应于的K个线性无关解是 .10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是 .二、求下列微分方程的通解：（40%）1、2、3、4、5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计.（10分）四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C《常微分方程》测试题31．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________.3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<%建设目标%>《常微分方程》测试题41．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题(8%)（1）．方程的所有常数解是___________.（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________.（3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________3、单选题(14%)（1）．方程是（）.(A)可分离变量方程（B）线性方程(C)全微分方程（D）贝努利方程（2）．方程，过点（0，0）有（）.(A) 一个解（B）两个解(C) 无数个解（D）三个解（3）．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（）.(A)y=±1, x=±1, (B) y=±1(C) x=±1 (D) y=1, x=1（4）．若函数y(x)满足方程，且在x=1时，y=1, 则在x = e时y=( ).(A)(B) (C)2 (D) e（5）．阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一个（D）有两个（7）．方程过点（）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解4.计算题(40%)求下列方程的通解或通积分：（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.5. 计算题(10%)求方程的通解．6．证明题（16%）设在整个平面上连续可微，且．求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或《常微分方程》测试题 5一、填空题（30%）1．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为．2．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．3．连续是保证方程初值唯一的条件．一条积分曲线.4. 线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，．5．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是．6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是．7．方程的所有常数解是．8．方程所有常数解是．9．线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式．10．阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（40%）求下列方程的通解或通积分：1.2．3．4．5．三、证明题（30%）1．试证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在．2．设在上连续，且，求证：方程的任意解均有．3．设方程中，在上连续可微，且，．求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在．《常微分方程》测试题6一、填空题（20%)1．方程的所有常数解是．2．方程的常数解是．3．一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线．4．方程的基本解组是．二、选择题(25%)1．阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A）（B）-1 （C）+1 （D）+22．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件．（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程过点共有（）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三4．方程（）奇解．（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5．方程的奇解是（）．（A）（B）（C）（D）三、计算题(25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.《常微分方程》测试题7一 . 解下列方程(80%)1. x=+y2.tgydx-ctydy=03.{y-x(+)}dx-xdy=04.2xylnydx+{+}dy=05. =6-x6. =27. 已知f(x)=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式。
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
常微分方程试题库试卷库
常微分方程期终考试试卷(1)一、 填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（ ）。
有只含y 的积分因子的充要条件是______________。
２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。
３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。
４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________。
５、形如___________________的方程称为欧拉方程。
６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是_____________________________。
７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。
二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=５、求方程2dyx y dx =+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。
常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、 形如____________的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为x.y 的连续函数。
2、 形如_____________的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。
常微分方程练习题及答案
一、 填空题。
1. 方程23210d xx dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程()x dyf xy y dx=经变换_______，可以化为变量分离方程 .3. 微分方程3230d yy x dx--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x xy x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= .5. 朗斯基行列式()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件.6. 方程22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 .7. 已知()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = .8. 方程组20'05⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x x 的基解矩阵为 ．9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程.10 .是满足方程251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解.11.方程 的待定特解可取 的形式:12. 三阶常系数齐线性方程20y y y '''''-+=的特征根是二、 计算题1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程13dy x y dx x y +-=-+.3. 求解方程222()0d x dxx dt dt+= 。
4．用比较系数法解方程. .5．求方程 sin y y x'=+的通解.6．验证微分方程22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.7．设3124A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11η ，试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵)(t Φ，求X A dtdX=满足初始条件η=)0(x 的解.8. 求方程2213dyx y dx=-- 通过点(1,0) 的第二次近似解.9.求 的通解10.若 试求方程组的解(),t ϕ 12(0),ηϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求expAt三、证明题1. 若(),()t t Φψ是()X A t X '=的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C ，使得()()t t C ψ=Φ.2. 设),()(0βαϕ≤≤x x x 是积分方程],[,,])([)(0200βαξξξξ∈++=⎰x x d y y x y xx的皮卡逐步逼近函数序列)}({x n ϕ在],[βα上一致收敛所得的解，而)(x ψ是这积分方程在],[βα上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[βα上)()(x x ϕψ≡.3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:(i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.4.试证：如果)(t ϕ是AX dtdX=满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么ηϕ)(ex p )(0t t A t -=.答案一.填空题。
常微分方程题库(附答案)4.1线性微分方程的一般理论
【单选题】n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是________个．A 、n -1；B 、n ；C 、n +1；D 、n +2.答案：B【单选题】下了判断正确的是_______________.A 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差不是对应齐次微分方程组的解；B 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差是对应齐次微分方程组的解;C 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和还是该非齐次微分方程组的解；D 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和是对应齐次微分方程组的解.答案：B【计算题】解微分方程'''1211,,11t t x x x t x t x e t t+-=-==--. 答案：常数变易法令12()()t x c t t c t e =+是原方程的解，并代入原方程得''12''12()()0()()1t t c t t c t e c t c t e t ⎧+=⎨+=-⎩， 解得''12()1,()t c t c t te -=-=,所以1122(),()(1)t c t t c c t t e c -=-+=-++ 因此原方程的通解为2121t x c t c e t =+-- 其中21,c c 是任意常数. 【计算题】解微分方程2'''2312ln 4636,,t t x tx x x t x t t-+===. 答案：常数变易法 令2312()()x c t t c t t =+是原方程的解，并代入原方程得'2'312'2'123()()0ln 2()3()36c t t c t t t tc t t c t t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得334411229()412ln ,()9ln 4c t t t t c c t t t t c ----=++=--+ 因此原方程的通解为23111273ln 4x c t c t t t t --=+++ 其中21,c c 是任意常数 . 【计算题】已知方程220d x x dt-=有基本解组 ,t t e e -，试求此方程适合初值条件'(0)1,(0)0x x ==及'(0)0,(0)1x x ==的基本解组.答案：由题意知通解为12t t x c e c e -=+ ，则'12t t x c e c e -=-，分别把初值条件代入得121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.因此方程的标准基本解组为 121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.【证明题】证明n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dtdt---++++= 存在且最多存在1n +个线性无关的解. 答案：设齐次线性微分方程的n 个线性无关的解为12,,,n x x x ，设满足某初值条件的非齐次线性微分方程的解为x ，则显然12,,,,n x x x x x x x +++为非齐次微分方程的+1n 个解。
常微分方程计算题及答案
计 算 题（每题10分）1、求解微分方程2'22x y xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy+=通过点(0,0)的第三次近似解. 3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dx dt ydydtx y ==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x ydydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=24 10、试用逐次逼近法求方程2y x dxdy-=通过(0,0)的第三次近似解. 11、求解方程''+-=-y y y e x '24的通解12、求方程组dxdtx y dydtx y =+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x (')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dxdy+=通过点(0,0)的第三次逼近解. 15、求解方程''+-=--y y y e x '22的通解16、求解方程x e y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydtdx x y dt dy dt dx243452的通解 18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-= 19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx=-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ.20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx=-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
常微分方程
《常微分方程》练习题二OO五年一月一、是非题1. 微分方程0sin 22=+y l g dxy d 是齐次线性方程（ ）. 2. 微分方程的通解包含方程的所有解（ ）.3. 微分方程的积分因子是唯一的（ ）.4. 利普希茨（Lipschitz ）条件是保证初值问题解的唯一性的充分条件而不是必要条件（ ）.5. 微分方程的初值问题的饱和解最大存在区间是一个开区间（ ）.6. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式x x W ,0)(=∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（ ）.7. 方程组)()(t F x t A dtdx +=的所有解构成n +1维线性空间（ ）. 8. 定义在区间I 上的向量函数组的线性相关性和它在每一点t 0∈I 处的常数向量组的线性相关性，并不等价（ ）.9. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程的n 个解，其朗斯基（Wronski ）行列式W(x 0)=0，x 0∈I ,则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 上线性相关（ ）.10. 齐次线性方程组x t A dtdx )(=的线性无关解的个数不能多于n 个（ ）. 11. 向量函数组的线性相关概念与它的相应的分量线性相关概念，并不等价（ ）.12. 若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数，x ∈I ，它的朗斯基（Wronski ）行列式W (x )=0，则)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 在I 线性相关（ ）.13. 已知向量函授组00)()(),( , 0 022t t t W wronski t t t 行列式其朗斯基， 、 =∞+-∞∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛＝0，线性相关，则它们在)(∞+-∞( ).14. 解在有限区间上对初值的连续依赖性可以推广到解在无限区间上对初值的连续依赖性（ ）.15.如果存在常负（正）函数v(y x ,).它关于系统 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 的全导数是正（负）定的，则该系统的零解是不稳定（ ）.二、选择题1.若微分方程M (x ,y ）d x +N (x ,y )d y =0有积分因子μ(x ,y ),则μ(x ,y )满足（ ）.A. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ B. M(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x xy x N y y x M y y x y x N x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ C. N(x ,y )),()),(),((),(),(),(y x yy x N x y x M y y x y x M x y x μμμ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂ D. N(x ,y )0),(),(),(=∂∂-∂∂y y x y x M x y x μμ 2. 曲线c y x =+22满足微分方程（ ）.A. 0=+'y y xB. 0=+'yx y C. 0=+'xy y D. =+'x y y 203. 曲线x (ln x -ln y )d y -y d x =0是（ ）.A. 变量分离方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 一阶非齐次线性方程4. 设)(x y 满足微分方程0ln 2=-+'x y y y x 且在x =1时y=1,则在x =e 时，y =( ). A. e 1 B. 21 C.2 D. e5. 已知y 1=cos ωx ,y 2=3cos ωx 是方程22112 0y c y c y y y +==+''的解，则ω(21,c c是任意常数)（ ）.A. 是方程通解B. 是方程的解，但不是通解C. 是方程的一个特解D. 不一定是方程的解6. 微分方程0)()(3=-++dy y x dx y x 的通解（ ）. A. c y xy x =-+242141 B. c y x =-242141 C. c y x =+242141 D. c y xy x =--2421417. 微分方程t x D 2sin 5)1(4=+的 ）. A. t 2cos 175 B. t t 2cos 175C. t 2sin 175D. t t 2sin 1758. 微分方程0)2()2(=-+-dy x y dx y x 的通解为（ ）.A. c y x =+22B. c y x =-22C. c y xy x =++22D. c y xy x =+-229. 方程y y ='过点（0，0）的积分曲线有（ ）.A. 无穷多条B. 唯一一条C. 只有两条D.不存在10. 一阶线性方程)()(x q y x p dx dy=+的积分因子是（ ）.A. μ⎰=dx x p e )(B. μ⎰-=dx x p e )(C. μ⎰=-dx x q e )(D. μ⎰=dx x q e )(11. 设曲线上的任意点p(y x ,)处的切线斜率为y a xb 22,且曲线经过点（-2，1），则该曲线的方程是（ ）. A. 1222222=-b x a y B. 1144222222=---a by b a xC. 1414222222=---a b y b a xD. 2414222222=--ab y b a x － 12. 已知方程0)()(=+'+''y x q y x p y 一个特解为1y ,则另一个与它线性无关特解为（ ）. A. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(21121 B. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(21121 C. dx e y y y dx x p ⎰⎰=-)(1121 D. dx e y y y dx x p ⎰⎰=)(1121 13. 微分方程0)3(24=+-xydx dy x y 可化为（ ）. A. 323y x ydx dy y -=- B. 323y yx dx dy y -=- C. 2232y x y dx dy x=+ D. 323y x y dy dx x -=- 14. 微分方程022233=-+x dtx d dt x d 实通解为（ ）. A. t i t i t e c e c e c x )1(3)1(21--+-++= B. t e c t e c e c x t t t sin cos 321++=C. t e c t e c e c x t t t sin cos 321--++=D. t e c t e c e c x t t t sin cos 321---++=15. 曲线xy =1满足方程（ ）.A. 0=-'x yB. 1=-'y y xC. 0=+'y y xD. 12='y x16. 方程0)1()1(22=+++xdy y ydx x 有积分因子（ ）.A. 11--y xB. y x 12)1(-+C. x y 12)1(-+D. 1212)1()1(--++y x17. 方程2y y ='过点（1，1）的解的最大存在区间为（ ）.A. ）， （2∞-B. ()∞+， 2C. （-2，2）D. ()∞+∞-，18. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=yx dt dy yx dtdx 2的（ ）.A. 结点B. 焦点C. 鞍点D. 中心19. 微分方程 04422=++x dt dxdt x d 通解为（ ）.A. t t e c e c 2221+B. tt e c e c 2221--+C. t tte c e c 2221--+ D. t tte c e c 2221+20. 微分方程dx y x dy y x )()(-=+是（ ）.A. 线性方程B. 变量分离方程C. 齐次方程D. 贝努利方程21. 已知函数)(x y 满足微分方程 y y x ='ln x y,且x =1时，y =2e ,则x =-1时，y =( ).A. -1B. 0C. 1D. 1-e22. 方程 22y x ydx dy -= 是（ ）.A. 一阶线性方程B. 齐次方程C. 全微分方程D. 变量分离方程23. 方程x y sin ='''的通解是（ ）. A. 322121cos c x c x c x y +++= B. 322121sin c x c x c x y +++=C. 1cos c x y +=D. x y 2sin 2=24. 已知函数)(x y 满足微分方程0)2()2(2222=-++-+dy x xy y dx y xy x 且x =1时 y =1,则当221+=x 时，y=( ). A. 1 B. 21C. 22D. 221+25. 微分方程t e x D D 422)6(=+－的特解为（ ）.A ．t te 491B ．t e 441C ．t e 491 D.te 49226． 积分方程dt t ty o xx y )(1)(⎰+=的解为（ ）.A ．y =1B ．y =0C ．221x e y = D ．x e y =27．微分方程0=+ydy xdx 的解为（ ）.A ．c y x =+22B ．c y x =-22C ．c y xy x =++22D ．c y xy x =+-2228． 设二阶常系数线性方程021=+'+''y a y a y （21a a 、为常数），它的特征方程有两个相同特征根λ，则方程通解是（ ）.A ．xx e c e c λλ21+ B ．xx xe c e c λλ21+C. x c x c λλsin cos 21+D. )(21xxxe c e c x λλ+29．方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 是（ ）.A ．变量分离方程B ．一阶线性方程C ．全微分方程D ．贝努利方程30．一阶非齐次线性方程)()(x q y x p y +='的通解是（ ）.A ．⎰⎰+⎰=-))(()()(dx e x q c e y dx x p dx x pB ．dx e x q c e y dx x p dx x p ⎰⎰+⎰=-)()()((C ． ⎰⎰⎰=-dx e x q e y dx x p dx x p )()()( D ．⎰=dx x p ce y )( 31．若)(),(21x y x y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，则)()(2211x y c x y c y +=（其中1c 、2c 是任意常数）（ ）. A ．是方程通解 B ．是方程的解C ．是方程特解D ．不一定是方程解32． 方程2x x ='过点（3，-1）解的最大存在区间为（ ）. A ．（-2，2） B ．（-∞+∞， ）C ．)2(， -∞ D ．)2(∞+， 33． 已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线平行于直线052=+-y x ， )(x y 满足微分方程x e y y y 396=+'-''，则此曲线的方程是（ ）.A ．sin2xB ．x e x x 2sin 2132+ C ．x e x x3)4(2+ D ．x e x x x 32)2sin cos (+34. 微分方程（221)t x D D +=+的特解为（ ）.A. 322+-t tB. t t t 33123+- C. t t t 33123++ D. t t t 33123-+ 35. 点（0，0）是系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的（ ）. A. 结点 B.焦点C. 中心D.鞍点36. 设有微分方程（1） 是已知常数）、、 b a k y b y a k dxdy ( )( )(--=（2） k y dxdy +=cos （3） 0)2(22=-+-dy x xy y dx y则（ ）.A.方程(1)是线性方程B. 方程(2)是线性方程C.方程(3)是线性方程D. 它们都不是线性方程37. 微分方程初值问题⎩⎨⎧==+'1)1(0y y y x 的解为（ ）.A.2=+y xB.1=xyC.222=+y xD.1=xy 38. 设)()(21x y x y 、是方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的（ ），则)()(2211x y c x y c y +=是任意常数）、21(c c 是方程通解. A. 两个特解 B. 任意两个解C. 两个线性无关解D. 两个线性相关的解39. 微分方程x y x y dx dy tan +=的通解是（ ）. A. cx x y=sin 1 B. c x x y +=sinC. cx x y =sinD. cx yx =sin 40. 设函数)(x y y =满足微分方程x y x y tan cos 2=+',且当4π=x 时，0=y ,则当0=x 时，y =( ). A. 4π B. 4π- C. -1 D. 1同实根21λλ、，则方程通解是（ ）.A ． x c x c 2211sin cos λλ+ B. x x xe c e c 2121λλ+ C. x x e c e c 2121λλ+ D. )(2121x x xe c e c x λλ+ 42. 积分方程dt t ty x x y )(2)(0⎰+=的解为（ ）. A. 221x e y = B. x e y =C. x e y 2=D. 2212x e y =43.设函数)()()(321x y x y x y 、、都是非齐次线性方程)()()(22x f y x b dx dy x a dxy d =++的特解,其中)()()(x f x b x a 、、都是已知函数，则对于任意常数1c 、2c ,函数)()1(121x y c c y --=)()(3221x y c x y c ++( ).A. 是所给微分方程的通解B.不是所给微分方程的通解C.是所给微分方程的特解D.可能是所给微分方程的通解，也可能不是通解，但肯定不是特解44.方程04)4(=-y y 的通解是（ ）. A. x x e c ec x c x c y 2423212sin 2cos -+++= B. )sin cos ()(432221x c x c e ec c y x x +++= C. )2sin 2cos (4322221x c x c e x c x c y x x x +++=-- D. x e x c x c x c c y 2342321)(+++=45. 已知方程02=-'+''y y x y x 的一个特解为x ,于是方程通解为（ ）.A.221x e c x c y +=B. x c x c y 121+=C. x e c x c y 21+=D. x e c x c y -+=2146. 若)( ),...(),(21x y x y x y n ，是微分方程0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 的n 个特解，则当n c c c ,...,,21为任意常数时，)(...)()(2211x y c x y c x y c y n n +++=( ).A.一定是方程的通解.B.一定不是方程的通解.C.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 为线性无关时，才是方程的通解.D.当)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 线性相关时，才是方程的通解.三、填空题1. 设)(t ϕ是一阶齐次线性方程x t p dt dx )(=解，则)(t c ϕ是 方程解（c 是任意常数）.2. 连续可微函数),(y x μ≠0使得),(y x μM (y x ,)d x +),(y x μ)N (y x ,)=0为全微分方程，则),(y x μ是微分方程M (y x ,)d x +N (y x ,)d y =0的 .3. 微分方程0332233=-+-x dt dx dtx d dt x d 的通解为 . 4. n 阶正规形微分方程的一般形式为 . 5. n 阶齐次线性微分方程的线性无关解的个数是 .6. 微分方程04)(2=+dtdx 是 阶微分方程. 7. 向量函数t e t y 2)1(101)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,t e t y 2)2(110)(-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=在),(+∞-∞上是线性 .8. 微分方程06522=+-x dt dx dtx d 的通解为 . 9. 试将初值问题 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=++=0)0(0)0(y x y x dt dy ey x dt dx t 化为与之等价的一个未知函数的二阶微分方程的初值问题为 .10. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 332的奇点为 ，奇点类型为 .11. 微分方程y y x y ln sin ='满足初值条件e y x ==2π的特解是 .12. 设)(1x y 、)(2x y 是方程0)()(22=++y x b dx dy x a dxy d 的两个非零解)(),((x b x a 在区间[b a ,]上连续），则其朗斯基（Wronski ）行列式W(x )= ;如果)()(21x y x y 、同时在区间[b a ,]上点0x 取得极小值，则)()(21x y x y 、在区间[b a ,]上是线性 .13. 一阶非齐次线性方程)()(x q y x p dx dy +=的任意两个解之差必为方 程 的解.14. 微分方程y y ''='''的通解为y = .15.方程)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=称为可化 的方程,其中如果2211b a b a ≠ 时，作变换αξ+=x ,βη+=y (βα,是待定常数，ηξ，是新变量)，代入方程后确定出βα、,方程变成含变量ηξ，的 方程.16.设)(1t ϕ、)(2t ϕ是二阶线性方程0)()(2122=++x t a dt dx t a dtx d 的解，其朗斯基(Wronski)行列式W (t)= .17.设微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程，则dy y x N dx y x M ),(),(+的原函数u(y x ,)= 或 .18. 微分方程01)(3223=++dx dy dx y d y 是 阶方程. 19. 微分方程0=-''y y 的通解是 .20. 齐次线性方程 0)(...)()1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 满足初值条件='=)()00x y x y （0)(...0)1(==-x y n （],[) , (321))((b a n i x a i 是 ，， ， =上已知连续函数,],[0b a x ∈）的唯一解是 .21.设n 个向量函数)(),...,(),(21x y x y x y n 定义于区间I 上，若仅当0...21====n c c c 时，)(0)(...)()(2211I x x y c x y c x y c n n ∈=+++才成立，则称)(),...,(),(21x y x y x y n 在区间I 上是 .22. 二阶齐次线性系统的系数矩阵的特征根为0,021<>λλ,则奇点（0，0）为 类型.23. 设)(),(21x y x y 是二阶线性方程0)()(2122=++y x a dx dy x a dxy d 的解()(),(21x a x a 在区间I 上连续)，则其刘维尔（Liouville ）公式W )(x = .24.已知 y=y(x ,0x ,0y ) 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，则000),,(x y x x y ∂∂= , 000),,(y y x x y ∂∂= . 25. 微分方程01)(23=++dxdy dx dy y 是 阶微分方程. 26. 设函数组t t t e t te e 2,,，则它们在),(+∞-∞上是线性 .27. 把初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===++-2)1(,7)1(7222dt dx x e tx dt dx dt x d t 化为与之等价的一阶正规形微分方程组初值问题 .28. 已知方程)sin(xy dx dy =，则=∂∂==0000000),,(y x x y x x y ，=∂∂==000000),,(y x y y x x y .29. 二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dt dx 243的奇点为 ，奇点类型 .30. 微分方程满足初值条件的解称为 .31. 如果y (x)是非齐次线性方程组一个特解，)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是对应齐次线性方程组的n 个线性无关解，则此非齐次线性方程组通解y(x )= .32. 曲线族c y x =+22满足微分方程 .33. 方程2y y ='过点(3,-1)积分曲线的最大存在区间是 .34. 微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充要条件是 .35. 微分方程0=+ydx xdy 的通解为 .36. 如果向量函数)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是齐次线性方程组n 个解，其朗斯基(Wronski)行列式在其定义区间I 上某一点不等于零，则其线性组合是该方程组的 .37. 曲线Γ是微分方程),(y x f y ='的积分曲线的充要条件是 .38. 若λ=bi a +是常系数实n 阶齐次线性方程的k 重特征根，则方程有形 如 的2k 个实特解.39. n 阶隐式常微分方程的一般形式为 .40. 形如),0)(( )()(I y y q y q x y p dydx ∈≠+= 的方程，称为 方程. 41. 方程0=+''y y 的通解是 .42. 初值问题⎩⎨⎧00)(y x y y y =='的解存在且唯一的条件是 .43.n 阶齐次线性方程的任意n 个解构成它的基本解组的充分必要条件 是 .44. 初值问题⎩⎨⎧00)(),(y x y y x f y =='的解满足积分方程 . 45. 函数44222),(v x y xy x y x ++-=是 类型的李雅普诺夫函数.46. 微分方程解的图像称为微分方程 .47.若)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 阶齐次线性方程)(1x a dx y d n n +++--...11n n dxy d y x a n )(＝0的n 个解，则其刘维尔(Liouville)公式 .48.微分方程0)3()32(332=-++dy y x dx y x x 是 型微分方程.49. 1)(1)(-=+'x f xx f 的通解=)(x f . 50.该函数)(1x y ,)(2x y ,)(3x y 是非齐次线性方程++dx dy x a dxy d )(22y x b )()(x f =的线性无关解，其中)(),(),(x f x b x a 都是已知函数，则所给方程的通解y = .51. 方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==),(),(y x q dtdy y x p dt dx 称为 系统. 52. 已知x y x y 1,221==是方程02222=-y x dx y d 的两个解，则其朗斯基(Wronski)行 列式W(x )= .53. 求微分方程),(x t f dtdx =满足初值条件0000,( )(x t x t x =是已知常数）解的问题称 为 .54. 假设)(1x y ,)(2x y ,…,)(x y n 是n 个函数,I x ∈,如果...)()(2211++x y c x y c )(x y c n n + =0，I x ∈,仅当0...21====n c c c 时成立，则它们是线性 .55.微分方程033=+x dtx d 的通解为 .56.向量函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0t ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02t 的朗斯基(Wronski)行列式W(t )= = ,该向量函数是线性 .57.设)(),(21t t ϕϕ是一阶线性方程x t p dtdx )(=的解，则)()(21t t ϕϕ+是 方程解.58.设),(y x u 是dy y x N dx y x M ),(),(+的一个原函数,则全微分方程dy y x N dx y x M ),(),(+=0通解是 .59.二阶自治系统⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dt dx 函数2243),(y x y x V +=是 函数,dtdV = 且是 函数,零解是 .60.微分方程dxdy xy y dx dy x=+的通解是 .四、求一阶微分方程的通解1. dx dy =y x xy y 221++ 2. dx dy =2y xy y - 3. xydx +)21(2y x +dy =0 4. dxdy =x y cos +x 2sin 5. )(x y +dx +)(x y -dy =06. )312(32y y x xy ++dx +)(22y x +dy =0 7. 2)(3+'-'=y y x8. x y y sin '=)(sin cos 2y x x -9. dx dy=e x y +x y10. y '=22x y xy -11. 02)(3=-+y dx dyx dx dy12. c o sy dx dy+x s in y =221x xe -13. )()(2x y x y dx dy ϕϕ-'=14. 42++--=y x x y dx dy15. 02)3(2=++xydy dx y e x16. (xy y x e +y 2)d x -x 2y xe d y =017.=dx dy y y x 2sin cos 1+18. x ' 1)' (2y y =+19. x y y x ydx dy 2sin 212+=20. dx dy =344322xy x y y x --21. (23x x y +)dx +(1+y x 3)dy =022. 'y =y y xtan cos -23. 2)('y x a y +=24. dx dyx =y (1+l n y -l n x )25. 22' ' 3y y xy y +=26.0)1()(2=++-y d y x dx y x27. dx dy =22x y x + 28. dx dy =3333426322--+++-+y x xy y x y x 29. dx dy =22yx y - 30. 0)22()(32=++-dy y xy dx x y31. x +' sin 2y =132. e y -(dx dy +1)=x e x 33. 3'y x y y +=34. dx dy -n x x e y xn = (n 为常数) 35. 0)(222=-+dy y x xydx36. dxdy (ar ct an y -x )=1+y 2 37. (x y x xy +++23)d x -(y x -)d y =038. dxdy x +x +s in (y x +)=0 39. y 22)2()1(y y '-=-'40. dx dy +032=+y e xy 41. dx dy =xyy x -321 42. 0)1()1(=-++dy yx e dx e y x y x43. x 022=-'+'y y x y44. y xe y x y x 2cos 2sin 2-=+'45. 0)(2=-+xdy dx y xy46. y =(y ')2221x y x +'-47. dxdy x +(x +1)y =3x x e -2 48. dx dy =yx x y 222+ 49. x 0)()(2=-++ydx xdy y ydy xdx50. 0sin cos sin '3=--x y x x y51. (y -x 2)y '=x52. y x '+1=e y53. dx dy =2(12-+-y x y )2 54. y x 'xy y 2=+55.dx xy y xdy )1(-=五、求高阶方程通解1.x 06'22=-+''y xy y 2.33dx y d -5x e y dx dy dx y d 32248=-+ 3. x t x sin 11''-=+ 4. t dtdx t dt x d =-122 5. ( D-2 )t e tx 221= 6. 22dtx d +x = t cos 11+ 7. 22dt x d +x x x dtdx cos sin 26-=+ 8. t )1(2+t 22dtx d -t (2+4t +t 2)3422)42(t t x t t dt dx --=+++ 9. y 132'''+=++-x e y y x10. 014455=-dt x d t dtx d 11. (D 232+-D )x =cos2t12. 0)(222=+dt dx dtx d x 13. (D 232+-D )x =sine t -14. (D D D 3423+-)x =t 215. t 22dtx d -(2t +1)t e t t x t dt dx 22)1()1(-+=++ 16. 022=++x dtdx dt x d 17. x 2x dxdy dx y d x dx y d ln 452233=++ 18. x 222dx y d -3x x x x y dx dy ln 42+=+ 19. (D+1)x x y cos 22=20. t 2022=+-x dt dx t dt x d 21. y ''x x e e y y 316496-=+'-22. (2t +1)2t x dt dx t dtx d 612)12(222=-+- 23. y x y y ''=''+'4)(4224. (D 91024++D )x =cos(2t+3) 25. 43231)()(x y y y x ='-'''六.求方程组的通解 1.y x dt dx +-=7 2. xy y t dt dx --=y x dt dy 52--= xy t x dt dy --= D x -(D+1)y =-t e3. x +(D-1)y =t e 2z y x dt dx+-=3 4. z y x dt dy-+-=5 z y x dtdz3+-=(D 162+)x -6D y =0 八、 6D x +(D 162+)y =0yx t y dt dx ++= 6. yx x t dt dy ++=t e y x dt dx3423++= 7. y x dtdy2+= 8.dt dx=-)1(22-++y x x y )1(22-++=y x y x dtdyt e y x dtdx+--=5 9.t e y x dt dy 23+-= 10. 222yx t y dy x dx t dt +++==. te x dt dy dtx d =--222 11.2222t y dtyd dt dx =-- 12.xy dtt x dy y t dx 244332-=-=-t y x dt dx532++= 13. t e y x dtdy823++=dt dx=t e y x 34+-)sin (t t + 14. t te y x dtdyt cos 23++=dt dx=z y + 15. z x dt dy+= y x dtdz+= 16.yt dx =y x dtxt dy +=0422=+-y x dt xd 17. 022=-+y x dtyddt dx =y x x et t e +-+2 18. yx y e t t e dt dy +-+=2dt dx=z y x 332+- 19. z y x dt dy354+-= z y x dtdz244+-=dt dx=+2y -e t - 20. t e y x dtdy-++=434 七、求初值问题解1.⎩⎨⎧==-+2)1(02)(2y xydy dx y x2. ⎪⎩⎪⎨⎧==1)0(2y xy dx dy3. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=+=1)0(0)0(432y x y x dt dy y x dt dx 4.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===+--0)1()1(4422222dt dx e x e t x dt dx dt x d t5.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='==+-3)0(2)0(02322x x x dt dxdt x d 6.设方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21,01011x x x e x dt dx t a) 验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t t e te e 0是对应齐次线性方程组基本解矩阵；b) 试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解.九、 设方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,cos sin 2012x x x t t x dt dx 十、 验证矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛t t te te e 2220是对应齐次线性方程组基本解矩阵； 十一、试求方程组满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=11)0(x 的解8.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-==-++=-=31)1(31)1(1221y x x t y x dt dy x t dt dx9.求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+0)0()(y x q y dx dy的连续解，其中⎩⎨⎧>≤≤=1 ,010 ,2)(x x x q 10.⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎝⎛'=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=+''12 02],[ sin 34π，πππ，y y x x y y 八、计算题 1. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=--=0)1(22y yx dxdy 在区域R:1 ,11≤≤+y x 解的存在区间，并求第三次近似解. 2. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21,0110x x x x dt dx , 满足初值条件⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10)0(x 的第三次近似解.3. 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(2y ye dxdy x 的第二次近似解. 4. 用逐次逼近法求方程 21yydx dy += 满足初值条件1)0(=y 的第二次近似解. 5. 求初值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=1)0(,0)0(2222dt dx x x t dt x d 的第三次近似解.6. 利用逐次逼近法求初值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=1)0()0(2y x y tx dtdy y tx dt dx的前三次近似解.7. 试用逐次逼近法求方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==x dtdy y dtdx满足初值条件⎩⎨⎧==1)0(0)0(y x 的第三次近似解.8. 设),,(00x t t x 是方程0si n =--x txt dt dx t满足初值条件0000),,(x x t t x =的解，试求出000),,(t t t x t t x =∂∂ ,00),,(t t x x t t x =∂∂9.试讨论2123y dx dy =在怎样区域上满足解的存在唯一性条件，并求过点(0，0)的一切解.10. 设给定方程x e t dt dx23=，试求0100000),,(==∂∂x t t x t t x ,100000),,(==∂∂x t x x t t x九、讨论题（一）求方程组奇点，并确定其类型.1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=y x dt dy y x dt dx 6632.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x dtdy y x dtdx2433.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=y x dt dy y x dt dx 334.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=y x dtdy y x dt dx47735.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=x y dtdy y x dtdx324（二）讨论系统零解稳定性.（a 是参变数）1. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=33y x dt dy x y dt dx2.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=+-=)()(2222y x y x dtdy y x x y dtdx3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=33ay x dt dy ax y dt dx 4.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=333223y x dt dy x y dt dx 5.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=)()(2222y x ay x dt dy y x ax y dt dx 6.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=3334y x dt dy x y dtdx7.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=2322xy dt dy y x dt dx 8.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=3222y y x dt dy xy x dtdx9.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-=32223212y y x xy dt dy y x dt dx 10.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=222x x dt dy y xy dtdx 11.考虑无阻尼线性振动0222=+x dtxd ω的平衡位置的稳定性.十、证明题.1．设),(y x f 在区域R: a x x ≤-0,b y y ≤-0连续且关于y 满足利普希茨(Lipschitz )条件，试用Bellman 引理证明初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy在区间h x x ≤-0的解是唯一的，其中==M Mba h ),,min(max R .|),(|y x f 2.已知定义于[b a ,]上的n 个函数y 1(x ),y 2(x ),…，y n (x )是n 阶齐次线性方程基本解组，b 1,b 2是两个不等于零的常数，则函数组)()([211x y x y b +]，)()([212x y x y b -]，)( ,...)(3x y x y n ，在区间[b a ,]也是该方程的基本解组. 3.设n 阶矩阵A(t)在区间[b a ,]连续，且X (t)，)(t Φ是方程组x t A dtdx)(=的两个基本解矩阵，证明的存在n 阶可逆常数矩阵C 使得)(t Φ= X (t)C. 4.证y e dxdyxy sin =的任何一解存在区间为（-∞，+∞）.5．设f （t ）在（０，＋∞）上连续且有界，试证明方程)(t f x dtdx=+的所有解均在（-∞，+∞）上有界. ６．求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)()1(y x y ey y dxdy xy 当00y <<1时解的最大存在区间，并加以证明. 7．用逐次逼近法证明初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=00)()()(y x y x q y x p dxdy在[b a ,]上解是唯一的（只须证明唯一性），其中[]b a x ,0∈，p(x )、q(x )在[b a ,]上连续.8、求非齐次线性方程t e x dt dxdtx d -=++6522的通解，并证明此方程的一切解)(t x 有0)(lim =+∞→t x t .9、试证明：对于任意0x 及满足条件0<0y <1的y 0，方程1)1(22++-=y x y y dx dy 满足初值条件00)(y x y =的解y(x )在（)∞+∞-， 上存在. 10、设f(x)为连续函数 （1） 求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()(y ayx f dxdy的解y(x )，其中a 是正常数；（2）若)(x f k ≤（k 为常数），证明，当x ≥0时有)1()(ax e kax y --≤. 11、证明微分方程1sin 22++=y x ydx dy 的任一解)(x y 存在区间为)(∞+-∞， .。
(完整版)常微分方程试题库.
常微分方程一、填空题1．微分方程0)(22=+-+x y dxdy dx dy n 的阶数是____________ 答：12．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________答：)()1)((y Mx N y M φ=-∂∂-∂∂ 3．_________________________________________ 称为齐次方程. 答:形如)(xyg dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则),(y x f dxdy=存在唯一的解)(x y ϕ=，定义于区间h x x ≤-0 上，连续且满足初始条件)(00x y ϕ= ,其中 =h _______________________ .答:在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),min(mb a h =5．对于任意的),(1y x ，),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域）,若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ，则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。
答: 2121),(),(y y N y x f y x f -≤- 6．方程22y x dxdy+=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ，则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解，)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________答:0)(1'=+w t a w8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解，则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________ 答:x x c x ni i i +=∑=19．若)(x ϕ为毕卡逼近序列{})(x n ϕ的极限，则有≤-)()(x x n ϕϕ __________________答：1)!1(++n n h n ML10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如)()()(2x r y x q y x p dxdy++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是 区间．答：开 12．方程1d d +=y xy 满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 13．方程y x xysin d d 2=的所有常数解是 ． 答： ,2,1,0,±±==k k y π14．函数组)(,),(),(21x x x n ϕϕϕ 在区间I 上线性无关的 条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是 ． 答:线性无关（或:它们的朗斯基行列式不等于零） 16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是 ．答:x x x e ,e17．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续,则方程y x xy)(d d ϕ=的任一非零解 与x 轴相交． 答：不能18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续,那么它的任一非零解在xoy 平面上 与x 轴相切．答:不能19．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组,则它们 共同零点．答：没有 20．方程21d d y xy-=的常数解是 ． 答：1±=y21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．答：必要 22．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 答: xoy 平面23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是 ．答：1,1±=±=x y24．方程04=+''y y 的基本解组是 ．答：x x 2cos ,2sin25．一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线． 答：2二、单项选择题1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A )个．(A)n （B ）n —1 （C)n +1 （D ）n +2 2．如果),(y x f ，yy x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x y =的任一解的存在区间( D ）．(A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ (C ）必为)0,(-∞ （D)将因解而定3．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面 （B ）xoy 平面 （C)下半平面 （D)除y 轴外的全平面 4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C )．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解 （B)是非齐次微分方程组的解 （C ）是其对应齐次微分方程组的解 （D ）是非齐次微分方程组的通解 5. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（ B ）个解． （A ）一 （B ）无数 (C ）两 （D ）三 6. 方程2d d +-=y x xy（ B ）奇解． (A ）有三个 (B ）无 （C ）有一个 （D ） 有两个 7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．（A ）n 维 (B ）1+n 维 （C)1-n 维 （D)2+n 维8．方程323d d y xy=过点（ A )．(A ）有无数个解 （B ）只有三个解 （C)只有解0=y （D ）只有两个解 9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．(A ）充分 （B)充分必要 (C ）必要 （D ）必要非充分 10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．（A ）构成一个2维线性空间 （B ）构成一个3维线性空间（C)不能构成一个线性空间 （D ）构成一个无限维线性空间 11．方程y xy =d d 的奇解是（ D ）．（A)x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y12．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为( C ）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+(C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D))()(21x x C ϕϕ+ 13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy=初值解唯一的（ D ）条件． （A ）必要 (B)必要非充分 （C ）充分必要 （D)充分 14。
常微分方程(6.25)
常微分方程(6.25)总分：100分及格分：60分时长：1时30分0秒1、[单选题]本小题2分1、微分方程是（）.A、可分离变量方程B、线性方程C、全微分方程D、贝努利方程答案：B解析：单选题解析2、[单选题]本小题2分2、方程的所有常数解是（）. A、B、C、D、答案：B解析：单选题解析3、[单选题]本小题2分3、方程（）奇解．A、有三个B、无C、有一个D、有两个答案：B解析：单选题解析4、[单选题]本小题2分4、一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．A、不是其对应齐次微分方程组的解B、是非齐次微分方程组的解C、是其对应齐次微分方程组的解D、是非齐次微分方程组的通解答案：C解析：单选题解析5、[单选题]本小题2分5、n阶线性齐次微分方程的任意n+1个解必（）．A、可组成一个基本解组B、线性相关C、朗斯基行列式恒不为0D、线性无关答案：B解析：单选题解析6、[简答题]填空题每小空2分1.当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程.解析：7、[简答题]填空题每小空2分2、求满足的解等价于求积分方程________的连续解。
解析：y=yo+8、[简答题]填空题每小空2分3、略9、[简答题]填空题每小空2分4、略10、[简答题]填空题每小空2分5、函数组的伏朗斯基行列式为_______.解析：11、[简答题]计算题本小题8分1、求方程的通解。
解析：12、[简答题]计算题本小题8分2.求微分方程的解.解析：则所以另外y=0也是方程的解13、[简答题]计算题本小题8分3.解方程：（2x+2y-1）dx+(x+y-2)dy=0解析：14、[简答题]计算题本小题8分4.求方程的奇解解析：15、[简答题]计算题本小题8分5. (x+2y)dx-xdy=0解析：16、[简答题]（10分）求下列高阶微分方程的通解解析：17、[简答题](10分) 求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。
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计 算 题1、求解微分方程2'22xy xy xe -+=。
2、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy+=通过点(0,0)的第三次近似解.3、求解方程'2x y y y e -''+-=的通解4、求方程组dxdt y dydt x y==+⎧⎨⎪⎩⎪2的通解5、求解微分方程'24y xy x +=6、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过点(1,0)的第二次近似解。
7、求解方程''+-=-y y y e x '22的通解8、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪234的通解9、求解微分方程xy y x '-2=2410、试用逐次逼近法求方程2y x dx dy-=通过(0,0)的第三次近似解.11、求解方程''+-=-y y y e x'24的通解12、求方程组dxdt x y dydt x y=+=+⎧⎨⎪⎩⎪2332的通解13、求解微分方程x y y e x(')-=14、试用逐次逼近法求方程22x y dx dy+=通过点(0,0)的第三次逼近解.15、求解方程''+-=--y y y e x'22的通解16、求解方程xe y y y -=-+''32 的通解17、求方程组⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=yx dt dydt dx x y dt dy dt dx 243452的通解18、解微分方程22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=19、试用逐次逼近法求方程2dyx y dx =-满足初始条件(0)0y =的近似解：0123(),(),(),()x x x x ϕϕϕϕ. 20、利用逐次逼近法，求方程22dyy x dx =-适合初值条件(0)1y =的近似解：012(),(),()x x x ϕϕϕ。
21、证明解的存在唯一性定理中的第n 次近似解()n x ϕ与精确解()x ϕ有如下误差估计式：1|()()|(1)!nn n ML x x x x n ϕϕ+-≤-+。
22、求初值问题 22,(1)0dyx y y dx=--= 在区域 :|1|1,||1R x y +≤≤ 的解的定义区间，并求第二次近似解，给出在存在区间上解的误差估计。
23、cos cos 0y y x y dx x dy x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 24、2221dyy dx x y ⎛⎫+= ⎪+-⎝⎭ 25、21210dy x y dx x -=-=26、ln (ln )0y ydx x y dy +-=27、'2ln yy y y y x =+-28、22dy y x dx xy -= 29、222()0xydx x y dy +-=30、3(ln )0ydx y x dy x ++=3122ydx xdyx y -==+32、(1)10xxyyx e dx e dy y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭ 33、213dy x y dx x y -+=++ 34、443()0x y dx xy dy +-= 35、()22(2)0xy y dx y y x dy -+++=36、3"10y y +=37、"'"'0y y y y -+-= 38、"'2"3'100y y y y --+=39、(4)0y y += 40、(6)(4)2"20y y y y --+= 41、(4)"0yy -=42、(4)4"'8"8'30y y y y y -+-+= 43、(4)4"'6"4'0yy y y y -+-+=44、"xy y xe-+=45、2"3'4xy y y e ++=-46、3"2'4(2)xy y y x e -+=+47、2613(52)t x x x e t t ++=-+ 48、tx x e -=49、2"2'ts as a s e ++=50、2441t t x x x e e -+=++51、"4'10y y ++=52、"'3"3'(5)xy y y y e x -+++=- 53、"3'2sin cos y y x x +=+54、22225sin (0)x kx k x k kt k ++=≠55、"sin cos y y x x += 56、"2'2cos xy y y e x --+= 57、"2'10cos2x y y y e x --+=58、sin ,0x x at a +=>59、22"5'cos y y x += 60、"4sin 2y y x x += 61、"2'34sin 2y y x +=+ 62、"2'24cos xy y y e x -+= 63、"918cos330sin3y y x x +=-64、sin cos2x x t t +=-65、22cos t x x x te t -+=66、求微分方程22"'01y y y +=-的通解。
67、求1"'cos x y y xe x x =+的通解。
68、求微分方程2'""0y y y x x -+=的通解。
69、求微分方程2"(')'0xyy x y yy +-=的通解。
70、求微分方程"3'2sin xy y y ex -++=+的通解。
71、求微分方程221"4'4xy y y e x -+=的通解。
72、求方程2"4'5csc xy y y e x -+=的通解。
73、求微分方程2"2'20x y xy y +-=的通解。
74、求微分方程22"2'22x y xy y x +-=+的通解。
75、利用代换cos uy x =将方程 "cos 2'sin 3cos xy x y x y x e -+= 化简，并求出原方程的通解。
76、求下列线性微分方程组2244(1)22(2)tdx x y e dt dy x y dt -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩77、解下列微分方程组1122223322(1)(2)2(3)dy y y dx dy y y dx dy y dx ⎧=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=⎪⎩的通解。
78、5445dyy z dx dz y z dx ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩79、3452dxx y dt dy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩80、254342x y y x xy x y -=-⎧⎨-=-⎩计 算 题 答 案１、解：对应的齐次方程y '+2xy=0的通解为y=ce -x2 (4¹)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x2 代入方程y ¹+2xy=2xe -x2得c ¹(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (3¹） 所以原方程的通解为y=(x 2+c)e -x2 (1¹)２、解：按初始条件取 0()0y x ≡221000()[()]2wx y x y x y x dx =++=⎰2522010()[()]220wx x y x y x y x dx =++=+⎰2581123020()[()]2201604400wx x x x y x y x y x dx =++=+++⎰3、解：对应的齐次方程为"'-20y y y +=特征方程为2+20λλ-=解得 1,-2λ=对应的齐次方程通解为212x x Y c e x e -=+ （2¹）设方程的一个特征解为y 1=Ae -x则y 1¹=-Ae-x,y 2¹=Ae -x代入解得A=-1/2从而11y 2xe -=- （2¹） 故方程的通解为211212x x x y Y y c e c e e --=+=+- （2¹） 4、解：它的系数矩阵是A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥0121 特征方程||A E -=--=λλλ1210或为λ2-10λ+9=0 （2¹）特征根λ1=1,λ2=9原方程对应于λ1 =1的一个特解为y 1=e t ,x 1=-e t （2¹） 对应于λ2=9的一个特解为y 1=e 9t ,x 1=e 9t （2¹）∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e t t t t =+=-+⎧⎨⎩--1221222 （2¹）5、解：对应的齐次方程 y ¹+2xy=0的通解为y=ce -x2 (4¹)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)e -x2代入方程y ¹+2xy=4x 得c ¹(x)=4e x2x 因此有c(x)=2e x2+c (3¹） 所以原方程的通解为y=(2e x2+c)e -x2 (1¹)6、解：取120010()0,()()[()]n n y x y x y x x y x dx-==+-⎰则2101y ()22x x x xdx ==-⎰2253220111y ()222062430xx x x x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=-++--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰因此，第二次近似解为532211y ()2062430x x x x x =-++--。
7、解：对应的齐次方程为111-20y y y +=特征方程为2+20λλ-=，得 1,-2λ=对应的齐次方程通解为-212x x Y c e c e =+ （2¹）设方程的一个特征解为-1xy Ae =则1- 1x y Ae =-,11-1x y Ae =代入解得-1A =，而-1-x y e = （2¹）故方程的通解为-2-112x x xy Y y c e c e e =+=+- （2¹）8、解：由方程解出y ，得y x x p x p =--2122， 代入dx p dy =1得dx x dp p =即p cx = 故通解为y c x c =--21122() 9、解：方程化为y x y x '-=223 对应的齐次方程y x y '-=20的通解为y=cx 2 (4¹)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为y=c(x)x 2代入方程得c ¹(x)=2x 因此有c(x)=x 2+c (3¹） 所以原方程的通解为y=(x 2+c)x 2 (1¹)10、解：取20010()0,()()[()]xn n y x y x y x x y x dx -==+-⎰则210y ()2x x x xdx ==⎰222520y ()2220xx x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰因此，第三次近似解为532211y ()2062430x x x x x =-++--11、解：对应的齐次方程为y ¹¹+y ¹-2y=0 特征方程为λ2+λ-2=0 解得λ=1,-2对应的齐次方程通解为Y=c 1e x +c 2e -2x （2¹）设方程的一个特征解为y 1=Ae -x则y 1¹=-Ae-x,y 1¹¹=Ae -x代入解得A=-2从而y 1=-2e -x（2¹） 故方程的通解为y=Y+y 1=c 1ex+c 2e -2x -2e -x （2¹）12、解：它的系数矩阵是A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥0121 特征方程||A E -=--=λλλ1210或为λ2-4λ-5=0 （2¹）特征根λ1=-1,λ2=5原方程对应于λ1 =5的一个特解为y 1=e 5t ,x 1=e 5t （2¹） 对应于λ2=-1的一个特解为y 2= -e -t ,x 2=e -t （2¹）∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e t t t t =+=-+⎧⎨⎩--1221222 （2¹）13、解：方程化为y y x e x '-=1对应的齐次方程1 -0y y =的通解为x y ce= (4¹)用常数变易法，可设非齐次方程的通解为()x y c x e=代入方程得11()c x x =因此有()ln ||c x x c =+ (3¹）所以原方程的通解为(ln ||) xy e x c =+ (1¹)14、解：取20010()0,()()[()]xn n y x y x y x x y x dx -==+-⎰则3210y ()3x x x x dx ==⎰2337220y ()3363xx x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+=+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰因此，第三次近似解为2371511732302y ()363595352079633xx x x x x x x x dx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=++=+++⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰15、解：对应的齐次方程特征方程为2+2=0λλ-解得λ=1,-2对应的齐次方程通解为 -212x x Y c e c e =+ （2¹）设方程的一个特征解为-1xy Ae =代入解得32A =-从而-13-2x y e ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2¹）故方程的通解为-2-112-(3/2) x x x y Y y c e c e e =+=+16、解：对应的齐次方程特征方程为λ2+λ-2=0 解得λ=1,-2对应的齐次方程通解为 Y=c 1e x +c 2e -2x （2¹）设方程的一个特征解为y 1=Ae -x 代入解得A=-3/2从而y1=-(3/2)e -x （2¹）故方程的通解为y=Y+y 1=c 1e x +c 2e -2x -(3/2)e -x （2¹）17、解：化简有x x y y x y ∙∙=-=-⎧⎨⎪⎩⎪232 它的系数矩阵是A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥0121 特征方程||A E -=--=λλλ1210或为λ2-1=0 （2¹）特征根λ1=±1原方程对应于λ1 =-1的一个特解为y 1=e -t ,x 1=e -t （2¹） 对应于λ2=1的一个特解为y 2=e t ,x 2=3e t （2¹）∴原方程组的通解为x c e c e y c e c e t t t t =+=-+⎧⎨⎩--1221222 （2¹）18、解：因M(x,y)=3x 2+6xy 2,N(x,y)=6x 2y 3+4y 3∂∂∂∂M y xy Nx ==12所以为全微分方程将其分组()()346602322x dx y dy xy dx yx dy +++= ∴原方程可写成d x y x y []342230++= ∴方程的通解为 x y x y c 34223++=19、解：0()(0)0x y ϕ==2101()0(0)2xx s ds x ϕ=+-=⎰222520111()02220xx s s ds x x ϕ⎡⎤⎛⎫=+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰2252581130111111()02202201604400xx s s s ds x x x xϕ⎡⎤⎛⎫=+--=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰20、解：零次近似解为 0()(0)1x y ϕ==一次近似解为 23101()1(1)13xx s ds x x ϕ=+-=+-⎰二次近似解为2322457201121()111361563xx s s s ds x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=++--=++--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰21、证：由0()(,())xx x y f s s dsϕϕ=+⎰及迭代列001()(0),()(,())1,2,xn n x x y x y f s s dsn ϕϕϕ-==+=⎰得00|()()||(,())|||x x x x f s s ds M x x ϕϕϕ-≤≤-⎰设1|()()|||(1)!kk k ML x x x x k ϕϕ+-≤-+则1|()()||(,())(,())|x k k x x x f s s f s s ds ϕϕϕϕ+-≤-⎰10||(1)!k x k x ML s x ds k +≤-+⎰20||(2)!k k ML x x k +≤-+由归纳法知，对任意n 次近似解，估计式（1）成立。